Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti."

Transkript

1 Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedeí pojmu určitý itegrál (kpitol ) Dále předpokládáme, že záte zákldí metod výpočtu určitého itegrálu Výkld Jk již lo uvedeo v úvodu kpitol, existuje epřeeré možství prolémů, při jejichž řešeí je používá itegrálí počet V průěhu studi se sezámíte s použitím itegrálů ve fzice v dlších odorých předmětech V této kpitole se omezíme pouze jedoduché plikce v mechice Půjde o výpočet sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti hmotých křivek roviých olstí V oecém přípdě, kd veliči závisí dvou eo třech proměých se k výpočtu používjí dvojé eo trojé itegrál Podroosti lezete v textu Mtemtik III Těžiště momet setrvčosti soustv hmotých odů Připomeňme si, jk je v mechice defiová sttický momet momet setrvčosti Uvžujme v roviě jede hmotý od A= ( x, ) s hmotostí m Or 5 Hmotý od A v roviě Sttický momet hmotého odu k liovolé ose o je dá vzthem So = rm momet setrvčosti uvedeého odu při jeho rotci kolem os o je

2 Mtemtik II 5 Fzikálí plikce Io = r m, kde r je vzdáleost odu od os o (or 5) Pokud je uvžovou osou os x, je r = pro osu je r = x Mějme v roviě soustvu hmotých odů Ai = ( xi, i) s hmotostmi mi, i =,, Celková hmotost soustv ude sttický momet k ose x ude m= m, S i= x = imi, i= i sttický momet k ose ude S xim i i= = momet setrvčosti udou I x i mi i= =, I xm i i i= = Těžiště T = ( ξ, η) je od s touto vlstostí: Kd do ěj l soustředě všech hmot soustv, pk teto od měl stejé sttické momet k souřdicovým osám, jko dá soustv hmotých odů Ted pro těžiště pltí ξ m= S η m= Sx Odtud dostáváme pro souřdice těžiště vzth S S ξ =, η = x m m Při výpočtu souřdic těžiště hmoté křivk eo rovié olsti udeme postupovt jko při zvedeí určitého itegrálu Křivku (olst) rozdělíme mlé elemet Sttické momet (hmotost) dosteme jko součet sttických mometů (hmotostí) těchto elemetů Limitím přechodem pro přejdou sum itegrál Těžiště momet setrvčosti rovié křivk Křivku v roviě si můžeme předstvit jko kus drátu z mteriálu, který má kosttí délkovou hustotu σ Chceme lézt souřdice těžiště této křivk (or 5)

3 Mtemtik II 5 Fzikálí plikce Or 5 Těžiště rovié křivk Předpokládejme, že je křivk dá prmetrickými rovicemi x = ϕ() t, = ψ () t, t <, >, přičemž fukce ϕ ( t) ψ ( t) mjí spojité derivce itervlu <, > s t t dt Její délk (vět ) je = [ ϕ ()] + [ ψ ()] Hmotost křivk dosteme jko souči délk hustot: m= σs = σ [ ϕ () t ] + [ ψ () t ] dt Křivku můžeme proximovt lomeou čárou složeou z úseček Δ si, i=,,, Úsečk udou mít hmotosti mi = σ Δ si, i =,,, V přípdě mlých elemetů si můžeme předstvit, že hmotost je soustředě do jedoho odu A = ( x, ), který leží dé úsečce Δ s, i =,,, Sttické momet této lomeé čár udou i x = i i = σ iδsi, i= i= S m S = x m = σ x Δs i i i i i= i= i i i Je zřejmé, že pro zvětšující se počet úseček udeme dostávt přesější proximce sttických mometů Pro dosteme (logick jko v kp ) Sx = σ ψ() t [ ϕ () t ] + [ ψ () t ] dt, S = σ ϕ() t [ ϕ () t ] + [ ψ () t ] dt

4 Mtemtik II 5 Fzikálí plikce Podoě odvodíme vzth pro momet setrvčosti při rotci kolem os x, resp Vět 5 Nechť je křivk dá prmetrickými rovicemi x = ϕ( t), = ψ ( t), t <, >, přičemž fukce ϕ ( t) ψ ( t) mjí spojité derivce itervlu <, > Je-li délková hustot σ křivk kosttí, pk má křivk hmotost m= σ [ ϕ () t ] + [ ψ () t ] dt Pro sttické momet pltí: Sx = σ ψ() t [ ϕ () t ] + [ ψ () t ] dt, S = σ ϕ() t [ ϕ () t ] + [ ψ () t ] dt Momet setrvčosti této křivk dosteme ze vzthů: Ix = σ ψ () t [ ϕ () t ] + [ ψ () t ] dt, I = σ ϕ () t [ ϕ () t ] + [ ψ () t ] dt S S Těžiště T = ( ξη, ) má souřdice ξ =, η = x m m Je-li speciálě křivk grfem fukce = f( x) s kosttí délkovou hustotou, pk je [ ] ds = + f ( x) dx (vět ) Dostáváme ásledující modifikci vět 5 Vět 5 Nechť je hmotá křivk určeá explicití rovicí = f( x) se spojitou derivci f ( x) itervlu <, > kosttí délkovou hustotou σ Pk má křivk hmotost [ ] m= σ + f ( x) Pro sttické momet pltí: dx

5 Mtemtik II 5 Fzikálí plikce [ ] S = σ f( x) + f ( x) x [ ] S = σ x + f ( x) dx dx, Momet setrvčosti této křivk dosteme ze vzthů: [ ] Ix = σ f ( x ) + f ( x ) dx, [ ] I = σ x + f ( x ) dx S S Těžiště T = ( ξη, ) má souřdice ξ =, η = x m m Těžiště momet setrvčosti rovié olsti Uvžujme hmotou roviou olst ohričeou zdol grfem fukce grfem fukce gx ( ), shor f ( x ), ( gx ( ) f( x) ) pro x <, > Předpokládejme, že je plošá hustot σ v kždém odě tohoto orzce kosttí hustot: Hmotost rovié olsti dosteme jko souči oshu ploch olsti (vět ) ( ( ) ( )) m= σ f x g x dx Alogick jko při zvedeí určitého itegrálu (kpitol ) rozdělíme orzec rovoěžkmi s osou proužků (or 5) Kždý proužek můžeme proximovt úzkým odélíčkem šířk Δ x, i =,,,, který je zdol ohričeý fukčí hodotou i gx ( i ) shor fukčí hodotou f ( x i ) Teto odélíček hrdíme těžištěm ležícím ve středu odélíčku Pro odélíček ude soustředíme hmotost celého odélíčku i A = ( x, ) i i i f ( xi) + g( x i ) = Do tohoto odu

6 Mtemtik II 5 Fzikálí plikce Or 5 Těžiště rovié olsti Hmotost i - tého odélíčku ude [ ( ) ( )] =, i =,,, mi σ f xi g xi Δxi Sttické momet celé olsti udou přiližě rov f( xi) + g( x ) S i x = imi = σ [ f( xi) g( xi) ] Δ xi = σ f ( xi) g ( xi) Δx i, i= i= i= S = ximi = σ xi[ f( xi) g( xi) ] Δx i i= i= Je zřejmé, že pro zvětšující se počet odélíčků udeme dostávt přesější proximce sttických mometů Pro Δ dosteme limitím přechodem Sx = σ f ( x) g ( x) dx S = σ x f x g x [ ( ) ( )] dx x i, Podoě odvodíme vzth pro momet setrvčosti při rotci kolem os x, resp Vět 5 Nechť je hmotá roviá olst ohriče křivkmi gx ( ) f ( x ), kde gx ( ) f( x) itervlu <, > Pk hmotost této olsti s kosttí plošou hustotou σ je m= f x g x σ [ ( ) ( )] dx

7 Mtemtik II Pro sttické momet pltí: 5 Fzikálí plikce Sx = σ f ( x) g ( x) dx, S = σ x f x g x [ ( ) ( )] dx Momet setrvčosti této rovié olsti dosteme ze vzthů: Ix = σ f ( x) g ( x) dx, I = σ x [ f( x) g( x) ] dx Těžiště T = ( ξη, ) má souřdice S S ξ =, η = x m m Řešeé úloh Příkld 5 Vpočtěte souřdice těžiště homogeí půlkružice x + = r, Řešeí: Prmetrické rovice půlkružice jsou (viz příkld ): x = rcost, = rsi t, t <, > Or 54 Souřdice těžiště homogeí půlkružice Je-li délková hustot σ kosttí, je hmotost rov součiu hustot délk půlkružice: m= σ s= σ r = σr - -

8 Mtemtik II Sttické momet jsou: 5 Fzikálí plikce Sx = σ ψ() t [ ϕ () t ] + [ ψ () t ] dt = σ r sit [ r sit] + [ r cos t] dt = σr sit dt = = σr [ cost] = σr, S = σ ϕ() t [ ϕ () t ] + [ ψ () t ] dt = σ r cost [ r sit] + [ r cos t] dt = σr cost dt = = σ r si t = [ ] Těžiště T = ( ξη, ) má souřdice S S ξ = = x σ r r η m = m = σr = T Pozámk r (, ) = Sttický momet S jsme emuseli počítt, protože je evidetí, že pro dou půlkružici musí těžiště ležet ose, ted je S = Příkld 5 Vpočtěte momet setrvčosti homogeí půlkružice z příkldu 5 k souřdicovým osám Řešeí: Momet setrvčosti půlkružice k ose x: I = σ ψ t ϕ t + ψ t dt = σ r t r t + r t dt x () [ ()] [ ()] si [ si ] [ cos ] = cost σ r sit σr = σr si tdt = σr dt = t = Momet setrvčosti půlkružice k ose : I = σ ϕ t ϕ t + ψ t dt = σ r t r t + r t dt () [ ()] [ ()] cos [ si ] [ cos ] = + cost σ r sit σr = σr cos tdt = σr dt = t + = - -

9 Mtemtik II 5 Fzikálí plikce Příkld 5 Vpočtěte souřdice těžiště trojúhelík s vrchol O = (,), A = (,) B = (,) Řešeí: Str AB dého trojúhelík leží přímce x = ( x ), tj = Roviá olst je ohriče shor grfem fukce ( ) x f x = zdol grfem fukce gx= ( ) or 55 Or 55 Těžiště trojúhelík Je-li plošá hustot σ kosttí, je hmotost rov součiu hustot oshu trojúhelík: m= σ P= σ = σ Sttické momet jsou (připomíáme, že gx= ( ) ): x x Sx = σ f ( x) dx= σ ( ) dx= σ ( x+ ) 4 dx= x x = σ x + = σ ( + ) = σ x x x x S = σ x f ( x) dx = σ x ( ) dx = σ ( x ) dx σ = = 6 4 = σ = σ Těžiště T = ( ξη, ) má souřdice S σ σ S ξ = = = η = x = = m σ m σ - -

10 Mtemtik II T = (, ) Pozámk 5 Fzikálí plikce Těžiště trojúhelík leží v průsečíku těžic (spojic vrcholů středů str) Těžiště rozděluje těžici v poměru : Z podoých trojúhelíků je zřejmé, že x ová souřdice těžiště musí ležet v str OB ová souřdice těžiště musí ležet v str OA Proto ξ = = η = = Příkld 54 Vpočtěte momet setrvčosti homogeího trojúhelík z příkldu 5 při rotci kolem os x, resp Řešeí: Momet setrvčosti trojúhelík k ose x: x x x x Ix = σ ( ) ( ) ( ) f x dx = σ dx = σ dx + = x x x = σ x + = σ ( + ) = σ = σ Momet setrvčosti trojúhelík k ose : 4 x x x x = σ ( ) = σ ( ) = σ ( ) σ = = 8 I x f x dx x dx x dx 8 = σ = σ Příkld 55 Vpočtěte souřdice těžiště roviého orzce ohričeého křivkou = 6 osou x x x Řešeí: Grfem prol = 6x x jsme se podroě zývli v příkldu Prol protíá osu x v odech x = x = 6 - -

11 Mtemtik II Roviá olst je ohriče shor křivkou 5 Fzikálí plikce = zdol křivkou gx= ( ) f ( x) 6x x or 56 Or 56 Těžiště roviého orzce ohričeého křivkou = 6 osou x x x Je-li plošá hustot σ kosttí, je hmotost rov součiu hustot ploch olsti ohričeé prolou osou x: 6 6 x = σ (6 ) = σ = σ(8 6) = 6 σ P x x dx x Sttické momet jsou (připomíáme, že gx= ( ) ): Sx = σ ( ) (6 ) (6 ) f x dx= σ x x dx σ x x x = + dx= x x 6 = σ x x + = σ x ( x+ ) = σ 6 ( 8 + ) = = σ8 = σ, x = σ ( ) = σ (6 ) = σ (6 ) = σ = 4 S x f x dx x x x dx x x dx x 4 6 = σ 6 = σ6 ( ) = 8σ 4 Těžiště T = ( ξη, ) má souřdice 648 S σ 8σ S 8 ξ = = = η = x = 5 = m 6σ m σ T = (, ) 5-4 -

12 Mtemtik II Pozámk Sttický momet 5 Fzikálí plikce S jsme emuseli počítt Protože je orzec souměrý podle os x =, musí těžiště ležet této ose, x - ová souřdice těžiště musí ýt ξ = Kotrolí otázk Uveďte vzth pro sttický momet momet setrvčosti hmotého odu Uveďte vzth pro výpočet sttických mometů mometů setrvčosti hmoté křivk dé prmetrickými rovicemi Jk vpočtete souřdice těžiště homogeí hmoté křivk dé prmetrickými rovicemi? 4 Uveďte vzth pro výpočet sttických mometů mometů setrvčosti hmoté křivk dé explicití rovicí 5 Uveďte vzth pro výpočet sttických mometů mometů setrvčosti hmoté rovié olsti hričeé křivkmi gx ( ) f ( x ), kde gx ( ) f( x) itervlu <, > 6 Uveďte vzth pro výpočet sttických mometů mometů setrvčosti hmoté rovié olsti hričeé grfem spojité fukce f( x) osou x itervlu <, > 7 Jk vpočtete souřdice těžiště homogeí hmoté rovié olsti ohričeé křivkmi gx ( ) f ( x ), kde gx ( ) f( x) itervlu <, >? Úloh k smosttému řešeí Vpočtěte souřdice těžiště homogeího roviého orzce ohričeého křivkmi ) ) c) d) = x x ; = = 6; x x= 5 = 4; x x= ; = 4 = x ; x= e) = x ; = + x f) = si x; = ; x g) x = si x; = ; = - 5 -

13 Mtemtik II h) = si x; = ; x 5 Fzikálí plikce i) x + = 4; Vpočtěte souřdice těžiště homogeího roviého orzce ) ohričeého ckloidou ( ) ( ) x= t si t, = cos t, t osou x ) který leží v prvím kvdrtu jeho hrici tvoří steroid x 4 + = oě souřdé os c) ohričeého křivkou x = t t, = t + t osou x Vpočtěte souřdice těžiště homogeího olouku dé křivk: ) ) c) x = + ; x x = l x ; x 4 t x= t, = t ; t d) x= cos t, = si t; t 6 6 e) x= cos t, = si t; t f) ( ) ( ) x= t si t, = cos t ; t g) x= cost+ tsi t, = si t tcos t; x Výsledk úloh k smosttému řešeí 6 ) ; ; ) ( ; ) ; c) ; 5 5 ; d) 9 9 ; ; e) ; ; f) ; 8 ; ( ) g) + ; ( ) ; h) ; 4 8 ; i) ; ) ; ; - 6 -

14 Mtemtik II 5 Fzikálí plikce ) ; 5 5 ; c) 8 9 ; d) ; ; e) 6 ; 5 ; f) 8 ; ) ( ;,97 ) ; ) ( ) ( 6) ; g) 6 ;,5;,97 ; c) 7 ; 5 4 ; Kotrolí test Vpočtěte momet setrvčosti vzhledem k ose homogeí hmoté olsti ohričeé křivkmi ) =, = x + x 8 σ ( + ), ) 5 8 σ ( ), c) 5 8 σ ( ), d) 5 8 σ ( + ) 5 Vpočtěte momet setrvčosti vzhledem k ose homogeího hmotého olouku křivk dé prmetrick ) x t t t =, = pro t 98, ) 5 σ 89 σ, c) 5 8 σ, d) σ ) Vpočtěte sttický momet vzhledem k ose x homogeího hmotého olouku křivk = x pro x σ σ σ σ ) ( + ), ) ( ), c) ( ), d) ( + ) ) Vpočtěte momet setrvčosti homogeí hmoté olsti tvru rovormeého trojúhelík výšk v zákld velikosti vzhledem k jeho zákldě ) v v 4 σ, ) σ, c) 4 v v σ, d) σ 5) Vpočtěte momet setrvčosti homogeí hmoté olsti ohričeé elipsou x ) + =, < < kost vzhledem k její hlví ose σ, ) 4 4 σ, c) σ, d) 6) Vpočtěte momet setrvčosti homogeího hmotého olouku křivk pro x e vzhledem k ose σ x = l x 4-7 -

15 Mtemtik II ) c) σ ( 8 e e ) 4 +, ) σ ( 8 e e ) 4 +, d) σ 4 ( ) 8 e + e +, σ 4 ( ) 8 e + e + 7) Vpočtěte souřdice těžiště homogeího hmotého olouku steroid = cos, = si t, > kost pro t x t ),, ) 5,, c) 5, 5, d) 5 Fzikálí plikce, 5 8) Vpočtěte souřdice těžiště homogeí hmoté olsti ohričeé křivkmi = si x = pro x mximálě z itervlu (, ) ) c) +, 8( ), ) +, 8( ), d) 8( ), +, 8( ), + 9) Vpočtěte souřdice těžiště homogeí hmoté olsti ohričeé křivkmi x = = x ) 5,, ) 7 5,, c) 7 4,, d) 7 ) Vpočtěte souřdice těžiště homogeího hmotého olouku křivk pro t 4, 7 x = t, = t t ) 7, 4 5, ) 5, 7, c) 5, 7, d) 7, 5 4 Výsledk testu ); ); ); 4 c); 5 ); 6 c); 7 d); 8 ); 9 ); d) - 8 -

16 Mtemtik II 5 Fzikálí plikce Průvodce studiem Pokud jste správě odpověděli ejméě v 8 přípdech, pokrčujte dlší kpitolou V opčém přípdě je tře prostudovt kpitolu 5 zovu Shrutí lekce Itegrálí počet je používá v moh disciplíách i tm, kde chom to eočekávli (př ekoomie) V této kpitole jsme se omezili jedoduché plikce v mechice Odvodili jsme vzth pro výpočet sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti křivek roviých olstí Při výpočtech jsme se omezili homogeí křivk olsti s kosttí hustotou S výpočt sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti křivek v prostoru, roviých olstí, těles i v přípdech, kd se hustot spojitě měí, se sezámíte v Mtemtice III Z ejdůležitější v této kpitole povžujeme metodu, jk lze odvodit potřeé vzth Z fzikálích zákoů se odvodí vzth pro velmi mlé elemet Provede se součet hodot pro všech elemet Limitím přechodem pro počet elemetů přejdou sum itegrál Pochopeím tohoto pricipu můžete odvozovt vzth pro dlší veliči Stejým způsoem postupovli i tvůrci itegrálího počtu Newto Leiiz - 9 -

17 Mtemtik II 5 Fzikálí plikce Místo pro pozámk - -

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti sttických mometů souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme že jste

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

Základní věta integrálního počtu (Newton Leibnizova) nám umožní výpočet určitých integrálů. Poznáte základní vlastnosti určitých integrálů.

Základní věta integrálního počtu (Newton Leibnizova) nám umožní výpočet určitých integrálů. Poznáte základní vlastnosti určitých integrálů. Mtemtik II Výpočet vlstosti určitého itegrálu Výpočet vlstosti určitého itegrálu Cíle Zákldí vět itegrálího počtu (Newto Leiizov) ám umoží výpočet určitých itegrálů Pozáte zákldí vlstosti určitých itegrálů

Více

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V mtemtice, le zejmén v přírodních technických vědách, eistuje nepřeerné množství prolémů, při jejichž řešení je nutno tím či oním způsoem použít

Více

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je

Více

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. Ing. Petr Schreierová, Ph.D. Ostrv Ing. Petr Schreierová, Ph.D. Vsoká škol áňská Technická univerzit

Více

8.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P8.1] výpočet obsahu plochy pod grafem funkce. (nejdříve jen pro a < b ) a = x 0 < x 1 <... < x n = b.

8.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P8.1] výpočet obsahu plochy pod grafem funkce. (nejdříve jen pro a < b ) a = x 0 < x 1 <... < x n = b. KPITOL 8: určitý itegrál Riemův itegrál [M-8:P8.] motivce: výpočet oshu plochy pod grfem fukce 8. Úvod ejdříve je pro < ) řekeme, že moži D, je děleím itervlu,, jestliže je koečá, D. Prvky děleí D {x,

Více

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c ) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším

Více

Výpočet obsahu rovinného obrazce

Výpočet obsahu rovinného obrazce Výpočet oshu rovinného orzce Pro výpočet oshu čtverce, odélník, trojúhelník, kružnice, dlších útvrů, se kterými se můžeme setkt v elementární geometrii, máme k dispozici vzorce Kdchom chtěli vpočítt osh

Více

VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ VEKTOROVÁ LGEBR NLYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Délk úsečk, střed úsečk,, B Délk úsečk B : B C, BC Střed úsečk : B S s, s souřdice středu: s, s Vektor Vektor = oži všech souhlsě orietových rovoěžých úseček

Více

R n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na

R n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na Mtemtik II. Určitý integrál.1. Pojem Riemnnov určitého integrálu Definice.1.1. Říkáme, že funkce f( x ) je n intervlu integrovtelná (schopná integrce), je-li n něm ohrničená spoň po částech spojitá.

Více

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Ztím ebylo v těchto textech věováo příliš pozorosti kovergeci fukcí, t jko limit poslouposti ebo součet řdy. Jik byl kovergece poslouposti fukcí ebo řdy brá jko bodová kovergece.

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI

6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI 6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme posloupost reálých ebo komplexích čísel; defiici vlstí evlstí limity poslouposti; defiici pojmů souvisejících

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T DUBNA 08 : 8. dub 08 D : 884 P P P S M. M. M. : 0 : 5,5 % : 0 : 7,8 : -7,5 M.. P : -6,0 : 9,7 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí

Více

Geometrické a fyzikální aplikace určitého integrálu. = b a. je v intervalu a, b záporná, je integrál rovněž záporný.

Geometrické a fyzikální aplikace určitého integrálu. = b a. je v intervalu a, b záporná, je integrál rovněž záporný. 4. přednášk Geometické zikální plikce učitého integálu Geometické plikce. Osh ovinného útvu A. Pokud se jedná o ovinný útv omezený osou přímkmi gem spojité nezáponé unkce pk je jeho osh dán učitým integálem

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učení mteriál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.080 Název projektu Zkvlitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo název šlony klíčové ktivity III/ Inovce zkvlitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

Kuželosečky jako algebraické křivky 2. stupně

Kuželosečky jako algebraické křivky 2. stupně Kuželosečk Pretrické iplicití vjádřeí kuželoseček P. Pech: Kuželosečk, JU České Budějovice 4, 59s Kuželosečk jko lgerické křivk. stupě Kuželosečk je oži odů v roviě, jejichž souřdice (, ) vhovují v ějké

Více

M - Posloupnosti VARIACE

M - Posloupnosti VARIACE M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,

Více

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K.

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K. Digitálí učeí mteriál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.080 Název projektu Zkvlitěí výuk prostředictvím ICT Číslo ázev šlo klíčové ktivit III/ Iovce zkvlitěí výuk prostředictvím ICT Příjemce podpor Gmázium,

Více

Základní elementární funkce.

Základní elementární funkce. 6. předášk Zákldí elemetárí fukce. Defiice: Elemetárími fukcemi zveme všech fukce, které jsou vtvoře koečým počtem zákldích opercí ze zákldích elemetárích fukcí. Zákldí operce s fukcemi jsou:. Sčítáí dvou

Více

Vlastnosti posloupností

Vlastnosti posloupností Vlstosti posloupostí Nekoečá posloupost je fukce defiová v oboru přirozeých čísel Z toho plye, že kždá posloupost má prví čle (zčíme ), koečé poslouposti mjí i čle posledí Př Vypište prví čtyři čley poslouposti

Více

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13). 37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým

Více

8. Elementární funkce

8. Elementární funkce Moderí techologie ve studiu plikové fzik CZ.1.07/2.2.00/07.0018 8. Elemetárí fukce Historie přírodích věd potvrzuje, že většiu reálě eistujících dějů lze reprezetovt mtemtickými model, které jsou popsá

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

9. Racionální lomená funkce

9. Racionální lomená funkce @ 9. Rcioálí loeá fukce Defiice: Nechť P je poloická fukce -tého stupě... ) ( P kde R... A echť Q je poloická fukce -tého stupě... ) ( Q kde R... Rcioálí loeá fukce R je dá podíle ) ( ) ( ) ( Q P R pro

Více

Cílem kapitoly je zavedení význačných pojmů pro matice, jejichž znalost je nutná, mimo jiné, pro řešení soustav lineárních rovnic.

Cílem kapitoly je zavedení význačných pojmů pro matice, jejichž znalost je nutná, mimo jiné, pro řešení soustav lineárních rovnic. Mtemtik I část I Cíle Cílem kpitoly je zvedeí výzčýh pojmů pro mtie jejihž zlost je utá mimo jié pro řešeí soustv lieáríh rovi Předpokládé zlosti Předpokldem dorého zvládutí látky je zejmé zlost opere

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T ÚNORA 08 :. úor 08 D : 96 P P P : 0 M. M. : 0 : 0 M. :,4 % S : -7,5 M. P : -,8 : 4,5 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90 miut

Více

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA .. MOCNINA A ODMOCNINA V této kpitole se dozvíte: jk je defiová oci s přirozeý, celý, rcioálí oecý reálý epoete jké jsou její vlstosti; jk je defiová přirozeá odoci, jké jsou její vlstosti jk se dá vyjádřit

Více

II. 5. Aplikace integrálního počtu

II. 5. Aplikace integrálního počtu 494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 :. břez 08 D : 0 P P P : 0 M. M. M. :,8 % S : 0 : 7,5 : -7,5 M. P : -,0 : 0,6 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90

Více

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel KAPITOLA : Číselé řdy MA-8:P.] Ozčeí: R {, +} R R C {} C rozšířeá komplexí rovi evlstí hodot, číslo, bod U ε {x C x < ε } pro C, ε > 0 U K {x C x > K } pro K 0 defiujeme pro C: ±, je pro 0, edefiujeme:

Více

8.2.7 Geometrická posloupnost

8.2.7 Geometrická posloupnost 87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 : 9. břez 08 D : 897 P P P : 0 M. M. M. :, % S : 0 : 0 : -7,5 M. P : -, : 0, Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90

Více

Analytická geometrie

Analytická geometrie Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26 Určitý integrál Zákldy vyšší mtemtiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu http://kdemie.ldf.mendelu.cz/cz

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

Výpočet vnitřních sil přímého nosníku II

Výpočet vnitřních sil přímého nosníku II Stveí sttik, 1.ročík kářského studi ýpočet vitřích si přímého osíku II ýpočet vitřích si osíků ztížeých spojitým ztížeím: příčé kosttí trojúheíkové spojité ztížeí, spojité ztížeí v osové úoze, mometové

Více

18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34.

18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34. I. Určete integrály proved te zkoušku. Určete intervl(y), kde integrál eistuje... 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0... 3. 4. 5. 6. 7. e d substituce t = ln ln(ln ) d substituce t = ln(ln ), dt = ln 3 e 4 d substituce

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

Obsah rovinného obrazce

Obsah rovinného obrazce Osh rovinného orzce Nejjednodušší plikcí určitého integrálu je výpočet oshu rovinného orzce. Zčneme větou. Vět : Je-li funkce f spojitá nezáporná n n orázku níže roven f ( ) d. ;, je osh rovinného orzce

Více

ZPG Křivky. Hermitova interpolace. Fergusonovy křivky (3) Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět

ZPG Křivky. Hermitova interpolace. Fergusonovy křivky (3) Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět ZPG Křivk. Hermitov iterpolce. Fergusoov křivk (). KŘIVKY A PLOCHY Cíl Po prostudováí této kpitol budete umět defiovt iterpolčí proximčí křivk pro dé bod defiovt ploch z dých prvků plikovt křivk ploch

Více

26. listopadu a 10.prosince 2016

26. listopadu a 10.prosince 2016 Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální

Více

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály.

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály. Mtemtik II.5. Nevlstní integrály.5. Nevlstní integrály Cíle V této kpitole poněkud rozšíříme definii Riemnnov určitého integrálu i n přípdy, kdy je integrční oor neohrničený (tj. (, >,

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34. Vzdělávcí mteriál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zářeh, náměstí Osvoození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo název klíčové ktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek pro

Více

Jak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:

Jak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby: .. Substituční metod pro určité integrály.. Substituční metod pro určité integrály Cíle Seznámíte se s použitím substituční metody při výpočtu určitých integrálů. Zákldní typy integrálů, které lze touto

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2019

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2019 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 09 T á D P č P č ů ú P ů ě S á :. úor 09 : 004 : 0 M. M. M. á : 9, % ě č M.. P ů ě ž ó : 0 ž ž ó : 0 ó : -7,5 ž ó : -,8 ó : 4,4 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

DUM č. 11 v sadě. Ma-2 Příprava k maturitě a PZ geometrie, analytická geometrie, analýza, komlexní čísla

DUM č. 11 v sadě. Ma-2 Příprava k maturitě a PZ geometrie, analytická geometrie, analýza, komlexní čísla projekt GML Brno Docens DUM č. v sdě M- Příprv k mturitě PZ geometrie, nltická geometrie, nlýz, komlení čísl 4. Autor: Mgd Krejčová Dtum: 3.8.3 Ročník: mturitní ročník Anotce DUMu: Anltická geometrie v

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

a) 1 b) 0 c) 1 d) 2 x e) 2x

a) 1 b) 0 c) 1 d) 2 x e) 2x FSI VUT v Brě zdáí č.. str. Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vžd právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Je-li 0, pk 0 c) e) ) Výrz lze uprvit tvr c) e) ) Nerovice má řešeí c) e) ) Rovice 0 má právě jedo

Více

III.4. Fubiniova (Fubiniho) věta pro trojný integrál

III.4. Fubiniova (Fubiniho) věta pro trojný integrál E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( III.. Fubiniov (Fubiniho vět pro trojný integrál Vpočítejte trojné integrál n dných množinách E : Příkld. I Řešení : I ( + d d d; {[,, E

Více

Integrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál)

Integrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál) Integrální počet - IV. část (plikce n určitý vlstní integrál, nevlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednášk z AMA Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 4 Obsh

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

Středová rovnice hyperboly

Středová rovnice hyperboly 757 Středová rovnice hperol Předpokld: 7508, 75, 756 Př : Nkresli orázek, vpočti souřdnice vrcholů, ecentricitu urči rovnice smptot hperol se středem v počátku soustv souřdnic, pokud je její hlvní os totožná

Více

5.2. Určitý integrál Definice a vlastnosti

5.2. Určitý integrál Definice a vlastnosti Určitý intgrál Dfinic vlstnosti Má-li spojitá funkc f() n otvřném intrvlu I primitivní funkci F(), pk pro čísl, I j dfinován určitý intgrál funkc f() od do vzthm [,, 7: [ F( ) = F( ) F( ) f ( ) d = (6)

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů .8. Mohočley, sčítáí odčítáí mohočleů Předpokldy: 7 Mohočle = zvláští typ výrzů. Jk je pozáme? Mohočley obshují pouze přirozeé mociy ezámých (jedé ebo více) kostty. Př. : Rozhodi, které z ásledujících

Více

( t) ( t) ( t) Nerovnice pro polorovinu. Předpoklady: 7306

( t) ( t) ( t) Nerovnice pro polorovinu. Předpoklady: 7306 7.3.8 Nerovnice pro polorovinu Předpokldy: 736 Pedgogická poznámk: Příkld 1 není pro dlší průěh hodiny důležitý, má smysl pouze jko opkování zplnění čsu při zpisování do třídnice. Nemá smysl kvůli němu

Více

Křivkový integrál prvního druhu verze 1.0

Křivkový integrál prvního druhu verze 1.0 Křivkový integrál prvního druhu verze. Úvod Následující text popisuje výpočet křivkového integrálu prvního druhu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT k příprvě n zkoušku. Mohou se v něm

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f

Více

1 - Integrální počet, výpočet obsahu plochy, objemu rotačního tělesa 1) Vypočítejte (integrace pomocí substituce): 1 a) c) x. + 4x

1 - Integrální počet, výpočet obsahu plochy, objemu rotačního tělesa 1) Vypočítejte (integrace pomocí substituce): 1 a) c) x. + 4x - Itegrálí počet, výpočet oshu plochy, ojemu rotčího těles ) Vypočítejte (itegrce pomocí sustituce): ) 9 d si( l ) ) d c) e d d) e d ) Vypočítejte (itegrce metodou per - prtes): l ) ( ) e d ) d c) ( )

Více

Těžiště a moment setrvačnosti Nalezení práce polohy těžiště a momentu setrvačnosti vůči zadané ose u homogenních těles v třírozměrném prostoru.

Těžiště a moment setrvačnosti Nalezení práce polohy těžiště a momentu setrvačnosti vůči zadané ose u homogenních těles v třírozměrném prostoru. Těžiště a momet setrvačosti Naleeí práce polohy těžiště a mometu setrvačosti vůči adaé ose u homogeích těles v tříroměrém prostoru. Př. 1 Najděte těžiště a momet setrvačosti kulové vrstvy vůči rotačí ose

Více

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c) x b) 6 x c) 5) Rovnice y = je rovnicí a) elipsy b) paraboly c) přímky d) kružnice e) hyperboly

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c) x b) 6 x c) 5) Rovnice y = je rovnicí a) elipsy b) paraboly c) přímky d) kružnice e) hyperboly FSI VUT v Brě zdáí č.. str. MATEMATIKA 009 Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vždy právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Je-li > 0, pk c) e) ) Je-li > 0, pk : 6 6 c) 6 e) ) Nerovice < má řešeí < > c)

Více

Nosné stavební konstrukce Výpočet reakcí Výpočet vnitřních sil přímého nosníku

Nosné stavební konstrukce Výpočet reakcí Výpočet vnitřních sil přímého nosníku Stveí sttik.ročík klářského studi osá stveí kostruke osé stveí kostruke ýpočet rekí ýpočet vitříh sil přímého osíku osá stveí kostruke slouží k přeosu ztížeí ojektu do horiového msívu ěmž je ojekt zlože.

Více

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c)

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c) FSI VUT v Brě zdáí č. str. MATEMATIKA 06 Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vždy právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Je-li > 0, pk c) e) ) Je-li > 0, pk 6 c) 6 9 e) 9 ) Rovice má řešeí v itervlu ; )

Více

7.5.8 Středová rovnice elipsy

7.5.8 Středová rovnice elipsy 758 Středová rovnice elips Předpokld: 7501, 7507 Př 1: Vrchol elips leží v odech A[ 1;1], [ 3;1], [ 1;5], [ 1; 3] elips souřdnice jejích ohnisek Urči prmetr Zdné souřdnice už n první pohled vpdjí podezřele,

Více

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t. ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz

Více

Analytická geometrie

Analytická geometrie 7..06 Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí

Více

Cílem kapitoly je zvládnutí řešení determinantů čtvercových matic.

Cílem kapitoly je zvládnutí řešení determinantů čtvercových matic. temtk I část I Determty mtc řádu Determty mtc řádu Cíle Cílem ktoly je zvládutí řešeí ermtů čtvercových mtc Defce Determtem (řádu ) čtvercové mtce řádu jejímž rvky j jsou reálá (oř komlexí) čísl zýváme

Více

Výpočet vnitřních sil přímého nosníku

Výpočet vnitřních sil přímého nosníku Stvení sttik, 1.ročník klářského studi ýpočet vnitřních sil přímého nosníku nitřní síly přímého vodorovného nosníku prostý nosník konzol nosník s převislým koncem Ktedr stvení mechniky Fkult stvení, ŠB

Více

Hyperbola, jejíž střed S je totožný s počátkem soustavy souřadnic a jejíž hlavní osa je totožná

Hyperbola, jejíž střed S je totožný s počátkem soustavy souřadnic a jejíž hlavní osa je totožná Hyperol Hyperol je množin odů, které mjí tu vlstnost, že solutní hodnot rozdílu jejich vzdáleností od dvou dných různých odů E, F je rovn kldné konstntě. Zkráceně: Hyperol = {X ; EX FX = }; kde symolem

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN 2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;

Více

Při výpočtu složitějších integrálů používáme i u určitých integrálů metodu per partes a substituční metodu.

Při výpočtu složitějších integrálů používáme i u určitých integrálů metodu per partes a substituční metodu. Mtmtik II.. Mtod pr prts pro určité intgrály.. Mtod pr prts pro určité intgrály Cíl Sznámít s s použitím mtody pr prts při výpočtu určitých intgrálů. Zákldní typy intgrálů, ktré lz touto mtodou vypočítt

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25

56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25 56. ročník Mtemtické olympiády Úlohy domácí části I. kol ktegorie 1. Njděte všechny dvojice (, ) celých čísel, jež vyhovují rovnici + 7 + 6 + 5 + 4 + = 0. Řešení. Rovnici řešíme jko kvdrtickou s neznámou

Více

Integrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace)

Integrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace) Integrální počet - II. část (určitý integrál jeho plikce) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednášk z ESMAT Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 23 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)

Více

METODICKÝ NÁVOD MODULU

METODICKÝ NÁVOD MODULU Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název modulu: Zákldy mtemtiky Zkrtk: ZM Počet kreditů: Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolnský Tutor: Petr Dolnský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH OPOR: ) Skriptum:

Více

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! ax + ay bx by ax ay bx + by d) a b 4) Řešením nerovnice x 3x e) nemá řešení

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! ax + ay bx by ax ay bx + by d) a b 4) Řešením nerovnice x 3x e) nemá řešení FSI VUT v Brě zdáí č.. str. MATEMATIKA 0 Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vždy právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Pro všechy přípusté hodoty pltí: + y y b) y + y c) + b b + y b by y b + by d) b +

Více

14 Kuželosečky v základní poloze

14 Kuželosečky v základní poloze 4 Kuželosečk v zákldní poloze Následující tet 4 7 se týkjí geometrie v rovině. Až dosud jsme studovli útvr lineární (v nltickém vjádření l vžd proměnné,, z v první mocnině). Nní se udeme zývt některými

Více

Matematika II: Testy

Matematika II: Testy Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit

Více

6 Stabilita lineárních diskrétních regulačních obvodů

6 Stabilita lineárních diskrétních regulačních obvodů 6 Stbilit lieárích diskrétích regulčích obvodů Pro diskrétí systémy pltí stejá defiice stbility jko pro systémy spojité. Systém je stbilí, když se po odezěí vstupího sigálu vrátí zpět do rovovážého stvu.

Více

x + F F x F (x, f(x)).

x + F F x F (x, f(x)). I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných

Více

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ, p. o. MATEMATIKA Ig. Rudolf PŠENICA 6 OBSAH:. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA... 5.. Zákldí možiové pojmy... 5.. Číselé možiy... 6.. Itervly... 6.. Absolutí

Více

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců.

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců. 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jký by byl

Více

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte: 6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Určitý integrál Petr Hsil Přednášk z mtemtiky Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY. Křivka v prostoru je popsána spojitými funkcemi ϕ, ψ, τ : [a, b] R jako množina bodů {(ϕ(t), ψ(t), τ(t)); t

KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY. Křivka v prostoru je popsána spojitými funkcemi ϕ, ψ, τ : [a, b] R jako množina bodů {(ϕ(t), ψ(t), τ(t)); t KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY Má-li se spočítt npř. spotřeb betonu n rovný plot s měnící se výškou, stčí spočítt integrál z této výšky podle zákldny plotu. o když je le zákldnou plotu nikoli rovná úsečk, le křivá

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na Fakultě bezpečnostního inženýrství VŠB TU Ostrava

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na Fakultě bezpečnostního inženýrství VŠB TU Ostrava Okruhy z učiv sředoškolské memiky pro příprvu ke sudiu Fkulě ezpečosího ižeýrsví VŠB TU Osrv I Úprvy lgerických výrzů, zlomky, rozkld kvdrického rojčleu, mociy se záporým epoeem, mociy s rcioálím epoeem,

Více

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha 74 ěžiště, rovovážá poloha Předpoklady: 00703 Př : Polož si sešit a jede prst tak, aby espadl Záleží a místě, pod kterým sešit podložíš? Proč? Musíme sešit podložit prstem přesě uprostřed, jiak spade Sešit

Více

Obecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4)

Obecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4) KAPITOLA 13: Numerická integrce interpolce [MA1-18:P13.1] 13.1 Interpolce Obecně: K dné funkci f hledáme funkci ϕ z dné množiny funkcí M, pro kterou v dných bodech x 0 < x 1

Více

Odraz na kulové ploše Duté zrcadlo

Odraz na kulové ploše Duté zrcadlo Odz n kulové ploše Duté zcdlo o.. os zcdl V.. vchol zcdl S.. střed zcdl (kul. ploch).. polomě zcdl (kul. ploch) Ppsek vchází z odu A n ose zcdl po odzu n zcdle dopdá do nějkého odu B n ose. Podle oázku

Více