BISKUPSKÉ GYMNÁZIUM BOHUSLAVA BALBÍNA

Transkript

1 BISKUPSKÉ GYMNÁZIUM BOHUSLAVA BALBÍNA A ZÁKLADNÍ ŠKOLA A MATEŘSKÁ ŠKOLA JANA PAVLA II. HRADEC KRÁLOVÉ Seminář matematiky SEMINÁRNÍ PRÁCE Konvexní pravidelné a polopravidelné mnohostěny Martin Audrlický Vedoucí seminární práce: Mgr. Petr Beneš Hradec Králové, 2015

2 Prohlašuji, že jsem seminární práci vypracoval samostatně. Veškeré literární prameny a informace, které jsem v práci využil, jsou uvedeny v seznamu použité literatury. V Hradci Králové dne 20. března 2015 Martin Audrlický

3 ANOTACE Předmětem této práce je zpracování vymezeného tématu (konvexní pravidelné a polopravidelné mnohostěny) ve výukové prezentaci v rozmezí mírné nadstavby oproti středoškolskému učivu. Cílem prezentace je podat téma jednoduchým způsobem, bez zbytečných vzorců a informací. Přitom je mým hlavním přínosem doplnění prezentace o mé vlastní obrázky a animace. Druhým osobním přínosem je zpracování přecházení mezi platónskými a archimédovskými tělesy komolením vrcholů, hran a dalšími způsoby. Klíčová slova: Stereometrie, mnohostěny, výuková prezentace, hranoly, antihranoly, duální tělesa, Blender, 3D grafika, komolení, pravidelná tělesa, polopravidelná tělesa, konvexní tělesa 3

4 ANOTATION Subject of this seminary work is processing of a defined topic (convex regular and semiregular polyhedra). This topic is compiled in a courseware presentation in range slightly wider than high school curriculum. The Goal is to present the topic clearly and keep it simple, without useless formulas and information. The first benefit from this presentation are the pictures and animations, that I made myself. The second benefit is processing of crossing between Platonic solids and Archimedean solids by truncation of vertex, edges and by other ways. Keywords: Stereometry, polyhedra, courseware presentation, prisms, antiprisms, dual solids, Blender, 3D graphics, truncation, regular solids, semi-regular solids, convex solids 4

5 OBSAH strana ANOTACE...3 ANOTATION ÚVOD BLENDER POPIS PREZENTACE KONVEXNÍ MNOHOSTĚN Eulerova věta Pravidelnost a polopravidelnost DUÁLNÍ MNOHOSTĚN PRAVIDELNÉ HRANOLY PRAVIDELNÉ ANTIHRANOLY PLATÓNSKÁ TĚLESA Čtyřstěn Šestistěn Osmistěn Dvanáctistěn Dvacetistěn ARCHIMÉDÓVSKÁ TĚLESA Komolý čtyřstěn Kuboktaedr Komolá krychle Komolý osmistěn Rombická krychle Komolý kuboktaedr Přitlačená krychle Ikosidodekaedr Komolý dvanáctistěn Komolý dvacetistěn Rombický dodekaedr Komolý ikosidodekaedr Přitlačený dvanáctistěn Třídění archimédovských těles PŘECHÁZENÍ MEZI TĚLESY Linie čtyřstěn čtyřstěn Linie šestistěn osmistěn Linie dvanáctistěn dvacetistěn Přecházení komolením Přecházení průniky Expanze Přitlačení ZÁVĚR SEZNAM ZDROJŮ SEZNAM PŘÍLOH

6 1. ÚVOD Jádrem této seminární práce je její hlavní příloha, tj. výuková prezentace, která zpracovává téma konvexních pravidelných a polopravidelných mnohostěnů, kterými jsou: pravidelné hranoly, pravidelné antihranoly, platónská a archimédovská tělesa. Všechna tato tělesa jsou v prezentaci stručně představena. Cílem prezentace je podat téma jednoduše, především bez zbytečných vzorců (jako např. pro objem, povrch atd.). Na středních školách se toto téma téměř neučí s výjimkou obecných úvodů a platónských těles. Zároveň cílovou skupinou této prezentace jsou středoškolští studenti, proto je prezentace koncipována jednoduše jako mírná nadstavba, ze které by si studenti měli odnést především povědomí o existenci takových těles a základních informacích o nich. (Z tohoto důvodu zde nejsou vzorce a další zbytečně složité byť s tématem úzce spjaté informace.) Mým hlavním přínosem jsou přitom obrázky a animace všech těles, především potom animace k poslednímu oddílu druhé kapitoly, které by měly učinit problematiku uchopitelnější a atraktivnější. Sítě těles jsou jediné obrázky v prezentaci, které jsem nevytvořil já. Takovéto zpracování daného tématu je alespoň na internetu nedostupné, a to dokonce i v angličtině. Běžně se dá najít zpracování buď mnohem složitějšího nebo naopak mnohem primitivnějšího charakteru. Všechny obrázky a animace byly vytvořené v open-source programu Blender v2.71 a za pomocí taktéž open-source softwaru Gimp 2.8. Jelikož má program Blender na mé seminární práci velký podíl, rád bych ho ve stručnosti představil BLENDER Blender je volně šířitelný GNU GPL software s širším využitím, dostupný pro všechny nejpoužívanější platformy a systémy. Slouží k vytváření 3D počítačové grafiky, animací, úpravě grafických objektů atd. Používá nejrůznějších technik jako sledování paprsku, antialiasing, skripty, plug-iny, svou vlastní OpenGl knihovnu, NURBS, Bezier atp. Zároveň v sobě má zabudovaný engine pro vykreslování (rendering), což je převádění dat z prostoru do roviny, neboli vykreslování 3D scény na 2D plochu. Všechny obrázky a animace v této práci jsou v podstatě pouze renderovanou formou 3D grafiky. Program pochází z Nizozemí, kde byl vyvíjen animačními studii NeoGeo a NaN jako soukromý projekt. Poté byl program šířen jako shareware, až nakonec v roce 2002 byl vypuštěn jako GNU GPL po krachu původních společností. Byla vytvořena BlenderFoundation, která program dále vyvíjí, stará se o jeho distribuci a financování. Za vznikem tohoto softwaru stojí především vývojář Ton Roosendaal. Pro moji práci jsem využíval engine Cycles Render, ve kterém byly modely vytvořeny, pokryty materiály, zanimovány a následně vykresleny. Jejich vytvoření ovšem zprostředkovaly dodatky Add Mesh: Extra Objects Addon a Add Mesh: Regular Solids Addon. 6

7 2. POPIS PREZENTACE Jak již bylo zmíněno, jádrem práce je prezentace, tudíž celá tato kapitola se bude zabývat jejím popisem a komentářem k ní. Bude zde trochu detailněji popsáno, co je k vidění na jednotlivých slidech a jak probíhala tvorba některých objektů. Tento popis je členěn přesně podle osnovy prezentace, tudíž číslování oddílů a pododdílů odpovídá číslování v prezentaci. Celá prezentace je ale kvůli velikosti rozdělena na tři části. Na struktuře to nic nemění, ovšem slidy jsou číslovány podle jednotlivých prezentací. První část obsahuje všechny kapitoly až po platónská tělesa, druhá část obsahuje archimédovská tělesa, třetí část obsahuje přechody mezi tělesy komolením a dalšími způsoby KONVEXNÍ MNOHOSTĚN Obecný mnohostěn je prostorové těleso, jenž je vymezeno průnikem poloprostorů daných alespoň čtyřmi různoběžnými rovinami, jejichž omezené průsečnice jsou hrany mnohostěnu a jimi vymezené části rovin jsou stěny mnohostěnu vždy mnohoúhelníky. Složky mnohostěnu jsou: vrchol, hrana a stěna. Vrchol je bod, ve kterém se setkávají alespoň 3 hrany a 3 stěny, hrana je pak hranice mezi dvěma stěnami. Protože, jak již bylo zmíněno, stěny mnohostěnu jsou mnohoúhelníky, nabízí se srovnání složek mnohoúhelníku a mnohostěnu. Pokud bychom se podívali na tuto analogii, zjistíme, že vrchol zůstává vrcholem. Prostorovým ekvivalentem strany mnohoúhelníku je hrana, která je ovšem i v rámci mnohostěnu stále stranou dvou mnohoúhelníků. Pro stěnu však rovinný ekvivalent v mnohoúhelníku nemáme, protože je jí on sám. Celé toto srovnání si můžeme prohlédnout v tabulce (slide 3) a na obrázku (slide 4). Každý mnohostěn má hranové a stěnové úhly. Hranový úhel je úhel sevřený dvěma sousedními hranami. Stěnový úhel je potom úhel sevřený dvěma sousedními stěnami. Pro každý konvexní mnohostěn platí, že má tolik stěnových úhlů co hran a dvakrát více hranových úhlů než hran. Teď už si můžeme mnohostěny zúžit na konvexní mnohostěny. Připomeňme si nejprve tento pojem. Stejně jako v rovině se dá říci, že konvexní je takový prostorový útvar, uvnitř kterého si můžeme zvolit libovolné dva body a spojit je úsečkou, která bude celá uvnitř daného útvaru. Jakmile se část úsečky bude vyskytovat mimo útvar, už se jedná o útvar nekonvexní. U mnohostěnů se však konvexnost zavádí takto: Konvexní je takový mnohostěn, který leží v poloprostoru vyťatém rovinou jeho libovolné stěny. Porovnání konvexního a nekonvexního dvacetistěnu můžeme vidět na obrázcích (slide 5). V této práci se budu zabývat pouze konvexními mnohostěny. Toto zavedení je také důležité, protože některé informace a definice budou platit pouze u konvexních mnohostěnů. Důležité nekonvexní mnohostěny, které ovšem splňují definice pravidelnosti a polopravidelnosti jsou Kepler-Poinsotova tělesa a další hvězdicové mnohostěny Eulerova věta Švýcarský matematik a fyzik z Basileje Leonhard Euler ( ) byl velmi významným matematikem, který se zasloužil velkým přínosem do mnoha oblastí 7

8 matematiky. Např. mnohá jeho značení a pojmenování se stále ještě používá. I pro téma této práce měl velký přínos, a tím je tzv. Eulerova věta. Eulerova věta definuje vztah mezi vrcholy, hranami a stěnami konvexního mnohostěnu. Označme si počet těchto součástí mnohostěnu jejich počátečními písmeny: počet vrcholů v, počet hran h a počet stěn s. Pokud nyní sečteme počet vrcholů a počet stěn, zjistíme, že výsledek je roven počtu hran zvětšenému o dva, neboli zapsáno rovnicí: s+v=h+2 Důkaz této věty nebudu provádět, ona sama je však důležitá pro důkaz počtu pravidelných mnohostěnů Pravidelnost a polopravidelnost Jak je patrné už z názvu, tato práce se zabývá výhradně pravidelnými a polopravidelnými tělesy, proto bych nyní přistoupil k jejich definici. U obou typů těles platí, že jsou vysoce symetrická. Pravidelná tělesa mají všechny stěny shodné, neboli všechny mnohoúhelníky, které tvoří jejich stěny, jsou shodné a pravidelné. Pokud jsou všechny stěny shodné, mluvíme o mnohostěnech jako o isohedrálních. Stejně tak všechny vrcholy polopravidelných těles jsou shodné. To znamená, že se v každém vrcholu sbíhá stejný počet hran. Tělesům s tímto jevem se říká isogonální. Kombinace typu stěn typu vrcholu je potom vyjádřená takzvaným Schläfliho symbolem, který je pojmenován po matematiku Ludwigu Schläflim ( ). Tento symbol zahrnuje počet stran mnohoúhelníka jedné stěny a počet hran sbíhajících se v jednom vrcholu. Značení symbolu je zavedeno takto: {n, m}, kde n je počet stran u n-úhelníku strany a m je počet hran vycházejících, resp. sbíhajících se v jednom vrcholu. Pravidelných mnohostěnů existuje právě devět pět konvexních a čtyři nekonvexní (Kepler-Poinsotova tělesa). Konvexním lze vepsat (bude se dotýkat všech stěn jedním bodem) i opsat (její součástí budou všechny vrcholy tělesa) koule. Středy obou koulí jsou totožné. Polopravidelná tělesa mají taktéž všechny stěny tvořeny pravidelnými mnohoúhelníky, ovšem u polopravidelného tělesa je více typů těchto mnohoúhelníků, takže nejsou isohedrální. V rámci jednoho typu budou ale vždy shodné. Mají taktéž shodné vrcholy (jsou isogonální) v tomto případě se v nich setkává stejný počet shodných stěn. I zde má typ vrcholů své označení, které by se dalo nazvat konfigurace vrcholu. Konfigurace vrcholu je v podstatě jen rozepsaná forma Schläfliho symbolu, neboť vyjadřuje to samé, avšak neudává počet hran a typ stěn, nýbrž vyjmenovává všechny stěny setkávající se v daném vrcholu popořadě. Obecný vzorec by tedy vypadal nějak takto: (n1.n2.n3...na). V tomto případě je a počet stěn stýkajících se ve vrcholu a každé n typ jedné stěny. Například u mnohostěnu s konfigurací ( ) se budou v jednom vrcholu postupně stýkat rovnostranný trojúhelník, pravidelný pětiúhelník, rovnostranný trojúhelník a znovu pravidelný pětiúhelník. Polopravidelných těles existuje nekonečně mnoho. U pravidelných a některých polopravidelných těles platí, že jsou isotoxální, což znamená, že jejich hrany jsou shodné, neboli že u daného tělesa si můžeme vybrat dvě hrany a 8

9 otočením nebo zrcadlením můžeme jednu hranu posunout na druhou tak, že těleso bude vypadat stále stejně DUÁLNÍ MNOHOSTĚN Každému mnohostěnu náleží také mnohostěn duální. Jeho vrcholy leží ve středech stěn původního mnohostěnu. Pokud tyto středy spojíme úsečkami, dostaneme hrany duálního mnohostěnu. V prezentaci je animace rotujícího dvanáctistěnu a jeho duálního dvacetistěnu (slide 8). Můžeme vidět, že duální mnohostěn vždy leží uvnitř původního mnohostěnu. Duálnímu mnohostěnu je duální zase mnohostěn původní. Duální mnohostěn má tedy tolik vrcholů, kolik měl původní mnohostěn stěn a obráceně. Tabulka 1, která se nachází i v prezentaci (slide 9), přiřazuje každému typu mnohostěnů, kterými se zabývá tato práce, typ duálního mnohostěnu PRAVIDELNÉ HRANOLY Pravidelné hranoly jsou polopravidelná tělesa, která mají dvě podstavy tvořené shodnými rovnoběžnými n-úhelníky. Ostatní stěny jsou čtverce, kterých je n. Ostatně všechny součásti pravidelného hranolu jsou přímo vázány na n. Stěn je tedy dohromady n + 2, vrcholů je 2n a hran je 3n. V závislosti na n se také mluví o n-bokém pravidelném hranolu nebo o n-hranolu. Hranoly se také vyznačují dvojbokou symetrií, což je označení vycházející z teorie grup. Všechny pravidelné a polopravidelné mnohostěny se dají rozřadit podle symetrických skupin této teorie. Tento údaj, řečeno velmi zjednodušeně, udává jakými způsoby se dá těleso otočit a zrcadlit tak, aby zůstalo identické. Čím více-boká symetrie je, tím více těchto možností otočení a zrcadlení existuje. Toto rozřazení bude důležité pro konstrukci archimédovských těles. V prezentaci také můžeme vidět animaci měnícího se pravidelného hranolu a jeho duálního dvojjehlanu v závislosti na rostoucím n (slide 11). Na této animaci si také můžeme povšimnout podstaty pravidelného hranolu a jeho rozdílu oproti obecnému hranolu. Jak již bylo zmíněno, i polopravidelné mnohostěny mají všechny stěny pravidelné mnohoúhelníky, a protože pravidelný hranol je polopravidelné těleso, musí mít kromě podstav pravidelné i mnohoúhelníky, které tvoří jeho boční stěny. Proto jimi musí být čtverce, u obecného hranolu to mohou být obdélníky. V animaci je to vidět na měnící se výšce hranolu, protože s rostoucím n se při stálém poloměru r kružnice opsané núhelníkové podstavě mění i její strana, tudíž i strana čtvercových stěn. Proto se s rostoucím n mění výška hranolu, která se dá snadno spočítat podle vzorce: 180 v= sin 2 r n Tento vzorec lze jednoduše získat ze vztahů v podstavě hranolu. Výška je rovna straně čtverce, tedy i straně podstavy. Každý pravidelný mnohoúhelník se dá rozložit na rovnoramenné trojúhelníky, jejichž základna je rovna výšce hranolu. ( ) 9

10 Stejně tak se mění výška duálního dvojjehlanu, která musí být stejná jako výška hranolu. Dvojjehlan má tedy podle pravidel dualismu tolik vrcholů, kolik měl hranol stěn a je tvořen rovnoramennými trojúhelníky, je isohedrální PRAVIDELNÉ ANTIHRANOLY Pravidelné antihranoly jsou v ledasčem podobné pravidelným hranolům. Jsou taktéž tvořeny dvěma shodnými rovnoběžnými n-úhelníkovými podstavami, které jsou ale podle svislé osy z pootočeny o 180/n. Ostatní stěny jsou rovnostranné trojúhelníky, jejichž jedna strana je vždy zároveň stranou jedné podstavy a k ní protilehlý vrchol je zároveň vrcholem podstavy druhé. Trojúhelníků je tedy 2n, celkem má antihranol 2n + 2 stran. Hran má 4n a vrcholů znovu 2n. Od hranolu se liší rozdílným pospojováním podstav hranami. V závislosti na n se zase mluví o n-bokém antihranolu nebo o n-antihranolu. Antihranoly se taktéž vyznačují dvojbokou symetrií. Stejně jako u hranolů je také u pravidelných antihranolů v prezentaci animace pro rostoucí n (slide 13). A stejně si zde můžeme všimnout měnící se výšky, aby zůstaly zachovány rovnostranné trojúhelníky. Tentokrát je pro ni vzorec složitější, protože si musíme uvědomit, že trojúhelníkové strany nejsou na podstavy kolmé. Přesto a právě proto bych ho zde uvedl. Také proto, že ho nikde jinde nenajdete a pro tvorbu animace byl důležitý. Také stručně popíšu to, jak jsem ho odvodil. Znovu za předpokladu stálého poloměru kružnice podstavě opsané r, můžeme vzorec zapsat takto: ( 2 ( )) v= 2 r sin 4 n 2 ( ( )) 180 r 1 cos n 2 K jeho vysvětlení použiji obrázek 1. Zároveň můžeme použít vzorec, který platí pro hranol, protože výška hranolu je stále rovna délce strany podstavy antihranolu. Na obrázku můžeme vidět označenou jednu její polovinu (x/2), ale protože je to také jedna strana rovnostranného trojúhelníka, vidíme její délku ještě jednou, označenou jako x. Kromě x známe také poloměr kružnice podstavě opsané, tedy vzdálenost vrcholu podstavy od jejího středu (r) a α (180/n). Výška, kterou se snažíme zjistit, je zde označená jako v a je jednou odvěsnou pravoúhlého trojúhelníka se stranami u,v a b, kde je druhou odvěsnou b a přeponou u a který jsme si jako pomocný trojúhelník vytvořili nad jednou trojúhelníkovou stranou antihranolu. B jsme schopni spočítat, pokud spočítáme a tak, že odečteme r a, protože a + b je poloměr kružnice opsané podstavě. A tedy spočítáme takto: a r a=cos α r a=r cos ( 180/ n ) cos α= 10

11 Obrázek 1 Odvození výšky antihranolu Potom pro b platí: ( ) 180 n Teď, když máme b, potřebujeme znát už jen u, protože pak můžeme pomocí Pythagorovy věty spočítat v takto: v= u 2 b2 Pro u taktéž použijeme Pythagorovu větu: x 2 u2 =x u2 = x Když teď dosadíme vzorec pro b a pro u, ve kterém dosadíme za x rovnici od hranolu, dostaneme onen vzorec pro výšku: b=r 1 cos () ( 2 ( )) 2 ( ( )) v= 2 r sin r 2 1 cos 4 n n Celá tato úloha je vlastně soustava dvou rovností Pythagorových vět pro pravoúhlé trojúhelníky se stranami: b, v, u a x/2, u, x. Stejně jako u hranolů a dvojjehlanů samozřejmě i zde platí, že duální trapezohedron je vždy stejně vysoký jako původní antihranol. Trapezohedrony jsou isohedrální tělesa tvořená deltoidy, kromě n = 2, kdy je duální trapezohedron shodný s původním antihranolem. Obě tělesa jsou zároveň pravidelnými čtyřstěny. 11

12 2. 5. PLATÓNSKÁ TĚLESA Platónská neboli Platónova tělesa jsou všechna jediné pravidelné konvexní mnohostěny. Jejich stěny jsou tvořeny shodnými pravidelnými mnohoúhelníky (trojúhelníky až pětiúhelníky), takže jejich názvy, které jsou odvozeny od počtu jejich stěn, budeme samozřejmě myslet vždy pravidelné mnohostěny. Každé z těchto těles má název ryze český i cizí, který se v češtině používá. Existuje jich právě pět, jak už jsme se dozvěděli v oddíle o pravidelných tělesech. Jak již jejich název napovídá, tato tělesa byla poprvé popsána Platónem (427 př. n. l př. n. l.), řeckým matematikem a filosofem. Objevena byla ale už před ním. Například jejich symetrie byly použity již v mladší době kamenné na území dnešního Skotska k vytesání kamenů. Obecně se má za to, že za objevem jich samotných stojí především Pythágorás (čtyřstěn, krychle a dvanáctistěn) a Theaetetus (osmistěn a dvacetistěn). Theatetus také provedl první důkaz existence právě pěti těles v této kategorii. Na něm pravděpodobně z velké části vystavěl svůj obsáhlý popis platónských těles a jejich konstrukce další řecký matematik Euklid. Ten mimo jiné také jako první vyjádřil vztah mezi průměrem opsané koule a délkou hrany jednotlivých těles. Také je známo Platónovo přiřazení živlu každému tělesu na základě vnějších podobností. Taktéž je použil v 16. století německý astronom a matematik Johannes Kepler, který věřil, že se tehdy známé planety naší sluneční soustavy (Merkur, Venuše, Země, Mars, Jupiter a Saturn) pohybují po kulových plochách opsaných nebo vepsaných těmto mnohostěnům. Mezi každými dvěma planetami tedy nějaký z nich ležel. Vysvětloval tím zákonitosti pohybu těchto planet. Později se tato teorie samozřejmě ukázala jako nepravdivá. Kepler též využíval zákonitosti, díky které lze do sebe postupně všechny platónské mnohostěny vepsat. Všechny do sebe nádherně zapadají. Do dvanáctistěnu o hraně délky jedna lze vepsat krychli o hraně s délkou hodnoty zlatého řezu. Všechny její vrcholy budou ležet v některých z vrcholů dvanáctistěnu. V krychli a dvanáctistěnu zároveň bude čtyřstěn, jehož hrany budou mít délku 2 krát φ (fí hodnota zlatého řezu). Do čtyřstěnu jde vepsat osmistěn s vrcholy ve středech stran čtyřstěnu. Na dvanácti hranách osmistěnu bude ležet dvanáct vrcholů dvacetistěnu a tyto vrcholy budou dělit strany osmistěnu přesně v poměru zlatého řezu. Do dvacetistěnu můžeme už lehce vnořit původní dvanáctistěn díky dualismu. Takto může jít tento koloběh donekonečna ven i dovnitř. Pro platónská tělesa platí ale i mnoho dalších pozoruhodných poznatků. Zlatého řezu lze využít při konstrukci, nebo ho spíše najít v dvacetistěnu a dvanáctistěnu. Všechny tato popsaná vnořování jsou vidět na obrázcích 2 a 3. Na obrázku 2 je první část dvanáctistěn-krychle-čtyřstěn. Na obrázku 3 je druhá část čtyřstěn-osmistěn-dvacetistěn. Toto pořadí vnořování nemusí být dodrženo, platónská tělesa si lze vepsat různými způsoby téměř všechna navzájem. 12

13 Obrázky 2 a 3 Vnořování platónských těles do sebe navzájem Důkaz existence právě pěti konvexních pravidelných mnohostěnů je jednoduchý: Každý takový mnohostěn má všechny prostorové vnitřní úhly (úhly v rozích) shodné. Vymezení těchto úhlů vyžaduje alespoň tři mnohoúhelníky, které se pospojují tak, že vytvoří jeden vrchol (viz obrázek 4). Jako první se nabízí použít rovnostranné trojúhelníky. U nich zjistíme, že můžeme prostorový úhel zkonstruovat se třemi, čtyřmi nebo pěti okolo jednoho bodu. Pro šest rovnostranných trojúhelníků už by všechny ležely v rovině. Když se podíváme na pravidelný čtyřúhelník (čtverec), zjistíme, že prostorový úhel dostaneme pro tři kolem jednoho bodu, čtyři by byly zase v rovině. Tři pravidelné pětiúhelníky nám dají taktéž prostorový úhel (viz obrázek). Čtyři už se ani do roviny nevejdou. Tři šestiúhelníky leží taktéž v rovině a jakékoliv vyšší n-úhelníky se alespoň v trojici do roviny nevejdou. Když všechno sečteme, zjistíme, že budou existovat tři pravidelné mnohostěny se stěnami rovnostranných trojúhelníků, jeden se čtvercovými stěnami a jeden s pětiúhelníkovými stěnami. Tento důkaz provedl jako první Eukleides Alexandijský. Kromě tohoto jednoduchého důkazu, existují i další, početní. Já je zde uvádět nebudu, ale nejvýznamnější z nich využívá Eulerovy věty, jak již bylo zmíněno. Platónským tělesům jsou duální zase platónská tělesa. Duální mnohostěny mají vždy stejné symetrické skupiny. U duálních mnohostěnů je také zajímavé, že mají vždy stejný počet hran, počet vrcholů a stěn mají vždy opačně. Také Schläfliho symbol mají převrácený. Platónská tělesa se v přírodě celkem četně v různých formách vyskytují. Nejpatrněji jsou vidět jako krystaly minerálů a podobných materiálů. Dále je můžeme najít i v říši živočichů mezi skupinou mřížovců, také v chemii, kde tvary platónských těles zaujímají některé molekuly. Vyskytují se nejen v přírodě, ale i mezi lidmi. Tvarů těchto těles si lze povšimnout například u hracích kostek, v architektuře apod. 13

14 Obrázek 4 Vytvoření prostorového úhlu Čtyřstěn Úvodním platónským tělesem je čtyřstěn neboli tetraedr, v angličtině tetrahedron. Je to nejjednodušší platónské těleso. Je prvním ze tří z těchto těles tvořených rovnostrannými trojúhelníky. Stejně jako čtyři stěny má i čtyři vrcholy, protože je sám sobě duální, jak můžeme vidět v prezentaci (slide 16). Släfliho symbol pro čtyřstěn je {3, 3}. Má šest hran, z nichž je každá s jednou další hranou mimoběžná a se čtyřmi různoběžná (sbíhají se po dvojicích do jejích vrcholů). Tetraedr se také nazývá prostorovým simplexem, protože stejně jako rovinný simplex (rovnostranný trojúhelník, kterým je čtyřstěn tvořen) je i on nejjednodušším pravidelným tělesem ve svých rozměrech. Pro Platóna symbolizoval čtyřstěn oheň, kvůli svým ostrým hranám a vrcholům. Řecky je oheň pur a Řekové tetrahedron nazývali puramis, odtud pyramida. Podle Keplera po kulové ploše vepsané čtyřstěnu obíhá Mars a po kulové ploše tomu čtyřstěnu opsané obíhá Jupiter. Jako už je to u všech pravidelných i polopravidelných těles, i čtyřstěn má vysokou míru symetričnosti. Má tři dvojčetné osy (těleso se dá rotovat kolem tří os o 180º a zůstane identické) a čtyři tříčetné osy souměrnosti (těleso se dá rotovat kolem čtyř os o 120º a zůstane identické). Dvojčetné osy budou protínat středy protilehlých hran, trojčetné osy budou protínat vrcholy a středy protilehlých stěn. O každém tělese s těmito osami souměrnosti se říká, že má symetrie čtyřstěnu. Tato symetrie je součástí tzv. čtyřboké symetrické skupiny (teorie grup). Tato symetrie může být u některých těles doplněná o zrcadlení nebo kombinaci zrcadlení a rotace. 14

15 Šestistěn Šestistěn alias nám všem dobře známá krychle neboli hexaedr (anglicky hexahedron nebo cube) má samozřejmě šest čtvercových stěn, které jsou předělené dvanácti hranami, ty se sbíhají do osmi vrcholů. Schläfliho symbol je tudíž {4, 3}. Krychle se dá také brát jako pravidelný hranol pro n = 4. Už od pradávna byl šestistěn symbolem stability a rovnováhy, kvůli hranovým i stěnovým úhlům, jejichž hodnotou je pravý úhel, a také kvůli symbolickým číslům dokonalosti, plynoucím z počtů součástí krychle. Také proto pro Platóna krychle symbolizovala zemi. Krychle byla podle Keplera od slunce nejdále ležela mezi Jupiterem a Saturnem. Saturn měl obíhat po kouli opsané krychli a Jupiter po kouli téže krychli vepsané. Hexaedr má symetrie osmistěnu, protože jsou si navzájem duální (slide 18), avšak tyto symetrie budou popsány až u osmistěnu, protože se tradičně zavádějí u trojúhelníky tvořenými tělesy Osmistěn Oktaedr (osmistěn, anglicky analogicky octahedron) je duální se šestistěnem, takže mají tyto mnohostěny mnoho společného. Počet hran je u obou podle pravidel dualismu dvanáct. Podle stejných pravidel má osmistěn osm stěn a šest vrcholů. Oktaedr je velmi zajímavé těleso, dá se brát také jako antihranol pro n = 3 a jako dvojjehlan pro n = 4. Jeho symbol je {3, 4}. Podle Platóna se jednalo o symbol vzduchu, podle Keplera se nacházel mezi Merkurem a Venuší, přičemž Merkur se pohyboval po kouli jemu vepsané a Venuše po opsané. V přírodě se dá osmistěn nalézt jako například krystal diamantu. Symetrie osmistěnu má šest dvojčetných os souměrnosti, čtyři tříčetné a tři čtyřčetné (rotace o 90º). Tato symetrie spadá do osmiboké symetrické skupiny (grupy) Dvanáctistěn Dodekaedr (dvanáctistěn, dodecahedron) je těleso složené z dvanácti pravidelných pětiúhelníků, které se setkávají ve třiceti hranách a dvaceti vrcholech. Jeho duálním tělesem je dvacetistěn, jenž také určuje symetrie obou těles. Schläfliho symbol je pro dvanáctistěn {5, 3}. Pro zajímavost dvanáctistěn má 60 stěnových, 100 vnitřních úhlopříček a možností rozložení jeho pláště. Ze všech platónských těles o stejném objemu by měl dodekaedr nejkratší hrany. Jeho dvanáct z dvaceti vrcholů je také definováno třemi na sebe kolmými obdélníky s poměrem stran φ2 a jeho zbylých osm vrcholů vnořením krychle o hraně délky φ. Platón nejprve přiřadil živly všem ostatním tělesům a o dvanáctistěnu napsal: Zbyla pátá konstrukce, kterou Bůh použil na vyzdobení celého nebe souhvězdími. Pro něj tedy symbolizoval vesmír nebo je to také vykládáno jako jsoucno. Podle Keplera se po kulové ploše vepsané dvanáctistěnu pohybovala Země a po jeho opsané kulové ploše Mars. 15

16 Dvacetistěn Dvacetistěn je poslední z platónských těles. Jeho název je také ikosaedr (icosahedron) a je posledním ze tří platónských těles, které je tvořeno rovnostrannými trojúhelníky (viz důkaz o počtu platónských těles). Už z názvu víme že je jich dvacet a podle zákonu dualismu můžeme spočítat, že vrcholů má dvanáct a hran má taktéž třicet. Schläfliho symbol {3, 5} má zase opačné hodnoty než jeho duální dvanáctistěn. Všech dvanáct jeho vrcholů je definováno podobně jako u dvanáctistěnu třemi na sebe kolmými obdélníky o stranách poměru zlatého řezu. Platón ho přiřazoval vodě, protože pokud čtyřstěn, osmistěn a dvacetistěn vytvoříme ze stejně velkých trojúhelníků, bude ikosaedr největším z nich. Platón ho tedy určil jako symbol vody, která je nejhustší z tekutých živlů ohně a vzduchu, které náleží ostatním dvěma, a právě vody. Kepler jej vsunul mezi Zemi a Venuši, přičemž Země měla obíhat po kouli opsané a Venuše po kouli vepsané ikosaedru. Symetrie dvacetistěnu, které má i dvanáctistěn. Zahrnuje patnáct dvojčetných, dvacet trojčetných a dvanáct pětičetných (rotace o 72º) os souměrnosti. Tato symetrie je součástí dvanáctiboké symetrické grupy ARCHIMÉDOVSKÁ TĚLESA Archimédovská (někdy také Archimédova) tělesa je komplet třinácti polopravidelných mnohostěnů, jejichž stěny jsou tvořeny dvěma nebo třemi typy mnohoúhelníků. Mimo sedmiúhelník a devítiúhelník se jedná o všechny mnohoúhelníky až po desetiúhelník. Lze jim opsat kouli. Také mají kulovou plochu dotýkající se jedním bodem středů všech jejich hran a pro každý typ stěny mají jednu kulovou plochu vepsanou. Každé těleso tedy definuje jedním středem čtyři nebo pět koulí. Jmenují se podle Archiméda ze Syrákús (287 př. n. l př. n. l.), protože je považován za jejich objevitele. Avšak prvním, kdo všechna tato tělesa popsal byl Johannes Kepler, který tak učinil okolo roku 1620, v době kdy umělecký směr renesance prahl po dokonalosti. Archimédovská tělesa jsou dá se říci v tomto ohledu velmi uspokojující, zejména kvůli své vysoké pravidelnosti. Kepler mimo to také objevil množiny hranolů a antihranolů, které jsou nekonečné. 16

17 Obrázek 5 Pseudorombokuboktaedr Mimo tradičních třináct archimédovských těles existuje ještě čtrnáctý polopravidelný konvexní mnohostěn (na obrázku 5), velice podobný archimédovským, ale také Johnsonovým tělesům. Vedou se spory o jeho zařazení. Nejspíše ho znal už Kepler, protože se jednou údajně zmínil o tom, že existuje čtrnáct archimédovských těles. Jako první se konkrétně o jeho existenci vyjádřil ale skotský matematik a astronom Duncan Sommerville ( ) v roce Jako první toto těleso kompletně popsal až v roce 1957 Vladimir Georgievič Aškinuze, proto se mu také říká Aškinuzeho těleso. Častěji se však nazývá pseudorombokuboktaedr, protože je odvozen od rombokuboktaedru, kterému je podobný. Dá se zkonstruovat totiž pootočením jednoho jeho osmihranného vrchlíku o 45º. Já se v této práci budu ale zabývat výhradně oněmi tradičními archimédovsými tělesy. Všechna archimédovská tělesa se dají zkonstruovat z platónských těles, proto se také udržují jejich symetrické grupy. Touto tematikou se budeme zabývat v posledním oddíle. Podle toho, jak byla tato tělesa zkonstruována se také jmenují. V češtině mívají více názvů sami o sobě mohou mít dva názvy, těleso ze kterého byly zkonstruovány také dva, takže ve výsledku jsou čtyři způsoby, jak dané archimédovské těleso nazvat. V angličtině také mívají jeden nebo dva názvy. Já se jich zde budu snažit vyjmenovat víc, protože se v různých publikacích a na různých místech můžeme setkat se všemi. Budu uvádět i anglické názvy, protože se někdy používají i v češtině více než české. Duální jsou k archimédovským tělesům jsou katalánská tělesa. Jedná se o třináct těles, která nejsou ani pravidelná, ani polopravidelná, ale jsou konvexní. Jsou isohedrální, ale nejsou isogonální. V praxi to znamená, že jsou vždy tvořená jedním typem mnohoúhelníku (trojúhelníky až pětiúhelníky), který však není nikdy pravidelný. Mají víc typů vrcholů, ale kolem jedné stěny jsou tyto typy vždy rozestavěny stejně (mají stejnou konfiguraci vrcholů, ne vrcholu). V některých případech jsou i isotoxální. Jsou pojmenována po francouzsko-belgickém matematikovi Eugènu Charlesu Catalanovi ( ), který je 17

18 jako první popsal v roce Počty jejich stěn, hran a vrcholů si můžeme vždy spočítat podle pravidel dualismu Komolý čtyřstěn Komolý čtyřstěn, nebo také osekaný (ořezaný) čtyřstěn (truncated tetraheron anglicky), jak již název napovídá, vznikl ze čtyřstěnu odřezáním jeho vrcholů. Komolý čtyřstěn má tedy 8 stěn čtyři pravidelné šestiúhelníky (pozůstatky stěn čtyřstěnu) a čtyři rovnostranné trojúhelníky. Má 12 vrcholů a 18 hran. Typ vrcholu je (3.6.6). Někdy se toto těleso používá v architektuře. Jeho duálem je triakistetraedr (triakis tetrahedron), který je složen z 12 rovnoramenných trojúhelníků Kuboktaedr Kuboktaedr, též nazývaný krychloktaedr (cuboctahedron, rhombitetratetrahedron), je výjimečným tělesem. Patří totiž mezi kvaziregulární tělesa (první ze dvou mezi archimédovskými tělesy), což znamená, že má dva typy stěn, které se střídají kolem jednoho vrcholu. Jinak řečeno, každá stěna je obklopena stěnami druhého typu. Tato tělesa jsou isotoxální (jediná mezi archimédovskými tělesy). Dá se mezi ně počítat i osmistěn (jako tetratetraedr) s duálem krychlí (jako kosočtverečným tělesem). U kuboktaedru se střídá 8 trojúhelníků (samozřejmě rovnostranných) a 6 čtvereců, takže konfigurace vrcholu se zapíše jako ( ). Duálem ke kvaziregulárním tělesům jsou katalánská tělesa se stěnou typu kosočtverce, u kuboktaedru je to rombický dodekaedr (kosočtverečný dvanáctistěn, rhombic dodecahedron). Ten je zajímavý tím, že je jako jediné katalánské těleso schopné správným poskládáním úplně vyplnit prostor. Krychloktaedr má 24 hran a 12 vrcholů Komolá krychle Komolá (osekaná, ořezaná) krychle (hexaedr, šestistěn), anglicky truncated cube, je vytvořená ořezáním rohů krychle. Její stěny jsou tvořeny 8 trojúhelníky a 6 pravidelnými osmiúhelníky (pozůstatky stěn po krychle). Typ vrcholu je (3.8.8). Duálem je triakisoktaedr (triakis octahedron, nebo také trigonal trisoctahedron) tvořený rovnoramennými trojúhelníky. Už z druhého anglického názvu si můžeme všimnout, že jde v podstatě o osmistěn, který má místo stěn pyramidy. Má 24 vrcholů a 36 hran Komolý osmistěn Komolý (další možnosti označení jsou stejné jako u předchozích, nadále je už uvádět nebudu) osmistěn (truncated octahedron) vznikl analogicky ořezáním osmistěnu. Má 6 čtvercových a 8 šestiúhelníkových stran (zbytky stěn osmistěnu). Je po komolé krychli a kuboktaedru posledním ze tří archimédovských těles, které má dohromady 14 stěn. Jeho vrcholovým symbolem je (4.6.6). Duální mnohostěn se jmenuje tetrakishexaedr (tetrakis hexahedron), znovu tvořený rovnoramennými trojúhelníky. Podobně jako triakisoktaedr se tetrakishexaedr dá brát jako krychle, která má namísto stěn čtyřboké jehlany. Není 18

19 náhodou, že duál komolého osmistěnu připomíná duál osmistěnu a že duál komolé krychle připomíná duál krychle. Komolý osmistěn má stejně vrcholů a hran jako komolá krychle. Je také jedinečný tím, že podobně jako rombický dodekaedr mezi katalánskými tělesy je komolý osmistěn jediným archimédovským tělesem, které je schopné úplně vyplnit prostor Rombická krychle Rombická krychle nebo také malý (nemusí být použito) rombokuboktaedr (rombokrychloktaedr, anglicky small rhombicubictahedron) má 8 trojúhelníkových a 18 čtvercových stěn, které se stýkají ve 48 hranách a 24 vrcholech typu ( ). Jeho duálním mnohostěnem je deltoidový čtyřiadvacetistěn (deltoidal icositetrahedron). Rombokuboktaedr byl a stále je populárním tělesem. Už v roce 1495 se objevil na portrétu františkánského mnicha a matematika Luca Pacioliho. O nemnoho let později byl namalován Leonardem da Vincim a v roce 1509 poprvé vytištěn jako ilustrace Komolý kuboktaedr Dalším mnohostěnem s 26 stěnami je komolý kuboktaedr, nebo také velký rombokuboktaedr (truncated cuboctahedron, great rhombocuboctahedron v angličtině má ještě další čtyři názvy, ale nejsou moc používané). Je prvním ze tří archimédovských těles, které jsou tvořeny třemi typy mnohoúhelníků. V tomto případě to je 12 čtverců, 8 šestiúhelníků a 6 osmiúhelníků. Duálním tělesem je dysdyakisdodekaedr (disdyakis dodecahedron, hexakis octahedron). Má 48 vrcholů (4.6.8) a 72 hran Přitlačená krychle Prvním ze dvou speciálních přitlačených těles je přitlačená krychle (otupená krychle, snub cube). Tato tělesa vznikla zvláštním způsobem (viz poslední oddíl). Přitlačená krychle je tvořená 32 trojúhelníky a 6 čtverci. Její vrcholy jsou typu ( ) a je jich 24, hran má 60. Přitlačená tělesa jsou jediná archimédovská tělesa s duály s pětiúhelníkovými stěnami. Přitlačená krychle má jako duální mnohostěn pětiúhelníkový čtyřiadvacetistěn (pentagonal icositetrahedron). Přitlačená tělesa i jejich duály jsou chirální, což znamená, že mají vždy levou a pravou formu. Jinými slovy existují dvě jakoukoliv rotací neztotožnitelné zrcadlově převrácené formy tělesa Ikosidodekaedr Ikosidodekaedr (také ikosododekaedr, anglicky icosidodecahedron) je po kuboktaedru druhým ze dvou kvaziregulárních archimédovských těles. Je tvořen 20 trojúhelníky a 12 pětiúhelníky. Má 60 hran a 30 vrcholů o konfiguraci ( ). Jako kvaziregulární těleso má duál se stěnami kosočtverce, konkrétně kosočtverečný třicetistěn (rhombic triacontahedron), jehož kosočtverečné stěny mají úhlopříčky v poměru zlatého řezu. Tato dvě kosočtverečná tělesa jsou jsou isotoxální (jako jediná mezi katalánskými) stejně jako jejich duály mezi archimédovskými. Kosočtverečný třicetistěn je také zvlášť zajímavý tím, 19

20 že v jeho konstrukci můžeme mezi vrcholy nalézt všechna platónská tělesa deset čtyřúhelníků, pět krychlí a osmistěnů a po jednom dvanáctistěnu a dvacetistěnu. Jeho nejstarší nám známá kresba pochází taktéž od Leonarda da Vinciho a objevila se ve stejné publikaci jako ilustrace rombické krychle Komolý dvanáctistěn Komolý dvanáctistěn (truncated dodecahederon) je odvozen od dvanáctistěnu ořezáním jeho rohů. Komolý dvanáctistěn má 20 trojúhelníkových a 12 desetiúhelníkových stěn. Jsou spojeny v 90 hranách a 60 vrcholech typu ( ). Duální je ke komolému dvanáctistěnu šedesátistěný triakisikosaedr (triakis icosahedron), který znovu připomíná duální mnohostěn dvanáctistěnu dvacetistěn, kdyby se jeho trojúhelníkové stěny nahradily pyramidami. Jeho stěny tedy tvoří rovnoramenné trojúhelníky Komolý dvacetistěn Komolý dvacetistěn (truncated icosahedron) je poslední ořezané platónské těleso. Je tvořeno 12 pětiúhelníky a 20 šestiúhelníky. Je posledním ze tří těles s počtem stěn 32 (po ikosidodekaedru a komolém dvanáctistěnu). Jako komolá krychle a osmistěn má i on stejně hran a vrcholů jako komolý dvanáctistěn, který je odvozen od duálu jeho nezkomolené formy. Vrcholy komolého dvacetistěnu jsou typu (5.6.6). Jeho duálním tělesem je pentakisdodekaedr (pentakisdodecahedron), který má šedesát stěn. Tvar komolého dvacetistěnu je hojně používaný. Známe jej všichni jako fotbalový míč, který je jeho zakulacenou formou (radiální projekcí na sféru kouli). Vyskytuje se také v přírodě jako například molekula fullerenu uhlíku Rombický dodekaedr Rombický dodekaedr (popřípadě ikosidodekaedr) nebo také malý (nemusí být použito) rombododekaedr (popřípadě romboikosidodekaedr), anglicky small rhombicosidodecahedron, má tři typy stěn: 20 trojúhelníkových, 30 čtvercových a 12 pětiúhelníkových. Vrcholů konfigurace ( ) má 60, hran má 120. Jeho duálem je deltoidový šedesátistěn (Deltoidal hexecontahedron), jehož název nám řekne vše, co potřebujeme o jeho stěnách vědět Komolý ikosidodekaedr Komolý ikosidodekaedr, nebo také velký romboikosidodekaedr (truncated icosidodecahedron nebo great rhombicosidodecahedron) má stejně jako komolý kuboktaedr má v angličtině další čtyři názvy, které se moc nepoužívají. Komolý ikosidodekaedr je posledním archimédovským tělesem tvořeným třemi typy mnohoúhelníků. U tohoto mnohostěnu je to 20 šestiúhelníků, 30 čtverců a 12 desetiúhelníků, takže má stejný počet stěn jako předchozí těleso: 62. Jeho 120 vrcholů je typu (4.6.10). Má 180 hran. Jeho duálem je stodvacetistěnný disdyakistriakontaedr (disdyakis triacontahedron). 20

21 Přitlačený dvanáctistěn Konečně tu máme druhý přitlačený a zároveň poslední archimédovský mnohostěn vůbec, přitlačený (otupený) dvanáctistěn (popřípadě ikosidodekaedr), anglicky snub dodecahedron (popřípadě icosidodecahderon). Má stejně jako přitlačená krychle dvě chirální formy. Tento mnohostěn je ze všech archimédovských těles nejblíže kouli, protože má nejvíce stěn z nich jsou trojúhelníky a zbylých 12 jsou pětiúhelníky. Symbol jeho 60 vrcholů je ( ). Mezi nimi se nachází 150 hran. Jeho duálním tělesem je pětiúhelníkový šedesátistěn (Pentagonal hexecontahedron) Třídění archimédovských těles Existuje několik typů klasifikace archimédovských těles. Na konci prezentace II (slide 30) můžeme jedno nabízející se dělení vidět v tabulce, která má sloupce seřazené podle počtu typů mnohostěnů, které tvoří dané těleso. Řádky jsou rozdělené podle počtu stěn, které obklopují jeden vrchol PŘECHÁZENÍ MEZI TĚLESY Zde můžeme navázat na předchozí oddíl. V prezentaci III si můžeme prohlédnout tabulku (slide 3), která nám ukazuje roztřídění archimédovských a platónských těles podle jejich vzniku. Řádky určují tři linie, ve kterých jsou na dvou protipólech duální platónská tělesa. Z nich vznikla všechna zbylá tělesa na daném řádku úpravami, do kterých jsou tělesa roztříděna ve sloupcích. Můžeme si všimnout, že mnohostěny vždy zachovávají symetrickou grupu duálních platónských těles, ze kterých vzešly. Toho využívá Wythoffova konstrukce, kterou lze použít ke zkonstruování archimédovských těles. V tomto oddíle bude jejich vznik ale vysvětlen jednodušeji. Následující tři pododdíly se budou zabývat přecházením mezi všemi tělesy, přitlačená tělesa vyjímaje, pouze díky komolení. Existuje totiž více způsobů vzniku archimédovských těles. Ty budou vysvětleny v dalších pododdílech. Všechny tyto konstrukce jsou spolu nutně provázány a dají se v nich vysledovat nejrůznější zákonitosti. Už v úvodní tabulce je možné si všimnout, že se některá tělesa opakují na různých místech. To je proto, že jdou vytvořit vícero způsoby. V angličtině se potom i stejná tělesa mohou jmenovat rozdílně, v češtině není k této problematice řádná dokumentace, takže tělesa shodná svou konstrukcí budu nazývat stejně, na způsob konstrukce nehledě. Konstrukce pouze komolením využívá komolení vrcholů, které už bylo zmíněno, ale také komolení hran. Tabulka velmi dobře zachycuje princip tří linií komolení. Každé komolení začíná libovolným platónským tělesem, neboť se dá v komolení postupovat plnohodnotně i v opačném směru a celá část tabulky mezi původním a duálním mnohostěnem by se mohla otočit. Procesy těchto tří linií komolení zachycují tři animace (slidy 5, 7, 9) a tři grafy (slidy 4, 6, 8) v prezentaci. 21

22 Linie čtyřstěn-čtyřstěn První linie se odvíjí od dvojice duálních čtyřstěnů. Grafy mají na vodorovné ose hodnoty komolení vrcholů, které mohou nabývat čísel mezi nulou a jednou. Nula znamená žádné ořezání, jedna znamená úplné ořezání, kterým dostaneme duální mnohostěn. Pro svislou osu platí to samé až na to, že znázorňuje ořezání hran. Pokud čtyřstěnu odřezáváme nejprve pouze rohy, dostaneme se na první zajímavou hodnotu jedné třetiny, na grafu (slide 4) okolo 0,333. Na této hodnotě leží bod určující polohu komolého čtyřstěnu. Ten se nachází i na hodnotě 0,666, což jest ve dvou třetinách, protože jak už bylo zmíněno, můžeme postupovat i od duálního mnohostěnu, což ale v tomto případě vyjde nastejno. Další zajímavou hodnotou je ½ zkomolení, na které dostaneme osmistěn, další platónské těleso. Těchto pět hodnot (0, 1/3, ½, 2/3, 1) se nachází v prvních pěti sloupcích úvodního grafu. Dále můžeme komolením dostat ještě další dva mnohostěny, u jejichž vzniku musíme už použít i komolení hran a naopak zůstat u hodnot okolo jedné poloviny (v této linii přesně na ½) komolení vrcholů, jak je patrné z grafu. V úvodní tabulce leží tato tělesa v předposledních dvou sloupcích. Konkrétně pro hodnotu 1 komolení hran a ½ komolení vrcholů dostaneme kuboktaedr a pro hodnoty 2/3 komolení hran a ½ komolení vrcholů dostaneme komolý osmistěn. V animaci (slide 5) vidíme podobný postup. Čtyřstěn se postupně přes dva komolé čtyřstěny a osmistěn mezi nimi přemění na svůj duální čtyřstěn. Poté se animace vrací na polovinu komolení vrcholů, odkud se vydává na grafu po svislé ose komolením hran na hodnotu komolého osmistěnu a až ke kuboktaedru, následně se hrany obnovují za stálé hodnoty jedné poloviny komolení vrcholů. Nakonec se i ta vrací na nulu a celá animace běží znovu Linie šestistěn-osmistěn Pokud se pozorně podíváme na graf (slide 6) a animaci (slide 7) následující linie, zjistíme, že schéma jejího fungování je velmi podobné, dokonce na úrovni komolení pouze vrcholů jsou hodnoty úplně stejné. Mnohostěny na nich ležící jsou samozřejmě jiné, protože jsou jiná výchozí duální tělesa. Jak už jsme zjistili u první linie komolý osmistěn dostaneme pro komolení 1/3 původního osmistěnu, to platí i zde. Hodnota dvou třetin je tam pouze proto, že graf je stavěný od šestistěnu. Pro ten dostaneme taky pravidelně zkomolenou formu na hodnotě 1/3. Uprostřed na hodnotě ½ leží tentokrát kuboktaedr (kvaziregulární těleso), který jsme před chvílí také získali komolením osmistěnu, i když to bylo bráno jako komolení hran. Zde ho ze strany osmistěnu také dostaneme zkomolením, ovšem braným jako komolení vrcholů. Pro dva mnohostěny získané ořezáváním hran zjistíme, že jejich hodnoty se posunuly lehce na stranu k osmistěnu. Konkrétněji je to 0,547 komolení vrcholů a úplné komolení hran pro rombickou krychli, 0,528 komolení vrcholů a 0,586 komolení hran pro komolý kuboktaedr. 22

23 I animace funguje velmi podobně jako ta předchozí. Zde je ale rozdíl mezi hodnotami komolení vrcholů u mnohostěnů s ořezanými hranami. Z hodnoty 0,547 se komolení vrcholů změní na hodnotu 0,528 po dosažení tvaru rombické krychle s úplným komolením hran Linie dvanáctistěn-dvacetistěn Poslední linie je znovu podobná předchozím dvěma. Mnohostěny vznikající pouze komolením vrcholů se drží na stejných hodnotách. Pro komolení do 1/3 vždy dostaneme mnohostěn pravidelně vrcholově komolého platónského tělesa, ze kterého jsme vycházely. V polovině komolení je tentokrát ikosidodekaedr (znovu kvaziregulární těleso). Mírný rozdíl je zase v hodnotách komolení hran. Na grafu (slide 8) to není ani vidět, protože hodnoty jsou 0,567 a znovu plné komolení hran pro rombický dodekaedr a 0,536 komolení vrcholu a 0,553 komolení hran pro komolý ikosidodekaedr. Animace (slide 9) je zde úplnou analogií k předchozí animaci Přecházení komolením Mohlo by se zdát, že se jedná o to samé jako v předchozích pododdílech a v podstatě je to pravda. Jen se při komolení pěti platónských těles, ze kterých vzniknou archimédovská tělesa, u kterých bylo toto zmíněno v jejich jednotlivých pododdílech, neořezává dál než za jednu třetinu zkomolení. To je hodnota, o které jsme zjistili, že funguje pro tuto konstrukci. Striktně vzato je toto nejjednodušší a první postup pro vytvoření pěti archimédovských těles. Znázornění původních pravidelných těles a zkomolených forem je v prezentaci formou obrázků (slidy 10 a 11) Konstrukce průniky Zajímavou konstrukcí jsou průniky duálních platónských těles. Z těchto průniků vznikne ne náhodou vždy těleso, které leželo přesně mezi nimi na linii komolení s hodnotou polovičního komolení vrcholů a žádného komolení hran. Také je zajímavé, že všechna tato tělesa jsou kvaziregulární. Jsou to osmistěn, kuboktaedr a ikosidodekaedr. Stěny jednoho tělesa vždy určují rovinu jednoho typu stěny. Také by se dala tato konstrukce definovat jako vznik na základě spojení středů hran jednoho z původních určujících těles. Tak by vznikly hrany kvaziregulárního tělesa. Kvůli této konstrukci mají archimédovská kvaziregulární tělesa svá jména: kuboktaedr (kubo krychle, okta osmsistěn), ikosidodekaedr (ikosi dvacetistěn, dodeca dvanáctistěn). Obrázky průniků duálních platónských těles jsou také obsaženy v prezentaci (slidy 12 14) Expanze Předposlední mnou zmiňovanou konstrukcí je expanze, kterou se dají získat čtyři tělesa ve sloupcích expanze a dvojité ořezání a v řádcích odvozených od krychle a dvanáctistěnu. Princip expanze spočívá v rozestoupení se stěn s nejvyšším n v případě více typů stěn na vzdálenost délky jejich strany ve směru od středu tělesa. Vždy se dá výsledný mnohostěn 23

24 získat expanzí dvou těles, která jsou v úvodní tabulce stejně vzdálená od kvaziregulárního tělesa uprostřed komolení vrcholů, nebo kombinací jejich expanzí. Tělesa ve sloupci expanze dostaneme rozestoupením stěn platónských těles, tělesa ve sloupci dvojité ořezání dostane rozestoupením stěn komolých archimédovských těles. Konkrétně můžeme expanzí krychle a osmistěnu získat rombickou krychli (slide 15), expanzí jejich komolých verzí, tedy osmiúhelníkových stěn osekané krychle šestiúhelníkových stěn osekaného osmistěnu můžeme dostat komolý kuboktaedr (slide 16). Po expanzi dvanáctistěnu a dvacetistěnu vznikne rombický dodekaedr (slide 17), po expanzi desetiúhelníkových stěn osekaného dvanáctistěnu a šestiúhelníkových stěn osekaného dvacetistěnu vznikne komolý ikosidodekaedr (slide 18). Všechna tato tělesa mají bud' všechny stěny v rovinách stěn krychle, osmistěnu a kosočtverečného dvanáctistěnu (duál kuboktaedru), nebo v rovinách dvanáctistěnu, dvacetistěnu a kosočtverečného třicetistěnu (duál ikosidodekaedru). Není náhoda, že mají vždy některé stěny ve stejných rovinách jako duální tělesa ke kvaziregulárním mnohostěnům. Proto mají také předponu rombi- (rombus = kosočtverec). Jejich názvy s prvním slovem komolý zavedl Kepler, podle těchto názvů se však nedají vytvořit Přitlačení Způsobem, jak získat dvě zbývající archimédovská tělesa, o jejichž vzniku zatím nebyla zmínka, je přitlačení. Velmi zjednodušeně se dá přitlačená krychle získat z rombické krychle, pokud se její čtvercové stěny, které jsou pozůstatkem krychle po expanzi pootočí a vrcholy se přespojují, aby mezi nimi vznikly rovnostranné trojúhelníky. Na směru otočení čtvercových stěn závisí vznik pravé nebo levé chirální formy. Stejným způsobem se dá získat přitlačený dvanáctistěn z rombického dodekaedru. Poprvé dal tomuto jevu jméno Kepler, který přitlačenou krychli pojmenoval zmáčknutá krychle (cubus simus). Zajímavostí je, že dvacetistěn se dá také brát jako otupený čtyřstěn, potom by se měl jmenovat přitlačený tetratetraedr (viz úvodní tabulka). 24