23.1 NÁBOJE A SÍLY: BLIŽŠÍ POHLED

Transkript

1 23 ElektrickÈ pole Voa se oh Ìv v mikrovlnnè troubï tak snano, ûe ji m ûeme zah t aû na teplotu o 8 C vööì, neû je norm lnì teplota varu, aniû b zaëala v Ìt. Jestliûe pak naspeme o ö lku vo k vov pr öek nebo kostk leu, nastane pruk var, jak je viït na fotografii, a voa se rozst ikuje na vöechn stran, takûe n s m ûe snano opa it. roë mikrovln oh ÌvajÌ vou?

2 594 KAITOLA 23 ELEKTRICKÉ OLE 23.1 NÁBOJE A SÍLY: BLIŽŠÍ OHLED Umístěme pevně v prostoru částici s klaným nábojem Q 1 a přibližme k ní ruhou částici s klaným nábojem Q 2. Z Coulombova zákona víme, že částice Q 1 působí na Q 2 opuivou elektrostatickou silou, a poku máme ostatek vstupních úajů, můžeme určit její velikost a směr. Zůstává však zásaní otázka: Jak ví náboj Q 1 o eistenci náboje Q 2? oku se náboje neotýkají, jak může Q 1 působit silou na Q 2? Tuto otázku o působení na álku můžeme zopověět tak, že náboj Q 1 vtváří kolem sebe v prostoru elektrické pole. V kažém boě prostoru lze pole popsat veličinou, která má velikost a směr. Její velikost závisí na velikosti Q 1 a na vzálenosti mezi Q 1 a boem, ve kterém pole působí; její směr závisí na směru o Q 1 k ana znaménku náboje Q 1. Umístíme-li náboj Q 2 o bou, pak Q 1 interaguje s Q 2 prostřenictvím pole v boě. Velikostí a směrem tohoto pole je určena velikost a směr síl působící na Q 2. Další problém vzniká teh, kž posuneme např. náboj Q 1 blíže k náboji Q 2. ole Coulombova zákona platí, že čím blíže je Q 1 ke Q 2, tím větší musí být opuivá síla, která na Q 2 působí. Tak tomu také je. Ale: změní se síla působící na Q 2 okamžitě? Neboli změní se při změně poloh Q 1 okamžitě elektrické pole ve všech (i ve vzálených) místech, např. tam, ke se nachází Q 2? Opově zní: nikoli. Informace o pohbu náboje Q 1 se šíří o Q 1 ve všech směrech jako elektromagnetická vlna rchlostí světla c. Změna elektrického pole v boě, ke je náboj Q 2, a tím také změna síl působící na Q 2, se projeví, až kž vlna oje o tohoto bou ELEKTRICKÉ OLE S některými příkla pole jsme se již ve fzice setkali. Vzuch v místnosti má v kažém místě jistou teplotu.umístíme-li teploměr kekoli nás to zajímá, můžeme ji změřit. Říkáme, že teplotu T v místnosti lze popsat teplotním polem T(r). Úplně stejně si můžeme přestavit tlakové pole p(r) v atmosféře; uává nám, jaký tlak je v kterémkoli konkrétním boě sleované oblasti. Toto bl va příkla skalárního pole, protože jak teplota, tak i tlak jsou skalární veličin. Z hleiska matematického popisu je te pole funkcí souřanic (polohového vektoru r) efinovanou v oblasti, která nás zajímá. (Může samozřejmě záviset i na alších proměnných, např. na čase t apo.) oobně zaváíme vektorové pole, jestliže uvažovaná veličina má vektorovou povahu. rouění kapalin jsme mohli popsat rchlostním polem v(r), uávajícím okamžitou rchlost v kapalin v místě r. Můžeme zavést silové pole F(r), uávajícísíluf, která bpůsobila na zkoumanou částici, kb se nacházela v místě r. A takto také popíšeme elektrické pole kolem nabitého tělesa, např. v boě na obr. 23.1a: o bou umístíme klaný náboj Q 0, nazývaný testovací náboj, a změříme elektrostatickou sílu F,kterána něj působí. F intenzita testovací elektrického pole náboj Q 0 v boě v boě nabité těleso Obr Klaný testovací náboj Q 0 umístěný o bou v blízkosti nabitého tělesa. Na testovací náboj působí elektrostatická síla F. Intenzita E elektrického pole v boě, které je buzeno nabitým tělesem. Elektrické pole popíšeme vektorovou veličinou E, kterou nazýváme intenzita elektrického pole nebo stručněji elektrická intenzita, která je efinována vztahem E E = F Q 0 (intenzita elektrického pole). (23.1) V boě má elektrická intenzita velikost E = F/Q 0 a její směr je án směrem síl F působící na klaný testovací náboj. Elektrickou intenzitu E zobrazujeme vektorem umístěným v boě (obr. 23.1). Abchom určili elektrické pole v nějaké oblasti, musíme provést poobné měření ve všech jejích boech. V soustavě SI je jenotkou elektrické intenzit newton na coulomb (N C 1 ); pozěji pro ni ovoíme i jiná, pro prai názornější vjáření. V tab jsou uveen velikosti intenzit v některých konkrétních přípaech. Zároveň se tu setkáváme s alším, užším významem fzikálního pole: zaveli jsme ho jako prostřeníka interakce mezi nabitými částicemi. Vzájemné působení nní můžeme schematick zapsat takto: náboj pole náboj. 1. rvní náboj buí ve svém okolí elektrické pole. 2. Elektrické pole se šíří prostorem. 3. Druhý náboj interaguje s polem (prvního náboje), ve kterém se nachází. Obr ilustruje elektrické pole zprostřekující interakci vou nábojů. Na obr. 23.2a buí náboj Q 1 ve svém

3 23.3 ELEKTRICKÉ SILOČÁRY 595 Tabulka 23.1 Některá elektrická pole VELIKOST INTENZITY ELEKTRICKÉ OLE (N C 1 ) Na povrchu jára uranu Uvnitř atomu voíku (Bohrův poloměr, úloha 56 z kap. 24) ři elektrickém průrazu ve vzuchu V blízkosti nabitého válce fotokopírovacího stroje 10 5 V blízkosti nabitého plastikového hřebenu 10 3 V olní vrstvě atmosfér 10 2 Uvnitř měěného voiče v elektrických obvoech v omácnosti 10 2 okolí elektrické pole (znázorněno vtečkováním).toto pole působí na náboj Q 2 silou F 2. Z hleiska Q 1 (obr. 23.2b) můžeme však stejně obře přepokláat, že pole buí náboj Q 2 ažesílaf 1 působící na Q 1 je výslekem jeho interakce s polem buzeným nábojem Q 2. Síl mají ovšem stejnou velikost a opačný směr (F 1 =F 2 ), i kž obě elektrická pole mohou být různě silná, poku se náboje o sebe liší velikostí. F 1 Q 1 Q 2 Q 1 Q 2 Obr Náboj Q 1 buí pole, které působí silou F 2 na náboj Q 2. Náboj Q 2 buí pole, které působí silou F 1 na náboj Q 1. Mají-li náboje různou velikost, výslená pole buou různá. Síl však mají vž stejnou velikost a opačný směr; tj. F 1 =F 2. Ačkoli pro určení elektrického pole nabitého tělesa používáme testovací náboj, pole samozřejmě eistuje nezávisle na něm. ole v boě na obr. 23.1b eistuje přetím i poté, co jsme o tohoto bou testovací náboj umístili. (řepoklááme, že testovací náboj je natolik malý, že jeho přítomnost neovlivní rozělení náboje na nabitém tělese F 2 a že se jeho vložením te nezmění to elektrické pole, které určujeme.) ro všetření úloh, jakou hraje elektrické pole při interakci nabitých těles, musíme vřešit va úkol: (1) Vpočítat intenzitu pole vtvářeného aným rozělením nábojů. (2) Vpočítat sílu, kterou ané pole působí na náboj umístěný o pole. rvnímu úkolu se bueme věnovat v čl až 23.7 pro několik konfigurací nábojů. Druhý úkol bueme řešit v čl a 23.9 pro boový náboj a vojici boových nábojů nacházejících se v elektrickém poli. Nejprve se ale bueme zabývat způsobem zobrazení elektrických polí ELEKTRICKÉ SILOČÁRY MichaelFaraa, který v 19. století zavelpojem elektrického pole, si přestavoval prostor kolem nabitého tělesa vplněný siločárami. Tto čár bueme je pro určitost nazývat elektrické siločár jsou mšlené orientované křivk, které názorně zobrazují elektrické pole. Vztah mezi siločárou a vektorem elektrické intenzit je násleující: (1) Kvalitativně: v kažém boě určuje směr tečn k siločáře směr vektoru E. (2) Kvantitativně: chceme-li vjářit nejen směr, ale i velikost elektrické intenzit, nakreslíme tolik siločár, ab jejich počet na jenotku ploch kolmé k siločárám bl úměrný velikosti E. V tom přípaě tam, ke jsou siločár blízko u sebe, je pole silné (velikost intenzit E je velká) a tam, ke jsou aleko o sebe, je pole slabé. Na obr. 23.3a je koule s rovnoměrně rozloženým záporným nábojem. Jestliže umístíme klaný testovací náboj kamkoli o blízkosti koule, bue na něj působit elektrostatická síla směřující o střeu koule (obr. 23.3a). Jinými slov, vektor elektrické intenzit směřuje v kažém boě v blízkosti koule raiálně o jejího střeu. Toto vektorové pole je zobrazeno na obr. 23.3b siločárami, které jsou orientován stejně jako síla a vektor intenzit. Navíc rozbíhání siločár se vzáleností o koule ukazuje,že velikost intenzit se vzáleností o koule klesá. Kb bla koule na obr rovnoměrně nabita klaným nábojem, vektor intenzit v kažém boě blízko koule b směřovalraiálně o koule. roto b se také elektrické siločár rozbíhal raiálně o koule. Z klaných nábojů siločár vcházejí (zroj, zřílo). V záporných nábojích siločár končí (nor, propa).

4 596 KAITOLA 23 ELEKTRICKÉ OLE F klaný testovací náboj elektrické siločár Obr Elektrostatická síla F působící na klaný testovací náboj v blízkosti koule s rovnoměrně rozloženým záporným nábojem. Vektor elektrické intenzit E v místě testovacího náboje a elektrické siločár v okolí koule. Siločár veou směrem k záporně nabité kouli. (Jejich počátek je v nekonečnu nebo ve vzálených klaných nábojích.) Je-li úhrnný náboj zkoumané soustav klaný, pak některé siločár z ní veou o nekonečna (poku ovšem nekončí na záporných nábojích mimo zkoumanou soustavu). Analogick, je-li úhrnný náboj zkoumané soustav záporný, pak některé siločár o ní veou z nekonečna (poku ovšem nevcházejí z klaných nábojů mimo zkoumanou soustavu). Na obr. 23.4a je část nekonečné nevoivé vrstv (nebo rovin),která je na jené straně rovnoměrně nabita klaným nábojem. Umístíme-li klaný testovací náboj o libovolného bou poblíž rovin, bue výslená elektrostatická síla na něj působící k rovině kolmá, protože složk síl ve směrech rovnoběžných s rovinou se navzájem zruší v ůsleku smetrie v rozložení náboje vzhleem k bou S. Výslená síla směřuje kolmo o rovin (obr. 23.4a); proto také intenzita v kažém boě prostoru na obou stranách rovin směřuje kolmo o ní (obr. 23.4b, c). rotože je náboj na rovině rozložen rovnoměrně, mají všechn vektor intenzit tutéž velikost. ole, jehož intenzita má v kažém boě nějaké oblasti stejný směr a velikost, nazýváme homogenní (E = konst.). Žáná reálná nevoivá vrstva samozřejmě není nekonečně velká. Uvažujeme-li však oblast blízko reálné rovin a ostatečně aleko o jejích krajů, jsou siločár pole uspořáán tak, jak je to zobrazeno na obr. 23.4b, c. Obr ukazuje siločár pole vou stejně velkých klaných nábojů, obr siločár vou nábojů stejné velikosti, ale opačného znaménka. Toto uspořáání nábojů se nazývá elektrický ipól. Ačkoli nepoužíváme siločár v kvantitativním významu často, jsou pro popis velmi výstižné. Můžeme téměř viět, jak se náboje na obr ostrkují a na obr k sobě přitahují. E S E F klaný testovací náboj Obr Elektrostatická síla F působící na klaný testovací náboj poblíž velmi velké, nevoivé rovin, která je na jené straně rovnoměrně nabita klaným nábojem. Vektor intenzit E v místě testovacího náboje a siločár elektrického pole v blízkosti rovin. Siločár směřují o klaně nabité rovin. (c) Boční pohle na situaci. E Obr Siločár pole vou stejně velkých klaných boových nábojů. Náboje se navzájem opuzují. Abchom viěli skutečný trojrozměrný moel elektrických siločár, je třeba v uchu otáčet zobrazeným moelem kolem os ležící v rovině stránk a procházející oběma náboji. Trojrozměrný moela elektrické pole, které reprezentuje, jsou rotačně smetrické kolem této os. V jenom boě pole je zobrazen vektor intenzit. Má směr tečn k siločáře procházející tímto boem. (c)

5 23.4 ELEKTRICKÉ OLE BODOVÉHO NÁBOJE 597 E Směr vektoru E je stejný jako směr síl působící na klaný testovací náboj: směřuje o boového náboje, je-li náboj Q klaný, a směrem k němu, je-li záporný. Elektrické pole v prostoru kolem boového náboje najeme tak,že v jenotlivých boech tohoto prostoru umís ujeme testovací náboj. Na obr jsou znázorněn vektor intenzit pole klaného boového náboje (nikoli siločár). Obr Siločár pole vou stejně velkých boových nábojů opačných znamének. Náboje se navzájem přitahují. Moelsiločár a elektrické pole, které reprezentuje, jsou rotačně smetrické kolem os procházející oběma náboji. V jenom boě je zobrazen vektor intenzit. Má směr tečn k siločáře procházející tímto boem. ŘÍKLAD 23.1 Jak se na obr mění velikost elektrické intenzit se vzáleností o střeu rovnoměrně nabité koule? ŘEŠENÍ: řepokláejme, že na kouli z obr končí N siločár. řestavme si soustřenou kouli o poloměru r obklopující nabitou kulovou plochu. očet siločár připaajících na jenotku této ploch je N/(4Ôr 2 ). rotože intenzita E je úměrná této honotě, můžeme psát E 1/r 2. Intenzita pole vtvářeného rovnoměrně nabitou koulí te také klesá se čtvercem vzálenosti o střeu koule ELEKTRICKÉ OLE BODOVÉHO NÁBOJE Hleáme-li intenzitu pole boového náboje Q (nabité částice zanebatelných rozměrů), vložíme o libovolného bou ve vzálenosti r o boového náboje klaný testovací náboj Q 0. ole Coulombova zákona (rov. (22.4)) je velikost elektrostatické síl působící na Q 0 rovna F = 1 Q Q 0 r 2. (23.2) Síla F směřuje o boového náboje, je-li náboj Q klaný, a směrem k němu, je-li záporný. Velikost elektrické intenzit je pole rov. (23.1) rovna Obr Vektor elektrické intenzit v několika boech kolem klaného boového náboje. Výslené pole způsobené několika boovými náboji můžeme najít pomocí principu superpozice. Jestliže umístíme klaný testovací náboj Q 0 o blízkosti n boových nábojů Q 1, Q 2,,Q n, pak pole rov. (22.7) je výslená síla F 0,kterou působí n boových nábojů na testovací náboj, rovna F 0 = F 01 F 02 F 0n. ole rov. (23.1) je te intenzita výsleného elektrického pole v místě testovacího náboje E = F 0 = F 01 F 02 F 0n = Q 0 Q 0 Q 0 Q 0 = E 1 E 2 E n, (23.4) ke E i je intenzita pole, které b buil osamocený boový náboj Q i. Rov. (23.4) je vjářením principusuperpozice pro intenzitu elektrického pole. KONTROLA 1: Na obrázku je znázorněn proton p a elektron e na ose. Jaký je směr intenzit elektrického pole buzeného elektronem v boě S, v boě R? Jaký je směr intenzit výsleného pole (c) v boě R, () v boě S? E = F Q 0 = 1 Q r 2 (boový náboj). (23.3) S e R p

6 598 KAITOLA 23 ELEKTRICKÉ OLE ŘÍKLAD 23.2 Na obr. 23.8a jsou tři částice s náboji Q 1 =2Q, Q 2 = =2Q, Q 3 =4Q, kažá ve vzálenosti o počátku. Jaká je intenzita výsleného elektrického pole v počátku souřanic? ŘEŠENÍ: Náboje Q 1,Q 2 a Q 3 buí pole o intenzitách E 1,E 2 a E 3. Hleáme vektorový součet E = E 1 E 2 E 3. Nejprve musíme nalézt velikost a směr všech tří vektorů intenzit. Velikost vektoru E 1, který je buzen nábojem Q 1,najeme z rov. (23.3) osazením za r a2q za Q : E 1 = 1 2Q 2. Q 1 E Q 3 Q 2 E 3 oobně najeme velikosti vektorů E 2 a E 3 : E 2 = 1 2Q 2 a E 3 = 1 4Q 2. Nní musíme zjistit, jaká bue orientace těchto tří vektorů v počátku souřanic. rotože Q 1 je klaný náboj, směřuje vektor intenzit směrem o něho. rotože náboje Q 2 a Q 3 jsou oba záporné, směřují vektor intenzit polí, která buí, směrem k nim. Vektor intenzit jsou znázorněn na obr. 23.8b. (očátk vektorů jsme umístili o bou, v němž máme určit výslené pole.) Intenzit nní obvklým postupem vektorově sečteme. Vjářením -ové a -ové složk kažého vektoru a jejich sečtením získáme výslenou -ovou a -ovou složku vektoru E. Jeho velikost najeme pomocí thagorov vět a pro určení směru E použijeme efinici tangent úhlu. ro zjenoušení výpočtu můžeme však také vužít smetrie úloh. Z obr. 23.8b plne, že E 1 a E 2 mají stejný směr. roto i jejich vektorový součet má tento směr a velikost bue E 1 E 2 = 1 2Q 2 1 2Q 2 = = 1 4Q 2, což je stejná velikost, jakou má E 3. Zbývá sečíst va vektor, a to E 3 a E 1 E 2, které mají stejnou velikost a jsou smetrické vzhleem k ose (obr. 23.8c). Z toho plne, že -ové složk těchto vou vektorů se navzájem ruší. rotože -ové složk obou vektorů jsou klané, má výslená intenzita E směr os a její velikost je E = 2E 3 = 2E 3 cos 30 = = 2 1 4Q 2 (0,866) = 1 6,93Q 2. (Opově ) E 1 E (c) E 1 E 2 Obr říkla Tři částice s náboji Q 1, Q 2, Q 3 se nacházejí ve stejné vzálenosti o počátku souřanic. Vektor intenzit E 1, E 2, E 3 polí buzených v počátku souřanic těmito třemi částicemi. (c) Vektor intenzit E 3 a vektorový součet E 1 E 2 v počátku souřanic. ŘÍKLAD 23.3 řepokláejme pro jenouchost, že járo atomu uranu je kulově smetrické a má poloměr R = 6, m. Za přepoklau, že klaný náboj jára je rozložen rovnoměrně, určete elektrickou intenzitu, kterou tento náboj buí v boě na povrchu jára. ŘEŠENÍ: Járo má klaný náboj Ze, ke atomové číslo Z = 92 uává počet protonů v jáře a e = 1, C je náboj protonu. Je-li náboj v jáře rozložen rovnoměrně, lze použít první slupkový teorém z kap. 22. Elektrostatická síla působící na klaný testovací náboj umístěný vně jára je stejná, jako b celý náboj jára bl soustřeěn v jeho střeu. Z rov. (23.1) plne, že také intenzita pole buzeného járem je stejná, jako b blvšechen jeho náboj soustřeěn v jeho střeu. ole rov. (23.3) je velikost intenzit E = 1 Ze R 2 = = (8, N m 2 C 2 )(92)(1, C) (6, m) 2 = = 2, N C 1. (Opově ) rotože náboj jára je klaný, směřuje vektor intenzit E směrem o střeu jára.

7 23.5 ELEKTRICKÉ OLE DIÓLU 599 KONTROLA 2: Obrázek znázorňuje čtři situace,v nichž jsou nabité částice ve stejné vzálenosti o počátku. Seřa te tto přípa sestupně pole velikosti intenzit výsleného elektrického pole v počátku souřanic. z E () E () 5Q 5Q r () z 2Q 3Q 3Q 2Q r () Q p 4Q 5Q (c) Q 4Q () 4Q Obr Elektrický ipól. Intenzit E () a E () v boě na ose ipólu jsou buzen náboji Q a. Vzálenost bou o jenotlivých nábojů, které tvoří ipól, je r () a r ().Dipólový moment ipólu p = Q směřuje o záporného náboje ke klanému ELEKTRICKÉ OLE DIÓLU Na obr. 23.9a jsou va náboje Q a.oloha náboje Q vůči je ána vektorem. Jak už blo uveeno v souvislosti s obr. 23.6, takové uspořáání se nazývá elektrický ipól. Určeme intenzitu pole ipólu v boě, který je ve vzálenosti z o střeu ipólu na ose ipólu (tj. na přímce procházející oběma náboji tvořícími ipól). Vektor intenzit E v boě a také intenzit E () a E () polí buzených jenotlivými náboji tvořícími ipól leží v ose ipólu; zvolíme ji za osu z. oužitím principu superpozice najeme velikost E intenzit v boě : E = E () E () = = 1 Q 1 = r 2 () Q r 2 () Q ( z 1 2 ) 2 Q ( z 1 2 ) 2. (23.5) o malých úpravách můžeme tuto rovnici přepsat o tvaru E = Q ( ( z 2 1 ) 2 ( 1 ) ) 2. (23.6) 2z 2z = Obvkle se zajímáme o elektrické působení ipólu ve vzálenostech, které jsou velké ve srovnání s jeho rozměr, tj. ve vzálenostech z. ro tak velké vzálenosti v rov. (23.6) platí /(2z) 1. Oba výraz v závorkách můžeme proto rozvinout pole binomické vět ( ( 1 2 ) ( 2z(1!) 1 2 )) 2z(1!). ro velikost intenzit te platí E = Q [( z 2 1 ) z (1 )] z. (23.7) Vnechané člen v obou rozvojích v rov. (23.7) obsahují /z ve všších mocninách. rotože /z 1, příspěvk těchto členů jsou stále menší a při aproimaci E ve velkých vzálenostech je můžeme zanebat. V naší aproimaci můžeme rov. (23.7) zapsat ve tvaru E = Q z 2 2 z = 1 2Ôε 0 Q z 3. (23.8) Součin Q uává velikost p vektorové veličin, kterou nazýváme elektrický ipólový moment p. Rov. (23.8)

8 600 KAITOLA 23 ELEKTRICKÉ OLE můžeme te psát ve tvaru E = 1 2Ôε 0 p z 3 (elektrický ipól). (23.9) Vektor p = Q pole efinice směřuje o záporného konce ipólu ke klanému (obr. 23.9b). Jak plne z rov. (23.9), měříme-li elektrické pole ipólu pouze ve vzálených boech, nemůžeme určit oěleně honot Q a, ale pouze honotu jejich součinu. ole ve vzálených boech se nezmění, jestliže se napříkla zvojnásobí Q a současně klesne na polovinu. Dipólový moment je te záklaní vlastností ipólu. Ačkoli rov. (23.9) platí pouze pro vzálené bo na ose ipólu,lze okázat,že velikost intenzit E pole ipólu klesá se vzáleností: E 1/r 3 pro všechn vzálené bo bez ohleu na to, leží-li na ose ipólu nebo ne; r ze označuje vzálenost mezi uvažovaným boem a střeem ipólu. Ze srovnání obr s průběhem siločár na obr je viět, že směr intenzit E pro vzálené bo na ose ipólu je vž stejný jako směr ipólového momentu p. Toplatí bez ohleu na to, kam jsme umístili bo na ose ipólu. Z rov. (23.9) plne, že zvojnásobíme-li vzálenost uvažovaného bou o ipólu,klesne intenzita pole osmkrát. Zvojnásobíme-li však vzálenost o boového náboje, zmenší se intenzita pole pouze čtřikrát (viz rov. (23.3)). Intenzita pole ipólu klesá te se vzáleností mnohem rchleji než intenzita pole náboje. Fzikálním ůvoem pro tento rchlý pokles je skutečnost, že ze vzálených boů se ipól jeví jako va stejně velké, ale opačné náboje, které téměř ale ne zcela splývají. roto se také jejich pole ve vzálených boech téměř i kž ne zcela ruší. ŘÍKLAD 23.4 Molekula voní pár buí ve svém okolí stejné elektrické pole jako ipól na obr Její ipólový moment má velikost p = 6, C m. Jaká je velikost intenzit pole ve vzálenosti z = 1,1 nm o molekul na její ipólové ose? (Tato vzálenost je ostatečně velká, abchom mohli použít rov. (23.9)). ŘEŠENÍ: Z rov. (23.9) plne E = 1 2Ôε 0 p z 3 = = (6, C m) 2Ô(8, C 2 N 1 m 2 )(1, m) 3 = = 8, N C 1. (Opově ) 23.6 ELEKTRICKÉ OLE NABITÉHO VLÁKNA Dosu jsme uvažovali pole vtvářené jením nebo nanejvýše několika boovými náboji. Nní uvažujme rozložení náboje, které je tvořeno velkým množstvím velmi těsně vele sebe umístěných boových nábojů, prostírajících se na vlákně, na ploše, nebo uvnitř nějakého objemu. Mluvíme o spojitém rozložení náboje. V tomto ostavci všetříme elektrické pole spojitě nabitého vlákna a ploch. S nabitým objemem jsme se již setkali v př. 23.3, ke jsme určili intenzitu pole vně rovnoměrně nabité koule. V kap. 24 vpočteme intenzitu i uvnitř takové koule. Kž se zabýváme spojitě rozloženým nábojem, popisujeme náboj na tělese pomocí hustot náboje. Jeto náboj, který připaá na jenotku élk (nabitého vlákna), nebo na jenotkovou plochu (nabité ploch), nebo na jenotku objemu (nabitého tělesa). V tab jsou uveen příslušné hustot nábojů s jejich označením a jenotkou v soustavě SI. Tabulka 23.2 Některé charakteristik popisující rozložení elektrického náboje NÁZEV ZNAČKA JEDNOTKA SI Náboj Q C Délková hustota náboje τ C m 1 lošná hustota náboje σ C m 2 Objemová hustota náboje ϱ C m 3 Na obr je tenký nevoivý prstenec o poloměru R s rovnoměrně rozloženým klaným nábojem o élkové hustotě τ. Jaká je intenzita E elektrického pole v boě,který je ve vzálenosti z o rovin prstence na jeho ose souměrnosti? Obr rstenec s rovnoměrně rozloženým klaným nábojem. Na element élk s připaá element náboje τ s, který buí v boě pole o intenzitě E. Složka E ve směru os prstence je E cos θ. r θ z E cosθ θ z E R s

9 23.6 ELEKTRICKÉ OLE NABITÉHO VLÁKNA 601 Abchom našli opově, nemůžeme přímo použít rov. (23.3), která uává intenzitu pole vtvářeného boovým nábojem: prstenec není bo. Můžeme ho však mšleně rozělit na infinitezimální element tak malé, že je můžeme považovat za boové, a pak pro kažý z nich použít rov. (23.3). Intenzitu, kterou v boě buí prstenec, ostaneme pole principu superpozice jako vektorový součet intenzit, které buí jenotlivé nábojové element. Nech s je élka elementu prstence. rotože τ je náboj připaající na jenotku élk, má element prstence infinitezimální náboj o velikosti Q = τ s (23.10) a ten vtváří v boě ve vzálenosti r pole o intenzitě E. Element považujeme za boový náboj a s užitím rov. (23.10) můžeme z rov. (23.3) vjářit velikost E E = 1 Q r 2 = 1 τ s r 2. (23.11) rotože r 2 = z 2 R 2, můžeme rov. (23.11) přepsat o tvaru E = 1 τ s (z 2 R 2 ). (23.12) Z obr plne, že E svírá s osou prstence (kterou jsme zvolili za osu z) úhel θ a má nenulovou složku jak ve směru kolmém k této ose, tak i rovnoběžném s ní. Kažý element náboje na prstenci vtváří v boě infinitezimální pole o intenzitě E, jejíž velikost je ána rov. (23.12). Všechn tto vektor E mají stejné z-ové složk. růmět kolmé k ose souměrnosti mají stejnou velikost, ale míří o různých směrů. Ke kažému z nich přitom eistuje ruhý, opačně orientovaný; takové vojice průmětů se spolu vruší. Výslená intenzita v boě proto leží v ose z a má velikost rovnou součtu z-ových složek intenzit E. ole obr má z-ová složka E velikost E cos θ. Dále osu plne, že cos θ = z r = Z rov. (23.13) a (23.12) ostáváme E cos θ = z (z 2 R 2. (23.13) ) 1/2 zτ (z 2 R 2 s. (23.14) ) 3/2 Velikost výslené intenzit získáme integrací rovnice (23.14) poélobvou prstence, tj. o s = 0os = = 2ÔR.rotožes je jeiná veličina v rov. (23.14), která se během integrace mění, můžeme ostatní veličin vtknout pře integrál. Integrace pak ává E = E cos θ = 1 = zτ 2ÔR (z 2 R 2 ) 3/2 s = 0 zτ(2ôr) (z 2 R 2. (23.15) ) 3/2 rotože τ je náboj připaající na jenotkovou élku prstence, je člen τ(2ôr) v rov. (23.15) roven celkovému náboji prstence Q. Rov. (23.15) můžeme te zapsat ve tvaru E = Qz (z 2 R 2 ) 3/2 (nabitý prstenec). (23.16) Je-li náboj na prstenci záporný, je velikost intenzit v boě také ána rov. (23.16), ale vektor E je orientován směrem k prstenci. Uvažujme nní rov. (23.16) pro bo na ose z, který je tak aleko o prstence, že z R. ro takový bo můžeme výraz z 2 R 2 v rov. (23.16) nahrait výrazem z 2 ; rov. (23.16) přeje o tvaru E = 1 Q z 2 (nabitý prstenec ve velké vzálenosti). (23.17) To je pochopitelný výsleek, protože z velké vzálenosti se prstenec jeví jako boový náboj. Dosaíme-li v rov. (23.17) r za z, ostaneme skutečně rov. (23.3) pro intenzitu elektrického pole boového náboje. Uvažujme ále rov. (23.16) pro bo ve střeu prstence, tj. pro z = 0. V tomto boě vchází E = 0. To je opět pochopitelný výsleek,protože kž umístíme testovací náboj o střeu prstence, nebue na něj působit žáná výslená síla: síla, kterou působí libovolný element prstence, se bue rušit se silou, kterou působí element k němu protilehlý. To znamená, že je nulová také intenzita elektrického pole. ŘÍKLAD 23.5 Na obr a je ebonitová tč rovnoměrně nabitá nábojem. Tč je ohnuta o oblouku o střeovém úhlu 120 a poloměru r. Zvolme souřanicový sstém tak, že osa splývá s osou oblouku a počátek je v jeho střeu křivosti. Vjářete pomocí Q a r intenzitu E elektrického pole vtvořeného tčí v boě. ŘEŠENÍ: Uvažujme infinitezimální element tče o élce s, který je na osou a jehož průvoič svírá s osou úhel θ (obr b). Nech τ je élková hustota náboje na tči. ak element s má infinitezimální náboj o velikosti Q = τ s. (23.18)

10 602 KAITOLA 23 ELEKTRICKÉ OLE Ten vtváří v boě, který je ve vzálenosti r o elementu, pole o infinitezimální intenzitě E. ovažujeme-lielementza boový náboj, můžeme pomocí rov. (23.3) vjářit velikost E vztahem E = 1 Q r 2 = 1 τ s r 2. (23.19) rotože náboj Q je záporný, směřuje E ks ebonitová tč s nábojem r Rov. (23.20) má vě proměnné, θ a s. T však nejsou nezávislé. Element s vjáříme vztahem s = r θ, ke θ je úhel, příslušný oblouku s (obr c). Nní můžeme integrovat rov. (23.20) přes střeový úhelo θ =60 o θ = 60. ro intenzitu pole, které v boě buí celá tč, ostaneme 60 τ E = E = r cos θ θ = r2 = 1 τ r cos θ θ = 1 τ 60 r [ sin θ ] = = 1 τ r [sin 60 sin(60 )] = = 1,73τ r. (23.21) E E θ θ E E s θ r s Určíme ještě τ. Tči opovíá střeový úhel120, tj. tč tvoří třetinu celé kružnice. Její élka je te 2Ôr/3 a élková hustota náboje τ = náboj élka = Q 2Ôr/3 = 0,477Q. r Dosazením o rov. (23.21) a úpravou ostáváme E = 1,73(0,477Q) r 2 = 0,83Q r 2. (Opově ) smetrický element s Obr říkla Ebonitová tč s nábojem tvoří oblouk o poloměru r se střeovým úhlem 120 ; bo je střeem křivosti oblouku. Infinitezimální element s v horní části tče, jehož průvoič svírá s osou úhel θ, buí v boě elektrické pole E. Element s, smetrický k s pole os, buí v boě pole E, které má stejnou velikost. (c) Oblouku élk s opovíá úhelθ. Ke kažému elementu s eistuje smetrick umístěný element s (zrcalový obraz) na sponí polovině tče. Intenzita E, kterou buí v boě element s, má velikost rovněž anou rov. (23.19), přičemž vektor intenzit směřuje směrem k s (obr b). Je zřejmé, že -ové složk vektorů E ae jsou stejně velké, ale mají opačná znaménka; jejich součet je proto nulový. Dále viíme, že jejich -ové složk jsou stejné. Abchom našli intenzitu pole buzeného tčí, stačí sečíst (integrovat) pouze -ové složk infinitezimálních intenzit buzených všemi element tče. Z obr b a rov. (23.19) ostáváme pro velikost -ové složk E buzené elementem s E = E cos θ = 1 τ cos θ s. (23.20) r2 (c) Vektor E směřuje k tči, poélos smetrie rozložení náboje. RADY A NÁMĚTY Bo 23.1: Výpočet pole nabitého vlákna oáme obecný návo, jak určit intenzitu pole, které v boě buí rovnoměrně nabité vlákno, bu přímé, nebo ve tvaru oblouku. Zvolíme element náboje Q, najeme intenzitu E buzenou tímto elementem a E integrujeme přes celé nabité vlákno. 1. Má-li nabité vlákno tvar oblouku, je s élka elementárního oblouku. Je-li přímé, zvolíme v jeho směru osu a pak je élka elementu. Délkový element si označíme na náčrtku. 2. Vjáříme element náboje Q zvoleného élkového elementu bu jako Q = τ s, neboq = τ. 3. Vjáříme intenzitu E pole buzeného v boě nábojem Q z rov. (23.3), ke Q je rovno τ s (nebo τ ). Je-li náboj vlákna klaný, zakreslíme v boě vektor E, který směřuje o elementu Q. Je-li náboj záporný, zakreslíme vektor směřující k Q. 4. Vž hleáme, za je v rozložení nábojů smetrie. Jestliže bo leží na ose smetrie, rozložíme vektor intenzit E

11 23.7 ELEKTRICKÉ OLE NABITÉHO DISKU 603 o vou směrů, z nichž jeen je k ose smetrie kolmý a ruhý je s ní rovnoběžný. ak zaveeme element Q smetrický s Q. V boě zakreslíme vektor E pole, které je buzeno elementem Q,arozložímehoo výše uveených směrů. Jena ze složek buzená Q se ruší s opovíající složkou buzenou Q anemusímeji ále uvažovat. Složk ve směru kolmém se však sčítají. Integrováním sečteme tto složk o všech elementů. 5. Eistují čtři tp rovnoměrného rozělení náboje, ke můžeme zjenoušit integrálpole kroku 4. Kažý tp můžeme ještě zobecnit tím, že část vlákna bue nabita klaně a část záporně. rstenec, leží-li bo na jeho ose (obr ): Ve výrazu pro E osaíme r 2 = z 2 R 2 jako v rov. (23.12). Vjáříme sčítanou složku E pomocí θ. Tím se zavee cos θ, aleθ je pro všechn element stejné a není te proměnnou. Vjáříme cos θ z rov. (23.13). Integrujeme přes s poélobvou kružnice. Oblouk kružnice, leží-li bo v jejím střeu (obr ): Vjáříme sčítanou složku E pomocí θ. Tím se zavee bu sin θ,nebo cosθ. Zreukujeme výslené vě proměnné s a θ na jenu (θ) nahrazením s = r θ. Integrujeme přes θ jako v př o jenoho konce oblouku ke ruhému. Jestliže neleží na ose (obr c), sestavíme integrál pro součet složek E a integrujeme přes, abchom našli E. Sestavíme také integrálpro součet složek E aintegrujeme opět přes,abchom našli E.Obvklým způsobem najeme ze složek E a E velikost E asměre. 6. Má-li být výsleek vjářen pomocí celkového náboje Q, nahraíme τ = Q/s, ke s je élka vlákna (např. pro prstenec je s rovno obvou prstence). KONTROLA 3: Na obrázku jsou tři nevoivé tče, jena ohnutá o oblouku a vě přímé. Na obou polovinách kažé z nich je rovnoměrně rozložen uveený náboj. Určete pro kažou tč směr intenzit výsleného pole v boě. Q Q Q Q (c) 23.7 ELEKTRICKÉ OLE NABITÉHO DISKU Na obr je kruhový ebonitový isk o poloměru R, který má na svém horním povrchu rovnoměrně rozložený klaný náboj o plošné hustotě σ (tab. 23.2). Jaká je elektrická intenzita v boě, který je ve vzálenosti z o rovin isku na jeho ose souměrnosti? (c) Obr Bo leží v proloužení nabitého vlákna. Bo leží v rovině smetrie vlákna ve vzálenosti. (c) Totéž jako, ale neleží v rovině smetrie. E římé vlákno, leží-li bo v proloužení vlákna jako na obr a: Ve výrazu pro E nahraíme r =. Integrujeme přes o jenoho konce vlákna ke ruhému. římé vlákno, leží-li bo ve vzálenosti jako na obr b: Ve výrazu pro E nahraíme r výrazem obsahujícím a. Je-li na ose vlákna, najeme výraz pro sčítanou složku E. Tím se zavee bu sin θ, nebocosθ. Zreukujeme výslené vě proměnné a θ na jenu () nahrazením goniometrické funkce výrazem obsahujícím a. Integrujeme přes o jenoho konce vlákna k ruhému. Obr Disk o poloměru R rovnoměrně nabitý klaným nábojem. Vznačený prstenec má poloměr r a raiální šířku r. V boě na ose souměrnosti buí prstenec infinitezimální intenzitu E. r r z R

12 604 KAITOLA 23 ELEKTRICKÉ OLE Rozělíme isk na soustřené prstence a spočítáme intenzitu v boě sečtením (tj. integrací) všech ílčích příspěvků. Na obr je jeen takový prstenec o poloměru r a šířce r.rotožeσ je náboj připaající na jenotku ploch, je náboj na prstenci roven Q = σ S = σ(2ôr r), (23.22) ke S je element ploch prstence. Nní můžeme najít velikost E integrací přes celý povrch isku, tj. integrací pole proměnné r o r = 0o r = R, přičemž z zůstává během integrace konstantní. Dostáváme E = E = σz 4ε 0 R 0 (z 2 r 2 ) 3/2 (2r)r. (23.23) Integrálpřeveeme na tvar X m X substitucí X = (z 2 r 2 ), m = 3 2 ax = (2r)r. ro upravený integrál máme X m X = Xm1 m 1 a z rov. (23.23) ostáváme [ E = σz (z 2 r 2 ) 1/2 4ε ] R 0. o osazení mezí a úpravě ostáváme pro velikost intenzit pole buzeného plochým kruhovým nabitým iskem v boě na jeho ose E = σ 2ε 0 ( 1 ) z z 2 R 2 (nabitý isk). (23.24) Směr intenzit E je kolmý k isku. ro R a z konečné se v rov. (23.24) ruhý člen v závorce blíží k nule a rovnice se reukuje na tvar E = σ 2ε 0 (nekonečná vrstva). (23.25) Je-li elektrická intenzita v okolí nabitého tělesa ostatečně velká, oje k elektrickému průrazu okolního vzuchu: molekul vzuchu jsou ionizován (z molekul se uvolní elektron) a vznikají přechoné voivé ráh. Elektrické jiskr, které ze viíte, tto ráh ukazují. ole, které buí nabitý prstenec, jsme už počítali. Do rov. (23.16) za Q osaíme Q z rov. (23.22) a za R proměnnou r. Tím získáme výraz pro velikost intenzit E, kterou v boě buí zvolený prstenec: neboli E = zσ 2Ôr r (z 2 r 2 ) 3/2 E = σz 2r r 4ε 0 (z 2 r 2 ) 3/2. To je intenzita pole buzeného nekonečnou vrstvou náboje rovnoměrně rozloženého na jené straně nevoiče. Siločár v takové situaci jsou zobrazen na obr Rov. (23.25) ostaneme i v přípaě, že z 0aR zůstává konečné. To znamená, že v boech velmi blízko isku je intenzita stejná, jako kb blisk nekonečný. ŘÍKLAD 23.6 Disk na obr je na svém horním povrchu nabit nábojem s plošnou hustotou σ =5,3 ÑC m 2. (To opovíá situaci na fotosenzitivním válci kopírovacího stroje.) Jaká je elektrická intenzita u povrchu isku? ŘEŠENÍ: Směr E je kolmý k isku a velikost E plne z rov. (23.25): E = σ (5, C m 2 ) = 2ε 0 2(8, C 2 N1 m2 ) = = 3, N C 1. (Opově )

13 23.8 BODOVÝ NÁBOJ V ELEKTRICKÉM OLI 605 Tato honota platí pro všechn bo, které jsou blízko povrchu isku, a přitom ostatečně aleko o jeho okraje. Je-li intenzita pole v látce ostatečně velká, oje k elektrickému průrazu, při kterém v materiálu náhle vznikají voivé cest. Ve vzuchu k němu za atmosférického tlaku ochází, jestliže intenzita přesáhne honotu N C 1.ři průrazu probíhají elektron jenou či více voivými ráhami a vtvářejí elektrické jiskr. rotože vpočítaná intenzita v tomto příklau je pouze N C 1, k jiskření ještě neoje. Užitím binomické vět najěte elektrickou intenzitu v boě na ose isku ve velké vzálenosti o něj. ŘEŠENÍ: Slova ve velké vzálenosti o isku znamenají, že vzálenost z je mnohem větší než rozměr isku. To nám umožní použít binomickou větu pro aproimaci omocnin vstupující v rov. (23.24). Binomická věta má tvar (oatek E) (1 ) n = 1 n 1! ke < 1. Omocninu vjáříme ve tvaru z z 2 R 2 = n(n 1) 2, (23.26) 2! z = z 1 R2 z 2 (1 R2 z 2 ) 1/2, který je vhoný pro užití binomické vět s = R 2 /z 2 a n = = 1 2.rotožez je mnohem větší než R, jetaké < 1. ole rov. (23.26) můžeme rozvinout (1 R2 ) 1/2 1 = 1 2 R 2 z 2 1! z ( 1 2 1) R 4 2! z 4. Násleující člen na pravé straně jsou stále menší. ožaovaný výsleek můžeme ostatečně přesně aproimovat zanebáním členů menších než R 2 /z 2, což ává z. R 2 = 1 z 2 R 2 2z 2. Dosazením tohoto výrazu o rov. (23.24) ostáváme E = σ ( 1 (1 R2 )) 2ε 0 2z 2 = = σ R 2 4ε 0 z 2. (Opově ) Tento výraz můžeme vjářit pomocí náboje Q rozloženého na povrchu isku, nebo σ = Q/S, ke S = ÔR 2.Jete E = σ R 2 4ε 0 z 2 = Q R 2 R 2 z 2 = = 1 Q. (Opově ) (23.27) z2 V boech na ose isku, pro které je z R, je pole rov. (23.27) pole buzené nábojem Q na povrchu isku stejné jako pole buzené boovou částicí se stejným nábojem Q BODOVÝ NÁBOJ V ELEKTRICKÉM OLI V přecházejících čtřech článcích jsme se zabývali prvním z našich vou úkolů: nalézt pro ané rozělení náboje elektrické pole, které je nábojem buzeno v okolním prostoru. Nní se bueme zabývat ruhým úkolem: co se stane s nabitou částicí, která se nachází v elektrickém poli, buzeném jinými statickými nebo pomalu se pohbujícími náboji. Na takovou částici působí elektrostatická síla vjářená vztahem F = QE, (23.28) ke Q je náboj částice (zahrnující i znaménko) a E je intenzita pole, které v místě, ke se částice nachází, buí ostatní náboje. (Toto pole nazýváme něk vnějším polem, abchom zůraznili, že nezahrnuje vlastní pole částice. Nabitá částice není ovlivněna svým vlastním elektrickým polem.) Z rov. (23.28) je viět, že platí: Na nabitou částici působí ve vnějším elektrickém poli E elektrostatická síla F.MásměrE, jestliže je náboj Q částice klaný, a opačný směr, jestliže je náboj Q záporný. KONTROLA 4: Určete na obrázku, jaký je směr elektrostatické síl, kterou na elektron působí znázorněné elektrické pole. Ve kterém směru je elektron urchlován, jestliže se pře vstupem o elektrického pole pohbuje rovnoběžně s osou? (c)jestližesenapočátku pohbuje ve směru os, bue velikost jeho rchlosti vzrůstat, klesat, nebo zůstane stejná? e Měření elementárního náboje Rov. (23.28) se uplatní při měření velikosti náboje elektronu, tj. elementárního náboje e, které prováělamerický fzik Robert A. Millikan v letech Na obr je zobrazeno jeho zařízení. Vstřikujeme-li robné olejové kapk o komor A, některé z nich se při srážkách s iont vzuchu nabijí klaně, jiné záporně. Uvažujme kapku o poloměru r a hmotnosti m, která paá olů malým otvorem v esce 1 o komor C. řepokláejme, že kapka má záporný náboj 1. omalu se pohbující kapku brzí síla oporu prostřeí o velikosti E

14 606 KAITOLA 23 ELEKTRICKÉ OLE se zastaví a kapka začne stoupat. Její mezní rchlost v1 je určena pomínkou rovnováh sil rozprášený olej Q1 E mg = 6pηrv1. A 1 S B izolační stěna komor kapka oleje C mikroskop 2 Obr Millikanovo zařízení pro měření elementárního náboje e. Jestliže nabitá olejová kapka prochází otvorem v esce 1 o komor C, můžeme její pohb říit zapínáním a vpínáním spínače S, te vtvářením nebo rušením elektrického pole v komoře C. Kapku pozorujeme mikroskopem a z ob průchou mezi věma voorovnými vlákn v ohniskové rovině okuláru měříme její rchlost. F = 6pηrv (Stokesův vzorec), ke η je namická viskozita vzuchu. roto kapka záh osáhne mezní rchlosti, kterou určíme z rovnováh sil. Je-li spínač S na obr vpnut, není v komoře C žáné elektrické pole, a pomínka rovnováh sil ává* mg = 6pηrv0. Mezní rchlost v0 se určí z ob průchou mezi věma voorovnými vlákn v ohniskové rovině okuláru mikroskopu, kterým pozorujeme kapku. Zapneme-li spínač S, spojíme komoru C s klaným pólem baterie a ta nabije voivou esku 1 klaně a esku 2 záporně. Nabité esk buí v komoře C elektrické pole, jehož intenzita E směřuje olů. ole rov. (23.28) působí toto pole elektrostatickou silou na kažou nabitou kapku, která se nachází v komoře, a ovlivňuje její pohb. á kapk * Vztlakovou sílu působící na kapku pro jenouchost neuvažujeme. Změní-li se náboj kapk (srážkou s jiným iontem vzuchu) na 2, změní se mezní rchlost jejího stoupání na v2 : Q2 E mg = 6pηrv2. Z těchto tří vztahů ostaneme 4Q = Q2 Q1 = mg (v2 v1 ). Ev0 otom konenzátor vbijeme a znovu změříme rchlost v0. Jenu kapku tak mnohokrát proměříme a z kažé náhlé změn její rchlosti vpočteme pole výše uveené rovnice změnu jejího náboje. Mnohonásobným proměřením kapek Millikan zjistil, že rozíl 4Q bl vž celistvými násobk jistého náboje e, te 4Q = ne, n = 0, ±1, ±2, ±3,. (23.29). Honota e = 1, C patří mezi záklaní fzikální konstant a nazývá se elementární náboj. Millikanův pokus bl ůkazem toho, že elektrický náboj je kvantován, a Millikan získal v roce 1923 Nobelovu cenu za fziku částečně i za tuto práci. Nní okážeme měřit elementární náboj mnohem přesněji, a to nepřímo, výpočtem z veličin, které jsou snaněji a přesněji měřitelné. Inkoustová tiskárna otřeba vsoce kvalitního a rchlého tisku si vžáala hleání alternativ k otkovému tisku, který se uplatňuje V elektrostatickém olučovači působí elektrostatické pole na nabité částice popílku. opílek je zachcen v komíně a neznečistí atmosféru. Olučovač je v provozu na levé, ale nikoli na pravé fotografii.

15 23.8 BODOVÝ NÁBOJ V ELEKTRICKÉM OLI 607 např. v mechanickém psacím stroji. Jenou alternativou je tisk nastřikováním robných inkoustových kapek. Na obr se záporně nabitá kapka pohbuje mezi věma nabitými vchlovacími eskami, mezi kterými je homogenní elektrické pole o intenzitě E směřující svisle olů. V soulau s rov. (23.28) se kapka vchluje vzhůru a pak opaá na papír v místě, které je závislé na velikosti intenzit E a náboje Q. V prai se postupuje tak, že E je konstantní a polohu kapk na papíře ovlááme nábojem Q, jenž kapka získá v nabíjecí jenotce, kterou prochází, než vletí o vchlovacího sstému. Nabíjecí jenotka je řízena elektronickými signál, v nichž je zakóováno to, co má být vtištěno. vstupní signál papír rotože kapka je nabitá záporně, plne z rov. (23.28), že E a F mají opačný směr: F =3eE. Vektor E musí te směřovat svisle olů. ŘÍKLAD 23.8 Na obr jsou vchlovací esk inkoustové tiskárn se zaveenými souřanicovými osami. Kapka inkoustu o hmotnosti m = 1, kg a se záporným nábojem o velikosti Q = 1, C je vstříknuta o prostoru mezi eskami ve směru os rchlostí v = 18 m s 1.Délka esek je 1,6 cm. Desk jsou nabit a buí te mezi sebou elektrické pole. řepokláejme, že pole je homogenní, se svisle olů orientovanou intenzitou E o velikosti 1, N C 1.Jakáje svislá ochlka kapk o půvoního směru na úrovni konce esek? (Tíhová síla působící na kapku je malá vzhleem k elektrostatické síle a můžeme ji zanebat.) E m, generátor kapek nabíjecí jenotka vchlovací esk 0 E = Obr Záklaní princip inkoustové tiskárn. Vstupním signálem z počítače určujeme náboj přeávaný kažé kapce a tím polohu na papíře, kam kapka opane. K vtvoření jenoho znaku je potřeba asi 100 robných kapek. ŘÍKLAD 23.7 V Millikanově zařízení na obr má kapka oleje o poloměru R = 2,76 Ñm přebtečný náboj tří elektronů. Jaká je velikost a směr intenzit, která způsobí, že kapka zůstává v zařízení v kliu? Hustota ϱ oleje je 920 kg m 3 (vztlak vzuchu je malý vzhleem k tíhové síle mg a můžeme jej zanebat). ŘEŠENÍ: Ab bla kapka v rovnováze, musí elektrostatická síla působící na kapku směřovat vzhůru a mít velikost mg. Z rov. (23.28) a (23.29) plne velikost elektrostatické síl F = (3e)E. Hmotnost kapk vjáříme jako součin jejího objemu a hustot. Rovnováha silpak ává Otu E = 4ÔR3 ϱg 9e = 4 3 ÔR3 ϱg = (3e)E. = 4Ô(2, m) 3 (920 kg m 3 )(9,8m s 2 ) 9(1, C) = 1, N C 1. (Opově ) = Obr říkla Kapka inkoustu o hmotnosti m se záporným nábojem je vchlována elektrickým polem inkoustové tiskárn. ŘEŠENÍ: rotože kapka je nabita záporně a elektrické pole směřuje směrem olů, působí pole rov. (23.28) na kapku směremvzhůru elektrostatická síla o velikosti QE a kapka je urchlována vzhůru s konstantním zrchlením a. oužitím ruhého Newtonova zákona získáme a = F m = QE m. (23.30) Nech t je oba, kterou potřebuje kapka k tomu, ab prošla oblastí mezi eskami. Za obu t mají svislá a voorovná souřanice kapk honotu = 1 2 a t 2 a = v t, (23.31) nebo ve směru os nepůsobí žáná síla a kapka se te pohbuje ve voorovném směru konstantní rchlostí v.vloučením t a osazením z rov. (23.30) za a získáme = QE2 2mv 2 = = (1, C)(1, N C 1 )(1, m) 2 2(1, kg)(18 m s 1 ) 2 = = 6, m = 0,64 mm. (Opově )

16 608 KAITOLA 23 ELEKTRICKÉ OLE 23.9 DIÓL V ELEKTRICKÉM OLI Dipólový moment p elektrického ipólu jsme efinovali jako vektor, který směřuje o záporného pólu ke klanému. Uviíme, že pro popis chování ipólu ve vnějším homogenním elektrickém poli stačí znát vektor p. Jak už blo uveeno v př. 23.4, tvoří molekula vo (H 2 O) elektrický ipól. Obr ukazuje, proč je tomu tak.černé bo označují járo kslíku (mající osm protonů) a vě jára voíku (z nichž kažé má jeen proton).barevné ploch přestavují oblasti, v nichž se vsktují elektron obíhající járo. voík klaná strana p 105 kslík voík F M p θ p T θ E Q Obr Dipól v homogenním elektrickém poli o intenzitě E. Dva stejně velké, ale opačné náboje jsou ve vzálenosti. Těžiště T soustav je uprostře mezi nimi. Tč mezi náboji přestavuje jejich tuhé spojení. ole o intenzitě E působí na ipólmomentem síl M. Vektor M směřuje kolmo o nás, což je znázorněno smbolem. E F záporná strana Obr Molekula H 2 O: jsou zobrazena tři jára (reprezentována černými bo) a oblasti, v nichž se pohbují elektron. Dipólový moment p směřuje o (záporné) kslíkové části molekul ke (klané) voíkové části. Atom voíku a atom kslíku neleží v molekule vo v jené přímce, ale svírají úhel 105 (obr ). V ůsleku toho má molekula kslíkovou část a voíkovou část. Navíc všech eset elektronů molekul se pohbuje v blízkosti kslíkového jára. roto je kslíková část molekul o něco negativnější než voíková část, a tak se vtváří elektrický ipólový moment p. Je-li molekula vo umístěna o vnějšího elektrického pole, chová se stejně jako ipólna obr Sleujme, jak se chová ipól ve vnějším homogenním poli o intenzitě E (obr a). řepokláejme, že se ipól skláá ze vou opačných nábojů o stejné velikosti Q ve vzálenosti, je tuhý vzhleem k působení vnějších elektrostatických sil, ale může se otáčet. Dipólový moment p svírá s vektorem intenzit E úhel θ. Na nabité konce ipólu působí elektrostatické síl F a F. ůsobí v opačném směru a mají stejnou velikost F = QE, takže tvoří silovou vojici. Výslenice sil, kterými působí pole na ipól, je te nulová. Tto síl však působí na ipól momentem síl. Z rov. (11.30) při r = /2 plne M = F 2 sin θ F sin θ = Fsin θ. (23.32) 2 Moment síl můžeme také vjářit pomocí velikosti intenzit E a ipólového momentu p = Q: ro vektor M platí M = pe sin θ. (23.33) M = p E (moment síl působící na ipól). (23.34) Vektor p a E jsou zobrazen na obr b. Moment síl působící na ipólse snaží otočit p o směru E, tj. zmenšit úhel θ. Na obr je tato rotace ve směru otáčení hoinových ručiček. Tomu opovíá pole kap. 11 orientace M proti směru os z. latí te M = M = 0, M z =pe sin θ. (23.35) otenciální energie ipólu otenciální energie ipólu závisí na jeho orientaci v elektrickém poli. Jeho energie je nejmenší, je-li ve své stabilní rovnovážné poloze, tj. jestliže moment p má stejný směr a orientaci jako intenzita E (pak M = p E = 0). ři všech ostatních orientacích je potenciální energie ipólu větší. Dipólje te poobný kvalu, které má nejmenší gravitační potenciální energii ve své rovnovážné poloze v nejnižším boě. ro otočení kvala nebo ipólu o libovolné jiné poloh je potřeba práce vnějších sil. Konfiguraci opovíající nulové potenciální energii můžeme vž zvolit zcela libovolně, protože fzikální význam má pouze rozíl jejích honot. Ukazuje se, že výraz

17 23.9 DIÓL V ELEKTRICKÉM OLI 609 pro potenciální energii ipólu ve vnějším elektrickém poli je nejjenoušší, jestliže zvolíme nulovou honotu potenciální energie pro úhel θ = 90 (obr ). otenciální energii E p ipólu pro libovolnou honotu θ pak určíme pole rov. (8.1) ( E p =W ) tak, že vpočteme práci, kterou pole vkoná při otočení ipólu z poloh θ = 90 o poloh θ = θ. Z rov. (11.44) (W = M θ) a rov. (23.35) ostaneme: θ E p =W = M θ = 90 Otu plne = θ Ve vektorovém tvaru můžeme zapsat 90 pe sin θ θ. (23.36) E p =pe cos θ. (23.37) E p =p E (potenciální energie ipólu). (23.38) Z rov. (23.37) a (23.38) plne, že potenciální energie ipólu je nejmenší (E p =pe) proθ = 0, tj. kž p a E mají tentýž směr a orientaci; ipólje ve stabilní rovnováze. A naopak, potenciální energie je největší (E p = pe) pro θ = 180, tj. kž p a E mají opačnou orientaci; ipólje přitom v rovnováze labilní. KONTROLA 5: Na obrázku jsou čtři různé poloh ipólu ve vnějším elektrickém poli. Seřa te je sestupně pole velikosti momentu sil působícího na ipól, pole potenciální energie ipólu. (1) (2) θ θ (3) (4) Mikrovlnné vaření Ve voě, v níž se molekul mohou relativně volně pohbovat, ovlivňuje elektrické pole buzené kažým molekulárním ipólem jiné ipól v jeho okolí. V ůsleku toho se molekul mohou vázat o skupin po vou nebo po třech, protože záporný (kslíkový) konec jenoho ipólu a klaný (voíkový) konec jiného ipólu se navzájem přitahují. ři vtváření takových skupin se elektrická potenciální energie ipólů přeměňuje na kinetickou energii chaotického pohbu skupin i jejich okolních molekul. Současně se skupin rozbíjejí srážkami mezi molekulami a přenos energie θ θ E probíhá také opačně (energie chaotického pohbu se mění v potenciální elektrickou energii molekulárních ipólů). Teplota vo (která souvisí se stření kinetickou energií molekul) se tuíž nemění, protože v průměru je výslený přenos energie nulový. V mikrovlnné troubě, v níž jsou generován mikrovln, je však situace jiná. Elektrické pole mikrovln rchle osciluje. Je-li v troubě voa, toto oscilující pole působí na molekul vo časově proměnným momentem síl, který otáčí molekulami tam a zpět ve snaze natočit jejich ipólový moment souhlasně se směrem vektoru intenzit pole. Molekul, které jsou vázán ve skupinách po vou, se mohou otáčet kolem os ané vazbou mezi nimi a zůstávají spojené, ale ve skupině tří spojených molekul se alespoň jena ze vou vazeb musí porušit (obr ). vazba porušená při rotaci rotace způsobená momentem síl Obr Skupina tří molekul vo. Moment síl způsobený oscilujícím elektrickým polem v mikrovlnné troubě rozbije jenu z vazeb mezi molekulami a tím celou skupinu. Energii potřebnou k rozbití těchto vazeb oává elektrické pole mikrovln. Molekul, které se oštěpí ze skupin, mohou vtvářet nové skupin a přenášet tak potenciální elektrickou energii, kterou právě získal, o kinetické energie chaotického pohbu. Tuto energii voa získává při vtváření skupin, ale neztrácí ji, kž jsou skupin rozbíjen (působením elektrického pole mikrovln), a proto teplota vo stoupá. otravin te mohou být uvařen v mikrovlnné troubě ík ohřívání vo, kterou obsahují. Kb molekula vo netvořila elektrický ipól, mikrovlnná trouba b nemohla pracovat. Frekvence mikrovln (2,45 GHz) opovíá rezonanční frekvenci molekul vo.

18 610 KAITOLA 23 ELEKTRICKÉ OLE ŘÍKLAD 23.9 Neutrální molekula vo má ve svém plnném stavu elektrický ipólový moment 6, C m. Jaká je vzálenost střeů klaného a záporného náboje v molekule? ŘEŠENÍ: V této molekule je eset protonů a eset elektronů. Velikost ipólového momentu je te p = Q = (10e)(), ke je vzálenost, kterou hleáme, a e je elementární náboj. roto = p 10e = (6, C m) 10(1, C) = = 3, m = 3,9pm. (Opově ) Tato vzálenost je velmi malá, je menší než poloměr atomu voíku. Jakým maimálním momentem síl může na molekulu působit pole o intenzitě 1, N C 1? (Takové pole se á snano vtvořit v laboratoři.) ŘEŠENÍ: Z rov. (23.33) viíme, že moment síl je maimální pro θ = 90. Dosazením této honot o rov. (23.33) ostáváme M = pe sin θ = = (6, C m)(1, N C 1 ) sin 90 = = 9, N m. (Opově ) (c) Jakou práci musí vkonat vnější síla, ab otočila molekulu vo o 180, je-li molekula na počátku ve stabilní rovnovážné poloze θ = 0? ŘEŠENÍ: ráce je rovna rozílu potenciální energie v poloze θ = 180 a θ = 0. Užitím rov. (23.37) ostáváme W et = E p (180 ) E p (0) = = (pe cos 180 ) (pe cos 0) = = 2pE = 2(6, C m)(1, N C 1 ) = = 1, J. (Opově ) ŘEHLED & SHRNUTÍ Elektrické pole Elektrostatické působení nabitých těles vsvětlujeme tím, že kažý náboj buí v prostoru kolem sebe elektrické pole. Elektrostatická síla působící na libovolný náboj je způsobena elektrickým polem, které v aném místě buí ostatní náboje. Definice intenzit elektrického pole Intenzita elektrického pole E (neboli elektrická intenzita) v aném boě je efinována pomocí elektrostatické síl F, kterou v tomto boě působí pole na klaný testovací náboj Q 0 : E = F Q 0. (23.1) Elektrická intenzita E je orientována směrem o buícího náboje, poku je klaný, a směrem k němu, poku je záporný. ole elektrického ipólu Elektrický ipól je soustava vou boových nábojů stejné velikosti Q, ale opačného znaménka; jejich vzálenost je. Dipólový moment p má velikost Q a směřuje o záporného náboje ke klanému. Velikost elektrické intenzit buzené ipólem ve vzáleném boě na ose ipólu (která probíhá oběma náboji) je E = 1 2Ôε 0 p z 3, (23.9) ke z je vzálenost aného bou o střeu ipólu. Elektrické siločár Elektrické siločár slouží k zobrazení směru a velikosti elektrického pole. Vektor elektrické intenzit v určitém boě leží v tečně k siločáře procházející tímto boem. Hustota siločár v určitém místě je úměrná velikosti intenzit v tomto místě. Siločár začínají v klaných nábojích (nebo v nekonečnu) a končí v záporných nábojích (nebo v nekonečnu). ole boového náboje Velikost E elektrické intenzit E buzené boovým nábojem Q je ve vzálenosti r o tohoto náboje rovna E = 1 Q r 2. (23.3) ole spojitě rozložených nábojů Intenzitu elektrického pole spojitě rozloženého náboje najeme tak, že nábojové element považujeme za boové náboje a integrací sečteme ílčí pole jimi buzená. Síla působící na boový náboj v elektrickém poli Je-li boový náboj Q umístěn o elektrického pole o intenzitě E, působí na něj elektrostatická síla F = QE. (23.28) Je-li náboj Q klaný, má F stejnou orientaci jako E, pro Q záporné má F orientaci opačnou.

19 OTÁZKY 611 Dipól v elektrickém poli Je-li elektrický ipól s momentem p umístěn o elektrického pole o intenzitě E, působí na něj pole silovým momentem M: M = p E. (23.34) Dipólmá potenciální energii E p, která souvisí s jeho směrem vzhleem k vektoru elektrické intenzit: E p =p E. (23.38) Tato potenciální energie je rovna nule, je-li moment ipólu p kolmý k intenzitě E; jenejmenší(e p =pe), má-li p stejný směr a orientaci jako E, a je největší (E p = pe), má-li p stejný směr, ale opačnou orientaci než E. OTÁZKY 1. Na obr jsou tři elektrické siločár. Jaký je směr a orientace elektrostatické síl, která působí na klaný testovací náboj, umístěný v boě A, v boě B? (c) Jestliže testovací náboj uvolníme, ve kterém z těchto boů bue mít větší zrchlení? A B Obr Otázka 1 2. Obr a zobrazuje vě nabité částice na přímce. Ke je na ní bo (jine než v nekonečnu), v němž je výslené elektrické pole nulové: mezi náboji, vlevo o nich, nebo vpravo? Eistuje bo mimo přímku (jiný než v nekonečnu), v němž je výslené elektrické pole nulové? Q 3Q Obr Otázk 2 a 3 e p p 3. Na obr b jsou va proton a jeen elektron na přímce, ve stejných vzálenostech. Ke je na této přímce bo (jine než v nekonečnu), ve kterém je výslené elektrické pole nulové: vlevo o částic, vpravo o nich, mezi věma proton, nebo mezi elektronem a bližším protonem? 4. Na obr jsou vě čtvercová uspořáání nabitých částic. 2Q 6Q 3Q 2Q 3Q 2Q 2Q 3Q 3Q 2Q 6Q Obr Otázka 4 Čtverce mají společný stře, ale různoběžné stran. Částice jsou rozložené po obvou čtverců ve vzálenostech nebo /2. Jaká je velikost a směr výslené intenzit v boě? 5. Na obr jsou vě částice s nábojem umístěn smetrick vzhleem k ose ; kažá buí v boě na této ose elektrické pole. Je velikost intenzit těchto polí v boě stejná? Směřuje vektor kažé z intenzit směrem k náboji, který ji buí, nebo směrem o něho? (c) Je velikost výslené intenzit v boě rovna součtu velikostí intenzit polí jenotlivých nábojů (tj. je rovna 2E)? Zesílí se, nebo se vruší () -ové, (e) -ové složk vektorů intenzit? (f) Jaký směr má výslená intenzita v boě? Obr Otázka 5 6. Tři nevoivé rovnoměrně nabité tče mají tvar segmentů kružnice se stejným poloměrem. Tč A má náboj 2Q a tvoří oblouk, jemuž opovíá střeový úhel 30 ; tč B má náboj 6Q a tvoří oblouk, jemuž opovíá střeový úhel 90 ;tčc má náboj 4Q a tvoří oblouk se střeovým úhlem 60. Seřa te tče sestupně pole velikosti jejich élkové hustot náboje. 7. Na obr jsou va stejné kruhové nevoivé prstence se stře na společné ose. Ve třech různých přípaech jsou na prstencích A a B rovnoměrně rozložen náboje (1) Q 0 a Q 0, (2) 0 a 0,(3) 0 a Q 0. Seřa te jenotlivé přípa sestupně pole velikosti výslené intenzit v boě 1 uprostře mezi prstenci, v boě 2 ve střeu prstence B, (c) v boě 3 vpravo o prstence B prstenec A prstenec B Obr Otázka 7 8. lastiková tč tvaru čtvrtin kružnice s rovnoměrně rozloženým nábojem Q (obr a) buí ve střeu kružnice (v po-

20 612 KAITOLA 23 ELEKTRICKÉ OLE čátku souřanicového sstému) elektrické pole s intenzitou o velikosti E. Na obr b, c, jsou postupně přiáván alší poobné tče se stejným rovnoměrně rozloženým nábojem Q,až je kružnice úplná. áté uspořáání (které b mohlo být označeno jako obr e) je poobné jako obr s tím rozílem, že tč ve čtvrtém kvarantu má náboj. Seřa te těchto pět uspořáání sestupně pole velikosti elektrické intenzit ve střeu kružnice. v prostoru mezi eskami zpomaluje elektron, aniž b ho vchlovalo. Jaký je směr pole? Čtři jiné částice (proton p, pion Ô,mionÑ a neutron n) procházejí poobně malými otvor bu v esce A, nebo v esce B a pak se pohbují v prostoru mezi eskami. Určete pro kažou z těchto částic, za velikost její rchlosti v oblasti mezi eskami stoupá, klesá, nebo se nemění. 10. Obr ukazuje trajektorii, kterou proletěla nabitá částice 1 v pravoúhlé oblasti s homogenním elektrickým polem; částice bla vchýlena směrem k hornímu okraji stránk. Je intenzita E orientována směrem vlevo, vpravo, k hornímu okraji, nebo k olnímu okraji stránk? Tři jiné nabité částice vstupují o elektrického pole. Které buou vchýlen směrem k hornímu okraji oblasti a které směrem k olnímu? Obr Otázka Na obr jsou tři uspořáání elektrických siločár. V kažém uspořáání je v boě A z kliu uvolněn proton, je urchlován elektrickým polem a prochází boem B. Bo A a B mají ve všech třech uspořááních stejnou vzálenost. Seřa te sestupně tato uspořáání pole velikosti hbnosti, které proton osáhne v boě B. (c) Obr Otázka 8 9. Na obr prochází elektron e malým otvorem v esce A a pohbuje se směrem k esce B. Homogenní elektrické pole e p n A B Obr Otázka 9 () Ô Ñ A B A B Obr Otázka V kontrole 5 určete, za je práce vkonaná polem při otočení ipólu z poloh (1) o poloh (2) klaná, záporná, nebo nulová. Jestliže se místo toho ipól otočí z poloh (1) o poloh (4), je práce vkonaná polem větší, menší, nebo stejná jako v? 13. Honot potenciální elektrické energie pro čtři poloh ipólu v elektrickém poli jsou (1) 5E p,(2)7e p,(3)3e p (4) 5E p, ke E p je klané. Seřa te poloh sestupně pole velikosti úhlu mezi ipólovým momentem p a intenzitou E, momentu síl působícího na ipól. 14. Jestliže za suchého ne přejete po některém ruhu koberce a pak se otknete kovové klik veří nebo (pro větší legraci) něčí šíje, může přeskočit jiskra. roč se tato jiskra objeví? Její jas a hlasitost můžete zvýšit, jestliže otek proveete nataženým prstem nebo ještě lépe kovovým klíčem. A (c) B