Grafické řešení úloh LP se dvěma neznámými

Transkript

1 . přenáška Grafické řešení úloh LP se věma nenámými Moel úlohy lineárního programování, který obsahuje poue vě nenámé, le řešit graficky v rovině pravoúhlých souřaných os. V této rovině se nejprve obraí všechny omeující pomínky (nerovnice a rovnice), potom se naje jejich průnik v I. kvarantu. Průnik přestavuje množinu všech přípustných řešení, na které se vyhleá etrém účelové funkce. Postup ilustrujeme na úloe s čaji (vi.přenáška). Matematický moel úlohy: počet sáčků čisté máty (ks) počet sáčků směsi (ks) Vlastní omeující pomínky: a) 6 b) 4 c) Pomínky neápornosti: Účelová funkce: ma Grafické řešení úlohy Kažá nerovnice se věma proměnnými je geometricky obraena polorovinou. Hraniční přímka této poloroviny je určena rovnicí ískanou příslušné nerovnice použitím naménka rovnosti. Která opačných polorovin vyťatých hraniční přímkou vyhovuje ané nerovnici jistíme tak, že osaíme o nerovnice souřanice libovolného bou. Poku nerovnice platí, pak je to polorovina, ve které tento bo leží. Poku neplatí, je to polorovina opačná. Nejprve náorníme všechny omeující pomínky v rovině souřaných pravoúhlých os. Jana Friebelová

2 Společnému řešení všech nerovnic tvořících soustavu omeujících pomínek opovíá průnik příslušných polorovin a I. kvarantu. Pomínky jsou v našem příklau onačeny písmenky a, b, c. Poku by byl tento průnik práný, úloha nemá přípustné řešení. Nepráný průnik všech polorovin a přímek, které jsou konvení útvary, je opět konvení útvar, který má konečný počet krajních boů (vrcholů) a který je buď omeený nebo neomeený. Tento průnik onačujeme jako množinu κ. Souřanice jakéhokoliv bou množiny κ přestavují přípustné řešení úlohy. Krajní boy množiny κ (v našem příklau jsou tyto vrcholy onačeny písmeny A, B, C, D, E) přestavují áklaní přípustná řešení. Poku má úloha optimální řešení, je to jeen vrcholů přestavujících áklaní přípustná řešení. Jana Friebelová

3 Pro naleení etrému účelové funkce na množině přípustných řešení sestrojíme graf této funkce pro její vě libovolně volené honoty. V našem příklau jsme volili nejprve honotu 6 a potom honotu. Tím ískáme vě rovnoběžné přímky. Ze vájemné polohy těchto vou přímek můžeme určit směr, který opovíá růstu, popř. poklesu honoty účelové funkce. Přímka náorňující účelovou funkci pak posouváme rovnoběžně příslušným směrem až o posleního bou, který je společný s množinou κ. Poku je množina κ neomeená, účelová funkce nabývá neomeeně velkých nebo neomeeně malých honot. Grafickým řešení úlohy jsme jistili, že optimální řešení se nacháí v boě B. Toto le prověřit postupným osaením souřanic všech krajních boů o účelové funkce. Bo A má souřanice [; 4] a po osaení o účelové funkce ískáme honotu. Bo B má souřanice [7; 4] a po osaení o účelové funkce ískáme honotu. Bo C má souřanice [;,] a po osaení o účelové funkce ískáme honotu. Bo D má souřanice [; ] a po osaení o účelové funkce ískáme honotu. Bo E má obě souřanice nulové, tey i honota účelové funkce je nulová. Jana Friebelová

4 V boě B je honota účelové funkce největší. Znamená to, že nejvyšší isk ( Kč) osáhneme při výrobě 7 sáčků čisté máty a 4 sáčků směsi. Zvláštní přípay řešení úloh LP a) pomínky si oporují úloha nemá přípustné řešení b) úloha má nekonečně mnoho rovnocenných optimálních řešení graf účelové funkce je rovnoběžný s některou přímek, které omeují množinu κ c) množina přípustných řešení je neomeená honota neomeeně roste či klesá ) hleání celočíselného řešení na množině přípustných řešení nás ajímají jen řešení ležící na průsečících svislých a voorovných přímek, mei nimiž je jenotková válenost SIMPLEXOVÁ METODA Je to univerální, iterační metoa, k optimálnímu řešení se ostaneme v krocích. Přecháíme pole určitých praviel o výchoího áklaního přípustného řešení ané úlohy k jiným áklaním přípustným řešením, která ávají lepší honotu účelové funkce, až o osažení optima Algoritmus simpleové metoy:. ískání výchoího áklaního přípustného řešení. proveení testu optima; jestliže řešení není optimální, násleuje alší krok. přecho k novému áklanímu přípustnému řešení s lepší honotou účelové funkce 4. opakování. a.kroku až o naleení optima, popř. až o jištění, že honota účelové funkce je neomeená Stanovení výchoího přípustného řešení úloh LP Proměnné, které jsou obsaženy v půvoních omeujících pomínkách, se naývají strukturní proměnné. Omeující pomínky ve tvaru nerovnic je nutné nejprve převést na rovnice pomocí oplňkových proměnných. Matice soustavy musí obsahovat jenotkovou submatici, kterou tvoří koeficienty áklaních proměnných (kanonický tvar). Nerovnice typu - přičítáme oplňkové proměnné, které přestavují nevyužití horní hranice příslušného omeení, v účelové funkci mají tyto oplňkové proměnné nulové koeficienty. Nerovnice typu - oečítáme oplňkové proměnné, které přestavují překročení olní hranice příslušného omeení; v účelové funkci mají opět nulové koeficienty a ároveň přičítáme k levým stranám ještě tv. umělé proměnné u. Poku je omeení ve tvaru rovnice, též přičítáme umělé proměnné Zaveením umělých proměnných ískáme rošířenou úlohu k ané úloe, která je s půvoní ekvivalentní, poku se umělé proměnné rovnají nule. Poku neeistuje přípustné řešení rošířené úlohy s nulovými honotami umělých proměnných, nemá půvoní úloha řešení. Umělé proměnné se snažíme e áklaního řešení vyloučit, a to násleujícími působy:. Umělým proměnným přiřaujeme prohibitivní cenu (u maimaliačních úloh níké áporné číslo M a u minimaliačních úloh vysoké klané číslo M) 4 Jana Friebelová

5 . Minimaliujeme součet umělých proměnných, který je vžy neáporný (poku součet, eistuje přípustné řešení úlohy a pak řešíme ále běžným působem; poku součet >, půvoní úloha nemá přípustné řešení) Příkla: ma 4 7,,, Nerovnice převeeme na rovnice pomocí oplňkových proměnných:. 4 7,, Pro ískání rovnic v kanonickém tvaru musíme přičíst ještě umělé proměnné: ma 4 7,, Mu Mu u u Poku, obě soustavy jsou ekvivalentní. u u Maimaliační úlohy řešené simpleovou metoou Ponik vyrábí výrobky V a V, přičemž má k ispoici omeené množství suroviny S t a S t. Cena výrobku V je tis.kč a cena výrobku V je tis.kč. Kolik kterých výrobků má ponik vyrábět, aby měl maimální tržby? Spotřeba obou surovin na výrobky V a V jsou uveeny v násleující tabulce. V V S,, S Matematický moel úlohy: počet výrobků V (ks) počet výrobků V (ks) ma,,,,, Jana Friebelová

6 Koeficienty strukturních a oplňkových proměnných apíšeme o násleující tabulky. První sloupec tabulky obsahuje proměnné, které jsou v bái (struktura báe). V bái jsou proměnné, jejichž vektory tvoří jenotkovou matici. Další sloupce jsou naepsány symboly všech proměnných, které se v úloe vyskytují. Honoty báických proměnných jistíme v poslením sloupci tabulky (b - vektor pravých stran). Poslení řáek tabulky (inení řáek onačený písmenkem ) obsahuje anulovanou rovnici účelové funkce. Honotu účelové funkce v jenotlivých krocích jistíme na průsečíku sloupce b a ineního řáku. báe b,, - - Uveené řešení je optimální, poku neeistuje jiné áklaní přípustné řešení, které by ávalo vyšší honotu účelové funkce (u maimaliačních úloh se v inením řáku už nevyskytuje áporné číslo). V našem přípaě jsou u výchoího řešení áklaní nenámé (obsažené ve sloupci báe) a ( a ). Neáklaní proměnné jsou e a ( a ). Účelová funkce * * * *. Protože se v inením řáku vyskytují áporná čísla, le řešení lepšit. Postup při řešení simpleovou metoou: V inením řáku najeme nejnižší číslo tento sloupeček onačíme jako klíčový. Proměnná, která je naepsaná v áhlaví klíčového sloupce se stane v alším kroku áklaní, tey vstoupí o báe. Pak ělíme postupně pravou stranu klaným číslem v klíčovém sloupci pro všechny áklaní nenámé (poku v klíčovém sloupci není klané číslo, je neomeená). Tam, ke vyje poíl nejnižší, to pole onačíme jako klíčové (v naší tabulce onačené žlutě). Proměnná v řáku, ke kterému přísluší nejnižší poíl báe vystoupí. Úpravami musíme ostat o klíčového pole a na a po něj, pomocí Gauss-Joranovy eliminační metoy. Novou áklaní proměnnou apíšeme o sloupce báe namísto vyloučené proměnné báe b,, - - 4/ / / -/ 7/ 6/ 64 Záklaní nenámé jsou nyní a ( a ) Neáklaní nenámé jsou a ( a ) Účelová funkce * * * * 64. V inením řáku se již nevyskytuje áporné číslo, řešení je optimální. 6 Jana Friebelová