Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Transkript

1 Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky, tutologie, možiy rovost, podmoži, sjedoceí, průik, rozdíl moži Veovy digrmy, itervly reálých čísel II Úprvy lgerických výrzů, zlomky, rozkld kvdrtického trojčleu, mociy se záporým epoetem, mociy s rcioálím epoetem, odmociy, děleí mohočleu mohočleem. III Fukce, jejich defiičí oory, vlstosti grfy: lieárí, kvdrtické, lieárí lomeé, goiometrické, epoeciálí logritmické. IV Rovice erovice o jedé ezámé lieárí, kvdrtické, s solutí hodotou, s prmetrem, ircioálí soustvy rovic erovic. V Logritmy, logritmické epoeciálí rovice. VI Goiometrické výrzy, rovice jedoduché erovice. VII Poslouposti rekuretí určeí poslouposti, ritmetická geometrická posloupost, ekoečá geometrická řd. VIII Alytická geometrie lieárích kvdrtických útvrů: vektory souřdice, zákldí operce, sklárí souči, přímk v rovice prmetrické rovice, oeá rovice, směricový úsekový tvr oecé rovice přímky, odchylk dvou přímek, rovi v prostoru prmetrické rovice, oecá rovice její úsekový tvr, kuželosečky defiice, zákldí vlstosti, rovice kuželosečky v zákldí posuuté poloze. IX Kompleí čísl sčítáí, ásoeí, děleí lgerický goiometrický tvr, Moivreov vět. X Komitorik fktoriál, komičí čísl, komice, permutce vrice, iomická vět.

2 I Zákldí poztky z logistiky teorie moži. Jsou dáy možiy {,,,7,,6 },B = {,,7, },C {,6,,9} A = = Určete A [{,,,,7,,,6} A [{,,6,7,,,9} [{,,,,6,7,,,6,9} [{,7} A [{,} [{ } ) B ) C A B C d) A B e) C f) A B C. Jsou dáy možiy A = { R : < }, B = { R : } Zpište možiy A,B,A B,A B pomocí itervlů A =< ;) B = ( ; > < ; ) A B = ( ; > < ; ) A B =< ;) [. Jsou dáy možiy A { 0;; } B =< ;) ) A B ) B A B d) A e) črtěte AB =. Určete: [, A [{ 0, } [{ } B [(,0 ) ( 0,). Je dá moži A = {,,0,,,}. Zázorěte grficky iárí relce: ) R = {(,y) AA, > y} ) S = {(,y AA, y < ) } T = R S. Užitím Veových digrmů rozhoděte, zd pro liovolé podmožiy A,B,C dé zákldí možiy pltí: [ pltí B = A [ epltí A B = A C C B [ pltí ) ( A B) B = A B ) A B C ( ) ( ) ( )

3 6. Rozhodi o prvdivosti těchto výroků ) číslo je kořeem rovice 9 = 0 právě tehdy, když 9 = ) číslo 7 je meší ež číslo 0 tehdy je tehdy, když číslo 8 je meší ež číslo 7. Řešte tulkovou prvdivost ásledujících výrokových formulí: ) ( A B) ( A B) ) ( A B) ( A B) [( X Y) Y X Určete, které z ich jsou tutologiemi. II Úprv lgerických výrzů. Vypočtěte: ) y z t y 6 z t 6 ) y : y [ 8. Určete ejmeší společý ásoek mohočleů: ) [,,6 6 0 ( ) ) ( c )( c )(, ( )(, )( [( ( ( )

4 . Proveďte děleí: ) ( ) ( ) : 6 ( ) ) ( ) ( ) : ( ) 6 ( ) ( ) : 6 ( ). Uprvte stovte podmíky: ) 0, ) [ 0,, > 6 [ 0, > d) ( ) ( ) ( ) ( ) : [, ± e) t t t t t t t t >,t t t

5 . Uprvte lgerické výrzy: ) ( ) ± 0,, ) : ± 0,, [ 0, 0,, d) ) ( [ 0 0,,, e) 0 0,, > > f) y y y y ± y 0, 0,y, y g) ( ) ± 0,,, h) [ 0 0,, > > i) [ 0, >

6 6. Zjedodušte udejte podmíky eistece výrzů: ) ( ) [ 0,, ) ±,, 6 m m m m 0,m 0,,m m m d) 0, 0,, > e) 0.,,, ), /( 7. Rozložte součiy,resp. Uprvte kráceím: ) ( )( ) [ ) ( ) ( ) [ 0, 0 7,, d) 0 7 6,, e) ( )( ),, III Fukce

7 . Do téže soustvy souřdic črtěte grfy fukcí vyzčte důležité ody (průsečíky s osmi y, vrcholy pod.) ) y = y = y = ( ) y = ( ) ) y = y = y = y = y = y = d) y = y = y = e) y = y = y = f) y = y = log g) y = log y = log y = log( ) h) = log y = log = log y y i) y = si y = si y = si pro π, π j) y = tg y = tg y = tg pro π, π k) y = cot g y = cot g y = cot g pro 0, π l) y = cos y = cos y = cos y = cos pro 0, π. Určete defiičí oor fukce:

8 ) y = [(, ) (, ) ) y = 9 [, ( ) [ y = (, ) ( 0, ) cos d) y = si e) y log( [(, ) = ) [(, ) = ) [(, ) (, ) f) y log(. Určete defiičí oor fukce: ) ) y = log l y = le [(, ) [( 0,) (, ) [ y = l ( 0, ) y = [(, ) d) ll e) y = ll si [ 0 IV Rovice erovice

9 . Řešte rovice: 8 ) = [ ) y 7y 8 y 8 y y y = y [ emá řešeí =, 0 je prmetr, 7 d) =,, jsou prmetry [,. Pro která, resp. y je splě erovice: ) ( y ) ( y 6) > 8y [(, ) 8 ) 0 6 [(, ) ( 6, ). Řešte erovice: ) 0 ) < [ [(, 7) (, ). Řešte erovice: ) < (, ), ) [(, ) (, ) y y y [(,) ( 8, )

10 . Pro která m má rovice ( ) m [(, ) (, ) ) = koře větší ež o kořey záporé [ m > ) m m = 6. Zjistěte, která, resp. y vyhovují erovici: v ooru přiroz. čísel [,,..., ) y 9 > y ) <, [ kzde rle cislo y y d) > v ooru celých čísel [,,0, 7. Vyřešte rovice erovice: ) 7 = [(, > ) y y = [(, ) y y < y [ emá řešeí d) [ kzde rele cislo e) f) 0 > 6,,

11 8. Řešte v R, je ezámá,, m jsou prmetry: ) = 0 [pro =0 je rovice splě pro jkékoliv 0, 0 má rovice jedo řešeí =- ) 0 m m m m = [pro m ±, eistuje jedié řešeí m m =, pro m=- rovice emá řešeí m 9. V RR příp.rrr řešte soustvy rovic jiou metodou ež doszovcí: ) y y = 0, = [( 6,9) 7 ) =, = y y, py =, ( p ) py = p, 6p p ( 6p),pro p,p 0 6 d) y z = =, = y z [(,,0 ) [(,, ) e) y =, z =,y z = 0 0. Řešte soustvy rovic: [(,)(, )(, )(, ) ) y = 7,y = [(, )(, ) ) y y = 7, y = y = y, y = y [(, )(, )

12 . Která reálá čísl vyhovují rovici: 7 ) 9 = 7 ) ( ) ( ) ( ) = ( ) 8 = d) = [ [ emá řešeí e) 9 = f) (, >. Která přirozeá čísl vyhovují erovicím: ) < ( ) < [,,6 ) [. Grficky vyřešte soustvu erovic:...které dvojice přirozeých čísel vyhovují? [(,, )(, ) ) y 6 0, y 6 0 ) y < 6, 6y > 7 > [(, )(,0 )(,0 )(, ) y, y Které dvojice celých čísel vyhovují?

13 . Řešte rovice: ) 6 = 0, je-li jede z kořeů číslo ( i) ) 8 0 = 0, jestliže má koře,, [ i, i,, V Logritmy. Logritmické epoeciálí rovice. Stovte z tk, y ) log z = [ ) log z 00 = [ 0 log z 0,000= 00. Určete: ) log [ ) log 8 [ log d) log [. Co je větší [ ) log eo log 7 log 7 ) log eo log 7 [ log

14 . Zjedodušte výrz: ) log log loge log( ) e log 000, >, > 0 00 log, > 0, >,c > c ) log log log( c ) log( ). Určete výrz, jehož logritmováím dosteme: logc ) ( log log) log( ) ( ) ( ) c, >, > 0,c > 0 logc ) log ( ) ( logc log) ( ) c c, >, > 0,c > 0 6. Určete všech řešeí rovic v ooru reálých čísel: [ 9 ) log( ) log( ) = log 8 log ) = log( ) [. log [ 00, logy log log y = ; = 6 0 [ d) log( ) log( ) = 0 [ e) log ( ) log( ) = 0 log( ) f) = log log ( ) [ emá řešeí 7. Řešte rovice: ) 7 = 8 7

15 ) = = [,7... y y y d) 8 =, =, VI Goiometrické výrzy, rovice erovici. Zjistěte, kdy pltí erovice: ) tg π π < kπ, kπ),k celé 7π π ) si y < 0. y kπ, kπ,k celé 6 6 π π π π cos α < ε < k, k ),k celé 6 6 β d) cot g < π β kπ, ( k ) π,k celé. Dokžte, že pro úhel pltí: cos cot g ) = si cot g ) tg = cos tg si Npište podmíky pro. π k π k. Zjedodušte dé výrzy určete, kdy jsou reálé: ) si cos π si cos, k cos

16 ) tg cot g cos α siα siα cos α π, k π tgα, α k d) siα siα cos α si, α α π kπ. Řešte rovice: ) tg = cot g π ± kπ π ) si = si = kπ, ± kπ [ = 0 k60,0 k60,70 k60 si cos si = 0 [ = 6 9 k80, k80 d) tg cot g = [ = k80,60 k80 e) si si cos = 0 f) si cos = [ = k60,60 k70,00 k70 g) si 7 si cos 6cos = 0 ˇ [ = 80 k80, k80. Vypočítejte stru osh prvidelého pětiúhelík ) Vepsého [ = r siα,p =,r siα, α = 6 ) Opsého kružici o poloměru r [ = rtgα,p = r tgα, α = 6

17 6. Určete velikost všech úhlů str trojúhelík, pro který pltí: ) = 0, = 0, = α [ β = 90, γ = 60,c = ) [ β = γ = 60, = α = 60,c = = 6 6 α [ emá řešeí = 0, = = VII Poslouposti. Vypočtěte žádé prvky ritmetické poslouposti ), =,s = 6, =?,? d = = [ = 8, = 99 ) [ 0 =,d = = 6,s = 9, =?,d? 0 0 =. Určete ritmetickou posloupost, u které pltí: 6 = 7 [ =,d = =. Stry prvoúhlého trojúhelík tvoří ritmetickou posloupost. Delší odvěs o = 7 je. Vypočtěte ovod trojúhelík. [. Určete q u geometrické poslouposti, u íž pltí: ) = = 8 =,q =, = 08,q = ) = 6 = s = [ =,q =, = 0. Stovte tkové číslo, y zvětšeo postupě o 7, 7 dlo tři po soě jdoucí čley geometrické poslouposti. [ 9 6. U geometrické poslouposti reálých čísel je součet prvích čtyř čleů =,q =, =,q =,dlších čtyř 0. Určete tuto posloupost: [

18 7. Řešte rovice ) =... 0 [ 6, ) =..., 7 =..., 8. Je dá čtverec o strě. Spojice středů jeho str tvoří opět čtverec, spojice středů ového čtverce tvoří opět čtverec td. Které mezi se líží součet oshů těchto čtverců? [ VIII Alytická geometrie. V trojúhelíku ABC ( A[;-, B[;6, C[-;0 ) jděte rovici těžiště z odu C. [ - y = 0. jké úseky tvoří osách souřdic přímk jdoucí ody A[;,; B[-,-. [p = -, q =. Určete rovici přímky jdoucí odem A[6,; která osách vymezuje úseky, jejichž součet je. [ y - = 0, 6z Určete pro které hodoty prmetru přímk ( ) ( 9)z ) je rovoěžá s osou, ) je rovoěžá s osou y, prochází počátkem. 8 = 0 Npište rovici těchto přímek. [ ) - y = 0 ) - 6 = 0; 8 = 0-6y = 0; - 8y = 0

19 . Jká je rovice přímky jdoucí odem A svírjící s osou úhel ϕ v přípdech: ) o A [6, ϕ = 60 [ z 6 = 0 ) A [, ϕ = o [ y = 0 A [0, ϕ = 0 o [ y 6 = 0 6. jká je rovice přímky, která prochází průsečíkem přímek y = 0, y = 0 je rovoěžá s přímkou y =. [ 6 y = 0 7. Jkou vzdáleost má od M [;7 od přímky určeé ody A [-, B [, - [d=6 8. Určete střed poloměr kružice ) y 6 0y = 0.[ S = [ ; r = 6 ) y 6y 7 = 0.[ S = [0 ; r = y y = 0 ;.. [ S = [; 0, r = 9. Njděte rovici kružice, která má střed v odě S [6, 7 dotýká se přímky y = 0. [ y y 9 = Stovte rovici kružice dotýkjící se dvou rovoěžých přímek y = 0 y = 0 [( ) (y ) = 0. Njděte vrchol ohisko proly. Nčrtěte! ) y 6y 7 = 0 ) y 6y 7 = 0 [ V = [, r = 6 [ S = [0 ; r = y y = 0 [ S = [; 0, r =

20 . Njděte souřdice středu velikosti poloos křivek. Nčrtěte! ) 6 0y 6 0y = 0 ) 9 6y 6 y 9 = 0 9 y 8 6y 9 = 0 d) 9y 8y 9 = 0 e) y 8 y = 0 [ elips S = [, = 6, = [ elips S = [, =, = [ hyperol S = [, =, = [ elips S = [, =, = [ hyperol S = [, =, = IX Kompleí čísl. Npište ve tvru i: ) ( i)( i) [ 7 i ) ( i )( i ) ( i ) [ 7 [ i d) e) ( i) [ 8 6 i ( i) ( i [ 6 ) i. Uprvte zlomek s reálým jmeovtelem: ) ) i i i i 7 i i i 7 i 0 9 7i i d) i i [ i

21 . Pro která reálá čísl,y pltí: ) ) ( i)( i ) = y i [ =,y = ( i) y( i) = i 8 [ = 6,y = ( i) ( i ) y i = ( i ) ( i) y [ emá řešeí d) i ( 6i) ( i) y = =,y = 0. Určete solutí hodotu dých kompleích čísel: ) i [ ) / ( i) / ( i) [ i [ d) ( i)( i ) [. Vyjádřete v goiometrickém tvru kompleího čísl: ) ( cos π / isi π / ) ) ( i ) [ [ i ( cosπ / isiπ / ) [ ( cosπ / isiπ / ) i [ ( cosπ / isiπ / ) d) i e) ( i) /( i) [ cosπ / siπ / 6. Určete kvdrtickou rovici, jejichž jede koře je: ) i/ ) i [ 7 0 = [ 0 =

22 7. Pomocí Moivreovy věty určete zázorete grficky: ) i π / kπ π / kπ cos isi ;k = 0,, ) 0 kπ 0 kπ cos isi ;k = 0,,, π kπ π kπ cos isi ;k = 0,,,, X Komitorik. Biomická vět.. Z kolik prvků lze vztvořit 0 vricí druhé třídy. [. Kolik tečích páru lze vytvořit z 8 mužů že. [ 70. Kolik způsoy můžeme vyrt z chlpců dívek volejlové mužstvo, mjíli v ěm ýt dívky? 0. Kolik způsoy lze vyrt ze 6 kdidátů do komise z ich? [ 0. Kolik růzých přirozeých čísel lze vytvořit z cifer 0,,,,, emá-li se žádá cifr v číslech opkovt? [ Kolik růzých převodů lze vytvořit sdou šesti ozueých koleček o růzém počtu zuů? [ 0 7. Zjedodušte vypočtěte: [ 6 7 ) ) [ 0 [ 6 [ 70 d) ( )!/ (! ) (!/ ) (! ) ( )!/! [

23 8. Řešte v ooru přirozeých čísel rovice: ) = ( 9) / 6 [ ) 6 = řešeí 0 [ emá = 6 [ 7 d) = 88 [ 6 9. Řešte v ooru přirozeých čísel erovice: ) ) < 0 > 0 [ [,,,,6,7 [ emá řešeí d) ( )! >! ( )! [ emá řešeí 0. Rozveďte pomocí iomické věty zjedodušte: ) ( ) ( [ y y) ( 0 y y ) ) ( i) [ ( i ) [ i

24 XI Poždvky zlosti středoškolské geometrie, potřeá ke studiu Plimetrie kostruktiví geometrie FS VŠB Vlstosti roviých orzců: trojúhelík, čtverce, kosočtverce, odélík, rovoěžík, lichoěžík, prvidelého mohoúhelík, výšek těžic trojúhelík: Kostrukce roviých orzců z dých prvků. Kružice, její teč, seč, eseč: Středový, úsekový ovodový úhel. Thletov vět. Možiy odů dé vlstostmi ( os úsečky, kruhový olouk, ). Pythgorov vět, Euklidovy věty. Shodost trojúhelíků, osová souměrost, středová souměrost, otáčeí rovoěžé posuutí, totožost. Podoost, stejolehlost. Mocost odu ke kružici. Kostrukce kružice z dých prvků: B,B,B; t,t,t; tt,b; t,t,b; tt,t; B,B,t; Příkldy: ) Je dá přímk p dv růzé ody A,B. sestrojte rovormeý trojúhelík, jehož zákld je AB vrchol C leží přímce p. ) Jsou dáy růzoěžky, od S. Sestrojte úsečku AB tk, y od S yl jejím středem. N přímce určete ody, z ichž je dou úsečkou vidět pod dým úhlem. d) Veďte tečy z odu A ke kružici k = (S,r). e) Veďte společé tečy dvou kružic ez použití stejolehlosti. f) Veďte společé tečy dvou kružic pomocí stejolehlosti. g) Jsou dáy dvě růzoěžky, s epřístupým průsečíkem od M, který eleží žádé z ich. Bod M spojte s epřístupým průsečíkem růzoěžek, (pomocí výšek trojúhelíku pomocí stejolehlosti). h) Sestrojte kružici, která prochází dým odem dotýká se dvou dých přímek. i) Do dého trojúhelík ABC vepište čtverec MNPQ tk, y MN AB, P BC, Q CA. j) Jsou dáy úsečky velikosti,. sestrojte úsečku délky = k) Sestrojte kružici procházející dým odem A dotýkjící se kružice k = (O,r) v odě T.

25 l) Sestrojte kružici, jsou-li dáy dvě její rovoěžé tečy t,t kružice k = (S,r), které se má hledá kružice dotýkt. m) Sestrojte kružici, která se dotýká dé přímky p v dém odě T prochází dým odem A p. ) Je dá přímk AB od C AB. Sestrojte kružici, která se dotýká přímky AB v odě A prochází odem C. o) Sestrojte prvidelý -úhelík (=,,,6), je-li dá: A) jeho střed vrchol B) jeho střed přímk, íž leží jed str XII Stereometrie Vzájemá poloh dvou přímek, přímky roviy, dvou rovi, tří rovi. Kritéri rovoěžosti přímky roviy, dvou rovi. Kolmost dvou přímek, přímky roviy, dvou rovi. Kritéri kolmosti přímky roviy, dvou rovi. Odchylk dvou přímek, přímky roviy, dvou rovi. Elemetárí těles, jejich vlstosti (krychle, hrol, jehl, válec, kužel koule).