26.1 UŽITÍ KONDENZÁTORŮ 26.2 KAPACITA

Transkript

1 26 Kapacita SreËnÌ p Ìhoa BÏhem komorovè fibrilace, ËastÈho typu sreënìho z chvatu, p estanou sreënì komory pumpovat krev, protoûe stahy a uvolnïnì jejich svalov ch vl ken p estanou b t koorinov ny. Pacienta vöak lze zachr nit, kyû jeho sreënì sval ostane elektrick öok. HrunÌ utinou pacienta musì projìt elektrick prou asi 20 A a p enèst p ibliûnï 200 J elektrickè energie v pr bïhu asi 2 ms. Tomu opovì kr tkoob elektrick v kon kolem 100 kw. Tak vysok p Ìkon m ûeme pomïrnï snano zajistit v nemocnici, ale jak ho os hnout v p ÌpaÏ, ûe by n s fibrilace p ekvapila nap. p i cestov nì? Na to urëitï nestaëì ani elektrick systèm automobilu, ani pojìznè ambulance, i kyby byly po ruce.

2 26.2 KAPACITA ŽITÍ KONDENZÁTORŮ Napnutím tětivy luku, natažením pružiny, stlačením plynu, zvenutím knihy a jinými poobnými úkony lze mechanickou energii akumulovat ve formě energie potenciální. Také energii elektrického pole lze takto uchovat v konenzátorech.* Konenzátor je např. součástí fotoblesku. Během relativně pomalého nabíjení se v konenzátoru hromaí elektrický náboj a tím se v něm vytváří elektrické pole. Konenzátor uchovává elektrické pole a jeho energii až o spuštění fotoblesku, ky se elektrická energie velmi rychle uvolní. Konenzátory slouží v současném elektronickém a mikroelektronickém světě všestranně, a to nejen jako zásobárny elektrické energie. ve me alespoň va příklay za mnohé. (1) Konenzátory jsou regulačními prvky v obvoech a laíme jimi ráiové a televizní vysílače i přijímače. (2) Konenzátory mikroskopických rozměrů tvoří pamě- ové bloky počítačů. Tato robounká zařízení jsou ze ůležitá ani ne tak pro svou schopnost akumulovat energii, jako pro poskytování informace typu ANO-NE (ON-OFF) anou přítomností či nepřítomností náboje v konenzátoru KAPACITA u sebe, ale přitom jsou o sebe elektricky izolovány (oěleny). Něky se jim říká esky, a to bez ohleu na jejich skutečný tvar. Q Q Obr Dva voiče, zvané elektroy, elektricky izolované navzájem osebe i osvého okolí, tvoří konenzátor. Je-li konenzátor nabit, nesou elektroy náboje Q stejně velké, ale opačných znamének. Obr. 26.3a ukazuje velmi časté uspořáání voičů, kterému říkáme eskový konenzátor. Tvoří ho va rovnoběžné rovinné voiče ve vzálenosti, kažý o obsahu S. Znak, kterým konenzátor znázorňujeme ve schéma- Obr ukazuje různá konkrétní proveení konenzátorů. obsah S objem V Sponí plocha horní elektroy nese náboj Q. (a) Vrchní plocha sponí elektroy nese náboj Q. siločáry elektrického pole S Q Obr Různé ruhy konenzátorů Na obr viíme záklaní prvky kažého konenzátoru: jsou to va voiče, zvané elektroy, které jsou blízko * Česká terminologie používá v blízkém významu slovo kapacitor. Rozíl mezi oběma pojmy spočívá v tom, že konenzátor přestavuje konkrétní fyzickou součástku,zatímco kapacitor je iealizovaný prvek, u nějž zanebáváme velejší jevy (např. svo) a uvažujeme jen kapacitu. Protože se nezabýváme elektrotechnikou hlouběji, nepotřebujeme zatím rozlišovat mezi reálným a moelovým prvkem.pro jenouchost bueme proto užívat jen jeiný, běžnější termín konenzátor. Q (b) Obr (a) Deskový konenzátor tvoří vě rovinné elektroy ve vzálenosti, kažá má obsah S. Na přilehlých plochách nesou stejně velké elektrické náboje Q navzájem opačných znamének. (b) Elektrické pole v prostoru mezi elektroami eskového konenzátoru je homogenní. Taková pole zobrazujeme rovnoběžnými a stejně hustými siločárami. Zakřivené siločáry při okraji elektroznázorňují nehomogenní elektrické pole.

3 670 KAPITOLA 26 KAPACITA tech, je ovozen právě o tvaru eskového konenzátoru; užívá se však pro konenzátory všech geometrických tvarů. Je-li konenzátor nabitý, mají jeho elektroy stejně velké náboje, avšak opačných znamének Q a Q. Mluvíme-li tey o náboji Q konenzátoru, rozumíme tím absolutníhonotunáboje jené z jehoelektro, tey Q, a nikoli celkový náboj, který je roven nule: (Q) (Q) = 0. Protože elektroy konenzátoru jsou voivé, jsou tuíž i ekvipotenciálními plochami. Všechny boy na téže elektroě mají tey stejnou honotu elektrického potenciálu. Mezi oběma elektroami nabitého konenzátoru existuje potenciálový rozíl neboli napětí. Neznáme-li pořaí elektro, je přirozené brát tento rozíl (napětí) klaný. Náboj Q a napětí libovolného konenzátoru jsou navzájem přímo úměrné. Platí tey Q = C. (26.1) kterém probíhají určité elektrochemické reakce, které oávají na jeho výstupní svorky náboje a vytvářejí tak mezi nimi elektrické napětí. Baterie B, spínač S, konenzátor C a spojovací ráty tvoří elektrický obvona obr. 26.4a. Tentýž obvoje znázorněn jako schéma na obr. 26.4b s použitím značek pro baterii, spínač a konenzátor. Přepokláejme, že baterie uržuje stálé napětí mezi svými svorkami. Svorku s vyšším potenciálem značíme a nazýváme ji klaný pól; ruhou svorku značíme a nazýváme ji záporný pól. B V (a) S N C Součinitel úměrnosti C je pro libovolný konenzátor konstantní a nazývá se kapacita konenzátoru, svorka V C N C = Q. (26.2) B Honota kapacity je závislá pouze na geometrii obou elektrokonenzátoru (na velikosti, tvaru a jejich vzájemné vzálenosti), nikoli na náboji nebo na napětí na konenzátoru, a je vžy klaná. Čím větší je kapacita konenzátoru, tím větší náboj musí být přenesen na jeho elektroy, abychom na něm osáhli požaovaného napětí = Q/C. Kapacita je číselně rovna náboji konenzátoru při napětí 1 V mezi jeho elektroami. Z rov. (26.2) vyplývá, že jenotkou kapacity v mezinároní soustavě jenotek (SI) je C V 1. Tato jenotka se vyskytuje velmi často, a proto ostala vlastní pojmenování fara (značka F): 1 fara = 1 coulomb na volt, 1F= 1C V 1. Faraje jenotka pro praxi příliš velká. Častěji proto používáme jenotky menší, zvláště mikrofara (1 ÑF = = 10 6 F), nanofara(1 nf = 10 9 F) a pikofara(1 pf = = F). Nabíjení konenzátoru Chceme-li konenzátor nabít, můžeme ho zapojit o elektrického obvou se zrojem stejnosměrného elektrického napětí (např. s baterií). Elektrický obvoje cesta, kterou může procházet elektrický náboj. Baterie je zařízení, ve svorka (b) Obr (a) Baterie B, spínač S a elektroy V a N konenzátoru tvoří elektrický obvo. (b) Schéma elektrického obvou s obvoovými prvky, které jsou reprezentovány svými symboly. Obvoznázorněný na obr. 26.4a, b není uzavřený, protože spínač S je vypnutý, tj. nespojuje voivě ty spojovací ráty, ke kterým je připojen. Kyž spínač zapneme, propojí je, obvose uzavře a spínačem i spojovacími ráty může procházet elektrický náboj. V kap. 22 jsme se ozvěěli, že nosiče elektrického náboje, které mohou procházet takovým voičem, jako je měěný rát, jsou elektrony. Je-li obvona obr uzavřen, pak elektrické pole (vytvořené baterií poél voičů) přinutí elektrony pohybovat se těmito voiči o elektroy V konenzátoru ke klané svorce baterie; tím se elektroa V, ztrácející elektrony, nabíjí klaně (tj. bue mít vyšší potenciál). Zároveň toto elektrické pole nutí elektrony pohybovat se ze záporné svorky baterie na elektrou N konenzátoru; tím se elektroa N, získávající elektrony, nabíjí záporně (na nižší potenciál). Obě elektroy konenzátoru se těmito procesy nabíjejí současně, takže v kažém okamžiku mají stejně velké náboje opačných znamének. Napětí mezi půvoně nenabitými elektroami konenzátoru bylo nulové. Protože se elektroy konenzátoru nabíjejí opačnými náboji, napětí mezi nimi vzrůstá, oku se S

4 26.3 VÝPOČET KAPACITY 671 nevyrovná s napětím mezi svorkami baterie. Kyž se napětí vyrovnají, mají elektroa V a klaná svorka baterie stejný potenciál; elektrické pole ve spojovacím rátu mezi nimi vymizí. Poobně elektroa N a záporná svorka mají také stejný potenciál a elektrické pole v rátu, který je spojuje, vymizí. S vymizením elektrického pole zanikne i síla, která uváěla elektrony o pohybu. V tomto stavu je konenzátor nabit a jeho napětí je rovno napětí baterie B přesepnutím spínače S. Elektrický náboj Q je určen rov. (26.1). RADY A NÁMĚTY Bo 26.1: Napětí a potenciál V této knize i jine se rovněž setkáme s různými výrazy vztahujícími se k pojmům potenciál a rozíl potenciálů neboli napětí. Potenciál se vžy vztahuje pouze k jenomu bou, přitom však musí být z kontextu jasné, ke jsme zvolili hlainu nulového potenciálu. Napětím neboli rozílem potenciálů rozumíme rozíl honot potenciálu mezi věma anými boy, přičemž potenciál jenoho z nich může být určen přeběžnou ohoou (např. v přístroji nulový voič, uzemnění, kostra přístroje apo.) Tak např. výrok konenzátor je nabit na 5 V znamená, že napětí mezi jeho elektroami je 5 V. Baterie může být charakterizována napětím, např. jako 9 V baterie. Elektrická sí v automobilu má 12 V (rozumí se vůči kovové kostře vozila) atp. KONTROLA 1: Co se stane s kapacitou C konenzátoru, kyž se (a) náboj Q konenzátoru zvojnásobí, nebo (b) napětí na konenzátoru ztrojnásobí? Stoupne kapacita konenzátoru, klesne, či zůstane nezměněna? 26.3 VÝPOČET KAPACITY Máme vypočítat kapacitu konenzátoru, známe-li jeho tvar a rozměry. Protože konenzátory mohou mít nejrůznější proveení i velikost, uveeme nejprve obecný postup pro výpočet: (1) přepoklááme, že na konenzátoru je náboj Q; (2) pomocí Gaussova zákona elektrostatiky určíme intenzitu E elektrického pole mezi elektroami konenzátoru a vyjáříme ji pomocí náboje Q; (3) známe-li E, můžeme vypočítat napětí mezi elektroami konenzátoru pole rov. (25.18); (4) vypočítáme C z rov. (26.2). Výpočet jak intenzity elektrického pole, tak i napětí můžeme zpravila zjenoušit přijetím vhoných přepoklaů, opovíajících konkrétní situaci. Výpočet intenzity elektrického pole Intenzita E elektrického pole mezi elektroami konenzátoru souvisí s nábojem Q konenzátoru pole Gaussova zákona elektrostatiky vztahem ε 0 E S = Q, (26.3) ke Q je celkový náboj uvnitř (uzavřené) Gaussovy plochy a E S je tok intenzity elektrického pole touto plochou. Jsou-li vektory E as rovnoběžné a je-li Gaussova plocha volena tak, že na ní má intenzita E konstantní velikost E, pak se rov. (26.3) reukuje na tvar Q = ε 0 ES (zvl. příparov. (26.3)). (26.4) Veličina S v rov. (26.4) je obsah té části Gaussovy plochy, kterou prochází vektor intenzity elektrického pole. Pro zjenoušení výpočtu bueme volit Gaussovu plochu tak, aby zcela obklopila náboj klaně nabité elektroy konenzátoru; viz obr jako příkla. (Připomeňme z čl. 24.1, že Gaussova plocha je vžy uzavřená.) S Q Q integrační cesta Gaussova plocha Obr Nabitý eskový konenzátor. Gaussova plocha zcela obklopuje náboj klaně nabité elektroy. V rov. (26.6) se integruje poél trajektorie veoucí nejkratší cestou mezi oběma elektroami. Výpočet napětí V kap. 25 je uveena rov. (25.18), pole které napětí mezi elektroami konenzátoru souvisí s vektorem intenzity E elektrického pole vztahem f ϕ f ϕ i = E s, (26.5) i v němž integrační cesta musí začínat na jené a končit na ruhé elektroě konenzátoru; jinak je libovolná. Vybereme takovou integrační cestu,která bue sleovat některou elektrickou siločáru začínající na klaně nabité elektroě a končící na záporné. Na takové cestě mají vektory intenzity E a posunutí s v kažém boě stejný směr i orientaci, takže skalární součin E s je roven součinu E s. Pole rov. (26.5) je veličina ϕ f ϕ i záporná. Jelikož hleáme

5 672 KAPITOLA 26 KAPACITA absolutní honotu napětí mezi elektroami, napíšeme ϕ f ϕ i =. Takto se rov. (26.5) upraví na tvar = () E s (zvl. příparov. (26.5)). (26.6) () Integračními mezemi v rov. (26.6) jsou znaky () a (), které nám připomínají, že integrační cesta začíná na klaně nabité a končí na záporně nabité elektroě. Nyní můžeme použít rov. (26.4) a (26.6) na několik konkrétních přípaů. Deskový konenzátor Bueme přepokláat, že elektroy eskového konenzátoru jsou tak velké a tak blízko u sebe, že lze zanebat rozptyl elektrického pole na jejich okrajích (obr. 26.5). Přepoklááme tey, že vektor intenzity E je konstantní (co o velikosti i směru) v celém prostoru mezi elektroami; všue jine nech je roven nule. Přestavme si Gaussovu plochu, obklopující pouze náboj Q klaně nabité elektroy konenzátoru (obr. 26.5). Pole rov. (26.4) můžeme napsat ke S je obsah plochy elektroy. Rov. (26.6) vee k výsleku = () () Q = ε 0 ES, (26.7) E s = E s = E. (26.8) 0 V rov. (26.8) lze vytknout přeintegrál velikost intenzity E, protože je konstantní; takto zjenoušený integrál pak vyjařuje vzálenost elektro. Dosaíme-li Q z rov. (26.7) a z rov. (26.8) o rov. (26.2), ostaneme C = ε 0S (eskový konenzátor). (26.9) Viíme, že kapacita C eskového konenzátoru skutečně závisí pouze na jeho geometrických parametrech, konkrétně na obsahu plochy S elektroa na vzálenosti mezi nimi. Všimněme si, že kapacita C vzrůstá se zvětšováním S a se zmenšováním. Doejme, že v ůsleku volby konstanty v Coulombově zákonu ve tvaru 1/(4Ôε 0 ) vychází často používaný vzorec (26.9) v jenouchém tvaru. Dále poznamenejme, že rov. (26.9) nám ovoluje vyjářit permitivitu vakua ε 0 v jenotkách vhonějších pro úlohy o konenzátorech, totiž ε 0. = 8, F m 1 = 8,85 pf m 1. (26.10) Tuto konstantu jsme v úlohách týkajících se Coulombova zákona (čl. 22.4) vyjařovali v jiných jenotkách, a to. ε 0 = 8, C 2 N 1 m 2. (26.11) V záklaních jenotkách SI je vyjáření jenotky permitivity ε 0 málo přehlené: ε 0 = 8, kg 1 m3 s4 A2.. Válcový konenzátor Obr ukazuje příčný řez válcovým konenzátorem élky L, jehož vnitřní elektroa má tvar válce o poloměru a a vnější elektrou tvoří souosý utý válec o vnitřním poloměru b. integrační cesta a b r celkový náboj Q Gaussova plocha celkový náboj Q Obr Příčný řez louhým válcovým konenzátorem ukazuje válcovou Gaussovu plochu poloměru r a raiální integrační cestu pro výpočet integrálu v rov. (26.6). Týž obrázek zároveň poslouží k ilustraci příčného řezu veeného střeem kulového konenzátoru. Přepokláejme, že L b, takže lze zanebat rozptyl elektrického pole, ke kterému ochází na koncích elektro. Obě elektroy konenzátoru nesou stejně velké elektrické náboje Q opačných znamének. Zvolme Gaussovu plochu ve tvaru souosé válcové plochy élky L o poloměru r, uzavřenou z obou stran záklanami a umístěnou tak, jak je znázorněno na obr Pak pole rov. (26.4) platí Q = ε 0 ES = ε 0 E(2ÔrL), ke 2ÔrL je obsah pláště válce. Elektrický tok oběma záklanami zvolené Gaussovy plochy je nulový. Z této rovnice ostaneme E = Q 2Ôε 0 Lr. (26.12) Dosazením tohoto výsleku o rov. (26.6) obržíme = () () E s = Q 2Ôε 0 L b a r r = = Q 2Ôε 0 L ln b a. (26.13)

6 26.3 VÝPOČET KAPACITY 673 Při úpravě jsme využili toho, že v tomto přípaě platí s = = r. Pomocí vztahu C = Q/ určíme kapacitu C = 2Ôε 0 L ln(b/a) (válcový konenzátor). (26.14) Kapacita válcového konenzátoru (stejně jako eskového) tey závisí pouze na geometrických parametrech, v tomto přípaě konkrétně na poloměrech a, b a na élce L válcových elektro. Kulový konenzátor Obr může posloužit také jako příčný řez veený střeem kulového konenzátoru, skláajícího se z plné koule poloměru a a s ní soustřené kulové vrstvy o vnitřním poloměru b>a. Gaussova plocha má tvar soustřené kulové plochy poloměru r, kea<r<b. Použitím rov. (26.4) na tuto plochu ostaneme Q = ε 0 ES = ε 0 E(4Ôr 2 ), ke 4Ôr 2 je obsah Gaussovy plochy. Řešení této rovnice ává vztah E = 1 Q 4Ôε 0 r 2, (26.15) který vyjařuje velikost intenzity elektrického pole,vyvolaného nábojem rovnoměrně rozloženým na vnitřní elektroě (rov. (24.15)). Dosaíme-li tento vztah o rov. (26.6), ostaneme = () () = Q 4Ôε 0 E s = Q 4Ôε 0 ( 1 a 1 ) = b b a r r 2 = = Q 4Ôε 0 b a ab. (26.16) Porovnáním s rov. (26.1) zjistíme, že C = 4Ôε 0 ab b a (kulový konenzátor). (26.17) Osamocená voivá koule I jeinému osamocenému voiči lze přiřait kapacitu, přestavíme-li si, že byl půvoně obklopen alším voičem utou koulí, kterou jsme poté nafukovali tak, že její vnitřní poloměr b rostl nae všechny meze. Během nafukování kapacita soustavy klesala, ale ne až k nule. Konec konců, všechny elektrické silokřivky, které mají jeen konec na povrchu nabitého osamoceného voiče, musí něke mít i ruhý konec; stěny místnosti, ve které je voič umístěn, mohou ocela obře nahrait onu pomyslnou utou kouli. Přestavme si, že osamoceným voičem je koule, která má poloměr R. Abychom určili její kapacitu, upravíme nejprve rov. (26.17) o tvaru a C = 4Ôε 0 1 a/b. Jestliže poloměr b poroste nae všechny meze a místo a osaíme R, pak v limitě ostaneme C = 4Ôε 0 R (kapacita osamocené koule). (26.18) Poznamenejme, že pole tohoto vzorce i všech ostatních, které byly ovozeny pro kapacitu (rov. (26.9), (26.14) a (26.17)), má kapacita rozměr rovný rozměru konstanty ε 0 vynásobené rozměrem élky. KONTROLA 2: Tři různé konenzátory jsou zapojeny k téže baterii. Zjistěte, za a jak se změní náboj na jejich elektroách, jestliže (a) vzálenost mezi elektroami eskového konenzátoru zvětšíme, (b) poloměr vnitřní válcové elektroy válcového konenzátoru zvětšíme, (c) poloměr vnější kulové elektroy kulového konenzátoru zvětšíme. PŘÍKLAD 26.1 Elektroy eskového konenzátoru mají vzálenost = = 1,0 mm. Jak velká by musela být jejich plocha, aby měl konenzátor kapacitu 1,0F? ŘEŠENÍ: Pomocí rov. (26.9) vypočítáme S = C ε 0 = (1,0F)(1,0 103 m) (8, F m 1 ) = = 1, m 2. (Opově ) Je to obsah čtverce o straně elší než 10 km. Kapacita 1 fara je opravu velká. Moerní technologie však umožnila sestrojit konenzátory i o tak velké kapacitě a přitom velmi skromných rozměrů. Tyto superkonenzátory se používají jako zroje napětí např. pro kritické situace počítačů; mohou např. při výpaku prouu v síti uchovat ata v paměti počítače až po obu 30 nů. PŘÍKLAD 26.2 Pamě ový prvek ynamické paměti RAM na čipu má kapacitu 55 ff. Kolik elektronů je nutno oat na jeho zápornou elektrou, aby získal napětí 5,3V?

7 674 KAPITOLA 26 KAPACITA ŘEŠENÍ: Počet n elektronů je án poílem Q/e, k e e je elementární náboj. Z rov. (26.1) plyne n = Q e = C e = ( F)(5,3V) (1, C) = 1, (Opově ) To je opravu velmi malý počet elektronů. Např. smítko prachu tak malé, že se v postatě niky neusaí a většinou se vznáší, obsahuje asi elektronů (a stejný počet protonů) KONDENZÁTORY SPOJENÉ PARALELNĚ A SÉRIOVĚ Jakkoli složité seskupení konenzátorů v elektrickém obvou můžeme považovat za spojení bloků, v nichž jsou jenotlivé konenzátory zapojeny sériově nebo paralelně. Probereme proto tato vě záklaní spojení. Paralelní spojení (vele sebe) Obr. 26.7a ukazuje skupinu tří konenzátorů připojených paralelně k baterii B. (České označení vele sebe vystihuje jejich spojení výstižně.) Protože baterie uržuje na svých svorkách napětí, je totéž napětí na kažém konenzátoru. Při spojení konenzátorů paralelně (neboli vele sebe) je napětí na celé skupině konenzátorů stejné jako napětí na kažém z nich. = konenzátor o kapacitě C p na něm bue náboj Q stejně velký jako na celé nahrazované skupině. Pole rov. (26.1) pro tyto tři konenzátory platí: Q 1 = C 1, Q 2 = C 2 a Q 3 = C 3. Celkový náboj paralelní kombinace je: Q = Q 1 Q 2 Q 3 = (C 1 C 2 C 3 ). Výslená kapacita soustavy paralelně spojených konenzátorů je pak C p = Q = C 1 C 2 C 3. To je výsleek, který můžeme snano rozšířit na libovolný počet n konenzátorů: C p = n C j j=1 (n konenzátorů spojených paralelně). (26.19) Sériové spojení (za sebou) Obr. 26.8a ukazuje skupinu tří konenzátorů připojených sériově k baterii B. (I ze je český termín za sebou výstižný.) Baterie uržuje napětí mezi levou a pravou svorkou bloku konenzátorů. V tomto uspořáání vzniknou na jenotlivých konenzátorech o kapacitách C 1, C 2 a C 3 různá napětí 1, 2 a 3 ; zřejmě však platí =. Při spojení konenzátorů o série (neboli za sebou) je napětí na celé skupině konenzátorů rovno součtu napětí na jenotlivých konenzátorech. B svorka Q 3 C 3 svorka Q 3 (a) Q 2 Q 2 C 2 Q 1 Q 1 C 1 B (b) Q Q C p Obr (a) Tři konenzátory připojené paralelně (vele sebe) k baterii B. Baterie uržuje na svých svorkách a na kažém konenzátoru napětí. (b) Výslená (neboli ekvivalentní) kapacita C p nahrazuje kapacitu paralelní kombinace. Náboj Q na C p je roven součtu nábojů Q 1, Q 2 a Q 3 na konenzátorech zobrazených na obr. 26.7a. Hleáme kapacitu C p skupiny paralelně spojených konenzátorů (jak je znázorněno na obr. 26.7b). Jinými slovy hleáme kapacitu jeiného (ekvivalentního) konenzátoru, kterým můžeme nahrait tuto skupinu konenzátorů v tom smyslu, že při téže honotě napětí přiloženého na B svorka Q QC 1 Q QC 2 Q Q B QC 3 Q svorka (a) (b) Obr (a) Tři konenzátory připojené sériově (za sebou) k baterii B. Baterie uržuje napětí mezi krajními svorkami této sériové kombinace. (b) Výslená kapacita C s nahrazuje sériovou kombinaci. Napětí na C s je rovno součtu napětí 1, 2 a 3 na konenzátorech. C s

8 26.4 KONDENZÁTORY SPOJENÉ PARALELNĚ A SÉRIOVĚ 675 Hleáme kapacitu C s sériové kombinace. Jinými slovy hleáme kapacitu jeiného (ekvivalentního) konenzátoru, kterým můžeme celou skupinu nahrait pole obr. 26.8b v tom smyslu, že při stejném přiloženém napětí bue na ekvivalentním konenzátoru stejně velký náboj Q jako na celé nahrazované skupině. Kyž k sériové kombinaci konenzátorů na obr. 26.8a připojíme baterii, pak musí být na kažém konenzátoru stejně velký náboj Q, a to i tehy, jsou-li konenzátory různé a mají-li různé kapacity. Abychom tomuto faktu porozuměli, povšimněme si, že část elektrického obvou označená přerušovanou čárou na obr. 26.8a je elektricky izolovaná o zbytku obvou. Tato část obvou nemůže získat ani ztratit žáný elektrický náboj. Baterie může v izolované části náboj pouze inukovat, tey přerozělit ten náboj, který tam již je: kyž baterie oá náboj Q na horní elektrou konenzátoru C 1, pak tento náboj přitáhne elektrony z izolované části, tj. přerozělí je. Toto přerozělení způsobí, že sponí elektroa konenzátoru C 1 získá náboj Q a horní elektroa konenzátoru C 2 získá náboj Q. Zároveň baterie, která sponí elektroě konenzátoru C 3 oá náboj Q, vyvolá přerozělení nábojů na voivě spojených elektroách konenzátorů C 2 a C 3. Konečným výslekem je stejný náboj Q na kažém konenzátoru. Celkový náboj oaný baterií je ovšem Q, nikoli sna3q. Baterie oala náboj Q, který přímo přešel na nejvrchnější elektrou (obr. 26.8a), a oebrala náboj Q z nejsponější elektroy celé kombinace. Ostatní elektroy konenzátorů se nabily pouze tím, že se přerozělily náboje mezi voivě spojenými elektroami souseních konenzátorů. Použitím rov. (26.1) na kažý konenzátor v sérii ostaneme 1 = Q C 1, 2 = Q C 2 a 3 = Q C 3. Tento výsleek lze snano rozšířit na libovolný počet n konenzátorů: 1 C s = n 1 C j=1 j (pro konenzátory spojené sériově). (26.20) Pole rov. (26.20) je výslená kapacita sériové kombinace konenzátorů vžy menší než kapacita kteréhokoli znich. V př uviíme, jak lze složitou kombinaci konenzátorů zjenoušit rozložením na menší části s paralelním nebo sériovým řazením konenzátorů. Kažá taková menší část pak může být nahrazena výslenou kapacitou.to zjenoušuje půvoní kombinaci konenzátorů i analýzu elektrických obvoů. KONTROLA 3: Baterie o napětí uržuje náboj Q na kombinaci vou stejných konenzátorů. Jaké je napětí a náboj na kažém z obou konenzátorů, kyž jsou spojeny (a) paralelně, (b) sériově? PŘÍKLAD 26.3 (a) rčete výslenou kapacitu kombinace konenzátorů na obr. 26.9a. Je áno C 1 = 12,0 ÑF, C 2 = 5,30 ÑF, C 3 = 4,50 ÑF. C 1 C 2 C 3 (a) Celkové napětí na sériové kombinaci konenzátorů je C 12 = = ( 1 = Q 1 1 ). C 1 C 2 C 3 C 3 C 123 Výslená kapacita soustavy sériově spojených konenzátorů má tey honotu neboli C s = Q = 1 1 C 1 1 C 2 1 C 3 1 C s = 1 C 1 1 C 2 1 C 3. (b) Obr Příkla26.3. (a) Kombinace tří konenzátorů. (b) Paralelní kombinace konenzátorů C 1 a C 2 je nahrazena ekvivalentním konenzátorem C 12. (c) Sériová kombinace konenzátorů C 12 a C 3 je nahrazena ekvivalentním konenzátorem C 123. ŘEŠENÍ: Konenzátory C 1 a C 2 jsou spojeny paralelně. Z rov. (26.19) vyplývá vztah pro jejich výslenou kapacitu C 12 = C 1 C 2 = (12,0 ÑF) (5,30 ÑF) = 17,3 ÑF. (c)

9 676 KAPITOLA 26 KAPACITA Pole obr. 26.9b konenzátory C 12 a C 3 tvoří sériovou kombinaci. Z rov. (26.20) pro jejich ekvivalentní kapacitu C 123 (zobrazenou na obr. 26.9c) ostáváme 1 = = C 123 C 12 C 3 (17,3 ÑF) 1 (4,50 ÑF) = 0,280(ÑF)1, z čehož plyne C 123 = 1 = 3,57 ÑF. (Opově ) 0,280 (ÑF) 1 (b) Na vstupní svorky kombinace konenzátorů, zobrazené na obr. 26.9a, je připojeno napětí = 12,5 V. Jaký náboj je na konenzátoru C 1? ŘEŠENÍ: Pro náboj na ekvivalentním konenzátoru C 123 (obr. 26.9c) ostaneme Q 123 = C 123 = (3,57 ÑF)(12,5V) = 44,6 ÑC. Stejně velký náboj je na kažém konenzátoru sériové kombinace zobrazené na obr. 26.9b. Označme Q 12 náboj na konenzátoru C 12 (platí Q 12 = Q 123 ). Napětí na svorkách ekvivalentního konenzátoru C 12 je tey 12 = Q 12 (44,6 ÑC) = = 2,58 V. C 12 (17,3 ÑF) Stejné napětí se objeví na svorkách konenzátorů C 1 a C 2 (obr. 26.9a). Označme 1 napětí mezi svorkami konenzátoru C 1.Pak Q 1 = C 1 1 = (12,0 ÑF)(2,58 V) = = 31,0 ÑC. (Opově ) PŘÍKLAD 26.4 Konenzátor o kapacitě C 1 = 3,55 ÑF je nabit baterií na napětí 6,30 V. Poté je baterie opojena a konenzátor je spojen přes spínač S s nenabitým konenzátorem o kapacitě C 2 = 8,95 ÑF (obr ). Sepneme-li spínač, začne náboj přecházet okonenzátoru C 1 ke konenzátoru C 2, a to tak louho, oku se napětí na obou konenzátorech nevyrovnají. Jaké bue nakonec napětí na konenzátorech? Q 0 C 1 C 2 Obr Příklay 26.4 a Konenzátor C 1 je nabit na napětí 0 a nabíjecí baterie je ostraněna. Poté je zapnut spínač S, takže část náboje přeje z konenzátoru C 1 na konenzátor C 2. S ŘEŠENÍ: Půvoní náboj Q 0 konenzátoru C 1 je nyní rozělen mezi oba konenzátory tak, že platí Q 0 = Q 1 Q 2. Použijeme vztah Q = C a ostaneme Otu vyplývá C 1 0 = C 1 C 2. C 1 (6,30 V)(3,55 ÑF) = 0 = C 1 C 2 (3,55 ÑF 8,95 ÑF) = = 1,79 V. (Opově ) Jakmile konenzátory osáhnou tohoto napětí, pohyb náboje ustane. RADY A NÁMĚTY Bo 26.2: Obvoy s více konenzátory Rozebereme postup, který jsme použili při řešení př. 26.3, v němž bylo několik konenzátorů zapojeno o bloku. Abychom nalezli výslenou kapacitu bloku, zjenoušujeme ané uspořáání konenzátorů postupně a použijeme rov. (26.19) při paralelním spojení a rov. (26.20) při spojení sériovém. Náboj nahromaěný na ekvivalentním konenzátoru vypočítáme z rov. (26.1), ke napětí je napětí ané připojenou baterií. Součin C vyjařuje celkový náboj nahromaěný na všech konenzátorech aného uspořáání. Chceme-li však určit náboj nebo napětí na kterémkoli konenzátoru zvláš, je nutné postupovat v opačném pořaí. Při kažém obráceném kroku používáme těchto vou praviel: Jsou-li konenzátory spojeny paralelně, je na kažém z nich stejné napětí jako na jejich ekvivalentním konenzátoru a pro výpočet náboje na kažém konenzátoru použijeme rov. (26.1). Jsou-li konenzátory spojeny o série, je na kažém z nich stejně velký náboj jako na jejich ekvivalentním konenzátoru a pomocí rov. (26.1) či (26.2) určíme napětí na kažém z nich. Bo 26.3: Baterie a konenzátory Baterie uržuje určité napětí na svých svorkách. Připojíme-li konenzátor o kapacitě C 1 (mnohy stručněji jen konenzátor C 1 ) z př k baterii o napětí 6,30 V, buou mezi oběma elektroami konenzátoru a baterií procházet náboje tak louho, oku konenzátor nezíská stejné napětí, jaké by bylo na nezapojené baterii. Konenzátor se liší o baterie v tom, že v něm neprobíhají vnitřní elektrochemické reakce, které by uvolňovaly nabité částice (elektrony) z jeho atomů a molekul. Kyž tey nabitý konenzátor C 1 z př opojíme o baterie a potom spojíme s nenabitým konenzátorem C 2 (spínač S je zapnutý), napětí na konenzátoru C 1 se neurží. Jeinou veličinou,

10 26.5 ENERGIE ELEKTRICKÉHO POLE 677 která se zachovává, je celkový náboj Q 0 soustavy těchto vou konenzátorů. Zákon zachování platí pro elektrický náboj, nikoli pro elektrický potenciál. Nyní si vysvětlíme, co se ěje s nábojem. Kyž je spínač S vypnutý tak jako na obr , náboj Q 0 je jen na konenzátoru C 1. Náboj nemůže přecházet mezi konenzátory, aniž by byl obvovoivě uzavřen. Sepnutím spínače S se obvouzavře a část náboje Q 0 přeje z konenzátoru C 1 na konenzátor C 2. Tím se zvýší napětí na C 2 a současně sníží napětí na C 1. To probíhá tak louho, oku se napětí obou konenzátorů nevyrovnají. Potenciály propojených horních elektroobou konenzátorů na obr si jsou rovny a také potenciály propojených sponích elektro si jsou rovny. Obvoem již ále náboj neprochází, říkáme, že konenzátory jsou v rovnovážném stavu. (Celý uveený proces proběhne velice rychle, jak je vyloženo v čl ) KONTROLA 4: Přepokláejte, že v příklau 26.4 a na obr je konenzátor C 2 nahrazen sériovou kombinací konenzátorů C 3 a C 4. (a) Jaký vztah platí mezi celkovým počátečním nábojem Q 0, nábojem Q 1 na konenzátoru C 1 a nábojem Q 34 na ekvivalentním konenzátoru C 34 po zapnutí spínače a ustálení náboje? (b) Jestliže C 3 >C 4, je náboj Q 3 na C 3 větší, menší, nebo roven náboji Q 4 na C 4? 26.5 ENERGIE ELEKTRICKÉHO POLE K nabití konenzátoru musí být vykonána práce vnějším působením.přestavme si napříkla,že použitím kouzelné pinzety přemís ujeme elektrony, jeen po ruhém, z jené elektroy na ruhou elektrou půvoně nenabitého konenzátoru. Elektrické pole, které se přitom vytváří v prostoru mezi nimi, má takový směr, že brání alšímu přenosu náboje. Čím větší náboj se shromaž uje na elektroách konenzátoru, tím více práce je nutné vykonat k přenosu alších elektronů. V praxi není tato práce konána kouzelnou pinzetou, ale baterií na úkor její chemické energie. Práce, která byla potřebná k nabití konenzátoru, je obsažena v elektrickém poli mezi jeho elektroami ve formě elektrické potenciální energie* E p. Tuto energii můžeme uvolnit vybitím konenzátoru v elektrickém obvou obobně, jako můžeme uvolnit mechanickou potenciální energii nahromaěnou v nataženém luku uvolněním tětivy, aby se tato energie přeměnila na kinetickou energii šípu. * Dejte prosím pozor na značení v tomto článku: elektrická intenzita E je vektor a má velikost E (obojí je bez inexů), energie je skalár a má ze vžy nějaký inex: E p, E p,i, E p,f, E el, E el,i, E el,f apo. Přepokláejme, že v určitém okamžiku byl přemístěn elektrický náboj Q z jené elektroy na ruhou. Napětí mezi elektroami v tomto okamžiku bue Q /C. Jestliže přemístíme alší infinitezimální náboj Q, musíme na to pole rov. (25.7) vynaložit práci W ext = Q = Q C Q. Práce potřebná k přenesení celkového náboje Q pak je W ext = W ext = 1 C Q 0 Q Q = Q2 2C. Tato práce je uložena (obsažena) v elektrickém poli konenzátoru jako jeho elektrická energie, takže E el = Q2 2C (elektrická energie konenzátoru). (26.21) Tento vztah můžeme s přihlénutím k rov. (26.1) zapsat ve tvaru E el = 1 2 C2 (elektrická energie konenzátoru). (26.22) Rov. (26.21) a (26.22) platí nezávisle na geometrickém tvaru konenzátoru. Abychom získali fyzikální přestavu o uložení energie, uvažujme va eskové konenzátory C 1 a C 2 se stejně velkou plochou elektro, ale lišící se tím, že konenzátor C 2 má vojnásobnou vzálenost elektro než konenzátor C 1. Konenzátor C 2 má proto pole rov. (26.9) vakrát menší kapacitu než konenzátor C 1. Jestliže oba konenzátory mají stejný náboj, z rov. (26.21) plyne, že konenzátor C 2 má vojnásobnou elektrickou energii než C 1. Ze vou konenzátorů se stejně velkým nábojem má tey ten konenzátor, který má vojnásobný objem mezi svými elektroami, vojnásobnou elektrickou energii. věomme si současně, že pole rov. (26.4) jsou intenzity elektrických polí mezi elektroami obou konenzátorů stejné. To vše nás vee k násleujícímu závěru: Energie nabitého konenzátoru je soustřeěna v elektrickém poli mezi jeho elektroami. To je postatou polního pojetí: energii nabitého konenzátoru nepřisuzujeme nábojům rozloženým na eskách, ale přísluší poli mezi eskami. Lékařský efibrilátor Schopnost konenzátoru akumulovat elektrickou energii je záklaem efibrilačních zařízení, která používají lékaři

11 678 KAPITOLA 26 KAPACITA k potlačení srečních fibrilací pacienta. Baterie nabíjí v přenosném zařízení konenzátor na vysoké napětí a ten akumuluje v obě kratší než jena minuta velkou energii. Baterie sama má jen nevelké napětí; elektronický obvoho však opakovaně převáí na vyšší napětí a nabíjí jím konenzátor, přičemž potřebný výkon během tohoto procesu je malý. Voivé elektroy se přiloží na hruník postiženého. Po zapnutí ovláacího spínače vyšle konenzátor ávku své akumulované energie z jené elektroy tělem pacienta o ruhé elektroy. Je-li např. konenzátor o kapacitě 70 ÑF v efibrilátoru nabit na V, pak pole rov. (26.22) je energie konenzátoru E el = 1 2 C2 = 1 2 ( F)( V) 2 = 875 J. Řekněme, že z ní proje tělem postiženého energie E el = = 200 J během pulzu trvajícího 2,0 ms. Tento pulz má tey výkon P = E el t = (200 J) (2, = 100 kw, s) který je o mnoho řáů větší než je výkon samotné baterie. Hustota energie elektrického pole Zanebáme-li rozptyl, má elektrické pole ve všech boech mezi elektroami eskového konenzátoru stejnou intenzitu.objemová hustota elektrické energie w el, tj. elektrická energie v objemu jenotkové velikosti, má proto v celém prostoru mezi elektroami také stejnou velikost. Honotu w el získáme vyělením celkové elektrické energie objemem V = S prostoru mezi elektroami, takže w el = E el V Dosazením z rov. (26.9) obržíme w el = 1 2 ε 0 = C2 2S. ( ) 2. Protože pole rov. (25.42) je poíl / roven intenzitě elektrického pole, ostáváme pro objemovou hustotu energie vztah Při fotografování střely prorážející banán vybil vynálezce stroboskopie Harol Egerton elektrickou energii konenzátoru o jené ze svých stroboskopických lamp. Ta pak jasně ozářila banán v krátkém intervalu 0,3 Ñs. PŘÍKLAD 26.5 Jaká je elektrická energie soustavy vou konenzátorů na obr v př v okamžicích přea po zapojení spínače S? ŘEŠENÍ: Na začátku je nabit pouze konenzátor C 1 na napětí 0 = 6,30 V. Jeho počáteční elektrická energie je pole rov. (26.22) E el,i = 1 2 C = 1 2 (3, F)(6,30 V) 2 = = 7, J = 70,4 ÑJ. (Opově ) Po sepnutí spínače bue na obou konenzátorech stejné napětí = 1,79 V. Konečná elektrická energie obou konenzátorů je pak E el,f = 1 2 C C 2 2 = 1 2 (C 1 C 2 ) 2 = = 1 2 (3, F 8, F)(1,79 V) 2 = = 2, J = 20,0 ÑJ. (Opově ) Je tey E el,f <E el,i,asio72%e el,i. Tento závěr není v rozporu se zákonem zachování energie. Zánlivě chybějící energie byla přeevším isipována ve voičích (jak bue iskutováno v kap. 27) a část se vyzářila. w el = 1 2 ε 0E 2 (hustota energie). (26.23) Ačkoli jsme tento výsleek ovoili pro zvláštní přípa eskového konenzátoru, je platný obecně pro jakékoli elektrické pole. PŘÍKLAD 26.6 Izolovaná voivá koule o poloměru R = 6,85 cm má náboj Q = 1,25 nc. (a) Jak velkou elektrickou energii má její elektrické pole?

12 26.6 KONDENZÁTOR S DIELEKTRIKEM 679 ŘEŠENÍ: Z rov. (26.21) a (26.18) plyne což po integraci ává E el = Q2 2C = Q2 8Ôε 0 R = = (1, C) 2 8Ô(8, F m 1 )(0,0685m) = = 1, J = 103 nj. (Opově ) Otu 1 R 1 R 0 = 1 2R. R 0 = 2R = 2(6,85 cm) = 13,7cm. (Opově ) (b) Jaká je hustota energie těsně napovrchem koule? ŘEŠENÍ: Pole rov. (26.23) je w el = 1 2 ε 0E 2. Proto musíme nejprve určit velikost intenzity E těsně napovrchem koule, tj. pro r R (r >R). Ta je pole rov. (24.15) rovna výrazu E = 1 Q 4Ôε 0 R 2. Hustota energie pak je Q 2 w el = 1 2 ε 0E 2 = 32Ô 2 ε 0 R 4 = (26.24) (1, C) 2 = 32Ô 2 (8, C 2 N1 m2 )(0,0685m) 4 = = 2, J m 3 = 25,4 ÑJ m 3. (Opově ) (c) Jaký je poloměr R 0 pomyslné kulové plochy, která by uvnitř obsahovala polovinu celkové elektrické energie nabité koule? ŘEŠENÍ: Při uveeném požaavku platí Polovina elektrické energie je tey obsažena uvnitř kulové plochy, jejíž poloměr R 0 je vojnásobkem poloměru nabité voivé koule KONDENZÁTOR S DIELEKTRIKEM Co se však stane s kapacitou konenzátoru, jestliže vyplníme prostor mezi jeho elektroami ielektrikem, tey izolačním (elektricky nevoivým) materiálem, např. minerálním olejem nebo plastickou hmotou? Tímto problémem se poprvé zabýval Michael Faraay v r Faraay má hlavní zásluhu na zaveení pojmu kapacita, a proto po něm byla jenotka kapacity v SI pojmenována. žitím jenouchých zařízení velice poobných těm, která jsou znázorněna na obr , zjistil, že ielektrika lze charakterizovat veličinou ε r, kterou nazval ielektrická konstanta a kterou nyní nazýváme relativní permitivita. Relativní permitivita R0 R E el = 1 2 R E el. (26.25) Dolní mez integrálů je R a nikoli 0, protože uvnitř voivé koule je konstantní potenciál, tey nulová intenzita elektrického pole, a tím i nulová elektrická energie. Energie E el, která je v pomyslné infinitezimálně tenké kulové vrstvě mezi jejím vnitřním a vnějším poloměrem r a r r (pro r>r), je E el = w el (4Ôr 2 ) r, (26.26) ke w el je hustota energie a výraz 4Ôr 2 r je objem kulové vrstvy. Dosaíme-li rov. (26.24) o rov. (26.26) a zaměníme-li R za r v rov. (26.24), ostaneme E el = Q2 8Ôε 0 r r 2. (26.27) Dosazením rov. (26.27) o rov. (26.25) ostaneme po zjenoušení R0 r r 2 = 1 r 2 R r 2, R Obr Jenouché elektrostatické přístroje používané Faraayem. Složený přístroj (ruhý zleva) se skláá z vnitřní mosazné koule a z vnější soustřené mosazné kulové vrstvy. Do prostoru mezi kouli a kulovou vrstvu vložil Faraay vrstvu ielektrika. uává, kolikrát vzroste kapacita konenzátoru, vyplníme-li prostor mezi jeho elektroami zkoumaným izolátorem.(pro vakuum plyne z efinice ε r = 1, pro vzuch je nepatrně

13 680 KAPITOLA 26 KAPACITA vyšší.) V tab jsou uveena některá ielektrika a jejich relativní permitivity. Tabulka 26.1 Některé vlastnosti ielektrik a MATERIÁL ε r E max kv mm 1 vzuch b 1, polystyren 2,6 24 papír 3,5 16 transformátorový olej 4,5 pyrex (varné sklo) 4,7 14 slía 5,4 porcelán 6,5 křemík 12 germanium 16 ethanol 25 voa (20 C) 80,4 voa (25 C) 78,5 titanová keramika 130 titaničitan strontnatý Pro vakuum je ε r = 1. a měřeno při 20 C, není-li uveeno jinak b za normálních pomínek Jinou veličinou, která charakterizuje ielektrikum, je průrazné napětí. Je to při ané tlouš ce ielektrika nejnižší napětí, při němž nastane elektrický průraz ielektrika. Při průrazu se vytvoří v ielektriku voivá ráha mezi elektroami, ielektrikum ztrácí své izolační vlastnosti, poškoí se. Kažé ielektrikum má charakteristickou ielektrickou pevnost; ta je rovna maximální intenzitě E max elektrického pole, při níž ještě k průrazu neoje. Několik těchto honot je uveeno v tab Jak jsme uveli v souvislosti s rov. (26.18), může být kapacita kažého konenzátoru zapsána ve tvaru C = ε 0 L, (26.28) ke L má rozměr élky. Např. v přípaě eskového konenzátoru je L = S/. ž Faraay zjistil, že pro konenzátor, který má prostor mezi elektroami zcela vyplněný ielektrikem, lze rov. (26.28) upravit na tvar C = ε r ε 0 L = ε r C 0, (26.29) ke C 0 je kapacita konenzátoru bez ielektrika, tj. s vakuem mezi elektroami (anebo, pro nepříliš náročná měření, se vzuchem). Veličina ε = ε r ε 0 se nazývá (absolutní) permitivita. Obr poskytuje přestavu o Faraayových experimentech. Pole obr a baterie uržuje konstantní napětí mezi elektroami konenzátoru. Faraay objevil, ε r = konst. (a) B B ε r Q = konst. Obr (a) Je-li mezi elektroami konenzátoru uržováno konstantní napětí (např. pomocí baterie), pak vlivem vloženého ielektrika vzroste náboj na elektroách. (b) Jestliže na elektroách konenzátoru zůstává nezměněný náboj, pak ielektrikum vložené mezi elektroy způsobí pokles napětí mezi nimi. Tento pokles napětí viíme na stupnici elektrometru (elektrostatického voltmetru), kterým můžeme měřit napětí, aniž jím prochází prou (tj. aniž se elektrický náboj mezi měřenými místy přesunuje). Konenzátor se tey nemůže přes takový elektrometr vybít. že je-li mezi elektroy konenzátoru vložena eska ielektrika, pak náboj Q vzroste ε r -krát a baterie oá na elektroy konenzátoru alší náboj. V situaci znázorněné na obr b však baterie připojena není a náboj Q se tey nezmění. Je-li nyní vložena ielektrická eska, pak napětí mezi elektroami konenzátoru klesne ε r -krát. Obě tato pozorování (vzhleem k platnosti vztahu Q = C) potvrzují závěr, že vložením ielektrika vzroste kapacita konenzátoru. Porovnání rov. (26.28) a (26.29) ukazuje, že vliv ielektrika můžeme zahrnout o našich osavaních rovnic obecněji: V prostoru zcela vyplněném ielektrikem s relativní permitivitou ε r platí i naále všechny rovnice elektrostatiky vakua, pokuvýraz ε 0 nahraíme výrazem ε 0 ε r. Boový náboj vložený o (rozlehlého) ielektrika v něm tey vytváří elektrické pole, jehož intenzita má velikost (b) E = 1 4Ôε r ε 0 Q r 2. (26.30) Vztah pro intenzitu elektrického pole těsně napovrchem osamoceného voiče umístěného v ielektriku (viz rov. (24.11)) pak zní E = 0 0 V V σ ε r ε 0. (26.31)

14 26.7 DIELEKTRIKA 681 Oba tyto vztahy ukazují, že při neměnném rozložení nábojů je účinek ielektrika takový, že zmenšuje intenzitu elektrického pole v porovnání s vakuem. Mohli bychom říci, že ielektrikum vložené mezi náboje částečně ostíní jejich vzájemné silové působení. Jestliže by se např. eska mohla posouvat mezi elektroami bez jakéhokoli oporu a bez tření, kmitala by tam a zpět, jak by byla vtahována o prostoru mezi elektroami konenzátoru a setrvačností vžy překmitem vystoupila ruhou stranou ven. Mechanická energie kmitů 893pJ by se zachovávala. Kinetická energie pohybující se esky by se stále měnila na energii elektrického pole a obráceně. PŘÍKLAD 26.7 Deskový konenzátor s kapacitou C = 13,5 pf je nabit na napětí = 12,5 V. Opojíme baterii a mezi jeho elektroy zasuneme porcelánovou esku (ε r = 6,50). Jaká je elektrická energie konenzátoru pře vsunutím esky a po něm? ŘEŠENÍ: Počáteční elektrická energie je vyjářena vztahem (26.22), tey E el,i = 1 2 C2 = 1 2 (13, F)(12,5V) 2 = = 1, J = pj. (Opově ) Tuto veličinu můžeme pole rov. (26.21) vyjářit též ve tvaru E el,i = Q2 2C. Tento vztah je v této situaci zvláště vhoný, protože pole zaání zůstává po vložení esky konstantní Q (a nikoli ). Protože kapacita C vzroste po vložení esky ε r -krát, je E el,f = Q2 2ε r C = E el,i (1 055 pj) = = ε r (6,50) = 162 pj. (Opově ) Energie konenzátoru se tey po vsunutí esky zmenší ε r -krát. Pokles energie je vyvolán tím, že se část energie spotřebovala na práci spojenou se zasunutím esky. Elektrické pole konenzátoru vtahuje esku mezi elektroy konenzátoru a vykoná při tom práci W = E el,i E el,f = ( ) pj = 893 pj. KONTROLA 5: Jaký ůsleek bue mít vložení esky pro níže uveené veličiny, jestliže baterie v př zůstane zapojena: zvětší se, zmenší, či zůstane beze změny honota (a) napětí na elektroách konenzátoru,(b) kapacity konenzátoru,(c) náboje konenzátoru, () elektrické energie konenzátoru, (e) intenzity elektrického pole mezi elektroami? (Tip: Pro opově (e) vezměte v úvahu, že náboj na konenzátoru nezůstává konstantní.) 26.7 DIELEKTRIKA Co probíhá v ielektriku z hleiska atomové a molekulové struktury, vložíme-li ho o vnějšího elektrického pole? Pole typu molekul, které ho tvoří, mohou nastat vě situace: 1. Polární ielektrika. Molekuly některých ielektrik, např. voy, mají stálé (permanentní) elektrické ipólové momenty. V takových materiálech (zvaných polární ielektrika) se elektrické ipóly natáčejí o směru vnějšího elektrického pole, jak je znázorněno na obr Protože se však molekuly nepřetržitě navzájem srážejí v ůsleku svého nahoilého tepelného pohybu, nejsou uspořáány úplně (orientace elektrických ipólů ne zcela souhlasí se směrem pole). Přitom je orientace tím úplnější, čím větší je intenzita působícího pole a čím nižší je teplota ielektrika p E 0 (a) (b) Obr (a) Molekuly se stálým elektrickým ipólovým momentem mají náhonou orientaci elektrických ipólů, nenachází-li se ielektrikum ve vnějším elektrickém poli. (b) Nacházejí-li se molekuly v elektrickém poli, ochází k částečnému uspořáání ipólů. Neuspořáaný (tepelný) pohyb brání úplnému uspořáání.

15 682 KAPITOLA 26 KAPACITA (a tuíž i intenzita srážek molekul). spořááním elektrických ipólů se vytváří elektrické pole, které má opačnou orientaci než přiložené vnější pole, a má menší intenzitu než pole vnější. 2. Nepolární ielektrika. Nezávisle na tom, za mají, či nemají permanentní ipólové momenty, získávají molekuly umístěné o vnějšího elektrického pole inukované ipólové momenty. V čl (obr ) jsme viěli, že se vnější pole projeví protažením molekuly, oálením střeů oblastí klaného a záporného náboje v molekule. Tyto inukované momenty jsou však ve srovnání s vlastními ipólovými momenty o několik řáů menší ( C m); atomy a molekuly se významněji eformují až ve velmi silných elektrických polích. Na obr a je eska z nepolárního ielektrika. Na obr b na tuto esku působí vnější elektrické pole konenzátoru o intenzitě E 0, s polaritou vyznačenou na obrázku. Vlivem pole E 0 se trochu oálí střey oblastí klaných a záporných nábojů v atomech (molekulách) ielektrika; to se projeví vznikem klaného povrchového náboje na jené straně esky a záporného na straně opačné. Desku tak můžeme považovat za velký makroskopický ipól. Deska jako celek však zůstává elektricky neutrální, nebo uvnitř esky nepřevláá náboj ani klaného, ani záporného znaménka ve kterémkoli objemovém elementu obsahujícím ostatečný počet molekul. Z obr c viíme, že inukovaný povrchový náboj na čelních plochách esky vytváří elektrické pole E,které je orientováno opačně než přiložené vnější pole E 0.Výslené pole E uvnitř ielektrika (E = E 0 E ) má směr pole E 0, ale je slabší (má menší velikost intenzity než vnější pole, E<E 0 ). Jak pole E vytvořené povrchovými náboji, tak i pole tvořené permanentními elektrickými ipóly na obr mají to společné, že jsou orientována proti poli E 0. Jak polární,tak i nepolární ielektrika po vložení o vnějšího elektrického pole, které ielektrikem proniká, toto pole v sobě zeslabují. Nyní je zřejmé, proč je porcelánová eska v př vtahována o prostoru mezi elektroami konenzátoru; nachází-li se eska (alespoň částečně) v prostoru mezi elektroami, inukují se na jejích stěnách přilehlých k elektroám náboje opačných znamének, než mají náboje na těchto přilehlých elektroách konenzátoru. V ůsleku přitažlivých sil mezi náboji na elektroách a náboji inukovanými na esce vzniká síla, která vtahuje esku o prostoru mezi elektroami DIELEKTRIKAAGASSŮV ZÁKON ELEKTROSTATIKY Při našem výklau o Gaussově zákonu elektrostatiky v kapitole 24 jsme uvažovali náboje ve vakuu. Nyní bueme sleovat, jak se změní a zobecní tento zákon v ielektrickém prostřeí, např. v některém z ielektrik uveených v tab Obr znázorňuje eskový konenzátor s elektroami o ploše S. Přepokláejme, že volný náboj Q na elektroách konenzátoru je stejný jak v přípaě s vloženým ielektrikem, tak i bez něj. Připomeňme, že pole mezi elektroami inukuje vázané náboje na čelních plochách ielektrika jením z procesů popsaných v čl V přípaě konenzátoru bez ielektrika (obr a) můžeme stanovit elektrické pole E 0 mezi elektroami tak, jak to bylo vysvětleno u obr. 26.5: obklopíme náboj Q na horní elektroě Gaussovou plochou a použijeme Gaussův zákon elektrostatiky.je-li E 0 velikost intenzity elektrického pole, můžeme psát ε 0 E S = ε 0 E 0 S = Q (26.32) a otu E 0 = Q ε 0 S. (26.33) E 0 = 0 E 0 E E E 0 (a) (b) (c) Obr (a) Dielektrická eska. Kroužky znázorňují elektricky neutrální atomy uvnitř esky. (b) Elektrické pole je vytvořeno nabitými elektroami konenzátoru; pole mírně protáhne atomy, oělí o sebe střey oblastí klaných a záporných nábojů. (c) veené oělení vee ke vzniku povrchových nábojů na čelech esky. Tyto náboje vytvářejí pole o intenzitě E orientované opačně než vnější pole o intenzitě E 0. Intenzita výsleného pole uvnitř ielektrika E = E 0 E má směr pole E 0 avšak menší velikost.

16 26.8 DIELEKTRIKA A GASSŮV ZÁKON ELEKTROSTATIKY 683 Gaussova plocha (a) Gaussova plocha ε r (b) E 0 E Q Q Q Q Q Q Obr Deskový konenzátor (a) bez ielektrika, (b) s vloženou eskou ielektrika. O náboji Q na elektroách se přepokláá, že je stejný v obou přípaech. Pro přípa pole obr b, tey za přítomnosti ielektrika, můžeme určit elektrické pole mezi elektroami (tey uvnitř ielektrika) pomocí téže Gaussovy plochy. vnitř uzavřené Gaussovy plochy jsou však nyní náboje vojího ruhu; je to jenak volný náboj Q na horní elektroě, jenak inukovaný náboj Q na horní ploše ielektrika. Náboj na voivé elektroě je volný náboj, protože se může pohybovat, jestliže změníme elektrický potenciál elektroy. Inukovaný náboj na povrchu ielektrika není volný, protože nemůže být z této plochy oveen. Celkový náboj uvnitř Gaussovy plochy je tey Q Q (obr b). Proto pole Gaussova zákona elektrostatiky platí ε 0 E S = ε 0 ES = Q Q (26.34) a otu E = Q Q ε 0 S. (26.35) Z přechozích výklaů víme, že vložené ielektrikum zmenšuje intenzitu E 0 půvoního pole ε r -krát. Proto platí E = E 0 = Q ε r ε r ε 0 S. (26.36) Porovnání rov. (26.35) a (26.36) ává Q Q = Q ε r. (26.37) Rov. (26.37) ukazuje, že velikost inukovaného povrchového náboje Q je menší než velikost volného náboje Q a je rovna nule za nepřítomnosti ielektrika, tj. je-li v rov. (26.37) bráno ε r = 1. Po osazení za Q Q z rov. (26.37) o (26.34) můžeme zapsat Gaussův zákon elektrostatiky ve tvaru ε 0 ε r E S = Q (Gaussův zákon elektrostatiky (26.38) pro ielektrikum). Tuto významnou rovnici jsme sice ovoili pro elektrické pole eskového konenzátoru, ale platí obecně a je nejobecnějším tvarem Gaussova zákona elektrostatiky. Doplňme k tomu násleující: 1. Plošný integrál v rov. (26.38) nevyjařuje tok vektoru E, nýbrž tok vektoru ε r E. Vektor ε 0 ε r E se nazývá elektrická inukce D a rov. (26.38) pak může být zapsána v jenoušším tvaru D S = Q. 2. Náboj Q, který je uvnitř Gaussovy plochy, je pouze volný náboj. Inukovaný (vázaný) povrchový náboj není na pravé straně rov. (26.38) záměrně explicitně vyjářen; jeho vliv na elektrické pole je započten zaveením relativní permitivity na levé straně rov. (26.38). 3. Rov. (26.38) se liší orov. (24.7) tím, že obsahuje výraz ε r ε 0 namísto ε 0.Výrazε r zahrnujeme o integranu, čímž se umožní postihnout i takové přípay, ve kterých ε r není konstantní na Gaussově ploše, protože je funkcí souřanic: ε r = ε r (x,y,z). PŘÍKLAD 26.8 Obr znázorňuje eskový konenzátor s elektroami o obsahu S, které jsou ve vzálenosti. Na elektroách je napětí 0. Po nabití konenzátoru byla baterie opojena a mezi elektroy byla vsunuta eska z ielektrika tlouš ky b o relativní permitivitě ε r tak, jak je znázorněno na obr važujme honoty S = 115 cm 2, = 1,24 cm, 0 = 85,5V, b = 0,780 cm, ε r = 2,61. (a) Jaká byla kapacita C 0 konenzátoru pře vložením ielektrika? ŘEŠENÍ: Z rov. (26.9) ostáváme C 0 = ε 0S = (8, F m 1 )( m 2 ) (1, = m) = 8, F = 8,21 pf. (Opově ) (b) Jak velký je volný náboj konenzátoru? ŘEŠENÍ: Pole rov. (26.1) je Q = C 0 0 = (8, F)(85,5V) = = 7, C = 702 pc. (Opově ) Protože baterie byla pře vložením ielektrické esky opojena, zůstává volný náboj nezměněn i po vložení této esky.

17 684 KAPITOLA 26 KAPACITA (c) Jaká je intenzita E 0 v mezeře mezi elektroami a ielektrickou eskou? Gaussova plocha I Gaussova plocha II Q Q Q ε r b Q Obr Příkla Mezi elektroami eskového konenzátoru je eska ielektrika, která jen částečně vyplňuje prostor mezi elektroami. ŘEŠENÍ: Použijme Gaussova zákona elektrostatiky ve tvaru (26.38) s Gaussovou plochou I pole obr Tato Gaussova plocha obklopuje pouze volný náboj na horní elektroě konenzátoru. Skalární součin E S je nenulový jen v mezeře a v ní jsou tyto vektory souhlasně orientované směrem olů. Proto ε 0 ε r E S = ε 0 (1)E 0 S = Q aotu E 0 = Q ε 0 S = (7, C) (8, F m 1 )( m 2 ) = = V m 1 = 6,90 kv m 1. (Opově ) Poznamenejme, že v této rovnici bereme ε r = 1, protože ta část Gaussovy plochy, přes kterou integrujeme a kterou prochází nenulový tok vektoru intenzity, nevee ielektrikem. Poznamenejme ještě, že honota E 0 se vložením esky nemění, protože se nemění velikost volného náboje uvnitř Gaussovy plochy I. () Jaká je velikost intenzity elektrického pole E 1 v ielektriku? ŘEŠENÍ: Použijme rov. (26.38) při volbě Gaussovy plochy II pole obr vnitř plochy je volný náboj Q a inukovaný náboj Q ; při použití rov. (26.38) uvažujeme jen volný náboj Q. Skalární součin E 1 S je nenulový jen v prostoru mezi elektroami a zároveň jsou v tomto prostoru tyto vektory opačně orientované. Proto ε 0 ε r E 1 S =ε 0 ε r E 1 S =Q. (26.39) (První záporné znaménko zleva plyne ze skalárního součinu E 1 S, protože vektor E 1 směřuje olů a vektor S směřuje vzhůru vektory jsou opačně orientovány.) Rov. (26.39) ává E 1 = Q ε r ε 0 S = E 0 = (6,90 kv m1 ) = ε r (2,61) = 2,64 kv m 1. (Opově ) (e) Jaké je napětí mezi elektroami po vsunutí esky ielektrika? ŘEŠENÍ: Vyjeme z rov. (26.6), přičemž bueme integrovat poél přímé integrační cesty kolmé k oběma elektroám. vnitř ielektrika je élka integrační cesty b a intenzita elektrického pole je ze E 1. vnitř obou štěrbin naa po ielektrikem má integrační cesta élku b a intenzita elektrického pole je ze E 0. Rov. (26.6) pak ává = () () Es = E 0 ( b) E 1 b = = (6 900 V m 1 )(0,0124m 0, m) (2 640 V m 1 )(0, m) = = 52,3V. (Opově ) Tato honota se liší o půvoního napětí, které bylo 85,5V. (f) Jaká je kapacita konenzátoru s vloženým ielektrikem? ŘEŠENÍ: Pole rov. (26.1) je C = Q = (7, C) (52,3V) = 1, F = 13,4pF. (Opově ) Tato honota je větší než půvoní honota C 0 = 8,21 pf. K ONTROLA 6: Nechme v př tlouš ku b esky ielektrika vzrůstat.buou se v ůsleku toho násleující veličiny zvětšovat, zmenšovat, či zůstanou beze změny? (a) Intenzita elektrického pole E 1, (b) napětí mezi elektroami, (c) kapacita konenzátoru. =

18 PŘEHLED & SHRNTÍ 685 PŘEHLED & SHRNTÍ Konenzátor, kapacita Konenzátor se skláá ze vou vzájemně elektricky oělených voičů (elektro), které v přípaě, že je konenzátor nabit, mají stejně velké náboje opačných znamének Q a Q. Jehokapacita je efinována vztahem C = Q, (26.2) ke je napětí mezi elektroami. Jenotka kapacity v SI je fara(1 fara= 1F= 1C V 1 ). rčení kapacity Obecně můžeme určit kapacitu kažého konenzátoru tak, že: (1) vyjáříme náboj Q konenzátoru, (2) určíme intenzitu E elektrického pole vytvořeného náboji na elektroách konenzátoru, (3) určíme napětí na konenzátoru, (4) vypočteme C pole vztahu (26.2). Kapacity některých typů konenzátorů: Deskový konenzátor je tvořen rovinnými rovnoběžnými elektroami. Je-li vzálenost elektro a má-li kažá elektroa plochu o obsahu S, je kapacita eskového konenzátoru C = ε 0S. (26.9) Válcový konenzátor je tvořen věma elektroami tvaru souosých válcových ploch élky L, z nichž vnitřní má poloměr a a vnější b. (Přepoklááme b > a, L b.) Kapacita válcového konenzátoru je C = 2Ôε 0L ln (b/a). (26.14) Kulový konenzátor je tvořen věma elektroami ve tvaru soustřených kulových ploch, z nichž vnitřní má poloměr a a vnější b (b >a). Kapacita kulového konenzátoru je ab C = 4Ôε 0 b a. (26.17) Jestliže v rov. (26.17) b a současně položíme a = R, obržíme vztah pro kapacitu osamocené voivé koule poloměru R: C = 4Ôε 0 R. (26.18) Paralelně a sériově spojené konenzátory Výslená kapacita C p,resp.c s paralelního,resp.sériového spojení konenzátorů je n C p = C j (n konenzátorů spojených paralelně), (26.19) resp. j=1 1 C s = n j=1 1 C j (n konenzátorů spojených sériově). (26.20) Tyto vzorce můžeme použít i k výpočtu kapacit komplikovanějších sériově-paralelních spojení. Elektrická energie a hustota energie elektrického pole Elektrická energie E el nabitého konenzátoru je E el = Q2 2C = 1 2 C2. (26.21, 26.22) Je rovna práci potřebné k nabití konenzátoru. Tato energie je uložena v elektrickém poli konenzátoru. Hustota energie w el elektrického pole je vyjářena vztahem w el = E el V = 1 2 ε 0E 2, (26.23) ke V je objem oblasti, v níž je elektrické pole o intenzitě E. Kapacita konenzátorus ielektrikem Jestliže je prostor mezi elektroami konenzátoru zcela vyplněn ielektrikem, zvětší se jeho kapacita ε r -krát, ke ε r je relativní permitivita charakterizující materiál (ielektrikum). V prostoru zcela vyplněném ielektrikem musíme ve všech rovnicích elektrostatiky nahrait veličinu ε 0 výrazem ε r ε 0. Procesům probíhajícím v ielektriku nacházejícím se ve vnějším elektrickém poli můžeme fyzikálně porozumět na záklaě výklau o působení elektrického pole na permanentní nebo na inukovaný elektrický ipól v ielektriku. Jako výsleek tohoto působení se objeví inukované náboje na povrchu ielektrika, což vee k tomu, že intenzita výsleného elektrického pole v ielektriku je menší než intenzita vnějšího elektrického pole. Gaussův zákon elektrostatiky v ielektriku Za přítomnosti ielektrika má Gaussův zákon elektrostatiky tvar resp. ε 0 ε r E S = Q, (26.38) D S = Q, ke D je elektrická inukce a Q je volný náboj uvnitř Gaussovy plochy. Vliv inukovaného povrchového náboje je vyjářen relativní permitivitou ε r, která je zahrnuta o integrálu v rov. (26.38).

19 686 KAPITOLA 26 KAPACITA OTÁZKY 1. Grafy na obr vyjařují závislost náboje na napětí u tří eskových konenzátorů. Velikosti ploch elektro a jejich vzálenosti jsou uveeny v tabulce. Ke kažému grafu z obr přiřa te opovíající konenzátor pole tabulky. KONDENZÁTOR PLOCHA VZDÁLENOST 6. (a) Jsou konenzátory C 1 a C 3 na obr a spojeny o série? (b) Jsou konenzátory C 1 a C 2 na tomtéž obrázku spojeny paralelně? (c) Čtyři elektrické obvoy na obr seřa te sestupně pole velikosti výslené kapacity. C 3 1 S 2 2S 3 S 2 C 1 C 2 C 3 C 2 C 1 Q a (a) (b) Obr Otázka 1 b c C 3 C 1 C 2 C 1 C 3 2. Obr ukazuje příčný řez osamocenou plnou kovovou koulí A o poloměru R a věma kulovými konenzátory B a C s vnitřními poloměry R a vnějšími poloměry 2R. Vnitřní kulová elektroa konenzátoru B je kulová plocha, zatímco vnitřní kulová elektroa konenzátoru C je plná koule. Seřa te objekty A, B a C sestupně pole velikosti jejich kapacit. A B C Obr Otázka 2 3. Rozhoněte, za kapacita eskového konenzátoru vzroste, klesne, nebo se nezmění, kyž mezi elektroy konenzátoru vsuneme plochou velmi tenkou aluminiovou fólii tak, že (a) fólie je voivě spojena s jenou elektroou, (b) fólie je o elektro izolována. (Tip: V části (b) uvažujte výslenou kapacitu.) 4. Jsou v elektrických obvoech znázorněných na obr , konenzátory spojeny sériově, paralelně, nebo jiným způsobem? (a) (b) (c) Obr Otázka 4 5. Dva konenzátory jsou připojeny k baterii: (a) Při kterém spojení konenzátorů (paralelním, nebo sériovém) je napětí na obou konenzátorech stejné a rovno napětí na ekvivalentním konenzátoru? (b) Při které kombinaci konenzátorů je náboj na obou konenzátorech stejný a roven náboji na jejich ekvivalentním konenzátoru? (c) C 2 Obr Otázka 6 7. Vypočítejte výslenou kapacitu tří konenzátorů o stejných kapacitách C, jsou-li spojeny (a) sériově, (b) paralelně. (c) Při kterém spojení těchto konenzátorů bue na jejich ekvivalentním konenzátoru větší náboj? 8. Konenzátory o kapacitách C 1 a C 2 (C 1 >C 2 ) jsou připojeny k baterii, nejprve jenotlivě, potom sériově a nakonec paralelně. Seřa te tato spojení sestupně pole velikosti náboje na nich uloženého. 9. (a) Je v př napětí na konenzátoru C 2 ve srovnání s napětím na konenzátoru C 1 větší, menší, nebo je stejné? (b) Je náboj konenzátoru C 2 ve srovnání s nábojem konenzátoru C 1 větší, menší, nebo stejný? 10. K baterii byl nejprve připojen konenzátor C 1, potom byl k němu paralelně připojen konenzátor C 2. (a) Je napětí na konenzátoru C 1 po této změně větší, menší, či stejně velké? (b) Je náboj Q 1 na konenzátoru C 1 po této změně větší, menší, či zůstal stejně velký? (c) Je kapacita C 12 paralelně spojených konenzátorů C 1 a C 2 větší, menší, či stejně velká ve srovnání s kapacitou C 1? () Je celkový náboj akumulovaný konenzátory C 1 a C 2 větší, menší, či stejně velký ve srovnání s nábojem, který měl konenzátor C 1 přepřipojením konenzátoru C 2? 11. Řešte otázku 10 pro přípa, že konenzátor C 2 byl připojen ke konenzátoru C 1 sériově. 12. V př zvětšíme kapacitu C 2. Zjistěte, co se stane s níže uveenými veličinami: zvětší se, zmenší se, či zůstanou beze změny? (a) Výslené napětí na kažém z konenzátorů, (b) část celkového náboje Q uložená na konenzátoru C 1, (c) část celkového náboje Q uložená na konenzátoru C 2. ()

20 CVIČENÍ & ÚLOHY Na obr jsou tři obvoy, z nichž kažý obsahuje spínač a va konenzátory, které jsou na počátku nabité tak, jak je znázorněno. Ve kterém z těchto obvoů náboj na levém konenzátoru po sepnutí spínače (a) vzroste, (b) klesne, (c) zůstane beze změny? 6Q 2C (1) 3Q C 6Q 3C (2) 3Q C Obr Otázka 13 6Q 2C (3) 3Q 2C 14. Dvě osamocené kovové koule A a B mají poloměry R a 2R a jsou nabité stejně velkými náboji. Porovnejte velikosti násleujících veličin: (a) kapacity koulí, (b) objemové hustoty energie v blízkosti povrchů vně koulí, (c) hustoty energie ve vzálenosti 3R o střeu koulí, () celkové energie elektrických polí vytvořených nabitými koulemi. 15. Olejový eskový konenzátor má mít kapacitu C amábýt bezpečně funkční až o napětí m. Nebyl však navržen obře a občas ochází k průrazu. Jak máme návrh změnit, aby s týmž olejem byl plně funkční při stejných honotách m a C? 16. Deska ielektrika je vsunuta mezi elektroy jenoho ze vou stejných konenzátorů (obr ). Rozhoněte, za se honoty níže uveených veličin tohoto konenzátoru zvětší, zmenší, či za se nezmění: (a) kapacity, (b) náboje, (c) napětí, () elektrické energie. (e) Jak buou znít opověi na tytéž otázky pro ruhý konenzátor? ε r C C Obr Otázka 16 B CVIČENÍ & ÚLOHY ODST Kapacita 1C. Elektrometr je zařízení na měření statického náboje. Je to vlastně konenzátor, na jehož elektroy přeneseme náboj neznámé velikosti a přečteme napětí. Jakou minimální honotu náboje můžeme změřit elektrometrem o kapacitě 50 pf a napě- ové citlivosti 0,15 V? 2C. Kovová pilka a klíč (obr ) nesou náboje 70 pc Obr Cvičení 2 a 70 pc, které mezi nimi vyvolávají napětí 20 V. (a) Jaká je kapacita systému těchto vou přemětů? (b) Co se stane s kapacitou systému, změní-li se honoty nábojů na 200 pc a 200 pc? (c) Jak se změní napětí? 3C. Konenzátor na obr má kapacitu 25 ÑF a je nenabitý. S Obr Cvičení 3 Baterie poskytuje napětí 120 V. Jak velký elektrický náboj proje spínačem S po jeho zapnutí? C ODST Výpočet kapacity 4C. Vyjáříme-li ε 0 z rov. (26.9), zjistíme, že v mezinároní soustavě jenotek (SI) je jenotkou této veličiny F m 1. Dokažte, že tato jenotka je ekvivalentní jenotce, kterou jsme pro ε 0 uveli říve, tj. jenotce C 2 N1 m2. 5C. Deskový konenzátor má elektroy kruhového tvaru o poloměru 8,2 cm vzálené o sebe 1,3 mm. (a) Vypočítejte jeho kapacitu. (b) Jak velký náboj se objeví na elektroách, kyž na konenzátor vložíme napětí 120 V? 6C. Máme k ispozici vě ploché kovové esky, kažá má obsah 1,00 m 2. Máme z nich zkonstruovat eskový konenzátor. V jaké vzálenosti by se musely nacházet jeho elektroy, měla-li být kapacita konenzátoru 1,00 F? Můžeme takový konenzátor skutečně zkonstruovat? 7C. Elektroy kulového konenzátoru mají poloměry 38,0mm a 40,0 mm. (a) Vypočítejte jeho kapacitu. (b) Jak velký obsah by musely mít elektroy eskového konenzátoru se stejnou vzáleností elektro, aby měl stejnou kapacitu jako tento kulový konenzátor? 8C. Chlapec přešel po koberci za suchého počasí a rukou se přiblížil ke kovové klice veří. Mezi jeho rukou a klikou přeskočila 5 mm louhá elektrická jiskra. Tak velká jiskra signalizuje, že mezi jeho tělem a klikou musí být napětí okolo 15 kv. Jak velký náboj se nahromail na jeho těle chůzí po koberci, kyž napětí mezi tělem a kobercem osáhlo uveené honoty? V úvaze zhruba nahra te chlapcovo tělo rovnoměrně nabitou voivou koulí o poloměru 25 cm, elektricky izolovanou ookolí. 9C. Dva stejně velké archy hliníkové fólie jsme umístili rovnoběžně 1,0 mm osebe. Takto vzniklý konenzátor o kapacitě 10 pf byl nabit na napětí 12 V. (a) Vypočítejte obsah kažého archu. Poté jsme archy přiblížili na vzálenost 0,10 mm při nezměněném náboji. (b) Jaká je nová honota kapacity? (c) Jak se změnilo napětí? Vysvětlete, jak na záklaě těchto změn by mohl být konstruován mikrofon.