Technická univerzita v Liberci Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií. Petr Rálek, Josef Novák, Josef Chudoba

Transkript

1 Technická univerzita v Liberci Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Metody užívané v logistice Petr Rálek, Josef Novák, Josef Chudoba Materiál byl vytvořený s podporou ESF v rámci projektu: Inovace a realizace bakalářského oboru Informatika a logistika v souladu s požadavky průmyslu a veřejné správy, číslo projektu CZ / /0442 1

2 Obsah 1 Teorie zásob - úvod 4 Charakteristika parametrů v modelech zásob Modely zásob 7 Deterministické modely zásob Model Model Model Model Stochastické modely zásob Model Model 2 - optimalizace jednorázově vytvářené zásoby Cvičení a příklady 26 2 Sít ová analýza - úvod 28 Základní pojmy teorie grafů 30 Neorientovaný graf Orientovaný graf Sít ový graf 32 Metoda kritické cesty 36 Výpočet kritické cesty Výpočet v sít ovém grafu Výpočet v tabulce Analýza získaných výsledků Metoda PERT 44 Cvičení a příklady 47 3 Teorie front a systémy hromadné obsluhy - úvod 50 Základní pojmy SHO Klasifikace SHO Obecná klasifikace Klasifikace podle částí SHO Kendallova klasifikace SHO

3 Typy SHO a jejich modely 56 Markovské SHO M/M/1/ M/M/n/ M/M/n/m M/M/1/ M/M/n/ Cvičení a příklady 69 4 Teorie obnovy 72 Úvod Charakteristiky procesů obnovy Rovnice procesu obnovy Procesy obnovy a jejich modely Obnova zařízení z hlediska nákladů při jeho selhání Obnova zařízení z důvodu jeho opotřebení Literatura 81 3

4 Kapitola 1 Teorie zásob - úvod Zásoby tvoří položku, ve které má podnik vázanou určitou (významnou) část aktiv. Proto patří teorie zásob k tradičním oblastem logistiky a operačního výzkumu. Jejím cílem je minimalizace nákladů, které jsou se zásobami spojené (jejich pořizování a skladování), a optimalizace řízení zásob (stanovení intervalů nákupu surovin či skladování výrobků). Na obr. 1.1 je jednoduché schéma výrobního procesu. dodavatelé zdrojù spotøebitelé sklad zdrojù výroba sklad výrobkù Obrázek 1.1: Schéma funkce zásob je ve výrobním procesu Zásoby vystupují na dvou místech procesu: sklad zdrojů - materiál a suroviny potřebné pro výrobu, sklad výrobků - finální výrobky či dodávky pro další výrobu V teorii zásob se oba případy nerozlišují, vždy se jedná o proces typu VSTUP - SKLAD - VÝSTUP, liší se pouze charakter vstupu. Následující příklady představují obě typické úlohy: Příklad 1. Předpokládejme, že průměrný roční stav zásoby polotovarů pro výrobu je 500 ks s tím, že nákupní cena 1 ks je 2000 Kč. Celkem je tedy v zásobách u této jednotky v peněžním vyjádření 1 mil. Kč. Pokud by tyto prostředky byly volné, potom by mohly být investovány a přinesly by ročně řekněme 8 %, tj Kč. Tuto cenu volných peněz je rozumné zahrnout do skladovacích nákladů - na 1 ks skladovaného polotovaru tak ročně připadá 160 Kč. Pokud by byly ostatní složky skladovacích nákladů vyčištěny na 80 Kč na 1 ks za rok, potom jsou celkové skladovací náklady jedné jednotky za 1 rok 240 Kč. tj. 12 % z pořizovací ceny polotovaru. Příklad 2. Fruta a.s. produkuje v jedné ze svých poboček limonády ve dvoulitrových plastikových lahvích. Výroba a distribuce těchto výrobků je, vzhledem k poptávce v průběhu roku, rovnoměrná. Plastikové lahve jsou od dodavatele odebírány v kartonech (každý z nich obsahuje 24 ks lahví) - potřeba těchto kartonů za celý rok je plánovaná ve výši ks. Nákupní cena jednoho kartonu je 120 Kč. Lahve jsou objednávány pravidelně v určitých kvantech s tím, že 4

5 s každou objednávkou souvisejí fixní náklady ve výši Kč. Pořizovací lhůta dodávek je fixní a činí 1/2 měsíce. Skladovací náklady jednoho kartonu za 1 rok činí 20% z jeho nákupní ceny. V případě nedostatku zásoby na skladu vznikají společnosti nadnáklady a ztráty, které byly vykalkulovány ve výši 50 Kč na 1 karton za 1 rok. Fruta, a.s. se rozhodla analyzovat systém svého skladového hospodářství tak, aby minimalizovala náklady, které souvisejí s doplňováním zásob a s jejich skladováním. Modely řízení zásob řeší 2 hlavní otázky: 1. V jakém okamžiku objednat novou dodávku daného objemu zásob? 2. Jak velká by měla být objednávka? Ilustrujme situaci na dvou extrémních případech stavu zásob ve skladu: Velmi vysoký stav zásob ve skladu. Výhody - plynulá výroba, doplňování skladu v delších časových intervalech. Nevýhody - náklady na skladování (skladovací prostor, manipulace se zásobami), vázaná aktiva v zásobách, možné znehodnocení zásob stárnutím. Velmi nízký stav zásob ve skladu. Výhody, resp. nevýhody tohoto případu jsou opakem nevýhod, resp. výhod prvního případu. Řízení zásob je tedy podmíněno řešením optimalizační úlohy: stanovit takovou výši zásob, která minimalizuje celkové náklady za dané období. V úloze vystupuje celá řada různých parametrů. Lze je rozdělit do tří skupin - parametry poptávky, objednávky a skladovacích nákladů (viz obr. 1.2). vstup stav skladu poptávka odbyt ze skladu objednávka Obrázek 1.2: Zásobovací proces Charakteristika parametrů v modelech zásob První skupinou parametrů v modelech řízení zásob je charakter poptávky po sledované jednotce zásoby. Poptávka může být rozlišena na deterministickou (DP) a stochastickou (SP). Velikost či intenzita DP je v rámci daného časového intervalu pevně daná. To je třeba případ poptávky po součástce montované do výrobku, víme-li, že za směnu se vyrobí daný počet výrobků. SP je neurčitá a jako veličinu ji lze odhadnout pouze s určitou pravděpodobností (rozdělení pravděpodobnosti je třeba určit pomocí statistických metod). Příkladem SP je poptávka po nově uváděném zboží na trhu. V oblasti objednávek sledujeme: 5

6 Rytmus objednávky - časový interval mezi pravidelně se opakujícími se objednávkami. Rytmus dodávky - časový interval mezi pravidelně se opakujícími se dodávkami. Pořizovací lhůta dodávky (PLD) - časový interval, který uplyne od okamžiku objednávky (kdy odešleme objednávku) do okamžiku dodávky (kdy máme zboží na skladě). PLD může být deterministická nebo stochastická. V nejjednodušších modelech se PLD zanedbává a volí se okamžik objednávky = okamžik dodávky. Objednávky se řídí podle dvou základních strategií: 1. Objednávka je vystavena v okamžiku, kdy zásoba klesne na předem stanovenou mez, která označuje jeho bod znovuobjednávky. Je tedy třeba plynule sledovat stav zásob a při poklesu na stanovenou mez objednat dodávku. Při tomto procesu provádíme spojité sledování zásoby. Všechny objednávky mají stejnou velikost, ale délka časového intervalu mezi nimi se může lišit. Počet objednávek dodávek (dodávek) za jednotku času označujeme jeho intenzitu objednávek (dodávek). 2. Časové intervaly mezi objednávkami jsou konstantní. V těchto intervalech se sleduje velikost zásoby a dle ní se obbjedná příslušné množství. V tomto systému jsou zásoby sledovány periodicky. Intenzita objednávek je konstantní, liší se jejich velikosti. Náklady tvoří nejčastější optimalizační kritérium v modelech zásob - většinou chceme náklady minimalizovat. Rozlišujeme tři druhy nákladů: 1. Skladovací náklady se vztahují ke každé jednotce zásoby ve skladu za určité časové období. Zahrnují hlavně manipulaci ve skladu, pronájem prostor, spotřebu energií, mzdové náklady a pojištění, popř. znehodnocení zásob a ohodnocení vázanosti peněz v zásobách. Tyto náklady závisejí na objemu skladovaných zásob - jsou to náklady variabilní. Skladovací náklady vztažené k jednotce zásob (hmotnost, počet kusů) a času značíme c 1. Skladovací náklady mohou být zadány dvěma způsoby - pevnou částkou vztaženou k jednotce zásob za časové období nebo jako procento z nákupní ceny zásob (viz př. 1). 2. Pořizovací náklady zahrnují náklady na přepravu (náklady dodavatele) a mzdy personálu zajišt ujícího objednávku. Týkají se každého doplnění skladu a každé objednávky. Tyto náklady nezávisejí na velikosti objednávky - jedná se o fixní náklady. Značíme je c Náklady spojené s nedostatkem zásob vznikají tehdy, když v důsledku nedostaku zásob nemůže být uspokojena poptávka. Je to např. penále za pozdě dodané zboží odběrateli, ušlý zisk za nerealizovaný obchod, náklady za mimořádnou objednávku (expresní poplatky), náklady vzniklé omezením či zastavením výroby či změnou výrobního programu, ale i vyčíslení ztráty dobrého jména společnosti. Tyto náklady značíme c 3. 6

7 Modely zásob Základní modely řízení zásob se dělí na dva typy: Modely deterministické - s pevně danou poptávkou i pořizovací lhůtu dodávek. Modely stochastické - velikost poptávky a pořizovací lhůta jsou dány s určitou pravděpodobností. V zásadě řešíme dvě otázky - kdy se má zásoba doplnit a o kolik, s podmínkou, že chceme minimalizovat náklady. Deterministické modely zásob Model 1 Nejjednodušší model byl formulován již roku V řadě modifikací se používá dodnes. Vychází se v něm z těchto zidealizovaných předpokladů: poptávka je známá a konstantní - označíme ji symbolem Q, čerpání zásob ze skladu je rovnoměrné, pořizovací lhůta je konstantní, velikost všech dodávek je známá a konstantní, nákupní cena je nezávislá na velikosti objednávky (neuvažují se množstevní slevy), není připuštěn vznik nedostatku zásoby - k doplnění skladu dochází v okamžiku jeho vyčerpání), k doplnění skladu dochází v jednom časovém okamžiku. Průběh dodávkových cyklů je znázorněn na obr V tomto modelu se pravidelně opakují dodávkové cykly. Délku cyklu značíme t [rok], velikost dodávky q [kus]. Každý cyklus se skládá z čerpání zásoby a doplnění skladu. Sledované období označme T [rok]. Cílem je nalézt optimální velikost dodávky q [kus], která bude minimalizovat celkové náklady za dobu T q N(q) = c 1 2 T + c Q 2 [Kč], (1.1) q kde první sčítanec jsou skladovací náklady (jak víme, variabilní), druhý tvoří fixní pořizovací náklady. V předpokladech modelu neuvažujeme náklady z nedostatku zásob c 3. 7

8 stav zásoby velikost dodávky q doplnìní zásoby èerpání zásoby... t 2t 3t T dodávkový cyklus èas Obrázek 1.3: Průběh stavu zásoby v závislosti na čase pro Model 1. V rovnici (1.1) jsou: T sledované období [rok], c 1 jednotkové skladovací náklady za jednotkovou dobu [Kč/ks rok], c 2 pořizovací náklady jedné dodávky [Kč/dodávka], q velikost jedné dodávky [ks], Q velikost poptávky za dobu T [ks], q 2 průměrná velikost zásob, n = Q q počet dodávkových cyklů [1 dodávka], t interval mezi dodávkami [rok], N skladovací a pořizovací náklady za dobu T [Kč], d dodací lhůta [rok], r bod znovuobjednávky [ks]. Uvedené pojmy budeme charakterizovat na příkladu, jehož parametry jsou zřejmé z tabulky 1.1. Určíme dvě dvě odlišné zásobovací strategie, lišící se počtem zásobovacích cyklů a velikostí dodávky. Příklad 3. První strategie spočívá v malém počtu objednávek (dodávek) - uskutečňují se pouze dvakrát ročně a každá z nich je o velikosti Q=18000 ks kartónů. Tato strategie je charakterizována vysokým průměrných stavem zásob - polovina mezi maximálním a minimálním stavem, tj 9000 ks. Budou v ní tedy vysoké skladovací náklady, ale vzhledem k malému počtu dodávkových cyklů, nízké fixní náklady. Naopak, druhá strategie počítá s dodávkami každý měsíc - každá z nich bude mít tedy velikost 3000 ks. Průměrný stav zásoby je pouze 1500 ks. Ve srovnání s první strategií bude charakterizován tento systém nízkými skladovacími náklady, ale vysokými fixními náklady (12 cyklů ročně). Budeme-li uvažovat výše definované nákladové položky, tj. náklady na pořízení jedné dodávky Kč/dodávka (c 2 ) a jednotkové skladovací 8

9 strategie I strategie II poptávka Q [ks] velikost poptávky q [ks] počet zásobovacích cyklů 2 12 náklady na pořízení jedné dodávky c 2 [Kč/dodávka] 12000, ,- pořizovací náklady za dobu T [Kč] 24000, ,- průměrná výše zásob [ks] jednotkové skladovací náklady c 1 [Kč/(ks rok)] 24,- 24,- celkové skladovací náklady za dobu T [Kč] , ,- celkové náklady za dobu T , ,- Tabulka 1.1: Parametry dvou strategií. náklady 24 Kč/(ks rok) (c 1 ), potom dostáváme pro celkové náklady N obou strategií údaje obsažené v tabulce 1.1. Z údajů v tabulce plyne, že strategie II je z hlediska celkových nákladů výhodnější. Uvedené porovnání však zatím nevypovídá nic o tom, jaká vypadá optimální strategie (jaká strategie je charakterizována nejnižšími celkovými náklady). Celkové náklady (1.1) jsou funkcí proměnné q. Optimalizovat velikost dodávky q a tím minimalizovat funkci N(q) je pak prostým výpočtem extrému funkce N(q). První derivaci N(q) položíme rovnou 0 a nalezneme stacionární bod q. Obr. 1.4 ilustruje situaci. Součtem nákladů náklady N* c 1 +c 2 c 1 c 2 0 q* velikost dodávky Obrázek 1.4: Nalezení minima nákladové funkce. q N 1 (q) = c 1 T [Kc/rok], což je přímka, a nákladů N Q 2 2(q) = c 2 [Kc/rok], což je hyperbola, q dostáváme graf celkových nákladů N(q). Položme první derivaci N(q) podle q rovnu 0, Řešením (stacionárním bodem) je dn dq = c 1 2 T c 2Q q 2 = 0. (1.2) q = 2Qc2 c 1 T [ks]. (1.3) 9

10 Vzhledem k faktu, že d 2 N dq 2 = 2c 2Q q 3 > 0, je N = N(q ) minimum funkce N(q) a q je optimální velikost dodávky. Rovnice (1.2) se nazývá Wilsonův vzorec. Potom platí, že (ponecháno jako cvičení): 1. Pro q je N 1 (q ) = N 2 (q ) a bod [q, N 1 (q )], je průsečíkem grafů N 1 a N Pro minimální hodnotu nákladů platí (dosazením q ze vztahu 1.3 do vztahu 1.1) 3. Pro optimální délku cyklu t platí (vzhledem ke Q = T ), že q t N = 2Qc 1 c 2 T [Kč]. (1.4) t = q T [rok]. (1.5) Q Bod znovuobjednávkyi (signální úroveň zásoby) r udává, při jakém počtu jednotek na skladu musíme vystavit objednávku, aby k doplnění skladu došlo v okamžiku vyčerpání skladové zásoby. Bod znovuobjednávky lze vyjádřit jako r = Q d m q, (1.6) kde součin Q d je poptávka za dobu dodací lhůty d a m je celočíselná část podílu d t. Součin m q odečítáme proto, že dodací lhůta může být obecně delší než je délka cyklu t. Vrat me se k příkladu a uved me jeho optimální parametry. Příklad 3b. Pokračování Příkladu 3 se shodnými parametry. Určíme optimální parametry modelu. q 2Qc = 2 = ) c 1 = 6000 ks, T 24 1 N = 2Qc 1 c 2 T = = Kč. Optimální velikost dodávky je tedy 6000 ks a s ní související celkové náklady jsou Kč. Vzhledem k tomu, že roční poptávka je ks, bude interval mezi dodávkami t = q Q T = 6000 = 1/6 roku = 2 měsíce Pořizovací lhůta dodávky d byla v zadání úlohy stanovena na 1/2 měsíce (= 1/24 roku). Očekávaná poptávka v tomto období je Qd = 36000/24 = 1500 ks. Protože je zbytek po dělení hodnoty 1500 (Qd) hodnotou 6000 (q ) roven 1500, je třeba vystavit objednávku vždy v okamžiku, kdy klesne stav skladu na úroveň 1500 ks (bod znovuobjednávky r = 1500 ks). Optimální počet dodávkových cyklů vztahující se k optimální velikosti dodávky lze spočítat jako n = T t = Q q [dodávka]. 10

11 Poznámka. Parametry q, t, n mohou být obecně reálná čísla. V některých případech mohou vzniknout požadavky na jejich celočíselnost - nejčastěji u počtu cyklů. V tomto případě vezmeme obě sousední celočíselné hodnoty n 1 = n, n 2 = n + 1. a jako optimální vybereme hodnotu, pro kterou budou celkové náklady (1.1) nižší. Dodatečné zásoby na celočíselnost q a t mohou vést na v praxi nerealizovatelné řešení (neceločíselná velikost zásob či neceločíselné intervaly dodávek). Často je výhodnější volit q a t celočíselné a n neceločíselné s tím, že nebudou po uplynutí periody T zcela vyčerpané zásoby (viz následující příklady [6]). Příklad 4. Během doby T = 1 rok = 240 pracovních dnů činí poptávka po určitém druhu zboží Q = 720 kusů. Intenzita poptávky je rovnoměrná. Jednotkové náklady na skladování necht nabíhají pouze v pracovních dny, a jsou c 1 = 2 Kč, tj. přibližně 0, 0083 Kč, jednotkové ks rok ks den náklady na objednávku jsou c 2 = 20 Kč/dodávka. Vypočtěte důležité charakteristiky modelu. Řešení: Optimální výše dodávky je q = 2c2 Q c 1 T = = = 120 ks. Optimální náklady vypočteme dosazením do (1), N(q ) = 2c 1 c 2 TQ = = = 240 Kč. Proved te u výše uvedených vztahů rozměrovou analýzu. Optimální počet cyklů je n = Q = q 720 = 6 dodávek. Optimální délka cyklu dle (1.5) je 120 t = q T T = T = 240 = 40 pracovních Q n 6 dnů. Poznámka. Výsledky příkladu 4 jsou celočíselné ve všech proměnných n, q, t. V následujícím příkladě ukážeme jak postupovat, jestliže některá z uvedených veličin bude neceločíselná a přitom bude kladen požadavek na její celočíselnost. Příklad 5. Během doby T = 1 čtvrtletí = 90 pracovních dnů činí poptávka po určitém druhu zboží Q = ksm. Poptávka po výrobku je rovnoměrná. Jednotlivé náklady na skladování jsou c 1 = 0, 005 Kč. Jednotkové náklady na objednávku jsou c denks 2 = 20 Kč/dodávka. Vypočtěte důležité charakteristiky modelu. Budeme požadovat celočíselný počet dodávek za čtvrtletí. Řešení: Optimální výše dodávky je q = 2c2 Q c 1 T = , = 2828 ks. Minimálná skladovací a pořizovací náklady Poptávka po výrobku za den je N = 2Qc 1 c 2 T = , = 1272, 79 Kč. Q T = = 1000 ks 90 den. 11

12 Optimální počet cyklů za rok je n = Q q T = 1 = 31, , 43 Počet dodávek je neceločíselný. Optimální počet cyklů leží mezi dvěma přípustnými celočíselnými hodnotami, tj. n 1 = 31, resp. n 2 = 32. Dostáváme q 1 = Q n 1 T = = 2903 ks, resp. 31 q 2 = Q n 2 T = = 2813 ks. N(q 32 1), resp. N(q 2 ) musíme ovšem počítat dle základního vzorce (1.1), nikoliv dle (), protože vztah () je určen pro výpočet optimálních nákladů: N(q 1 ) = 0, = 1273, 23 Kč N(q 2 ) = 0, = 632, , 00 = 1272, 81 Kč , 50 Protože N(q 2 ) < N(q 1 ), je optimální celočíselný počet cyklů n = n 2 = 32. Intervaly dodávek jsou t 1 = T n 1 = 90 = 2.90 dne, t 31 2 = T n 2 = 90 = 2.81 dne. 32 Z teoretického hlediska neceločíselnost hodnot q, t nebo n nevadí. Z praktického hlediska však můžeme vyžadovat celočíselnost počtu dodávek, dodávky s definovanou časovou periodou (např. dodávky pouze každé pondělí), nebo dodávky v definovaných kvantech (např. v celočíselných násobcích 50-ti kusů). Věnujme se nyní citlivosti nákladové funkce. Srovnáme-li optimální náklady N (q) s náklady N(q) plynoucími z použití jiné než optimální strategie, získáme N(q) N (q) = c q 1 T + c 2 2 Q q 2Qc1 c 2 T = 1 ( q 2 q + q ). q Vztah odvod te. Je zřejmé, že poměr N(q) není závislý na velikostech fixních ani variabilních N (q) nákladů, ani na poptávce. Ze vztahu plyne, že velikost dodávky vyšší o určité procento než dodávka optimální vede k nižším nákladům než dodávka o shodné procento nižší než dodávka optimální. Jinak řečeno, náklady strategie zásobování, při níž snížíme velikost dodávky o x procent oproti velikosti optimální dodávky se rovnají nákladům strategie zásobování při níž zvýšíme velikost dodávky o y procent oproti velikosti optimální dodávky, přičemž vždy platí, že x < y. Případ více položek Výše uvedený model uvažuje jediný druh zásoby. V praxi se často praktikuje dovoz více druhů materiálu či zboží, z nichž každý má jiný optimální interval (např. různé velikosti obálek v kanceláři). Uvažujme m skladových položek, které mohou být objednány a dodány společně, tedy počet cyklů je pro všechny druhy společný, n = Q 1 q 1 =... = Q m q m [dodávek], kde Q i označuje poptávku [ks/rok], q i označují velikost jedné dodávky pro i-tou položku [ks]. Náklady na objednávku c 2 [Kč/dodávka] jsou společné pro všech m položek. Jednotkové skladovací náklady c 1i [Kč/ks rok] jsou součtem nákladů i-té položky. Je výhodné volit objednávky a dodávky tak, aby zásoby každé položky byly vyčerpány společně. Na obr. 1.5 je znázorněn průběh stavu zásoby pro dvě položky. Celkové náklady je třeba opět vyjádřit jako funkci jedné proměnné. Jako rozhodovací proměnnou je výhodnější volit délku periody t (či počet cyklů) nežli velikosti dodávek q i. 12

13 stav zásoby q 1 q 2... t 2t 3t T èas Obrázek 1.5: Průběh stavu zásob jednotlivých položek v závislosti na čase. Skladovací náklady pro m položek za dobu T jsou m T N 1 (q) = c 1i q i 2 [Kč]. Pro vyjádření nákladů jako funkce času využijme vztahu Dostáváme Q i q i = T t N 1 (t) = i=1 = počet cyklů n. m i=1 c 1i Q i t 2 [Kč]. Náklady na objednávku jsou T N 2 (t) = c 2 t [Kč]. Celkové náklady jsou součtem nákladů N 1 a N 2, N(t) = N 1 (t) + N 2 (t) = Položme opět první derivaci funkce (1.7) podle času t rovnou 0, dn dt = 0, a získáme stacionární bod (ověřte) t 2c 2 T = m i=1 c 1iQi [rok]. m i=1 Q i t c 1i 2 + c T 2 t. (1.7) Pomocí druhé derivace N(t) ověříme, že se jedná o minimum (proved te). Pro optimální velikost objednávky i-té položky pak platí: a optimální počet cyklů je q i = t Qi T [ks] n = T t [dodávek]. 13

14 Poznámka. Platí analogické úvahy o celočíselnosti řešení (viz minulou poznámku). Model 2 Na rozdíl od modelu 1 připouštíme možnost nesplnění dodávek (a neuspokojení poptávky) z důvodu přechodného nedostatku zásob na skladě. To s sebou přináší dodatečné náklady (bud se poptávka uspokojuje nestandardním způsobem zboží si např. půjčíme od jiného dodavatele a zase jej musíme vrátit nebo se poptávka a její uspokojení odloží). Na obr. 1.6 je tato situace znázorněna. Dodávkový cyklus se rozpadá na dva intervaly t 1 a t 2. V prvním z nich dochází k stav zásoby q-s t 2 èerpání zásoby... s t 1 èas neuspokojená poptávka Obrázek 1.6: Průběh stavu zásob jednotlivých položek v závislosti na čase pro Model 2. normálnímu čerpání zásob ze skladu. V druhém intervalu zásoba na skladě není a poptávka po zásobách není uspokojena. Velikost nerealizovaného čerpání zásob (neuspokojené poptávky) v časovém intervalu t 2 označme jako s [ks]. Předpokládáme, že tato nerealizovaná poptávka bude uspokojena ihned při příští dodávce na sklad. Z objemu dodávky q bude okamžitě vyrovnán deficit s jednotek a stav zásob tedy vzroste na q s. Ostatní předpoklady jsou stejné jako u modelu 1. Cílem je nalézt optimální velikost dodávky q a optimální výši neuspokojené poptávky s, které budou minimalizovat celkové náklady. Náklady se skládají ze tří položek, kde jsou: N 1 (q, s) skladovací náklady (variabilní) N(q, s) = N 1 (q, s) + N 2 (q, s) + N 3 (q, s) [Kč], (1.8) q s N 1 (q, s) = c 1 2 t Q 1 q [Kč], N 2 (q, s) pořizovací náklady (fixní) na dodávky N 2 (q, s) = c 2 Q q [Kč], 14

15 N 3 (q, s) náklady z nedostatku zásoby s N 3 (q, s) = c 3 2 t Q 2 q [Kč], kde c 3 jsou jednotkové náklady z nedostatku zásob za jednotkovou dobu [Kč/ks.rok]. Ve všech vzorcích je Q = n počet cyklů (ostatní činitelé tedy vyjadřují dané náklady na jeden q cyklus). Celkové náklady (1.8) jsou součtem těchto tří položek, N(q, s) = (c 1 q s 2 t 1 + c 2 + c 3 s 2 t 2) Q q. (1.9) Proměnné t 1 a t 2 ve vzorci (1.9) lze vyjádřit pomocí proměnných q, s, Q na základě známých vztahů t 1 + t 2 = t = q Q T a podobnosti trojúhelníků na obr. 1.6 (ověřte!): (q s) 2 Q N(q, s) = c 1 T + c 2 2q q + c s 2 3 T. (1.10) 2q Pro nalezení stacionárního bodu (q, s ) funkce N(q, s) je třeba položit první parciální derivace rovny nule, N q = N s = 0. Příklad je ponechán jako cvičení (je třeba rovněž ukázat, že Hessián funkce N(q, s) je v bodě (q, s ) pozitivně definitní, pak je N = N(q, s ) minimem funkce N(q, s)). Výpočtem dostáváme optimální výši dodávky a neuspokojené poptávky, q = 2Qc 2 c 1 +c 3 c 1 T c 3 s = q c 1 c 1 +c 3 [ks]. [ks], (1.11) Optimální výše dodávky q je vlastně součinem optimální dodávky u modelu 1 a konstanty, která závisí na parametrech c 1 a c 3. Dosazením optimálního řešení (1.11) do vzorce (1.10) dostáváme minimální hodnotu nákladové funkce, N = 2Qc 1 c 2 T c3 c 1 + c 3 [Kč]. (1.12) Snadno nahlédneme, že optimální náklady N jsou součinem optimálních nákladů z modelu 1 a α, kde α = c 3 c 1 + c 3 [1]. (1.13) Konstanta α je menší než 1, tudíž i α je menší než 1, a proto jsou optimální náklady u modelu 2 vždy menší než u modelu 1. Ze vztahu t = q T získáme optimální délku dodávkového cyklu, Q t = q Q T = 2c 2 T α [rok]. (1.14) Qc 1 15

16 Bod znovuobjednávky r se vypočte stejně jako v modelu 1 jako zbytek po dělení Qd q (kde Qd je očekávaná poptávka). Je však třeba tento výsledek snížit o optimální objem neuspokojené poptávky s. Vrat me se k definici konstanty α. Platí α = t 1 t, a koeficient α vlastně vyjadřuje hodnotu pravděpodobnosti uspokojení poptávky. Podobně můžeme definovat pravděpodobnost, že požadavek bude muset čekat na uspokojení až do další objednávky, jako β = t 2 t = c 1 = s c 1 + c 3 q. (1.15) Zřejmě platí α + β = 1, a jsou li pevně dané skladovací náklady, pravděpodobnosti α, β pak závisejí na nákladech z důvodu neuspokojené poptávky c 3. Bude-li hodnota c 3 c 1, α bude blízká 1 a β se bude blížit 0, tím pádem i výše neuspokojené poptávky s bude blízko 0 (je jasné, že vzhledem k vysokým nákladům c 3 chceme v tomto případě co nejvíce omezit dobu neuspokojené poptávky). Poznámka. Při analýze skladovacího systému můžeme řešit úlohu stanovení velikosti c 3 tak, aby byla pravděpodobnost vyčerpání skladu β menší než stanovená mez β, c 1 c 1 + c 3 β c 3 c 1(1 β ) β. Poznámka. Jako cvičení je ponechán výpočet charakteristik systému z příkladu 5. Porovnejte výsledky s modelem 1. Příklad 6. Výpočet základních charakteristik modelu 2 budeme ilustrovat na našem příkladu. Hodnota nákladových parametrů je v tomto příkladu c 1 = 24 Kč/ks rok, c 2 = Kč/dodávka a c 3 = 50 Kč/ks rok. Dosazením do vztahů (1.13) a (1.15) získáme pravděpodobnosti uspokojení resp. neuspokojení poptávky: α = c 3 c 1 +c 3 = 50 = 0, 6757 [1] β = 1 α = 0, 3243 [1].. Optimální výše dodávky q, optimální výše neuspokojené poptávky s a maximální výše zásoby na skladu q s je po dosazení do (1.11): q 2(36000)(12000) = = , 48 = 7299 ks s = q β = , 3243 = 2367 ks q s = = 4932 ks. Pro společnost Fruta, a.s. by podle tohoto výsledku bylo rozumné, kdyby k doplnění skladu došlo v okamžiku, kdy počet neuspokojených požadavků bude roven 2367 ks kartónů plastikových lahví. Protože je očekávaná poptávka v průběhu pořizovací lhůty zásob Qd rovna 1500 ks (viz. předcházející model), bude bod znovuobjednávky r = 1500 s = = 867 ks (1500 je zbytek po dělení hodnoty Qd hodnotou q ). Objednávku je tedy třeba vystavit vždy v okamžiku, kdy počet neuspokojených požadavků dosáhne úrovně 867 ks. 16

17 Náklady souvisejících s uvedenou optimální strategií jsou N = 2Qc 1 c 2 T α = , 6757 = Kč. a jsou o Kč nižší než v modelu 1. Optimální délka dodávkového cyklu je t = q T = 7299 = roku. Kdybychom uvažovali Q v roce 240 pracovních dní, potom je délka dodávkového cyklu přibližně 49 pracovních dní. Model 3 Model 1 předpokládal pořízení série výrobků či doplnění skladů v zanedbatelně krátkém čase. To je většinou pravda při dovozu na sklad zvenčí, ne však např. při výrobě na sklad. Model 3, tzv. produkční, má stejné předpoklady jako model 1, ovšem doplnění skladu není jednorázové dodávka přichází na sklad po určitý čas. Dodávkový cyklus se rozpadá na dva intervaly - výrobní a spotřební cyklus. Přirozený je Obrázek 1.7: Průběh stavu zásob v produkčním modelu. požadavek, aby byla výroba rychlejší než spotřeba. Ve výrobním cyklu o délce t 1 se rovnoměrně doplňuje sklad a zárověň čerpají zásoby. Ve spotřebním cyklu délky t 2 se pouze dodává zásoba ze skladu. Nepředpokládáme možnost vzniku nedostatku zásoby. Chceme minimalizovat náklady potřebné k výrobě k výrobě série (realizace výrobní dávky) a skladování za dobu T. Náklady tvoří dvě položky skladovací (variabilní), resp. výrobní (fixní) náklady jedné výrobní dávky. Jednotkové výše uvedené nákladů za rok označme c 1 [Kč/ks rok], resp. c 2 [Kč/dodávka]. Musíme tedy určit hodnoty objemu výrobní dávky q a časové intervaly t 1, t 2 tak, aby se pokryla poptávka Q a minimalizovaly náklady. Označme K [ks] kapacitu výroby za čas T. Rychlost výroby je pak K [ks/rok]. Při poptávce Q T je rychlost spotřeby Q [ks/rok]. Obrázek 1.8 znázorňuje podrobněji jeden výrobně spotřební T cyklus. Parametry užívané v tomto modelu jsou: T sledované období [rok], c 1 jednotkové skladovací náklady za jednotkovou dobu [Kč/ks rok], c 2 pořizovací náklady jedné výrobní dávky [Kč/dodávka], 17

18 stav zásoby q s t 1 t 2 èas Obrázek 1.8: Závislost stavu zásoby na čase pro Model 3. q velikost jedné výrobní dávky [ks], s velikost skladových zásob po ukončení výrobního cyklu [ks], Q velikost poptávky za dobu T [ks], K kapacita výroby za dobu T [ks], s 2 průměrná velikost zásob, n = Q q počet cyklů [1 dodávka], t délka cyklu [rok], t 1 délka výrobního cyklu [rok], t 2 délka spotřebního cyklu [rok], N skladovací a pořizovací náklady za dobu T [Kč], d pořizovací lhůta výrobní dávky [rok], Snadno nahlédneme, že na konci výrobního cyklu je na skladě zásoba s (množství q se vyrobilo, q s se dodalo na trh). Protože rychlost výroby, rychlost plnění skladu a rychlost vyskladňování je stejné během jednoho cyklu jako za celé období T, platí Celkové náklady lze zapsat jako q t 1 = K T, s = K Q t 1 T, s t 2 = Q T. (1.16) N(q) = c 1.(průměrná výše zásoby) T + c 2.(počet cyklů za čas T) [Kc]. Z vzorců (1.16) získáme vztah mezi s a q, s = K Q t 1 = Tq K Q T K T = q(1 Q K ). Průměrná výše zásoby je polovina součtu maximální a minimální zásoby. Minimální zásoba je 0, proto je průměrná výše zásoby rovna (1 Q K )T q 2. 18

19 Počet cyklů je roven q. Nákladová funkce má tedy tvar Q N(q) = c 1 (1 Q K )T q 2 + c Q 2 q. (1.17) Obvyklým postupem nalezneme optimální hodnotu výrobní dávky, q 2Qc2 K = c 1 T K Q. Výpočet je ponechán jeho cvičení. Optimální délka cyklu je t = q Q T, minimální náklady jsou N = K Q 2Qc 2 c 1 T K. V modelu 3 lze zavést pořizovací lhůtu potřebnou k přípravě nové výrobní dávky d (podobně jako jsme zavedli pořizovací lhůtu dodávky u modelu 1). Dle hodnoty d můžeme určit bod r, obdobu bodu znovuobjednávky z modelu 1. Zavedeme-li ještě veličiny intenzitu výroby p (maximální počet vyrobených jednotek zboží za čas, např. kapacita výrobní linky) a intenzitu spotřeby h (dle odbytu požadovaný počet vyrobených jednotek zboží za čas), mohou nastat dva případy (přirozeně předpokládáme d < t): 1. d t 2 bod, ve kterém je třeba začít s přípravou nové dávky, spadá do spotřebního cyklu a je roven přímo poptávce za dobu d, tzn. r = hd. 2. d > t 2 bod, ve kterém je třeba začít s přípravou nové dávky, spadá do výrobního cyklu; hodnotu r lze potom vyjádřit jako (p h)(t d). Příklad 7. Upravme zadání příkladu 6. Předpokládejme, že společnost Fruta, a.s. má k dispozici vlastní recyklační linku na produkci plastových lahví s kapacitou 5400 ks kartónů lahví měsíčně (pokud by linka pracovala nepřetržitě). Měsíční potřeba je však pouze 3000 ks kartónů (36000 ks ročně). Intenzita výroby je tedy p = 5400 ks/měsíc, intenzita spotřeby h = 3000 ks/měsíc. Nákladové položky zůstávají definované ve stejné výši jako v původním příkladu skladovací náklady na 1 rok a kartón jsou c 1 = 24 Kč/(ks rok) a fixní náklady související s přípravou jedné výrobní dávky jsou c 2 = Kč/dodávka. Doba, kterou si vždy vyžádá příprava další výrobní dávky, je d = 1/2 měsíce. Určíme optimální velikost výrobní dávky, celkové roční náklady, dobu cyklu, dobu výrobního a spotřebního cyklu a množství na skladě, při kterém je nutné objednat novou výrobní dávku. Pro určení optimálních charakteristik takto definovaného systému stačí dosadit jeho parametry do vztahů, které jsme odvodili výše. Optimální objem výrobní dávky a s tím související náklady jsou q = 2(36000)(12000) 24 N = Optimální délka intervalu mezi dvěma dodávkami je t = q Q T = = = = 9000 ks, = Kč. 19 roku = 3 měsíce..

20 Z toho výrobní cyklus trvá t 1 = q p = = 5 3 měsíce, spotřební cyklus pak bude t 2 = = 4 3 měsíce. Protože d = 1 2 < t 2, stačí začít s přípravou nové dávky tehdy, pokud zásoba v rámci spotřebního cyklu klesne na úroveň r = hd = = 1500 ks kartónů. Model 4 Tento model popisuje situaci, ve které je možnost nákupu zboží na sklad s množstevní slevou. Cena za jednotku zboží se snižuje v závislosti na nakoupeném množství, hovoříme o tzv. cenové degresi. Budeme uvažovat případ, kdy při objednání množství, které přesáhne jistou velikost, získáme celé za výhodnější cenu. S výjimkou ceny měnící se s množstvím objednaného zboží uvažujeme stejné předpoklady jako u Modelu 1, tj. rovnoměrnou a konstantní poptávku, pravidelné konstantní dodávky ve stejných intervalech a doplnění skladu v jednom časovém okamžiku. Skladovací náklady c 1 budeme v tomto případě vyjadřovat poměrnou částí z celkové hodnoty zásob za jednotku času [1/rok]. Tuto veličinu lze samozřejmě převést na procentní sazbu z celkové hodnoty za jednotku času [%/rok]. Takto lze ohodnotit i kapitál vázaný v zásobách. Abychom mohli vyjádřit skladovací náklady, je nutné zavést další veličinu, a to cenu za jednotku objednaného zboží. Označme k i cenu jednotky zboží [Kč/ks], pokud objednané množství q q i, q i+1 ). Pro ceny k i platí, že k i > k i+1, resp. k i 1 > k i, Říkáme tedy to, že se vzrůstajícím objednaným množstvím klesá v předem definovaných intervalech q i, q i+1 ) jednotková cena zboží. Vyjádřeme nyní náklady spojené se zvolenou strategií zásobování. Je zřejmé, že velikost nákladů bude závislá na objemu objednávaného zboží (množstevní sleva), tedy N i (q) = c 1 q k i 2 T + c 2 Q q pro q q i, q i+1 ). (1.18) První člen udává skladovací náklady. Podíl q vyjadřuje průměrnou velikost skladové zásoby 2 q (jako u Modelu 1), součin k i její pořizovací hodnotu a konečně c q 2 1k i skladovací náklady, když 2 c 1 jsou skladovací náklady dané částí jejich pořizovací hodnoty. Stejně jako v předchozích modelech zásob hledáme takovou velikost dodávky, pro kterou jsou náklady strategie zásobování minimální. Hledáme tedy extrémy nákladových funkcí N i (q). Známým postupem zjistíme, že optimální velikost dodávek je q i = 2Qc2 c 1 k i T (1.19) a náklady s nimi související o velikosti N i = 2Qc 1 c 2 k i T (1.20) Ze vztahů 1.19, 1.20 vyplývá, že pro k i+1 < k i je q i+1 > q i a N i+1 < N i. Z uvedené úvahy vyplývá i následující postup, kterým se budeme řídit při určení optimální velikosti dodávky q. 1. Uvažujme, že i = 1, 2,..., n. Potom jednotková cena k n < k n 1 <... < k 2 < k 1. Jednotkové ceny k i jsou definovány v intervalech q q i, q i+1 ). 2. Nejprve vypočteme qn. Tedy optimální velikost dodávky v případě, že uvažujeme nejvýhodnější cenovou relaci k n, která je definována na intervalu q n, ). 20

21 3. Pokud q n > q n, potom q n = q a tedy i N n = N. 4. Pokud q n < q n, potom opakujeme body 1. a 2. pro k n 1, k n 2,..., k i, dokud nenajdeme takové q i, pro které platí, že q i q i, q i+1 ). 5. Pokud N i < N(q i+1 ), potom je pro q i dosaženo globálního minima nákladové funkce, q i je optimální velikostí dodávky, tedy q = q i. 6. Pokud N i > N(q i+1 ), potom je globálního minima nákladové funkce dosaženo pro q i+1, optimální velikostí dodávky je q i+1, tedy q = q i+1. Stochastické modely zásob V deterministických modelech jsme předpokládali pevně danou (deterministickou) a rovnoměrně rozloženou poptávku. To je však v praxi řídkým jevem. Zde uvedeme modely uvažující stochastickou poptávku. Model 1 Model 1 uvažuje stejné předpoklady jako deterministický model 1, kromě poptávky ta je stochastická. To znamená, že výše poptávky v daném období je náhodná veličina s jistým pravděpodobnostním rozdělením. Získat toto pravděpodobnostní rozdělení (druh a jeho parametry) je v praxi obecně velmi složité. Stochastický model 1 aproximuje situaci pomocí deterministického modelu 1 tak, že se celková poptávka Q (která je nyní náhodná), nahradí svou střední hodnotou µ Q. Takto spočteme optimální výši objednávky q a optimální délku cyklu t či bod znovuobjednávky r. Průběh stavu zásob je zobrazen na obr Kdyby byla dodávka okamžitá (d = 0), lze se spokojit se stav zásoby 1. cyklus 2. cyklus vystavení objednávky q r d d vznik nedostatku èas Obrázek 1.9: Průběh stavu zásoby v závislost na čase. získaným výsledkem. Ovšem vzhledem k nenulové dodací lhůtě d je třeba objednat dodávku v předstihu (při dosažení bodu znovuobjednávky) při rovnoměrné poptávce přijde dodávka na sklad v okamžiku nulových zásob. Při stochastické poptávce mohou ovšem během dodací lhůty snadno nastat dvě různé situace poptávka bude nižší, resp. vyšší než průměrný stav. Pak nastává situace 1., resp. 2 z obrázku 1.9 bud 21

22 1. zbydou zásoby na skladě a po dodávce bude celkový stav zásob vyšší než q nebo 2. dochází k částečnému neuspokojení požadavků - při dodávce jsou nejprve tyto požadavky uspokojeny a zbytek dodávky je umístěn na sklad, kde bude nyní stav zásob menší než q. Navíc, pokud objednáváme dodávku po dosažení bodu znovuobjednávky, nejsou intervaly mezi objednávkami (dodávkami) stejné. Pravděpodobnost, že během jednoho cyklu nedojde k neuspokojení požadavků, se nazývá úroveň obsluhy. Značíme ji γ. Obvykle požadujeme, aby úroveň obsluhy byla dostatečně vysoká (tj. aby pravděpodobnost vzniku nedostatku byla dostatečně malá, např. 0,05 pak γ = 0, 95). Splnění požadavku na úroveň obsluhy lze zajistit pomocí tzv. pojistné zásoby w na skladě. Ta slouží v případě převisu poptávky k jejímu pokrytí. Řešíme tedy úlohu: stanovit pojistnou zásobu tak, aby pravděpodobnost vzniku nedostatku (pravděpodobnost toho, že poptávka nebude vyšší než bod znovuobjednávky plus pojistná zásoba) byla dostatečně malá, P {Qd r + w} γ, kde Qd je poptávka během pořizovací lhůty. Předpokládejme, že skutečná poptávka má normální Gaussovo rozdělení (důsledek centrální limitní věty z teorie pravděpodobnosti) N(µ, σ) se střední hodnotou µ a směrodatnou odchylkou σ. Poptávka během pořizovací lhůty se řídí rozdělením N(r, σ Qd ) (parametry Q, d je potřeba změřit), nebot střední hodnota veličiny Qd je rovna optimálnímu bodu znovuobjednávky r. Pro praktický výpočet transformujeme veličinu Q d na veličinu z, která bude popsána normovaným normálním rozdělením, Q d N(r, σ Qd ) z N(0, 1). Hodnoty N(0, 1) lze totiž nalézt v tabulkách. Lehce lze ukázat, že veličina z definovaná vztahem z = Q d r σ Qd se řídí normálním normovaným rozdělením N(0, 1). Z tabulek normálního normovaného rozdělení určíme, pro jaké z hodnota distribuční funkce N(0, 1) odpovídá γ. Například γ = 0, 95 odpovídá z = 1, 645. Zpětnou transformací získáme objem poptávky během pořizovací lhůty, Q d = z σ Q d + r. Bude-li v okamžiku objednávky zásoba na skladu Qd, nenastane s pravděpodobností γ nedostatek zásoby. Pojistná zásoba w musí splňovat vztah r + w Qd. Udržování pojistných zásob s sebou nese i zvýšení celkových nákladů (skladovacích a pořizovacích). Střední hodnotu těchto nákladů lze vyjádřit jako µ N = 2µ Q c 1 c 2 T + c 1 w. Náklady jsou tedy součtem nákladů vypočtených deterministickým modelem 1 a skladovacích nákladů pojistné zásoby. % 22

23 Příklad 8. Mějme obdobnou jako v deterministických modelech (Fruta, a.s.). Necht je µ Q = ks kartonů. Skladovací náklady jsou c 1 = 24 Kč/(ks rok), pořizovací náklady c 2 = Kč/dodávka. Necht pořizovací lhůta dodávky je d = 1/2 měsíce. Předpokládejte, že směrodatná odchylka v rámci doby d je σ Qd = 200 ks. Určete optimální velikost dodávky, související náklady, bod znovuobjednávky a velikost pojistné zásoby za předpokladu, že úroveň obsluhy je požadována 95 %. Jak se změní velikost pojistné zásoby, pokud úroveň obsluhy budeme požadovat 99 %? Jak se zvýší střední hodnota nákladů, způsobená zvýšením pojistné zásoby? q 2µQ c = ) c 1 = = 6000 ks, T 24 1 N = 2µ Q c 1 c 2 T = = Kč. Optimální velikost dodávky je tedy 6000 ks a s ní související celkové náklady jsou Kč. Pořizovací lhůta dodávky d byla v zadání úlohy stanovena na 1/2 měsíce (= 1/24 roku). Očekávaná poptávka v tomto období je µ Qd = 1500 ks. Z tabulek normovaného normálního rozdělení zjistíme, že pro úroveň obsluhy γ = 0, 95 je hodnota 1,645. Obdobně pro hodnotu γ = 0, 99 získáme hodnotu 2,327. Chceme-li udržet úroveň obsluhy alespoň na úrovni 95%, musíme vytvořit pojistnou zásobu w ve výši w z σ Qd = 1, = 329 ks. Zvedneme-li úroveň obsluhy na hodnotu 99%, pojistná zásoba by se musela zvýšit na V prvním případě je bod znovuobjednávky w z σ Qd = 2, = 466 ks. r + w = = 1829 ks. Ve druhém případě je třeba vystavit objednávku v okamžiku, kdy klesne velikost skladových zásob na 1966 ks. Střední hodnota nákladů ve stochastickém modelu stoupne oproti deterministickému modelu o 329c 1 = 7896 Kč při úrovni obsluhy 95%. Při úrovni obsluhy 99% stoupnou náklady o 466c 1 = Kč. Model 2 - optimalizace jednorázově vytvářené zásoby V praxi může nastat situace, že na počátku sledovaného období vytvoříme zásobu, kterou dále již nemůžeme doplňovat (v jistém smyslu je to jeden cyklus procesu s opakujícími se dodávkami). Poptávka v daném období je popsána nějakým pravděpodobnostním rozdělením se střední hodnotou µ a směrodatnou odchylkou σ. Obvykle se při popisu poptávky vychází ze zkušeností z minulých období či z marketingových studií. Je to typická situace například pro nákup sezónního zboží na sklad (zimní oblečení, sportovní potřeby) či nákup zboží, které podléhá rychlé zkáze (ovoce, pečivo). Předpokládejme, že na počátku období vytvoříme zásobu q. Na konci období mohou nastat tři situace: 1. skutečná poptávka Q v daném období byla menší než q Zásoba ve výši q Q zbyde na skladě. Předpokládáme, že zboží má i poté nějakou zůstatkovou hodnotu, nižší než nákupní cena. Zůstatková hodnota může být i nulová, případně záporná, např. pokud máme náklady související s likvidací zboží. 23

24 Jednotkové náklady z nadbytečné zásoby můžeme vyjádřit jako c 1 = nákupní cena - zůstatková cena [Kc/ks]. 2. skutečná poptávka Q v daném období byla vyšší než q Posledních Q q požadavků zůstane neuspokojených. Jednotkové náklady z nedostatku zásoby (ušlý zisk) lze vyjádřit jako c 2 = prodejní cena - nákupní cena [Kc/ks]. 3. skutečná poptávka Q v daném období byla rovna q Žádné náklady ani ztráty nevznikají. Tato situace je však spíše hypotetická. Minimální náklady (střední hodnota nákladů) jsou dosaženy, jestliže pro úroveň obsluhy γ platí γ = c 2 c 1 + c 2, γ 0, 1. Optimální velikost počáteční zásoby q je taková, pro kterou platí P {Q q } γ. Poptávka může být popsána spojitým či diskrétním pravděpodobnostním rozdělením. Pokud je poptávka popsána spojitým pravděpodobnostním rozdělením, je hodnota q tímto vztahem jednoznačně určena a v tabulkách normovaného normálního rozdělení nalezneme hodnotu z odpovídající příslušné úrovni obsluhyγ. Z hodnoty z zpětnou transformací z normovaného normálního rozdělení určíme optimální velikost počáteční zásoby q, q = µ + z σ. Pokud je však rozdělení diskrétní (definováno v jednotlivých bodech např. 10 ks, 20 ks,...), hodnotu q určíme jako nejbližší bod z hodnot distribuční funkce, která splňuje vztah P(q Q i 1 ) γ P(q Q i ). K intervalu Q i 1, Q i ) jsou v tabulce přiřazeny pravděpodobnosti prodeje. Příklad 9. Typickou úlohou modelu 2 je tzv. newsboy problem, problém distributora novin [1]. Majitel stánku s novinami má na základě vlastních zkušeností zjištěno, že prodej Mladé fronty DNES ve všední dny je spojitá náhodná veličina s normálním rozdělením se střední hodnotou µ = 320 ks a směrodatnou odchylkou σ = 20 ks. Pokud je skutečná poptávka nižší než počet výtisků objednaných u dodavatele, ztrácí prodavač na každém výtisku c 1 = 1 Kč/ks. Naopak, v případě vyšší poptávky ztrácí na ušlém zisku na každém kusu c 2 = 0, 4 Kč/ks. Optimální úroveň obsluhy je γ = c 2 c 1 + c 2 = Touto hodnotou je určena optimální strategie. Z tabulek normálního rozdělení nalezneme hodnotu z odpovídající pravděpodobnosti γ, z =

25 poptávka pravděpodobnost kumulovaná pravděpodobnost Q i P(q = Q) P(Q q) Tabulka 1.2: Pravděpodobnost poptávky Optimální úroveň objednávky je pak q = = = 309 ks. Uvažujme nyní stejný příklad, ale mějme k dispozici pouze pravděpodobnosti toho, že poptávka nabude diskrétních hodnot Pravděpodobnosti jsou uvedeny v tabulce 1.2. Ve třetím sloupci jsou uvedeny kumulované pravděpodobnosti (hodnota distribuční funkce), že poptávka bude nižší nebo rovna dané hodnotě. Spojitě vypočtená optimální úroveň obsluhy leží mezi hodnotami 290 ks a 300 ks, takže optimální počáteční zásoba je (viz tabulka 1.2) q = 300 ks. 25

26 Cvičení a příklady Cvičení. 1. Nalezněte stacionární bod funkce N(q, s) popsané vzorcem (1.7) a ukažte, že v něm funkce n nabývá svého minima. 2. Vypočtěte limity výrazů (1.12) a (1.13) pro c 3 + a c 3 0. Co dané případy popisují? Jak lze interpretovat výsledky? 3. Vypočtěte charakteristiky systému z příkladu 5 pomocí modelu 2 (α, β, q, s, r, N ). 4. Nalezněte stacionární bod funkce N(q) popsané vzorcem (1.10) a ukažte, že v něm daná funkce nabývá minima. 5. Jaké základní nákladové položky se vyskytují v nákladových funkcích v modelech zásob? 6. Jaký je rozdíl mezi deterministickými a stochastickými modely zásob? 7. Co je úroveň obsluhy a pojistná zásoba? Jak spolu navzájem tyto dva pojmy souvisejí? 8. Co je cílem při optimalizaci objemu jednorázově vytvářené zásoby? 9. Co je to bod znovuobjednávky a pořizovací lhůta dodávky? Jaký je vzájemný vztah těchto dvou pojmů? 10. Jak se změní optimální velikost dodávky ve výše popsaných deterministických modelech, když celková poptávka, při jinak nezměněných podmínkách, vzroste dvakrát? 11. Ovlivňuje změna ceny skladovaných jednotek u modelu 1 či 2 optimální velikost dodávky a pokud ano, tak jakým způsobem? 12. Ovlivňuje změna pořizovací lhůty dodávky v deterministických modelech optimální velikost dodávky a pokud ano, tak jakým způsobem? Příklady. 13. Obchod se stavebninami prodá ročně padesátikilových pytlů cementu. Současná strategie doplňování skladu je taková, že se každých 14 dní objedná dodávka o objemu 500 pytlů. Pořizovací cena jednoho pytle je 80 Kč. Předpokládejme, že poptávka je rovnoměrná v průběhu celého rokua že roční skladovací náklady jednoho pytle jsou 20% z jeho pořizovací ceny. Náklady související s doplněním skladu dodávkou jakékoliv velikosti jsou fixní a jsou rovny 1000 Kč. Vypočtěte celkové skladovací náklady současné strategie doplňování skladu. 26

27 Vypočtěte optimální velikost dodávky, skladovací náklady a délku dodávkového cyklu a porovnejte výsledky se současnými hodnotami. Jaký je v současné i v optimální strategii bod znovuobjednávky, jestliže je pořizovací lhůta dodávky 1 týden? Uvažujte, že rok má 52 týdnů. 14. Jak se změní strategie doplňování skladu v předcházející úloze, budeme-li uvažovat možnost vzniku přechodného nedostatku zásoby? Víme, že s jednotkou nedostatku zásoby souvisejí ztráty ve výši 30 Kč. 15. Při analýze optimálního nastavení výrobních dávek bylo zjištěno, že intenzita produkce je 8000 ks ročně. Poptávka po produkovaných jednotkách je však pouze 2000 ks ročně. Fixní náklady, které souvisejí se zahájením výroby v jedné výrobní dávce, jsou Kč. Skladovací náklady jedné jednotky po dobu jednoho roku jsou 160 Kč. Současná strategie je charakterizována tím, že je každé 3 měsíce spuštěna nová výrobní dávka v objemu 500 ks. Vypočtěte celkové skladovací náklady současné strategie. Vypočtěte optimální velikost výrobní dávky, náklady, které s optimální strategií souvisejí, a délku výrobního a spotřebního cyklu. Porovnejte výsledky se současnými hodnotami. 16. Nákupní středisko prodává sezónní výrobek za 500 Kč za kus. Pořizovací cena tohoto výrobku je 350 Kč. Výrobky, které nebudou prodány v rámci sezony, budou nabízeny s 50% slevou, tj. za 250 Kč. Předpokládejme, že poptávka po uvedeném produktu za celou sezonu je rovnoměrně rozdělená na intervalu od 300 do 800 ks. Kolik kusů výrobku byste doporučili objednat na začátku sezony? Jaká je pravděpodobnost, že se vyskytne požadavek na koupi tohoto výrobku po vyčerpání skladu? Jak by se musela změnit výše počáteční objednávky tak, aby pravděpodobnost neuspokojení zákazníků klesla pod 20%? 17. Jak by se změnily odpovědi na otázky v předcházející úloze, pokud by měla poptávka po daném produktu normální rozdělení se střední hodnotou 500 ks a směrodatnou odchylkou 100 ks? 18. Poptávka po jistém produktu je v čase rovnoměrně rozdělena a je rovna ks ročně. Předpokládejme, že pořizovací lhůta dodávky je náhodná veličina s normálním rozdělením se střední hodnotou 12 dnů a směrodatnou odchylkou 4 dny (během roku je 240 pracovních dnů). Určete bod znovuobjednávky a pojistnou zásobu tak, aby úroveň obsluhy byla alespoň 95%. 27

28 Kapitola 2 Sít ová analýza - úvod Sít ová analýza je logistický obor, který se zabývá řízením projektů a popisem těchto složitých optimalizačních a rozhodovacích problémů pomocí teorie grafů a teorie pravděpodobnosti. Projekt je rozsáhlá a dlouhodobá akce, která se skládá ze souboru různých vzájemně na sebe navazujících činností. Typickými příklady projektů jsou: stavební práce - stavba nového objektu (továrna, silnice, dům,...), rekonstrukce objektů (silnice, domy,...), vývoj nového výrobku a jeho uvedení na trh, sezónní obchodní či reklamní kampaň. Obecně lze projekt charakterizovat jako: Soubor (velkého) počtu dílčích činností, které jsou vzájemně podmíněné a realizovatelné v přesně vymezeném pořádku a směřují k celkovému řešení stanoveného úkolu. Počet celkových výstupů je malý, zpravidla jeden - výstavba objektu, oprava objektu či zařízení apod. Realizace každé dílčí činnosti i celého projektu je spojena s vyšším stupněm nejistoty (časové, výše nákladů), než je tomu ve výrobním procesu. Stupeň nejistoty závisí na zkušenostech z minula či přesnosti odhadů. Dílčí úkoly provádějí zpravidla různé subjekty, proto je nutno klást důraz na jejich koordinaci. Časový plán projektu lze v jeho průběhu měnit dle nastalé situace a přizpůsobovat ho novým podmínkám (tak, aby byly náklady a čas co nejkratší). Projekty mohou mít různý rozsah - od několika týdnů po několik let. Realizace projektu se skládá z postupné realizace všech dílčích činností, které projekt tvoří. Každá z těchto činností je pak charakterizována množstvím údajů: dobou trvání (známou nebo odhadnutou), náklady na realizaci (známé nebo odhadnuté), požadavky na technické, materiálové a personální zabezpečení, 28