2 Základní poznatky o číselných oborech

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "2 Základní poznatky o číselných oborech"

Transkript

1 Zákldí poztky o číselých oorech Mozí lidé jsou evědoí je proto, že vycházejí z pojů, které jsou podle tetických ěřítek epřesé (Sokrtes). Přirozeá čísl Přirozeá čísl ozčují počet prvků koečých oži. Kždé přirozeé číslo je tk jkousi strkcí společé vlstosti všech koečých oži, ezi kterýi existuje vzájeě jedozčé zorzeí. Možiu všech přirozeých čísel zčíe. Pozák: Číslo ul lze povžovt z počet prvků prázdé ožiy, ul je tedy v toto pojetí přirozeý čísle. V ěkterých kostrukcích ul do ožiy všech přirozeých čísel eptří. Pro še potřey všk ude výhodější ulu z přirozeé číslo povžovt. Používáí čísel vyžduje zvedeí početích opercí, jiiž ke dvě číslů přiřzujee předepsý způsoe číslo třetí jko výsledek. Zákldíi všeoecě záýi opercei jsou sčítáí ásoeí. Sečítáí přiřzujee dvě sčítců součet (píšee + = c), ásoeí pk dvě čiitelů souči (píšee = d). Přirozeá čísl lze sčítt ásoit eoezeě, tj. ke kždý dvě přirozeý číslů existuje součet i souči jsou to opět přirozeá čísl. Říkáe, že oži je uzvřeá vzhlede ke sčítáí ásoeí. Pro kždá tři přirozeá čísl c,, pltí: + = +, = (kouttiví záko) ( c ) = ( ) c= c, + ( + c) = ( + ) + c= + + c (socitiví záko) ( + c) = ( + c) = + c (distriutiví záko) Opkové ásoeí týž čísle většiou zpisujee ve tvru ociy, př. =, kde číslo zýváe zákld číslo ocitel (expoet). Je zřejě 0 dále pro > 0 defiujee =. Přirozeé číslo, pro které je 0;; ;; ;;6;7;8;9, zýváe cifrou (číslicí). Běžý číslicový (ciferý) zápis čísl v desítkové soustvě je úsporý zápis součtu, př.: { } =. ciferý zápis 7 0 = rozviutý zápis. Zápis přirozeého čísl v desítkové soustvě: jsou li ; ;...; ; ; 0 cifry, píšee ciferý zápis... 0 = rozviutý zápis. K součtu součiu se zvádějí operce iverzí odčítáí děleí. Odčítáí přiřzujee ešeci ešiteli rozdíl: Rozdíle čísel, (v toto pořdí) je číslo x, pro které pltí + x=. Zpisujee x =. Děleí přiřzujee děleci děliteli podíl: Podíle čísel, (v toto pořdí) je číslo x, pro které pltí x=. Zpisujee x = :, popř. x =. Odčítáí děleí elze v ožiě všech přirozeých provádět eoezeě (tj. rozdíl, resp. podíl dvou přirozeých čísel eusí ýt vždy přirozeé číslo). Pro rozdíl pltí, pro podíl jsou prvidl složitější.

2 Násoek dělitel: Číslo je ásoke čísl (číslo je dělitele čísl ) právě tehdy, když existuje přirozeé číslo k tkové, že = k. Skutečost, že je dělitele čísl vyjdřujee slovy je dělitelé eo dělí, zpisujee (př. ). Kždé přirozeé číslo je dělitelé jedičkou seou sý, tyto dv dělitele se zývjí sozřejí dělitelé. Přirozeá čísl, která jí pouze sozřejé dělitele, se zývjí prvočísl, osttí přirozeá čísl jsou čísl složeá. Nulu jedičku epovžujee i z prvočísl i z čísl složeá. Při určováí dělitelů používáe tzv. zky dělitelostí: Číslo je dělitelé dvě kočí 0,,,6,8 třei jeho ciferý součet je dělitelý třei čtyři jeho posledí dvojčíslí je dělitelé čtyři pěti kočí 0,. osi jeho posledí trojčíslí je dělitelé osi devíti jeho ciferý součet je dělitelý devíti. Rozkld čísel prvočiitele: Kždé přirozeé číslo lze rozložit souči prvočísel, to (ž pořdí čiitelů) jediý způsoe.. Příkld: rozlože souči prvočísel číslo 800. Řešeí: : = : = : = : = : = : = : = : = : = 7 tedy 800 = 7. Příkld ukázk příého důkzu: Dokže větu: Pro kždé přirozeé číslo pltí: je li sudé (tj. dělitelé dvě), pk je tké sudé. Důkz: provedee přío (viz předchozí kpitolu): je sudé k : = k = k je sudé.. Příkld ukázk epříého důkzu: Dokže větu: Pro kždé přirozeé číslo pltí: je li sudé, pk je tké sudé. Důkz: provedee epřío, podle předchozí kpitoly tedy usíe dokázt větu eí li sudé, pk eí sudé i : je liché k : = k + = (k + ) = ( k + k) + je liché zde jse si dovolili předěhout vzoreček (A+ B), který jdete str.. Pozák: Věty z příkldů jsou oecé věty tvru iplikce, přito vět z příkldu je větou oráceou k větě z příkldu. Oě věty tk ůžee vyslovit jko jediou oecou větu ve tvru ekvivlece: Pro kždé přirozeé číslo pltí: číslo je sudé právě tehdy, když je sudé číslo. Věty tvru ekvivlece, tj. Ax ( ) Bx ( ), je tře dokzovt oě sěry, tj. je tře dokázt jk Ax ( ) Bx ( ), tk B( x) A( x ).

3 Společý dělitel: společý dělitele dvou přirozeých čísel ; je číslo, které dělí oě čísl ;. Největší společý dělitele čísel ; zčíe NSD( ; ). Společý ásoke dvou přirozeých čísel ; je číslo, které je dělitelé oě čísly ;. Neješí společý ásoek čísel ; zčíe s ( ; ). Přirozeá čísl zýváe esoudělá, je li jejich společý dělitele pouze číslo jed. V opčé přípdě je zýváe soudělá. Určováí ejvětšího společého dělitele: Největší společý dělitel NSD( ; ) dvou přirozeých čísel ; á ve své rozkldu všechy společé prvočiitele rozkldů čísel ; uocěé eješí expoet, který se v těchto rozkldech vyskytuje, př.: 0 90 = NSD 7 06 = 7 ( 90 ; 7 06) = = 6. Určováí eješího společého ásoku: Neješí společý ásoek s( ; ) dvou přirozeých čísel ; á ve své rozkldu všechy prvočiitele, kteří se vyskytují lespoň v jedo z rozkldů čísel ; uocěé ejvyšší expoet, který se v těchto rozkldech vyskytuje, př.: 0 90 = s 7 06 = 7 Pro kždá dvě přirozeá čísl pltí: Příkldy: ( 90 ; 7 06) = 7 = 6 0 ; NSD( ; ) s( ; ) =, př.: = = Náěstí tvru odélík o rozěrech 6, 8 á ýt po ovodu oszeo stejě vzdáleýi pouličíi lpi. Kolik lp ejéě ude potře, když ve všech rozích áěstí již lpy jsou? Řešeí: Oě stry odélík usí ýt dělitelé hledou vzdáleostí lp, vzdáleost tedy jdee jko ejvětšího společého dělitele dých rozěrů. Protože 6 = ; 8 =, je NSD (6, 8) = =. Vzdáleost ezi lpi ude tedy. N krtší strě áěstí udou tedy potře celke 6 : + = lpy, z ich dvě jsou již istlováy, je tedy potře istlovt = lpy. Podoě delší strě je tře istlovt = 8 : + = lpy. N celé áěstí pk o= ( + ) = ( + ) = 0lp.. Autous A jezdí po 0 iutách, utous B po iutách, utous C po 6 iutách. V 7.00 hod. vyjely utousy ze zstávky společě. Kdy ste ejližší dlší společý odjezd? Řešeí: Itervl ezi společýi odjezdy je eješí společý ásoke itervlů jedotlivých liek. Protože 0 = ; = ;6 =, je s (0,,6) = = 60. Nejližší společý odjezd ude tedy z šest hodi, tj. ve.00 hod.. 6

4 Neřešeé úlohy: ) Rozložte souči prvočísel: ) 6 60 ) c) 0 d) ) Určete ejvětší společý dělitel eješí společý ásoek čísel ) 0 ; 0 ) 8 ; 60 c) ; 9 06 ) Místost tvru odélík o strách = c; = 96 c á ýt vydláždě čtvercovýi dlždicei. Určete ejvětší rozěry dlždic tk, y žádou eylo tře řezt. (šířku spáry zedejte). ) Soukolí se skládá ze dvou ozueých kol o počtu zuů = 00, =. N kždé kole je jede vdý zu. Jestliže se tyto zuy setkjí, soukolí se zseke. Kolik otáček ejvýše ohou oě kol udělt? ) N čtvercové záhoě o strě = 70 c ylo vysázeo 90 stroků ryízu do spou 90 c 80 c. Poté ylo rozhoduto, že spo usí ýt 0 c 0 c ) Kolik stroků ůžee poecht původí ístě? ) Kolik stroků je tře toto záhoě zovu zsdit? c) Kolik stroků je tře přesdit jiý záho? Výsledky: ) ) 7 ) 7 c) d) ) ) 6 ; 7 60 ) 6; 8 0 c) 66 ; ) 6 c ) Kolo otáček, kolo 0 otáček ) ) ) 7 c). Celá čísl Celá čísl jsou čísl, která lze zpst ve tvru rozdílu dvou přirozeých čísel. Možiu všech celých čísel zčíe, pltí tedy: = { x Ω ( x= ) ( ; ) }. Rozdíl přirozeých čísel 0 zčíe. Pro kždé celé číslo existuje ekoečě oho uspořádých dvojic [ešeec, ešitel] přirozeých čísel, jejichž rozdíle je toto číslo, př.: : = 0 = = 6 =... : = 0 = 6 = 8 =... Moži všech přirozeých čísel je vlstí podožiou ožiy všech celých čísel ( ). Celé číslo, pro které je zároveň, 0 zčíe ěkdy podroěji +. Tto čísl zýváe kldá. Čísl, která ejsou kldá jsou růzá od uly, zýváe záporá. Číslo ul eí i kldé i záporé. Přirozeá čísl zýváe ěkdy celá ezáporá, záporá čísl včetě uly pk celá ekldá. N ožiě všech celých čísel lze eoezeě sečítt ásoit (viz str. ), le i odčítt (oži je uzvřeá vzhlede ke sčítáí, ásoeí odčítáí). Pro sečítáí ásoeí celých čísel pltí kouttiví, socitiví distriutiví záko (viz přirozeá čísl). Nvíc pltí: ( + ) ++ ( ) = + ( + ) + ( ) = ( ) ( ) = ( ) + ( + ) = + = ( ) ( + ) = ( + ) ( ) = ( + ) + ( ) = ( + ) ( + ) = = + ( + ):( + ) = ( ):( ) = : ( ) + ( ) = ( ) ( + ) = ( ):( + ) = ( + ):( ) = : ( ) ( ) = + = 7

5 Příkldy: ) ( ) + ( 7) = ( ) ( + 7) = 7 = ) ( 8) = 8 ( ) = 8 = ) ( ) ( 7) = ( ) + ( + 7) = + 7 = 8 ) ( ) ( ) = = ) ( ) : 6 = : ( 6) = : 6 = 6) ( ):( 7) = :7= 7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = [( ) ( )] [( ) ( )] [( ) ( )] ( ) = = 6 ( ) = ( ) = Celá čísl cd, zýváe vzáje opčá právě tehdy, když c+ d = 0. Jsou li cd, čísl vzáje opčá, pk pltí c= d, d = c, Asolutí hodot čísl kldého je ul., čísl záporého je, solutí hodot uly je Uspořádáí ožiy všech celých čísel je dáo těito prvidly: - liovolé ezáporé číslo je větší ež liovolé záporé - liovolé ekldé číslo je eší ež liovolé kldé - ze dvou kldých čísel je větší to, které á větší solutí hodotu - ze dvou záporých čísel je větší to, které á eší solutí hodotu. Číselá os celých čísel: Vzike zorzeí (celé) ožiy do ožiy všech odů liovolé příky p Geoetrický výz solutí hodoty: Asolutí hodot celého čísl je rov vzdáleosti jeho orzu od orzu čísl ul číselé ose. Ze dvou celých čísel je pk větší to, jehož orz leží číselé ose vprvo. Vlstosti solutí hodoty: Pro kždá dvě čísl, pltí: 0; = 0 = 0 = = + ± Neřešeé úlohy: Vypočtěte: ) ( ) 0 ) ( ) 8 ( ) ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) 0 ( ) ) ( ) ( ) 6) ( ) ( ) ( ) ( ) 7) 8 8) : 9) : 6 : 8 0) 6 ( 9) : ) { [ 6 + ( 8 )]} 9 ) {8 [ + 6 ( 0) ] ( )} + 7 Výsledky ) 0 ) ) ) 0 ) 66 6) 7) 8) 9) 0) 6 ) 97 ) 8

6 . Rcioálí čísl Rcioálí čísl jsou čísl, která lze zpst ve tvru podílu dvou celých čísel. Možiu všech rcioálích čísel zčíe, pltí tedy: = x Ω ( x= : ) ( ; ) ( 0). { } Podíl celých čísel : ; 0 zčíe. Teto zápis zýváe zloke, číslo je čittel, číslo je jeovtel zloku. Pro kždé rcioálí číslo existuje ekoečě oho uspořádých dvojic celých čísel [děleec, dělitel], jejichž podíle je dé rcioálí číslo, resp. ekoečě oho zloků [čittel, jeovtel], které vyjdřují totéž rcioálí číslo, př.: 6 0 [ ;], protože : = :0 = 6 : = 0 : 0 =..., resp. = = = = Mezi těito zloky vždy existuje jediý, jehož čittel jeovtel jsou esoudělá čísl říkáe, že teto zloek je v zákldí tvru. Moži všech celých čísel je vlstí podožiou ožiy všech rcioálích čísel ( ). N ožiě všech rcioálích čísel lze eoezeě sečítt, ásoit, odčítt dělit (s jediou výjikou elze dělit ulou). Zápisy rcioálích čísel ve tvru zloku: Nechť k ; ; jsou liovolá celá čísl, k, 0. Pk pltí k = (tuto úprvu zýváe rozšiřováí zloku). Nechť, jsou liovolá k : k soudělá celá čísl, k jejich společý dělitel. Pk pltí: = (tuto úprvu zýváe : k kráceí zloku). Mezi všei zloky, které vyjdřují totéž rcioálí číslo, existuje právě jede, jehož čittel jeovtel jsou esoudělá čísl. Říkáe, že zloek je zpsá v zákldí tvru. Zápis rcioálích čísel ve tvru desetiého čísl: Nechť 0 liovolé celé číslo, ; ;...; ; ; cifry (tj. i { 0;; ;; ;;6;7;8;9} ; i= ;;..; ) je liovolé rcioálí číslo, pro které pltí: = (rozviutý ukočeý desetiý zápis) Pk píšee = 0,... (ukočeý desetiý rozvoj). Převod zloku desetié číslo provedee zčeý děleí, př: = :8 = 0,7. Existují všk rcioálí čísl, která elze zpst ukočeý desetiý 8 zápise, př: 0... = ; = V těchto přípdech je desetiý zápis 7 ekoečý, všk vždy v ě existuje skupi číslic, která se prvidelě opkuje (tzv. period). Před touto periodou se ůže vyskytovt jiá skupi číslic (předperiod). Npř. = je předperiod, period 6. Periodu ovykle píšee je v zápisu čísl jedou ozčujee ji pruhe, tj. zpisujee zýváe periodické desetié rozvoje. = 0. ; 78 7 = 0, ; = 0, 6. Tyto zápisy 9

7 Kždé rcioálí číslo lze vyjádřit ve tvru ukočeého eo periodického rozvoje. Přito délk periody je vždy eší, ež jeovtel původího zloku. Je to dáo tí, že při děleí jeovtele ůžee održet ejvýše růzých zytků: 0,,,...,. Održíe li ulu, děleí tí i rozvoj čísl kočí. Při ekoečé děleí se tedy ohou vystřídt ejvýše zytky,,..., pk se zytky tudíž i cifry v rozvoji utě usí opkovt. Npříkld při vyjádřeí zloku dostee všech šest ožých zytků v pořdí 7,,6,,, 0,87 7 =. Zápis rcioálího čísl ve tvru zloku: V přípdě ukočeého desetiého rozvoje jdee zloek vhodý rozšířeí, př. 0,7 = 0,7 =. Postup v přípdě periodického rozvoje ilustruje ásledující příkld:. Příkld: Převeďe zloek rcioálí číslo = 0,67. Číslo á trojciferou předperiodu čtyřciferou periodu. Zvíe se jich ásledující orte: Vyásoíe + 7 dé rovosti čísly 0 = 0 0. Tkto získé dvě rovosti od see odečtee: Dostáváe tedy = 67, =, =, = = Asolutí hodot rcioálího čísl, opčá čísl, číselá os uspořádáí ožiy všech rcioálích čísel je defiováo logicky jko pro čísl celá. Sečítáí ásoeí rcioálích čísel á stejé vlstosti jko sečítáí ásoeí přirozeých resp. celých čísel, víc pltí: c < d < c d = = c d ± c c c = ± = = d d d d c c c = = c = = : d d = = = d c c c d Pozor! Zřejě pod doje vzorce c = c studeti ěkdy očs používjí i vzorce : d d čsté chyy: c c + + c c = ; + = ; = + c d c + d c+ d d c d + c Při sečítáí odčítáí čsto eusíe použít vzorec + =, le tzv. převod d d eješí společý jeovtel, což je eješí společý ásoek jeovtelů, kteří se v součtu resp. v rozdílu vyskytují. Tedy př. 0

8 ísto = = = počítáe lépe = = Příkldy: ) : + 0. = = = = ) + = + = = + = = = ) = = = = = = = : : : ) 6 = 6 = 6 = 6 = 8 = = = = = 8 8 Neřešeé úlohy: Vypočtěte: ) 7. + :. ). : ( 0. 0.) ) ). : ) ). : ) 0.7 : ( 0.) 8) : 0. [( ) : ( )] 7 9) : ) (.7) 8 00 ) ( + ) ( ) 0. ) : 0.06 ) ) 7 0 : ) 6) : 8 : 7 7) : 6 8) + 0.7

9 Zpište jko desetié číslo: 9) 6 0) ) 0 Zpište jko zloek v zákldí tvru: ) 8 6 ) 7 ) 0. ) 0.6 6) 0.6 7) 0.6 8) 0.9 Výsledky ) ).66 ) 0.9 ). ). 6). 7) 0) 6. ) 7 ) 7. ) ) ) ). 9) 8 7) 8) 6) 6 9) 0,6 0) 0. ) 0.0 ) 0.69 ) 0.87 ) 8 ) 7) ). Reálá čísl 8 6) 7 Číselá os rcioálích čísel: Vzike zorzeí (celé) ožiy do ožiy všech odů liovolé příky p. Je otázkou, zd toto zorzeí je tké zorzeí ožiu, tj. zd kždý od číselé osy je orze ějkého rcioálího čísl. Mezi kždýi dvě (jkkoli lízkýi ) rcioálíi čísly leží vždy lespoň jedo dlší rcioálí číslo. Mezi + čísly < leží př. vždy jejich rietrický průěr, tj. < <. Rcioálí čísl tedy zplňují číselou osu veli hustě ohlo y se zdát, že ji zplí zcel. Ovše eí tou tk.. Příkld: Dokže, že číslo eí rcioálí. Řešeí: Jedá se o idividuálí větu (viz kpt...), kterou dokážee spore. Dle kpt... je tedy tře předpokládt pltost egce dokzové věty řetěze iplikcí z í vyvodit eprvdivý výrok (viz kpt... typ důkzu c). Předpokládeje tedy, že je rcioálí číslo,,, esoudělá : =,,, esoudělá : =,,, esoudělá : =,,, esoudělá : je sudé (ásledující iplikci jse dokázli v kpt... př.):,,, esoudělá : je sudé k,,,, esoudělá, sudé: = k k,,,, esoudělá, sudé: = k * k,,,, esoudělá, sudé: k = k,,,, esoudělá, sudé: = k k k,, :, esoudělá, sudé, sudé,,,, esoudělá, sudé: sudé (viz iplikci ozčeou hvězdičkou) ( koečě viz kpt... př.):

10 Posledí výrok je všk eprvdivý. Dospěli jse ke sporu s předpoklde, že rcioálí číslo. Teto předpokld tedy eůže pltit usí ýt číslo ircioálí. je Řd čísel, se kterýi se ěžě setkáváe, ejsou čísl rcioálí. Čísl,, π, elze zpst ve tvru zloku, ejsou to rcioálí čísl. Moži všech reálých čísel je číselá oži, kterou lze zorzit ožiu všech odů příky. Kždéu reáléu číslu x je tk přiřze právě jede od P ležící příce opk, kždéu odu Q příky p je přiřzeo právě jedo reálé číslo y. Příku p zýváe číselou osou. Je li odu P přiřzeo číslo x, zýváe toto číslo souřdicí odu P, píšee P = [ x]. Podožiou ožiy všech reálých čísel je oži všech rcioálích čísel. Reálá čísl, která ejsou rcioálí, zýváe čísl ircioálí. Tto čísl lze vyjádřit ekoečý eperiodický desetiý rozvoje, tj. rozvoje s ekoečě oh cifri, v ěž se žádá skupi cifer prvidelě eopkuje. Je sozřejé, že ikdy eůžee vypst všechy cifry desetiého rozvoje, který je určeo ircioálí číslo. K určeí ircioálího čísl je všk tře zát předpis, podle kterého je pricipiálě ožé zjistit, která cifr je té ístě jeho desetiého rozvoje, to pro liovolé. V ožiě všech ircioálích čísel elze eoezeě provádět žádou ritetickou operci součet, rozdíl, souči i podíl dvou ircioálích čísel eusí ýt ircioálí číslo. Příkldy: ( ) V ožiě uly). + = ; π π = 0 ; = ; ( π ) : π =. všech reálých čísel lze eoezeě sečítt, odčítt, ásoit i dělit (s výjikou Itervl je podoži ožiy, kterou je ožé zorzit příku, polopříku eo úsečku (přípdě s výjikou jedoho eo oou krjích odů). Itervly ožiy : Název Zčeí Defiice Grfické zázorěí Moži všech x, pro která pltí Uzvřeý ; x < < Otevřeý ( ; ) x Uzvřeý zlev ; ) x< Uzvřeý zprv ( ; < x Oezeý zlev ; ) x < ( ; ) x Oezeý zprv ( ; x ( ;) x < Neoezeý ( ; ) x

11 Mociy odociy Mociy s přirozeý ocitele: Mociou rozuíe výrz tvru, kde je zákld ociy (ocěec), je expoet (ocitel). Jk již ylo řečeo v kpitole o přirozeých číslech, oci s přirozeý ocitele zčí opkové ásoeí čísl seou sý, tj. =... ; ; > 0. krát Totéž pltí i pro ociu, jejíž záklde je reálé číslo, tj.. Z defiice vyplývá, že ( ): ) = ; ) =; c) 0 = 0 ( > 0 ). N zákldě této defiice dále pltí: = =... = + krát krát ( + ) krát d) Je li > 0, pk > 0 e) > 0 f) Je li < 0, pk < 0 ( ) = ( ) ( )... ( ) = (... ) (... ) = závorek krát krát krát... =... = =... ( ) zloků krát krát =... = = krát ; 0 Tto prvidl pltí eje pro (kde záklde ociy je přirozeé číslo), le i pro (záklde této ociy ůže ýt liovolé reálé číslo, sozřejě s výjikou uly ve jeovteli). Dále pro 0 ; > je krát ( ) krát krát krát ( ) krát ( ) krát : = = = =... =... = Příkldy: ) 0 = 0 ) = = 6 6) 7) 8) 9) krát krát krát ) 0 = = 0 ) 0 =... = ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = 8 7 ( ) = [( ) ( )] [( ) ( )]... [( ) ( )] ( ) =... ( ) = 08 ( ) = [( ) ( )] [( ) ( )]... [( ) ( )] =... = ( x y ) ( xy) = x x y y = x y = x y ( c) : ( c) (6 c ) : ( c) 6 ( : ) ( : ) ( c : c) = = = = 6 c = 6 c 6 6 c x ( ) ( ) ( c : c ) ( x : x ) cx 0) = = x yz c yz ( y y) ( z z ) y z

12 Číselé údje se v techické prxi udávjí ve tvru 0 ; kde < 0, př.: délk Kordiller je 000 k =. 0 k rozloh Kspického oře je k =.7 0 k 6 rozloh Shry je k = k Mociy s celočíselý ocitele: Aycho ohli vzorec : 0 : = = = (přito je tře, y 0 ). = rozšířit i přípd Má li vzorec : = pltit i pro záporé ocitele, usí pltit 0 0 = : = : = = =, je tře zvést Pro záporé celočíselé ocitele pltí všech dosud odvozeá prvidl. Příkldy: 0 7 ) ( 6) ( ) 7 ( ) = = ( ) ( ) = + = = ) = = = = ( ) ( ) = = = 0 0 Odociy v ooru reálých čísel: Odocňováí je opčý početí výkoe ež uocňováí přirozeý ocitele: Je li = ;, ůžee opk psát = (pro = píšee ovykle je = ). Je li = < 0, pk usí ýt liché. Proto př. pouze pro lichá. Odoci v ooru reálých čísel usí ýt defiová jedozčě, tj. esí dávt více výsledků. Proto je př. 6 =+ ikoli čstá chy: Pro kždé 0 kždé je ( ) = =. 6 = ± Mociy s rcioálí ocitele: Předpokládáe li, že k = jí li pltit výše uvedeé vzthy, usí ýt: k k = = = = = k k ( ) ( )

13 Mjí li tyto vzthy pltit i pro, je tře defiovt: Pro kždé ; ; je =. Pro ociy s rcioálíi ociteli pltí všechy výše uvedeé vzthy. Prvidl pro počítáí s odocii: = = = ( ) = Příkldy: ) 8 9 = 7 9 = 7 9 = 9 = 7 = =9 ) ( ) Částečé odocňováí: ) 8 = = = ; ) ) + 9 = + 9 = = = = 8 = 8 = = 7 = 7 = 7 = 60 7 Usěrňováí zloků je odstrňováí odociy ze jeovtele zloku: Výrz s odociou ve jeovteli je pro dlší výpočty většiou evýhodý, proto se ho sžíe ze jeovtele odstrit: Příkldy: 6) = = = = = Dále pltí: 7) = = = = = = = = = Příkld: 8) = = = = Koečě pltí: ( ) = = = = = p p p p = = = Příkldy: ) ( ) = 6 = = = = = = = = = = 0) x = x = x = x = x 6

14 Shrutí vzorců pro počítáí s ocii odocii: Pro všechy přípusté hodoty pltí: = + ( ) = = : = = = ( ) = = = = = p p = Pozor! Čsté chyy: Studeti čsto používjí tké tyto vzorce ( ± ) = ± ± = ± ± = ± = = Vyvrťe prví z těchto vzorců : Vyjdee z distriutivího záko ( + c) = + c. Je li = x+ y, dostee doszeí ( x + y) ( + c) = ( x+ y) + ( x+ y) c prvou stru použijee opět distriutiví záko: ( x + y) ( + c) = ( x+ y) + ( x+ y) c= x+ y+ xc+ yc Závorky (dvojčley) usíe tedy rozásoovt tk, že ásoíe kždý čle prví závorky s kždý člee závorky druhé. Pro (± ) tedy př. dostáváe: ( ± ) = ( ± ) ( ± ) = ± ± + = ± + Podoě td. ± = ± ± = ± + ± = = ± + ± ( ) ( ) ( ) ( ) ( )... Pozor! Vzoreček = + ( ) (tzv. druhá oci dvojčleu) je tře rozlišovt od podoě vypdjícího rozdílu čtverců: = ( + )( ) (o správosti tohoto vzthu se ůžee přesvědčit zpětý rozásoeí závorek prvé strě). 7

15 Chyé vzorce ůžee sozřejě vyvrcet jko oecé hypotézy lezeí protipříkldu (viz závěr kpt... odst. e): Npř vzorec ± = ± eůže pltit, protože př. pro = 9; = 6 ; = dostáváe + = 9+ 6 = =, ztíco + = = + = 7 Neřešeé úlohy: ) ( )( ) ) ) ) ) ( ) ( x yz ) ( ) x y z p q ( ) 6) 7) 8) 9) 0) ( x y) ( xy z ) ( c) (c) u v uv ( ) ( x+ y x z z x y ( ) ( ) ) ( ):( ) ) ( x yz ):( x y z) ) ( uv w ):( uv w x+ x x x ) ( ):( ) + ) ( x y z ) r r r r ) ) [( x) : ( x) ] Částečě odocěte: 6) 7) 0 8) 7 9) 0 0) ) Vypočtěte: ) ) ) 6) 7 7) x 8) ) 8 7 Uprvte: 9) 0) 9 x x x ) ) ) ) k : : 0.. k Výsledky: ) ) 8 ) 8) u v 9) + + xz + yz xz + xy ( )( ) ( ) ) x y z ) ) 6 9 7x yz ) ) 0) ) ) q pq q x y z 6) x y z 7) c x yz r x+ x ) v w ) x 6) 7) 8) 6 9) 0) 7 ) ) 6 ) 9 6) 7) x 8) 0 9). ) ) ) ).7 k 7 0) 9 6 x 8

16 . Koplexí čísl V ooru reálých čísel jse zvedli odocňováí jko opčý početí výko k uocňováí. Jkákoli sudá odoci je všk v ooru reálých čísel proveditelá pouze pro ezáporá čísl. Npříkld v ooru reálých čísel eexistuje, eoť žádé reálé číslo uocěo druhou eí rovo íus čtyře. Proto ejsou v ooru reálých čísel řešitelé ohé (i veli jedoduché) rovice. To je jede (i když e jediý) důvod proto, ycho oor reálých čísel rozšířili oor čísel koplexích. Jede z důvodů kostrukce čísel reálých yl vyplit celou číselou osu. N této ose již eí pro dlší čísl ísto. Moži všech koplexích čísel je sestroje jko číselá oži, kterou lze vzájeě jedozčě zorzit ikoli příku, le roviu. Moži všech koplexích čísel je tk sestroje jko oži všech uspořádých dvojic reálých čísel, tj. čísel z tvru z = [ ; ], kde ; jsou reálá čísl. Je zřejé, že čísl ; ůžee chápt jko uspořádou dvojici souřdic odu v roviě (tzv. Gussov rovi), to v prvoúhlé souřdé soustvě, číž je dáo vzájeě jedozčé zorzeí ezi roviou ožiou. Uspořádé dvojice [ ; ] lze chápt tké jko dvojčley + i (tzv. lgerický tvr koplexího čísl) s těito dvojčley zcházet podle dosud záých prvidel. Zákldí ritetické operce ožiě lze pk vysvětlit ásledující způsoe: Pro součet rozdíl koplexích čísel tk dostee př.: ( + i) + ( i) = + + ( ) i = i ( + i) ( i) = + ( + ) i = + i Pro ásoeí děleí usíe kroě toho přijout prvidlo, které víc řeší existeci odoci ze záporých čísel: i = Číslo i zýváe igiárí jedotkou. Pro ásoeí tk dostáváe př.: ( + i) ( i) = + i i i = 6+ i 9i 6 ( ) = i * Číslo z = i zýváe číslo koplexě sdružeé k číslu z = + i.vyásoeí dvou čísel koplexě sdružeých dostee číslo reálé (použijee vzorec pro rozdíl čtverců): * z z = ( + i) ( i) = ( i) = i = ( ) = + Právě této vlstosti používáe při děleí koplexích čísel. Děleí přepíšee do tvru zloku, který rozšíříe čísle koplexě sdružeý ke jeovteli, tj. př.: 9

17 + i + i + i + i+ i+ i + i+ + i i = i i i + i + ( ) ( ) ( ) 6 6 = = = = = ( ) ( ) Mociy koplexích čísel: pro defiujee stejě jko v jiých číselých oorech z = z z... z ; pro z 0 je 0 z = z =. z Příkldy: ) ( i) ( i) ( i) ( i) ( i i ) ( i) ( i) ( ) + = + = + + = = + + i = = + i 6i+ 8i = i ) 8 i = i i = ( ) ( ) = ; i = i i = = ; i = i i = ( i ) i = i = i Asolutí hodot koplexího čísl z je reálé číslo z * = z z. ) Určee solutí hodotu čísl z = + i: * z = z z = (+ i) ( i) = + = Geoetrický výz solutí hodoty koplexího čísl je logický jko u solutí hodoty čísl reálého: solutí hodot koplexího čísl z je rov vzdáleosti orzu tohoto čísl v Gussově roviě od orzu čísl ul. Asolutí hodotu koplexího čísl je tedy zřejě ožé určit i tkto: Neřešeé úlohy: z = + i = + ) ( i)( + i) + ( i)( i) ) [( + i) ( + i)] ( i) ( + i) i ) ( ) i + + ( ) i ) + i + ( i )( i) i ) + i i + i + i 6) + i i + i i 7) i + i + i i 6i 8) ( + i ) i i 9) i 0) i + i 6 i ) + i i ) + i i Výsledky: ) 7 i ) ) + i ) 9) 0) 0 9 ) ) + i ) i ) + i 7) 0 8) 0 0 0

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t. ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz

Více

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA .. MOCNINA A ODMOCNINA V této kpitole se dozvíte: jk je defiová oci s přirozeý, celý, rcioálí oecý reálý epoete jké jsou její vlstosti; jk je defiová přirozeá odoci, jké jsou její vlstosti jk se dá vyjádřit

Více

9. Racionální lomená funkce

9. Racionální lomená funkce @ 9. Rcioálí loeá fukce Defiice: Nechť P je poloická fukce -tého stupě... ) ( P kde R... A echť Q je poloická fukce -tého stupě... ) ( Q kde R... Rcioálí loeá fukce R je dá podíle ) ( ) ( ) ( Q P R pro

Více

Vlastnosti posloupností

Vlastnosti posloupností Vlstosti posloupostí Nekoečá posloupost je fukce defiová v oboru přirozeých čísel Z toho plye, že kždá posloupost má prví čle (zčíme ), koečé poslouposti mjí i čle posledí Př Vypište prví čtyři čley poslouposti

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ VEKTOROVÁ LGEBR NLYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Délk úsečk, střed úsečk,, B Délk úsečk B : B C, BC Střed úsečk : B S s, s souřdice středu: s, s Vektor Vektor = oži všech souhlsě orietových rovoěžých úseček

Více

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel KAPITOLA : Číselé řdy MA-8:P.] Ozčeí: R {, +} R R C {} C rozšířeá komplexí rovi evlstí hodot, číslo, bod U ε {x C x < ε } pro C, ε > 0 U K {x C x > K } pro K 0 defiujeme pro C: ±, je pro 0, edefiujeme:

Více

Základní elementární funkce.

Základní elementární funkce. 6. předášk Zákldí elemetárí fukce. Defiice: Elemetárími fukcemi zveme všech fukce, které jsou vtvoře koečým počtem zákldích opercí ze zákldích elemetárích fukcí. Zákldí operce s fukcemi jsou:. Sčítáí dvou

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 :. břez 08 D : 0 P P P : 0 M. M. M. :,8 % S : 0 : 7,5 : -7,5 M. P : -,0 : 0,6 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90

Více

M - Posloupnosti VARIACE

M - Posloupnosti VARIACE M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2019

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2019 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 09 T á D P č P č ů ú P ů ě S á :. úor 09 : 004 : 0 M. M. M. á : 9, % ě č M.. P ů ě ž ó : 0 ž ž ó : 0 ó : -7,5 ž ó : -,8 ó : 4,4 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test

Více

6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI

6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI 6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme posloupost reálých ebo komplexích čísel; defiici vlstí evlstí limity poslouposti; defiici pojmů souvisejících

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY T BŘEZNA 9 D : 8. břez 9 Mx. možé skóre: Počet řešitelů testu: Mx. dosžeé skóre: Počet úloh: Mi. možé skóre: -7,5 Průměrá vyechost:, %Správé Mi. dosžeé skóre: -, odpovědi jsou

Více

8.2.7 Geometrická posloupnost

8.2.7 Geometrická posloupnost 87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T ÚNORA 08 :. úor 08 D : 96 P P P : 0 M. M. : 0 : 0 M. :,4 % S : -7,5 M. P : -,8 : 4,5 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90 miut

Více

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte: 6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

Sbírka úloh z matematiky pro 9.ročník Lomené výrazy ZŠ Třešť

Sbírka úloh z matematiky pro 9.ročník Lomené výrazy ZŠ Třešť Sík úloh z tetik po 9.očík I. Loeé výz ZŠ Třešť . Loeý výz je zloek. Jeovtel zloku e eí ovt ule. U loeých výzů učujee vžd podík, po kteé á loeý výz l. Řešeý příkld Uči podík, po kteé jí výz l, řeš dlší

Více

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů .8. Mohočley, sčítáí odčítáí mohočleů Předpokldy: 7 Mohočle = zvláští typ výrzů. Jk je pozáme? Mohočley obshují pouze přirozeé mociy ezámých (jedé ebo více) kostty. Př. : Rozhodi, které z ásledujících

Více

8.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P8.1] výpočet obsahu plochy pod grafem funkce. (nejdříve jen pro a < b ) a = x 0 < x 1 <... < x n = b.

8.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P8.1] výpočet obsahu plochy pod grafem funkce. (nejdříve jen pro a < b ) a = x 0 < x 1 <... < x n = b. KPITOL 8: určitý itegrál Riemův itegrál [M-8:P8.] motivce: výpočet oshu plochy pod grfem fukce 8. Úvod ejdříve je pro < ) řekeme, že moži D, je děleím itervlu,, jestliže je koečá, D. Prvky děleí D {x,

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 : 9. břez 08 D : 897 P P P : 0 M. M. M. :, % S : 0 : 0 : -7,5 M. P : -, : 0, Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90

Více

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Ztím ebylo v těchto textech věováo příliš pozorosti kovergeci fukcí, t jko limit poslouposti ebo součet řdy. Jik byl kovergece poslouposti fukcí ebo řdy brá jko bodová kovergece.

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n,

ZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, ZÁKLADNÍ POZNATKY ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množin všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, N0... množin všech celých nezáporných čísel (přirozených čísel s nulou: 0,1, 2, 3,, n, Z... množin všech celých

Více

DUM č. 19 v sadě. 13. Ma-1 Příprava k maturitě a PZ algebra, logika, teorie množin, funkce, posloupnosti, řady, kombinatorika, pravděpodobnost

DUM č. 19 v sadě. 13. Ma-1 Příprava k maturitě a PZ algebra, logika, teorie množin, funkce, posloupnosti, řady, kombinatorika, pravděpodobnost projekt GML Bro Doces DUM č. 9 v sdě. M- Příprv k mturitě PZ lgebr, logik, teorie moži, fukce, poslouposti, řdy, kombitorik, prvděpodobost Autor: Jrmil Šimečková Dtum:.0.0 Ročík: mturití ročíky Aotce DUMu:

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T DUBNA 08 : 8. dub 08 D : 884 P P P S M. M. M. : 0 : 5,5 % : 0 : 7,8 : -7,5 M.. P : -6,0 : 9,7 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí

Více

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

Analytická geometrie

Analytická geometrie Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí

Více

Logické rovnice. 1 Úvod. 2 Soustavy logických rovnic

Logické rovnice. 1 Úvod. 2 Soustavy logických rovnic Logické rovice J Bborák, Gyáziu Česká Líp, bbork@sez.cz Ev Svobodová, Krlíské gyáziu, evsvobo@gil.co Doiik Tělupil, Gyáziu Bro, dtelupil@gil.co Abstrkt Záklde šeho iiproektu e počítáí poocí Booleovy lgebry

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor . LINEÁRNÍ LGEBR Vektorový prostor.. Defiice Nechť V e moži které sou defiováy operce sčítáí + : t. zobrzeí V V V ásobeí i : t zobrzeí R V V. Možiu V zýváme vektorovým prostorem, sou-li splěy ásleduící

Více

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+ Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu

Více

Kuželosečky jako algebraické křivky 2. stupně

Kuželosečky jako algebraické křivky 2. stupně Kuželosečk Pretrické iplicití vjádřeí kuželoseček P. Pech: Kuželosečk, JU České Budějovice 4, 59s Kuželosečk jko lgerické křivk. stupě Kuželosečk je oži odů v roviě, jejichž souřdice (, ) vhovují v ějké

Více

Nové symboly pro čísla

Nové symboly pro čísla Nové symboly pro čísl V pitole Ituitiví ombitori jsme řešili tyto dv typy příldů. Stále se v ich opují součiy přirozeých čísel, t j jdou z sebou, ědy ž do, ědy sočí dříve. Proto si zvedeme dv ové symboly

Více

Jestliže nějaký objekt A můžeme vybrat m způsoby a jiný objekt B lze vybrat n způsoby, potom výběr buď A nebo B je možné provést m+n způsoby.

Jestliže nějaký objekt A můžeme vybrat m způsoby a jiný objekt B lze vybrat n způsoby, potom výběr buď A nebo B je možné provést m+n způsoby. V kapitole Ituitiví kobiatorika jse řešili příklady více éě stejý způsobe a stejých pricipech. Nyí si je zobecíe a adefiujee obvyklou teriologii. pravidlo součtu: Jestliže ějaký objekt A ůžee vybrat způsoby

Více

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n /9 POSLOUPNOSTI Zákldí pojmy: Defiice poslouposti Vlstosti poslouposti Určeí poslouposti Aritmetická posloupost Geometrická posloupost Užití poslouposti. Defiice poslouposti Př. Sestrojte grf fukce y =.x

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

LINEÁRNÍ TRANSFORMACE V ROVINĚ

LINEÁRNÍ TRANSFORMACE V ROVINĚ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE V ROVINĚ Kil Mleček Dgr Szrková FSv ČVUT Prh Thákurov 7 66 9 Prh 6 ČR e-il: kil@tfsvvutz SjF STU Brtislv Ná Slood 7 8 3 Brtislv SR e-il: szrkov@sjfstusk Astrkt V řísěvku je osý geoetriký

Více

Cílem kapitoly je zavedení význačných pojmů pro matice, jejichž znalost je nutná, mimo jiné, pro řešení soustav lineárních rovnic.

Cílem kapitoly je zavedení význačných pojmů pro matice, jejichž znalost je nutná, mimo jiné, pro řešení soustav lineárních rovnic. Mtemtik I část I Cíle Cílem kpitoly je zvedeí výzčýh pojmů pro mtie jejihž zlost je utá mimo jié pro řešeí soustv lieáríh rovi Předpokládé zlosti Předpokldem dorého zvládutí látky je zejmé zlost opere

Více

Základní věta integrálního počtu (Newton Leibnizova) nám umožní výpočet určitých integrálů. Poznáte základní vlastnosti určitých integrálů.

Základní věta integrálního počtu (Newton Leibnizova) nám umožní výpočet určitých integrálů. Poznáte základní vlastnosti určitých integrálů. Mtemtik II Výpočet vlstosti určitého itegrálu Výpočet vlstosti určitého itegrálu Cíle Zákldí vět itegrálího počtu (Newto Leiizov) ám umoží výpočet určitých itegrálů Pozáte zákldí vlstosti určitých itegrálů

Více

8. Elementární funkce

8. Elementární funkce Moderí techologie ve studiu plikové fzik CZ.1.07/2.2.00/07.0018 8. Elemetárí fukce Historie přírodích věd potvrzuje, že většiu reálě eistujících dějů lze reprezetovt mtemtickými model, které jsou popsá

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uivezit lov v Pze Pedgogiká fkult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICÉ ALGEBRY ZVOLENÝ POLYNOM / CIFRI Zdáí: Zvol olyom f ( x) stuě 6 tkový y 6 f ( ) { 87868}. Uči všehy kořey s ásoostí. Vyováí: Zdáí vyhovuje

Více

56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25

56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25 56. ročník Mtemtické olympiády Úlohy domácí části I. kol ktegorie 1. Njděte všechny dvojice (, ) celých čísel, jež vyhovují rovnici + 7 + 6 + 5 + 4 + = 0. Řešení. Rovnici řešíme jko kvdrtickou s neznámou

Více

8.2.6 Geometrická posloupnost

8.2.6 Geometrická posloupnost 8.. Geometricá posloupost Předpoldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogicá pozám: V hodiě rozdělím třídu dvě supiy ždá z ich dělá jede z prvích dvou příldů. Př. : Poločs rozpdu (dob z terou se rozpde polovi existujícího

Více

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti sttických mometů souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme že jste

Více

Analytická geometrie

Analytická geometrie 7..06 Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

3. Kvadratické rovnice

3. Kvadratické rovnice CZ..07/..08/0.0009. Kvdrtické rovnice se v tetice oznčuje lgebrická rovnice druhého stupně, tzn. rovnice o jedné neznáé, ve které neznáá vystupuje ve druhé ocnině (²). V zákldní tvru vypdá následovně:

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na Fakultě bezpečnostního inženýrství VŠB TU Ostrava

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na Fakultě bezpečnostního inženýrství VŠB TU Ostrava Okruhy z učiv sředoškolské memiky pro příprvu ke sudiu Fkulě ezpečosího ižeýrsví VŠB TU Osrv I Úprvy lgerických výrzů, zlomky, rozkld kvdrického rojčleu, mociy se záporým epoeem, mociy s rcioálím epoeem,

Více

Posloupnosti a řady. Obsah

Posloupnosti a řady. Obsah Poslouposti řdy Poslouposti řdy Obsh. Poslouposti... 8. Úvod do posloupostí... 8. Aritmetická geometrická posloupost... 9. Limit poslouposti... 9. Řdy... 0. Nekoečá geometrická řd... 0 Strák 7 Poslouposti

Více

7. Analytická geometrie

7. Analytická geometrie 7. Aaltická geoetrie Studijí tet 7. Aaltická geoetrie A. Příka v roviě ϕ s A s ϕ s 2 s 1 B p s ϕ = (s1, s 2 ) sěrový vektor přík p orálový vektor přík p sěrový úhel přík p k = tgϕ = s 2 s 1 sěrice příkp

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f

Více

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl Středí průmyslová škol sdělovcí techiky Pská 3 Prh Jroslv Reichl, 00 Jroslv Reichl OBSAH Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Poslouposti jejich vlstosti 3 Pojem posloupost 3 Připomeutí fukcí 3 Defiice poslouposti

Více

Konec srandy!!! Mocniny s přirozeným mocnitelem I. Předpoklady: základní početní operace

Konec srandy!!! Mocniny s přirozeným mocnitelem I. Předpoklady: základní početní operace Koec srady!!!.6. Mociy s přirozeým mocitelem I Předpoklady: základí početí operace Pedagogická pozámka: Zápis a začátku kapitoly je víc ež je srada. Tato hodia je prví v druhé části studia. Až dosud ehrálo

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců.

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců. 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jký by byl

Více

a) 1 b) 0 c) 1 d) 2 x e) 2x

a) 1 b) 0 c) 1 d) 2 x e) 2x FSI VUT v Brě zdáí č.. str. Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vžd právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Je-li 0, pk 0 c) e) ) Výrz lze uprvit tvr c) e) ) Nerovice má řešeí c) e) ) Rovice 0 má právě jedo

Více

8.3.1 Pojem limita posloupnosti

8.3.1 Pojem limita posloupnosti .3. Pojem limit poslouposti Předpokldy: 30, 0 Pedgogická pozámk: Limit poslouposti eí pro studety sdo strvitelým pojmem. Hlvím problémem je podle mých zkušeostí edorozuměí s tím, zd mezi posloupostí její

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! ax + ay bx by ax ay bx + by d) a b 4) Řešením nerovnice x 3x e) nemá řešení

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! ax + ay bx by ax ay bx + by d) a b 4) Řešením nerovnice x 3x e) nemá řešení FSI VUT v Brě zdáí č.. str. MATEMATIKA 0 Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vždy právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Pro všechy přípusté hodoty pltí: + y y b) y + y c) + b b + y b by y b + by d) b +

Více

Analytická geometrie

Analytická geometrie MATEMATICKÝ ÚSTAV Slezská uverzt N Rybíčku, 746 0 Opv DENNÍ STUDIUM Alytcká geoetre Té 5.: Shodá zobrzeí Defce 5.. Zobrzeí f eukldovského prostoru E do eukldovského prostoru E se zývá shodé (zoetrcké),

Více

Řešení soustav lineárních rovnic

Řešení soustav lineárních rovnic Řešeí sousv lieáríc rovic Sousv lieáríc rovic Sousvou m lieáríc rovic o ezámýc rozumíme sousvu : Kde ij i R M m m Čísl ij zýváme koeficiey sousvy čísl i soluí čley Uvedeou sousvu udeme zči Sm m M m Homogeí

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c) x b) 6 x c) 5) Rovnice y = je rovnicí a) elipsy b) paraboly c) přímky d) kružnice e) hyperboly

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c) x b) 6 x c) 5) Rovnice y = je rovnicí a) elipsy b) paraboly c) přímky d) kružnice e) hyperboly FSI VUT v Brě zdáí č.. str. MATEMATIKA 009 Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vždy právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Je-li > 0, pk c) e) ) Je-li > 0, pk : 6 6 c) 6 e) ) Nerovice < má řešeí < > c)

Více

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c)

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c) FSI VUT v Brě zdáí č. str. MATEMATIKA 06 Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vždy právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Je-li > 0, pk c) e) ) Je-li > 0, pk 6 c) 6 9 e) 9 ) Rovice má řešeí v itervlu ; )

Více

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení Přijímací řízeí akademický rok 0/0 Kompletí zěí testových otázek matematické myšleí Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď. Které číslo doplíte místo otazíku? 6 8 8 6?.

Více

množina všech reálných čísel

množina všech reálných čísel /6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,

Více

Posloupnosti ( 1) ( ) 1. Různým způsobem (rekurentně i jinak) zadané posloupnosti. 2. Aritmetická posloupnost

Posloupnosti ( 1) ( ) 1. Různým způsobem (rekurentně i jinak) zadané posloupnosti. 2. Aritmetická posloupnost Poloupoti Růzým způobem (rekuretě i jik zdé poloupoti Urči prvích pět čleů poloupoti, ve které, + Urči prvích pět čleů poloupoti, je-li dáo:, + + Urči prvích pět čleů poloupoti, je-li dáo: 0,, Urči prvích

Více

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN 2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;

Více

2.7.5 Racionální a polynomické funkce

2.7.5 Racionální a polynomické funkce 75 Racioálí a poloické fukce Předpoklad: 704 Pedagogická pozáka: Při opisováí defiic racioálí a poloické fukce si ěkteří studeti stěžovali, že je to příliš těžké Ve skutečosti je ssté, který jsou fukce

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C 52. ročník mtemtické olympiády Úlohy školní kluzurní části I. kol ktegorie 1. Odtrhneme-li od libovolného lespoň dvojmístného přirozeného čísl číslici n místě jednotek, dostneme číslo o jednu číslici krtší.

Více

6 Stabilita lineárních diskrétních regulačních obvodů

6 Stabilita lineárních diskrétních regulačních obvodů 6 Stbilit lieárích diskrétích regulčích obvodů Pro diskrétí systémy pltí stejá defiice stbility jko pro systémy spojité. Systém je stbilí, když se po odezěí vstupího sigálu vrátí zpět do rovovážého stvu.

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

Posloupnosti. a a. 5) V aritmetické posloupnosti je dáno: a

Posloupnosti. a a. 5) V aritmetické posloupnosti je dáno: a Poslouposti ) Prví čle ritmetické poslouposti je diferece Určete prvích pět čleů této poslouposti ) Prví čle ritmetické poslouposti je 8 diferece Určete prvích pět čleů této poslouposti ) V ritmetické

Více

KKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o

KKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Zákldí pojmy Defiice Soustv rovic m m m b b b m kde ij bi (i m; j jsou reálá čísl j jsou ezámé se zývá soustv m lieárích rovic o ezámých stručě soustv lieárích rovic Čísl ij

Více

Tento materiál vznikl díky Operačnímu programu Praha Adaptabilita CZ.2.17/3.1.00/33254

Tento materiál vznikl díky Operačnímu programu Praha Adaptabilita CZ.2.17/3.1.00/33254 Evropský socálí fod Prh & EU: Ivestuee do vší udoucost eto terál vkl díky Operčíu progru Prh dptlt CZ..7/3..00/3354 Mžerské kvtttví etody II - předášk č. - eore her eore her 96 vo Neu, Morgester kldtelé

Více

Základní pojmy kombinatoriky

Základní pojmy kombinatoriky Základí pojy kobiatoriky Začee příklade Příklad Máe rozesadit lidí kole kulatého stolu tak, aby dva z ich, osoby A a B, eseděly vedle sebe Kolika způsoby to lze učiit? Pro získáí odpovědi budee potřebovat

Více

Nejistoty v mìøení II: nejistoty pøímých mìøení

Nejistoty v mìøení II: nejistoty pøímých mìøení V úvodí èásti [] volého cylu èláù yl uvede struèý pøehled proletiy ejistot v ìøeí, pøilíže historicý vývoj v této olsti zèey dùvody výhody používáí souèsé odifice v širších souvislostech eziárodí etrologie

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

MATEMATIKA PRO EKONOMY

MATEMATIKA PRO EKONOMY VYSOKÁ ŠKOLA POLYECHNICKÁ JIHLAVA Ktedr mtemtik MAEMAIKA PRO EKONOMY Rdek Stolí 8 Recezovl: doc RNDr Ev Věčková CSc Mgr Adre Kubišová Z jzkovou věcou správost obshu díl odpovídá utor et eprošel jzkovou

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ, p. o. MATEMATIKA Ig. Rudolf PŠENICA 6 OBSAH:. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA... 5.. Zákldí možiové pojmy... 5.. Číselé možiy... 6.. Itervly... 6.. Absolutí

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

Nosné stavební konstrukce Výpočet reakcí Výpočet vnitřních sil přímého nosníku

Nosné stavební konstrukce Výpočet reakcí Výpočet vnitřních sil přímého nosníku Stveí sttik.ročík klářského studi osá stveí kostruke osé stveí kostruke ýpočet rekí ýpočet vitříh sil přímého osíku osá stveí kostruke slouží k přeosu ztížeí ojektu do horiového msívu ěmž je ojekt zlože.

Více

8.2.4 Užití aritmetických posloupností

8.2.4 Užití aritmetických posloupností 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jká by byl

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzt Krlov v Prze Pedgogcká kult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICKÉ ALGEBRY POLYNOM / CIFRIK Zdáí: Vyšetřete všem probrým prostředky polyom Vyprcováí: Rcoálí kořey Podle věty: Nechť p Q je koře polyomu q

Více

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1 Matice Matice Maticí typu m/ kde m N azýváme m reálých čísel a sestaveých do m řádků a sloupců ve tvaru a a a a a a M M am am am Prví idex i začí řádek a druhý idex j sloupec ve kterém prvek a leží Prvky

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0 Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny

Více