M - Matematika - třída 1DOP - celý ročník

Transkript

1 M - Matematika - třída 1DOP - celý ročník Učebnice obsahující učivo celého 1. ročníku VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na

2 ± Číselné obory Číselné obory Přirozená čísla - označujeme N Potřebujeme-li přidat nulu, pak označujeme N 0. - jedná se o čísla 1, 2, 3, 4,... Nejmenší přirozené číslo je 1. Celá čísla - označujeme Z (Opět můžeme vytvářet např. Z +, Z -, či Z tento číselný obor dostaneme, když k přirozeným číslům přidáme čísla opačná a nulu Racionální čísla - označujeme Q - jsou to všechna čísla, která můžeme vyjádřit zlomkem s celočíselným čitatelem i jmenovatelem. Iracionální čísla - nemají své označení, protože ho vlastně nepotřebujeme - patří sem např. čísla p, Ö2, Ö3, apod. Reálná čísla - označujeme je R - jsou to všechna čísla, která můžeme zobrazit na číselné ose Operace s racionálními čísly sčítání, odčítání, násobení a dělení desetinných čísel sčítání a odčítání, násobení a dělení zlomků řešení složených zlomků pravidlo komutativnosti, asociativnosti a distributivnosti druhá a třetí mocnina - práce s MFCHT tabulkami, určení na kalkulačce druhá a třetí odmocnina - práce s MFCHT tabulkami, určení na kalkulačce ± Výrok, logické spojky, kvantifikátory Názvové konstanty a proměnné S = p. r 2 S = f (r) Říkáme, že S je funkcí r. Číslo p je názvová konstanta. Příslušné proměnné říkáme názvová proměnná. r - nezávisle proměnná S - závisle proměnná Písmeno, které je použito jako symbol jednoho určitého objektu, považujeme za názvovou konstantu. Písmeno, které je použito jako symbol libovolného objektu z určitého oboru, považujeme za názvovou proměnnou. Uvedený obor pak nazýváme obor proměnné. Výroky a hypotézy, negace výroků Za výroky považujeme ty dobře srozumitelné oznamovací věty, které mohou být buď jen pravdivé nebo jen nepravdivé. Pravdivostní hodnotou výroku se rozumí jedna z jeho kvalit - pravdivost nebo nepravdivost. 1 z 125

3 Hypotézou rozumíme výrok, jehož pravdivostní hodnota není známa. Pozn.: Věty zvolací, rozkazovací a tázací nejsou výroky. Označíme-li libovolný výrok písmenem V, pak výrok "Není pravda, že V..." nazýváme negací výroku V Výrok a jeho negace mají opačné pravdivostní hodnoty. Příklady: V: = 9 Šest plus tři se rovná devět V : Není pravda, že = 9 Šest plus tři není devět V: Po skončení vyučování půjdu na oběd. V : Není pravda, že po skončení vyučování půjdu na oběd. Po skončení vyučování nepůjdu na oběd. Hovoří-li se ve výroku o jedné z několika možností, musí jeho negace zahrnout všechny ostatní možnosti. V: V noci nepršelo. V : Není pravda, že v noci nepršelo. V noci pršelo. V: Nemám červenou vázanku. V : Není pravda, že nemám červenou vázanku. Mám červenou vázanku. V: Číslo jedna není složené číslo. V : Není pravda, že číslo jedna není složené číslo. Číslo jedna je složené číslo. V: Číslo 7p ¹ 22 V : Není pravda, že číslo 7p ¹ 22 Číslo 7p = 22 Existenční kvantifikátory: - existuje aspoň - existuje nejvýše - existuje právě Obecné kvantifikátory: - pro každé - pro žádné Výroky, které obsahují pouze existenční kvantifikátory, nazýváme existenční výroky. Výroky, které obsahují pouze obecné kvantifikátory, nazýváme obecné výroky. Příklady: Následující věty o prvočíslech jsou vysloveny ledabyle; zpřesněte jejich formulaci tím, že uplatníte proměnnou p označující libovolné prvočíslo a použijte kvantifikátorů. a) Nějaké prvočíslo je sudé. Existuje aspoň jedno p, které je sudé. b) Číslicový zápis prvočísel nekončí nulou. Pro žádné p neplatí: Zápis p končí nulou. c) Vyskytují se i taková prvočísla, že číslo o 2 větší než ona jsou též prvočísly. 2 z 125

4 Existuje aspoň jedno p, pro něž platí: p + 2 je prvočíslo. d) Jednociferných prvočísel se nenajde víc než 5. Existuje nejvýše 5p, která jsou jednociferná. e) Dvě sudá prvočísla nenajdeme. Existuje nejvýše jedno p, které je sudé. f) Nejedno prvočíslo je zapsáno několika stejnými číslicemi. Existují aspoň dvě p, z nichž každé je zapsáno stejnými číslicemi. Operace s výroky Chceme vyjádřit, že Použijeme spojky Vytvoříme výrok Výrok X neplatí Není pravda, že... (non) Není pravda, že X X Negace - non X výroku X Platí oba výroky X, Y a (et) X a Y... konjunkce X Ù Y Platí aspoň jeden z výroků X, Y nebo (vel) X nebo Y... alternativa (disjunkce) X Ú Y Platí buď výrok X nebo výrok Y (ostrá disjunkce) Pokud platí X, pak platí i Y (platnost výroku X však není požadována) Výroky X, Y mají stejnou pravdivostní hodnotu (buď oba platí nebo oba neplatí) Konkrétní příklady: když..., pak právě tehdy, když tehdy a jen tehdy, když... Buď X nebo Y Jestliže X, pak Y... Implikace výroku Y výrokem X X Þ Y X implikuje Y X právě tehdy, když Y Ekvivalence výroků X, Y X Û Y X je ekvivalentní s Y X Y X X Ù Y X Ú Y X Þ Y X Û Y Buď X nebo Y Používaná symbolika: Î... je elementem, náleží, patří,... Ï... není elementem, neleží, nepatří,... "x... ke každému, každé,... $x... existuje aspoň (jedno x,...) :... platí... (nekonečno) - matematický symbol ± Množiny a operace s nimi Co je množina Množinovými pojmy vyjadřujeme matematické úvahy o skupinách (souhrnech, souborech, oborech) osob, věcí i abstarktních věcí. Společné vlastnosti skupin, oborů, útvarů, souhrnů vyjadřujeme v matematice pomocí základních množinových pojmů: 3 z 125

5 Skupina, organizace, obor, útvar - množina Část skupiny, dílčí organizace, podobor, část útvaru - podmnožina Být členem organizace, patří do skupiny, náležet do oboru, patřit do útvaru - být prvkem množiny Skupina bez členů, útvar neobsahující žádný bod, prázdný obor - prázdná množina Množinu lze zadat: - výčtem prvků - pomocí charakteristické vlastnosti Inkluze a rovnost množin: - inkluzi množiny A v množině B zapisujeme A Ì B (čteme též "Množina A je podmnožinou množin B") - rovnost množin zapisujeme A = B Každá množina je i podmnožinou sama sebe. Každá prázdná množina je podmnožinou každé množiny. Pozn.: Platí, že A Ì B, jestliže pro každý prvek množiny A platí, že je zároveň i prvkem množiny B. Platí, že A = B, jestliže pro každý prvek množiny A platí, že je i prvkem množiny B a zároveň pro každý prvek množiny B platí, že je i prvkem množiny A. Doplněk množiny: Jsou-li A, U dvě množiny, pro které platí A Ì U, pak existuje množina všech prvků množiny U obsahující prvky, které nepatří do A. Tuto množinu nazveme doplňkem množiny A v množině U (označujeme A ) Průnik a sjednocení množin: Jsou dány množiny A, B, přičemž A¹B. Množinu všech prvků, které obsahují prvky aspoň jedné z množin A, B nazveme sjednocení množin A, B. Zapisujeme A È B. Množinu všech prvků, které patří do množiny A a zároveň i do množiny B, nazýváme průnik množin A, B. Zapisujeme A Ç B. Množiny, které nemají společné prvky, nazýváme disjunktní množiny. Rozdíl množin: Jsou dány množiny A, B, přičemž A ¹ B. Množinu všech prvků, které patří do množiny A, ale nepatří do množiny B, nazveme rozdíl množin. Zapisujeme A \ B. Množinové operace často znázorňujeme Vennovými diagramy. Řešení úloh: Nalezněte pomocí Vennových diagramů správně vyznačenou množinu: M = A Ç B Ç C'. Z - základní množina; A, B, C jsou podmnožiny základní množiny. 4 z 125

6 Nalezněte pomocí Vennových diagramů správně vyznačenou množinu: M = (A U B) Ç C'. Z - základní množina; A, B, C jsou podmnožiny základní množiny. Nalezněte pomocí Vennových diagramů správně vyznačenou množinu: M = A Ç B' Ç C'. Z - základní množina; A, B, C jsou podmnožiny základní množiny. Nalezněte pomocí Vennových diagramů správně vyznačenou množinu: M = A U (B Ç C'). Z - základní množina; A, B, C jsou podmnožiny základní množiny. Nalezněte pomocí Vennových diagramů správně vyznačenou množinu: M = (A' Ç B') U (A Ç B). Z - základní množina; A, B, C jsou podmnožiny základní množiny. Nalezněte pomocí Vennových diagramů správně vyznačenou množinu: M = (A U B) Ç (C U B). Z - základní množina; A, B, C jsou podmnožiny základní množiny. Mezinárodní konference o teorii množin se účastní celkem 134 matematiků, z nich každý ovládá alespoň jeden z těchto jazyků: ruštinu, francouzštinu, angličtinu. 15 z nich ovládá všechny tři jazyky, angličtinu zná o 28 účastníků více než ruštinu. Těch, kteří ovládají ruštinu a francouzštinu a neznají angličtinu, je pětkrát méně, než těch, kteří znají pouze angličtinu. Účastníků konference, kteří znají jenom ruštinu, je třikrát více než těch, kteří ovládají ruštinu a angličtinu, ale neznají francouzštinu. Těch, kteří znají jenom francouzštinu je právě tolik, jako těch, kteří ovládají jenom angličtinu. Účastníků, kteří ovládají angličtinu a ruštinu, ale neznají francouzštinu, je o 18 méně než těch, kteří neovládají ruštinu, ale znají francouzštinu a angličtinu. Předseda organizačního výboru mluví všemi třemi jazyky. Ve kterém z nich by měl přednést uvítací projev, aby jej mohlo poslouchat co nejvíce účastníků bez tlumočníka? Z 35 žáků odebírá časopis ABC 8 žáků, časopis VTM 10 žáků. 21 žáků neodebírá žádný z těchto dvou časopisů. Kolik žáků odebírá oba časopisy. ± Absolutní hodnota reálného čísla Absolutní hodnota reálného čísla: Je dáno číslo a, jako libovolné celé číslo. Absolutní hodnotou čísla a nazýváme číslo označené a, které se při a³0 rovná číslu a, při a<0 rovná číslu -a. Absolutní hodnota a-b představuje vzdálenost bodů a, b, které jsou obrazy celých (reálných) čísel, na ose celých (reálných) čísel. Platí: a. b = a. b a : b = a : b 5 z 125

7 Pozor! a + b # a + b a - b # a - b Závěr: 1. Absolutní hodnota součinu se rovná součinu absolutních hodnot. 2. Absolutní hodnota zlomku se rovná absolutní hodnotě čitatele lomené absolutní hodnotou jmenovatele. Poznámka: Absolutní hodnota nuly je nula. Zobecnění: Absolutní hodnota libovolného reálného čísla x je definována podobně jako absolutní hodnota celého čísla: x = +x pro x>0 x = 0 pro x = 0 x = -x pro x< Procvičovací příklady: = ,325 = 0,325-21,56 = 21,56 0 = 0 ± Dělitelnost Dělitelnost čísel Dělitel daného čísla je takové číslo, kterým můžeme dané číslo beze zbytku dělit. Prvočísla jsou taková čísla, která mají za dělitele pouze číslo jedna a sama sebe. Čísla, která mají kromě jedničky a sama sebe ještě alespoň jednoho dělitele, se nazývají čísla složená. Příklady: 12 - je číslo složené (dělitelem je 1, 2, 3, 4, 6, 12) 7 - prvočíslo (dělitem je pouze 1, 7) Postup pro určení nejmenšího společného násobku dvou nebo více čísel: Příklad: Určete nejmenší společný násobek čísel 20 a 24: 20 = = = = = čísla, která se opakují v obou rozkladech (nebo alespoň ve dvou rozkladech při více číslech), píšeme pouze jednou, dále do součinu doplníme i zbylá čísla: = 120 Závěr: n(20, 24) = 120 Příklad: Určete nejmenší společný násobek čísel 10, 18, 27: 10 = z 125

8 18 = = n(10, 18, 27) = = 270 Pozn.: Nejmenší společný násobek můžeme určit také pokusem, a to tak, že vezmeme největší ze zadaných čísel a zkoumáme, zda je dělitelné zbývajícími čísly. Pokud ano, jsme hotovi. Pokud ne, bereme postupně dvojnásobek, trojnásobek, atd. největšího čísla a vždy zkoumáme, zda je dělitelný zbývajícími čísly. Jakmile je tato podmínka splněna, jsme hotovi. Postup pro určení největšího společného dělitele dvou nebo více čísel: Příklad: Určete největší společný dělitel čísel 24 a 30: 24 = = čísla, která se opět v rozkladech opakují, píšeme do součinu pouze jednou; další zbylá čísla ale už nepíšeme: 2. 3 = 6 Závěr: D(24, 30) = 6 Pokud máme zadáno více čísel, do výsledného součinu píšeme pouze ta čísla, která se opakují v rozkladech všech čísel. Dělitelnost přirozených čísel (znaky dělitelnosti): Dělitelnost číslem 0: "Číslem nula nelze nikdy dělit". Dělitelnost číslem 1: "Číslo je dělitelné číslem jedna vždy" Dělitelnost číslem 2: "Číslo je dělitelné číslem 2, je-li sudé (tj. je-li zakončeno sudou číslicí)". Dělitelnost číslem 3: "Číslo je dělitelné číslem 3, je-li jeho ciferný součet dělitelný třemi". Dělitelnost číslem 4: "Číslo je dělitelné čtyřmi, je-li jeho poslední dvojčíslí dělitelné číslem 4". Dělitelnost číslem 5: "Číslo je dělitelné pěti, končí-li číslicí 5 nebo 0". Dělitelnost číslem 6: "Číslo je dělitelné šesti, je-li dělitelné současně dvěma i třemi". Dělitelnost číslem 7: - znak dělitelnosti existuje, ale je natolik složitý, že je rychlejší se o dělitelnosti čísla sedmičkou přesvědčit pouhým vydělením sedmi. Znak se tedy moc nepoužívá. Dělitelnost číslem 8: 7 z 125

9 "Číslo je dělitelné osmi, je-li jeho poslední trojčíslí dělitelné osmi". Dělitelnost číslem 9: "Číslo je dělitelné devíti, je-li jeho ciferný součet dělitelný devíti". Dělitelnost číslem 10: "Číslo je dělitelné deseti, končí-li číslicí nula". Dělitelnost číslem 11: "Číslo je dělitelné jedenácti, je-li rozdíl součtu čslic na sudých pozicích a součtu číslic na lichých pozicích čísla dělitelný jedenácti" Čísla, která mají kromě jedničky ještě alespoň jednoho společného dělitele, se nazývají čísla soudělná. Příklady: 2, 40 15, 60, 36 Čísla, která nemají kromě jedničky žádného společného dělitele, se nazývají čísla nesoudělná. Příklady: 5, 13 11, 15, Znaky dělitelnosti pro vyšší čísla: Lze-li libovolné číslo rozdělit na součin dvou nesoudělných čísel, pak platí, že původní číslo je dělitelné součinem, je-li dělitelné každým činitelem. Příklad: Určete, zda čísla 330 a 240 jsou dělitelná patnácti. Řešení: Číslo 330 je dělitelné třemi i pěti, proto je dělitelné i patnácti. Číslo 240 je dělitelné třemi i pěti, proto je též dělitelné patnácti. ± Intervaly Intervaly, jejich zápis a znázornění Užití intervalů je široké a setkáme se s nimi nejen při řešení nerovnic. Rozdělení intervalů: 1. Uzavřený interval a < x b (x je menší nebo rovno b a zároveň větší než a) - zapisujeme též množinově: x Î <a; b> Grafickým znázorněním tohoto intervalu je úsečka se svými krajními body. 2. Otevřený interval a < x < b (x je menší než b a zároveň větší než a) - zapisujeme též množinově: x Î (a; b) 8 z 125

10 Grafickým znázorněním je úsečka bez krajních bodů. Poznámka: Zvláštním případem otevřeného intervalu je celá množina reálných čísel. Grafickým znázorněním je přímka. x Î (- ; + ) nebo jinak x Î R 3. Polootevřený (polouzavřený) interval a < x b (x je menší nebo rovno b a zároveň větší než a) - zapisujeme též množinově: x Î (a; b> Grafickým znázorněním je úsečka s jedním krajním bodem. Takovýto interval někdy také nazýváme zprava uzavřený interval. Pozn.: Analogicky bychom mohli definovat zleva uzavřený interval. 4. Další typy intervalů x < a x Î (- ; a) Analogicky by byl interval pro x > a x a x Î (- ; a> Opět analogicky by vypadal interval pro x ³ a ± Procenta Procenta U příkladů, kde se vyskytují procenta, rozlišujeme tři základní veličiny: - základ (100%)... z - procentovou část... č - počet procent... p 9 z 125

11 První dvě z uvedených veličin mají vždy stejnou jednotku (tzn. obě jsou například v kilogramech), zbývající třetí je vždy uvedena v procentech. Zpravidla vždy dvě z uvedených veličin známe, třetí počítáme. Úlohy na procenta můžeme řešit několika postupy: 1. Řešení přes jedno procento (někdy též říkáme přes procentový trojřádek) Příklad 1: Vypočtěte, kolik je 64 % z 12,6 kilogramů mouky. Řešení: 100 %... 12,6 kg mouky 1 %... 12,6 : 100 kg = 0,126 kg mouky 64 % ,126 kg = 8,064 kg Závěr: 64 % z 12,6 kg mouky představuje asi 8 kg mouky. 2. Řešení trojčlenkou Příklad 2: Vypočtěte, kolik procent představuje 6 minut ze 2,5 hodiny Řešení: 100 %... 2,5 h x %... 6 min = 0,1 h U procent se vždy jedná o přímou úměrnost, proto "šipky by vždy vedly obě nahoru". Sestavíme výpočet: x = ,1/2,5 x = 4 % Závěr: Šest minut ze 2,5 hodiny představuje 4 %. 3. Řešení podle vzorce Příklad 3: Vypočtěte, z kolika kilometrů představuje 8 metrů 20 %. Řešení: č = 8 m p = 20 % z =? z = 100č/p z = /20 z = 40 m = 0,04 km Závěr: Osm metrů představuje 20 % z 0,04 kilometru. Pozn.: Přehled všech tří vzorců: z = 100č/p č = zp/100 p = 100č/z 4. Řešení na kalkulačce (myšleno na takové, která má klávesu s označením procent) Klávesa s označením procent má takovou vlastnost, že po jejím stisku se předchozí výpočet automaticky vynásobí stem, předcházelo-li dělení a naopak vydělí stem, předcházelo-li násobení. Jedná se tedy o zrychlení práce, nic víc. Procvičovací příklady: Na konci zimní sezóny byla slevněna bunda z Kč na Kč. O kolik % byla bunda slevněna? Za vykonanou práci si vydělali 3 pracovníci celkem Kč. Rozdělili se 10 z 125

12 tak, že první dostal o 20% více než druhý a třetí o 15% více než druhý. Kolik Kč dostal každý z nich? Turisté ušli první den výletu 35% cesty, druhý den 41%. Na poslední, třetí den, jim zbývá ujít 15,6 km. Jak dlouhá byla celá cesta? Zvětšíme-li neznámé číslo o 4%, dostaneme 780. Určete neznámé číslo. Kolik procent je 1 minuta a 48 sekund ze 3 hodin? Vypočítejte jednu sedminu z 15% z čísla 63. Pětina žáků třídy je nemocná, 40% žáků šlo na soutěž a ve třídě zůstalo 10 žáků. Kolik žáků má tato třída? Zboží, jehož původní cena byla Kč, bylo dvakrát zlevněno. Nejprve o 15%, později o 10% z nové ceny. Určete konečnou cenu zboží a počet procent, o kolik bylo zboží celkem zlevněno. Cena ledničky byla dvakrát snížena. Nejprve o 15%, později ještě o 5% z nové ceny. Po tomto dvojím snížení cen se lednička prodávala za korun. Jaká byla původní cena? Zmenšením neznámého čísla o 427 dostaneme 35% jeho původní hodnoty. Které je to číslo? (Udejte s přesností na jedno desetinné místo.) Jaká musí být prodejní cena výrobku, jestliže náklady na jeho výrobu jsou 300 Kč a chci ho prodat se ziskem 20% z prodejní ceny? Obchodník prodal čtvrtinu zboží se ziskem 20% a utržil za ni Kč. Druhou čtvrtinu prodal se ziskem 10%, další čtvrtinu za nákupní cenu a poslední čtvrtinu se ztrátou 5%. Určete nákupní cenu zboží a obchodníkův zisk. V závodě je zaměstnáno 344 žen. Zbývajících 57% zaměstnanců jsou muži. Kolik zaměstnanců má závod? Kolik procent je 21 ze 105? a) Ze 700 výrobků bylo 20% vadných. Kolik výrobků bylo bez vady? b) Z 800 výrobků bylo 16 vadných. Kolik procent výrobků bylo bez vady? c) Z vyrobených výrobků bylo 21 vadných, to je 1,4%. Kolik výrobků je bez vady? Ze 700 výrobků bylo 20% vadných. Kolik výrobků bylo bez vady? Z 800 výrobků bylo 16 vadných. Kolik procent výrobků bylo bez vady? Z vyrobených výrobků bylo 21 vadných, to je 1,4%. Kolik výrobků je bez vady? Kolik stála původně halenka, jestliže po slevě o 15% stála 459 Kč? Z součástek bylo 44 vadných. Kolik procent součástek bylo bez vady? Na výměře 5 ha bylo sklizeno v určitém roce 19 tun obilí. V následujícím roce byla výměra pro osev obilí snížena o 12%, ale hektarový výnos se proti předchozímu roku zvýšil o 12%. Kolik tun obilí se v tomto roce 11 z 125

13 sklidilo? Sedlák vzal do města tři pětiny svých úspor a z této částky utratil 18%. Kolik procent všech uspořených peněz mu zbylo? Jirka spořil na prázdninový výlet. V lednu uspořil dvě pětiny celé částky, v únoru polovinu toho co v lednu a v březnu 15% celkové sumy. Do celé částky mu chybí ještě 150 Kč. Kolik bude stát celý výlet a kolik Kč naspořil v jednotlivých měsících? Cena ledničky byla dvakrát snížena. Nejprve o 10%, později ještě o 10% z nové ceny. Po tomto dvojitém snížení cen se lednička prodala za 4455 Kč. Vypočítejte její původní cenu. Obchodník koupil dodávku materiálu a při prodeji vydělal Kč následujícím způsobem. Třetinu dodávky prodal o 18% dráž, čvrtinu o 11% dráž a zbytek o 5% levněji než nakoupil. Kolik zaplatil dadavateli? Proveďte zkoušku. Kolik procent činí 40,8 ze 120? Množství krve v lidském těle je přibližně 7,6% hmotnosti těla. Kolik kg krve je v těle dospělého člověka o hmotnosti 75 kg? V roce 1990 byla cena za 1 litr benzínu special 16 Kč. Nyní stojí 19,20 Kč. O kolik procent se cena zvýšila? V nově založeném sadu se ujalo stromků, což je 98% všech sazenic. Kolik stromků vysadili? Rozhlasový přijímač, jehož původní cena byla Kč, byl po technickém zdokonalení zdražen o 20%. Později byl o 15% z nové ceny zlevněn. Jaká byla jeho konečná cena? Co je méně? 8% z 500g nebo 6% z 1 kg. Odpověď zdůvodněte výpočtem. Zboží v hodnotě 400 Kč bylo nejprve zdraženo o 10% a pak zlevněno o 10% z nové ceny. Určete jeho konečnou hodnotu. Dva společníci si rozdělili zisk Kč tak, že druhý dostal o 20% více než první. Kolik dostal každý? Zmenšíme-li neznámé číslo o 427 dostaneme 65% jeho hodnoty. Určete neznámé číslo. Kolika procentům původní ceny se rovná cena zboží, které bylo nejprve o 20% zdraženo a potom byla jeho nová cena o 20% snížena? Pro nově budovanou cestu musel být delší rozměr obdélníkového pozemku zkrácen o 7% a kratší o 8%. Jaké jsou nové rozměry pozemku a o kolik procent se zmenšila jeho plošná výměra? Původní rozměry pozemku byly 60 m a 30 m. Cena ledničky byla dvakrát snížena. Nejprve o 15%, později o 5% z nové ceny. Po tomto dvojím snížení ceny se lednička prodávala za Kč. Vypočtěte její původní cenu. Číslo 72 zvětšete o 25%. O kolik procent budete muset číslo, které 12 z 125

14 vám vyšlo, zmenšit, abyste opět dostal číslo 72? Podnik přispívá zaměstnancům na stravenky 3,30 Kč na jeden oběd a zaměstnanci platí 78% hodnoty oběda. Jaká je cena oběda? Kolik korun platí za oběd zaměstnanci? a) Vypočtěte, kolik % je 18,5 ze 400. b) Z jakého čísla je číslo 8 20%? Vypočtěte, kolik % je 18,5 ze 400. Z jakého čísla je číslo 8 20%? 19% z neznámého čísla je o 12 méně než 23% z téhož čísla. Určete neznámé číslo. ± Poměr, trojčlenka Poměr Poměr je matematický zápis ve tvaru zlomku, případně ve tvaru dělení. Např.: 7 : 5 (čteme sedm ku pěti) Jednotlivá čísla nazýváme členy poměru. Poměr může mít dva, ale i více členů. Má-li poměr více než dva členy, nazýváme ho poměr postupný. Poměr můžeme rozšiřovat a krátit, podobně jako zlomky. Platí zde i stejná pravidla, protože vlastně každý poměr můžeme napsat i ve tvaru zlomku. Poměr je v základním tvaru, jso-li jeho členy čísla navzájem nesoudělná. Příklad 1: Poměr 2,4 : 7,2 uveďte do základního tvaru. Řešení: 2,4 : 7,2 /* : 72 /: 8 3 : 9 / : 3 1 : 3 Příklad 2: Následující poměr uveďte do základního tvaru: 2 1 : 3 8 Řešení: 13 z 125

15 2 1 : 3 8 /* 24 (společný násobek jmenovatelů) 16 : Změna čísla v poměru: Změnit dané číslo v poměru, znamená vynásobit toto číslo poměrem ve tvaru zlomku. Příklad 3: Číslo 25 změňte v poměru 7 : 2 Řešení: = = 87,5 2 2 Výsledné číslo je 87,5. Je-li první člen poměru větší než druhý, jedná se o zvětšení. Je-li první člen poměru menší než druhý, jedná se o zmenšení Rozdělení čísla v poměru: Pokud máme dané číslo rozdělit v poměru, musíme nejprve jednotlivé členy poměru sečíst. Následně určíme hodnotu jednoho dílu, a to tak že původní číslo dělíme získaným součtem. Na závěr spočteme hodnoty jednotlivých dílů, které vyjadřuje poměr. Příklad 4: Číslo 81 rozdělte v poměru 2 : 7 Řešení: = 9... počet dílů 81 : 9 = 9... hodnota jednoho dílu 2. 9 = hodnota odpovídající prvnímu členu poměru 7. 9 = hodnota odpovídající druhému členu poměru Dané číslo jsme tedy rozdělili na dvě čísla, a to 18 a 63. Jsou v poměru 2 : Změna postupného poměru na jednoduché poměry: Z každého postupného poměru můžeme vytvořit jeden nebo více poměrů jednoduchých. Příklad 5: 14 z 125

16 Je dán postupný poměr 2 : 5 : 7. Vytvořte z něj alespoň dva poměry jednoduché. Řešení: Vybereme kterékoliv dva členy poměru - tedy např. 2 : 5 a 2 : 7 Změna jednoduchých poměrů na postupný: Máme-li dva nebo více poměrů jednoduchých, můžeme z nich vždy vytvořit poměr postupný. Příklad 6: Jsou dány jednoduché poměry 2 : 7 a 3 : 8. Vytvořte z nich jeden poměr postupný. Řešení: Jednoduché poměry musíme nejprve upravit rozšířením nebo krácením tak, aby jeden z členů měly společný. Tedy např. 2 : 7 /*4 8 : 28 Nyní máme v obou poměrech člen 8 a toho využijeme: 8 : 28 3 : 8 Závěr: Hledaný postupný poměr může být 3 : 8 : Trojčlenka Jak už sám název napovídá, jedná se o výpočet, kde figurují tři členy; přesněji řečeno tři členy známe a čtvrtý budeme počítat. Jedná se o postup, který má obrovské praktické využití, proto ho musí každý bezpečně ovládat. Pokud řešíme příklad pomocí trojčlenky, vždy nejprve sestavíme zápis, a to tak, že stejné veličiny musí být pod sebou a neznámou doporučuji vždy ponechat ve druhém řádku. V dalším kroku rozhodneme, zda jsou veličiny ve vztahu přímé nebo nepřímé úměrnosti. Zobrazíme si pomocné šipky. Bez jakéhokoliv dlouhého uvažování tam, kde máme neznámou (ve druhém řádku), uděláme šipku směrem nahoru. Jedná-li se o úměrnost přímou, pak na druhé straně bude šipka stejným směrem (tedy též nahoru) a jedná-li se o úměrnost nepřímou, bude na druhé straně šipka opačným směrem (tedy dolů). Na základě šipek se stavíme výpočet, po jehož vyřešení obdržíme výsledek. Příklad 7: Tři kilogramy pomerančů stojí 66,- Kč. Kolik korun bude stát pět kilogramů pomerančů? Řešení: 3 kg pomerančů... 66,- Kč 5 kg pomerančů... x Kč (šipky by v tomto případě vedly obě vzhůru) x = 66. = 110 x = 110,- 3 Kč Pět kilogramů pomerančů bude stát 110,- Kč. 15 z 125

17 Příklad 8: Pět zaměstnanců postaví přístřešek za 7 dní. Kolik zaměstnanců musíme na práci přibrat, má-li stavba být hotova už za 4 dny? Řešení: 5 zaměstnanců... 7 dní x zaměstnanců... 4 dny (šipky by v tomto případě vedly vlevo vzhůru a vpravo dolů) x = 5. = 8,75 4 x = 8,75 zaměstnance 8,75-5 = 3,75 Přibrat bychom tedy měli 3,75 zaměstnance, což znamená z praktických důvodů, že musíme přibrat ještě 4 zaměstnance Složená trojčlenka Jedná se vlastně o dva nebo více výpočtů spojených do jednoho. Místo použití složené trojčlenky můžeme většinou bez problémů použít dvakrát nebo vícekrát za sebou trojčlenku obyčejnou. Příklad 9: Šest dělníků opracuje za 5 směn 1020 součástek. Za jak dlouho opracuje 10 dělníků 2000 součástek při stejném výkonu? Řešení: 6 dělníků... 5 směn součástek 10 dělníků... x směn součástek Střední šipka - bez uvažování směrem vzhůru. Pak musíme rozhodnout, zda okrajové veličiny jsou s veličinou střední postupně ve vztahu přímé nebo nepřímé úměrnosti. Zde vychází u levé veličiny šipka dolů a u pravé šipka vzhůru x = 5.. = 5,9 x = 5,9 10 směny 1020 (přibližně) Deset dělníků opracuje 2000 součástek zhruba za 5,9 směny Procvičovací příklady: Otázka č.: 1 6 dělníků by vykonalo práci za 30 dnů. Práce má být hotová za 20 dnů. Kolik dělníků se musí na práci přibrat? Otázka č.: 2 K upečení bábovky ze 4 vajec je potřeba 16 dkg tuku, 24 dkg mouky, 20 dkg cukru. Kolik dkg tuku, mouky a cukru je potřeba na upečení bábovky ze 3 vajec? Otázka č.: 3 Tři stejně výkonní sklenáři opravili okna školní budovy za 32 hodin. Za kolik hodin by tuto opravu provedli čtyři stejně výkonní sklenáři? 16 z 125

18 Otázka č.: kg pomerančů se má rozdělit na dvě části tak, aby byly v poměru 12,6:9. Určete hmotnosti obou částí. Otázka č.: 5 Dva stroje vyrobí za 50 hodin výrobků. Kolik strojů potřebujeme přikoupit, abychom za 30 hodin vyrobili výrobků? Otázka č.: 6 Tři stejně výkonná čerpadla naplní nádrž za 72 minut. Za kolik minut se naplní nádrž osmi stejně výkonnými čerpadly? Otázka č.: 7 Počet žáků, kteří do školy dojíždějí, k počtu žáků, kteří docházejí pěšky, je dán poměrem 2:7. a) kolik žáků má škola, když dojíždějících je 96 b) kolik procent žáků školy dojíždí (zaokrouhlete na jedno desetinné místo). Otázka č.: 8 Na záhonu kvetou bílé a žluté narcisy. Bílých je o 12 více než žlutých. Poměr počtu bílých a počtu žlutých je 7:4. Kolik kvete na záhonu narcisů celkem? Otázka č.: 9 4,5 kg jablek stojí 81 Kč. Kolik stojí 2,5 kg? Otázka č.: 10 Jestliže píce vystačí 300 kusům dobytka na dva týdny, kolika kusům vystačí na tři týdny? Otázka č.: 11 Šest strojů zpracuje zásobu materiálu za 15 směn. Za kolik směn zpracuje tuto zásobu materiálu osm stejných strojů? Otázka č.: 12 Za 0,75 hodiny se vyfrézuje 36 zubů. Kolik minut trvá vyfrézování 50 zubů? Otázka č.: 13 Číslo 40 rozdělte v poměru 3:5. Otázka č.: 14 Na plánu v měřítku 1 : je zanesen pozemek tvaru obdélníka o rozměrech 2 cm, 4 cm. Vypočtěte, kolik hektarů je výměra pole. Otázka č.: 15 Na plánu města zhotoveném v měřítku 1 : má parcela tvaru lichoběžníku délku základen 40 mm a 56 mm a výšku 30 mm. Vypočtěte skutečnou výměru této parcely. Otázka č.: 16 Jaká je výměra obdélníkové zahrady, když plot kolem celé zahrady měří 160 m a sousední strany jsou v poměru 3 : 2? Otázka č.: 17 Rodina Novákova měla roční spotřebu cukru 60 kg. Rozhodla se ji v následujícím roce snížit v poměru 5:8. Skutečná spotřeba však činila 45 kg. O kolik procent byla plánovaná spotřeba překročena? Otázka č.: 18 Barva se míchá s ředidlem v poměru 5:2. Kolik bude potřeba barvy a kolik ředidla, má-li být výsledné směsi 1,4 litru? Otázka č.: z 125

19 Počet odpracovaných hodin dvou dělníků při stejné hodinové mzdě byl v poměru 5:7. Vypočtěte, kolik každý z nich dostal po 15% srážce daně, jestliže hrubá mzda pro oba dělníky činí Kč. Otázka č.: 20 Na těleso působí dvě navzájem kolmé síly F 1, F 2, které jsou v poměru 3:4. Menší síla (F 1) má velikost 12 N. Najděte výslednici F početně i graficky. Otázka č.: 21 Směs s bodem tuhnutí -32 C můžeme připravit smísením vody, lihu a glycerínu v poměru objemů 4,3 : 4,2 : 1,5. Kolik vody a lihu je třeba přidat ke 4,5 litrům glycerínu, aby vznikla směs s daným bodem tuhnutí? Otázka č.: 22 Šest lidí splní určitý úkol za 12 hodin. Kolik času by potřebovalo na tuto práci 9 lidí? Otázka č.: 23 Jestliže la'b'l :l ABl = 2:3 a délka úsečky AB je 24 cm, pak velikost úsečky A'B' bude a) 12 cm b) 36 cm c) 16 cm d) 18 cm Otázka č.: 24 Číslo 6 zvětšete tak, aby bylo s hledaným číslem v poměru 3 : 7. Otázka č.: 25 Čtyři dělníci vyhloubí příkop za 18 dní. Kolik dělníků musíme přidat do pracovní skupiny, aby byl příkop hotov už za 12 dní? Otázka č.: 26 Zemědělské družstvo zaselo na 192 ha oves, ječmen, žito a pšenici v poměru 1 : 1,4 : 1,8 : 2,2. Kolik hektarů každého druhu obilí zaseli? Otázka č.: 27 Plán má měřítko 1 : Jakými rozměry bude na plánu zakreslena ovocná zahrada, má-li ve skutečnosti délku 425 m a šířku 240 m? ± Zápisy s číselnými proměnnými, úpravy výrazů Mezi zápisy s číselnými proměnnými patří: výrazy výrokové formy výroky s kvantifikátory Po dosazení přípustných proměnných hodnot do: výrazu... dostaneme číslo výrokové formy... dostaneme výrok do výroků s kvantifikátory... nemá smysl dosazovat číselné hodnoty Rovnost a úpravy výrazů Výrazem budeme rozumět každý zápis, který je správně formulován podle úmluv o zápise čísel, proměnných, výsledků operací. Ke každému výrazu obsahujícím proměnné přísluší zápis, jaký je obor jednotlivých proměnných - tzv. 18 z 125

20 definiční obor výrazů. O dvou výrazech s týmiž proměnnými říkáme, že jsou si rovny v dané množině, platí-li: a) do obou výrazů lze na místo proměnných dosadit symboly všech prvků množiny M b) oba výrazy dávají pro stejné hodnoty proměnných stejné výsledky Přehled důležitých vzorců: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A - B) 2 = A 2-2AB + B 2 (A - B).(A + B) = A 2 - B 2 (A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 (A - B) 3 = A 3-3A 2 B + 3AB 2 - B 3 A 3 - B 3 = (A - B).(A 2 + AB + B 2 ) A 3 + B 3 = (A + B).(A 2 - AB + B 2 ) ± Algebraické výrazy - procvičovací příklady 1. Upravte: (2x - 0,2y). (2x + 0,2y) Vypočtěte: ,1 - (-2) 3 + 6,3: (-0,7) -[(2,5-3,7) : ,1] 3. Rozložte na součin: a 2 + 2ab + b 2 c Rozložte na součin: 4x 2 (y 2 z 2 ) + 25v 2 (z 2 y 2 ) Doplňte: (? - 3) 2 = 16x 2 -? +? Upravte: a 2. 3b 2ȧb.2b2 a 3. 4b Výraz (3k - 2) 2-4k(2k - 1) + 8k - 6 zjednodušte a správnost výpočtu ověřte dosazením k = Upravte daný výraz 3x 2 y-{xyz-(2yz-x 2 z)-4x 2 z+[3x 2 y-(4xyz-5x 2 z)]}. Výsledek ověřte dosazením pro x=1, y=-1, z= z 125

21 9. Vypočtěte a) rozdíl b) součin výrazů x+2 a x Vypočtěte rozdíl výrazů x+2 a x Doplňte chybějící údaje tak, aby platila rovnost ( y) 2 = 4x Rozložte na součin výraz: 18xy 2-21x 2 y Vypočítejte: (3 - x) 2-3(x 2-3) + (-2x) Zjednodušte výraz 2x - [5x - 2(x - 4) + 1] - 3(x + 1) a správnost výpočtu ověřte dosazením za x = Výraz K = 16a 2 a 4 x 2 rozložte na součin aspoň tří činitelů Zjednodušte výraz: (2h - 5s)(2h + 5s) - (2h + 5s) Upravte: [(a 2 b 3 ) 3 ] Výraz 4k 2 - (2k + 1) 2-4k + 8 zjednodušte a správnost výpočtu ověřte dosazením za k = Zjednodušte a ověřte dosazením za x = -2 8x - [2x 6.(x - 1) 2 + 2] - (3x 2-5x) Rozložte v součin výraz: 9s 2 v 2-4r 2 v 2-9u 2 s 2 + 4u 2 r 2 Správnost ověřte dosazením u=-1, v=2, s=1, r= Rozložte na součin: 4 x Umocněte: (10-2a) z 125

22 23. Upravte: (1,2x 2-0,3y) Vypočtěte bez použití kalkulátoru: ( - 3) 2 + 6,4 : ( - 0,8) - é ê ë 1 4 æ : ç - è 1 2 ö - ø ù (1,8-2,9) ú û Rozložte na součin: (2m - 1).5x 8.(2m - 1) Rozložte na součin: x 2-2xy + y 2 - x + y Rozložte na součin výrazy: a) 2x 2-4xy+2y 2 b) 5t-2tm-10m Vypočtěte součin výrazů x+2 a x Výraz -(-2x + 1) 2 se po úpravě rovná čemu? Vypočtěte: (4a 2 b + 5a 3 b 2 ) 2 = Upravte: (2x-5) 2 - (2x-3).(5x+2) 401 ± Lomené algebraické výrazy Lomený algebraický výraz je takový výraz, který má ve jmenovateli proměnnou. U každého lomeného výrazu musíme stanovit jeho definiční obor, neboli určit tzv. podmínku řešitelnosti (tj. podmínku, při jejímž splnění má výraz smysl). Př.: ax+ b cx+ d Jedná se o lomený výraz, který je definován pro všechna reálná čísla, s výjimkou x = -d/c (v tom případě by totiž byl jmenovatel roven nule a nulou nemůžeme dělit). Zapisujeme tedy: x ¹ -d/c Lomené výrazy můžeme rozšiřovat nebo krátit. Rozšířit lomený výraz znamená vynásobit jeho čitatele i jmenovatele stejným výrazem různým od 21 z 125

23 nuly. Krátit lomený výraz znamená dělit jeho čitatele i jmenovatele stejným výrazem různým od nuly. Lomené výrazy též můžeme pomocí rozšíření nebo krácení upravit tak, aby měly zadaného jmenovatele, příp. výjimečně používáme i takovou úpravu, aby měly zadaného čitatele. Lomený výraz je v základním tvaru, jestliže už ho dále nelze krátit. Lomený výraz je roven nule, jestliže je roven nule jeho čitatel. Lomené výrazy sčítáme tak, že je převedeme na společného jmenovatele a součet čitatelů takto vzniklých lomených výrazů lomíme společným jmenovatelem. Pozn.: Analogické je odčítání lomených výrazů Lomené výrazy násobíme tak, že součin čitatelů lomíme součinem jmenovatelů. Výsledek uvedeme do základního tvaru. Pozn.: Krátit můžeme i před vynásobením zadaných výrazů, a to tak, že krátíme kteréhokoliv čitatele proti kterémukoliv jmenovateli. Lomený výraz násobíme celistvým výrazem tak, že násobíme tímto celistvým výrazem čitatele výrazu lomeného. Lomený výraz dělíme lomeným výrazem tak, že první lomený výraz násobíme převrácenou hodnotou lomeného výrazu druhého. Pozn.: Převrácenou hodnotu lomeného výrazu vytvoříme tak, že zaměníme jeho čitatele se jmenovatelem. Pozn.: Opačný výraz k lomenému výrazu vytvoříme tak, že před zlomkem změníme znaménko. Složený lomený výraz je takový výraz, kde základní lomený výraz má v čitateli nebo ve jmenovateli nebo i v čitateli i ve jmenovateli další lomený výraz. Složený lomený výraz řešíme tak, že součin vnějších členů lomíme součinem členů vnitřních. Pozn.: Vnitřní členy jsou ty, které jsou blíže k hlavní zlomkové čáře; vnější členy jsou od ní naopak dále. Pozn.: Složený lomený výraz můžeme řešit i tak, že hlavní zlomkovou čáru nahradíme dělením a celý příklad poté řešíme jako podíl dvou lomených výrazů. ± Lomené algebraické výrazy - procvičení z 125

24 , z 125

25 z 125

26 ± Mocniny a odmocniny Obor přirozených čísel: Def.: Mocninou a b nazýváme přirozené číslo, které je součinem b činitelů rovných číslu a. Zapisujeme: a b = a. a. a..... a b-krát Pro čísla a, b, r, s platí: a r. a s = a r+s (a.b) r = a r. b r (a:b) r = a r : b r (a r ) s = a rs a r : a s = a r-s Obor celých čísel: Pro čísla a, n platí: a -n = 1/a n Obor racionálních čísel: Sčítat a odčítat můžeme pouze stejné mocniny, tj. musí mít stejný základ i stejný exponent. Př.: 2x 2 + 3x 2... sečíst lze 3x 4-2x 3... odečíst nelze Násobit můžeme mocniny se stejným základem. Př.: a 4. a 5 = a 9... obecně a r. a s = a r+s Násobit můžeme také mocniny se stejným exponentem a různým základem. Př.: = obecně a n. b n = (ab) n Pozn.: Analogická pravidla jako pro násobení platí i pro dělení. Často při výpočtech používáme zápis čísla ve tvaru c.10 n, kde číslo c je větší nebo rovno jedné a menší než 10. Pak platí následující pravidla: 1. Násobení čísel ve tvaru c.10 n (a.10 m ).(b.10 n )=(ab).10 m+n Př.: 3, , = (3,4.2,1) = 7, = 7, (po zaokrouhlení) 2, , = (2,6.7,3) = 18, = 1, = 1, (zaokr.) 2. Dělení čísel ve tvaru c.10 n (a.10 m ):(b.10 n )=(a/b).10 m-n Př.: 3, : 2, = (3,4:2,1) = 1, (po zaokrouhlení) 2, : 7, = (2,6:7,3) = 0, = 3, (po zaokrouhlení) 3. Umocňování čísel ve tvaru c.10 n (c.10 n ) m = c m.10 mn Př.: (5, ) 4 = 5, = 983, = 9, (po zaokrouhlení) 4. Sčítání nebo odečítání čísel ve tvaru c.10 n V tomto případě postupujeme tak, že z jednotlivých členů výrazu vytkneme nejnižší použitou 25 z 125

27 mocninu čísla 10. Vzniklou závorku sloučíme a výsledek upravíme. Př.: 2, , , = 10 5.(2, , , ) = = 10 5.( , ) = ,6 = 3, (po zaokrouhlení) Pozn.: Jak převést snadno číslo ve tvaru c.10 n na číslo klasické: a) kladné číslo v exponentu: př.: 2, znamená posunout desetinnou čárku o 8 míst vpravo b) záporné číslo v exponentu: př.: 2, znamená posunout desetinnou čárku o 8 míst vlevo Obor reálných čísel: Odmocnina z nezáporného reálného čísla je definována opět jako nezáporné číslo. Druhou odmocninou nezáporného reálného čísla a nazýváme to nezáporné reálné x, pro které platí x 2 = a Symbolicky zapisujeme Öa. Index odmocniny u druhé odmocniny vynecháváme. Pro odmocniny platí obdobná pravidla jako pro mocniny. Sudé odmocniny lze počítat pouze z nezáporných čísel. Pokud se nám tedy ve výpočtu vyskytují sudé mocniny, musíme opět provádět podmínky řešitelnosti. Sčítání a odčítání odmocnin: x + 3 2x = 4 2x u odmocnin nehraje roli koeficient před proměnnou - ten může být odlišný, protože ho lze vždy dostat před odmocninu Příklad 1: ( ) x + 3x = 2. x + 3. x = + x Pozn.: Nelze ale sčítat nebo odčítat např. druhou odmocninu s odmocninou třetí! Obdobná pravidla platí i pro násobení, resp. dělení, odmocnin. Odmocniny můžeme násobit (resp. dělit) tehdy, pokud mají stejný základ. Pak musíme ale nejprve všechny činitele převést na stejnou odmocninu. Příklad 2: a. a = a. a = a. a = a Pokud mají činitelé stejnou odmocninu, pak můžeme násobit odmocniny, které mají odlišný základ. Příklad 3: 8. 5 = 40 (1) Každou odmocninu můžeme převést na mocninu podle následujícího pravidla: a b x = x Zjednodušování odmocnin Příklad 4: Řešení: b a Příklad 5: 26 z 125

28 Řešení: Při zjednodušování součinu (resp. podílu) odmocnin se snažíme nejprve vše převést na stejnou odmocninu. Výsledek pak často musíme převést do základního tvaru, případně i částečně odmocnit. Převedení odmocniny do základního tvaru - provádí se tehdy, jestliže exponent pod odmocninou a index u odmocnítka jsou čísla soudělná (tj. mají kromě jedničky společného dělitele). Postupujeme obdobně jako při krácení zlomků. Příklad 6: 2 = Příklad 7: = Částečné odmocnění - provádí se tehdy, jestliže exponent pod odmocninou je větší než index odmocnítka. Částečně odmocníme tak, že číslo pod odmocninou nejprve převedeme na součin, kde první činitel bude mít v exponentu nejbližší nižší násobek indexu odmocnítka k exponentu původní mocniny. Pak použijeme vzorec (1) a prvního činitele převedeme do základního tvaru. Příklad 8: = 3.3 = 3. 3 = Příklad 9: = 2 = 2.2 = 2. 2 = 2. 2 Pokud potřebujeme zjednodušit součet nebo rozdíl odmocnin, snažíme se převést výpočet pomocí částečného odmocnění na odmocniny se stejným základem i stejným indexem. Příklad 10: = = Usměrňování odmocnin - provádí se tehdy, pokud se odmocnina vyskytuje ve jmenovateli. Je-li ve jmenovateli jednočlen, provádíme jednoduché rozšíření zlomku členem, který se vyskytuje ve jmenovateli. Je-li ve jmenovateli dvojčlen, provádíme usměrnění tak, že rozšíříme zlomek tak, abychom ve jmenovateli mohli použít vzorec pro rozdíl čtverců. Vzniklý výraz pak zpravidla ještě dále zjednodušíme. 3 Příklad 11: ( 3 + 2) = = Příklad 12: 6 27 z 125

29 = 2 ( 3 + 2)( ) ( 3-2)( ) = = ± Druhá a třetí mocnina a odmocnina Určování druhé mocniny Druhou mocninu jakéhokoliv čísla můžeme určit: 1. Výpočtem - a 2 = a. a 2. Pomocí tabulek n n2 n n2 n n2 n n z 125

30 z 125

31 z 125

32 z 125