8. Implikácia. A nazývame obrátenou implikáciou k implikácii A B. Pravdivostná hodnota implikácie a obrátenej implikácie je rôzna.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "8. Implikácia. A nazývame obrátenou implikáciou k implikácii A B. Pravdivostná hodnota implikácie a obrátenej implikácie je rôzna."

Transkript

1 8. Implikácia Implikáciu B A nazývame obrátenou implikáciou k implikácii A B. Pravdivostná hodnota implikácie a obrátenej implikácie je rôzna. Implikáciu B' A' nazývame obmenou implikácie A B. Implikácia má rovnakú pravdivostnú hodnotu ako jej obmena. Pravdivostné hodnoty implikácie, obrátenej implikácie a obmeny implikácie nájdeme v nasledujúcej tabuľke pravdivostných hodnôt. implikácia obmena implikácie obrátená implikácia A B A B A B B ' A' B A Implikácia: Ak je dnes utorok, potom máme školu až do šiestej. Obmena: Ak nemáme školu až do šiestej, potom nie je dnes utorok. Obrátená implikácia: Ak máme školu až do šiestej, potom je dnes utorok. Implikácia: Ak 3 delí 9, potom 6 delí 5. Obmena: Ak 6 nedelí 5, potom 3 nedelí 9. Obrátená implikácia: Ak 6 delí 5, potom 3 delí 9. Implikácia: Ak nosím okuliare, potom som ďalekozraký. Obmena: Ak nie som ďalekozraký, potom nenosím okuliare. Obrátená implikácia: Ak som ďalekozraký, potom nosím okuliare. Implikácia: Ak Dunaj tečie cez Bratislavu, potom tvorí časť hranice s Maďarskom. Obmena: Ak Dunaj netvorí časť hranice s Maďarskom, potom netečie cez Bratislavu. Obrátená implikácia: Ak Dunaj tvorí časť hranice s Maďarskom, potom tečie cez Bratislavu. 40

2 9. Tautológie a kontradikcie Tautológiou nazývame každú formulu zloženú zo znakov p, q,... a logických spojok, ktorá sa zmení na pravdivý výrok, keď za p, q,... dosadíme akýkoľvek výrok (pravdivý alebo nepravdivý. Kontradikciou nazývame každú formulu zloženú zo znakov p, q,... a logických spojok, ktorá sa zmení na nepravdivý výrok, keď za p, q,... dosadíme akýkoľvek výrok (pravdivý alebo nepravdivý. Formulu zloženú zo znakov p, q,... a logických spojok nazývame splniteľnou, ak sa zmení na pravdivý výrok pri vhodnom dosadení výrokov za p, q,.... Teda každá takáto formula, ktorá nie je kontradikciou, je splniteľná. Nech p, q, r sú ľubovoľné výroky. Potom nasledujúce formuly sú tautológie. 1. ( p q ( q p ( komutatívny zákon,. ( p q ( q p ( komutatívny zákon, p q r p q r ( asociatívny zákon, 3. ( ( p q r p q r ( asociatívny zákon, 4. ( ( 5. p ( q r ( p q ( p r ( distributívny zákon, 6. p p ' ( platí výrok alebo jeho negácia, 7. ( p p' 0 ( výrok a jeho negácia neplatia zároveň, 8. ( p q ' ( p' q' 9. ( p q ' ( p' q' (de Morganovo pravidlo pravidlo pre negáciu konjunkcie, (de Morganovo pravidlo pravidlo pre negáciu disjunkcie, 10. ( p q ( q r ( p r ( tranzitívnosť implikácie, 11. ( p q ( q' p' ( obmena implikácie, 1. ( p q ( p' q (implikácia je pravdivá, ak neplatí predpoklad alebo platí tvrdenie, 13. ( p q ' ( p q' (pravidlo pre negáciu implikácie, 14. ( p q ( p q ( q p ( zápis ekvivalencie ako dvojitej implikácie, 41

3 15. ( p q ' ( p q' ( p' q (pravidlo pre negáciu ekvivalencie, Okrem týchto formúl existuje ešte mnoho iných tautológií. To, či formula ( p q ( q p je tautológiou, môžeme overiť pomocou tabuľky pravdivostných hodnôt. p q p q q p ( p q ( q p Z vytieňovaného stĺpca vidíme, že bez ohľadu na pravdivosť výrokov p, q je formula ( p q ( q p vždy pravdivá. Teda formula ( p q ( q p je tautológiou. Nech p, q sú ľubovoľné výroky. Potom nasledujúce formuly sú kontradikcie. 1. p p ' (výrok a jeho negácia nemôže platiť zároveň,. ( p p' 0, 3. ( p q ( p' q' 4. ( p q ( p' q',. Okrem týchto formúl existuje ešte mnoho iných kontradikcií. To, či formula ( p q ( p' q' je kontradikciou, môžeme overiť pomocou tabuľky pravdivostných hodnôt. p q p q p q p ' q ' ( p q ( p' q' Z vytieňovaného stĺpca vidíme, že bez ohľadu na pravdivosť výrokov p, q je formula ( p q ( p' q' vždy nepravdivá. Teda formula ( p q ( p' q' je kontradikciou. 4

4 10. Dôkazy Matematika sa líši od mnohých iných vied najmä tým, že všetky svoje tvrdenia vždy podrobne dokazuje. Nezaoberá sa iba otázkou Ako?, ale najmä otázkou Prečo?. Na rozdiel od niektorých iných vied, nič nepovažuje za samozrejmé alebo očividné. Pri budovaní matematickej teórie si na začiatku zvolíme tvrdenia, ktorých platnosť nedokazujeme. Tieto tvrdenia nazývame axiómy. Príkladom axiómy v geometrii je napríklad výrok Danými dvoma rôznymi bodmi prechádza práve jedna priamka.. Okrem toho si na začiatku zvolíme určitú množinu základných pojmov - v geometrii je to napríklad bod. Z axióm potom postupne vybudujeme celú matematickú teóriu. Vytvoríme definície, ktoré pomenovávajú určité objekty alebo ich vlastnosti a vety, ktoré charakterizujú vzťahy medzi objektmi a ich vlastnosťami. Všetky matematické vety, ktoré v teórii vytvoríme, musíme dokázať pomocou axióm a už predtým dokázaných viet. Matematické vety by sme mohli rozdeliť do dvoch skupín: 1. Jednoduché výroky napríklad Uhlopriečky v štvorci sú navzájom kolmé.,. Výroky v tvare implikácie či ekvivalencie napríklad Ak je ciferný súčet prirodzeného čísla deliteľný tromi, potom toto číslo je deliteľné tromi Priamy dôkaz Priamy dôkaz matematického výroku spočíva v tom, že z už dokázaných výrokov (viet a axióm dokážeme tento výrok po konečnom počte korektných úsudkov. Príklad na priamy dôkaz nájdeme v nasledujúcich dvoch úlohách. Úloha: Dokážte, že Riešenie: 1 3 < = = = = ( Pretože Teda 3 <, dostaneme 1 3 < = + < + = + =. 43

5 Úloha: Ak 3 delí n, potom 9 delí n 3. Dokážte! Riešenie: Ak 3 delí n, potom existuje také celé číslo k, pre ktoré platí n= 3. k Potom n 3 ( 3k 3 7k 3 9 ( 3k 3 = = =, z čoho vyplýva, že 9 delí n Nepriamy dôkaz Nepriamy dôkaz jednoduchého výroku T vychádza z predpokladu, že výrok T je nepravdivý, z čoho odvodíme očividne nepravdivé tvrdenie. Pretože odvodené tvrdenie je nepravdivé, musí byť nepravdivý aj pôvodný predpoklad o nepravdivosti tvrdenia T. Teda tvrdenie T je pravdivé. Nepriamy dôkaz implikácie A B uskutočníme tak, že priamym spôsobom dokážeme obmenu implikácie B ' A'. Pretože táto obmena má rovnakú pravdivostnú hodnotu ako implikácia A B, je pravdivá nielen obmena, ale aj implikácia A B. Príklad na nepriamy dôkaz nájdeme v nasledujúcej úlohe. Úloha: Dokážte, že pre všetky prirodzené čísla n platí: Ak 5 nedelí n. Riešenie: Vytvoríme obmenu implikácie: Ak 5 delí n, potom 5 delí Túto obmenu dokážeme priamo. n. Ak 5 delí n, potom existuje také celé číslo k, pre ktoré platí n= 5. k n = 5k = 5 k, z čoho vyplýva, že 5 delí n. Potom ( Pretože obmena implikácie je pravdivá, je pravdivá aj pôvodná implikácia. Teda pre všetky prirodzené čísla n platí: Ak 5 nedelí n, potom 5 nedelí n. n, potom 5 nedelí 10.3 Iné spôsoby používané pri dôkazoch Všeobecný alebo existenčný výrok možno vyvrátiť už jedným jediným príkladom. Takýto príklad nazývame protipríklad. 44

6 Napríklad francúzsky matematik A. Legendre ( sa domnieval, že neexistujú také 3 3 p r prirodzené čísla p, q, r, s, pre ktoré platí + = 6. q s Túto hypotézu vyvrátil protipríkladom anglický matematik H. Dudeney ( , ktorý zistil, že + = n ( P. Fermat ( sa domnieval, že všetky čísla tvaru + 1 sú prvočísla. Avšak L. Euler ( našiel ako protipríklad rozklad čísla 5 ( = + 1 = = Jeden z najstarších existenčných dôkazov poznal už Euklides. Vedel dokázať, že prvočísel je nekonečne veľa. Úloha: Dokážte, že prvočísel je nekonečne veľa. Riešenie: Použijeme nepriamy dôkaz. Budeme preto vychádzať z tvrdenia, že prvočísel je konečne veľa. Sú to p1, p, p3,..., p n. Ukážeme, že za tohto predpokladu by aj číslo p1 p... 1 p3 p n + bolo prvočíslo. Číslo p1 p... 1 p3 p n + očividne nie je deliteľné žiadnym z čísel p1, p, p3,..., p n, pretože po delení týmito číslami dáva zvyšok 1. Teda číslo p1 p... 1 p3 p n + je prvočíslom, čo je v spore s predpokladom, že všetky prvočísla sú p1, p, p3,..., p n. Nakoľko negácia výroku neplatí, platí výrok Prvočísel je nekonečne veľa. Uvedomme si, že predchádzajúci dôkaz dokazuje iba to, že prvočísel je nekonečne veľa, ale nedáva nám návod na vytvorenie ľubovoľne veľkého prvočísla. Napríklad číslo = 30031, ktoré vznikne súčinom prvých 6 prvočísel zväčšeným o 1, nie je prvočíslo, pretože sa dá zapísať v tvare = Dirichletov princíp nám hovorí, že ak máme utriediť n objektov do m tried, pričom n>m, potom exuistuje taká trieda, v ktorej sú aspoň dva objekty. 45

7 Úloha: Dokážte, že ak je v miestnosti s rozmermi 10 x 10 metrov 30 osôb, potom aspoň dve osoby sú od seba vzdialené menej ako 3 metre. Riešenie: Miestnosť s rozmermi 10x10 metrov rozdelíme na štvorce so stranou dĺžky metre. Týchto štvorcov je 5. Pretože osôb je 30, musia sa aspoň dve osoby nachádzať v jednom štvorci, a teda ich vzdialenosť je menšia ako uhlopriečka štvorca so stranou metre. Podľa Pytagorovej vety pre uhlopriečku štvorca so stranou metre platí u u u u = + = 8 = 8,83 metra. Teda v miestnosti skutočne existujú aspoň dve osoby, ktoré sú od seba vzdialené menej ako 3 metre. Uvedomme si, že predchádzajúci dôkaz nám nevraví, ktoré sú to osoby. Dokazuje iba to, že taká dvojica existuje Dôkaz matematickou indukciou Matematickou indukciou dokazujeme výroky typu Pre každé prirodzené číslo n N platí výrok V ( n. Pri dôkaze matematickou indukciou používame nasledujúci postup: 1. Dokážeme, že platí V ( 1, teda že výrok V je pravdivý pre n = 1.. Dokážeme, že k N : V ( k V ( k+ 1, teda ak platí V ( k, potom platí aj ( 1 V k+. 3. Vyslovíme záver n N : V( n, teda pre každé prirodzené číslo n platí výrok ( V n. Úloha: Dokážte, že pre súčet prvých n nepárnych čísel platí (n 1 = n. Riešenie: Použijeme dôkaz matematickou indukciou. 1. Nech n=1. Potom 1= 1. Teda tvrdenie platí pre n=1.. Predpokladajme, že tvrdenie platí pre n=k, teda že (k 1 = k. 46

8 Dokážeme, že potom platí tvrdenie aj pre n=k+1, teda že ( k+ 1 1 = ( k+ 1 Najprv upravíme ľavú stranu:. ( k ( k ( k ( k = = Použijeme predpoklad, podľa ktorého (k 1 = k. ( k ( k k ( k k k ( k = = + + 1= + 1 Teda ( k+ 1 1 = ( k Pre súčet prvých n nepárnych čísel platí (n 1 = n. Test č. 4 V nasledujúcom teste je 30 úloh z oblasti implikácií, tautológií, kontradikcií a dôkazov v matematike. Na nich si prakticky precvičíme: - implikácie, obrátené implikácie, obmeny implikácií, - určovanie, či daná výroková forma je tautológiou, kontradikciou, či splniteľnou, - rozdiel medzi definíciou a vetou v matematike, - základné metódy dokazovania v matematike. Test č. 4 nájdeme aj v elektronickej verzii v súbore 4.exe. 1. Z daných zápisov vyberte ten, ktorý predstavuje obmenu implikácie A B. a B' A' b B A c A B ' d A B '. Z daných zápisov vyberte ten, ktorý predstavuje negáciu implikácie A B. a B' A' b B A c A B ' d A B ' 47

9 3. Z daných zápisov vyberte ten, ktorý predstavuje obrátenú implikáciu k implikácii A B. a B' A' b B A c A B ' d A B ' 4. Z daných zápisov vyberte ten, ktorý predstavuje obmenu implikácie B A. a A' B ' b A B c A B ' d A' B 5. Z daných zápisov vyberte ten, ktorý predstavuje negáciu implikácie B A. a A' B ' b A B c A B ' d A' B 6. Z daných zápisov vyberte ten, ktorý predstavuje obrátenú implikáciu k implikácii B A. a A' B ' b A B c A B ' d A' B 7. Priraďte implikácie k ich negáciám. a A B ' 1. A B b A' B '. B' A c A' B 3. A' B ' d A B 4. A B ' 8. Priraďte k sebe implikácie s rovnakou pravdivostnou hodnotou. a B' A' 1. A B 48

10 b A' B. B' A c B A 3. A B ' d B A' 4. A' B ' 9. Priraďte formuly k ich vzťahu k implikácii B A. a obmena 1. A B ' b negácia. A B c obrátená implikácia 3. B A' d negácia obrátenej implikácie 4. A' B ' 10. Priraďte implikácie k ich negáciám. a Bude pekne a nepôjdem hrať tenis. 1. Ak bude pekne, nepôjdem hrať tenis. b Nebude pekne a pôjdem hrať tenis.. Ak bude pekne, pôjdem hrať tenis. c Bude pekne a pôjdem hrať tenis. 3. Ak nepôjdem hrať tenis, bude pekne. d Nebude pekne a nepôjdem hrať tenis. 4. Ak nebude pekne, nepôjdem hrať tenis. 11. Priraďte k sebe implikácie s rovnakou pravdivostnou hodnotou. a Ak nebude pekne, pôjdem hrať tenis. 1. Ak bude pekne, pôjdem hrať tenis. b Ak pôjdem hrať tenis, nebude pekne.. Ak nebude pekne, nepôjdem hrať tenis. c Ak pôjdem hrať tenis, bude pekne. 3. Ak bude pekne, nepôjdem hrať tenis. d Ak nepôjdem hrať tenis, nebude pekne. 4. Ak nepôjdem hrať tenis, bude pekne. 1. Priraďte formuly podľa ich vzťahu k implikácii Ak budeš dobrý, dostaneš cukríky. a obrátená implikácia 1. Budeš dobrý a nedostaneš cukríky. b negácia. Ak dostaneš cukríky, budeš dobrý. c negácia obrátenej implikácie 3. Nebudeš dobrý a dostaneš cukríky. d obmena 4. Ak nedostaneš cukríky, nebudeš dobrý. 13. Priraďte formuly podľa ich vzťahu k implikácii Ak nebudeš dobrý, zostaneš doma. a obmena 1. Budeš dobrý a zostaneš doma. b negácia. Ak nezostaneš doma, budeš dobrý. c obrátená implikácia 3. Nebudeš dobrý a nezostaneš doma. d negácia obrátenej implikácie 4. Ak zostaneš doma, nebudeš dobrý. 49

11 14. Pomocou tabuľky pravdivostných hodnôt overte, či formula ( p q ( q p je tautológiou. Doplňte prázdny stĺpec tabuľky. 15. Pomocou tabuľky pravdivostných hodnôt overte, či formula ( p q' ( p' q' je tautológiou. Doplňte prázdny stĺpec tabuľky. 16. Pomocou tabuľky pravdivostných hodnôt overte, či formula ( p q ' ( p' q' je tautológiou. Doplňte prázdny stĺpec tabuľky. 17. Pomocou tabuľky pravdivostných hodnôt overte, či formula ( p q'' ( p q je tautológiou. Doplňte prázdny stĺpec tabuľky. 18. Pomocou tabuľky pravdivostných hodnôt overte, či formula (( p q ( p r ( q r je tautológiou. Doplňte prázdny stĺpec tabuľky. 19. Pomocou tabuľky pravdivostných hodnôt overte, či formula ( p ( q r ( q r je tautológiou. Doplňte prázdny stĺpec tabuľky. 0. Označte matematické tvrdenia, ktoré majú tvar implikácie či ekvivalencie. a Číslo 1 má práve šesť deliteľov. b Súčet veľkostí uhlov v päťuholníku je 540. c Ak je trojuholník pravouhlý, potom pre dĺžky jeho strán platí Pytagorova veta. 50

12 d Prirodzené číslo je deliteľné dvoma, ak končí číslicou 0,, 4, 6, Označte matematické tvrdenia, ktoré majú tvar implikácie či ekvivalencie. a Štvoruholník je štvorec práve vtedy, ak má všetky strany rovnakej dĺžky. b Štvoruholník je štvorec práve vtedy, ak má všetky uhly pravé. c Kocka má práve 1 hrán. d Dĺžka telesovej uhlopriečky v kocke je väčšia ako dĺžka jej stenovej uhlopriečky.. Označte tie výroky, ktoré môžu predstavovať definície. a Štvorec je štvoruholník, ktorý má všetky strany rovnakej dĺžky a všetky vnútorné uhly pravé. b Aritmetická postupnosť je taká postupnosť, pri ktorej rozdiel ľubovoľných dvoch po sebe nasledujúcich členov je konštantný. c Číslo 1 má práve šesť rôznych kladných deliteľov. d Všetky prvočísla sú párne. 3. Označte tie výroky, ktoré môžu predstavovať definície. a Binárna relácia z A do B je ľubovoľná podmnožina karteziánskeho súčinu AxB. b Pravidelný štvorboký ihlan má osem hrán. c Číslo 1 je zložené číslo. d Prvočíslo je také prirodzené číslo, ktoré má práve dva rôzne kladné delitele. 4. Na obrázku je dôkaz jedného matematického výroku. Určte, o aký typ dôkazu ide. a priamy dôkaz b nepriamy dôkaz c dôkaz sporom d dôkaz matematickou indukciou 51

13 5. Na obrázku je dôkaz jedného matematického výroku. Určte, o aký typ dôkazu ide. a priamy dôkaz b nepriamy dôkaz c dôkaz sporom d dôkaz matematickou indukciou 6. Na obrázku je dôkaz jedného matematického výroku. Určte, o aký typ dôkazu ide. a priamy dôkaz b nepriamy dôkaz c dôkaz sporom d dôkaz matematickou indukciou 7. Na obrázku je dôkaz jedného matematického výroku. Určte, o aký typ dôkazu ide. 5

14 a priamy dôkaz b nepriamy dôkaz c dôkaz sporom d dôkaz matematickou indukciou 8. Označte pravdivé tvrdenie. a Kontrapríklady možno využiť pri dôkaze algebraických tvrdení, ale nie geometrických. b Kontrapríklad predstavuje prvý krok pri dôkaze matematickou indukciou. c Pomocou kontrapríkladu dokazujeme platnosť všeobecných výrokov. d Pomocou kontrapríkladu možno vyvrátiť platnosť všeobecného výroku. 9. Označte tvrdenia, pri dôkaze ktorých je výhodné využiť Dirichletov princíp. a V Bratislave žijú aspoň dvaja ľudia, ktorí sa narodili v ten istý deň. b Ak je trojuholník pravouhlý, potom obsah štvorca zostrojeného nad jeho preponou sa rovná súčtu obsahu štvorcov zostrojených nad jeho odvesnami. c Ak v telocvični s rozmermi 30 x 30 metrov cvičí 91 ľudí, tak vzdialenosť aspoň dvoch z nich je menej ako 1,5 metra. d Prvočíselných dvojčiat je nekonečne veľa. 30. Ak by sme dokázali, že žiadne dve prvočíselné dvojčatá nie sú väčšie ako číslo ( , znamenalo by to, že: a neexistujú žiadne prvočíselné dvojčatá, b prvočíselných dvojčiat je konečne veľa, c existujú iba dve prvočíselné dvojčatá, d prvočíselných dvojčiat je nekonečne veľa. 1. a. d 3. b 4. a 5. d 6. b Test č. 4 správne riešenia 7. a1,b,c3,d4 13. a,b3,c4,d a1,b,c4,d cd 9. a4,b3,c,d ab 10. a,b4,c1,d ab 11. a4,b3,c,d ad 1. a,b1,c3,d a 5. b 6. c 7. d 8. d 9. ac 30. b 53

obsah CAD/CAM nástroje CAD/CAM nástroje imperial technické informace technické informácie CAD/CAM - 1 břit CAD/CAM - 1 brit

obsah CAD/CAM nástroje CAD/CAM nástroje imperial technické informace technické informácie CAD/CAM - 1 břit CAD/CAM - 1 brit nástroje nástroje www.rodentica.eu obsah technické informace technické informácie 2-1 břit - 1 brit 3-2 a 3 břity - 2 a 3 brity - 2 břity Dia-coat - 2 brity Dia-coat diamantové nástroje diamantové nástroje

Více

NT-6540 Laserový měřič vzdálenosti Uživatelský manuál

NT-6540 Laserový měřič vzdálenosti Uživatelský manuál NT-6540 Laserový měřič vzdálenosti Uživatelský manuál Děkujeme, že jsme si koupili laserový měřič vzdálenosti Pro'sKit NT-6540 (40M). Před použitím přístroje si prosím pečlivě přečtěte tento manuál. Bezpečnost

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Úvod do teorie dělitelnosti

Úvod do teorie dělitelnosti Úvod do teorie dělitelnosti V předchozích hodinách matematiky jste se seznámili s desítkovou soustavou. Umíte v ní zapisovat celá i desetinná čísla a provádět zpaměti i písemně základní aritmetické operace

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Dřevěné kuželky Drevené kolky. Skvělá venkovní hra z Finska Vynikajúca hra z Fínska, ktorá sa hrá vonku

Dřevěné kuželky Drevené kolky. Skvělá venkovní hra z Finska Vynikajúca hra z Fínska, ktorá sa hrá vonku Dřevěné kuželky Drevené kolky Skvělá venkovní hra z Finska Vynikajúca hra z Fínska, ktorá sa hrá vonku 8 590228 004154 96589 7 9 8 5 11 12 6 3 10 4 1 2 3-4 m 7 9 8 5 11 12 6 3 10 4 1 2 3-4 m Hra Mölkky

Více

Závěrečná zpráva ze studijního pobytu v zemích mimo EU

Závěrečná zpráva ze studijního pobytu v zemích mimo EU Závěrečná zpráva ze studijního pobytu v zemích mimo EU Jméno a příjmení studenta: Patrícia Rojčeková Kontaktní e-mail: patricia.rojcekova@gmail.com Země, město pobytu: Čína, Chengdu Datum začátku pobytu:

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

MATEMATIKA. Reforma naší školy a problémy

MATEMATIKA. Reforma naší školy a problémy MATEMATIKA Reforma naší školy a problémy matematického vzdělávání FRANTIŠEK KUŘINA Přírodovědecká fakulta Univerzity Hradec Králové Tento článek navazuje na můj příspěvek Naše pedagogická realita [10]

Více

Pribeh a cil hry. Herni material. Priprava hry. Druhá postřehová hra rychlá jako blesk pro 2 8 hráčů od osmi let.

Pribeh a cil hry. Herni material. Priprava hry. Druhá postřehová hra rychlá jako blesk pro 2 8 hráčů od osmi let. Druhá postřehová hra rychlá jako blesk pro 2 8 hráčů od osmi let. Pribeh a cil hry Duchová v koupelně je samostatná hra, která se dá hrát zvlášť, ale i dohromady se známou hrou Duch! To vytváří novou úroveň

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PEDAGOGICKÁ FAKULTA. Katedra matematiky. Bakalářská práce. Romana Olejníčková DŮKAZY MATEMATICKOU INDUKCÍ

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PEDAGOGICKÁ FAKULTA. Katedra matematiky. Bakalářská práce. Romana Olejníčková DŮKAZY MATEMATICKOU INDUKCÍ UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra matematiky Bakalářská práce Romana Olejníčková DŮKAZY MATEMATICKOU INDUKCÍ Olomouc 2015 Vedoucí práce: doc. RNDr. Jitka Laitochová, CSc. Prohlašuji,

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632

Více

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA. ve studiu učitelství 1. stupně základní školy. Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA. ve studiu učitelství 1. stupně základní školy. Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA ve studiu učitelství 1. stupně základní školy Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák Ostrava 2003 Obsah I. Úvod do teorie množin a matematické logiky

Více

Tento seminář pro Vás připravuje vzdělávací agentura. Kurzy-Fido.cz. ...s námi TSP zvládnete!

Tento seminář pro Vás připravuje vzdělávací agentura. Kurzy-Fido.cz. ...s námi TSP zvládnete! Tento seminář pro Vás připravuje vzdělávací agentura Kurzy-Fido.cz...s námi TSP zvládnete! Řešení páté série (27.4.2009) 13. Hlavní myšlenka: efektivní porovnávání zlomků a desetinných čísel Postup: V

Více

Logický důsledek. Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz)

Logický důsledek. Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz) Logický důsledek Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz) Úvod P 1 Logický důsledek je hlavním předmětem zájmu logiky. Je to relace mezi premisami a závěry logicky platných úsudků: v logicky platném úsudku závěr

Více

Mějme sedm celých čísel takových, že součet libovolných šesti z nich je dělitelný pěti. Dokažte, žepotomkaždézčíselmusíbýtdělitelnépěti.

Mějme sedm celých čísel takových, že součet libovolných šesti z nich je dělitelný pěti. Dokažte, žepotomkaždézčíselmusíbýtdělitelnépěti. ½º ÖÒ Ö Celá ÐÓ ¾º ÐÓ ½º čísla ÐÓ º ÐÓ º třemi. ÐÓ º ÐÓ º ÐÓ º Ì ÖÑ ÒÓ Ð Ò ½½º ÒÓÖ ¾¼½ ( Ó Ý) ( Ó Ý) ( Ó Ý) ( Ó ) ( Ó ) Naleznětevšechnaceláčísla xtaková,že2 x (4 x)=2x+4,aukažte,žežádnájináužnejsou. Dokažte,žepokud

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Luník IX. Luník IX je městská část slovenských Košic. Sídliště má rozlohu kolem jednoho kilometru čtverečního.

Luník IX. Luník IX je městská část slovenských Košic. Sídliště má rozlohu kolem jednoho kilometru čtverečního. Luník IX Luník IX je městská část slovenských Košic. Sídliště má rozlohu kolem jednoho kilometru čtverečního. Luník IX: V roce 1988 dokončili MNV, v pozadí mateřská škola. Název Luník je označení pro okrsky

Více

Fibonacciho čísla na střední škole

Fibonacciho čísla na střední škole Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods

Více

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Variace 1 Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu

Více

Hudba a film TIMELINE 5 - Livret - CZ.indd 1 16/05/2014 09:14:27

Hudba a film TIMELINE 5 - Livret - CZ.indd 1 16/05/2014 09:14:27 Hudba a film Ve zkratce... Když je hráč na tahu, musí se snažit umístit jednu ze svých karet na správné místo na časové ose (= Timeline). Zahraje-li kartu správně, bude před sebou mít o jednu kartu méně.

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Úlohy domácí části I. kola kategorie C 62. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Čtvercová tabulka je rozdělena na 16 16 políček. Kobylka se po ní pohybuje dvěma směry: vpravo nebo dolů, přičemž střídá skoky

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Výrok je každá oznamovací věta (sdělení), u níž dává smysl, když uvažujeme, zda je buď pravdivá, nebo nepravdivá.

Výrok je každá oznamovací věta (sdělení), u níž dává smysl, když uvažujeme, zda je buď pravdivá, nebo nepravdivá. Výroková logika I Výroková logika se zabývá výroky. (Kdo by to byl řekl. :-)) Výrok je každá oznamovací věta (sdělení), u níž dává smysl, když uvažujeme, zda je buď pravdivá, nebo nepravdivá. U výroku

Více

Negace výroku. Příklad 1. Rozhodněte, zda jsou věty výroky, u výroků určete pravdivostní hodnotu:

Negace výroku. Příklad 1. Rozhodněte, zda jsou věty výroky, u výroků určete pravdivostní hodnotu: Základní pojmy výrokové logiky Výrok je každé sdělení, o němž má smysl říci, zda je pravdivé nebo nepravdivé. Přitom může nastat pouze jedna možnost. Výroky označujeme obvykle velkými písmeny A, B, C Pravdivému

Více

Úvod do logiky (VL): 13. Axiomatické systémy VL a pojem důkazu

Úvod do logiky (VL): 13. Axiomatické systémy VL a pojem důkazu Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 13. Axiomatické systémy VL a pojem důkazu

Více

Strategický dokument doporučení

Strategický dokument doporučení Strategický dokument doporučení Predtým, než sme začali s p. Gondášom plánovať náš projekt, bolo dôležité, čo prinesie pre naše krajiny. Vychádzali sme z toho, že sme si jazykovo blízki, nemáme preto jazykové

Více

PROGRAM SOCRATES II./ERASMUS. Závěrečná zpráva ze studijního pobytu akademický rok 2005/2006

PROGRAM SOCRATES II./ERASMUS. Závěrečná zpráva ze studijního pobytu akademický rok 2005/2006 PROGRAM SOCRATES II./ERASMUS Závěrečná zpráva ze studijního pobytu akademický rok 2005/2006 Tato zpráva musí být předána zahraničnímu oddělení Vaší domácí VŠ do 30 dnů po ukončení studijního pobytu. Erasmus

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

Tvar a barevné řešení vozidla (jeho modernost)

Tvar a barevné řešení vozidla (jeho modernost) Tvar a barevné řešení vozidla (jeho modernost) červeno čierný červeno čierný, modro čierny Dobré je, len cez léto, lebo má klimatizaciu. Často mešká. fajn : ) chýbající wifi Málo vagónov, 3 nestačia. nemenila

Více

Marcy - Co je ajurvéda? Je to komplexní poznání a porozumění těla a mysli na určité časové ose. Snad jsem správně pochopila zadání.

Marcy - Co je ajurvéda? Je to komplexní poznání a porozumění těla a mysli na určité časové ose. Snad jsem správně pochopila zadání. Marcy - Co je ajurvéda? Je to komplexní poznání a porozumění těla a mysli na určité časové ose. Snad jsem správně pochopila zadání. Bára Baumrukrová - Co je to Ajurvéda? Aju znamená život, r je spojka,

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

1. Opakování učiva 6. ročníku

1. Opakování učiva 6. ročníku . Opakování učiva 6. ročníku.. Čísla, zlomek ) Z číslic, 6 a sestavte všechna trojciferná čísla tak, aby v každém z nich byly všechny tři číslice různé. ) Z číslic, 0, 3, sestavte všechna čtyřciferná čísla

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

SSCC v Supply chain. MAKRO Cash&Carry / METRO Cash&Carry. Jaroslav Olejník, Bára Cikánková Praha 30.5.2013

SSCC v Supply chain. MAKRO Cash&Carry / METRO Cash&Carry. Jaroslav Olejník, Bára Cikánková Praha 30.5.2013 SSCC v Supply chain MAKRO Cash&Carry / METRO Cash&Carry Jaroslav Olejník, Bára Cikánková Praha 30.5.2013 Copyright 2009 Proč SSCC? 1 klik a zboží je naskladněné! Page 2 SSCC + DESADV = Jednoznačný identifikátor

Více

M - Planimetrie pro studijní obory

M - Planimetrie pro studijní obory M - Planimetrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

53. ročník matematické olympiády. q = 65

53. ročník matematické olympiády. q = 65 53. ročník matematické olympiády! 1. V rovině je dán obdélník ABCD, kde AB = a < b = BC. Na jeho straně BC eistuje bod K a na straně CD bod L tak, že daný obdélník je úsečkami AK, KL a LA rozdělen na čtyři

Více

SDĚLENÍ. Ministerstva zahraničních věcí

SDĚLENÍ. Ministerstva zahraničních věcí Číslo předpisu: Název: Předpis publikovaný ve Sbírce mezinárodních smluv ČR 120/2001 Sb.m.s. Sdělení Ministerstva zahraničních věcí o sjednání Ujednání mezi Ministerstvem zahraničních věcí České republiky

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura

KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Seminář 1 Cílem tohoto semináře je efektivní uvedení

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

EVVO WORKSHOP v rámci projektu Československá spolupráce škol a dalších organizací v ekologické výchově

EVVO WORKSHOP v rámci projektu Československá spolupráce škol a dalších organizací v ekologické výchově EVVO WORKSHOP v rámci projektu Československá spolupráce škol a dalších organizací v ekologické výchově Místo: 14 15 Baťův institut, budova č. 15, konferenční a vzdělávací prostory SÁL B Den: 28. 1. 2013

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu.

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu. 6 Kapitola 2 Příklady z predikátové logiky 2.1 Formule predikátové logiky 2.1.1 Příklad. Napište formule predikátové logiky odpovídající následujícím větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených

Více

CZ Rychlý průvodce instalací SK Rýchly sprievodca inštaláciou

CZ Rychlý průvodce instalací SK Rýchly sprievodca inštaláciou CZ Rychlý průvodce instalací SK Rýchly sprievodca inštaláciou Obsah balení Obsah balenia Aktivace baterie pera Aktivácia batérie pera Nabíjení baterie Nabíjanie batérie Stav nabíjení Stav nabíjania Do

Více

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. Č Í S E L N É O B O R Y 1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A Přirozená čísla (definice, značení, množinový zápis) Číslice (cifry 0 9) Číslo (rozvinutý resp. zkrácený zápis přirozeného čísla v desítkové

Více

výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.

výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává. 1 Základní pojmy matematické logiky Výrokový počet... syntaktické hledisko Predikátový počet... sémantické hledisko 1.1 VÝROKOVÝ POČET výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.

Více

TEC-TRADE s.r.o., Nová 330, PSČ: 976 69, Pohorelá Slovenská republika, www.tectrade.sk, e-mail: tectrade@tectrade.sk, tel. č.: 00 421 907 844 075

TEC-TRADE s.r.o., Nová 330, PSČ: 976 69, Pohorelá Slovenská republika, www.tectrade.sk, e-mail: tectrade@tectrade.sk, tel. č.: 00 421 907 844 075 TEC-TRADE s.r.o., Nová 330, PSČ: 976 69, Pohorelá Slovenská republika, www.tectrade.sk, e-mail: tectrade@tectrade.sk, tel. č.: 00 421 907 844 075 TEC TRADE LED verejné osvetlenie a LED osvetlenie skladov,

Více

Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé?

Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé? Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé? Jiří Močkoř University of Ostrava Department of Mathematics Institute for Research and Applications of Fuzzy Modeling 30. dubna 22,

Více

Most do páté dimenze. Tattatuo

Most do páté dimenze. Tattatuo Motto: Postupně dojdeme k přesvědčení, že život není ani dobrý ani zlý. Prostě je a nic jiného, než ho žít, není možné. TA 3 str. 2 Říjen 2013 Stránka 1 I. Úvodní text Tři změny TA s vámi neustále komunikuje

Více

ZOO LOTTO (cz) ZOO LOTTO (sk)

ZOO LOTTO (cz) ZOO LOTTO (sk) ZOO LOTTO (cz) Kdo jako první najde všechna svoje zvířátka? Určete, o jaké zvíře se jedná, a umístěte ho na správné místo na hrací desce. Pro ještě větší požitek ze hry máte k dispozici vždy několik herních

Více

WP 2. Návod k použití

WP 2. Návod k použití WP 2 CZ Návod k použití Obecné Tento spotřebič je pouze pro použití v domácnosti a nikoliv pro komerční využití. Přečtěte si pokyny a odložte si je na bezpečném místě. Při předání spotřebiče další osobě

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Matematický KLOKAN 2005 kategorie Junior

Matematický KLOKAN 2005 kategorie Junior Matematický KLOKAN 2005 kategorie Junior Vážení přátelé, v následujících 75 minutách vás čeká stejný úkol jako mnoho vašich vrstevníků v řadě dalších evropských zemí. V níže uvedeném testu je zadáno čtyřiadvacet

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

Záverečná monitorovacia správa

Záverečná monitorovacia správa 2007 2013 PROGRAM CEZHRANIČNEJ SPOLUPRÁCE SLOVENSKÁ REPUBLIKA ČESKÁ REPUBLIKA EURÓPSKA ÚNIA EURÓPSKY FOND REGIONÁLNEHO ROZVOJA SPOLOČNE BEZ HRANÍC Záverečná monitorovacia správa Operačný program cezhraničnej

Více

Sada nářadí pro instalaci satelitních přijímačů PROSKIT PK-2097

Sada nářadí pro instalaci satelitních přijímačů PROSKIT PK-2097 Sada nářadí pro instalaci satelitních přijímačů PROSKIT PK-2097 CP-371T 6PK-332 9PK-067DS Krimpovací kleště pro CATV F konektory RG59,6 Odizolovávací nástroj pro koaxiální konektory(rg- 58/59/62/3C2V/4C/5C)

Více

OBECNÉ ZMĚNY...2 ZMĚNY V KLIENTSKÉ KOMPONENTĚ PRO INTERNET EXPLORER 7 A VYŠŠÍ... 2

OBECNÉ ZMĚNY...2 ZMĚNY V KLIENTSKÉ KOMPONENTĚ PRO INTERNET EXPLORER 7 A VYŠŠÍ... 2 ESO9 PAM verze 4.5 Změny a novinky OBECNÉ ZMĚNY....2 ZMĚNY V KLIENTSKÉ KOMPONENTĚ PRO INTERNET EXPLORER 7 A VYŠŠÍ... 2 MZDY 2 LEGISLATIVNÍ ZMĚNY CZ... 2 LEGISLATIVNÍ ZMĚNY SK... 2 MZDOVÉ SLOŽKY CZ... 3

Více

TECHNICKÉ ŘEŠENÍ PRO KERAMICKÉ FASÁDY TECHNICKÉ RIEŠENIA PRE KERAMICKÉ FASÁDY

TECHNICKÉ ŘEŠENÍ PRO KERAMICKÉ FASÁDY TECHNICKÉ RIEŠENIA PRE KERAMICKÉ FASÁDY TECHNICKÉ ŘEŠENÍ PRO KERAMICKÉ FASÁDY TECHNICKÉ RIEŠENIA PRE KERAMICKÉ FASÁDY TECHNICKÉ ŘEŠENÍ PRO KERAMICKÉ FASÁDY TECHNICKÉ RIEŠENIA PRE KERAMICKÉ FASÁDY Během své historie se Keraben S.A. dostal na

Více

GZ-48 GZ-70. Termoelektrická chladnička. Návod k použití Návod na obsluhu

GZ-48 GZ-70. Termoelektrická chladnička. Návod k použití Návod na obsluhu GZ-48 GZ-70 CZ SK Termoelektrická chladnička Termoelektrická chladnička Návod k použití Návod na obsluhu 1 Děkujeme Vám za koupi tohoto výrobku. Před použitím Vaší nové chladničky si prosím přečtěte tento

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách

Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách Prioritní osa: 1 Počáteční vzdělávání Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21. 0918 Název projektu:inovace vzdělávání v

Více

REKLAMAČNÍ ŘÁD Všeobecná ustanovení Rozpor s kupní smlouvou 616 ZÁRUČNÍ DOBA

REKLAMAČNÍ ŘÁD Všeobecná ustanovení Rozpor s kupní smlouvou 616 ZÁRUČNÍ DOBA OMINO 710 330x456x557 330x456x20 292x427x16 1x 1x 2 x1 3 x1 6 x4 22 x28 3mm 4mm 8x35mm 3,5x16mm 23 x6 60 x6 61 x18 4x10mm 15mm U 2 68 x12 71 x6 73 x12 12mm 7x50mm 5x40mm 80 x3 87 x6 92 x40 96 x4 340mm

Více

Obsahy. Trojúhelník = + + 2

Obsahy. Trojúhelník = + + 2 Obsahy Obsah nám říká, jak velkou plochu daný útvar zaujímá. Třeba jak velký máme byt nebo pozemek kolik metrů čtverečných (m 2 ), hektarů (ha), centimetrů čtverečných (cm 2 ), Základní jednotkou obsahu

Více

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost. Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice

Více

2. Vytváranie a preciťovanie bezpodmienečnej lásky, práca s touto energiou

2. Vytváranie a preciťovanie bezpodmienečnej lásky, práca s touto energiou 1. Meditácia láskyplného dychu Stiahnite si audio meditáciu tu: KLIK 2. Vytváranie a preciťovanie bezpodmienečnej lásky, práca s touto energiou Popros anjelov, aby vytvorili okolo teba svetelný kužeľ alebo

Více

Disjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška

Disjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška Disjunktivní a konjunktivní normáln lní tvar formule 2.přednáška Disjunktivní normáln lní forma Definice Řekneme, že formule ( A ) je v disjunktivním normálním tvaru (formě), zkráceně v DNF, jestliže je

Více

UNIROOF E 40 mm. Novinka! Vyšší výkon v kompaktní třídě. Svařovací tryska 40 mm. Roofing. We know how. www.leister.com

UNIROOF E 40 mm. Novinka! Vyšší výkon v kompaktní třídě. Svařovací tryska 40 mm. Roofing. We know how. www.leister.com Vyšší výkon v kompaktní třídě. Novinka! Svařovací tryska 40 mm www.leister.com Roofing. We know how. Horkovzdušný svařovací automat Praktický přístroj UNIROOF E s novou přeplátovací tryskou širokou 40

Více

ÚLOHY VYUŽÍVAJÍCÍ DIRICHLETŮV PRINCIP

ÚLOHY VYUŽÍVAJÍCÍ DIRICHLETŮV PRINCIP ÚLOHY VYUŽÍVAJÍCÍ DIRICHLETŮV PRINCIP Doc. PhDr. Marta Volfová, CSc., Katedra matematiky Název úloh byl zvolen podle významného německého matematika G. L. Dirichleta (1805 59). Dirichletův princip pomáhá

Více

1. Množiny, zobrazení, relace

1. Množiny, zobrazení, relace Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 1. Množiny, zobrazení, relace První kapitola je věnována základním pojmům teorie množin. Pojednává o množinách

Více

Rok 2015 ročník 19. Hospodin je má záštita a píseň, stal se mou spásou. (2. Mojžíšova 15,2) Sborové heslo pro rok 2015

Rok 2015 ročník 19. Hospodin je má záštita a píseň, stal se mou spásou. (2. Mojžíšova 15,2) Sborové heslo pro rok 2015 Rok 2015 ročník 19 1 Hospodin je má záštita a píseň, stal se mou spásou. (2. Mojžíšova 15,2) Sborové heslo pro rok 2015 1 Milí přátelé, S každým novým dnem se těšíme na teplé sluneční paprsky. Ale v mnoha

Více

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k Ú k o l : P o t ř e b : Změřit ohniskové vzdálenosti spojných čoček různými metodami. Viz seznam v deskách u úloh na pracovním stole. Obecná

Více

Matematika. Až zahájíš práci, nezapomeò:

Matematika. Až zahájíš práci, nezapomeò: 9. TØÍDA PZ 2012 9. tøída I MA D Matematika Až zahájíš práci, nezapomeò: každá úloha má jen jedno správné øešení úlohy mùžeš øešit v libovolném poøadí test obsahuje 30 úloh na 60 minut sleduj bìhem øešení

Více

Matematické základy kryptografických algoritmů Eliška Ochodková

Matematické základy kryptografických algoritmů Eliška Ochodková Matematické základy kryptografických algoritmů Eliška Ochodková Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na kterém se společně

Více

Logika. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD.

Logika. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD. Tematické okruhy: 1. Stručné dějiny logiky a její postavění ve vědě 2. Analýza složených výroků pomocí pravdivostní tabulky 3. Subjekt-predikátová

Více

Výroční zpráva 2006 1

Výroční zpráva 2006 1 Výroční zpráva 2006 1 Úvodní slovo Vážení přátelé, milí členové, rok se s rokem sešel a já mám před sebou opět úkol zhodnotit uplynulé období. Rok 2006 byl pro nás rokem klidného a stálého vývoje. Samozřejmě

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Crypto-World. Informační sešit GCUCMP ISSN 1801-2140. Ročník 16, číslo 4-5/2014 4-5/2014

Crypto-World. Informační sešit GCUCMP ISSN 1801-2140. Ročník 16, číslo 4-5/2014 4-5/2014 Crypto-World Informační sešit GCUCMP ISSN 1801-2140 Ročník 16, číslo 4-5/2014 15. květen 4-5/2014 Připravil: Mgr. Pavel Vondruška Sešit je přednostně distribuován registrovaným čtenářům. Starší sešity

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

Výroková logika (5) 1. Základní pojmy Ke každé větě dopište do závorky, zda věta je pravda, či nepravda.

Výroková logika (5) 1. Základní pojmy Ke každé větě dopište do závorky, zda věta je pravda, či nepravda. m_1_vyrok_priklady 6.5.011 1/9 m_1_vyrok_priklady 6.5.011 /9 Výroková logika (5) 1. Základní pojmy Ke každé větě dopište do závorky, zda věta je pravda, či nepravda. A: Číslo 6 je dělitelné 5-ti. (nepravda)

Více

Školní výstupy Učivo Průřezová témata, přesahy, poznámky. Školní výstupy Učivo Průřezová témata, přesahy, poznámky

Školní výstupy Učivo Průřezová témata, přesahy, poznámky. Školní výstupy Učivo Průřezová témata, přesahy, poznámky Gymnázium Rumburk (vyšší stupeň osmiletého gymnázia a čtyřleté gymnázium v Rumburku) Předmět:Matematika Charakteristika vyučovacího předmětu 1. Obsahové, časové a organizační vymezení Předmět vzniká Matematika

Více

ZÁJMOVÉ VZDĚLÁVÁNÍ DOSPĚLÝCH

ZÁJMOVÉ VZDĚLÁVÁNÍ DOSPĚLÝCH ZÁJMOVÉ VZDĚLÁVÁNÍ DOSPĚLÝCH Jaroslava Kočová KNIHY Š, M. Zájmové vzdělávání dospělých. Praha: Portál, 2009. 208 s. ISBN 978-80-7367-551-6. Komplexně pojaté monografické dílo na téma Zájmové vzdělávání

Více

Moravské gymnázium Brno s.r.o.

Moravské gymnázium Brno s.r.o. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika Elementární teorie čísel Ročník 1. Datum tvorby

Více

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1.

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1. Řešení S-I-4-1 Hledáme vlastně místo, kde se setkají. A to tak, aby nemusel pes na zajíce čekat nebo ho dohánět. X...místo setkání P...místo, kde vybíhá pes Z...místo, kde vybíhá zajíc ZX = v z t P X =

Více

ó Šú ž ó ó ó É Ž É Š Ž Š ú ů ó š Š Š Ž ó Š Ž ú ů Š Ž ň š ů É Ž š Ž ó Ž ů ň š š ů š Ú ů Š Ž ž ó Ž ů ú É Ú š É Ť ú ů Š Ž Š š Ť É Š Š Ž Ž Š Š ť ť ť Ž É Š Š Š Ž š Š Ž Ž Ů Š š Ž Ý Ý Š Ž Š Ž Ť Ž É Ý Š Š Ž š

Více

Crystal Quality automatické nahrávání hovorů

Crystal Quality automatické nahrávání hovorů CZ Crystal Quality automatické nahrávání hovorů 1 CZ Vážený zákazníku, děkujeme Vám za důvěru, kterou jste nám projevil nákupem tohoto výrobku. Nákup ústředny Crystal Quality byl zcela jistě dobrou volbou

Více

Rezoluce v predikátové logice

Rezoluce v predikátové logice Rezoluce v predikátové logice Jiří Velebil: X01DML 15. října 2010: Rezoluce v PL 1/16 Základní myšlenky 1 M = ϕ iff X = M { ϕ} nesplnitelná. (M musí být množina sentencí, ϕ sentence.) 2 X nesplnitelná

Více

Matematika pro informatiku 4

Matematika pro informatiku 4 Matematika pro informatiku 4 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KTI FIT ČVUT v Praze 7.března 2011 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Lámejte si hlavu - L1 Určete všechny

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

NÁVOD NA POUŽITÍ. Nástěnné meteohodiny Professor RS6S. Přečtěte si, prosím, pozorně tento návod k obsluze a poté jej uschovejte.

NÁVOD NA POUŽITÍ. Nástěnné meteohodiny Professor RS6S. Přečtěte si, prosím, pozorně tento návod k obsluze a poté jej uschovejte. NÁVOD NA POUŽITÍ CZ Nástěnné meteohodiny Professor RS6S Přečtěte si, prosím, pozorně tento návod k obsluze a poté jej uschovejte. TECHNICKÉ PARAMETRY: Napájení: Hodinový strojek - 1x 1,5V AA/LR6 baterie

Více

Březen 2014 Díky za pomoc všem, kterým je za co děkovat.

Březen 2014 Díky za pomoc všem, kterým je za co děkovat. Kunžak 2014 Sborník příspěvků Autoři: Filip Hiphop Hanzely, David Hruška, Mirek Olšák, Pepa Svoboda, Jakub Xellos Šafin, Štěpán Šimsa, Pepa Tkadlec, Martin Vodka Vodička Editor: Alexander Olin Slávik Korektoři:

Více

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2.

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2. 76 Další metriké úlohy II Předpoklady: 7 Př : Najdi přímku rovnoěžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od odu A[ ; ] Osou I a III kvadrantu je přímka y = x přímky s ní rovnoěžné mají rovnii x y + = 0

Více

číslo 7 roku 2009 ROBINZONÁDA LAMBARÉNÉ MINUTKA NAD BIBLÍ SPLAV DUNAJCA ODDÍL ŽIVÝ TIS

číslo 7 roku 2009 ROBINZONÁDA LAMBARÉNÉ MINUTKA NAD BIBLÍ SPLAV DUNAJCA ODDÍL ŽIVÝ TIS číslo 7 roku 2009 ROBINZONÁDA LAMBARÉNÉ MINUTKA NAD BIBLÍ SPLAV DUNAJCA ODDÍL ŽIVÝ TIS ROBINZONÁDA 2009 LAMBARÉNÉ Lambaréné je město v Africe, ve státě Gabon. Žil tu a pracoval nositel Nobelovy ceny míru,

Více

Najkrajšie strany Rakúska. All inclusive!

Najkrajšie strany Rakúska. All inclusive! SK / CZ Najkrajšie strany Rakúska. All inclusive! Rakousko z té nejlepší stránky.se vším všudy! KARTE CARD CARTE Váš tromf pre viac radosti z leta. Váš trumf pro více - letních radovánek. Karta Zell am

Více

Analýza výkonnosti podielových fondov vybraných bánk

Analýza výkonnosti podielových fondov vybraných bánk Bankovní institut vysoká škola Praha zahraničná vysoká škola Banská Bystrica Analýza výkonnosti podielových fondov vybraných bánk Bakalárska práca Róbert Korec Apríl 2012 Bankovní institut vysoká škola

Více