Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-"

Transkript

1 Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky, tutologie, možiy rovost, podmoži, sjedoceí, průik, rozdíl moži Veovy digrmy, itervly reálých čísel II Úprvy lgerických výrzů, zlomky, rozkld kvdrtického trojčleu, mociy se záporým epoetem, mociy s rcioálím epoetem, odmociy, děleí mohočleu mohočleem. III Fukce, jejich defiičí oory, vlstosti grfy: lieárí, kvdrtické, lieárí lomeé, goiometrické, epoeciálí logritmické. IV Rovice erovice o jedé ezámé lieárí, kvdrtické, s solutí hodotou, s prmetrem, ircioálí soustvy rovic erovic. V Logritmy, logritmické epoeciálí rovice. VI Goiometrické výrzy, rovice jedoduché erovice. VII Poslouposti rekuretí určeí poslouposti, ritmetická geometrická posloupost, ekoečá geometrická řd. VIII Alytická geometrie lieárích kvdrtických útvrů: vektory souřdice, zákldí operce, sklárí souči, přímk v rovice prmetrické rovice, oeá rovice, směricový úsekový tvr oecé rovice přímky, odchylk dvou přímek, rovi v prostoru prmetrické rovice, oecá rovice její úsekový tvr, kuželosečky defiice, zákldí vlstosti, rovice kuželosečky v zákldí posuuté poloze. IX Kompleí čísl sčítáí, ásoeí, děleí lgerický goiometrický tvr, Moivreov vět. X Komitorik fktoriál, komičí čísl, komice, permutce vrice, iomická vět.

2 I Zákldí poztky z logistiky teorie moži. Jsou dáy možiy {,,,7,,6 },B = {,,7, },C {,6,,9} A = = Určete A [{,,,,7,,,6} A [{,,6,7,,,9} [{,,,,6,7,,,6,9} [{,7} A [{,} [{ } ) B ) C A B C d) A B e) C f) A B C. Jsou dáy možiy A = { R : < }, B = { R : } Zpište možiy A,B,A B,A B pomocí itervlů A =< ;) B = ( ; > < ; ) A B = ( ; > < ; ) A B =< ;) [. Jsou dáy možiy A { 0;; } B =< ;) ) A B ) B A B d) A e) črtěte AB =. Určete: [, A [{ 0, } [{ } B [(,0 ) ( 0,). Je dá moži A = {,,0,,,}. Zázorěte grficky iárí relce: ) R = {(,y) AA, > y} ) S = {(,y AA, y < ) } T = R S. Užitím Veových digrmů rozhoděte, zd pro liovolé podmožiy A,B,C dé zákldí možiy pltí: [ pltí B = A [ epltí A B = A C C B [ pltí ) ( A B) B = A B ) A B C ( ) ( ) ( )

3 6. Rozhodi o prvdivosti těchto výroků ) číslo je kořeem rovice 9 = 0 právě tehdy, když 9 = ) číslo 7 je meší ež číslo 0 tehdy je tehdy, když číslo 8 je meší ež číslo 7. Řešte tulkovou prvdivost ásledujících výrokových formulí: ) ( A B) ( A B) ) ( A B) ( A B) [( X Y) Y X Určete, které z ich jsou tutologiemi. II Úprv lgerických výrzů. Vypočtěte: ) y z t y 6 z t 6 ) y : y [ 8. Určete ejmeší společý ásoek mohočleů: ) [,,6 6 0 ( ) ) ( c )( c )(, ( )(, )( [( ( ( )

4 . Proveďte děleí: ) ( ) ( ) : 6 ( ) ) ( ) ( ) : ( ) 6 ( ) ( ) : 6 ( ). Uprvte stovte podmíky: ) 0, ) [ 0,, > 6 [ 0, > d) ( ) ( ) ( ) ( ) : [, ± e) t t t t t t t t >,t t t

5 . Uprvte lgerické výrzy: ) ( ) ± 0,, ) : ± 0,, [ 0, 0,, d) ) ( [ 0 0,,, e) 0 0,, > > f) y y y y ± y 0, 0,y, y g) ( ) ± 0,,, h) [ 0 0,, > > i) [ 0, >

6 6. Zjedodušte udejte podmíky eistece výrzů: ) ( ) [ 0,, ) ±,, 6 m m m m 0,m 0,,m m m d) 0, 0,, > e) 0.,,, ), /( 7. Rozložte součiy,resp. Uprvte kráceím: ) ( )( ) [ ) ( ) ( ) [ 0, 0 7,, d) 0 7 6,, e) ( )( ),, III Fukce

7 . Do téže soustvy souřdic črtěte grfy fukcí vyzčte důležité ody (průsečíky s osmi y, vrcholy pod.) ) y = y = y = ( ) y = ( ) ) y = y = y = y = y = y = d) y = y = y = e) y = y = y = f) y = y = log g) y = log y = log y = log( ) h) = log y = log = log y y i) y = si y = si y = si pro π, π j) y = tg y = tg y = tg pro π, π k) y = cot g y = cot g y = cot g pro 0, π l) y = cos y = cos y = cos y = cos pro 0, π. Určete defiičí oor fukce:

8 ) y = [(, ) (, ) ) y = 9 [, ( ) [ y = (, ) ( 0, ) cos d) y = si e) y log( [(, ) = ) [(, ) = ) [(, ) (, ) f) y log(. Určete defiičí oor fukce: ) ) y = log l y = le [(, ) [( 0,) (, ) [ y = l ( 0, ) y = [(, ) d) ll e) y = ll si [ 0 IV Rovice erovice

9 . Řešte rovice: 8 ) = [ ) y 7y 8 y 8 y y y = y [ emá řešeí =, 0 je prmetr, 7 d) =,, jsou prmetry [,. Pro která, resp. y je splě erovice: ) ( y ) ( y 6) > 8y [(, ) 8 ) 0 6 [(, ) ( 6, ). Řešte erovice: ) 0 ) < [ [(, 7) (, ). Řešte erovice: ) < (, ), ) [(, ) (, ) y y y [(,) ( 8, )

10 . Pro která m má rovice ( ) m [(, ) (, ) ) = koře větší ež o kořey záporé [ m > ) m m = 6. Zjistěte, která, resp. y vyhovují erovici: v ooru přiroz. čísel [,,..., ) y 9 > y ) <, [ kzde rle cislo y y d) > v ooru celých čísel [,,0, 7. Vyřešte rovice erovice: ) 7 = [(, > ) y y = [(, ) y y < y [ emá řešeí d) [ kzde rele cislo e) f) 0 > 6,,

11 8. Řešte v R, je ezámá,, m jsou prmetry: ) = 0 [pro =0 je rovice splě pro jkékoliv 0, 0 má rovice jedo řešeí =- ) 0 m m m m = [pro m ±, eistuje jedié řešeí m m =, pro m=- rovice emá řešeí m 9. V RR příp.rrr řešte soustvy rovic jiou metodou ež doszovcí: ) y y = 0, = [( 6,9) 7 ) =, = y y, py =, ( p ) py = p, 6p p ( 6p),pro p,p 0 6 d) y z = =, = y z [(,,0 ) [(,, ) e) y =, z =,y z = 0 0. Řešte soustvy rovic: [(,)(, )(, )(, ) ) y = 7,y = [(, )(, ) ) y y = 7, y = y = y, y = y [(, )(, )

12 . Která reálá čísl vyhovují rovici: 7 ) 9 = 7 ) ( ) ( ) ( ) = ( ) 8 = d) = [ [ emá řešeí e) 9 = f) (, >. Která přirozeá čísl vyhovují erovicím: ) < ( ) < [,,6 ) [. Grficky vyřešte soustvu erovic:...které dvojice přirozeých čísel vyhovují? [(,, )(, ) ) y 6 0, y 6 0 ) y < 6, 6y > 7 > [(, )(,0 )(,0 )(, ) y, y Které dvojice celých čísel vyhovují?

13 . Řešte rovice: ) 6 = 0, je-li jede z kořeů číslo ( i) ) 8 0 = 0, jestliže má koře,, [ i, i,, V Logritmy. Logritmické epoeciálí rovice. Stovte z tk, y ) log z = [ ) log z 00 = [ 0 log z 0,000= 00. Určete: ) log [ ) log 8 [ log d) log [. Co je větší [ ) log eo log 7 log 7 ) log eo log 7 [ log

14 . Zjedodušte výrz: ) log log loge log( ) e log 000, >, > 0 00 log, > 0, >,c > c ) log log log( c ) log( ). Určete výrz, jehož logritmováím dosteme: logc ) ( log log) log( ) ( ) ( ) c, >, > 0,c > 0 logc ) log ( ) ( logc log) ( ) c c, >, > 0,c > 0 6. Určete všech řešeí rovic v ooru reálých čísel: [ 9 ) log( ) log( ) = log 8 log ) = log( ) [. log [ 00, logy log log y = ; = 6 0 [ d) log( ) log( ) = 0 [ e) log ( ) log( ) = 0 log( ) f) = log log ( ) [ emá řešeí 7. Řešte rovice: ) 7 = 8 7

15 ) = = [,7... y y y d) 8 =, =, VI Goiometrické výrzy, rovice erovici. Zjistěte, kdy pltí erovice: ) tg π π < kπ, kπ),k celé 7π π ) si y < 0. y kπ, kπ,k celé 6 6 π π π π cos α < ε < k, k ),k celé 6 6 β d) cot g < π β kπ, ( k ) π,k celé. Dokžte, že pro úhel pltí: cos cot g ) = si cot g ) tg = cos tg si Npište podmíky pro. π k π k. Zjedodušte dé výrzy určete, kdy jsou reálé: ) si cos π si cos, k cos

16 ) tg cot g cos α siα siα cos α π, k π tgα, α k d) siα siα cos α si, α α π kπ. Řešte rovice: ) tg = cot g π ± kπ π ) si = si = kπ, ± kπ [ = 0 k60,0 k60,70 k60 si cos si = 0 [ = 6 9 k80, k80 d) tg cot g = [ = k80,60 k80 e) si si cos = 0 f) si cos = [ = k60,60 k70,00 k70 g) si 7 si cos 6cos = 0 ˇ [ = 80 k80, k80. Vypočítejte stru osh prvidelého pětiúhelík ) Vepsého [ = r siα,p =,r siα, α = 6 ) Opsého kružici o poloměru r [ = rtgα,p = r tgα, α = 6

17 6. Určete velikost všech úhlů str trojúhelík, pro který pltí: ) = 0, = 0, = α [ β = 90, γ = 60,c = ) [ β = γ = 60, = α = 60,c = = 6 6 α [ emá řešeí = 0, = = VII Poslouposti. Vypočtěte žádé prvky ritmetické poslouposti ), =,s = 6, =?,? d = = [ = 8, = 99 ) [ 0 =,d = = 6,s = 9, =?,d? 0 0 =. Určete ritmetickou posloupost, u které pltí: 6 = 7 [ =,d = =. Stry prvoúhlého trojúhelík tvoří ritmetickou posloupost. Delší odvěs o = 7 je. Vypočtěte ovod trojúhelík. [. Určete q u geometrické poslouposti, u íž pltí: ) = = 8 =,q =, = 08,q = ) = 6 = s = [ =,q =, = 0. Stovte tkové číslo, y zvětšeo postupě o 7, 7 dlo tři po soě jdoucí čley geometrické poslouposti. [ 9 6. U geometrické poslouposti reálých čísel je součet prvích čtyř čleů =,q =, =,q =,dlších čtyř 0. Určete tuto posloupost: [

18 7. Řešte rovice ) =... 0 [ 6, ) =..., 7 =..., 8. Je dá čtverec o strě. Spojice středů jeho str tvoří opět čtverec, spojice středů ového čtverce tvoří opět čtverec td. Které mezi se líží součet oshů těchto čtverců? [ VIII Alytická geometrie. V trojúhelíku ABC ( A[;-, B[;6, C[-;0 ) jděte rovici těžiště z odu C. [ - y = 0. jké úseky tvoří osách souřdic přímk jdoucí ody A[;,; B[-,-. [p = -, q =. Určete rovici přímky jdoucí odem A[6,; která osách vymezuje úseky, jejichž součet je. [ y - = 0, 6z Určete pro které hodoty prmetru přímk ( ) ( 9)z ) je rovoěžá s osou, ) je rovoěžá s osou y, prochází počátkem. 8 = 0 Npište rovici těchto přímek. [ ) - y = 0 ) - 6 = 0; 8 = 0-6y = 0; - 8y = 0

19 . Jká je rovice přímky jdoucí odem A svírjící s osou úhel ϕ v přípdech: ) o A [6, ϕ = 60 [ z 6 = 0 ) A [, ϕ = o [ y = 0 A [0, ϕ = 0 o [ y 6 = 0 6. jká je rovice přímky, která prochází průsečíkem přímek y = 0, y = 0 je rovoěžá s přímkou y =. [ 6 y = 0 7. Jkou vzdáleost má od M [;7 od přímky určeé ody A [-, B [, - [d=6 8. Určete střed poloměr kružice ) y 6 0y = 0.[ S = [ ; r = 6 ) y 6y 7 = 0.[ S = [0 ; r = y y = 0 ;.. [ S = [; 0, r = 9. Njděte rovici kružice, která má střed v odě S [6, 7 dotýká se přímky y = 0. [ y y 9 = Stovte rovici kružice dotýkjící se dvou rovoěžých přímek y = 0 y = 0 [( ) (y ) = 0. Njděte vrchol ohisko proly. Nčrtěte! ) y 6y 7 = 0 ) y 6y 7 = 0 [ V = [, r = 6 [ S = [0 ; r = y y = 0 [ S = [; 0, r =

20 . Njděte souřdice středu velikosti poloos křivek. Nčrtěte! ) 6 0y 6 0y = 0 ) 9 6y 6 y 9 = 0 9 y 8 6y 9 = 0 d) 9y 8y 9 = 0 e) y 8 y = 0 [ elips S = [, = 6, = [ elips S = [, =, = [ hyperol S = [, =, = [ elips S = [, =, = [ hyperol S = [, =, = IX Kompleí čísl. Npište ve tvru i: ) ( i)( i) [ 7 i ) ( i )( i ) ( i ) [ 7 [ i d) e) ( i) [ 8 6 i ( i) ( i [ 6 ) i. Uprvte zlomek s reálým jmeovtelem: ) ) i i i i 7 i i i 7 i 0 9 7i i d) i i [ i

21 . Pro která reálá čísl,y pltí: ) ) ( i)( i ) = y i [ =,y = ( i) y( i) = i 8 [ = 6,y = ( i) ( i ) y i = ( i ) ( i) y [ emá řešeí d) i ( 6i) ( i) y = =,y = 0. Určete solutí hodotu dých kompleích čísel: ) i [ ) / ( i) / ( i) [ i [ d) ( i)( i ) [. Vyjádřete v goiometrickém tvru kompleího čísl: ) ( cos π / isi π / ) ) ( i ) [ [ i ( cosπ / isiπ / ) [ ( cosπ / isiπ / ) i [ ( cosπ / isiπ / ) d) i e) ( i) /( i) [ cosπ / siπ / 6. Určete kvdrtickou rovici, jejichž jede koře je: ) i/ ) i [ 7 0 = [ 0 =

22 7. Pomocí Moivreovy věty určete zázorete grficky: ) i π / kπ π / kπ cos isi ;k = 0,, ) 0 kπ 0 kπ cos isi ;k = 0,,, π kπ π kπ cos isi ;k = 0,,,, X Komitorik. Biomická vět.. Z kolik prvků lze vztvořit 0 vricí druhé třídy. [. Kolik tečích páru lze vytvořit z 8 mužů že. [ 70. Kolik způsoy můžeme vyrt z chlpců dívek volejlové mužstvo, mjíli v ěm ýt dívky? 0. Kolik způsoy lze vyrt ze 6 kdidátů do komise z ich? [ 0. Kolik růzých přirozeých čísel lze vytvořit z cifer 0,,,,, emá-li se žádá cifr v číslech opkovt? [ Kolik růzých převodů lze vytvořit sdou šesti ozueých koleček o růzém počtu zuů? [ 0 7. Zjedodušte vypočtěte: [ 6 7 ) ) [ 0 [ 6 [ 70 d) ( )!/ (! ) (!/ ) (! ) ( )!/! [

23 8. Řešte v ooru přirozeých čísel rovice: ) = ( 9) / 6 [ ) 6 = řešeí 0 [ emá = 6 [ 7 d) = 88 [ 6 9. Řešte v ooru přirozeých čísel erovice: ) ) < 0 > 0 [ [,,,,6,7 [ emá řešeí d) ( )! >! ( )! [ emá řešeí 0. Rozveďte pomocí iomické věty zjedodušte: ) ( ) ( [ y y) ( 0 y y ) ) ( i) [ ( i ) [ i

24 XI Poždvky zlosti středoškolské geometrie, potřeá ke studiu Plimetrie kostruktiví geometrie FS VŠB Vlstosti roviých orzců: trojúhelík, čtverce, kosočtverce, odélík, rovoěžík, lichoěžík, prvidelého mohoúhelík, výšek těžic trojúhelík: Kostrukce roviých orzců z dých prvků. Kružice, její teč, seč, eseč: Středový, úsekový ovodový úhel. Thletov vět. Možiy odů dé vlstostmi ( os úsečky, kruhový olouk, ). Pythgorov vět, Euklidovy věty. Shodost trojúhelíků, osová souměrost, středová souměrost, otáčeí rovoěžé posuutí, totožost. Podoost, stejolehlost. Mocost odu ke kružici. Kostrukce kružice z dých prvků: B,B,B; t,t,t; tt,b; t,t,b; tt,t; B,B,t; Příkldy: ) Je dá přímk p dv růzé ody A,B. sestrojte rovormeý trojúhelík, jehož zákld je AB vrchol C leží přímce p. ) Jsou dáy růzoěžky, od S. Sestrojte úsečku AB tk, y od S yl jejím středem. N přímce určete ody, z ichž je dou úsečkou vidět pod dým úhlem. d) Veďte tečy z odu A ke kružici k = (S,r). e) Veďte společé tečy dvou kružic ez použití stejolehlosti. f) Veďte společé tečy dvou kružic pomocí stejolehlosti. g) Jsou dáy dvě růzoěžky, s epřístupým průsečíkem od M, který eleží žádé z ich. Bod M spojte s epřístupým průsečíkem růzoěžek, (pomocí výšek trojúhelíku pomocí stejolehlosti). h) Sestrojte kružici, která prochází dým odem dotýká se dvou dých přímek. i) Do dého trojúhelík ABC vepište čtverec MNPQ tk, y MN AB, P BC, Q CA. j) Jsou dáy úsečky velikosti,. sestrojte úsečku délky = k) Sestrojte kružici procházející dým odem A dotýkjící se kružice k = (O,r) v odě T.

25 l) Sestrojte kružici, jsou-li dáy dvě její rovoěžé tečy t,t kružice k = (S,r), které se má hledá kružice dotýkt. m) Sestrojte kružici, která se dotýká dé přímky p v dém odě T prochází dým odem A p. ) Je dá přímk AB od C AB. Sestrojte kružici, která se dotýká přímky AB v odě A prochází odem C. o) Sestrojte prvidelý -úhelík (=,,,6), je-li dá: A) jeho střed vrchol B) jeho střed přímk, íž leží jed str XII Stereometrie Vzájemá poloh dvou přímek, přímky roviy, dvou rovi, tří rovi. Kritéri rovoěžosti přímky roviy, dvou rovi. Kolmost dvou přímek, přímky roviy, dvou rovi. Kritéri kolmosti přímky roviy, dvou rovi. Odchylk dvou přímek, přímky roviy, dvou rovi. Elemetárí těles, jejich vlstosti (krychle, hrol, jehl, válec, kužel koule).

1 - Integrální počet, výpočet obsahu plochy, objemu rotačního tělesa 1) Vypočítejte (integrace pomocí substituce): 1 a) c) x. + 4x

1 - Integrální počet, výpočet obsahu plochy, objemu rotačního tělesa 1) Vypočítejte (integrace pomocí substituce): 1 a) c) x. + 4x - Itegrálí počet, výpočet oshu plochy, ojemu rotčího těles ) Vypočítejte (itegrce pomocí sustituce): ) 9 d si( l ) ) d c) e d d) e d ) Vypočítejte (itegrce metodou per - prtes): l ) ( ) e d ) d c) ( )

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ, p. o. MATEMATIKA Ig. Rudolf PŠENICA 6 OBSAH:. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA... 5.. Zákldí možiové pojmy... 5.. Číselé možiy... 6.. Itervly... 6.. Absolutí

Více

Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost /65 /65 Obsh Obsh... Aritmetická posloupost.... Soustv rovic, součet.... AP - předpis... 5. AP - součet... 6. AP - prvoúhlý trojúhelík... 7. Součet čísel v itervlu... 8 Geometrická posloupost... 0. Soustv

Více

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že

Více

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K.

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K. Digitálí učeí mteriál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.080 Název projektu Zkvlitěí výuk prostředictvím ICT Číslo ázev šlo klíčové ktivit III/ Iovce zkvlitěí výuk prostředictvím ICT Příjemce podpor Gmázium,

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta Matematika přehled vzorců pro maturaty (zpracoval T. Jáský) Úpravy výrazů a r. a s = a r+s a r = ar s as a r s = a r.s a. b r = a r b r a b r = ar b r a. b a b = a b = a. b ( a) m = a m m a m. = a a k.

Více

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA .. MOCNINA A ODMOCNINA V této kpitole se dozvíte: jk je defiová oci s přirozeý, celý, rcioálí oecý reálý epoete jké jsou její vlstosti; jk je defiová přirozeá odoci, jké jsou její vlstosti jk se dá vyjádřit

Více

Posloupnosti a řady. Obsah

Posloupnosti a řady. Obsah Poslouposti řdy Poslouposti řdy Obsh. Poslouposti... 8. Úvod do posloupostí... 8. Aritmetická geometrická posloupost... 9. Limit poslouposti... 9. Řdy... 0. Nekoečá geometrická řd... 0 Strák 7 Poslouposti

Více

16. Kombinatorika ( 125;250;125 )

16. Kombinatorika ( 125;250;125 ) 6. Kombitorik Dlší dovedosti: - permutce s opkováím - kombice s opkováím (při mi.4-ti hod.dotci) - zákldí pojmy prvděpodobosti - důkzové úlohy zákldě biomické věty Možé mturití otázky: Vrice permutce Kombice

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

1. ZÁKLADY VÝROKOVÉ LOGIKY.

1. ZÁKLADY VÝROKOVÉ LOGIKY. . ZÁKLADY VÝROKOVÉ LOGIKY. Mturití opkováí.doc ) Mmik řekl Petrovi: Jestliže budeš hodý, dosteš dort. Jsou čtyři možosti: ) Petr byl hodý, dostl dort. b) Petr byl hodý, edostl dort. c) Petr ebyl hodý,

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n /9 POSLOUPNOSTI Zákldí pojmy: Defiice poslouposti Vlstosti poslouposti Určeí poslouposti Aritmetická posloupost Geometrická posloupost Užití poslouposti. Defiice poslouposti Př. Sestrojte grf fukce y =.x

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t. ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

Sbírka maturitních příkladů z matematiky. Mgr. Marie Kubíčková Mgr. Radek Nowak

Sbírka maturitních příkladů z matematiky. Mgr. Marie Kubíčková Mgr. Radek Nowak Sírk mturitích příkldů z mtemtik Mgr Mrie Kuíčková Mgr Rdek Nowk Úprv výrzů Uprvte udejte podmík eistece výrzů ( ) ( ) ( ) : ( ) ( ) 7 : 8 m m m m 9 ( ) 7 : si cos cos si cos si si cos Fukce Určete defiičí

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

8.2.7 Geometrická posloupnost

8.2.7 Geometrická posloupnost 87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob

Více

9. Racionální lomená funkce

9. Racionální lomená funkce @ 9. Rcioálí loeá fukce Defiice: Nechť P je poloická fukce -tého stupě... ) ( P kde R... A echť Q je poloická fukce -tého stupě... ) ( Q kde R... Rcioálí loeá fukce R je dá podíle ) ( ) ( ) ( Q P R pro

Více

množina všech reálných čísel

množina všech reálných čísel /6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,

Více

14 Kuželosečky v základní poloze

14 Kuželosečky v základní poloze 4 Kuželosečk v zákldní poloze Následující tet 4 7 se týkjí geometrie v rovině. Až dosud jsme studovli útvr lineární (v nltickém vjádření l vžd proměnné,, z v první mocnině). Nní se udeme zývt některými

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

Komplexní čísla, komplexně sdružená čísla, opačná komplexní čísla, absolutní hodnota (modul) komplexního čísla. z 2 z 1

Komplexní čísla, komplexně sdružená čísla, opačná komplexní čísla, absolutní hodnota (modul) komplexního čísla. z 2 z 1 Komplexí čísla, komplexě sdružeá čísla, opačá komplexí čísla, absolutí hodota (modul) komplexího čísla Defiice komplexího čísla Komplexí číslo je uspořádaá dvojice reálých čísel = (, ) (, ). je reálá,

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

8. Elementární funkce

8. Elementární funkce Moderí techologie ve studiu plikové fzik CZ.1.07/2.2.00/07.0018 8. Elemetárí fukce Historie přírodích věd potvrzuje, že většiu reálě eistujících dějů lze reprezetovt mtemtickými model, které jsou popsá

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte: 6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece

Více

Cílem kapitoly je zavedení význačných pojmů pro matice, jejichž znalost je nutná, mimo jiné, pro řešení soustav lineárních rovnic.

Cílem kapitoly je zavedení význačných pojmů pro matice, jejichž znalost je nutná, mimo jiné, pro řešení soustav lineárních rovnic. Mtemtik I část I Cíle Cílem kpitoly je zvedeí výzčýh pojmů pro mtie jejihž zlost je utá mimo jié pro řešeí soustv lieáríh rovi Předpokládé zlosti Předpokldem dorého zvládutí látky je zejmé zlost opere

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATIKY

SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATIKY SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATIKY . Proměnná, výroky, množiny Dlší dovednosti znlosti: - hypotéz - tutologie - kvntifikátory kvntifikovné výroky - výrokový form - druhy mtemtických vět - oměn, negce, orácení

Více

Opakovací test. Posloupnosti A, B

Opakovací test. Posloupnosti A, B VY INOVACE_MAT_189 Opkovcí test Poslouposti A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvořeí: prosiec 01 Ročík: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzděláváí Předmět: mtemtik, příprv k mturitě, příprv VŠ, opkováí,

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor . LINEÁRNÍ LGEBR Vektorový prostor.. Defiice Nechť V e moži které sou defiováy operce sčítáí + : t. zobrzeí V V V ásobeí i : t zobrzeí R V V. Možiu V zýváme vektorovým prostorem, sou-li splěy ásleduící

Více

Střední škola obchodu, řemesel, služeb a Základní škola, Ústí nad Labem, příspěvková organizace Vzdělávací středisko Trmice

Střední škola obchodu, řemesel, služeb a Základní škola, Ústí nad Labem, příspěvková organizace Vzdělávací středisko Trmice Střední škol ohodu, řemesel, služe Zákldní škol, Ústí nd Lem, příspěvková orgnize Vzděláví středisko Trmie MATURITNÍ TÉMATA Předmět: Mtemtik Oor vzdělání: Ekonomik podnikání Školní rok: 0/06 Tříd: EKP

Více

2 Základní poznatky o číselných oborech

2 Základní poznatky o číselných oborech Zákldí poztky o číselých oorech Mozí lidé jsou evědoí je proto, že vycházejí z pojů, které jsou podle tetických ěřítek epřesé (Sokrtes). Přirozeá čísl Přirozeá čísl ozčují počet prvků koečých oži. Kždé

Více

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+ Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

a) 5.3 + 12 26 [výrok, 1] b) Kolik je hodin? [není výrok] c) 2x + 3 0 [výroková forma] d) [výrok, 0] e) Pro každé reálné číslo x platí sin x 1

a) 5.3 + 12 26 [výrok, 1] b) Kolik je hodin? [není výrok] c) 2x + 3 0 [výroková forma] d) [výrok, 0] e) Pro každé reálné číslo x platí sin x 1 . Výroková logik. Určete, které zápisy předstvují výroky, které hypotézy, které výrokové formy které nejsou výroky. U výroků určete prvdivostní hodnotu. ). 6 [výrok, ] Kolik je hodin? [není výrok] c) 0

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici

Více

2.cvičení. 1. Polopřímka: bod O dělí přímku na dvě navzájem opačné polopřímky.

2.cvičení. 1. Polopřímka: bod O dělí přímku na dvě navzájem opačné polopřímky. 2.cvičení 1. Polopřímk: od O dělí přímku n dvě nvzájem opčné polopřímky. Úsečk: průnik dvou polopřímek,. Polorovin: přímk dělí rovinu n dvě nvzájem opčné poloroviny. Úhel: průnik polorovin (pozor n speciální

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Výraz. podmínky (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) 2 011 (E) Taková čísla neexistují. Počet všech přirozených čísel, která vyhovují

Výraz. podmínky (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) 2 011 (E) Taková čísla neexistují. Počet všech přirozených čísel, která vyhovují . Posloupnost ( ) =, n+ = 3 =, n+ n = 3 3 =, n+ = = 3, n+ = n +. = = n+ 3, 3n + n je totožná s posloupností: n n n = Dvid hrje kždý všední den fotbl v sobotu i v neděli chodí do posilovny. Dnes se sportovně

Více

je pravoúhlý BNa ose y najděte bod, který je vzdálený od bodu A = [ 4;

je pravoúhlý BNa ose y najděte bod, který je vzdálený od bodu A = [ 4; 1 BUAnlytická geometrie - bod, souřdnice bodu, vzdálenost bodů 11 1BRozhodněte, zd trojúhelník s vrcholy A [ ; ], B [ 1; 1] C [ 11; 6] je prvoúhlý 1 1BN ose y njděte bod, který je vzdálený od bodu A [

Více

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů .8. Mohočley, sčítáí odčítáí mohočleů Předpokldy: 7 Mohočle = zvláští typ výrzů. Jk je pozáme? Mohočley obshují pouze přirozeé mociy ezámých (jedé ebo více) kostty. Př. : Rozhodi, které z ásledujících

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

f B 6. Funkce a posloupnosti 3 patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3. [všechny] 1) Rozhodněte, která z dvojic [ ;9][, 0;3 ][, 2;7]

f B 6. Funkce a posloupnosti 3 patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3. [všechny] 1) Rozhodněte, která z dvojic [ ;9][, 0;3 ][, 2;7] 6. Fukce a poslouposti ) Rozoděte, která z dvojic [ ;9[, 0; [, ; patří fukci daé předpisem y +. [všecy ) Auto má spotřebu 6 l beziu a 00 km. Na začátku jízdy mělo v plé ádrži 6 l beziu. a) Vyjádřete závislost

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

Opakování ke státní maturitě didaktické testy

Opakování ke státní maturitě didaktické testy Číslo projektu CZ..7/../.9 Škol Autor Číslo mteriálu Název Tém hodiny Předmět Ročník/y/ Anotce Střední odborná škol Střední odborné učiliště, Hustopeče, Msrykovo nám. Mgr. Rent Kučerová VY INOVACE_MA..

Více

Geometrie. Mgr. Jarmila Zelená. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Geometrie. Mgr. Jarmila Zelená. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Geometrie Mgr. Jrmil Zelená Gymnázium, SOŠ VOŠ Ledeč nd Sázvou Výpočty v prvoúhlém trojúhelníku VY_3_INOVACE_05_3_1_M Gymnázium, SOŠ VOŠ Ledeč nd Sázvou PRAVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK 1 Pojmy oznčení:,.odvěsny

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

Výpočet obsahu rovinného obrazce

Výpočet obsahu rovinného obrazce Výpočet oshu rovinného orzce Pro výpočet oshu čtverce, odélník, trojúhelník, kružnice, dlších útvrů, se kterými se můžeme setkt v elementární geometrii, máme k dispozici vzorce Kdchom chtěli vpočítt osh

Více

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e P t r i k K v e c k ý M e d e l o v o g y m á z i u m v O p v ě S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i

Více

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl Středí průmyslová škol sdělovcí techiky Pská 3 Prh Jroslv Reichl, 00 Jroslv Reichl OBSAH Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Poslouposti jejich vlstosti 3 Pojem posloupost 3 Připomeutí fukcí 3 Defiice poslouposti

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ Předmět: Ročík: Vytvořil: Dtum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR JÜTTNEROVÁ Název zprcového celku: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST Defiice: Poloupot e zývá geometrická právě tehdy, když

Více

Obsah rovinného obrazce

Obsah rovinného obrazce Osh rovinného orzce Nejjednodušší plikcí určitého integrálu je výpočet oshu rovinného orzce. Zčneme větou. Vět : Je-li funkce f spojitá nezáporná n n orázku níže roven f ( ) d. ;, je osh rovinného orzce

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je

Více

a a Posloupnost ( ) je totožná s posloupností: (A) 9 (B) 17 (C) 21 (D) 34 (E) 64 (B) (C) (E)

a a Posloupnost ( ) je totožná s posloupností: (A) 9 (B) 17 (C) 21 (D) 34 (E) 64 (B) (C) (E) . Když c + d + bc + bd = 68 c+ d = 4, je + b+ c+ d rovno: 9 7 34 64 4. Posloupnost ( ) =, n+ = 3 =, n+ n = 3 3 =, n+ = = 3, n+ = n + 3n + n je totožná s posloupností: n n =. n+ = 3, = n Povrch rotčního

Více

KVADRATICKÁ FUNKCE (vlastnosti, grafy)

KVADRATICKÁ FUNKCE (vlastnosti, grafy) KVADRATICKÁ FUNKCE (vlstnosti, gr) Teorie Kvdrtikou unkí se nzývá kždá unke dná předpisem ; R,, R; D( ) je proměnná z příslušného deiničního ooru unke (nejčstěji množin R),, jsou koeiient kvdrtiké unke,

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

Maturitní témata z Matematiky

Maturitní témata z Matematiky Mturitní témt z Mtemtik. Výrz jejich úprv. Lineární rovnice nerovnice, lineární rovnice s prmetrem. vdrtická rovnice nerovnice, kvdrtická rovnice s prmetrem. Rovnice nerovnice v součinovém podílovém tvru.

Více

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců.

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců. 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jký by byl

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

8.2.6 Geometrická posloupnost

8.2.6 Geometrická posloupnost 8.. Geometricá posloupost Předpoldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogicá pozám: V hodiě rozdělím třídu dvě supiy ždá z ich dělá jede z prvích dvou příldů. Př. : Poločs rozpdu (dob z terou se rozpde polovi existujícího

Více

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420 Šblony Mendelov střední škol, Nový Jičín NÁZEV MATERIÁLU: Trojúhelník zákldní pozntky Autor: Mgr. Břetislv Mcek Rok vydání: 2014 Tento projekt je spolufinncován

Více

9. Planimetrie 1 bod

9. Planimetrie 1 bod 9. Plnimetrie 1 bod 9.1. Do rovnostrnného trojúhelníku ABC o strně je vepsán rovnostrnný trojúhelník DEF tk, že D AB, E BC, F CA. Jestliže obsh trojúhelníku DEF je roven polovině obshu trojúhelníku ABC,

Více

Funkce jedné proměnné

Funkce jedné proměnné Funkce jedné proměnné Lineární funkce f: y = kx + q, D f = R, H f = R, grf je přímk množin odů [x, y], x D f, y = f(x) q úsek n ose y, tj. od [0, q], k směrnice, k = tn φ = 2 2 1 1, A[ 1, 2 ], B[ 1, 2

Více

Marie Dostálová Eliška Gardavská Radka Hamříková Věra Janků Miloslava Tannenbergová

Marie Dostálová Eliška Gardavská Radka Hamříková Věra Janků Miloslava Tannenbergová VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA ZÁKLADY MATEMATIKY Mrie Dostálová Elišk Grdvská Rdk Hmříková Věr Jků Miloslv Tebergová Vtvořeo v rámci projektu Operčího progrmu Rozvoje lidských zdrojů

Více

( ) ( ) Úpravy algebraických výrazů. Mocniny a odmocniny. a a. b b. b a 1 = 1, ( 1) = 1, ( 1) = 1

( ) ( ) Úpravy algebraických výrazů. Mocniny a odmocniny. a a. b b. b a 1 = 1, ( 1) = 1, ( 1) = 1 Úrvy lgebrických výrzů Mociy odmociy Pro kždé reálé r, s kždé > 0, b > 0 (res ro kždé celé r, s kždé 0, b 0 ltí: r 0 s rs, r r ( b b r r r r s r+ s b b r s rs b : b Dále ltí +, (, ( Je-li N, 0, eistuje

Více

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b 008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

ZPG Křivky. Hermitova interpolace. Fergusonovy křivky (3) Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět

ZPG Křivky. Hermitova interpolace. Fergusonovy křivky (3) Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět ZPG Křivk. Hermitov iterpolce. Fergusoov křivk (). KŘIVKY A PLOCHY Cíl Po prostudováí této kpitol budete umět defiovt iterpolčí proximčí křivk pro dé bod defiovt ploch z dých prvků plikovt křivk ploch

Více

Matematika II: Testy

Matematika II: Testy Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit

Více

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Příklad 1: Je dána kružnice k(o,r) a bod M ležící uvnitř kružnice k. Bodem M veďte tětivu AB, jejíž délka je bodem M rozdělena v poměru 2 : 1. Sestrojte obraz

Více

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0 Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny

Více

Funkční řady. 3. Kovové pásmo, napínané na obou koncích, se prověsí do řetězovky x Určete funkci s(x), x D

Funkční řady. 3. Kovové pásmo, napínané na obou koncích, se prověsí do řetězovky x Určete funkci s(x), x D Fukčí řdy. Těžké dokole ohebé epružé pásmo jehož průřez se měí tk že proti přetržeí klde stálý odpor po zvěšeí zujme tvr řetězovky stálé pevosti. Řetězovk je vyjádře rovicí ( ) = l cos >. Určete deiičí

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

Otázky. má objem V v. Orientace

Otázky. má objem V v. Orientace Gymnázium F X Šldy v Liberci: Mturitní otázky z mtemtiky Výroky operce s nimi vyučující:vítězslv Pěničk Účst Aleny, Báry, Cyril Dvid n koncertě skupiny PINK FLOYD je vázán těmito podmínkmi: Přijde spoň

Více

skripta MZB1.doc 8.9.2011 1/81

skripta MZB1.doc 8.9.2011 1/81 skript MZB.doc 8.9. /8 skript MZB.doc 8.9. /8 Osh Osh... Zlomk... Dělitelnost v množině přirozených čísel... Trojčlenk... 9 Výrz s mocninmi s celočíselným eponentem ()... Výrz s mocninmi s rcionálním eponentem...

Více

. Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim 2015

. Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim 2015 . Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim 0 František Mráz Ústav technické matematiky, Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz I. Mocniny, odmocniny, algeraické výrazy Upravte (zjednodušte), případně určete číselnou

Více

MATEMATIKA PRO EKONOMY

MATEMATIKA PRO EKONOMY VYSOKÁ ŠKOLA POLYECHNICKÁ JIHLAVA Ktedr mtemtik MAEMAIKA PRO EKONOMY Rdek Stolí 8 Recezovl: doc RNDr Ev Věčková CSc Mgr Adre Kubišová Z jzkovou věcou správost obshu díl odpovídá utor et eprošel jzkovou

Více

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t 7. EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE 7.. Řeš v R rovnice: ) 5 b) + c) 7 0 d) ( ) 0,5 ) 5 7 5 7 K { } c) 7 0 K d) ( ) b) + 0 + 0 K ( ) 5 0 5, 7 K { 5;7} Strtegie: potřebujeme zíkt tkový tvr rovnice, kd je n obou trnách

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...

Více

Přehled vzorců z matematiky

Přehled vzorců z matematiky ) Výz: Přehled vzoů z tetik ( + ) + + ( ) + ( + ) ( ) ( + ) + + + ( ) + ( ) ( ) + + + ( ) ( ) + + ) Moi:....... s + s (. ). s ( ) s s.s ) Odoi: ( ).p... p ( ). 4) Kvdtiká ovie: 5) Kopleí čísl: + + 0 kde

Více

PROCVIČOVÁNÍ K MATURITĚ Z MATEMATIKY (PRO SP a DN)

PROCVIČOVÁNÍ K MATURITĚ Z MATEMATIKY (PRO SP a DN) PROCVIČOVÁNÍ K MATURITĚ Z MATEMATIKY (PRO SP DN). Objem povrch těles. Mocnin s celým eponentem. Odmocnin, mocnin s rcionálním eponentem. Algebrické výrz. Lineární rovnice. Soustv lineárních rovnic o dvou

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ 11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled řijímcí řízení k. r. / Kompletní znění testových otázek - mtemtický přehled Koš Znění otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správná odpověď. Které číslo doplníte místo otzníku? 8?. Které číslo

Více