CVIČNÝ TEST 6. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21

Transkript

1 CVIČNÝ TEST 6 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21

2 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Každý z n žáků jedné třídy z gymnázia v Přelouči se rozhodl, že v následujícím ročníku v rámci environmentální výchovy odpracuje t hodin v jedné z blízkých ekofarem. Ačkoliv do vyššího ročníku dva žáci nenastoupili, spolužáci si jejich práci mezi sebou rovnoměrně rozdělili Kolik hodin po odstoupení dvou žáků každý ze zbývajících odpracoval? 1.2 O kolik více musel každý žák odpracovat hodin, než bylo v původním plánu? (Výsledek vyjádřete ve tvaru co nejvíce zjednodušeného výrazu.) 2 Největší společný dělitel čísla 60 a čísla B je 30, nejmenší společný násobek těchto dvou čísel je 900. Určete přirozené číslo B. 3 V množině R řešte rovnici: 3 4 y 2 2y = 4. 4 Podstavou čtyřbokého jehlanu o objemu 250 m 3 je kosočtverec, jehož úhlopříčky jsou v poměru 2 : 3. Výška jehlanu, která je kolmá k podstavě, je stejné délky jako kratší úhlopříčka podstavy. Jaký je obsah S kosočtverce? VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Jsou dány funkce f: y = x 2 1 a funkce g tak, že pro všechna x R platí: g(x) = f(x 1) Určete souřadnice průsečíku P grafů funkce f a g. 5.2 Určete všechna x, pro která platí, že body grafu funkce g leží pod osou x. max. 3 body 6 Je dán rovnostranný trojúhelník, z něhož odstřižením podle středních příček vzniknou čtyři shodné rovnostranné trojúhelníky. Z každého takto vzniklého trojúhelníku dostaneme stejným postupem další čtyři; tímto způsobem postupujeme tak dlouho, dokud nevznikne trojúhelníků, každý o straně 1 cm. Určete délku strany původního trojúhelníku (v cm). 2 Maturita z matematiky ZD

3 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 7 Jsou dány grafy funkcí f a h (viz obrázek). Graf funkce h vznikl posunutím grafu funkce f. Pro funkce platí: h(x) = A f(x B) + C. 7 Určete číslo D, pro které je D = A + B + C. VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 8 Do krychle ABCDEFGH je vepsán jehlan KLMNV, kde K, L, M, N jsou středy hran AB, BC, CD, DA a V je střed podstavy EFGH. 8 Poměr objemu jehlanu k objemu krychle vyjadřuje podíl 1 : p. Určete číslo p. Maturita z matematiky ZD 3

4 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 V kartézské soustavě souřadnic 0xy jsou dány přímky p a q. Přímky jsou dány rovnicemi p: x + 7y 3 = 0 a q = {[8 2t; t], t R}. Přímka p protíná souřadnicovou osu x v bodě P, přímka q souřadnicovou osu y v bodě Q Určete obsah S trojúhelníka OPQ, kde O je počátek soustavy souřadnic. 9.2 Jaká je vzdálenost d průsečíku M přímek p a q od přímky PQ? max. 4 body VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 10 Je dán rovnoramenný trojúhelník ABC, kde AB je jeho základna. Velikost vnitřního úhlu při vrcholu C je γ. Osa vnitřního úhlu při vrcholu A protíná stranu BC v bodě D. Platí, že AD = DC = AB. 10 Určete velikost γ. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 11 Čtyři koncerty metalové skupiny Kovošrot, které proběhly v rámci rockového festivalu, navštívilo celkem fanoušků. Na každý z prvních dvou koncertů stál lístek 200 Kč, na každý z dalších dvou o 50 Kč méně. Z každého lístku odcházelo 10 % na charitativní účely. Na první koncert přišlo lidí nejvíce, na druhý už jen polovina. Na třetí koncert dorazilo o 300 fanoušků více, než bylo na druhém koncertě, zatímco na čtvrtý koncert méně o 60 % proti druhému koncertu Kolik lidí dorazilo na první koncert? A) B) C) 900 D) 800 E) 500 max. 6 bodů 11.2 Kolik korun po odečtení částky věnované na charitativní účely získali pořadatelé prodejem lístků? A) B) C) D) E) žádná z možností 4 Maturita z matematiky ZD

5 11.3 Jaká byla průměrná cena vstupenky? A) Kč 170, B) Kč 175, C) Kč 180, D) Kč 185, E) Kč 190, 12 Je dán ostrý úhel x. Kolik čtverečných centimetrů má obsah rovinného útvaru o stejné ploše, jako je součet obsahů dvou čtverců, kde jeden má stranu délky sin x a druhý stranu délky cos x? 1 A) cm 2 2 B) C) 2 2 cm cm 2 D) 1 cm 2 E) 2 cm 2 max. 4 body 13 Jsou dány číslice 0, 1, 2, 5, 7, 8. Z nich sestavujeme trojciferná přirozená čísla tak, že číslice se v nich neopakují. Přiřaďte ke každé situaci ( ) číslo, které jí odpovídá (A F): 13.1 Počet všech takto sestavených trojciferných čísel Počet všech takto sestavených trojciferných čísel dělitelných dvěma Počet všech takto sestavených trojciferných čísel větších než Počet všech takto sestavených trojciferných čísel menších než 720. A) 50 B) 52 C) 68 D) 80 E) 100 F) 120 KONEC TESTU Maturita z matematiky ZD 5

6 II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Každý z n žáků jedné třídy z gymnázia v Přelouči se rozhodl, že v následujícím ročníku v rámci environmentální výchovy odpracuje t hodin v jedné z blízkých ekofarem. Ačkoliv do vyššího ročníku dva žáci nenastoupili, spolužáci si jejich práci mezi sebou rovnoměrně rozdělili Kolik hodin po odstoupení dvou žáků každý ze zbývajících odpracoval? Zapíšeme si zjednodušeně zadání úlohy: Plán: počet žáků počet hodin na žáka počet odpracovaných hodin n t hodin nt hodin Skutečnost: počet žáků n 2 počet hodin na žáka x hodin počet odpracovaných hodin nt hodin Podíl nt n 2 značí, kolik hodin nakonec musel každý žák odpracovat. nt Řešení: hodin n O kolik více musel každý žák odpracovat hodin, než bylo v původním plánu? (Výsledek vyjádřete ve tvaru co nejvíce zjednodušeného výrazu.) Původně měl každý odpracovat t hodin, ve skutečnosti odpracoval nt n 2. Vypočteme-li rozdíl skutečnosti a plánu, zjistíme, o kolik hodin každému žákovi jeho závazek narostl. nt t n 2 6 Maturita z matematiky ZD

7 Výraz zjednodušíme: nt nt t(n 2) t = = n 2 n 2 nt nt + 2t n 2 = Oproti plánu musel každý žák odpracovat o 2t Řešení: hodin n 2 2t n 2 2t n 2 hodin více. 2 Největší společný dělitel čísla 60 a čísla B je 30, nejmenší společný násobek těchto dvou čísel je 900. Určete přirozené číslo B. Protože největší společný dělitel čísel 60 a B je 30, platí, že číslo B musí být dělitelné 30. Z toho plyne, že B vznikne jako součin 30 a neznámého přirozeného čísla k. 60 = B = k Protože nejmenším společným násobkem čísel 60 a B je 900, musí platit, že: 900 = k. Rovnici upravíme a vyřešíme. 900 = 60k k = 15 Určíme číslo B: B = = 450 Řešení: B = V množině R řešte rovnici: 3 4 y 2 2y = 4. Protože platí: 2 2y = (2 2 ) y = 4 y, upravíme rovnici na jednodušší tvar: 3 4 y 4 y = 4. Rovnici dořešíme: 2 4 y = 4 4 y = 2 2 2y = 2 2y = 1 1 y = 2 Řešení: y = 1 2 Maturita z matematiky ZD 7

8 4 Podstavou čtyřbokého jehlanu o objemu 250 m 3 je kosočtverec, jehož úhlopříčky jsou v poměru 2 : 3. Výška jehlanu, která je kolmá k podstavě, je stejné délky jako kratší úhlopříčka podstavy. Jaký je obsah S kosočtverce? Víme, že úhlopříčky u, v v kosočtverci jsou v poměru 2 : 3. Vyjádříme velikost delší úhlopříčky v. u : v = 2 : 3 v = 3u 2 Protože podstavou je kosočtverec, pro jeho obsah S platí: uv S = 2 Po dosazení: u 3u S = 2 = 3u2 2 4 Výška jehlanu je rovna délce kratší z úhlopříček, vypočteme nyní objem V jehlanu. S u V = 3 Dosadíme a vyjádříme velikost kratší úhlopříčky. 3u 2 u V = 4 3 V = u3 4 u = 3 4V Dosadíme objem jehlanu a určíme velikosti obou úhlopříček: u = = = 10 m v = 3 10 = 15 m 2 Dopočteme obsah kosočtverce S: S = = 75 m 2 4 Obsah kosočtverce je 75 m 2. Řešení: S = 75 m 2 8 Maturita z matematiky ZD

9 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Jsou dány funkce f: y = x 2 1 a funkce g tak, že pro všechna x R platí: g(x) = f(x 1) Určete souřadnice průsečíku P grafů funkce f a g. max. 3 body Určíme předpis funkce g. g(x) = f(x 1) = (x 1) 2 1 = x 2 2x = x 2 2x Průsečík určíme z rovnosti předpisů obou funkcí. x 2 1 = x 2 2x 1 = 2x 1 x = 2 Souřadnice x = 1 2, bod P určíme ze vztahu: P = [x; f(x)] Dopočteme f ( 1 2 ) : f ( 1 2 ) = f ( 1 2 ) 2 1 = = 3 4 Průsečík P grafů funkcí f a g má souřadnice [ 1 2 ; 3 4 ]. Řešení: P = [ 1 2 ; 3 4 ] 5.2 Určete všechna x, pro která platí, že body grafu funkce g leží pod osou x. Dle zadání řešíme nerovnici g(x) < 0. x 2 2x < 0 (x 2) x < 0 x (0; 2) Pod osou x leží právě ty body grafu funkce f(x), pro něž je x (0; 2). Řešení: x (0;2) Maturita z matematiky ZD 9

10 6 Je dán rovnostranný trojúhelník, z něhož odstřižením podle středních příček vzniknou čtyři shodné rovnostranné trojúhelníky. Z každého takto vzniklého trojúhelníku dostaneme stejným postupem další čtyři; tímto způsobem postupujeme tak dlouho, dokud nevznikne trojúhelníků, každý o straně 1 cm. Určete délku strany původního trojúhelníku (v cm). Rovnostranný trojúhelník bude mít stranu délky x. Strategii stříhání ukazuje obrázek, z každého trojúhelníka vznikne čtveřice nových. Počty trojúhelníků, které vzniknou po n 1 krocích stříhání, tvoří geometrickou posloupnost 1; 4; 4 2 ; 4 3 ;, tj. geometrickou posloupnost, pro niž platí: a 1 = 1; q = 4. Délka stran výsledných trojúhelníčků Rozstříháme-li trojúhelník na trojúhelníků, musí platit: = a n V geometrické posloupnosti a n = a 1 q n 1 z n-tého členu vypočteme n 1: = 1 4 n 1 log = log 4 n 1 log n 1 = log 4 n 1 = trojúhelníků vzniklo po 6 krocích. Zmenšující se délku stran stříhaných trojúhelníčků ukazuje geometrická posloupnost, pro niž platí: a 1 = x; q = 0,5. Víme, že délka strany trojúhelníka po 6 krocích stříhání je 1 cm. a 7 = x 0,5 6 = 1 Vypočteme délku x. x = 2 6 = 64 cm Původní trojúhelník měl stranu délky 64 cm. Řešení: 64 cm 10 Maturita z matematiky ZD

11 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 7 Jsou dány grafy funkcí f a h (viz obrázek). Graf funkce h vznikl posunutím grafu funkce f. Pro funkce platí: h(x) = A f(x B) + C. 7 Určete číslo D, pro které je D = A + B + C. Je-li graf funkce h jen posunutý graf funkce f, je A = 1 graf není nijak deformován. Čísla B a C vyjadřují vektor posunutí (p; q). Graf se posunul ve směru vektoru (3; 1). Z toho vyplývá, že A = 1, B = 3, C = 1, tedy D = = 3. Řešení: D = 3 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 8 Do krychle ABCDEFGH je vepsán jehlan KLMNV, kde K, L, M, N jsou středy hran AB, BC, CD, DA a V je střed podstavy EFGH. Maturita z matematiky ZD 11

12 8 Poměr objemu jehlanu k objemu krychle vyjadřuje podíl 1 : p. Určete číslo p. Je-li hrana krychle délky a, potom objem V krychle je a 3. Výška jehlanu je rovna délce hrany krychle, hrana podstavy jehlanu je polovinou úhlopříčky podstavy krychle, tj. a 2. 2 Určíme poměr objemů jehlanu a krychle: ( a 2 2 ) 2 a W = 3 V a 3 = 2a a 3 = a3 = 1 6a 3 6 Poměr je vyjádřen podílem 1 : 6, tj. p = 6. Řešení: p = 6 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 V kartézské soustavě souřadnic 0xy jsou dány přímky p a q. Přímky jsou dány rovnicemi p: x + 7y 3 = 0 a q = {[8 2t; t], t R}. Přímka p protíná souřadnicovou osu x v bodě P, přímka q souřadnicovou osu y v bodě Q Určete obsah S trojúhelníka OPQ, kde O je počátek soustavy souřadnic. max. 4 body Zjistíme souřadnice obou průsečíků P, Q s osami souřadnic. Protože P [x 1, y 1 ] je průsečík přímky p s osou x, pro jeho souřadnice platí: x 1 = 3 7y, y 1 = 0. Po dosazení učíme bod P: P [3; 0] Obdobně určíme i bod Q. Protože Q [x 2, y 2 ] je průsečík přímky q s osou y, pro jeho souřadnice platí: x 2 = 8 2t = 0, y 2 = t. Z první souřadnice určíme hodnotu parametru t a dosadíme jej do druhé souřadnice. x 2 = 8 2t = 0 t = 4 y 2 = 4 Tedy po dosazení Q [0; 4] 12 Maturita z matematiky ZD

13 Trojúhelník OPQ je pravoúhlý, proto jeho obsah S vypočteme takto: x S = 1 y S = = 6 2 Řešení: S = Jaká je vzdálenost d průsečíku M přímek p a q od přímky PQ? Zjistíme souřadnice průsečíku přímek p a q. Dosadíme parametrické vyjádření přímky q do rovnice přímky p a určíme hodnotu parametru t. x + 7y 3 = 0; x = 8 2t; y = t 8 2t + 7t 3 = t = 0 t = 1 Dosazením parametru t do rovnice přímky q získáme souřadnice průsečíku M [x 3 ; y 3 ]. x 3 = 8 2 ( 1) = 10; y 3 = 1 Určili jsme průsečík M [10; 1]. Nyní určíme obecnou rovnici přímky PQ. Přímka je dána např. bodem P [3; 0] a směrovým vektorem (PQ) = ( 3; 4). Normálový vektor přímky je (4; 3). 4x + 3y + c = 0 Určíme prostý člen rovnice dosazením bodu P. c = 4 3 = 12 Obecná rovnice přímky PQ je 4x + 3y 12 = 0. Podle vzorce pro výpočet vzdálenosti bodu od přímky v rovině vypočteme vzdálenost d bodu M [10; 1] od přímky PQ: 4x + 3y 12 = ( 1) 12 d = = 25 = Vzdálenost d = 5 Řešení: d = 5 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 10 Je dán rovnoramenný trojúhelník ABC, kde AB je jeho základna. Velikost vnitřního úhlu při vrcholu C je γ. Osa vnitřního úhlu při vrcholu A protíná stranu BC v bodě D. Platí, že AD = DC = AB. Maturita z matematiky ZD 13

14 10 Určete velikost γ. Situaci zobrazuje obrázek. Protože dle zadání platí, že AD je osa úhlu vnitřního úhlu BAC a AD = DC = AB, takže trojúhelníky ACD a BDA jsou rovnoramenné. Protože v každém trojúhelníku je součet jeho vnitřních úhlů 180, platí: δ' =180 δ (trojúhelník ADC) β = 90 γ (pravoúhlý trojúhelník CPB, kde P je pata kolmice z vrcholu C na AB). 2 Pro úhel δ však také platí: δ' = 180 2γ = 180 β = 180 (90 γ 2 ). Takže je 180 2γ = 180 (90 γ 2 ). Odtud vypočteme úhel γ: 2γ = 90 + γ 2 4γ = γ 5γ = 180 γ = 36 Velikost úhlu γ = 36. Řešení: γ = Maturita z matematiky ZD

15 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 11 Čtyři koncerty metalové skupiny Kovošrot, které proběhly v rámci rockového festivalu, navštívilo celkem fanoušků. Na každý z prvních dvou koncertů stál lístek 200 Kč, na každý z dalších dvou o 50 Kč méně. Z každého lístku odcházelo 10 % na charitativní účely. Na první koncert přišlo lidí nejvíce, na druhý už jen polovina. Na třetí koncert dorazilo o 300 fanoušků více, než bylo na druhém koncertě, zatímco na čtvrtý koncert méně o 60 % proti druhému koncertu Kolik lidí dorazilo na první koncert? A) B) C) 900 D) 800 E) 500 max. 6 bodů Vytvoříme si schematický zápis úlohy, neznámou x označme počet lidí na prvním koncertě. Na čtvrtý koncert přišlo o 60 % méně lidí než na druhý koncert, což znamená, že přišlo jen 40 %, jinak též 2 5 počtu, který byl na druhém koncertu. 1. koncert x lidí 2. koncert 3. koncert 4. koncert Celkem na všech koncertech x 2 lidí x lidí 2 5 x 2 lidí = x 5 lidí lidí Nyní sestavíme rovnici: = x + x 2 + x x 5 / = 2x + x = 10x + x = 11x x = Na prvním koncertě bylo lidí. Řešení: B Maturita z matematiky ZD 15

16 11.2 Kolik korun po odečtení částky věnované na charitativní účely získali pořadatelé prodejem lístků? A) B) C) D) E) žádná z možností Vypočteme, kolik pořadatelé na lístcích vybrali, a odečteme 10 % prostředků, které půjdou na charitativní účely. Napřed určíme, kolik bylo lidí na dalších koncertech: 1. koncert x lidí = lidí 2. koncert 3. koncert 4. koncert x 2 lidí = 500 lidí x lidí = 800 lidí 2 5 x 2 lidí = x 5 lidí = 200 lidí Na prvních dvou koncertech bylo lidí, lístek stál Kč 200,, pořadatelé proto vybrali Kč ,. Na třetím a čtvrtém koncertě bylo dohromady lidí, lístek stál Kč 150,, pořadatelé proto vybrali Kč ,. Celkově vybrali pořadatelé Kč ,. Jejich zisk byl 90 % této částky: = Pořadatelé vydělali Kč ,. Řešení: A 11.3 Jaká byla průměrná cena vstupenky? A) Kč 170, B) Kč 175, C) Kč 180, D) Kč 185, E) Kč 190, Z celkových Kč ,, které byly vybrány za všechny čtyři koncerty, vychází na jednoho z lidí (vydělíme-li celkovou vybranou částku počtem platících) průměrná cena vstupenky Kč 180,. Řešení: C 16 Maturita z matematiky ZD

17 12 Je dán ostrý úhel x. Kolik čtverečných centimetrů má obsah rovinného útvaru o stejné ploše, jako je součet obsahů dvou čtverců, kde jeden má stranu délky sin x a druhý stranu délky cos x? 1 A) cm 2 2 B) C) 2 2 cm cm 2 D) 1 cm 2 E) 2 cm 2 Obsah S neznámého rovinného útvaru je roven součtu obsahů dvou čtverců, kde jeden má stranu sin x a druhý stranu délky cos x. Vypočteme jejich obsahy a sečteme je: S = sin x sin x + cos x cos x = sin 2 x + cos 2 x. Pro všechny úhly x R platí, že: sin 2 x + cos 2 x = 1. Vypočítali jsme, že S = 1, tj. obsah útvaru je 1 cm 2. Řešení: D max. 4 body 13 Jsou dány číslice 0, 1, 2, 5, 7, 8. Z nich sestavujeme trojciferná přirozená čísla tak, že číslice se v nich neopakují. Přiřaďte ke každé situaci ( ) číslo, které jí odpovídá (A F): 13.1 Počet všech takto sestavených trojciferných čísel Počet všech takto sestavených trojciferných čísel dělitelných dvěma Počet všech takto sestavených trojciferných čísel větších než Počet všech takto sestavených trojciferných čísel menších než 720. A) 50 B) 52 C) 68 D) 80 E) 100 F) 120 Maturita z matematiky ZD 17

18 13.1 Sestavíme trojice ze šesti číslic (libovolné trojciferné číslo ze šesti číslic, v němž se číslice neopakují a závisí na pořadí), od nichž odečteme dvojice z pěti čísel (trojciferná čísla, která začínala nulou). V 3 (6) V 2 (5) = = 100 Řešení: E 13.2 Sudá čísla tvoří ze všech trojciferných čísel vytvořených ze šesti číslic daným postupem polovinu, z těch, která odečítáme, dvě pětiny. 1 2 V 3 (6) 2 5 V 2 (5) = 60 8 = 52 Řešení: B 13.3 Sestavíme dvojice z pěti číslic (řád stovek je obsazen číslicí 2), kdy se číslice neopakují a záleží na jejich pořadí. Tuto situaci opakujeme pro další možné číslice v řádu stovek (5, 7 a 8) celkově potom čtyřikrát. 4 V 2 (5) = 80 Řešení: D 13.4 Sestavíme dvojice z pěti číslic (v řádu stovek je 5), kdy se číslice neopakují a záleží na jejich pořadí. Tuto situaci zopakujeme i pro další možné číslice v řádu stovek (1 a 2). K tomu ještě přidáme možnosti, kdy v řádu stovek je číslice 7 a v řádu desítek 0 nebo 1. 3 V 2 (5) + 2 V 1 (4) = = 68 Řešení: C KONEC TESTU 18 Maturita z matematiky ZD

19 III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 35 bodů. 2) Úlohy 1 10 jsou otevřené. 3) Úlohy jsou uzavřené, s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy, resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka Úloha Správné řešení Počet bodů nt n 2 hodin 1 bod 1.2 2t n 2 hodin 1 bod 2 B = y = S = 75 m P = [ 1 2 ; 3 4 ] 5.2 x (0;2) 1 bod 6 64 cm 7 D = 3 8 p = S = d = 5 10 γ = B 2 body 11.2 A 2 body 11.3 C 2 body Maturita z matematiky ZD 19

20 12 D E 13.2 B 13.3 D 13.4 C max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 20 Maturita z matematiky ZD

21 IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 35 bodů. 2) Úlohy 1 10 jsou otevřené. Zapište výsledek. 3) Úlohy jsou uzavřené, s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy, resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka Úloha Správné řešení Počet bodů bod bod bod body body body Maturita z matematiky ZD 21

22 max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 22 Maturita z matematiky ZD