Čtvercové matice. Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců

Transkript

1 Determinant matice

2 Čtvercové matice Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců Determinant je zobrazení, které přiřadí každé čtvercové matici A skalár (reálné číslo). Značíme: det A nebo A Regulární matice hodnost čtvercové matice odpovídá jejímu řádu (determinant je různý od nuly) Singulární matice hodnost čtvercové matice je menší než její řád (determinant je roven nule)

3 Výpočet determinantu Determinant řádu 1: A = (a 11 ), potom det A = det a 11 = a 11 Determinant řádu 2 řešíme pomocí křížového pravidla: A = a 11 a 12 a 21 a 22, potom det A = det a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 a 22 a 12 a 21

4 Výpočet determinantu Determinant řádu 3 počítáme Sarrusovým pravidlem: a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 31, potom det A = det a 31 a 32 a 31 = = det a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 31 a 11 a 12 a 21 a 31 a 22 = a 32 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 (a 13 a 22 a 31 + a 11 a 23 a 32 + a 12 a 21 a 31 ) Determinanty vyšších řádů se počítají pomocí rozvoje.

5 Geometrický význam determinantu Absolutní hodnotu determinantu lze interpretovat jako obsah rovnoběžníku s vrcholy v bodech (0,0), (a,b), (c,d), (a+c, b+d). Znaménko determinantu určuje vzájemnou orientaci vektorů v 1 a v 2. V třídimenzionálním prostoru určuje determinant vektorů objem rovnoběžnostěnu. I v reálných prostorech vyšších řádů lze determinant chápat jako objem n-rozměrného rovnoběžnostěnu.

6 Příklad Vypočítejte determinanty matic A = a B =

7 Příklad Vypočítejte determinanty matic A = a B = Determinant řádu 2 počítáme křížovým pravidlem. det = = 18 Determinant řádu 3 počítáme Sarrusovým pravidlem. det = = 38

8 Příklad Rozhodněte, která z matic je regulární a která je singulární: A = B = Upravte matici B na Gaussův tvar a zjistěte čemu se rovná determinant, pokud je matice v tomto tvaru.

9 Příklad Rozhodněte, která z matic je regulární a která je singulární: A = det A = 0 singulární matice B = det B = 24 regulární matice Upravte matici B na Gaussův tvar a zjistěte čemu se rovná determinant, pokud je matice v tomto tvaru.

10 Pravidla pro počítání s determinanty 1. Zaměníme-li vzájemně dva řádky (sloupce), změní determinant své znaménko. det = 1, det = 1 2. Jsou-li všechny prvky jednoho řádku (sloupce) rovny nule, je determinant roven nule. det Obsahuje-li matice dva stejné řádky (sloupce), je její determinant roven nule. det Je-li řádek (sloupec) lineární kombinací ostatních řádků (sloupců), je determinant roven nule. det k 2k 3k = 0 = 0 = 12k + 24k + 15k 24k 12k 15k = 0

11 Pravidla pro počítání s determinanty 5. Násobíme-li prvky jednoho řádku (sloupce) nějakým číslem, násobí se tímto číslem celý determinant. det = 2, det = 26 = Determinant se nezmění, přičteme-li k jednomu řádku (sloupci) lineární kombinaci ostatních řádků (sloupců) det = det = det = Determinant matice transponované je stejný jako determinant matice původní. det A = det A T 8. Determinant součinu dvou matic je roven součinu determinantů jednotlivých matic. det A B = det A det B

12 Submatice a algebraický doplněk Je-li A čtvercová matice řádu n 2, pak pro každé i = 1, 2,, n a pro každé j = 1, 2,, n definujeme její submatici M ij řádu n 1, která vznikne vyškrtnutím i- tého řádku a j-tého sloupce z původní matice A. Pro každý prvek a ij matice A definujeme jeho algebraický doplněk v matici A: A ij = ( 1) i+j det M ij.

13 B = M 11 = M 12 = M 13 = M 21 = M 22 = M 21 = M 31 = M 32 = M 33 =

14 algebraický doplněk : A ij = ( 1) i+j det M ij B = A 11 = M 11 = = 9 A 12 = M 12 = = 13 A 13 = 18 A 21 = atd.

15 Věta o rozvoji determinantu Je-li A čtvercová matice řádu n 2, pro každé i = 1, 2,, n definujeme rozvoj matice A podle i-tého řádku jako výraz a i1 A i1 + a i2 A i2 + + a in A in a pro každé j = 1, 2,, n definujeme rozvoj matice A podle j- tého sloupce jako výraz a 1j A 1j + a 2j A 2j + + a nj A nj. Hodnoty těchto rozvojů jsou nezávislé na volbě řádku nebo sloupce a jsou ve všech případech rovny hodnotě determinantu matice A.

16 Výpočet determinantů řádu n > 3 Využíváme tyto dvě metody: 1. Rozvoj determinantu podle řádku (sloupce). 2. Převedení matice na Gaussův tvar pomocí ekvivalentních úprav (při respektování vlivu úprav matice na hodnotu determinantu). Pozn. Většinou uvedené metody kombinujeme. Nejprve vhodnou manipulací s řádky (sloupci) zajistíme sloupec (řádek) s jediným nenulovým prvkem (aby měl příslušný rozvoj jenom jeden člen). Potom podle něj provedem rozvoj.

17 Příklad Určete determinant matice B = libovolného řádku nebo sloupce pomocí rozvoje Rozvoj podle 1. řádku: = 96 Rozvoj podle 3. řádku: = 96 Rozvoj podle 1. sloupce: = 96