Posloupnosti a řady. Obsah

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Posloupnosti a řady. Obsah"

Transkript

1 Poslouposti řdy

2 Poslouposti řdy Obsh. Poslouposti Úvod do posloupostí Aritmetická geometrická posloupost Limit poslouposti Řdy Nekoečá geometrická řd... 0 Strák 7

3 Poslouposti řdy. Poslouposti. Úvod do posloupostí. Posloupost je dá vzorcem pro -tý čle. Npište prvích pět čleů dé poslouposti črtěte grf. ) b) c) d) Řešeí: ) Vypočítáme prvích pět čleů poslouposti pro,,,, 7 b),,,, 0 8 Strák 8

4 Poslouposti řdy c) 7 d). Posloupost je dá rekuretě. Vypočítejte prvích čleů dé poslouposti., ) b), Řešeí: ), Vypočítáme prvích čleů dé poslouposti pro,,,, 9 0 Strák 9

5 b), Poslouposti řdy Vypočítáme prvích čleů dé poslouposti pro,,,, 9 9. Posloupost je dá rekuretě. Vypočítejte prvích 6 čleů dé poslouposti.,, ) b),, Řešeí: ),, Vypočítáme prvích 6 čleů dé poslouposti pro,,,,, b),, Vypočítáme prvích 6 čleů dé poslouposti pro,,,,, Rozhoděte, zd je dá posloupost rostoucí, klesjící, přípdě i rostoucí i klesjící. Zkreslete grf poslouposti pro prvích 6 čleů. ) b) log0 c) d) e) f) Strák 0

6 Poslouposti řdy Řešeí: ) Nejdříve vypočítáme prvích 6 čleů této poslouposti Z prvích šesti čleů poslouposti je ptré, že by se mohlo jedt o posloupost rostoucí. Dokážeme, že: N : N 7 : Z posledího řádku je erovost zřejmá. Bylo tedy dokázáo, že tto posloupost je rostoucí. Strák

7 b) log0 Poslouposti řdy Nejdříve vypočítáme prvích 6 čleů této poslouposti. log0 6 log0 log0 log0 log0 6 log0 6 Z prvích šesti čleů poslouposti je ptré, že by se mohlo jedt o posloupost klesjící. Dokážeme, že: N : N : log0 log0 log0 log0 v Z posledího řádku je erovost zřejmá. Bylo tedy dokázáo, že tto posloupost je klesjící. Strák

8 Poslouposti řdy c) Nejdříve vypočítáme prvích 6 čleů této poslouposti Vzhledem k oscilci hodot je zřejmé, že se jedá o posloupost, která eí i rostoucí i klesjící. Tto situce je způsobe střídjící se lichou sudou mociou čísl. d) Nejdříve vypočítáme prvích 6 čleů této poslouposti Strák

9 Poslouposti řdy Z prvích šesti čleů poslouposti je ptré, že by se mohlo jedt o posloupost klesjící. Dokážeme, že: N : N : / 8 8 Z posledího řádku je erovost zřejmá. Bylo tedy dokázáo, že tto posloupost je klesjící. e) Nejdříve vypočítáme prvích 6 čleů této poslouposti Z prvích šesti čleů poslouposti je ptré, že by se mohlo jedt o posloupost rostoucí. Dokážeme, že: N : N : Z posledího řádku je erovost zřejmá. Bylo tedy dokázáo, že tto posloupost je rostoucí. Strák

10 Poslouposti řdy f) Nejdříve vypočítáme prvích 6 čleů této poslouposti Z hodot prvích šesti čleů této poslouposti je ptré, že je posloupost pro =,,, klesjící. Hodoty dlších čleů poslouposti (pro > ) jsou pro kždé dlší větší, proto je tto posloupost pro > rostoucí. Je tedy zřejmé, že tto posloupost eí rostoucí i klesjící pro N. Strák

11 Poslouposti řdy. Rozhoděte, zd je posloupost omezeá shor, zdol ebo zd je omezeá. ) b) 0 c) cos0 d) e) f) g) Řešeí: ) h) tg i) j) k) e l Posloupost ( ) = je omezeá (shor omezeá, zdol omezeá), jestliže je moži všech jejích čleů omezeá (shor omezeá, zdol omezeá), tedy jestliže eistuje tkové K R : K K, K, N Z hodot prvích čleů poslouposti je zřejmé, že je tto posloupost zdol omezeá. Eistuje totiž K :, N. Strák 6

12 b) 0 Z hodot prvích čleů poslouposti Poslouposti řdy vidíme, že je posloupost zdol omezeá. K 9 R :, N. c) cos0 Z hodot prvích čleů poslouposti cos0 0, cos 0 0,9 cos 0 0,87 cos 0 0,77 cos0 0,6 cos0 0,... cos70 0,99 cos80 cos90 0, 77 cos 00 0,9 cos 0 0,87 cos 0 0,77 Z výčtu vybrých hodot poslouposti můžeme usuzovt posloupost omezeou. Tké z grfu fukce f cos0. je vidět, že se jedá o fukci omezeou to čísly K = ±. Jelikož poslouposti jsou vlstě fukce defiové možiě přirozeých čísel, lze říct, že jsme lezli tkové K = R:. Posloupost je tedy omezeá. Strák 7

13 Poslouposti řdy d) e) Z hodot prvích čleů poslouposti je zřejmé, že se jedá o posloupost rostoucí, jejíž prví čle doshuje ejmeší hodoty to. Posloupost je tedy omezeá zdol hodotou shor hodotou 0, ke které se jedotlivé hodoty čleů poslouposti blíží. Pltí tedy: N: < 0 posloupost je tedy omezeá. Z hodot prvích čleů poslouposti pro N, je vidět, že zdá posloupost je shor omezeá hodotou K =. Hodoty čleů poslouposti se pro N, blíží hodotě. Je tedy zřejmé, že posloupost je omezeá, pltí: N, :. Strák 8

14 f) g) Poslouposti řdy Z hodot prvích čleů poslouposti pro N: je zřejmé, že se jedá o posloupost rostoucí. Nejmeší hodotu doshuje tto posloupost pro =. Posloupost je tedy omezeá zdol hodotou K =. Pltí tedy: N:. Z hodot ěkolik čleů poslouposti je zřejmé, že tto posloupost eí omezeá i shor i zdol. Pro lichá hodoty čleů poslouposti klesjí, pro sudé hodoty pk hodoty čleů poslouposti rostou. Posloupost (( ) ( ) + ) = eí omezeá. Pro ilustrci uveďme grf poslouposti pro prvích šest čleů. Strák 9

15 h) tg Z hodot ěkolik čleů poslouposti 0,08 0,0 0,0 0,070 0,088 Poslouposti řdy 6 0,0 ze zřejmé, že se jedá o posloupost rostoucí zdol omezeou hodotou prvího čleu poslouposti. Posloupost je tedy omezeá zdol hodotou K = 0,08. Pltí tedy: N: 0,08. f Pro ilustrci si uveďme grf fukce tg i) Z hodot ěkolik čleů poslouposti je zřejmé, že ejmeší hodot, kterou tto posloupost bývá je 0, to pro prví Strák 0

16 Poslouposti řdy čle poslouposti. Posloupost je tedy omezeá shor, eboť je klesjící. Při sledováí hodot čleů poslouposti zjišťujeme, že se blíží limití hodotě. Posloupost je tedy omezeá pltí: N: < 0. Pro ilustrci ukžme grf prvích 0 čleů této poslouposti. j) e Z hodot ěkolik čleů poslouposti e 0 e e e e e e e e 6 6 e 6 e je zřejmé, že jde o posloupost rostoucí. Nejmeší hodotu doshuje tto posloupost pro =, = 0. Z dlších hodot čleů poslouposti je vidět, že tto posloupost eí shor omezeá. Jde tedy o posloupost zdol omezeou hodotou K = 0 pltí: N: 0. Strák

17 Poslouposti řdy Grf poslouposti pro prvích šest čleů: k) l Vypočítáme ejdříve pár čleů poslouposti: l l l l 6 l 7 l 8 l po výpočtu zokrouhleí: 0, 0,, 0,8, 0,98, 0, 0, 6 0,99 Z uvedeých hodot vyplývá, že posloupost doshuje své miimálí hodoty pro = to = 0. Dále hodoty čleů poslouposti rostou. Mimálí hodotu doshuje tto posloupost pro = to = 0,0. Dále čley poslouposti klesjí limitě se blíží hodotě 0. Je tedy zřejmé, že je tto posloupost omezeá pltí: N: 0 l. 8 Strák

18 Poslouposti řdy 6. Vypočítejte limitu poslouposti, určete dlší vlstosti, rozhoděte, zd je dá posloupost kovergetí. ) 0 b) c) Řešeí: ) 6 d) 0 Vypočítáme ěkolik hodot čleů poslouposti Z prvích šesti čleů poslouposti je zřejmé, že se jedá o posloupost klesjící, eboť N: < + > +. Posloupost je shor omezeá hodotou prvího čleu poslouposti tedy pro = to hodotou = 0. Určíme limitu Strák

19 Poslouposti řdy poslouposti lim lim 0. Z hodoty limity poslouposti je zřejmé, že se hodoty čleů poslouposti budou pro blížit hodotě 0. Posloupost je tedy omezeá kovergetí s limitou 0. b) Ze zdáí příkldu, je zřejmé, že pro N budou všechy hodoty čleů poslouposti stejé to =. Jedá se tedy o posloupost kosttí. Tto c) posloupost je jistě kovergetí, eboť: lim Jelikož je kždá kovergetí posloupost omezeá, můžeme říct, že se tedy jedá o posloupost omezeou. 6 Nejdříve si určíme hodoty ěkolik prvích čleů poslouposti: Z těchto hodot je zřejmé, že jde o posloupost rostoucí. Zdá se, že se hodoty čleů poslouposti blíží k jisté hodotě. Vypočítáme limitu lim lim 6 0 Eistuje tedy vlstí limit, ke které se hodoty čleů poslouposti blíží. Posloupost je kovergetí tedy i omezeá (zdol hodotou, tedy hodotou prvího čleu poslouposti, shor hodotou limity poslouposti, tedy hodotou 6). Strák

20 Poslouposti řdy d) Nejdříve si určíme hodoty ěkolik prvích čleů poslouposti: U jedotlivých hodot čleů poslouposti dochází ke střídáí zméek, vzhledem ke střídjícím se sudým lichým mociám čísl ( ). Jedá se tedy o posloupost lterující. Alterující posloupostí rozumíme libovolou posloupost ( ) =, kterou lze zpst jko = ( ) b, kde b = R + 0. Posloupost je shor i zdol omezeá to hodotou prvího čleu =, respektive druhého čleu. Pro výpočet limity poslouposti si zjedodušíme situci tk, že budeme předpokládt, že všech zmék hodot čleů poslouposti jsou kldá. Tedy počítáme limitu poslouposti 0 lim lim 0 Posloupost je tedy lterující, kovergetí omezeá. 7. Rozhoděte, zd je posloupost ritmetická ebo geometrická. V přípdě ritmetické poslouposti určete difereci, v přípdě geometrické poslouposti určete kvociet. ) b) 6 c) d) e) log f) e 0 g) Strák

21 Řešeí: ) Poslouposti řdy Nejdříve si vypočítáme ěkolik hodot prvích čleů poslouposti 0 7 6, 6, 8 7, Je zřejmé, že hodot ásledujícího čleu je vždy o větší ež hodot čleu předcházejícího. Jedá se tedy zřejmě o ritmetickou posloupost s diferecí d, eboť: 6 6 d. b) 6 Nejdříve si vypočítáme ěkolik hodot prvích čleů poslouposti: 6 6 6,, , 6, , 7, Je zřejmé, že hodot ásledujícího čleu je vždy o větší ež hodot čleu předcházejícího. Jedá se tedy zřejmě o ritmetickou posloupost s diferecí d, eboť: d Strák 6

22 c) d) Poslouposti řdy Nejdříve si vypočítáme ěkolik hodot prvích čleů poslouposti:, 7,,, 8 8 Je zřejmé, že hodot ásledujícího čleu je vždy o meší ež hodot čleu předcházejícího. Jedá se tedy zřejmě o ritmetickou posloupost s diferecí d, eboť: d , 7, Nejdříve si vypočítáme ěkolik hodot prvích čleů poslouposti 8,, 9, , 6 Z těchto hodot je vidět, že kždý ásledující čle vzike z předcházejícího vyásobeím číslem. Jedá se tedy o geometrickou posloupost s kvocietem q. Určíme hodotu kvocietu z, resp. + čleu: q e) log Nejdříve si vypočítáme ěkolik hodot prvích čleů poslouposti: log log log log, log log log, tedy log log log log, log Z těchto hodot je zřejmé, že se kždý ásledující čle poslouposti liší o hodotu log. Tedy kždý ásledující čle získáme z předcházejícího přičteím hodoty log. Určíme hodotu diferece z, resp. + čleu: d log log log log log log Strák 7

23 Poslouposti řdy Strák 8 f) e Nejdříve si vypočítáme ěkolik hodot prvích čleů poslouposti:,, e e e e e e ,, 8 8 e e e e e e Z těchto hodot je vidět, že kždý ásledující čle vzike z předcházejícího vyásobeím číslem e. Jedá se tedy o geometrickou posloupost s kvocietem e q. Určíme hodotu kvocietu z, resp. + čleu: e e e q e g) 0 Nejdříve si vypočítáme ěkolik hodot prvích čleů poslouposti: 0, 0 0, 0 0 0, , 0 000, , Z těchto hodot je vidět, že kždý ásledující čle vzike z předcházejícího vyásobeím číslem 0. Jedá se tedy o geometrickou posloupost s kvocietem 0 q. Určíme hodotu kvocietu z, resp. + čleu: q.

24 Poslouposti řdy. Aritmetická geometrická posloupost. Určete ěkolik čleů rekuretě zdé poslouposti. Rozhoděte, zd jde o posloupost ritmetickou či geometrickou. Zpište tuto posloupost pomocí vzorcem pro -tý čle. 7, ) b) c) Řešeí: ),, 7, Nejdříve vypočítáme hodoty ěkolik prvích čleů poslouposti b) 7, 7 0, 0, 6 6 9, 9, 6 6 Z hodot prvích 7 čleů poslouposti je vidět, že kždý ásledující čle poslouposti získáme z předcházejícího čleu přičteím. Jedá se tedy o posloupost ritmetickou s diferecí d. Vzorec pro -tý čle lze v tomto přípdě odhdout, přípdě užijeme ásledující metodu: 7... Z těchto rovostí vytvoříme součet posuutím ideu získáváme vzorec pro -tý čle 7 7., Nejdříve vypočítáme hodoty ěkolik prvích čleů poslouposti:, 9,, 6, 0 Z hodot prvích čleů poslouposti je vidět, že kždý ásledující čle poslouposti získáme z předcházejícího čleu přičteím. Jedá se tedy o posloupost ritmetickou s diferecí d. Strák 9

25 Poslouposti řdy c) Vzorec pro -tý čle lze v tomto přípdě odhdout, přípdě užijeme ásledující metodu:... Z těchto rovostí vytvoříme součet posuutím ideu získáváme vzorec pro -tý čle., Nejdříve vypočítáme hodoty ěkolik prvích čleů poslouposti:, 7,, 8, 9, 6 Z hodot prvích 6 čleů poslouposti je vidět, že kždý ásledující čle poslouposti získáme z předcházejícího čleu vyásobeím číslem. Jedá se tedy o posloupost geometrickou s kvocietem q. Vzorec pro -tý čle lze v tomto přípdě odhdout:, přípdě užijeme ásledující metodu:... Z těchto rovostí vytvoříme souči: jsou-li všech i eulová, můžeme psát:... posuutím ideu získáváme vzorec pro -tý čle. Strák 60

26 Poslouposti řdy. Určete reálé číslo R tk, by čísl,, tvořil tři ásledující čley ritmetické poslouposti. ),, 6 b) log, log, log c) si, si, si Řešeí: ),, 6 Z těchto čleů ritmetické poslouposti vyjádříme difereci d: d d 6 6 Musí pltit: D , ,, 8 Pro, 8 tvoří čísl,, tři po sobě jdoucí čley ritmetické poslouposti. b) log, log, log Z těchto čleů ritmetické poslouposti vyjádříme difereci d: log log log log log d log log log d Musí pltit: log log log log Pro tvoří čísl,, tři po sobě jdoucí čley ritmetické poslouposti. c) si, si, si Z těchto čleů ritmetické poslouposti vyjádříme difereci d: si si d si si d Strák 6

27 Pomocí součtových vzorců získáváme: Poslouposti řdy si si si cos cos si si si cos si d si si si cos cos si si cos cos si cos si cos d Musí pltit: si cos si cos si cos si cos si cos si cos 0 si cos 0 si cos 0 si si 0 si si si si si si si k, k, k Z 0 7 si, k, k, k Z 7 Pro k, k pro k, k, k Z tvoří čísl,, tři po sobě jdoucí čley ritmetické poslouposti.. Určete reálé číslo Rtk, by čísl,, tvořil tři ásledující čley geometrické poslouposti. ),, log, log, log b) Řešeí: ),, Z těchto čleů geometrické poslouposti vyjádříme kvociet q q q Strák 6

28 Poslouposti řdy b) Musí pltit: 0 0 / subst. : z z z D D z, z 6, z Návrtem k substituci 6 log 6 NŘ Pro log 6 tvoří čísl,, tři po sobě jdoucí čley geometrické poslouposti. log, log, log Z těchto čleů geometrické poslouposti vyjádříme kvociet q: log q log log q log Musí pltit: log log log log log log log log log log log 9 log 6 log 9 log 6 log log 6log log 7log log 9 log 6log 7log log log log 6 0 / subst.: y log y y 6 0 D D 6 y, y, y 8 8 Návrtem k substituci: y log log 00 y log log 0 0 Strák 6

29 Poslouposti řdy Podmíky: 7log log 0 / subst.: z log z 7z 0 D 9 D 7 z, z, z z log 0 log z log 000 log 0 0, 00 Pro 00, 0 tvoří čísl,, tři po sobě jdoucí čley geometrické poslouposti.. V ritmetické poslouposti pltí 0, d. Kolikátý čle této poslouposti je rove: ) b) 00 Řešeí: ) V ritmetické poslouposti pltí: d dosdíme do vzthu vyjádříme ezámou čle dé poslouposti má hodotu. b) 00 V ritmetické poslouposti pltí: d dosdíme do vzthu vyjádříme ezámou čle dé poslouposti má hodotu 00. Strák 6

30 Poslouposti řdy. V geometrické poslouposti pltí 6, q. Kolikátý čle této poslouposti je rove Řešeí: V geometrické poslouposti pltí, že ezámou čle uvedeé poslouposti je rove q. Dosdíme do vzthu vyjádříme 6. V geometrické poslouposti pltí, q. Kolikátý čle této poslouposti je rove 79. Řešeí: V geometrické poslouposti pltí, že ezámou 79 q. Dosdíme do vzthu vyjádříme Hodot. čleu uvedeé geometrické poslouposti je rov Určete prví čle difereci ritmetické poslouposti, ve které 9, 0 7. r s d r s r s. Doszeím: Řešeí: V ritmetické poslouposti pltí, že r s,, : d d d 8 Pro prví čle poslouposti pltí: d 98 V dé ritmetické poslouposti je, d 8. Strák 6

31 Poslouposti řdy 8. Určete prví čle difereci ritmetické poslouposti, ve které,. r s d r s r s. Doszeím: Řešeí: V ritmetické poslouposti pltí, že r s,, : d 8d 9 8d 9 9 d 8 6 Pro prví čle poslouposti pltí: d V dé ritmetické poslouposti je, d Určete prví čle difereci ritmetické poslouposti, ve které: 0. 9 Řešeí: Vyjádříme si všechy čley v této soustvě rovic pomocí prvího čleu diferece, eboť pltí: d Tedy: d d 0 d 9 d d 0 d 9 0 d d 9 d d Prví čle diferece zdé poslouposti je 0, d. Strák 66

32 Poslouposti řdy 0. Určete prví čle difereci ritmetické poslouposti, ve které pltí:. Řešeí: 8 d 0 d d d 7d d 0 / 8d 0 8d 0 / 8d R d d Prví čle diferece zdé poslouposti je R, d.. Určete prví čle difereci ritmetické poslouposti, ve které pltí: Řešeí:. 0d d d d 6d 7d 0 0d 0d 0 / 0d / 0d 0 0d Strák 67

33 Poslouposti řdy Prví čle diferece zdé poslouposti je, d. 0. Určete prví čle difereci ritmetické poslouposti, ve které pltí:. Řešeí: d d d d d d d d d d d d d 0d d d d d / 0d d 0d d d 6 d d, d d, Prví čle diferece zdé poslouposti je, d,, d.. Určete prví čle difereci ritmetické poslouposti, ve které pltí: 8. Řešeí: d d 8 d d d d 0 6d 8 d d 8 d 6d 6d 8 Strák 68

34 8 6d d d d d 6d d d 6d d Poslouposti řdy d 6 0 Prví čle diferece zdé poslouposti je 0, d.. Určete prví čle kvociet geometrické poslouposti, ve které pltí: 6, ) b) 0 0 c) d) 60 Řešeí: ) 6, rs V geometrické poslouposti pltí, že r sq, r, s N, r s Pltí tedy: q 6q q 6 q Pro prví čle poslouposti pltí: q q 6 6 q 6 6 V dé geometrické poslouposti je prví čle kvociet rove b) 0 0 6, q q q 0 q q q 0 Strák 69

35 q q 0 q q q 0 0 q q, 0 0 q 0 0q 0 q Poslouposti řdy V dé geometrické poslouposti je prví čle kvociet rove, q c) q q 7 q q 6 60 q ( q ) 60 q ( q ) q q q 60 q q q q q 60 q q q q q q q 0 D 6 9 D q, q, q Doszeím hodot kvocietů do příslušé rovice získáváme hodoty prvích čleů V dé geometrické poslouposti pltí:, q ;, q. Strák 70

36 Poslouposti řdy d) 60 Čley poslouposti přepíšeme pomocí prvího čleu: q q 60 q q( q) 60 ( q ) 60 q( q) 60 ( q) q q q q ( )( ) 60 q q 60 q q q q 60q 60q 60 q 0 60q q 60 0 q 6q 0 D D 6 q, q, q 0 Doszeím hodot kvocietů do příslušé rovice získáváme hodoty prvích čleů: V dé geometrické poslouposti pltí:, q ; 0, q.. Tři čísl, která tvoří tři ásledující čley ritmetické poslouposti, mjí součet 60 souči 700. Určete tto čísl. Řešeí: Čley poslouposti přepíšeme pomocí prvího čleu: d d 60 d d 700 Strák 7

37 d 60 d 0 0 d d d 700 d d d d d d d d d 0 0 d 0 Získáváme dvě poslouposti:, 0,, 0, Poslouposti řdy 00 d d 700 0d 00 d d 6. Určete tři reálá čísl větší ež 8 meší ež 68 tk, by spolu s dými čísly tvořil pět ásledujících čleů ritmetické poslouposti. Řešeí: V této poslouposti musí pltit: 8 68 d 8 d d 68 8 d 60 Získáváme tedy dvě poslouposti: Pro = 8, d = 60 pltí: 8, 68, 8, 88, 68 Pro = 68, d = 60 pltí: 68, 88, 8, 68, 8 7. Určete tři reálá čísl větší ež 8 meší ež 68 tk, by spolu s dými čísly tvořil pět ásledujících čleů geometrické poslouposti. Řešeí: V této poslouposti musí pltit: 8 68 q 68 8q q, 8 Získáváme tedy poslouposti: 8,, 7, 6, 68 Strák 7

38 Poslouposti řdy Pro = 8, q = pltí: 8,, 7, 6, 68 Pro = 8, q = pltí: 8,, 7, 6, 68 Pro = 68, q = pltí: 68, 6, 7,, 8 Pro = 68, q = pltí: 68, 6, 7,, 8 8. V geometrické poslouposti je dáo, q. Určete N tk, by pltilo: Řešeí: q q / D D y, y 0, y 0 Návrt k substituci Druhá rovice emá řešeí. Nlezli jsme tedy hledou hodotu = Mezi kořey kvdrtické rovice = 0 vložte čtyři čísl tk, by spolu s vypočteými kořey tvořil šest po sobě jdoucích čleů ritmetické poslouposti. Řešeí: D D 6 0 6, 8, Pltí tedy, že, 6 8 tké 8, 6 d d d Tké d d d Strák 7

39 Poslouposti řdy Dostáváme tedy ásledující ritmetickou posloupost: =, = 6, =, = 8, =, 6 = 8 Dlší posloupostí je posloupost: = 8, =, = 8, =, = 6, 6 = 8 0. Mezi kořey kvdrtické rovice = 0 vložte čtyři čísl tk, by spolu s vypočteými kořey tvořil šest po sobě jdoucích čleů geometrické poslouposti. Řešeí: D D 6 0 6, 8, Pltí tedy, že, 6 8 tké 8, 6 q 6 8 q q Tké: q 6 8q q Dostáváme tedy ásledující ritmetickou posloupost: =, =, =, =, =, 6 = 8 Dlší posloupostí je posloupost: = 8, = 8, = 8, = 8, = 8, 6 =. V ritmetické poslouposti záme prví čle difereci = 8, d =. Určete N tk, by pltilo, že + + = 89. Řešeí: Čley poslouposti zpíšeme pomocí prvího čleu diferece: d d Uvedeá rovost je splě, je-li =.. Určete dvě reálá čísl, y tk, by čísl,, y tvořil tři ásledující čley geometrické poslouposti čísl, y, 8 tvořil tři ásledující čley ritmetické poslouposti. Strák 7

40 Poslouposti řdy Řešeí: Pltí: GP:, = q, y = q AP:, y = + d, 8 Vytvoříme soustvu rovic: y d 8 d q q d 8 qd 8 d q 8 d q 6 d 6 d 6 d d 6 d d 8 d d 9 08 d d 8 d d d 90 0 d 69d 70 0 D 76 0 D 69 d, d, d q 6 6 q Pro geometrickou posloupost pltí:, = 9, ( ) = 7 = 9, y = 7, 6, = 6, y = Pro ritmetickou posloupost pltí: 9, 7, 8 = 9, y = 7 6,, 8 = 6, y =. Určete čtyři čísl tk, by prví tři tvořil tři ásledující čley ritmetické poslouposti s diferecí d = posledí tři tvořil ásledující čley geometrické posloupostí s kvocietem q =. Strák 7

41 Poslouposti řdy Řešeí: Pro prví tři čley, které tvoří ritmetickou posloupost, pltí: d d 6 Pro čley geometrické poslouposti pltí: q q Získáváme soustvu: Dá čtveřice čísel je tedy: 9, 6,,. Délky str prvoúhlého trojúhelíku tvoří tři po sobě jdoucí čley ritmetické poslouposti. Obvod trojúhelík je 96 cm. Vypočítejte délky str. Řešeí: V zdém prvoúhlém trojúhelíku o strách,,, kde je odvěs, pltí: 96 d d 96 d d d 96 / : d d d d d d d d 0 d d d d 0 0 6d d 6d d d 0 8d 0 d 8 8 Strák 76

42 Poslouposti řdy Pro stry prvoúhlého trojúhelík tedy pltí: =, =, = 0 o 0 9 cm. V ritmetické poslouposti je =, d =. Kolik čleů této poslouposti musíme sečíst, by byl součet větší ež 0? lze Řešeí: Ze vzorce pro součet prvích -čleů ritmetické poslouposti s získt ásledující erovici: 0 d 0 d d 0 6 / D D 0 0, Kvdrtický trojčle lze tedy rozložit: Řešeím této erovice je itervl: 0 0,, Jelikož je N, pk řešeím je prví přirozeé číslo větší ež 0. Přibližá hodot tohoto čísl je 0,9. Je třeb vzít tedy lespoň čleů této poslouposti, by jejich součet byl větší ež V ritmetické poslouposti záme = 8. Určete podmíku pro difereci tk, by pltilo s9 0. Řešeí: Ze vzorce pro součet prvích -čleů ritmetické poslouposti s 9 s9 d 6d Neboť: d, 6d 9 plye Strák 77

43 Doszeím: 9 0 d d / 00 6d 6d d 6 Poslouposti řdy Diferece tkovéto ritmetické poslouposti musí být d. 7. Určete, jkou podmíku musí splňovt prví čle ritmetické poslouposti s diferecí d =, by pltilo s plye Řešeí: Ze vzorce pro součet prvích -čleů ritmetické poslouposti s 0 0 s0 0 9d Prví čle dé ritmetické poslouposti musí splňovt podmíku 8. Určete součet všech sudých čísel, která vyhovují erovici 0 0. Řešeí: Vyřešíme erovici: 0 0 D D 7 7, 0, Uvedeá erovost je splě, jestliže,0. V tomto itervlu se cházejí ásledující sudá čísl:, 6, 8, 0,,, 6,, 8, 0 Počet sudých čísel v tomto itervlu je. Součet těchto sudých čísel: s = ( + 0) = 68 Součet všech sudých čísel vyhovující příslušé erovici je 68. Strák 78

44 Poslouposti řdy 9. V ritmetické poslouposti určete prví čle difereci, jestliže pltí: 6 6, s6 0. Řešeí: d 6 d 6 6 d tedy: d d / 6 s6 6 d 6 d 0 d d 6 d 0 0d 0 / 6 d 0 6 9d 0 6 d 0 0d 0 0 d V dé ritmetické poslouposti pltí: 6, d. 0. V ritmetické poslouposti určete prví čle difereci, jestliže pltí: s 60, s0 70. Řešeí: d 0 9d tedy: s d d 60 0 s0 0 9d 9d 70 Strák 79

45 d 60 / 9d d 0 0 d 70 / d 0 d Poslouposti řdy 8 V dé ritmetické poslouposti pltí = 8, d =.. V ritmetické poslouposti určete prví čle difereci, jestliže pltí: s 0 = s = 6. Řešeí: 0 9 d, 0d tedy: 0 s0 0 9d 9d 6 s 0d 0d 6 9d 6 0 d 6 9d d 6 9d d / 9d 0d 0 d d V dé ritmetické poslouposti pltí = 0, d =. Strák 80

46 Poslouposti řdy. V ritmetické poslouposti je prví čle diferece = 0, d =. Vypočítejte čle, který je rove jedé šestiě součtu všech čleů předchozích. Řešeí: Pro hledý čle poslouposti musí pltit, že s 6 d 6 d d 6 d d 6 d d / D D 7 7,, Jedá se tedy o čtvrtý dvcátý prví čle poslouposti: = + d = 0 6 =, = + 0d = 0 0 = 0 Strák 8

47 Poslouposti řdy. V geometrické poslouposti s prvím čleem = 6 určete kvociet tk, by pltilo, že s. q Řešeí: Pro součet prvích čleů geometrické poslouposti pltí, že s q q 7 7 q q q q 6 q 7 q 70 q q s q 0 6 7q 0 q q 7q6 0 q Rozložeím čittele získáváme: qq6 0 q q 60 q 6 Řešeím této erovice je: q,6. Tedy:. V geometrické poslouposti s kvocietem q = vypočítejte, kolik čleů dává součet 86, jestliže posledí sčítec je = 96. Řešeí: 86 Jelikož: q q Pk: Strák 8

48 86 96 Poslouposti řdy / q q Příslušý součet dává právě čleů dé geometrické poslouposti.. V geometrické poslouposti pltí s6 9s. Určete, q. Řešeí: 6 q q s 9 9s q q Po úprvě: 6 q q 9 q q 6 q 9 q 6 q 9 9q q q q q Rovici řešíme pomocí substituce q u u D D u , u, u 8, u Návrtem k substituci získáme kořey původí rovice: q 8 q q q q = 8 q = q = q = Druhý koře všk evyhovuje podmíce q. Jediým kořeem je tedy: q =. Hodot prvího čleu poslouposti pk může bývt: R {0}. 6. Prví dv čley ritmetické poslouposti jsou 7,. ) Vypočítejte šedesátý čle poslouposti. b) Vypočítejte součet prvích 0 čleů poslouposti. c) Kolik prvích čleů poslouposti je potřeb sečíst by byl součet rove 6? Strák 8

49 Poslouposti řdy Řešeí: Nejdříve vypočítáme difereci ritmetické poslouposti: d 7 Pro šedesátý čle poslouposti pltí: 60 9d Pro součet prvích 0 čleů ritmetické poslouposti je potřeb ejdříve vypočítt čtyřicátý čle poslouposti: 0 9d Pro součet pk pltí: 0 s s Pro výpočet počtu čleů, které je potřeb sečíst vyjdeme opět ze vzorce pro součet prvích -čleů ritmetické poslouposti s d D D, 8, 6 Součet prvích, respektive prvích 8 čleů je rove Dv čley ritmetické poslouposti jsou, 0 0. ) Vypočítejte dvcátý čle poslouposti. b) Vypočítejte součet prvích 0 čleů poslouposti. c) Kolik prvích čleů poslouposti je potřeb sečíst by byl součet rove -60. Řešeí: Nejdříve vypočítáme difereci ritmetické poslouposti 0 7d 7d 0 0 d Pro dvcátý čle poslouposti pltí: 0 7d 7 0 Pro součet prvích 0 čleů ritmetické poslouposti je potřeb ejdříve vypočítt prví pdesátý čle poslouposti d d Pro součet pk pltí: 0 s s Pro výpočet počtu čleů, které je potřeb sečíst vyjdeme opět ze vzorce pro součet prvích -čleů ritmetické poslouposti Strák 8

50 Poslouposti řdy s d D D 6, 0, Součet prvích 0, respektive prvích čleů je rove Dv čley ritmetické poslouposti jsou 6, 78. ) Vypočítejte stý čle poslouposti. b) Vypočítejte součet prvích 000 čleů poslouposti. c) Kolik prvích čleů poslouposti je potřeb sečíst by byl součet rove 090? Řešeí: Nejdříve vypočítáme difereci ritmetické poslouposti: 6 6d 6d d Pro stý čle poslouposti pltí: 00 78d Pro součet prvích 000 čleů ritmetické poslouposti je potřeb ejdříve vypočítt prví tisící čle poslouposti: 6 d d Pro součet pk pltí: 000 s s Pro výpočet počtu čleů, které je potřeb sečíst vyjdeme opět ze vzorce pro součet prvích -čleů ritmetické poslouposti s d D D 00, 0, Druhý koře kvdrtické rovice emá smysl, eboť N. Součet prvích 0 čleů poslouposti je rove Dv čley ritmetické poslouposti jsou 8, 0 8. ) Vypočítejte třicátý čle poslouposti. b) Vypočítejte součet prvích čleů poslouposti. c) Kolik prvích čleů poslouposti je potřeb sečíst by byl součet rove -? Strák 8

51 Poslouposti řdy Řešeí: Nejdříve vypočítáme difereci ritmetické poslouposti: 0 8 d d d Pro třicátý čle poslouposti pltí: 0 0 0d 8 0 Pro součet prvích čleů ritmetické poslouposti je potřeb ejdříve vypočítt prví ptáctý čle poslouposti: 8 7d 7 7, d 7, 0, Pro součet pk pltí s s 7, 0, 0 Pro výpočet počtu čleů, které je potřeb sečíst vyjdeme opět ze vzorce pro součet prvích -čleů ritmetické poslouposti: s d 7, 7,, 0, 0, 0, D D, 0, 0 Součet prvích 0, respektive prvích 0 čleů je rove Dv čley ritmetické poslouposti jsou 9 7, 7. ) Vypočítejte třiáctý čle poslouposti b) Vypočítejte součet prvích dvceti čleů poslouposti c) Kolik prvích čleů poslouposti je potřeb sečíst by byl součet rove Řešeí: Nejdříve vypočítáme difereci ritmetické poslouposti: d 8d d Pro třiáctý čle poslouposti pltí: 7 9 d 7 Pro součet prvích 0 čleů ritmetické poslouposti je potřeb ejdříve vypočítt prví dvcátý čle poslouposti: Strák 86

52 Poslouposti řdy 7 9 8d d 9 Pro součet pk pltí: s s0 Pro výpočet počtu čleů, které je potřeb sečíst, vyjdeme opět ze vzorce pro součet prvích -čleů ritmetické poslouposti: s d D D,, Součet prvích čleů poslouposti je rove, eboť prví koře edává smysl. 6. Dv čley geometrické poslouposti jsou,. ) Vypočítejte sedmý čle poslouposti b) Vypočítejte součet prvích čleů poslouposti c) Kolik prvích čleů poslouposti je potřeb sečíst by byl součet rove Řešeí: Nejdříve vypočítáme kvociet geometrické poslouposti: q q Pro sedmý čle poslouposti pltí: q 78 Pro součet prvích čleů geometrické poslouposti pltí: q s s 90 q Pro výpočet počtu čleů, které je potřeb sečíst vyjdeme opět ze vzorce pro součet prvích -čleů geometrické poslouposti: q s q Strák 87

53 log Poslouposti řdy Součet prvích 0 čleů geometrické poslouposti je rove Dv čley geometrické poslouposti jsou,. ) Vypočítejte desátý čle poslouposti. b) Vypočítejte součet prvích 8 čleů poslouposti. c) Kolik prvích čleů poslouposti je potřeb sečíst by byl součet rove? Řešeí: Nejdříve vypočítáme kvociet geometrické poslouposti prví čle: q q q 8 8 q Pro desátý čle poslouposti pltí: q 6 6 Pro součet prvích 8 čleů geometrické poslouposti pltí: 8 q s s8 8 q Pro výpočet počtu čleů, které je potřeb sečíst vyjdeme opět ze vzorce pro součet prvích -čleů geometrické poslouposti: q s q Součet prvích čleů geometrické poslouposti je rove. Strák 88

54 Poslouposti řdy. Dv čley geometrické poslouposti jsou, 7. ) vypočítejte sedmý čle poslouposti b) vypočítejte součet prvích 0 čleů poslouposti Řešeí: Nejdříve vypočítáme kvociet geometrické poslouposti prví čle: 7 7 q q q q, q q 6 q 6 Pro sedmý čle poslouposti pltí: 7 7 q, q Pro součet prvích 0 čleů geometrické poslouposti pltí: 0 q s s0 0 6 q 6 6 s Dv čley geometrické poslouposti jsou, 6. 7 ) vypočítejte čtvrtý čle poslouposti b) vypočítejte součet prvích čleů poslouposti Řešeí: Nejdříve vypočítáme kvociet geometrické poslouposti prví čle: q q q q 9 Pro čtvrtý čle poslouposti pltí: q 7 Pro součet prvích čleů geometrické poslouposti pltí: 0 q 7700 s s, 7 q 76 Strák 89

55 Poslouposti řdy. Dv čley geometrické poslouposti jsou, 7 8. ) vypočítejte ptáctý čle poslouposti b) vypočítejte součet prvích 7 čleů poslouposti Řešeí: Nejdříve vypočítáme kvociet geometrické poslouposti prví čle: 8 q q 9 q q Pro ptáctý čle poslouposti pltí: q Pro součet prvích 7 čleů geometrické poslouposti pltí: 7 q 66 s s7 q s Klády skládáme sebe do vrstev (viz obrázek). Posledí vrstv obshuje 0 klád. Kolik klád můžeme tkto skládt sebe? Řešeí: Z obrázku je vidět, že posledí vrstv klád má 0 kusů, předposledí vrstv 9 kusů, td. Jedá se tedy o ritmetickou posloupost s diferecí d =. Počet čleů této poslouposti je, jelikož se klády skládjí do řd. Řešíme tedy součet prvích čleů ritmetické poslouposti, pro kterou pltí: 0, d Pro prví čle poslouposti pltí: d 0 09 Pro součet prvích čleů je pk: s s Celkový počet klád je 7. Strák 90

56 Poslouposti řdy 7. Střech má tvr čtyřbokého jehlu se čtvercovou zákldou. Počet střeších tšek, které se chází zákldě jedoho ze čtyř trojúhelíků, je 8. V kždé ásledující řdě je o jedu tšku méě. Vypočítejte počet řd střeších tšek celkový počet tšek střeše. Řešeí: Z obrázku je vidět, že posledí vrstv střeších tšek má 8 kusů, předposledí vrstv 7 kusů, td. Jedá se tedy o ritmetickou posloupost s diferecí d =. Počet čleů této poslouposti je, jelikož jsou tšky poskládáy do řd. Pro tuto posloupost pltí:, 8, d Mezi prvím tým čleem pltí: d 8 8 Jk bylo zřejmé již z obrázku, počet řd tšek je rove 8. Pro součet prvích 8 čleů je pk: 8 s s8 8 Jelikož je střech tvoře čtyřmi tkovými trojúhelíky, je celkový počet tšek střechu rove: 6.. Vypočítejte, d. Dále vypočítejte součet prvích deseti čleů součet druhých deseti čleů poslouposti. 8. Aritmetická posloupost je dá vzorcem pro tý čle Řešeí: Pro prví čle poslouposti pltí: Difereci ritmetické poslouposti vypočítáme z prvího druhého čleu poslouposti: d Pro součet prvích deseti čleů poslouposti pltí: d s0 0 0 Strák 9

57 Poslouposti řdy Pro součet druhých deseti čleů je potřeb vypočítt dvcátý čle poslouposti: d s Určete, jkou podmíku musí splňovt prví čle ritmetické poslouposti s diferecí d =, by pltilo s Řešeí: Pro součet ritmetické poslouposti pltí, že s 000 d Pro prví čle tkto zdé ritmetické poslouposti pltí uvedeá erovost, tedy: Určete součet všech přirozeých čísel, která vyhovují erovici 0 0. Řešeí: Nejdříve vyřešíme tuto erovici: / Prví čle poslouposti je tedy, posledí čle poslouposti 8 8. Diferece této 8 s ritmetické poslouposti je d =. Pro součet pltí, že Strák 9

58 Poslouposti řdy. Určete součet všech sudých čísel, která vyhovují erovici 0 0. Řešeí: Nejdříve vyřešíme příslušou erovici: 0 0 D D 7, 0, 0 0 Kvdrtický trojčle rozložíme tvr Pokud si uvědomíme, že grf kvdrtické fukce f 0 protíá osu v bodech 0 ve svém vrcholu bývá miim je zřejmé, že této erovici vyhovují,0. Nejmeší sudé číslo z tohoto itervlu je prvím čleem poslouposti, posledí čle poslouposti 0. Počet všech sudých čísel v tomto itervlu je. Pro součet pk pltí: 8 s Poločs rozpdu jder izotopu Fr je miut. Kolik tohoto izotopu zůste bez přeměy z mg po hodiách? Řešeí: Z mg rdioktivího izotopu frci zbude z miut 0, mg. Z dlších miut to bude: mg Z dlších miut: mg 8 Číselé hodoty hmotosti rdioktivího izotopu tvoří geometrickou posloupost s prvím čleem kvocietem q. Poločs rozpdu ( miut) je v hodiách obsže třicetkrát. Zmeá to, že posledím čleem této geometrické poslouposti bude čle 0. Pltí: q,86 0 mg 9 Po hodiách zbyde z rdioktivího izotopu frci,86 0 mg.. Poločs rozpdu jder izotopu 60 Co je,7 let. Kolik tohoto izotopu zůste bez přeměy ze 00 mg po 0 letech? Řešeí: Ze 00 mg rdioktivího izotopu kobltu zbude z,7 let 0 mg. Z dlších,7 let to bude: 0 mg Z dlších,7 let, mg Strák 9

59 Poslouposti řdy Číselé hodoty hmotosti rdioktivího izotopu tvoří geometrickou posloupost s prvím čleem 00 kvocietem q. Poločs rozpdu (,7 let) je v 0 letech obsže dvěstěkrát. Zmeá to, že posledím čleem této geometrické poslouposti bude čle 00. Pltí: q 00, 0 mg 9 Po 0 letech zbyde z rdioktivího izotopu frci,86 0 mg.. Poločs rozpdu jder izotopu Th je 0,9 sekud. Kolik tohoto izotopu zůste bez přeměy z kg po miutách? Řešeí: Z kg rdioktivího izotopu thori zbude z 0,9 s 00 mg. Z dlších 0,9 s to bude: 00 0 mg Z dlších 0,9 s 0 mg Číselé hodoty hmotosti rdioktivího izotopu tvoří geometrickou posloupost s prvím čleem 000 kvocietem q. Poločs rozpdu (0,9 s) je ve miutách, tedy ve 80 sekudách obsže dvěstěkrát. Zmeá to, že posledím čleem této geometrické poslouposti bude čle 00. Pltí: q 000, 0 mg 7 Po 0 letech zbyde z rdioktivího izotopu frci, 0 mg. Strák 9

60 Poslouposti řdy. Limit poslouposti. Určete limitu dé poslouposti. Rozhoděte, zd se jedá o posloupost kovergetí ebo divergetí. ) b) c) d) e) Řešeí: ) f) g) h) i) j) log Nejdříve vypočítáme příslušou limitu poslouposti: lim lim 0 eboť pltí: lim 0 Posloupost má hodotu limity 0 tedy je kovergetí. b) Jedá se o posloupost kosttí. Nejdříve vypočítáme příslušou limitu c) poslouposti lim Posloupost má hodotu limity tedy je kovergetí. Nejdříve vypočítáme příslušou limitu poslouposti: lim lim lim lim lim lim 0 eboť pltí: lim 0 Posloupost má hodotu limity tedy je kovergetí. Strák 9

61 d) Poslouposti řdy Nejdříve vypočítáme příslušou limitu poslouposti: lim Neboť je zřejmé, že se hodoty čleů poslouposti budou eustále zvyšovt. Posloupost má tedy evlstí limitu pro to. Jedá se tedy o posloupost divergetí. e) Nejdříve vypočítáme příslušou limitu poslouposti tk, že vydělíme, kždý čle ve vyjádřeí -tého čleu, s ejvětším epoetem: lim lim lim lim eboť pltí: lim 0 Posloupost má hodotu limity tedy je kovergetí. f) 7 Nejdříve vypočítáme příslušou limitu poslouposti tk, že vydělíme, kždý čle ve vyjádřeí -tého čleu, s ejvětším epoetem: lim lim lim lim eboť pltí: lim 0 Posloupost 7 g) má hodotu limity 7 tedy je kovergetí. 8 Nejdříve vypočítáme příslušou limitu poslouposti tk, že vydělíme, kždý čle ve vyjádřeí -tého čleu, s ejvětším epoetem: lim lim lim lim eboť pltí: Strák 96

62 lim 0, lim 0, k N k 8 Posloupost h) 6 7 i) Poslouposti řdy má hodotu limity 8 tedy je kovergetí. 7 Nejdříve vypočítáme příslušou limitu poslouposti tk, že vydělíme, kždý čle ve vyjádřeí -tého čleu, s ejvětším epoetem: lim lim lim lim eboť pltí: lim 0, lim 0, k N k 6 7 Posloupost 7 Z ěkolik prvích hodot čleů poslouposti má hodotu limity tedy je kovergetí.,,, 6, 7... vyplývá, že se jedá o posloupost rostoucí shor eomezeá. Pltí tedy: lim. Posloupost posloupost divergetí. j) log Uvědomíme-li si, že fukce f log má tedy evlstí limitu pro to. Jedá se tedy o je fukcí rostoucí, pk tké dá posloupost musí být posloupostí rostoucí. Z této iformce z hodot prvích čleů posloupostí log 0, log 0,, log 0, 8, log 0,6 lim log Posloupost log má tedy evlstí limitu pro to. Jedá se tedy o posloupost divergetí.. Určete limitu dé poslouposti. Rozhoděte, zd se jedá o posloupost kovergetí ebo divergetí. ) 6 b) c) Strák 97

63 Poslouposti řdy d) e) f) g) h) i) j) Řešeí: ) b) 6 Vypočítáme limitu poslouposti: lim lim lim lim lim lim lim 0 eboť pltí, že lim 0 6 Posloupost má hodotu limity tedy je kovergetí. Nejdříve vypočítáme příslušou limitu poslouposti tk, že vydělíme, kždý čle ve vyjádřeí -tého čleu. 0 lim lim lim 0 eboť pltí, že lim 0, N Posloupost má hodotu limity tedy je kovergetí. Strák 98

64 c) d) Poslouposti řdy Nejdříve vypočítáme příslušou limitu poslouposti: 0 lim lim 0 eboť pltí, že lim 0 Posloupost má hodotu limity tedy je kovergetí. Nejdříve vypočítáme příslušou limitu poslouposti: 0 0 lim lim lim lim 0 0 lim 0 0 eboť pltí, že lim 0, lim 0, N Posloupost e) 7 má hodotu limity 0 tedy je kovergetí. Nejdříve vypočítáme příslušou limitu poslouposti: 6 lim7 lim7 lim7 lim 7 00 lim eboť pltí, že Posloupost lim 0, lim 0, k N k 7 má hodotu limity 9 tedy je kovergetí. Strák 99

65 f) g) Poslouposti řdy 8 Nejdříve vypočítáme příslušou limitu poslouposti tk, že vydělíme, kždý čle ve vyjádřeí -tého čleu lim lim lim Posloupost 8 má hodotu limity 0 tedy je kovergetí. 7 Nejdříve vypočítáme příslušou limitu poslouposti: 7 7 lim lim lim lim eboť pltí, že lim 0, lim 0, k N k Posloupost 7 má hodotu limity 6 tedy je kovergetí. h) Nejdříve vypočítáme příslušou limitu poslouposti: lim lim lim lim lim lim lim eboť pltí, že lim 0, lim 0, k N k Posloupost kovergetí. má hodotu limity 6 tedy je Strák 00

66 i) Poslouposti řdy Nejdříve vypočítáme příslušou limitu poslouposti: lim lim lim lim lim lim 0 Posloupost j) má hodotu limity tedy je kovergetí. Nejdříve vypočítáme příslušou limitu poslouposti: lim lim lim 0 0 eboť pltí: k lim 0, lim, lim 0, k N k Posloupost má tedy evlstí limitu pro to. Jedá se tedy o posloupost divergetí.. Určete limitu dé poslouposti. Rozhoděte, zd se jedá o posloupost kovergetí ebo divergetí. ) b) 7 si c) d) e) Řešeí: ) 7 Nejdříve vypočítáme příslušou limitu poslouposti: lim lim lim lim eboť pltí: lim 0, lim, lim k 0, k N k Strák 0

67 Poslouposti řdy b) c) 7 Posloupost má tedy evlstí limitu pro to. Jedá se tedy o posloupost divergetí. si Nejdříve vypočítáme příslušou limitu poslouposti: si si si 0 lim lim lim 0 eboť pltí: si lim 0, lim 0 si Posloupost má hodotu limity tedy je kovergetí. Nejdříve vypočítáme příslušou limitu poslouposti pomocí rozšířeí zlomkem: lim lim lim lim lim lim lim lim 0 eboť pltí: lim 0 Posloupost má hodotu limity tedy je kovergetí. Strák 0

68 d) Poslouposti řdy Nejdříve vypočítáme příslušou limitu poslouposti pomocí rozšířeí zlomkem: lim lim lim lim lim lim lim lim lim 0 eboť pltí: lim 0 Posloupost má hodotu limity e) Nejdříve vypočítáme příslušou limitu poslouposti: lim lim lim 0 eboť pltí: k lim,lim 0, k N k tedy je kovergetí. Posloupost má tedy evlstí limitu pro to. Jedá se tedy o posloupost divergetí. Strák 0

69 Poslouposti řdy. Řdy. Nekoečá geometrická řd. Dou ekoečou geometrickou řdu zpište pomocí sumy. ) 6... g)... b) c) y y y y... 8 h) d) y y y y i)... e e e e e) y y y... 6 j) y 7 y y... f)... Řešeí: ) 6... Jelikož se jedá o mociy čísl, lze dou ekoečou geometrickou řdu zpst jko: b) Jelikož se jedá o mociy čísl, u kterých se střídá zméko lze dou ekoečou geometrickou řdu zpst jko: c) y y y y... 8 Jelikož se jedá o mociy čísl vyásobeé ezámou y, lze dou ekoečou geometrickou řdu zpst jko: y y y y... y 8. y y y y d) 6 8 Jelikož se jedá o mociy čísl vyásobeé sudými mocimi ezámé y se střídjícími zméky, lze dou ekoečou geometrickou řdu zpst jko: 6 8 y y y y... y 9 7. y y y... Jelikož se jedá o mociy výrzů y, lze dou ekoečou geometrickou řdu zpst jko: e) y y y... y. Strák 0

70 Poslouposti řdy f)... Jelikož se jedá o mociy čísl se střídjícími se zméky, lze dou ekoečou geometrickou řdu zpst jko:.... g)... 7 Jelikož se jedá o mociy čísl dou ekoečou geometrickou řdu zpst jko: h) i) vyásobeé lichými mocimi čísl, lze Jelikož se jedá o mociy čísl vyděleé příslušými mocimi čísl 7, lze dou ekoečou geometrickou řdu zpst jko: e e e e Jelikož se jedá o záporé mociy čísl e, respektive kldé mociy čísl e se střídjícími se zméky, lze dou ekoečou geometrickou řdu zpst jko:... e. y 7 y y... Jelikož se jedá o liché mociy výrzu vyásobeé sudými mocimi y, lze dou ekoečou geometrickou řdu zpst jko: e e e e e j) 6 6 y 7 y y... y.. Dou geometrickou řdu, která je zpsá pomocí sumy, rozepište pomocí součtů. Určete prví čle kvociet. ) e) h) log b) y f) i) y c) g) d) Strák 0

71 Řešeí: ) b) c) d) e) Poslouposti řdy Nejdříve řdu rozepíšeme pomocí součtů: 7... Prví čle ekoečé geometrické řdy je. Pro kvociet řdy pltí: q. Nejdříve řdu rozepíšeme pomocí součtů: Prví čle ekoečé geometrické řdy je. Pro kvociet řdy pltí: q. Nejdříve řdu rozepíšeme pomocí součtů:... Prví čle ekoečé geometrické řdy je q. Nejdříve řdu rozepíšeme pomocí součtů:.... Pro kvociet řdy pltí: Prví čle ekoečé geometrické řdy je. Pro kvociet řdy pltí:. q Nejdříve řdu rozepíšeme pomocí součtů: Strák 06

72 ... Poslouposti řdy Prví čle ekoečé geometrické řdy je. Pro kvociet řdy pltí: q. f) y y Nejdříve řdu rozepíšeme pomocí součtů: y y y y 6... y y y y Prví čle ekoečé geometrické řdy je y y y y y q y y y y y g) Nejdříve řdu rozepíšeme pomocí součtů: h) 8... Prví čle ekoečé geometrické řdy je q. log Nejdříve řdu rozepíšeme pomocí součtů:. y y. Pro kvociet řdy pltí:. Pro kvociet řdy pltí: 6 log log log log... log log log... Prví čle ekoečé geometrické řdy je log q. log 6 log. Pro kvociet řdy pltí: Strák 07

73 Poslouposti řdy i) Nejdříve řdu rozepíšeme pomocí součtů: Prví čle ekoečé geometrické řdy je. Pro kvociet řdy pltí: q.. U dé ekoečé geometrické řdy určete prví čle kvociet. Určete, zd je dá řd kovergetí ebo divergetí. V přípdě kovergece určete součet. ) b) c) Řešeí: ) d) e) Pro prví čle ekoečé geometrické řdy dosdíme z tedy: Pro kvociet ekoečé geometrické řdy pltí: q Aby dá ekoečá geometrická řd byl kovergetí měl součet, musí pltit: q Tto erovost je splě řd je tedy kovergetí. Pro součet pltí: s. q Strák 08

74 Poslouposti řdy b) c) Pro prví čle ekoečé geometrické řdy dosdíme z tedy: Pro kvociet ekoečé geometrické řdy pltí: q Aby dá ekoečá geometrická řd byl kovergetí měl součet, musí pltit: q Tto erovost je splě řd je tedy kovergetí. Pro součet pltí: s q. Pro prví čle ekoečé geometrické řdy dosdíme z tedy: Pro kvociet ekoečé geometrické řdy pltí: q Aby dá ekoečá geometrická řd byl kovergetí měl součet, musí pltit: q Tto erovost je splě, řd je tedy kovergetí. Pro součet pltí: s. q Strák 09

75 Poslouposti řdy d) e) Pro prví čle ekoečé geometrické řdy dosdíme z tedy: Pro kvociet ekoečé geometrické řdy pltí: q Aby dá ekoečá geometrická řd byl kovergetí měl součet, musí pltit: q Tto erovost je splě řd je tedy kovergetí. Pro součet pltí: s. q Pro prví čle ekoečé geometrické řdy dosdíme z tedy: Pro kvociet ekoečé geometrické řdy pltí: q Aby dá ekoečá geometrická řd byl kovergetí měl součet, musí pltit: q Tto erovost eí splě řd je tedy divergetí emá součet.. Určete součet ekoečé geometrické řdy: ) b) Řešeí: ) Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů: c) d) Strák 0

76 Poslouposti řdy b) c) Pro kvociet této ekoečé geometrické řdy pltí: 9 q Aby měl tto ekoečá geometrická řd součet, musí pltit: q Tto erovost je splě ekoečá geometrická řd má tedy součet: s q Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů: 8... Pro kvociet této ekoečé geometrické řdy pltí: q 6 Aby měl tto ekoečá geometrická řd součet, musí pltit: q Tto erovost eí splě řd tedy emá součet. Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů:... Pro kvociet této ekoečé geometrické řdy pltí: q Aby měl tto ekoečá geometrická řd součet, musí pltit: q Strák

77 Poslouposti řdy Tto erovost je splě ekoečá geometrická řd má tedy součet: s q d) Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů:... Pro kvociet této ekoečé geometrické řdy pltí: q Aby měl tto ekoečá geometrická řd součet, musí pltit: q Tto erovost je splě ekoečá geometrická řd má tedy součet: s q. Určete součet ekoečé geometrické řdy: ) 7 b) Řešeí: ) 7 Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů: c) d) Pro kvociet této ekoečé geometrické řdy pltí: 9 q 7 7 Aby měl tto ekoečá geometrická řd součet, musí pltit: e 7 7 Strák

78 b) Poslouposti řdy q 7 Tto erovost je splě ekoečá geometrická řd má tedy součet: s q Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů:... Pro kvociet této ekoečé geometrické řdy pltí: q Aby měl tto ekoečá geometrická řd součet, musí pltit: q Tto erovost eí splě, proto řd emá součet. c) Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů: Pro kvociet této ekoečé geometrické řdy pltí: q 9 Aby měl tto ekoečá geometrická řd součet, musí pltit: q Tto erovost je splě ekoečá geometrická řd má tedy součet: s q d) e 7 7 Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů: e e e e e e e Pro kvociet této ekoečé geometrické řdy pltí: Strák

79 Poslouposti řdy e 7 e 7 9 e q e 7 e Aby měl tto ekoečá geometrická řd součet, musí pltit: e q 7 Tto erovost eí splě ekoečá geometrická řd emá součet. 6. Určete součet ekoečé geometrické řdy: ) log b) c) d) Řešeí: ) log Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů: b) 8 8 log log log log log... log log log log... log... 8 Pro kvociet ekoečé geometrické řdy... 8 pltí: q Aby měl tto ekoečá geometrická řd součet, musí pltit: q Tto erovost je splě ekoečá geometrická řd má tedy součet: s q Pro součet tedy pltí: s log log9 Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů:... Pro kvociet ekoečé geometrické řdy pltí: Strák

80 Poslouposti řdy c) d) q Aby měl tto ekoečá geometrická řd součet, musí pltit: q Tto erovost je splě, jestliže: 0 0 ekoečá geometrická řd má tedy součet: s q Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů:... Pro kvociet ekoečé geometrické řdy pltí: q Aby měl tto ekoečá geometrická řd součet, musí pltit: q Tto erovost je splě, jestliže: ekoečá geometrická řd má tedy součet: s q Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů:... Pro kvociet ekoečé geometrické řdy pltí: q Aby měl tto ekoečá geometrická řd součet, musí pltit: q Tto erovost je splě, jestliže: Strák

81 Poslouposti řdy ekoečá geometrická řd má tedy součet: s q 7. Určete součet ekoečé geometrické řdy: ) 7 b) Řešeí: ) b) 7 Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů: Pro kvociet ekoečé geometrické řdy pltí: 7 q c) d) Aby měl tto ekoečá geometrická řd součet, musí pltit: q 7 Tto erovost je splě, jestliže: ekoečá geometrická řd má tedy součet: s 7 7 q 7 7 Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů:... Pro kvociet ekoečé geometrické řdy pltí: q Aby měl tto ekoečá geometrická řd součet, musí pltit: Strák 6

82 Poslouposti řdy c) d) q Tto erovost je splě, jestliže: ) 0 : b) 0 : ekoečá geometrická řd má tedy součet: s q Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů: Pro kvociet ekoečé geometrické řdy pltí: q Tto erovost je splě, jestliže: 9 ekoečá geometrická řd má tedy součet: s q Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů:... Pro kvociet ekoečé geometrické řdy pltí: q Tto erovost je splě, jestliže: Strák 7

83 Poslouposti řdy ) 0 : b) 0 : ekoečá geometrická řd má tedy pro součet: s q 8. Určete součet ekoečé geometrické řdy Řešeí: Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů:.... Pro kvociet ekoečé geometrické řdy pltí, že q Tto ekoečá geometrická řd má součet, jestliže Tuto erovost vyřešíme pomocí ulových bodů, 0:,0 0,, ) jestliže 0, Tuto erovost vyřešíme pomocí ulových bodů,0:,0 0, , Strák 8

84 , b) jestliže,0, Poslouposti řdy 0 0 0, Pro, je řd kovergetí má součet: s q 9. Určete součet ekoečé geometrické řdy: ) b) c) d) Řešeí: ) Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů: Pro kvociet ekoečé geometrické řdy pltí: q Tto ekoečá geometrická řd má součet, jestliže:, ekoečá geometrická řd má tedy součet: s q b) Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů: Pro kvociet ekoečé geometrické řdy pltí: Strák 9

85 Poslouposti řdy c) d) q Tto ekoečá geometrická řd má součet, jestliže:,, ekoečá geometrická řd má tedy součet: s q Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů:... Pro kvociet ekoečé geometrické řdy pltí: q Tto ekoečá geometrická řd má součet, jestliže: 0 podm : 0,0 ekoečá geometrická řd má tedy součet: s q Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů:... Pro kvociet ekoečé geometrické řdy pltí: q Tto ekoečá geometrická řd má součet, jestliže: 0 podm: 0 0, ekoečá geometrická řd má tedy součet: Strák 0

86 Poslouposti řdy s q 0. Určete součet ekoečé geometrické řdy: ) b) e c) si d) cos Řešeí: ) b) Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů Pro kvociet ekoečé geometrické řdy pltí: q Tto ekoečá geometrická řd má součet, jestliže: Podmík pro druhou odmociu ám vymezuje itervl, ve kterém lze jít itervl kovergece. 0, Lze tedy psát: 0, Pro 0, je řd kovergetí má součet: s q e Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů: e e e e... e e e... Pro kvociet ekoečé geometrické řdy pltí: q e Tto ekoečá geometrická řd má součet, jestliže: Strák

87 Poslouposti řdy c) d) e e,0 ekoečá geometrická řd má tedy součet: e s q e si Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů: si si si si... Pro kvociet ekoečé geometrické řdy pltí: q si Tto ekoečá geometrická řd má součet, jestliže: si R ekoečá geometrická řd má tedy součet si s q si cos Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtů: cos cos cos cos... : Pro kvociet ekoečé geometrické řdy pltí: q cos Tto ekoečá geometrická řd má součet, jestliže: cos R ekoečá geometrická řd má tedy součet: cos s q cos. Řešte rovici s ezámou R: ) b) c) d) 7 Řešeí: ) 0 Nejdříve si rozepíšeme sumu pomocí součtu: Strák

M - Posloupnosti VARIACE

M - Posloupnosti VARIACE M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

8.2.7 Geometrická posloupnost

8.2.7 Geometrická posloupnost 87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob

Více

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n /9 POSLOUPNOSTI Zákldí pojmy: Defiice poslouposti Vlstosti poslouposti Určeí poslouposti Aritmetická posloupost Geometrická posloupost Užití poslouposti. Defiice poslouposti Př. Sestrojte grf fukce y =.x

Více

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců.

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců. 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jký by byl

Více

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+ Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte: 6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

8.2.6 Geometrická posloupnost

8.2.6 Geometrická posloupnost 8.. Geometricá posloupost Předpoldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogicá pozám: V hodiě rozdělím třídu dvě supiy ždá z ich dělá jede z prvích dvou příldů. Př. : Poločs rozpdu (dob z terou se rozpde polovi existujícího

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

8.2.4 Užití aritmetických posloupností

8.2.4 Užití aritmetických posloupností 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jká by byl

Více

8. Elementární funkce

8. Elementární funkce Moderí techologie ve studiu plikové fzik CZ.1.07/2.2.00/07.0018 8. Elemetárí fukce Historie přírodích věd potvrzuje, že většiu reálě eistujících dějů lze reprezetovt mtemtickými model, které jsou popsá

Více

Opakovací test. Posloupnosti A, B

Opakovací test. Posloupnosti A, B VY INOVACE_MAT_189 Opkovcí test Poslouposti A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvořeí: prosiec 01 Ročík: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzděláváí Předmět: mtemtik, příprv k mturitě, příprv VŠ, opkováí,

Více

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl Středí průmyslová škol sdělovcí techiky Pská 3 Prh Jroslv Reichl, 00 Jroslv Reichl OBSAH Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Poslouposti jejich vlstosti 3 Pojem posloupost 3 Připomeutí fukcí 3 Defiice poslouposti

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA .. MOCNINA A ODMOCNINA V této kpitole se dozvíte: jk je defiová oci s přirozeý, celý, rcioálí oecý reálý epoete jké jsou její vlstosti; jk je defiová přirozeá odoci, jké jsou její vlstosti jk se dá vyjádřit

Více

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2.

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2. Vyjářeí poloupoti Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby. Prvím je protý výčet prvků. Npříkl jeouchá poloupot uých číel by e výčtem l zpt tkto:,, 6,,... Dlší možotí je vzorec pro tý čle. Stejá poloupot

Více

f B 6. Funkce a posloupnosti 3 patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3. [všechny] 1) Rozhodněte, která z dvojic [ ;9][, 0;3 ][, 2;7]

f B 6. Funkce a posloupnosti 3 patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3. [všechny] 1) Rozhodněte, která z dvojic [ ;9][, 0;3 ][, 2;7] 6. Fukce a poslouposti ) Rozoděte, která z dvojic [ ;9[, 0; [, ; patří fukci daé předpisem y +. [všecy ) Auto má spotřebu 6 l beziu a 00 km. Na začátku jízdy mělo v plé ádrži 6 l beziu. a) Vyjádřete závislost

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů .8. Mohočley, sčítáí odčítáí mohočleů Předpokldy: 7 Mohočle = zvláští typ výrzů. Jk je pozáme? Mohočley obshují pouze přirozeé mociy ezámých (jedé ebo více) kostty. Př. : Rozhodi, které z ásledujících

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ Předmět: Ročík: Vytvořil: Dtum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR JÜTTNEROVÁ Název zprcového celku: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST Defiice: Poloupot e zývá geometrická právě tehdy, když

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY,

POSLOUPNOSTI A ŘADY, POSLOUPNOSTI A ŘADY, ÚVOD DO INTEGRÁLNÍHO POČTU Obsh Poslouposti řdy. Poslouposti reálých čísel................................ Aritmetická geometrická posloupost........................ 4.3 Nekoečé číselé

Více

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t. ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Nové symboly pro čísla

Nové symboly pro čísla Nové symboly pro čísl V pitole Ituitiví ombitori jsme řešili tyto dv typy příldů. Stále se v ich opují součiy přirozeých čísel, t j jdou z sebou, ědy ž do, ědy sočí dříve. Proto si zvedeme dv ové symboly

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor . LINEÁRNÍ LGEBR Vektorový prostor.. Defiice Nechť V e moži které sou defiováy operce sčítáí + : t. zobrzeí V V V ásobeí i : t zobrzeí R V V. Možiu V zýváme vektorovým prostorem, sou-li splěy ásleduící

Více

9. Racionální lomená funkce

9. Racionální lomená funkce @ 9. Rcioálí loeá fukce Defiice: Nechť P je poloická fukce -tého stupě... ) ( P kde R... A echť Q je poloická fukce -tého stupě... ) ( Q kde R... Rcioálí loeá fukce R je dá podíle ) ( ) ( ) ( Q P R pro

Více

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

KKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o

KKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Zákldí pojmy Defiice Soustv rovic m m m b b b m kde ij bi (i m; j jsou reálá čísl j jsou ezámé se zývá soustv m lieárích rovic o ezámých stručě soustv lieárích rovic Čísl ij

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

Řešení soustav lineárních rovnic

Řešení soustav lineárních rovnic Řešeí sousv lieáríc rovic Sousv lieáríc rovic Sousvou m lieáríc rovic o ezámýc rozumíme sousvu : Kde ij i R M m m Čísl ij zýváme koeficiey sousvy čísl i soluí čley Uvedeou sousvu udeme zči Sm m M m Homogeí

Více

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ, p. o. MATEMATIKA Ig. Rudolf PŠENICA 6 OBSAH:. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA... 5.. Zákldí možiové pojmy... 5.. Číselé možiy... 6.. Itervly... 6.. Absolutí

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uivrzit Krlov v Prz Pdgogická fkult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z MATEMATICKÉ ANALÝZY KONVERGENCE ŘAD. přprcové vydáí / Cifrik, M-ZT Zdáí: Vyštřt kovrgci řdy, jstliž. ( ).!.. l ( ). 7.!. ( ). 8..! 4. 9. cos.. Vyprcováí:

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

a q provedeme toto nahrazení a dostane soustavu dvou rovnic o dvou neznámých: jsou nenulová čísla (jinak by na pravé straně rovnice byla 0)

a q provedeme toto nahrazení a dostane soustavu dvou rovnic o dvou neznámých: jsou nenulová čísla (jinak by na pravé straně rovnice byla 0) ..9 Úlohy geometickou poloupotí Předpokldy: 0, 0 Pedgogická pozámk: Při řešeí příkldů potupujeme tk, by Ti ejpomlejší počítli lepoň příkldy,,,. Souh vzoců pvidel po geometickou poloupot: + - pozávcí zmeí

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

Posloupnost v matematice je řada čísel. Je přesně určeno pořadí čísel, je tedy dáno, které číslo je první, druhé atd.

Posloupnost v matematice je řada čísel. Je přesně určeno pořadí čísel, je tedy dáno, které číslo je první, druhé atd. Poloupoti Poloupot v mtemtice je ř číel. Je přeě určeo poří číel, je tey áo, které čílo je prví, ruhé t. V řě číel může le emuí být ějký ytém. Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby:. Výčet prvků:

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro

Více

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I 8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Rovnice. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Rovnice. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Rovice RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Rovice kombiatorické VY INOVACE_5 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Skupiy prvků, kde záleží a pořadí Bez opakováí Počet Vk( )

Více

U N I V E R Z I T A P A L A C K É H O V O L O M O U C I

U N I V E R Z I T A P A L A C K É H O V O L O M O U C I U N I V E R Z I T A P A L A C K É H O V O L O M O U C I PEDAGOGICKÁ FAKULTA, KATEDRA MATEMATIKY N E K O N E Č N É Č Í S E L N É ŘADY V P Ř Í K L A D E C H Diplomová práce Autor: Lucie DVOŘÁKOVÁ Vedoucí

Více

nazveme číselným vektorem. Čísla a Definice. Vektor, jehož všechny složky se rovnají nule, se nazývá nulový vektor o r = (0, 0, 0,, 0).

nazveme číselným vektorem. Čísla a Definice. Vektor, jehož všechny složky se rovnají nule, se nazývá nulový vektor o r = (0, 0, 0,, 0). ČÍSELNÉ VEKTORY Defce Uspořádou -tc čísel = (,,, ) zveme číselým vektoem Čísl,,, jsou složky ebol souřdce vektou Přozeé číslo zýváme ozměem ebo tké dmezí vektou Defce Vekto, jehož všechy složky se ovjí

Více

16. Kombinatorika ( 125;250;125 )

16. Kombinatorika ( 125;250;125 ) 6. Kombitorik Dlší dovedosti: - permutce s opkováím - kombice s opkováím (při mi.4-ti hod.dotci) - zákldí pojmy prvděpodobosti - důkzové úlohy zákldě biomické věty Možé mturití otázky: Vrice permutce Kombice

Více

MATEMATIKA PRO EKONOMY

MATEMATIKA PRO EKONOMY VYSOKÁ ŠKOLA POLYECHNICKÁ JIHLAVA Ktedr mtemtik MAEMAIKA PRO EKONOMY Rdek Stolí 8 Recezovl: doc RNDr Ev Věčková CSc Mgr Adre Kubišová Z jzkovou věcou správost obshu díl odpovídá utor et eprošel jzkovou

Více

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že

Více

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Zápdočeská uiverzit v Plzi Fkult pedgogická Bklářská práce ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Diel Tyr Plzeň Prohlšuji, že jsem tuto práci vyprcovl smosttě s použitím uvedeé litertury zdrojů iformcí. V Plzi,..

Více

Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost /65 /65 Obsh Obsh... Aritmetická posloupost.... Soustv rovic, součet.... AP - předpis... 5. AP - součet... 6. AP - prvoúhlý trojúhelík... 7. Součet čísel v itervlu... 8 Geometrická posloupost... 0. Soustv

Více

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen 8 Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým příladům z IQ testů, teré studeti zají

Více

Mocninné řady - sbírka příkladů

Mocninné řady - sbírka příkladů UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

množina všech reálných čísel

množina všech reálných čísel /6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta Matematika přehled vzorců pro maturaty (zpracoval T. Jáský) Úpravy výrazů a r. a s = a r+s a r = ar s as a r s = a r.s a. b r = a r b r a b r = ar b r a. b a b = a b = a. b ( a) m = a m m a m. = a a k.

Více

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE Formulce: Nším cílem je určit přibližnou hodnotu určitého integrálu I() = () d, kde předpokládáme, že unkce je n intervlu, b integrovtelná. Poznámk: Geometrický význm integrálu I()

Více

Jednotlivé snímky lze použít jako studijní materiál.

Jednotlivé snímky lze použít jako studijní materiál. Číslo projektu Číslo mteriálu CZ..7/../.9 VY Iovce_8_MA_._ Využití geometrické poslouposti prcoví list Název školy Středí odborá škol Středí odboré učiliště, Hustopeče, Msrykovo ám. Autor Temtický celek

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C 52. ročník mtemtické olympiády Úlohy školní kluzurní části I. kol ktegorie 1. Odtrhneme-li od libovolného lespoň dvojmístného přirozeného čísl číslici n místě jednotek, dostneme číslo o jednu číslici krtší.

Více

Cílem kapitoly je zvládnutí řešení determinantů čtvercových matic.

Cílem kapitoly je zvládnutí řešení determinantů čtvercových matic. temtk I část I Determty mtc řádu Determty mtc řádu Cíle Cílem ktoly je zvládutí řešeí ermtů čtvercových mtc Defce Determtem (řádu ) čtvercové mtce řádu jejímž rvky j jsou reálá (oř komlexí) čísl zýváme

Více

Vyšší mocniny. Předpoklady: Doplň místo obdélníčků správné číslo. a) ( 2) 3. = c) ( ) = 1600 = e) ( 25) 2 0,8 0, 64.

Vyšší mocniny. Předpoklady: Doplň místo obdélníčků správné číslo. a) ( 2) 3. = c) ( ) = 1600 = e) ( 25) 2 0,8 0, 64. 81 Vyšší mociy Předpoklady: 0081 Př 1: Doplň místo obdélíčků správé číslo a) ( ) = b) = 0, 0000 e) ( ) = 0, ( 0) = 100 = f) ( ) = 8 a) ( ) = 8 b) 0, 0 0, 0000 = ( ) 0,8 0, 0 = 100 = e) ( ) = f) ( ) = 8

Více

8.2.7 Vzorce pro geometrickou posloupnost

8.2.7 Vzorce pro geometrickou posloupnost 7 Vzoce po geometicou poloupot Předpoldy: 0, 0 Př : Po geometicou poloupot pltí ; q Uči čle, iž by učovl Mohli bychom pomocí vzoce po -tý čle učit čle p pomocí tejého vzoce učit i Teto potup je ložitější

Více

Úlohy domácího kola kategorie A

Úlohy domácího kola kategorie A 5. ročík Mtemtické olympiády Úlohy domácího kol ktegorie. Je-li S obsh trojúhelíku o strách, b, c T obsh trojúhelíku o strách +b, b + c, c +, pk pltí T 4S. Dokžte zjistěte, kdy ste rovost. Řešeí. Vyjádřeí

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

1 - Integrální počet, výpočet obsahu plochy, objemu rotačního tělesa 1) Vypočítejte (integrace pomocí substituce): 1 a) c) x. + 4x

1 - Integrální počet, výpočet obsahu plochy, objemu rotačního tělesa 1) Vypočítejte (integrace pomocí substituce): 1 a) c) x. + 4x - Itegrálí počet, výpočet oshu plochy, ojemu rotčího těles ) Vypočítejte (itegrce pomocí sustituce): ) 9 d si( l ) ) d c) e d d) e d ) Vypočítejte (itegrce metodou per - prtes): l ) ( ) e d ) d c) ( )

Více

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich. Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme

Více

( ) 1.5.2 Mechanická práce II. Předpoklady: 1501

( ) 1.5.2 Mechanická práce II. Předpoklady: 1501 1.5. Mechnická práce II Předpokldy: 1501 Př. 1: Těleso o hmotnosti 10 kg bylo vytženo pomocí provzu do výšky m ; poprvé rovnoměrným přímočrým pohybem, podruhé pohybem rovnoměrně zrychleným se zrychlením

Více

Matematická analýza III - funkční posloupnosti a. Ing. Leopold Vrána

Matematická analýza III - funkční posloupnosti a. Ing. Leopold Vrána Mtemtická lýz III - fukčí poslouposti řdy Ig. Leopold Vrá Obsh Předmluv 5 Část. Mocié řdy 7 Kpitol. Kovergece mocié řdy 9 Kpitol. Součtová fukce mocié řdy 7 Část. Fukčí poslouposti 3 Kpitol 3. Kovergece

Více

Logické rovnice. 1 Úvod. 2 Soustavy logických rovnic

Logické rovnice. 1 Úvod. 2 Soustavy logických rovnic Logické rovice J Bborák, Gyáziu Česká Líp, bbork@sez.cz Ev Svobodová, Krlíské gyáziu, evsvobo@gil.co Doiik Tělupil, Gyáziu Bro, dtelupil@gil.co Abstrkt Záklde šeho iiproektu e počítáí poocí Booleovy lgebry

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic ..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uivezit lov v Pze Pedgogiká fkult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICÉ ALGEBRY ZVOLENÝ POLYNOM / CIFRI Zdáí: Zvol olyom f ( x) stuě 6 tkový y 6 f ( ) { 87868}. Uči všehy kořey s ásoostí. Vyováí: Zdáí vyhovuje

Více

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen 8.. Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Myslím, že jde o jedu z velmi pěých hodi. Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým

Více

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e P t r i k K v e c k ý M e d e l o v o g y m á z i u m v O p v ě S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více