8. Implikácia. A nazývame obrátenou implikáciou k implikácii A B. Pravdivostná hodnota implikácie a obrátenej implikácie je rôzna.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "8. Implikácia. A nazývame obrátenou implikáciou k implikácii A B. Pravdivostná hodnota implikácie a obrátenej implikácie je rôzna."

Transkript

1 8. Implikácia Implikáciu B A nazývame obrátenou implikáciou k implikácii A B. Pravdivostná hodnota implikácie a obrátenej implikácie je rôzna. Implikáciu B' A' nazývame obmenou implikácie A B. Implikácia má rovnakú pravdivostnú hodnotu ako jej obmena. Pravdivostné hodnoty implikácie, obrátenej implikácie a obmeny implikácie nájdeme v nasledujúcej tabuľke pravdivostných hodnôt. implikácia obmena implikácie obrátená implikácia A B A B A B B ' A' B A Implikácia: Ak je dnes utorok, potom máme školu až do šiestej. Obmena: Ak nemáme školu až do šiestej, potom nie je dnes utorok. Obrátená implikácia: Ak máme školu až do šiestej, potom je dnes utorok. Implikácia: Ak 3 delí 9, potom 6 delí 5. Obmena: Ak 6 nedelí 5, potom 3 nedelí 9. Obrátená implikácia: Ak 6 delí 5, potom 3 delí 9. Implikácia: Ak nosím okuliare, potom som ďalekozraký. Obmena: Ak nie som ďalekozraký, potom nenosím okuliare. Obrátená implikácia: Ak som ďalekozraký, potom nosím okuliare. Implikácia: Ak Dunaj tečie cez Bratislavu, potom tvorí časť hranice s Maďarskom. Obmena: Ak Dunaj netvorí časť hranice s Maďarskom, potom netečie cez Bratislavu. Obrátená implikácia: Ak Dunaj tvorí časť hranice s Maďarskom, potom tečie cez Bratislavu. 40

2 9. Tautológie a kontradikcie Tautológiou nazývame každú formulu zloženú zo znakov p, q,... a logických spojok, ktorá sa zmení na pravdivý výrok, keď za p, q,... dosadíme akýkoľvek výrok (pravdivý alebo nepravdivý. Kontradikciou nazývame každú formulu zloženú zo znakov p, q,... a logických spojok, ktorá sa zmení na nepravdivý výrok, keď za p, q,... dosadíme akýkoľvek výrok (pravdivý alebo nepravdivý. Formulu zloženú zo znakov p, q,... a logických spojok nazývame splniteľnou, ak sa zmení na pravdivý výrok pri vhodnom dosadení výrokov za p, q,.... Teda každá takáto formula, ktorá nie je kontradikciou, je splniteľná. Nech p, q, r sú ľubovoľné výroky. Potom nasledujúce formuly sú tautológie. 1. ( p q ( q p ( komutatívny zákon,. ( p q ( q p ( komutatívny zákon, p q r p q r ( asociatívny zákon, 3. ( ( p q r p q r ( asociatívny zákon, 4. ( ( 5. p ( q r ( p q ( p r ( distributívny zákon, 6. p p ' ( platí výrok alebo jeho negácia, 7. ( p p' 0 ( výrok a jeho negácia neplatia zároveň, 8. ( p q ' ( p' q' 9. ( p q ' ( p' q' (de Morganovo pravidlo pravidlo pre negáciu konjunkcie, (de Morganovo pravidlo pravidlo pre negáciu disjunkcie, 10. ( p q ( q r ( p r ( tranzitívnosť implikácie, 11. ( p q ( q' p' ( obmena implikácie, 1. ( p q ( p' q (implikácia je pravdivá, ak neplatí predpoklad alebo platí tvrdenie, 13. ( p q ' ( p q' (pravidlo pre negáciu implikácie, 14. ( p q ( p q ( q p ( zápis ekvivalencie ako dvojitej implikácie, 41

3 15. ( p q ' ( p q' ( p' q (pravidlo pre negáciu ekvivalencie, Okrem týchto formúl existuje ešte mnoho iných tautológií. To, či formula ( p q ( q p je tautológiou, môžeme overiť pomocou tabuľky pravdivostných hodnôt. p q p q q p ( p q ( q p Z vytieňovaného stĺpca vidíme, že bez ohľadu na pravdivosť výrokov p, q je formula ( p q ( q p vždy pravdivá. Teda formula ( p q ( q p je tautológiou. Nech p, q sú ľubovoľné výroky. Potom nasledujúce formuly sú kontradikcie. 1. p p ' (výrok a jeho negácia nemôže platiť zároveň,. ( p p' 0, 3. ( p q ( p' q' 4. ( p q ( p' q',. Okrem týchto formúl existuje ešte mnoho iných kontradikcií. To, či formula ( p q ( p' q' je kontradikciou, môžeme overiť pomocou tabuľky pravdivostných hodnôt. p q p q p q p ' q ' ( p q ( p' q' Z vytieňovaného stĺpca vidíme, že bez ohľadu na pravdivosť výrokov p, q je formula ( p q ( p' q' vždy nepravdivá. Teda formula ( p q ( p' q' je kontradikciou. 4

4 10. Dôkazy Matematika sa líši od mnohých iných vied najmä tým, že všetky svoje tvrdenia vždy podrobne dokazuje. Nezaoberá sa iba otázkou Ako?, ale najmä otázkou Prečo?. Na rozdiel od niektorých iných vied, nič nepovažuje za samozrejmé alebo očividné. Pri budovaní matematickej teórie si na začiatku zvolíme tvrdenia, ktorých platnosť nedokazujeme. Tieto tvrdenia nazývame axiómy. Príkladom axiómy v geometrii je napríklad výrok Danými dvoma rôznymi bodmi prechádza práve jedna priamka.. Okrem toho si na začiatku zvolíme určitú množinu základných pojmov - v geometrii je to napríklad bod. Z axióm potom postupne vybudujeme celú matematickú teóriu. Vytvoríme definície, ktoré pomenovávajú určité objekty alebo ich vlastnosti a vety, ktoré charakterizujú vzťahy medzi objektmi a ich vlastnosťami. Všetky matematické vety, ktoré v teórii vytvoríme, musíme dokázať pomocou axióm a už predtým dokázaných viet. Matematické vety by sme mohli rozdeliť do dvoch skupín: 1. Jednoduché výroky napríklad Uhlopriečky v štvorci sú navzájom kolmé.,. Výroky v tvare implikácie či ekvivalencie napríklad Ak je ciferný súčet prirodzeného čísla deliteľný tromi, potom toto číslo je deliteľné tromi Priamy dôkaz Priamy dôkaz matematického výroku spočíva v tom, že z už dokázaných výrokov (viet a axióm dokážeme tento výrok po konečnom počte korektných úsudkov. Príklad na priamy dôkaz nájdeme v nasledujúcich dvoch úlohách. Úloha: Dokážte, že Riešenie: 1 3 < = = = = ( Pretože Teda 3 <, dostaneme 1 3 < = + < + = + =. 43

5 Úloha: Ak 3 delí n, potom 9 delí n 3. Dokážte! Riešenie: Ak 3 delí n, potom existuje také celé číslo k, pre ktoré platí n= 3. k Potom n 3 ( 3k 3 7k 3 9 ( 3k 3 = = =, z čoho vyplýva, že 9 delí n Nepriamy dôkaz Nepriamy dôkaz jednoduchého výroku T vychádza z predpokladu, že výrok T je nepravdivý, z čoho odvodíme očividne nepravdivé tvrdenie. Pretože odvodené tvrdenie je nepravdivé, musí byť nepravdivý aj pôvodný predpoklad o nepravdivosti tvrdenia T. Teda tvrdenie T je pravdivé. Nepriamy dôkaz implikácie A B uskutočníme tak, že priamym spôsobom dokážeme obmenu implikácie B ' A'. Pretože táto obmena má rovnakú pravdivostnú hodnotu ako implikácia A B, je pravdivá nielen obmena, ale aj implikácia A B. Príklad na nepriamy dôkaz nájdeme v nasledujúcej úlohe. Úloha: Dokážte, že pre všetky prirodzené čísla n platí: Ak 5 nedelí n. Riešenie: Vytvoríme obmenu implikácie: Ak 5 delí n, potom 5 delí Túto obmenu dokážeme priamo. n. Ak 5 delí n, potom existuje také celé číslo k, pre ktoré platí n= 5. k n = 5k = 5 k, z čoho vyplýva, že 5 delí n. Potom ( Pretože obmena implikácie je pravdivá, je pravdivá aj pôvodná implikácia. Teda pre všetky prirodzené čísla n platí: Ak 5 nedelí n, potom 5 nedelí n. n, potom 5 nedelí 10.3 Iné spôsoby používané pri dôkazoch Všeobecný alebo existenčný výrok možno vyvrátiť už jedným jediným príkladom. Takýto príklad nazývame protipríklad. 44

6 Napríklad francúzsky matematik A. Legendre ( sa domnieval, že neexistujú také 3 3 p r prirodzené čísla p, q, r, s, pre ktoré platí + = 6. q s Túto hypotézu vyvrátil protipríkladom anglický matematik H. Dudeney ( , ktorý zistil, že + = n ( P. Fermat ( sa domnieval, že všetky čísla tvaru + 1 sú prvočísla. Avšak L. Euler ( našiel ako protipríklad rozklad čísla 5 ( = + 1 = = Jeden z najstarších existenčných dôkazov poznal už Euklides. Vedel dokázať, že prvočísel je nekonečne veľa. Úloha: Dokážte, že prvočísel je nekonečne veľa. Riešenie: Použijeme nepriamy dôkaz. Budeme preto vychádzať z tvrdenia, že prvočísel je konečne veľa. Sú to p1, p, p3,..., p n. Ukážeme, že za tohto predpokladu by aj číslo p1 p... 1 p3 p n + bolo prvočíslo. Číslo p1 p... 1 p3 p n + očividne nie je deliteľné žiadnym z čísel p1, p, p3,..., p n, pretože po delení týmito číslami dáva zvyšok 1. Teda číslo p1 p... 1 p3 p n + je prvočíslom, čo je v spore s predpokladom, že všetky prvočísla sú p1, p, p3,..., p n. Nakoľko negácia výroku neplatí, platí výrok Prvočísel je nekonečne veľa. Uvedomme si, že predchádzajúci dôkaz dokazuje iba to, že prvočísel je nekonečne veľa, ale nedáva nám návod na vytvorenie ľubovoľne veľkého prvočísla. Napríklad číslo = 30031, ktoré vznikne súčinom prvých 6 prvočísel zväčšeným o 1, nie je prvočíslo, pretože sa dá zapísať v tvare = Dirichletov princíp nám hovorí, že ak máme utriediť n objektov do m tried, pričom n>m, potom exuistuje taká trieda, v ktorej sú aspoň dva objekty. 45

7 Úloha: Dokážte, že ak je v miestnosti s rozmermi 10 x 10 metrov 30 osôb, potom aspoň dve osoby sú od seba vzdialené menej ako 3 metre. Riešenie: Miestnosť s rozmermi 10x10 metrov rozdelíme na štvorce so stranou dĺžky metre. Týchto štvorcov je 5. Pretože osôb je 30, musia sa aspoň dve osoby nachádzať v jednom štvorci, a teda ich vzdialenosť je menšia ako uhlopriečka štvorca so stranou metre. Podľa Pytagorovej vety pre uhlopriečku štvorca so stranou metre platí u u u u = + = 8 = 8,83 metra. Teda v miestnosti skutočne existujú aspoň dve osoby, ktoré sú od seba vzdialené menej ako 3 metre. Uvedomme si, že predchádzajúci dôkaz nám nevraví, ktoré sú to osoby. Dokazuje iba to, že taká dvojica existuje Dôkaz matematickou indukciou Matematickou indukciou dokazujeme výroky typu Pre každé prirodzené číslo n N platí výrok V ( n. Pri dôkaze matematickou indukciou používame nasledujúci postup: 1. Dokážeme, že platí V ( 1, teda že výrok V je pravdivý pre n = 1.. Dokážeme, že k N : V ( k V ( k+ 1, teda ak platí V ( k, potom platí aj ( 1 V k+. 3. Vyslovíme záver n N : V( n, teda pre každé prirodzené číslo n platí výrok ( V n. Úloha: Dokážte, že pre súčet prvých n nepárnych čísel platí (n 1 = n. Riešenie: Použijeme dôkaz matematickou indukciou. 1. Nech n=1. Potom 1= 1. Teda tvrdenie platí pre n=1.. Predpokladajme, že tvrdenie platí pre n=k, teda že (k 1 = k. 46

8 Dokážeme, že potom platí tvrdenie aj pre n=k+1, teda že ( k+ 1 1 = ( k+ 1 Najprv upravíme ľavú stranu:. ( k ( k ( k ( k = = Použijeme predpoklad, podľa ktorého (k 1 = k. ( k ( k k ( k k k ( k = = + + 1= + 1 Teda ( k+ 1 1 = ( k Pre súčet prvých n nepárnych čísel platí (n 1 = n. Test č. 4 V nasledujúcom teste je 30 úloh z oblasti implikácií, tautológií, kontradikcií a dôkazov v matematike. Na nich si prakticky precvičíme: - implikácie, obrátené implikácie, obmeny implikácií, - určovanie, či daná výroková forma je tautológiou, kontradikciou, či splniteľnou, - rozdiel medzi definíciou a vetou v matematike, - základné metódy dokazovania v matematike. Test č. 4 nájdeme aj v elektronickej verzii v súbore 4.exe. 1. Z daných zápisov vyberte ten, ktorý predstavuje obmenu implikácie A B. a B' A' b B A c A B ' d A B '. Z daných zápisov vyberte ten, ktorý predstavuje negáciu implikácie A B. a B' A' b B A c A B ' d A B ' 47

9 3. Z daných zápisov vyberte ten, ktorý predstavuje obrátenú implikáciu k implikácii A B. a B' A' b B A c A B ' d A B ' 4. Z daných zápisov vyberte ten, ktorý predstavuje obmenu implikácie B A. a A' B ' b A B c A B ' d A' B 5. Z daných zápisov vyberte ten, ktorý predstavuje negáciu implikácie B A. a A' B ' b A B c A B ' d A' B 6. Z daných zápisov vyberte ten, ktorý predstavuje obrátenú implikáciu k implikácii B A. a A' B ' b A B c A B ' d A' B 7. Priraďte implikácie k ich negáciám. a A B ' 1. A B b A' B '. B' A c A' B 3. A' B ' d A B 4. A B ' 8. Priraďte k sebe implikácie s rovnakou pravdivostnou hodnotou. a B' A' 1. A B 48

10 b A' B. B' A c B A 3. A B ' d B A' 4. A' B ' 9. Priraďte formuly k ich vzťahu k implikácii B A. a obmena 1. A B ' b negácia. A B c obrátená implikácia 3. B A' d negácia obrátenej implikácie 4. A' B ' 10. Priraďte implikácie k ich negáciám. a Bude pekne a nepôjdem hrať tenis. 1. Ak bude pekne, nepôjdem hrať tenis. b Nebude pekne a pôjdem hrať tenis.. Ak bude pekne, pôjdem hrať tenis. c Bude pekne a pôjdem hrať tenis. 3. Ak nepôjdem hrať tenis, bude pekne. d Nebude pekne a nepôjdem hrať tenis. 4. Ak nebude pekne, nepôjdem hrať tenis. 11. Priraďte k sebe implikácie s rovnakou pravdivostnou hodnotou. a Ak nebude pekne, pôjdem hrať tenis. 1. Ak bude pekne, pôjdem hrať tenis. b Ak pôjdem hrať tenis, nebude pekne.. Ak nebude pekne, nepôjdem hrať tenis. c Ak pôjdem hrať tenis, bude pekne. 3. Ak bude pekne, nepôjdem hrať tenis. d Ak nepôjdem hrať tenis, nebude pekne. 4. Ak nepôjdem hrať tenis, bude pekne. 1. Priraďte formuly podľa ich vzťahu k implikácii Ak budeš dobrý, dostaneš cukríky. a obrátená implikácia 1. Budeš dobrý a nedostaneš cukríky. b negácia. Ak dostaneš cukríky, budeš dobrý. c negácia obrátenej implikácie 3. Nebudeš dobrý a dostaneš cukríky. d obmena 4. Ak nedostaneš cukríky, nebudeš dobrý. 13. Priraďte formuly podľa ich vzťahu k implikácii Ak nebudeš dobrý, zostaneš doma. a obmena 1. Budeš dobrý a zostaneš doma. b negácia. Ak nezostaneš doma, budeš dobrý. c obrátená implikácia 3. Nebudeš dobrý a nezostaneš doma. d negácia obrátenej implikácie 4. Ak zostaneš doma, nebudeš dobrý. 49

11 14. Pomocou tabuľky pravdivostných hodnôt overte, či formula ( p q ( q p je tautológiou. Doplňte prázdny stĺpec tabuľky. 15. Pomocou tabuľky pravdivostných hodnôt overte, či formula ( p q' ( p' q' je tautológiou. Doplňte prázdny stĺpec tabuľky. 16. Pomocou tabuľky pravdivostných hodnôt overte, či formula ( p q ' ( p' q' je tautológiou. Doplňte prázdny stĺpec tabuľky. 17. Pomocou tabuľky pravdivostných hodnôt overte, či formula ( p q'' ( p q je tautológiou. Doplňte prázdny stĺpec tabuľky. 18. Pomocou tabuľky pravdivostných hodnôt overte, či formula (( p q ( p r ( q r je tautológiou. Doplňte prázdny stĺpec tabuľky. 19. Pomocou tabuľky pravdivostných hodnôt overte, či formula ( p ( q r ( q r je tautológiou. Doplňte prázdny stĺpec tabuľky. 0. Označte matematické tvrdenia, ktoré majú tvar implikácie či ekvivalencie. a Číslo 1 má práve šesť deliteľov. b Súčet veľkostí uhlov v päťuholníku je 540. c Ak je trojuholník pravouhlý, potom pre dĺžky jeho strán platí Pytagorova veta. 50

12 d Prirodzené číslo je deliteľné dvoma, ak končí číslicou 0,, 4, 6, Označte matematické tvrdenia, ktoré majú tvar implikácie či ekvivalencie. a Štvoruholník je štvorec práve vtedy, ak má všetky strany rovnakej dĺžky. b Štvoruholník je štvorec práve vtedy, ak má všetky uhly pravé. c Kocka má práve 1 hrán. d Dĺžka telesovej uhlopriečky v kocke je väčšia ako dĺžka jej stenovej uhlopriečky.. Označte tie výroky, ktoré môžu predstavovať definície. a Štvorec je štvoruholník, ktorý má všetky strany rovnakej dĺžky a všetky vnútorné uhly pravé. b Aritmetická postupnosť je taká postupnosť, pri ktorej rozdiel ľubovoľných dvoch po sebe nasledujúcich členov je konštantný. c Číslo 1 má práve šesť rôznych kladných deliteľov. d Všetky prvočísla sú párne. 3. Označte tie výroky, ktoré môžu predstavovať definície. a Binárna relácia z A do B je ľubovoľná podmnožina karteziánskeho súčinu AxB. b Pravidelný štvorboký ihlan má osem hrán. c Číslo 1 je zložené číslo. d Prvočíslo je také prirodzené číslo, ktoré má práve dva rôzne kladné delitele. 4. Na obrázku je dôkaz jedného matematického výroku. Určte, o aký typ dôkazu ide. a priamy dôkaz b nepriamy dôkaz c dôkaz sporom d dôkaz matematickou indukciou 51

13 5. Na obrázku je dôkaz jedného matematického výroku. Určte, o aký typ dôkazu ide. a priamy dôkaz b nepriamy dôkaz c dôkaz sporom d dôkaz matematickou indukciou 6. Na obrázku je dôkaz jedného matematického výroku. Určte, o aký typ dôkazu ide. a priamy dôkaz b nepriamy dôkaz c dôkaz sporom d dôkaz matematickou indukciou 7. Na obrázku je dôkaz jedného matematického výroku. Určte, o aký typ dôkazu ide. 5

14 a priamy dôkaz b nepriamy dôkaz c dôkaz sporom d dôkaz matematickou indukciou 8. Označte pravdivé tvrdenie. a Kontrapríklady možno využiť pri dôkaze algebraických tvrdení, ale nie geometrických. b Kontrapríklad predstavuje prvý krok pri dôkaze matematickou indukciou. c Pomocou kontrapríkladu dokazujeme platnosť všeobecných výrokov. d Pomocou kontrapríkladu možno vyvrátiť platnosť všeobecného výroku. 9. Označte tvrdenia, pri dôkaze ktorých je výhodné využiť Dirichletov princíp. a V Bratislave žijú aspoň dvaja ľudia, ktorí sa narodili v ten istý deň. b Ak je trojuholník pravouhlý, potom obsah štvorca zostrojeného nad jeho preponou sa rovná súčtu obsahu štvorcov zostrojených nad jeho odvesnami. c Ak v telocvični s rozmermi 30 x 30 metrov cvičí 91 ľudí, tak vzdialenosť aspoň dvoch z nich je menej ako 1,5 metra. d Prvočíselných dvojčiat je nekonečne veľa. 30. Ak by sme dokázali, že žiadne dve prvočíselné dvojčatá nie sú väčšie ako číslo ( , znamenalo by to, že: a neexistujú žiadne prvočíselné dvojčatá, b prvočíselných dvojčiat je konečne veľa, c existujú iba dve prvočíselné dvojčatá, d prvočíselných dvojčiat je nekonečne veľa. 1. a. d 3. b 4. a 5. d 6. b Test č. 4 správne riešenia 7. a1,b,c3,d4 13. a,b3,c4,d a1,b,c4,d cd 9. a4,b3,c,d ab 10. a,b4,c1,d ab 11. a4,b3,c,d ad 1. a,b1,c3,d a 5. b 6. c 7. d 8. d 9. ac 30. b 53

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce Výroková logika teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce zabývá se způsoby tvoření výroků pomocí spojek a vztahy mezi pravdivostí různých výroků používá specifický jazyk složený z výrokových

Více

1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY

1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY . MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY Průvodce studiem V následující kapitole si připomeneme některé význačné poznatky z matematické logiky a teorie množin, tvořící základ množinově logického aparátu. S celou

Více

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Úvod do matematiky Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Matematika a matematické chápání jako takové je založeno na logické výstavbě. Základními stavebními prvky jsou definice, věty a důkazy. Definice zavádějí

Více

Návod na obsluhu, zapojenie a montáž domácich telefónov 4 FP 210 51-55 Návod na obsluhu, zapojení a montáž domácích telefónů 4 FP 210 51-55

Návod na obsluhu, zapojenie a montáž domácich telefónov 4 FP 210 51-55 Návod na obsluhu, zapojení a montáž domácích telefónů 4 FP 210 51-55 Návod na obsluhu, zapojenie a montáž domácich telefónov 4 FP 210 51-55 Návod na obsluhu, zapojení a montáž domácích telefónů 4 FP 210 51-55 4 VNF B 323 SK VYHOTOVENIE A POUŽITIE Systém domáceho dorozumievacieho

Více

Vzdělávací karetní. Vzdělávací pomůcka. Určeno dětem od 3 do 5 let. volí libovolné otázky případně pořadí dětí, které budou na tahu.

Vzdělávací karetní. Vzdělávací pomůcka. Určeno dětem od 3 do 5 let. volí libovolné otázky případně pořadí dětí, které budou na tahu. Vzdělávací karetní BARVY hra Úkolem této hry je naučit děti rozeznávat základní barvy. Princip je založen na komunikaci rodiče nebo pedagoga s dítětem. Hry se může zúčastnit 1 až 6 dětí pod vedením dospělé

Více

Prvočísla a čísla složená

Prvočísla a čísla složená Prvočísla a čísla složená Prvočíslo je každé přirozené číslo, které má právě dva různé dělitele, číslo 1 a samo sebe. Nejmenším a jediným sudým je prvočíslo 2. Další prvočísla: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 1

Historie matematiky a informatiky Cvičení 1 Historie matematiky a informatiky Cvičení 1 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Kapitola z teorie čísel Co

Více

NÁVOD K OBSLUZE. Obj. č.: 7120113

NÁVOD K OBSLUZE. Obj. č.: 7120113 NÁVOD K OBSLUZE Obj. č.: 7120113 1. Úvod FK6300 je přístroj, který umožňuje nejen odečítat a měřit spotřebu elektrické energie, ale lze jej použít také jako časovač sepnutí a vypnutí pro elektronické přístroje.

Více

Prúdové elektródy (vonkajšie) sa pripoja na svorky C1, C2 a potenciálové (vnútorné) elektródy na svorky P1, P2.

Prúdové elektródy (vonkajšie) sa pripoja na svorky C1, C2 a potenciálové (vnútorné) elektródy na svorky P1, P2. Meranie uzemnenia a Meranie rezistivity pôdy Zostavil: Viliam Kopecký Použitá literatúra: - Texty uvedené v zborníkoch prednášok Celoslovenských seminárov elektrotechnikov, - Texty uverejnené na webe,

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

A) Výpočet spotřeby energie na osvětlení programem EHB

A) Výpočet spotřeby energie na osvětlení programem EHB A) Výpočet spotřeby energie na osvětlení program EHB QuickCalc SFTVÉR RE RJEKTATV (RÝCHLA METÓA) ázov softvéru: EHB QuickCalc rogram EHB QuickCalc je v podstate tabuľková aplikácia, ktorá obsahuje spracovanú

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

obsah CAD/CAM nástroje CAD/CAM nástroje imperial technické informace technické informácie CAD/CAM - 1 břit CAD/CAM - 1 brit

obsah CAD/CAM nástroje CAD/CAM nástroje imperial technické informace technické informácie CAD/CAM - 1 břit CAD/CAM - 1 brit nástroje nástroje www.rodentica.eu obsah technické informace technické informácie 2-1 břit - 1 brit 3-2 a 3 břity - 2 a 3 brity - 2 břity Dia-coat - 2 brity Dia-coat diamantové nástroje diamantové nástroje

Více

Pat a Mat na výletě 3.4 Na hracím plánu jsou dvě takové dopravní

Pat a Mat na výletě 3.4 Na hracím plánu jsou dvě takové dopravní Hra obsahuje: Hrací plán, hrací kostka. Hra je určena pro dva až čtyři hráče, ve hře tak mohou být dvě postavičky Pata a dvě Mata, které jsou odlišeny barvou podstavce. Příprava hry 1.1 Hráči si vyberou

Více

Počet hráčů: 3 6 Věk: 8+ Hrací doba: cca 15 minut

Počet hráčů: 3 6 Věk: 8+ Hrací doba: cca 15 minut Počet hráčů: 3 6 Věk: 8+ Hrací doba: cca 15 minut V této hře se to hemží kozami a ty jich musíš získat co nejvíce. Ale najednou je jejich počet limitován a ty už žádné kozy nechceš! Nebohá zvířata tedy

Více

NT-6540 Laserový měřič vzdálenosti Uživatelský manuál

NT-6540 Laserový měřič vzdálenosti Uživatelský manuál NT-6540 Laserový měřič vzdálenosti Uživatelský manuál Děkujeme, že jsme si koupili laserový měřič vzdálenosti Pro'sKit NT-6540 (40M). Před použitím přístroje si prosím pečlivě přečtěte tento manuál. Bezpečnost

Více

Logický důsledek. Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz)

Logický důsledek. Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz) Logický důsledek Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz) Úvod P 1 Logický důsledek je hlavním předmětem zájmu logiky. Je to relace mezi premisami a závěry logicky platných úsudků: v logicky platném úsudku závěr

Více

Postřehová hra rychlá jako blesk pro 2 8 hráčů od osmi let. Autor: Jacques Zeimet

Postřehová hra rychlá jako blesk pro 2 8 hráčů od osmi let. Autor: Jacques Zeimet Postřehová hra rychlá jako blesk pro 2 8 hráčů od osmi let. Autor: Jacques Zeimet Pribeh a cil hry Balduin je veselé hradní strašidlo. V tajemném sklepení hradu jednou našel stařičký kouzelný fotoaparát.

Více

Úvod do teorie dělitelnosti

Úvod do teorie dělitelnosti Úvod do teorie dělitelnosti V předchozích hodinách matematiky jste se seznámili s desítkovou soustavou. Umíte v ní zapisovat celá i desetinná čísla a provádět zpaměti i písemně základní aritmetické operace

Více

seznam dílù WIND CBP zobrazení dílù 1:1 náøadí rozmìr èíslo dílu kusy samojistící matice M8 samojistící matice M6 podložka M6 podložka podložka M8

seznam dílù WIND CBP zobrazení dílù 1:1 náøadí rozmìr èíslo dílu kusy samojistící matice M8 samojistící matice M6 podložka M6 podložka podložka M8 seznam dílù 1/7 zobrazení dílù 1:1 náøadí rozmìr èíslo dílu kusy samojistící matice M8 samojistící matice M6 podložka M6 podložka podložka M8 orientaèní mìøítko plastová podložka M10 zobrazení WIND CBP

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PEDAGOGICKÁ FAKULTA. Katedra matematiky. Bakalářská práce. Romana Olejníčková DŮKAZY MATEMATICKOU INDUKCÍ

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PEDAGOGICKÁ FAKULTA. Katedra matematiky. Bakalářská práce. Romana Olejníčková DŮKAZY MATEMATICKOU INDUKCÍ UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra matematiky Bakalářská práce Romana Olejníčková DŮKAZY MATEMATICKOU INDUKCÍ Olomouc 2015 Vedoucí práce: doc. RNDr. Jitka Laitochová, CSc. Prohlašuji,

Více

Technológia Silverfrost

Technológia Silverfrost Quick Step Technológia Silverfrost Nové finančne úsporné podlahy s vynikajúcou dekoračnou hodnotou Uvedenie radu Go a technológie Silverfrost kolekcia Quick Step laminát Neustále narastá dopyt po finančne

Více

Ampermetr klešťový EM264

Ampermetr klešťový EM264 Ampermetr klešťový EM264 Úvod Tento AC/DC ampérmetr je založen na technologii Hallova jevu a je navržen, aby byl použit ve spojení s multimetrem pro měření AC a DC proudu. Zapojení baterie VAROVÁNÍ - Abyste

Více

Série EM588, Série EM589 Digitální teploměr

Série EM588, Série EM589 Digitální teploměr Před použitím si pečlivě přečtěte tento manuál. Série EM588, Série EM589 Digitální teploměr Úvod Teploměry sérii EM588 a EM589 jsou mikroprocesorem řízené digitální teploměry. Jsou přesné a snadno se ovládají.

Více

Ostřička na řetězy 130001

Ostřička na řetězy 130001 Ostřička na řetězy 130001 CZ: Návod k použití Ostřička na řetězy NG95519 130001 POZOR! Při používáno přístrojů musí být dodržována určitá bezpečnostní opatření, aby se zabránilo zraněním a škodám. Přečtěte

Více

Detektor 4 v 1 TS530

Detektor 4 v 1 TS530 Před použitím si pečlivě přečtěte tento manuál. Detektor 4 v 1 TS530 Úvod Tato jednotka je pokročílým detekčním zařízením. Může detekovat kov, AC napětí a dřevo. Navíc v sobě má svinovací metr. Lze ji

Více

Návod k použití a k instalaci Návod na použitie a inštaláciu D 11A. Plynové vařidlové desky Plynové varné dosky. Modely:

Návod k použití a k instalaci Návod na použitie a inštaláciu D 11A. Plynové vařidlové desky Plynové varné dosky. Modely: Modely: Plynové vařidlové desky Plynové varné dosky 3 FI 4 GLSTX 3 FI 4 GLSX 3 FI 5 GLSTX 3 FI 95 GLSTX Vážený zákazníku, děkujeme Vám a gratulujeme Vám k Vašemu výběru. Tento spotřebič byl vyroben z prvotřídních

Více

I. Úvodní pojmy. Obsah

I. Úvodní pojmy. Obsah I. Úvodní pojmy Obsah 1 Matematická logika 2 1.1 Výrok,logickéoperátory,výrokovéformuleaformy... 2 1.2 Logickávýstavbamatematiky... 3 1.2.1 Základnímetodydůkazůmatematickýchvět..... 3 1.2.2 Negacevýroků.....

Více

Kvantifikované výroky a jejich negace

Kvantifikované výroky a jejich negace Kvantifikované výroky a jejich negace Gymnázium a Střední odborná škola, Rokycany, Mládežníků 1115 Číslo projektu: Číslo šablony: Název materiálu: Ročník: Identifikace materiálu: CZ.1.07/1.5.00/34.0410

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632

Více

Solární panel 0,9 m 2 Solárny panel 0,9 m 2

Solární panel 0,9 m 2 Solárny panel 0,9 m 2 Solární panel 0,9 m 2 Solárny panel 0,9 m 2 SOLÁRNÍ SYSTÉM VYHŘÍVÁNÍ PRO NADZEMNÍ BAZÉNY SOLÁRNY SYSTÉM NA VYHRIEVANIE NADZEMNÝCH BAZÉNOV NÁVOD K MONTÁŽI A PROVOZU NÁVOD NA MONTÁŽ A PREVÁDZKU 8.3.2012

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie B

Úlohy domácí části I. kola kategorie B 6. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie B. Mezi všemi desetimístnými čísly dělitelnými jedenácti, v nichž se žádná číslice neopakuje, najděte nejmenší a největší. Řešení. Uvažovaná

Více

Výrok je každá oznamovací věta (sdělení), u níž dává smysl, když uvažujeme, zda je buď pravdivá, nebo nepravdivá.

Výrok je každá oznamovací věta (sdělení), u níž dává smysl, když uvažujeme, zda je buď pravdivá, nebo nepravdivá. Výroková logika I Výroková logika se zabývá výroky. (Kdo by to byl řekl. :-)) Výrok je každá oznamovací věta (sdělení), u níž dává smysl, když uvažujeme, zda je buď pravdivá, nebo nepravdivá. U výroku

Více

ČESKY Všeobecně Svářecí poloautomat sváří všechny uhlíkové oceli bez ochranné atmosféry.

ČESKY Všeobecně Svářecí poloautomat sváří všechny uhlíkové oceli bez ochranné atmosféry. ČESKY Všeobecně Svářecí poloautomat sváří všechny uhlíkové oceli bez ochranné atmosféry. Technologické možnosti stroje zabezpečuje elektronické řízení ovládání posuvu a přepínač pro zvolení dvou proudových

Více

Kroky a instrukce jak sestrojit stùl Kroky a inštrukcie ako zostroji stôl

Kroky a instrukce jak sestrojit stùl Kroky a inštrukcie ako zostroji stôl Kroky a instrukce jak sestrojit stùl Kroky a inštrukcie ako zostroji stôl 1/7 CZ - Krok 0 Otevøete krabici a umístìte na ní obì desky ( nejlépe na zemi ) SK - Krok 0 Otvorete krabicu a umiestnite na òu

Více

Tento seminář pro Vás připravuje vzdělávací agentura. Kurzy-Fido.cz. ...s námi TSP zvládnete!

Tento seminář pro Vás připravuje vzdělávací agentura. Kurzy-Fido.cz. ...s námi TSP zvládnete! Tento seminář pro Vás připravuje vzdělávací agentura Kurzy-Fido.cz...s námi TSP zvládnete! Řešení páté série (27.4.2009) 13. Hlavní myšlenka: efektivní porovnávání zlomků a desetinných čísel Postup: V

Více

CZ: AUTOMATICKÁ SAMOSTMÍVACÍ SVÁŘECÍ KUKLA

CZ: AUTOMATICKÁ SAMOSTMÍVACÍ SVÁŘECÍ KUKLA CZ: AUTOMATICKÁ SAMOSTMÍVACÍ SVÁŘECÍ KUKLA bateriová (2x AAA) ASK200 CERTIFIKOVÁNO Filtr: 4/9-13 Prokop 1/2/3 379 CE Kukla: Prokop 175 CE Krycí štítky: Prokop 1 S CE, Prokop CE Návod pro uživatele. Úvod:

Více

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Státní zkouška aritmetika Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Teoretická aritmetika 1. Prvky výrokové logiky - výrok, skládání výroků, abeceda výrokové logiky, výrokové formule,

Více

Sklokeramické varné desky Sklokeramické varné dosky DOMINO. Návod k obsluze a istalaci Návod na obsluhu a inštaláciu

Sklokeramické varné desky Sklokeramické varné dosky DOMINO. Návod k obsluze a istalaci Návod na obsluhu a inštaláciu Sklokeramické varné desky Sklokeramické varné dosky DOMINO Návod k obsluze a istalaci Návod na obsluhu a inštaláciu D 12 Obsah Vážený zákazníku Děkujeme Vám a blahopřejeme, že jste si vybral právě náš

Více

ÚVOD DO HRY PRINCIP HRY

ÚVOD DO HRY PRINCIP HRY Počet hráčů: 2-6 Věk: od 6 let Délka hry: cca 20 min. Obsah: 66 hracích karet: 45 karet s čísly (hodnota 0 8 čtyřikrát, hodnota 9 devětkrát), 21 speciálních karet (9 karet Výměna, 7 karet Špehuj, 5 karet

Více

Solární ohřev Domeček pro filtraci Solárny ohrev Domček pre filtráciu

Solární ohřev Domeček pro filtraci Solárny ohrev Domček pre filtráciu Solární ohřev Domeček pro filtraci Solárny ohrev Domček pre filtráciu Solární systém vyhřívání pro nadzemní bazény Solárny systém vyhrievanie pre nadzemné bazény Návod k montáži a provozu Návod na montáž

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

V jakém stupeň studia navštěvujete? bakalářské studium 138 53% navazující magisterské 82 32% doktorské 32 12% jiné 1 0%

V jakém stupeň studia navštěvujete? bakalářské studium 138 53% navazující magisterské 82 32% doktorské 32 12% jiné 1 0% V jakém stupeň studia navštěvujete? bakalářské studium 138 53% navazující magisterské 82 32% doktorské 32 12% jiné 1 0% Upřednostňujete studijní oddělení otevřené denně po kratší dobu, nebo pouze některé

Více

Dřevěné kuželky Drevené kolky. Skvělá venkovní hra z Finska Vynikajúca hra z Fínska, ktorá sa hrá vonku

Dřevěné kuželky Drevené kolky. Skvělá venkovní hra z Finska Vynikajúca hra z Fínska, ktorá sa hrá vonku Dřevěné kuželky Drevené kolky Skvělá venkovní hra z Finska Vynikajúca hra z Fínska, ktorá sa hrá vonku 8 590228 004154 96589 7 9 8 5 11 12 6 3 10 4 1 2 3-4 m 7 9 8 5 11 12 6 3 10 4 1 2 3-4 m Hra Mölkky

Více

R11 extremo. Odolný mobilní telefon pro dvě SIM karty. Návod k funkci SOS locator Návod na použitie SOS locator

R11 extremo. Odolný mobilní telefon pro dvě SIM karty. Návod k funkci SOS locator Návod na použitie SOS locator R11 extremo Odolný mobilní telefon pro dvě SIM karty Návod k funkci SOS locator Návod na použitie SOS locator ČESKY... 3 PO SLOVENSKY... 6 2 ČESKY SOS volání a SMS Spuštění nouzového volání a SMS Stiskněte

Více

Hra 1 - Rodinná hra. Druhy claimů: Počet hráčů: 2-4 Věk: 8+ Délka: 20-40 minut

Hra 1 - Rodinná hra. Druhy claimů: Počet hráčů: 2-4 Věk: 8+ Délka: 20-40 minut Hra 1 - Rodinná hra Druhy claimů: Počet hráčů: 2-4 Věk: 8+ Délka: 20-40 minut Je 17 Srpna 1896 George Carmack společně s manželkou Kate a skupinou Indiánů z kmene Tagishů, loví lososy na řece Klondike

Více

VG 200 Stolní gril. Návod k použití

VG 200 Stolní gril. Návod k použití VG 200 Stolní gril CZ Návod k použití Všeobecné Tento spotřebič je určený pro soukromé použití, nikoliv na komerční účely. Přečtěte si tento návod pozorně před použitím a odložte si jej na bezpečném místě.

Více

Ultrazvukový. čistič PRO'SKIT SS - 803 F

Ultrazvukový. čistič PRO'SKIT SS - 803 F Ultrazvukový čistič PRO'SKIT SS - 803 F Ultrazvukový čistič Děkujeme, že jste zakoupili tento ultrazvukový čistič. Dříve, než začnete s přístrojem pracovat, prostudujte pečivě návod k použití. Návod uložte

Více

Historie matematiky a informatiky 2 7. přednáška

Historie matematiky a informatiky 2 7. přednáška Historie matematiky a informatiky 2 7. přednáška Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 5. října 2013 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Kapitoly z teorie

Více

Bajonetový adaptér Adaptér pre upevnenie objektívu

Bajonetový adaptér Adaptér pre upevnenie objektívu 4-185-204-02(1) Bajonetový adaptér Adaptér pre upevnenie objektívu CZ SK Návod k obsluze Návod na použitie LA-EA1 2010 Sony Corporation Vytištěno v České republice 4-185-204-02(1) Bajonetový adaptér CZ

Více

MATEMATIKA. Reforma naší školy a problémy

MATEMATIKA. Reforma naší školy a problémy MATEMATIKA Reforma naší školy a problémy matematického vzdělávání FRANTIŠEK KUŘINA Přírodovědecká fakulta Univerzity Hradec Králové Tento článek navazuje na můj příspěvek Naše pedagogická realita [10]

Více

INSTRUKCE PRO UŽIVATELE/ INŠTRUKCIE PRE UŽÍVATEĽA MAGNETICKÝ ROTOPED DUO

INSTRUKCE PRO UŽIVATELE/ INŠTRUKCIE PRE UŽÍVATEĽA MAGNETICKÝ ROTOPED DUO INSTRUKCE PRO UŽIVATELE/ INŠTRUKCIE PRE UŽÍVATEĽA MAGNETICKÝ ROTOPED DUO SERVIS A NÁHRADNÍ DÍLY ZAJIŠŤUJE DODAVATEL/ SERVIS A NÁHRADNÉ DIELY ZABEZPEČUJE DODAVATEĽ SEVEN SPORT s. r. o., Dělnická 957, 749

Více

Návod na obsluhu a údržbu Nabíječka baterií Sharks START SH6016 Obj. číslo SHK419

Návod na obsluhu a údržbu Nabíječka baterií Sharks START SH6016 Obj. číslo SHK419 Návod na obsluhu a údržbu Nabíječka baterií Sharks START SH6016 Obj. číslo SHK419 Distributor: Steen QOS, s.r.o., Bor 3, Karlovy Vary Distributor do SR: Sharks Slovakia, s.r.o., Športová 198/61, Hozelec

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

Mějme sedm celých čísel takových, že součet libovolných šesti z nich je dělitelný pěti. Dokažte, žepotomkaždézčíselmusíbýtdělitelnépěti.

Mějme sedm celých čísel takových, že součet libovolných šesti z nich je dělitelný pěti. Dokažte, žepotomkaždézčíselmusíbýtdělitelnépěti. ½º ÖÒ Ö Celá ÐÓ ¾º ÐÓ ½º čísla ÐÓ º ÐÓ º třemi. ÐÓ º ÐÓ º ÐÓ º Ì ÖÑ ÒÓ Ð Ò ½½º ÒÓÖ ¾¼½ ( Ó Ý) ( Ó Ý) ( Ó Ý) ( Ó ) ( Ó ) Naleznětevšechnaceláčísla xtaková,že2 x (4 x)=2x+4,aukažte,žežádnájináužnejsou. Dokažte,žepokud

Více

Fibonacciho čísla na střední škole

Fibonacciho čísla na střední škole Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods

Více

WELL Crystal Gears, nahrávání hovorů k telefonům Yealink SIP-T19, SIP-T2x a SIP-T4x

WELL Crystal Gears, nahrávání hovorů k telefonům Yealink SIP-T19, SIP-T2x a SIP-T4x WELL Crystal Gears, nahrávání hovorů k telefonům Yealink SIP-T19, SIP-T2x a SIP-T4x Vážený zákazníku, děkujeme Vám za důvěru, kterou jste nám projevil nákupem tohoto výrobku. Nákup WELL Crystal Gears byl

Více

NÁVOD K POUŽITIU NÁVOD K POUŽITÍ

NÁVOD K POUŽITIU NÁVOD K POUŽITÍ NÁVOD K POUŽITÍ 1. VŠEOBECNÉ INFORMACE Všechny expanzní a tlakové nádoby s vyměnitelnou membránou jsou vyrobeny firmou AQUAPRESS s.r.l a vyhovují bezpečnostním požadavkům Směrnice Evropského parlamentu

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma V..1 Posloupnosti a finanční matematika Kapitola

Více

Injusa BODY +10. Návod k použití. Návod na použitie IN-325 DĚTSKÁ TŘÍKOLKA DETSKÁ TROJKOLKA

Injusa BODY +10. Návod k použití. Návod na použitie IN-325 DĚTSKÁ TŘÍKOLKA DETSKÁ TROJKOLKA Injusa BODY IN-325 DĚTÁ TŘÍKOLKA Návod k použití DETÁ TROJKOLKA Návod na použitie +10 CZ UPOZORNĚNÍ UPOZORNENIE Vážený zákazníku Blahopřejeme Vám ke koupi kovové tříkolky naší firmy. Jsme rádi, že jste

Více

Firma K+B Progres a.s. neručí za škody způsobené nesprávným naistalováním nástěnného držáku a tím způsobené škody na zařízení, případně zdraví.

Firma K+B Progres a.s. neručí za škody způsobené nesprávným naistalováním nástěnného držáku a tím způsobené škody na zařízení, případně zdraví. CZ Maximální nosnost držáku je 15 kg. Namontujte nejdříve nástěnný držák za pomocí hmoždinek a upevňovacích šroubů na stěnu. Upevněte držák na TV pomocí přiložených šroubů. Případně si zabezpečte vhodný

Více

Co víme o přirozených číslech

Co víme o přirozených číslech Co víme o přirozených číslech 4. Největší společný dělitel a nejmenší společný násobek In: Jiří Sedláček (author): Co víme o přirozených číslech. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1961. pp. 24 31. Persistent

Více

HSK 63A DIN 69871 DIN 2080 HSK 63A HSK 63A DIN 69871 DIN 69871 DIN 2080 DIN 2080. Příslušenství. Příslušenstvo

HSK 63A DIN 69871 DIN 2080 HSK 63A HSK 63A DIN 69871 DIN 69871 DIN 2080 DIN 2080. Příslušenství. Příslušenstvo UPÍNAČE PRO ROTAČNÍ NÁSTROJE UPÍNAČ PRE ROTAČNÉ NÁSTROJE OBSAH Technické charakteristiky upínačů... 2 Porovnání maximálních hodnot radiální házivosti upnutého nástroje... 2 OBSAH Technické charakteristiky

Více

PRAVIDLA HRY / PRAVIDLÁ HRY

PRAVIDLA HRY / PRAVIDLÁ HRY PRAVIDLA HRY / PRAVIDLÁ HRY Francesco Rotta Andrea Femerstrand 1 7+ 15 2 4 min Obsah hry 16 dílků pastvin 64 žetonů ovcí: 16 od každé barvy STÁLE NA POUTI ZA ZELENĚJŠÍMI PASTVINAMI Naše malé stádečko ovcí

Více

Pribeh a cil hry. Herni material. Priprava hry. Druhá postřehová hra rychlá jako blesk pro 2 8 hráčů od osmi let.

Pribeh a cil hry. Herni material. Priprava hry. Druhá postřehová hra rychlá jako blesk pro 2 8 hráčů od osmi let. Druhá postřehová hra rychlá jako blesk pro 2 8 hráčů od osmi let. Pribeh a cil hry Duchová v koupelně je samostatná hra, která se dá hrát zvlášť, ale i dohromady se známou hrou Duch! To vytváří novou úroveň

Více

WELL NeoGate TE100, VoIP brána ústředna

WELL NeoGate TE100, VoIP brána ústředna WELL NeoGate TE100, VoIP brána ústředna CZ Vážený zákazníku, děkujeme Vám za důvěru, kterou jste nám projevil nákupem tohoto výrobku. Nákup VoIP/PRI (E1/T1) brány WELL NeoGate TE100 byl zcela jistě dobrou

Více

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Alena Šolcová 1 Binární operace Binary operation Binární operací na neprázdné množině A rozumíme každé zobrazení kartézského součinu A x A do A. Multiplikativní

Více

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA. ve studiu učitelství 1. stupně základní školy. Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA. ve studiu učitelství 1. stupně základní školy. Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA ve studiu učitelství 1. stupně základní školy Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák Ostrava 2003 Obsah I. Úvod do teorie množin a matematické logiky

Více

VNĚJŠÍ ZÁVIT PRAVÝ / VONKAJŠÍ ZÁVIT PRAVÝ VNĚJŠÍ ZÁVIT LEVÝ / VONKAJŠÍ ZÁVIT ĽAVÝ VNITŘNÍ ZÁVIT PRAVÝ / VNÚTORNÝ ZÁVIT PRAVÝ

VNĚJŠÍ ZÁVIT PRAVÝ / VONKAJŠÍ ZÁVIT PRAVÝ VNĚJŠÍ ZÁVIT LEVÝ / VONKAJŠÍ ZÁVIT ĽAVÝ VNITŘNÍ ZÁVIT PRAVÝ / VNÚTORNÝ ZÁVIT PRAVÝ Podle tvaru obrobku a typu soustruhu se zvolí základní metoda soustružení, tj. směr posuvu a smysl otáčení vřetene pro soustružení pravého vnějšího nebo vnitřního závitu resp. levého vnějšího či vnitřního

Více

Solutions for Fluid Technology. Systémy s permanentnými magnetmi

Solutions for Fluid Technology. Systémy s permanentnými magnetmi Solutions for Fluid Technology Systémy s permanentnými magnetmi Míľniky magnetickej technológie konformné so životným prostredím Systémy s permanentnímy magnety Milníky magnetické technologie konformní

Více

Moravské gymnázium Brno s.r.o.

Moravské gymnázium Brno s.r.o. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika Elementární teorie čísel Ročník 1. Datum tvorby

Více

Instalace konzoly mikrovlnné trouby

Instalace konzoly mikrovlnné trouby Instalace konzoly mikrovlnné trouby Upozornění 1. Abyste zajistili stabilitu měla by být mikrovlnná trouba pevně připevněna zadním panelem zařízení ke skříňce, která bude použita pro instalaci mikrovlnné

Více

Návod k použití čerpadla IM 10

Návod k použití čerpadla IM 10 Návod k použití čerpadla IM 10 1.00 ÚVOD Tento návod popisuje použití a údržbu 4 čerpadla řady IM 10 pro 4 vrty a větší studny. Všechny čerpadla jsou zkontrolovány ve výrobě s nejvyšší pozorností tak,

Více

AUDIO SYSTEM OWNER S MANUAL

AUDIO SYSTEM OWNER S MANUAL AUDIO SYSTEM OWNER S MANUAL ÚVOD Náš zvukový systém TuneUps firmy Skullcandy nabízí skvělý stereo zvuk s paralelním tlačítkem ztišení pro rychlé, jednoduché ovládání zvuku, když to potřebujete. Systém

Více

Odsavač prachu Překlad originálního návodu k obsluze CZ SK. Odsávač prachu Preklad pôvodného návodu na obsluhu. Č. pol. 93220563. Č. výr.

Odsavač prachu Překlad originálního návodu k obsluze CZ SK. Odsávač prachu Preklad pôvodného návodu na obsluhu. Č. pol. 93220563. Č. výr. Č. výr. 7512 0901 Č. pol. 7512 0901 CZ SK Odsavač prachu Překlad originálního návodu k obsluze Odsávač prachu Preklad pôvodného návodu na obsluhu Č. výr. 93220563 Č. pol. 93220563 Česky Jen pro státy EU

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

1 Matematika jako část logiky

1 Matematika jako část logiky 1 Matematika jako část logiky Matematika, kterou jste se učili na střední škole, byla spíše matematikou praktickou. To znamená, že obsahovala hlavně návody jak počítat s čísly, jak upravovat různé výrazy

Více

Odsavač par Typ: OR W (bílý, sklo)

Odsavač par Typ: OR W (bílý, sklo) Odsavač par Typ: OR W (bílý, sklo) Návod k použití 1 2 VYSOKÉ NAPĚTÍ Nesnímejte kryty! Uvnitř je vysoké napětí 3 4 5 Důrazně dodržujte pokyny v návodu k použití. Výrobce nenese žádnou odpovědnost za případné

Více

Závěrečná zpráva ze studijního pobytu v zemích mimo EU

Závěrečná zpráva ze studijního pobytu v zemích mimo EU Závěrečná zpráva ze studijního pobytu v zemích mimo EU Jméno a příjmení studenta: Patrícia Rojčeková Kontaktní e-mail: patricia.rojcekova@gmail.com Země, město pobytu: Čína, Chengdu Datum začátku pobytu:

Více

DŮLEŽITÉ INFORMACE A DOPORUČENÍ DÔLEŽITÉ INFORMÁCIE, POKYNY A DOPORUČENIA

DŮLEŽITÉ INFORMACE A DOPORUČENÍ DÔLEŽITÉ INFORMÁCIE, POKYNY A DOPORUČENIA Vážený zákazníku, zakoupil jste si výrobek z naší nové řady elektrických odsavačů par CLASSIC. Je naším přáním, aby Vám náš výrobek dobře sloužil. Doporučujeme Vám prostudovat tento návod a výrobek obsluhovat

Více

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Variace 1 Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu

Více

ZÁKLADY TEORIE ČÍSEL A JEJÍCH APLIKACÍ PRO NEMATEMATIKY PAVEL JAHODA

ZÁKLADY TEORIE ČÍSEL A JEJÍCH APLIKACÍ PRO NEMATEMATIKY PAVEL JAHODA ZÁKLADY TEORIE ČÍSEL A JEJÍCH APLIKACÍ PRO NEMATEMATIKY PAVEL JAHODA Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), na kterém se společně

Více

Polyfúzní svářečka plastů TUSON POLY 01

Polyfúzní svářečka plastů TUSON POLY 01 Polyfúzní svářečka plastů TUSON POLY 01 Návod k použití Osvědčení o jakosti a užitných vlastnostech výrobku: TUSON POLY01 polyfúzní svářečka plastů A- Způsob použití: Tento výrobek je určen k ohřívání

Více

Zastřihovač chloupků Návod k obsluze. Zastrihovač chĺpkov Návod NA obsluhu

Zastřihovač chloupků Návod k obsluze. Zastrihovač chĺpkov Návod NA obsluhu Zastřihovač chloupků Návod k obsluze Zastrihovač chĺpkov Návod NA obsluhu 3-5 6-8 Zastřihovač chloupků VAL000092327 CZ Návod k obsluze Přečtěte si podrobně tento návod k obsluze, zahrnuje důležité informace

Více

3.2 OBJEMY A POVRCHY TĚLES

3.2 OBJEMY A POVRCHY TĚLES . OBJEMY A POVRCHY TĚLES Krychle, kvádr, hranol Dochované matematické texty ze starého Egypta obsahují několik úloh na výpočet objemu čtverhranných obilnic tvaru krychle; lze předpokládat, že stejným způsobem

Více

Úloha 2. Aké najmenšie číslo môže byť dátumom prvej soboty po druhom pondelku nasledujúcom po druhom štvrtku v mesiaci?

Úloha 2. Aké najmenšie číslo môže byť dátumom prvej soboty po druhom pondelku nasledujúcom po druhom štvrtku v mesiaci? Fakulta matematiky, fyziky a informatiky, Univerzita Komenského v Bratislave Matematicko-fyzikální fakulta, Univerzita Karlova v Praze a Združenie TROJSTEN NÁBOJ Vzorové riešenia Vzorové riešenia Náboj

Více

ZÁSTĚNA 508. vanová zástěna

ZÁSTĚNA 508. vanová zástěna vanová zástěna ZÁSTĚNA 508 návod k instalaci a obsluze Vážení uživatelé! Blahopřejeme Vám k nákupu naší vanové zástěny. Česká společnost ARTTEC s.r.o. dodává na trh zboží v cenách, do nichž není zahrnuta

Více

Jihomoravske centrum mezina rodnı mobility. T-exkurze. Teorie c ı sel, aneb elektronicky podpis a s ifrova nı

Jihomoravske centrum mezina rodnı mobility. T-exkurze. Teorie c ı sel, aneb elektronicky podpis a s ifrova nı Jihomoravske centrum mezina rodnı mobility T-exkurze Teorie c ı sel, aneb elektronicky podpis a s ifrova nı Brno 2013 Petr Pupı k Obsah Obsah 2 Šifrovací algoritmy RSA a ElGamal 12 2.1 Algoritmus RSA.................................

Více

NÁVOD K POUŽITÍ dřevník SA023

NÁVOD K POUŽITÍ dřevník SA023 NÁVOD K POUŽITÍ dřevník SA023 Distributor: Steen QOS s.r.o., Bor 3, Karlovy Vary Distributor v SR: Sharks Slovakia s.r.o., Športová 198/61, Hozelec (CZ) PLASTOVÝ OBAL ODSTRAŇTE Z DOSAHU DĚTÍ, HROZÍ NEBEZPEČÍ

Více

Predikátová logika. prvního řádu

Predikátová logika. prvního řádu Predikátová logika prvního řádu 2 Predikát Predikát je n-ární relace - vyjadřuje vlastnosti objektů a vztahy mezi objekty - z jednoduchého výroku vznikne vypuštěním alespoň jednoho jména objektu (individua)

Více

Bezpečnostný kábel pre počítač

Bezpečnostný kábel pre počítač CZ Zámek ComboSaver Bezpečnostní kabel pro počítač NÁVOD K OBSLUZE SK Zámka ComboSaver Bezpečnostný kábel pre počítač NÁVOD NA OBSLUHU Jednoduchá kombinace pro uzamknutí. Žádné klíče, které můžete ztratit.

Více

Únik z kódu 31.5. - 4.6. 2013

Únik z kódu 31.5. - 4.6. 2013 Únik z kódu 31.5. - 4.6. 2013 Byl jsi vybrán do zvláštní skupiny, ve kterou naše rodina vkládá velkou důvěru. Zveme Tě na událost Sítko 2013, která se letos uskuteční tajně na protest proti Ministerstvu

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

Jednotka teplotního senzoru : 75 x 113 x 20 mm

Jednotka teplotního senzoru : 75 x 113 x 20 mm WS1815 Vlastnosti: Rádiem řízený čas s možností manuálního nastavení Měření barometrického tlaku -Předpověď počasí se stavy slunečno, mírně zataženo, zataženo, deštivo a protrhávání oblačnosti. -Sloupcový

Více

PRAVIDLA CZ PRAVIDLÁ sk

PRAVIDLA CZ PRAVIDLÁ sk PRAVIDLA CZ PRAVIDLÁ sk CZ Hra pro 2 3 hráče Délka hry: 15 min Herní materiál: 1 herní plán 15 pevných kartiček s úkoly 1 dřevěná figurka Krtečka 1 dřevěná kostka s barvami Krteček by si chtěl hrát, ale

Více

SPRCHOVÝ BOX COOL. Důležitá upozornění NÁVOD K INSTALACI A OBSLUZE. Vážení uživatelé!

SPRCHOVÝ BOX COOL. Důležitá upozornění NÁVOD K INSTALACI A OBSLUZE. Vážení uživatelé! SPRCHOVÝ BOX COOL NÁVOD K INSTALACI A OBSLUZE Vážení uživatelé! Blahopřejeme Vám k nákupu našeho sprchového boxu. Česká společnost ARTTEC s.r.o. dodává na trh zboží v cenách, do nichž není zahrnuta částka

Více