Druhé kvantování. Slaterův determinant = χ χ

Transkript

1 Druhé kvntování

2 Druhé kvntování žádná nová fyzk! jný formlsmus upltnění prncpu ntsymetre bez použtí Slterových determnntů. Antsymetrcké vlstnost vlnových funkcí jsou přeneseny n lgebrcké vlstnost dných operátorů Slterův determnnt = χ χ k l kreční operátor vytvoří elektron ve stvu popsném spnorbtlem χ nhlční operátor použítí pro přehlednost odvozování jednoduchost př zápsu u řešení mnoh elektronových systémů

3 Kreční operátor Jeho plkcí dojde k vytvoření elektronu v dném spnorbtlu. defnce Pořdí spnorbtlů v determnntu je klíčové! zákldní vlstnost: ntkomutce: χ χ = χ χ χ k l k l opětovné použtí dává nulu χ χ = χ χ j k l j k l { } = =, j j j = { } χ χ =, když k,, l k l Př.: Užtím uvedených vlstností ukžte, že pro kždé K z množny ( ) K = {,,,,, } K χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ

4 Anhlční operátor Odstrnění elektronu v dném spnorbtlu. nhlční operátor - defnce k l k l ( ) χ χ χ = χ χ = zákldní vlstnost: ntkomutce: χ χ = χ χ j k l j k l { } = =, j j j opětovné použtí dává nulu = { } χ χ =, když k,, l k l {, } Antkomutátor obecná defnce AB = AB BA

5 Kombnce krečních nhlčních operátorů N co vede kombnce operátorů? ( ) χχ k l =? přípd, kdy k l, pk je druhý výrz nulový ( ) χ χ = χ χ = χ χ k l k l k l přípd, kdy =k nebo =l, pk je první výrz nulový ( ) χ χ = χ χ = χ χ k l k l k l Obě část výpočtu vedou n stejný determnnt. Celkově lze tedy relc zpst ve tvru: { } = 1 =,

6 Kombnce krečních nhlčních operátorů přípd, kdy j ( ) j j χk,..., χl =? výrz je nenulový pouze v přípdě {k, l} zároveň j {k, l} ( ) = ( ) χ χ χ χ χ χ j j k l j j k l = χ χ χ χ χ χ j k l j k l = χ χ χ χ χ χ χ j k l j k l = χ χ χ χ χ χ = j k l j k l {, } j j j = δ =

7 Př.: Použtím uvedených vlstností ukžte, že pro všechny K z množny: ( ) K = ( ) K = K {,,,,, } K χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ χ

8 Vkuum Stv Vkuum stv, který neobshuje žádný elektron. Je normlzován. = 1 K = = L = χχ = j j = χχ = k l k l Z tohoto stvu můžeme plkcí příslušných krečních operátorů zkonstruovt jkýkolv stv systému. χ = Překryv dvou Slterových determnntů pomocí druhého kvntování. Aplkce ntkomutční relce ž k výrzu typu. K L = j k l ( δ ) = j k k l = δ k j l j k l = δ δ δ k jl k l j δ l j k j k l

9 K L = δ δ δ k jl l j k = δ δ δ δ δ k jl l jk l k j = δ δ δ δ k jl l jk Př.: Mějme stv Ukž K = χ χ χ = 1 2 N 1 2 N { } K K = 1, jestlže = j 1,2,, N j =, v osttních přípdech Př.: Nechť je vlnová funkce HF zákldního stvu. Ukž, že pltí následující vzthy: = χ χχ χ 1 r r r = = r rs = = b = s b r = r s b. r c. r f. d. b N b. e. = = = = rs b r b s b s r

10 Operátory ve formlsmu druhého kvntování Nyní vyjdříme obdobným způsobem, jko u mnoh částcových determnntů, mnoh částcové operátory ve formlsmu krečních nhlčních operátorů. O = h j 1 j 1 O 2 = j kl 2 jkl j j l k Př.: Vezměme HF vlnovou funkc pro mnmální báz molekuly vodíku. Ukžte pomocí druhého kvntování, že = χ χ = = ( ) = O = h j j 1 2 j = 1 h 1 2 h 2

11 Operátory v druhého kvntování Ukžme s, že je druhé kvntování ekvvlentní nšm předchozím závěrům. Vypočteme energ stvu pomocí druhého kvntování. = χ 1 χ χ b χ N Pro jednoelektronový operátor: O = h j 1 j j by byl tento ntegrál nenulový, musí ndexy, j náležet do množny ndexů {, b, } O = h b 1 b b = δ b b b = δ b b b

12 Pro jednoelektronový operátor (pokr.): O = h b δ = h 1 Pro dvouelektronový operátor: = b b b 1 O = j kl 2 j l k 2 jkl 1 = b cd 2 bcd b d c Uprvme nejdříve druhý ntegrál následující snímek

13 Pro dvouelektronový operátor (pokr.): = δ b d c bd c d b c = δ δ δ bd c bd c δ bc d d c b = δ δ δ δ δ bd c bc d bc d = δ δ δ δ bd c bc d 1 O2 = b b b b 2 Celková energe je v souhlsu s předchozím závěry. b H = O O = h b b 2 b

14 Př.: Pomocí přesouvání krečního nhlčního operátoru, ukžte Př.: Ukžte nápověd: nejdřív ukžte O = h j r 1 r j j = r h N r O2 = b rb b = δδ δδ r j l k rj l k rj k l δδ δδ r k j l r l j k