Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti."

Transkript

1 Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedeí pojmu určitý itegrál (kpitol ) Dále předpokládáme, že záte zákldí metod výpočtu určitého itegrálu Výkld Jk již lo uvedeo v úvodu kpitol, existuje epřeeré možství prolémů, při jejichž řešeí je používá itegrálí počet V průěhu studi se sezámíte s použitím itegrálů ve fzice v dlších odorých předmětech V této kpitole se omezíme pouze jedoduché plikce v mechice Půjde o výpočet sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti hmotých křivek roviých olstí V oecém přípdě, kd veliči závisí dvou eo třech proměých se k výpočtu používjí dvojé eo trojé itegrál Podroosti lezete v textu Mtemtik III Těžiště momet setrvčosti soustv hmotých odů Připomeňme si, jk je v mechice defiová sttický momet momet setrvčosti Uvžujme v roviě jede hmotý od A= ( x, ) s hmotostí m Or 5 Hmotý od A v roviě Sttický momet hmotého odu k liovolé ose o je dá vzthem So = rm momet setrvčosti uvedeého odu při jeho rotci kolem os o je

2 Mtemtik II 5 Fzikálí plikce Io = r m, kde r je vzdáleost odu od os o (or 5) Pokud je uvžovou osou os x, je r = pro osu je r = x Mějme v roviě soustvu hmotých odů Ai = ( xi, i) s hmotostmi mi, i =,, Celková hmotost soustv ude sttický momet k ose x ude m= m, S i= x = imi, i= i sttický momet k ose ude S xim i i= = momet setrvčosti udou I x i mi i= =, I xm i i i= = Těžiště T = ( ξ, η) je od s touto vlstostí: Kd do ěj l soustředě všech hmot soustv, pk teto od měl stejé sttické momet k souřdicovým osám, jko dá soustv hmotých odů Ted pro těžiště pltí ξ m= S η m= Sx Odtud dostáváme pro souřdice těžiště vzth S S ξ =, η = x m m Při výpočtu souřdic těžiště hmoté křivk eo rovié olsti udeme postupovt jko při zvedeí určitého itegrálu Křivku (olst) rozdělíme mlé elemet Sttické momet (hmotost) dosteme jko součet sttických mometů (hmotostí) těchto elemetů Limitím přechodem pro přejdou sum itegrál Těžiště momet setrvčosti rovié křivk Křivku v roviě si můžeme předstvit jko kus drátu z mteriálu, který má kosttí délkovou hustotu σ Chceme lézt souřdice těžiště této křivk (or 5)

3 Mtemtik II 5 Fzikálí plikce Or 5 Těžiště rovié křivk Předpokládejme, že je křivk dá prmetrickými rovicemi x = ϕ() t, = ψ () t, t <, >, přičemž fukce ϕ ( t) ψ ( t) mjí spojité derivce itervlu <, > s t t dt Její délk (vět ) je = [ ϕ ()] + [ ψ ()] Hmotost křivk dosteme jko souči délk hustot: m= σs = σ [ ϕ () t ] + [ ψ () t ] dt Křivku můžeme proximovt lomeou čárou složeou z úseček Δ si, i=,,, Úsečk udou mít hmotosti mi = σ Δ si, i =,,, V přípdě mlých elemetů si můžeme předstvit, že hmotost je soustředě do jedoho odu A = ( x, ), který leží dé úsečce Δ s, i =,,, Sttické momet této lomeé čár udou i x = i i = σ iδsi, i= i= S m S = x m = σ x Δs i i i i i= i= i i i Je zřejmé, že pro zvětšující se počet úseček udeme dostávt přesější proximce sttických mometů Pro dosteme (logick jko v kp ) Sx = σ ψ() t [ ϕ () t ] + [ ψ () t ] dt, S = σ ϕ() t [ ϕ () t ] + [ ψ () t ] dt

4 Mtemtik II 5 Fzikálí plikce Podoě odvodíme vzth pro momet setrvčosti při rotci kolem os x, resp Vět 5 Nechť je křivk dá prmetrickými rovicemi x = ϕ( t), = ψ ( t), t <, >, přičemž fukce ϕ ( t) ψ ( t) mjí spojité derivce itervlu <, > Je-li délková hustot σ křivk kosttí, pk má křivk hmotost m= σ [ ϕ () t ] + [ ψ () t ] dt Pro sttické momet pltí: Sx = σ ψ() t [ ϕ () t ] + [ ψ () t ] dt, S = σ ϕ() t [ ϕ () t ] + [ ψ () t ] dt Momet setrvčosti této křivk dosteme ze vzthů: Ix = σ ψ () t [ ϕ () t ] + [ ψ () t ] dt, I = σ ϕ () t [ ϕ () t ] + [ ψ () t ] dt S S Těžiště T = ( ξη, ) má souřdice ξ =, η = x m m Je-li speciálě křivk grfem fukce = f( x) s kosttí délkovou hustotou, pk je [ ] ds = + f ( x) dx (vět ) Dostáváme ásledující modifikci vět 5 Vět 5 Nechť je hmotá křivk určeá explicití rovicí = f( x) se spojitou derivci f ( x) itervlu <, > kosttí délkovou hustotou σ Pk má křivk hmotost [ ] m= σ + f ( x) Pro sttické momet pltí: dx

5 Mtemtik II 5 Fzikálí plikce [ ] S = σ f( x) + f ( x) x [ ] S = σ x + f ( x) dx dx, Momet setrvčosti této křivk dosteme ze vzthů: [ ] Ix = σ f ( x ) + f ( x ) dx, [ ] I = σ x + f ( x ) dx S S Těžiště T = ( ξη, ) má souřdice ξ =, η = x m m Těžiště momet setrvčosti rovié olsti Uvžujme hmotou roviou olst ohričeou zdol grfem fukce grfem fukce gx ( ), shor f ( x ), ( gx ( ) f( x) ) pro x <, > Předpokládejme, že je plošá hustot σ v kždém odě tohoto orzce kosttí hustot: Hmotost rovié olsti dosteme jko souči oshu ploch olsti (vět ) ( ( ) ( )) m= σ f x g x dx Alogick jko při zvedeí určitého itegrálu (kpitol ) rozdělíme orzec rovoěžkmi s osou proužků (or 5) Kždý proužek můžeme proximovt úzkým odélíčkem šířk Δ x, i =,,,, který je zdol ohričeý fukčí hodotou i gx ( i ) shor fukčí hodotou f ( x i ) Teto odélíček hrdíme těžištěm ležícím ve středu odélíčku Pro odélíček ude soustředíme hmotost celého odélíčku i A = ( x, ) i i i f ( xi) + g( x i ) = Do tohoto odu

6 Mtemtik II 5 Fzikálí plikce Or 5 Těžiště rovié olsti Hmotost i - tého odélíčku ude [ ( ) ( )] =, i =,,, mi σ f xi g xi Δxi Sttické momet celé olsti udou přiližě rov f( xi) + g( x ) S i x = imi = σ [ f( xi) g( xi) ] Δ xi = σ f ( xi) g ( xi) Δx i, i= i= i= S = ximi = σ xi[ f( xi) g( xi) ] Δx i i= i= Je zřejmé, že pro zvětšující se počet odélíčků udeme dostávt přesější proximce sttických mometů Pro Δ dosteme limitím přechodem Sx = σ f ( x) g ( x) dx S = σ x f x g x [ ( ) ( )] dx x i, Podoě odvodíme vzth pro momet setrvčosti při rotci kolem os x, resp Vět 5 Nechť je hmotá roviá olst ohriče křivkmi gx ( ) f ( x ), kde gx ( ) f( x) itervlu <, > Pk hmotost této olsti s kosttí plošou hustotou σ je m= f x g x σ [ ( ) ( )] dx

7 Mtemtik II Pro sttické momet pltí: 5 Fzikálí plikce Sx = σ f ( x) g ( x) dx, S = σ x f x g x [ ( ) ( )] dx Momet setrvčosti této rovié olsti dosteme ze vzthů: Ix = σ f ( x) g ( x) dx, I = σ x [ f( x) g( x) ] dx Těžiště T = ( ξη, ) má souřdice S S ξ =, η = x m m Řešeé úloh Příkld 5 Vpočtěte souřdice těžiště homogeí půlkružice x + = r, Řešeí: Prmetrické rovice půlkružice jsou (viz příkld ): x = rcost, = rsi t, t <, > Or 54 Souřdice těžiště homogeí půlkružice Je-li délková hustot σ kosttí, je hmotost rov součiu hustot délk půlkružice: m= σ s= σ r = σr - -

8 Mtemtik II Sttické momet jsou: 5 Fzikálí plikce Sx = σ ψ() t [ ϕ () t ] + [ ψ () t ] dt = σ r sit [ r sit] + [ r cos t] dt = σr sit dt = = σr [ cost] = σr, S = σ ϕ() t [ ϕ () t ] + [ ψ () t ] dt = σ r cost [ r sit] + [ r cos t] dt = σr cost dt = = σ r si t = [ ] Těžiště T = ( ξη, ) má souřdice S S ξ = = x σ r r η m = m = σr = T Pozámk r (, ) = Sttický momet S jsme emuseli počítt, protože je evidetí, že pro dou půlkružici musí těžiště ležet ose, ted je S = Příkld 5 Vpočtěte momet setrvčosti homogeí půlkružice z příkldu 5 k souřdicovým osám Řešeí: Momet setrvčosti půlkružice k ose x: I = σ ψ t ϕ t + ψ t dt = σ r t r t + r t dt x () [ ()] [ ()] si [ si ] [ cos ] = cost σ r sit σr = σr si tdt = σr dt = t = Momet setrvčosti půlkružice k ose : I = σ ϕ t ϕ t + ψ t dt = σ r t r t + r t dt () [ ()] [ ()] cos [ si ] [ cos ] = + cost σ r sit σr = σr cos tdt = σr dt = t + = - -

9 Mtemtik II 5 Fzikálí plikce Příkld 5 Vpočtěte souřdice těžiště trojúhelík s vrchol O = (,), A = (,) B = (,) Řešeí: Str AB dého trojúhelík leží přímce x = ( x ), tj = Roviá olst je ohriče shor grfem fukce ( ) x f x = zdol grfem fukce gx= ( ) or 55 Or 55 Těžiště trojúhelík Je-li plošá hustot σ kosttí, je hmotost rov součiu hustot oshu trojúhelík: m= σ P= σ = σ Sttické momet jsou (připomíáme, že gx= ( ) ): x x Sx = σ f ( x) dx= σ ( ) dx= σ ( x+ ) 4 dx= x x = σ x + = σ ( + ) = σ x x x x S = σ x f ( x) dx = σ x ( ) dx = σ ( x ) dx σ = = 6 4 = σ = σ Těžiště T = ( ξη, ) má souřdice S σ σ S ξ = = = η = x = = m σ m σ - -

10 Mtemtik II T = (, ) Pozámk 5 Fzikálí plikce Těžiště trojúhelík leží v průsečíku těžic (spojic vrcholů středů str) Těžiště rozděluje těžici v poměru : Z podoých trojúhelíků je zřejmé, že x ová souřdice těžiště musí ležet v str OB ová souřdice těžiště musí ležet v str OA Proto ξ = = η = = Příkld 54 Vpočtěte momet setrvčosti homogeího trojúhelík z příkldu 5 při rotci kolem os x, resp Řešeí: Momet setrvčosti trojúhelík k ose x: x x x x Ix = σ ( ) ( ) ( ) f x dx = σ dx = σ dx + = x x x = σ x + = σ ( + ) = σ = σ Momet setrvčosti trojúhelík k ose : 4 x x x x = σ ( ) = σ ( ) = σ ( ) σ = = 8 I x f x dx x dx x dx 8 = σ = σ Příkld 55 Vpočtěte souřdice těžiště roviého orzce ohričeého křivkou = 6 osou x x x Řešeí: Grfem prol = 6x x jsme se podroě zývli v příkldu Prol protíá osu x v odech x = x = 6 - -

11 Mtemtik II Roviá olst je ohriče shor křivkou 5 Fzikálí plikce = zdol křivkou gx= ( ) f ( x) 6x x or 56 Or 56 Těžiště roviého orzce ohričeého křivkou = 6 osou x x x Je-li plošá hustot σ kosttí, je hmotost rov součiu hustot ploch olsti ohričeé prolou osou x: 6 6 x = σ (6 ) = σ = σ(8 6) = 6 σ P x x dx x Sttické momet jsou (připomíáme, že gx= ( ) ): Sx = σ ( ) (6 ) (6 ) f x dx= σ x x dx σ x x x = + dx= x x 6 = σ x x + = σ x ( x+ ) = σ 6 ( 8 + ) = = σ8 = σ, x = σ ( ) = σ (6 ) = σ (6 ) = σ = 4 S x f x dx x x x dx x x dx x 4 6 = σ 6 = σ6 ( ) = 8σ 4 Těžiště T = ( ξη, ) má souřdice 648 S σ 8σ S 8 ξ = = = η = x = 5 = m 6σ m σ T = (, ) 5-4 -

12 Mtemtik II Pozámk Sttický momet 5 Fzikálí plikce S jsme emuseli počítt Protože je orzec souměrý podle os x =, musí těžiště ležet této ose, x - ová souřdice těžiště musí ýt ξ = Kotrolí otázk Uveďte vzth pro sttický momet momet setrvčosti hmotého odu Uveďte vzth pro výpočet sttických mometů mometů setrvčosti hmoté křivk dé prmetrickými rovicemi Jk vpočtete souřdice těžiště homogeí hmoté křivk dé prmetrickými rovicemi? 4 Uveďte vzth pro výpočet sttických mometů mometů setrvčosti hmoté křivk dé explicití rovicí 5 Uveďte vzth pro výpočet sttických mometů mometů setrvčosti hmoté rovié olsti hričeé křivkmi gx ( ) f ( x ), kde gx ( ) f( x) itervlu <, > 6 Uveďte vzth pro výpočet sttických mometů mometů setrvčosti hmoté rovié olsti hričeé grfem spojité fukce f( x) osou x itervlu <, > 7 Jk vpočtete souřdice těžiště homogeí hmoté rovié olsti ohričeé křivkmi gx ( ) f ( x ), kde gx ( ) f( x) itervlu <, >? Úloh k smosttému řešeí Vpočtěte souřdice těžiště homogeího roviého orzce ohričeého křivkmi ) ) c) d) = x x ; = = 6; x x= 5 = 4; x x= ; = 4 = x ; x= e) = x ; = + x f) = si x; = ; x g) x = si x; = ; = - 5 -

13 Mtemtik II h) = si x; = ; x 5 Fzikálí plikce i) x + = 4; Vpočtěte souřdice těžiště homogeího roviého orzce ) ohričeého ckloidou ( ) ( ) x= t si t, = cos t, t osou x ) který leží v prvím kvdrtu jeho hrici tvoří steroid x 4 + = oě souřdé os c) ohričeého křivkou x = t t, = t + t osou x Vpočtěte souřdice těžiště homogeího olouku dé křivk: ) ) c) x = + ; x x = l x ; x 4 t x= t, = t ; t d) x= cos t, = si t; t 6 6 e) x= cos t, = si t; t f) ( ) ( ) x= t si t, = cos t ; t g) x= cost+ tsi t, = si t tcos t; x Výsledk úloh k smosttému řešeí 6 ) ; ; ) ( ; ) ; c) ; 5 5 ; d) 9 9 ; ; e) ; ; f) ; 8 ; ( ) g) + ; ( ) ; h) ; 4 8 ; i) ; ) ; ; - 6 -

14 Mtemtik II 5 Fzikálí plikce ) ; 5 5 ; c) 8 9 ; d) ; ; e) 6 ; 5 ; f) 8 ; ) ( ;,97 ) ; ) ( ) ( 6) ; g) 6 ;,5;,97 ; c) 7 ; 5 4 ; Kotrolí test Vpočtěte momet setrvčosti vzhledem k ose homogeí hmoté olsti ohričeé křivkmi ) =, = x + x 8 σ ( + ), ) 5 8 σ ( ), c) 5 8 σ ( ), d) 5 8 σ ( + ) 5 Vpočtěte momet setrvčosti vzhledem k ose homogeího hmotého olouku křivk dé prmetrick ) x t t t =, = pro t 98, ) 5 σ 89 σ, c) 5 8 σ, d) σ ) Vpočtěte sttický momet vzhledem k ose x homogeího hmotého olouku křivk = x pro x σ σ σ σ ) ( + ), ) ( ), c) ( ), d) ( + ) ) Vpočtěte momet setrvčosti homogeí hmoté olsti tvru rovormeého trojúhelík výšk v zákld velikosti vzhledem k jeho zákldě ) v v 4 σ, ) σ, c) 4 v v σ, d) σ 5) Vpočtěte momet setrvčosti homogeí hmoté olsti ohričeé elipsou x ) + =, < < kost vzhledem k její hlví ose σ, ) 4 4 σ, c) σ, d) 6) Vpočtěte momet setrvčosti homogeího hmotého olouku křivk pro x e vzhledem k ose σ x = l x 4-7 -

15 Mtemtik II ) c) σ ( 8 e e ) 4 +, ) σ ( 8 e e ) 4 +, d) σ 4 ( ) 8 e + e +, σ 4 ( ) 8 e + e + 7) Vpočtěte souřdice těžiště homogeího hmotého olouku steroid = cos, = si t, > kost pro t x t ),, ) 5,, c) 5, 5, d) 5 Fzikálí plikce, 5 8) Vpočtěte souřdice těžiště homogeí hmoté olsti ohričeé křivkmi = si x = pro x mximálě z itervlu (, ) ) c) +, 8( ), ) +, 8( ), d) 8( ), +, 8( ), + 9) Vpočtěte souřdice těžiště homogeí hmoté olsti ohričeé křivkmi x = = x ) 5,, ) 7 5,, c) 7 4,, d) 7 ) Vpočtěte souřdice těžiště homogeího hmotého olouku křivk pro t 4, 7 x = t, = t t ) 7, 4 5, ) 5, 7, c) 5, 7, d) 7, 5 4 Výsledk testu ); ); ); 4 c); 5 ); 6 c); 7 d); 8 ); 9 ); d) - 8 -

16 Mtemtik II 5 Fzikálí plikce Průvodce studiem Pokud jste správě odpověděli ejméě v 8 přípdech, pokrčujte dlší kpitolou V opčém přípdě je tře prostudovt kpitolu 5 zovu Shrutí lekce Itegrálí počet je používá v moh disciplíách i tm, kde chom to eočekávli (př ekoomie) V této kpitole jsme se omezili jedoduché plikce v mechice Odvodili jsme vzth pro výpočet sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti křivek roviých olstí Při výpočtech jsme se omezili homogeí křivk olsti s kosttí hustotou S výpočt sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti křivek v prostoru, roviých olstí, těles i v přípdech, kd se hustot spojitě měí, se sezámíte v Mtemtice III Z ejdůležitější v této kpitole povžujeme metodu, jk lze odvodit potřeé vzth Z fzikálích zákoů se odvodí vzth pro velmi mlé elemet Provede se součet hodot pro všech elemet Limitím přechodem pro počet elemetů přejdou sum itegrál Pochopeím tohoto pricipu můžete odvozovt vzth pro dlší veliči Stejým způsoem postupovli i tvůrci itegrálího počtu Newto Leiiz - 9 -

17 Mtemtik II 5 Fzikálí plikce Místo pro pozámk - -

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V mtemtice, le zejmén v přírodních technických vědách, eistuje nepřeerné množství prolémů, při jejichž řešení je nutno tím či oním způsoem použít

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ, p. o. MATEMATIKA Ig. Rudolf PŠENICA 6 OBSAH:. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA... 5.. Zákldí možiové pojmy... 5.. Číselé možiy... 6.. Itervly... 6.. Absolutí

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

v. Úkolem regrese (vyrovnání) argumentu y je nalézt vhodnou regresní funkci Y f (x)

v. Úkolem regrese (vyrovnání) argumentu y je nalézt vhodnou regresní funkci Y f (x) 9 REGRESE A KORELACE Slovo regrese oecě zmeá poh zpět ústup ávrt regresví = ustupující Opčým termíem je progrese pokrok postup šířeí růst Pojem regrese l do sttstk zvede kocem 9 století rtským učecem Frcsem

Více

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e P t r i k K v e c k ý M e d e l o v o g y m á z i u m v O p v ě S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

1.1 Numerické integrování

1.1 Numerické integrování 1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme

Více

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420 Šblony Mendelov střední škol, Nový Jičín NÁZEV MATERIÁLU: Trojúhelník zákldní pozntky Autor: Mgr. Břetislv Mcek Rok vydání: 2014 Tento projekt je spolufinncován

Více

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2.

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2. 76 Další metriké úlohy II Předpoklady: 7 Př : Najdi přímku rovnoěžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od odu A[ ; ] Osou I a III kvadrantu je přímka y = x přímky s ní rovnoěžné mají rovnii x y + = 0

Více

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu):

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 5. Konstruke trojúhelníků Konstruke trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 1. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 7,6 m, BC = 4,2 m, AC = 5,6 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

3.4.3 Množiny bodů dané vlastnosti I

3.4.3 Množiny bodů dané vlastnosti I 3.4.3 Množiny odů dné vlstnosti I Předpoldy: 3401 Něteé z těchto množin už známe. J je definován užnice ( ; )? Množin všech odů oviny, teé mjí od středu vzdálenost. Předchozí vět znmená dvě věci: Vzdálenost

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost /65 /65 Obsh Obsh... Aritmetická posloupost.... Soustv rovic, součet.... AP - předpis... 5. AP - součet... 6. AP - prvoúhlý trojúhelík... 7. Součet čísel v itervlu... 8 Geometrická posloupost... 0. Soustv

Více

Přehled vzorců z matematiky

Přehled vzorců z matematiky ) Výz: Přehled vzoů z tetik ( + ) + + ( ) + ( + ) ( ) ( + ) + + + ( ) + ( ) ( ) + + + ( ) ( ) + + ) Moi:....... s + s (. ). s ( ) s s.s ) Odoi: ( ).p... p ( ). 4) Kvdtiká ovie: 5) Kopleí čísl: + + 0 kde

Více

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS.

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS. Dopraví stroje a zařízeí odborý zálad AR 04/05 Idetifiačí číslo: Počet otáze: 6 Čas : 60 miut Počet bodů Hodoceí OTÁZKY: ) Vypočtěte eálí poměr rozděleí brzdých sil a ápravy dvouápravového vozla bez ABS.

Více

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I ..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ07/500/4076 Název školy SOUpotrvinářské, Jílové u Prhy, Šenflukov 0 Název mteriálu VY INOVACE / Mtemtik / 0/0 / 7 Autor Ing Antonín Kučer Oor; předmět, ročník

Více

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Zápdočeská uiverzit v Plzi Fkult pedgogická Bklářská práce ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Diel Tyr Plzeň Prohlšuji, že jsem tuto práci vyprcovl smosttě s použitím uvedeé litertury zdrojů iformcí. V Plzi,..

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

3.2.7 Příklady řešené pomocí vět pro trojúhelníky

3.2.7 Příklady řešené pomocí vět pro trojúhelníky ..7 Příkldy řešené pomocí ět pro trojúhelníky Předpokldy:, 6 Pedgogická poznámk: U následujících příkldů ( u mnoh dlších příkldů z geometrie) pltí, že nedílnou součástí řešení je nápd (který se tké nemusí

Více

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0 Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny

Více

Posluchači provedou odpovídající selekci a syntézu informací a uceleně je uvedou do teoretického základu vlastního měření.

Posluchači provedou odpovídající selekci a syntézu informací a uceleně je uvedou do teoretického základu vlastního měření. Úloh č. 9 je sestven n zákldě odkzu n dv prmeny. Kždý z nich přistupuje k stejnému úkolu částečně odlišnými způsoby. Níže jsou uvedeny ob zdroje v plném znění. V kždém z nich jsou pro posluchče cenné inormce

Více

Psychologická metodologie. NMgr. obor Psychologie

Psychologická metodologie. NMgr. obor Psychologie Pržská vysoká škol psychosociálních studií, s.r.o. Temtické okruhy ke státní mgisterské zkoušce Psychologická metodologie NMgr. oor Psychologie 1 Vědecká teorie vědecká metod Vědecké vysvětlení, vědecký

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

Regulace f v propojených soustavách

Regulace f v propojených soustavách Regulce f v propojených soustvách Zopkování principu primární sekundární regulce f v izolovné soustvě si ukážeme obr.,kde je znázorněn S Slovenské Republiky. Modře jsou vyznčeny bloky, které jsou zřzeny

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů Trojúhelník Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 Projekt Využití e-learningu k rozvoji klíčových kompetencí reg. č.: CZ.1.07/1.1.10/03.0021 je spolufinancován

Více

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909 .9. Logritmus Předpokld: 909 Pedgogická poznámk: Následující příkld vždují tk jeden půl vučovcí hodin. V přípdě potřeb všk stčí dojít k příkldu 6 zbtek jen ukázt, což se dá z jednu hodinu stihnout (nedoporučuji).

Více

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik TROJÚHELNÍK Definice Nechť body A, B, C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, CAB. Viz příloha: obecny_trojuhelnik Definice trojúhelníku Uzavřená, jednoduchá (neprotínající

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ 5) Průnik rotačních ploch Bod R průniku ploch κ, κ : 1) Pomocná plocha κ ) Průniky : l κ κ, l κ κ 3) R l l Volba pomocné plochy pro průnik rotačních ploch závisí na poloze os ploch. Omezíme se pouze na

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Asynchronní motory Ing. Vítězslav Stýskala, Ph.D., únor 2006

Asynchronní motory Ing. Vítězslav Stýskala, Ph.D., únor 2006 8 ELEKTRCKÉ STROJE TOČVÉ říklad 8 Základí veličiy Určeo pro poluchače akalářkých tudijích programů FS Aychroí motory g Vítězlav Stýkala, hd, úor 006 Řešeé příklady 3 fázový aychroí motor kotvou akrátko

Více

Téma 4 Rovinný rám Základní vlastnosti rovinného rámu Jednoduchý otevřený rám Jednoduchý uzavřený rám

Téma 4 Rovinný rám Základní vlastnosti rovinného rámu Jednoduchý otevřený rám Jednoduchý uzavřený rám Sttik stvebních konstrukcí I.,.ročník bklářského studi Tém 4 Rovinný rám Zákldní vlstnosti rovinného rámu Jednoduchý otevřený rám Jednoduchý uzvřený rám Ktedr stvební mechniky Fkult stvební, VŠB - Technická

Více

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel

Více

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1 Středí hodoty. Artmetcký průměr prostý Aleš Drobík straa 0. STŘEDNÍ HODNOTY Př statstckém zjšťováí často zpracováváme statstcké soubory s velkým možstvím statstckých jedotek. Např. soubor pracovíků orgazace,

Více

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace VY_32_INOVACE_MAT_190 Opkovcí test lgebrické výrzy, logik, množiny A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvoření: září 2012 Ročník: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzdělávání Klíčová slov: výrz, intervl, množin,

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE

ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE Gymnázium Jiřího Wolker v Prostějově Výukové mteriály z mtemtiky pro nižší gymnázi Autoři projektu Student n prhu 1. století - využití ICT ve vyučování mtemtiky n gymnáziu

Více

Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak

Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak Reálná čísl N přirozená čísl: {,, 3, } Z celá čísl: {, ±, ±, ±3, } Q rcionální čísl: { b : Z, b N} R reálná čísl C komplení čísl: { + jy :, y R}, j R \ Q ircionální čísl, π, e, ) Tvrzení Mezi kždými dvěm

Více

1. Vznik zkratů. Základní pojmy.

1. Vznik zkratů. Základní pojmy. . znik zkrtů. ákldní pojmy. E k elektrizční soustv, zkrtový proud. krt: ptří do ktegorie příčných poruch, je prudká hvrijní změn v E, je nejrozšířenější poruchou v E, při zkrtu vznikjí přechodné jevy v

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Organizační řád Fyzikální olympiády

Organizační řád Fyzikální olympiády Č.j.: MSMT-32 435/2014-1 Orgnizční řád Fyzikální olympiády Ministerstvo školství, mládeže tělovýhovy v souldu s 3 odst. 5 vyhlášky č. 55/2005 S., o podmínkáh orgnize finnování soutěží přehlídek v zájmovém

Více

Deskriptivní geometrie I.

Deskriptivní geometrie I. Středí růmyslová šol eletrotecicá Vyšší odorá šol rduice, Krl IV. 3 esritiví geometrie I. Ig. Rudolf Rožec = = = = rduice 00 Srit jsou urče ro ředmět desritiví geometrie II. ročíu tecicéo lyce jo dolě

Více

5.4.2 Objemy a povrchy mnohostěnů I

5.4.2 Objemy a povrchy mnohostěnů I 5.. Objemy orchy mnohostěnů I Předokldy: 51 Význm slo objem i orch je intuitině jsný. Mtemtická definice musí být oněkud řesnější. Okoání z lnimetrie: Obsh obrzce je kldné číslo, řiřzené obrzci tk, že

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím část 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ kolmé promítání na dvě průmětny (půdorysna, nárysna), někdy se používá i třetí pomocná průmětna bokorysna bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po

Více

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI FAKULTA PEDAGOGICKÁ Ktedr sociálních studií speciální pedgogiky Studijní progrm: Studijní oor: Kód ooru: Sociální práce Sociální prcovník 7502R022 Název klářské práce: NÁHRADNÍ

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

ČSN EN 1991-1-1 (Eurokód 1): Zatížení konstrukcí Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb. Praha : ČNI, 2004.

ČSN EN 1991-1-1 (Eurokód 1): Zatížení konstrukcí Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb. Praha : ČNI, 2004. STÁLÁ UŽITNÁ ZTÍŽENÍ ČSN EN 1991-1-1 (Eurokód 1): Ztížení konstrukcí Objemové tíhy, vlstní tíh užitná ztížení pozemních stveb. Prh : ČNI, 004. 1. Stálá ztížení stálé (pevné) ztížení stvebních prvků zhrnuje

Více

Á Í Č Ě Č ň ť Š Č Ť ň ň ď Ť Ú ť Č ň ď ť Č Š Ž Ú Ť Ť Ť Ť ň Ť Ť ť Ť Ť Á Ť Ť Ť ď Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ť ň ďť Ť Ť Ť Š Š Š ď ň Č Š ň Š ť Š ň Š Š Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ú Š ň ť ť Š ň Š Ž ť ť ť ň Š Č Š Š Í

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Pohyb tělesa (5. část)

Pohyb tělesa (5. část) Pohyb tělesa (5. část) A) Co už víme o pohybu tělesa?: Pohyb tělesa se definuje jako změna jeho polohy vzhledem k jinému tělesu. O pohybu tělesa má smysl hovořit jedině v souvislosti s polohou jiných těles.

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich. Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme

Více

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

visual identity guidelines Česká verze

visual identity guidelines Česká verze visul identity guidelines Česká verze Osh 01 Filosofie stylu 02 Logo 03 Firemní rvy 04 Firemní písmo 05 Vrice log 06 Komince rev Filosofie stylu Filozofie společnosti Sun Mrketing vychází ze síly Slunce,

Více

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.

Více

Přímá montáž SPŘAHOVÁNÍ OCELOBETONOVÝCH STROPŮ. Hilti. Splní nejvyšší nároky.

Přímá montáž SPŘAHOVÁNÍ OCELOBETONOVÝCH STROPŮ. Hilti. Splní nejvyšší nároky. SPŘAHOVÁNÍ OCELOBETONOVÝCH STROPŮ Hilti. Splní nejvyšší nároky. Spřhovcí prvky Technologie spřhovcích prvků spočívá v připevnění prvků přímo k pásnici ocelového nosníku, nebo připevnění k pásnici přes

Více

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2.

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2. Vyjářeí poloupoti Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby. Prvím je protý výčet prvků. Npříkl jeouchá poloupot uých číel by e výčtem l zpt tkto:,, 6,,... Dlší možotí je vzorec pro tý čle. Stejá poloupot

Více

Kinetická teorie ideálního plynu

Kinetická teorie ideálního plynu Přednáška 10 Kinetická teorie ideálního plynu 10.1 Postuláty kinetické teorie Narozdíl od termodynamiky kinetická teorie odvozuje makroskopické vlastnosti látek (např. tlak, teplotu, vnitřní energii) na

Více

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Martin Mikuláš Tabulkové kalkulátory lze ve škole velmi dobře využít při výuce matematiky. Lze v nich totiž snadno naprogramovat aplikace,

Více

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní

Více

Určení počátku šikmého pole řetězovky

Určení počátku šikmého pole řetězovky 2. Šikmé pole Určení počátku šikmého pole řetězovky d h A ϕ y A y x A x a Obr. 2.1. Souřadnie počátku šikmého pole Jestliže heme určit řetězovku, která je zavěšená v bodeh A a a je daná parametrem, je

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

No. 1 Michal Hlaváček Difuse technologií 2001/3

No. 1 Michal Hlaváček Difuse technologií 2001/3 No. Michl Hlváček Difuse echoloií 200/3 . Úvod Hospodářský vývoj ve svěě proděll v posledích páci leech ěkolik změ, přičemž ekoomická eorie ě věšiou v odpovídjící míře ereovl. Trdičí ekoomické eorie, keré

Více

Laboratorní práce č. 4: Úlohy z paprskové optiky

Laboratorní práce č. 4: Úlohy z paprskové optiky Přírodí ědy moderě a iteraktiě FYZKA 4. ročík šestiletého a. ročík čtyřletého studia Laboratorí práce č. 4: Úlohy z paprskoé optiky G Gymázium Hraice Přírodí ědy moderě a iteraktiě FYZKA 3. ročík šestiletého

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

Cílem tohoto textu je shrnout teorii do jediného celku. Text také nabízí oporu v oblastech, které jsou

Cílem tohoto textu je shrnout teorii do jediného celku. Text také nabízí oporu v oblastech, které jsou MATMATIKA (NJN) PRO KRAJINÁŘ A NÁBYTKÁŘ Robert Mřík 26. říjn 2012 KAT. MATMATIKY FAKULTA LSNICKÁ A DŘVAŘSKÁ MNDLOVA UNIVRZITA V BRNĚ -mil ddress: mrik@mendelu.cz URL: user.mendelu.cz/mrik ABSTRAKT. Předkládný

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

Ulice Agentura sociální práce, o. s. Účetní závěrka za rok 2012

Ulice Agentura sociální práce, o. s. Účetní závěrka za rok 2012 Ulice Agentur sociální práce, o. s. Účetní závěrk z rok 2012 Osh: I. OBECNÉ INFORMACE... 2 1. POPIS ÚČETNÍ JEDNOTKY... 2 2. ZAMĚSTNANCI A OSOBNÍ NÁKLADY... 2 3. POSKYTNUTÉ PŮJČKY, ZÁRUKY ČI JINÁ PLNĚNÍ...

Více

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky Kapitola 8 Plocha a její obsah 1 efinice plochy Plochu intuitivně chápeme jako útvar v prostoru, který vznikne spojitou deformací části roviny Z geometrického pohledu je plochu možno interpretovat jako

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

5. ročník, 2015 / 2016 Mezinárodní korespondeční seminář iks

5. ročník, 2015 / 2016 Mezinárodní korespondeční seminář iks Řešení 1. série Úloha N1. Existuje nekonečná posloupnost přirozených čísel a 1, a 2,... taková, že a i a a j jsou nesoudělná právě když i j = 1? Řešení. Označme {r i } posloupnost všech prvočísel seřazených

Více

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů.

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. Trojúhelník Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. C Body se nazývají vrcholy trojúhelníku Úsečky

Více

Vlhký vzduch a jeho stav

Vlhký vzduch a jeho stav Vlhký vzduch a jeho stav Příklad 3 Teplota vlhkého vzduchu je t = 22 C a jeho měrná vlhkost je x = 13, 5 g kg 1 a entalpii sv Určete jeho relativní vlhkost Řešení Vyjdeme ze vztahu pro měrnou vlhkost nenasyceného

Více