Těžiště. Fyzikální význam těžiště:

Transkript

1 ěžště Fykální výnam těžště: a) hmotný bod se soustředěnou hmotností útvaru b) bod, ve kterém le hmotný útvar vystavený tíe podepřít prot posunutí anž by docháelo k rotac ěžště je chápáno jako statcký střed soustavy rovnoběžných sl v prostoru č rovně, které tvoří vlastní tíhy elementů hmotného útvaru. ěžnce osa procháející těžštěm

2 ěžště rovnného homogenního složeného obrace Složený rovnný obraec ( lomená čára nebo složený plošný obraec) vnká spojením několka (obecně n,,, n) jednoduchých rovnných obraců (prvků) v téže rovně, u kterých umíme určt polohu těžště a ákladní geometrcké charakterstky (úsečka, kruh ). Geometrcké útvary (čáry, obrace) nahradíme fktvním rovnoběžným slam působícím v těžštích jednotlvých částí u čáry je to délka úseček d, u obrace plocha. -ěžště je statckým středem soustavy těchto rovnoběžných sl. S F F S cel. cel + - F cel F S cel + + otvor analogcky

3 ěžště rovnného homogenního složeného obrace Postup: a) Složený obraec umístt do pravoúhlé souřadncové soustavy (výhodný je počátek v levém horním rohu obrace) b) Rodělt složený obraec na dílčí jednoduché obrace c) Pro každý obraec určt souřadnce a jeho těžště d) Pro každý obraec spočítat tíhovou fktvní sílu P. Hodnota P odpovídá délce dílčí čáry l nebo velkost dílčí plochy e) Zavést fktvní síly P do těžště nejprve rovnoběžně s osou, poté s osou f) Určt výslednc tíhových sl: R l, R g) Určt statcký střed soustavy těchto rovnoběžných sl (Vargnonova věta). Souřadnce statckého středu této soustavy souřadnce těžště složeného obrace. Např.: -ovou souřadnc těžště určíme rovnost statckého momentu tíhové síly k ose - S S S R ( P ) P P P nebol S

4 ěžště složených obraců s otvory a výřey Zvláštní případ složených obraců s otvory (s oslabením) nebo s výřey (otvory sousedící s obrysem obrace) Výpočet: Jednotlvé obrace považovat a samostatné prvky be otvorů, otvory považovat a další prvky se ápornou plochou (tíhové síly opačně orentované).

5 Centrální kvadratcké momenty ákladních obraců (v tabulky) h b.h b.h h.b D 0 b b.h h.b D 0 a a a 4 a D 0 h b b.h b.h 6 h.b 6 D 7 b. h r π.r π.r 4 4 π.d 64 4 D 0

6 Centrální kvadratcké momenty válcováných proflů Nepočítají se - v tabulky. V tabulkách jsou uvedeny: hmotnost průřeu na jednotku délky, potřebné geometrcké roměry a průřeové charakterstky průřeů. Hodnoty jsou vtaženy k osám y- (v rovně y- více v předmětu Pružnost a plastcta)

7 Centrální kvadratcké momenty válcováných U proflů Pokud budete v předmětu Stavební statka počítat průřeové charakterstky složených válcovaných průřeů, budou ákladní tabulkové hodnoty adané.

8 Postup výpočtu: Centrální kvadratcké momenty složených průřeů Využtí kvadratckých momentů k rovnoběžně posunutým osám a) volt pomocnou souřadncovou soustavu, (výhodné volt počátek v levém horním rohu nebo na ose symetre) b) rodělt složený obraec na n ákladních prvků,, n c) pro každý prvek určt a souřadnce jeho těžště [ ; ] v pomocné souřadncové soustavě d) určt souřadnce těžště [ ; ] celého obrace, kterým proložt centrální osy setrvačnost průřeu t, t rovnoběžné s osam,. e) pro každý prvek určt ramena těžště :, f) s využtím Stenerovy věty vypočítat centrální kvadratcké momenty celého obrace: c d n ( + c ) n. ( ) + d n. D ( D + c. d. ) (Otvory mají plochy momenty setrvačnost se naménkem mínus, devační momenty s opačným naménkem než plné prvky)

9 Příklad : Složený průře s otvorem řešení ve cvčení a výsledky na stránkách Určete polohu těžště k osám a, centrální kvadratcké momenty setrvačnost, polární moment setrvačnost, devační moment, poloměry setrvačnost, hlavní momenty setrvačnost, úhel k pootočeným osám. Roměry jsou v cm. Výsledky v samostatném souboru S S cel. cel + - S cel + + Otvor D 8cm 8 0 analogcky

10 Příklad : Složený průře s otvorem Určete polohu těžště k osám a, centrální kvadratcké momenty setrvačnost, polární moment setrvačnost, devační moment, poloměry setrvačnost, hlavní momenty setrvačnost úhel k pootočeným osám. Roměry jsou v cm. Výsledky v samostatném souboru Otvor D 8cm 8 0 D c P d + ( + ) ±. ( ) 4 D,.. tgα,,, D - Stenerova věta:, D α < α (, + c ) ( + d ), ( D + c d ) +

11 Příklad : Výpočet průřeových charakterstk svařovaného průřeu. Poloha těžště b h mm () h 0 mm b h mm () c mm c h 40 mm t S mm S mm S S + S mm S > S y / 64,4 mm b mm b 00 mm c 40 64,4 75,58 mm c 0 64,4 54,4 mm

12 Příklad : Výpočet průřeových charakterstk průřeu. Centrální momenty setrvačnost / h b / mm 4 () / h b / 0 00, 0 6 mm 4 () c h +, mm 4 t c / b h / 40, mm 4 h 40mm t + c, ,58 0, mm 4 / b h / 00 0 mm 4 b mm t + c ( 54,4), mm 4 b 00 mm t t + t 4, mm 4 Stenerova věta: t + c t + d

13 U 800mm,U, mm 4,U,. 0 6 mm 4 Příklad : Složený válcovaný průře - hlavní průřeové charakterstky: tabulek proflů: pásku 500mm ( ) ( ) ( ) P d c d c D D d c ,, poloha těžště obrace, centrální momenty setrvačnost, polární moment setrvačnost, devační moment, poloměry setrvačnost

14 ) Určení polohy těžště vhledem k ose Statcký moment k ose : S. celk.. 0, 8mm celk

15 ) Vdálenost dílčích těžšť od celkového těžště c d d 5- -5,8 mm d 9, - 8,48mm

16 ) Centrální momenty setrvačnost k těžštním osám d d -5,8 mm 8,48mm + d + + d, mm 4 + 6,5.0 6 mm 4 Stenerova věta: t + c t + d

17 4) Devační moment a polární moment setrvačnost + 6,5.0 6 mm 4 + d + + d, mm 4 D t 0 p + 8, mm 4

18 Příklad 4: ěžště lomené čáry Stanovte polohu těžště lomené čáry, která je dána spojncí bodů: (-5;-6), B(0;0), C(0;), D(6;6). Postup:. délky jednotlvých úseček (d ). celková délka ( d d ). souřadnce dílčích těžšť 4. statcký moment k ose : S d., 5. statcký moment k ose : S d., 6. souřadnce těžště lomené čáry: S d. S / d S d. S / d Výsledky:. d 7,8m, d m, d 6,7m. d d 7,5m. [-,5;-], [0;.5], [;4,5] 4. S d.,,7m 5. S d., 0,605m 6. souřadnce těžště lomené čáry: S / d 0,64 m S / d 0,0 m [0,0; 0,64]