s velmi malými čísly nevýhodou velký počet operací, proto je mnohdy postačující částečný výběr

Transkript

1 1. Úvod 1.1. druhy chyb: ch. matematického modelu rozdíl mezi idealizovaným a reálným problémem ch. numerické metody výsledkem nepřesné řešení ch. zaokrouhlovací vystupují současaně 1.. chyba absolutní ε = Δx = x x (x přibližná hodnota) chyba relativní δ = Δx x = x x x př.: předmět o délce 0 cm, měření 0, cm Δx = 0, 0 = 0, δ = 0,/0 = 0, platné cifry x x <= 5 10 e-k pokud platí k<=p a neplatí k<=p+1, pak číslo má p platných cifer pl. des. místa x- x <= k-1 Př.: x = - 45,847 x= -45,798 e = 1 ( x <= 50) -45, ,847 = <= e-k = - k=3 (počet pl. cifer) -k-1 = - k=1 (p. pl. des. míst) 1.4. systém F normalizovaných čísel pohyblivé řádové čárky zobrazení a práce s číslem ve tvaru x = ± m β e (m normalizovaná mantisa, β základ číselné soustavy) Př.: v dekadické soustavě je β = 10, takže systém F je shodný se semilogaritmickým tvarem 1.5. ε m = strojové epsilon, strojová přesnost, nejmenší kladné číslo dané soustavy ε m = β 1-p (p počet cifer, které stroj zobrazuje) 1.6. IEEE zobrazení reálných čísel v počítači jednoduchá přesnost čísla s rozsahem exponentu dvojnásobná -10 e < přetečení, podtečení číslo je větší, resp. menší, než které je počítač schopen zobrazit pro daný rozsah exponentu, dojde k přerušení běhu programu Př.: -5 <= e <= 5 k přetečení dojde u čísla většího jak korektnost úlohy funkce, kterou počítáme, je prostá a spojitá podmíněnost malá změna vstupních dat dobře podmíněné úlohy vyvolá malou změnu řešení př.: vypočet průsečíku kolmých přímek stabilita algoritmu stabilní algoritmus není citlivý na zaokrouhlovací chyby př.: nestabilní alg. řešení SLR eliminační metodou bez výběru hlavního prvku

2 . SLR.1. GEM 1. úprava matice na horní Δ (eliminace poddiagonálních prvků) = přímý chod. zpětné dosazování = zpětný chod lze použít pro nenulové hlavní prvky, tzn. pokud je SLR ryze diagonálně dominantní nebo pozitivně definitní.. Matice ryze diag. dominantní člen na hlavní diagonále v abs. hodnotě větší než součet zbylých členů pro každý řádek.3. Matice pozit. definitní platí-li D i > 0, pak je matice poz. definitní (Sylvestr. kritérium, D determinatnt, i řád matice).4. LU rozklad soustavu Ax=b převedu na LUx=b L dolní Δ matice U horní Δ matice výhoda můžu například měnit vektor b, aniž bych pokaždé znovu eliminoval matici A.5. výpočtová náročnost GEM přímý chod 1/3 n 3 zpětný chod ½ n operací.6. Choleského rozklad A=LL T, A musí být pozit. definitní náročnost 1/6 n 3 operací, zhruba poloviční oproti LU.7. Částečný výběr hlavního prvku v neeliminované části k-tého sloupce vyberu prvek s největší abs. hodnotou, prohodím rovnice zaručuje, že velikost multiplikátorů pro eliminaci matice bude vždy menší než 1, nedojde k počítání s velmi malými čísly.8. Úplný výběr hlavního prvku v neeliminované části matice A k-1 vyberu prvek s největší abs. hodnotou, prohodím rovnice a neznámé zaručuje, že velikost multiplikátorů pro eliminaci matice bude vždy menší než 1, nedojde k počítání s velmi malými čísly nevýhodou velký počet operací, proto je mnohdy postačující částečný výběr.9. LU rozklad s částečným výběrem hl. prvku = pivotováním používám L, U a P permutační matice, proces pivotování

3 Pb = z Ly = z Ux = y.10. Výpočet determinantu A = U (U horní Δ matice) nebo A = (-1) q U (q počet prohození při pivotování).11. Výpočet inverzní matice (A E)~...~(E A -1 ) Jordanova modifikace (za vektor neznámých dosadím jednotkovou matici E).1. Řídká matice - počet nenulových prvků << počet prvků - využití přímé metody ušetření eliminace nebo úprava na pásovou matici - iterační metody sníží počet koeficientů při výpočtu iterací.13. Pásová matice - nenulové koeficienty v pásu podél diagonály - počet operací přímý chod roste kvadraticky s šířkou pásu zpětný chod roste lineárně s šířkou pásu.14. Vektorová l p -norma x p = n i 1 x i p 1 p x 1 = n i 1 x i n x = x i.15. Přirozená maticová norma vyjadřuje změnu normy Ax - A = max x 0 x původní vektor, Ax nový vektor x - Ax A x je-li vztah splněn, pak jsou normy souhlasné.16. Maticové normy - A 1 = max j i 1 a ij A = max i j a ij - sloupcové součty řádkové součty.17. Podmíněnost matice 1 i 1 x = max i - κ A = M Ax = max min Ax m x x - špatně podmíněná změna vstupních dat vyvolá velkou změnu výsledku - špatně podmíněná soustava je ekvivalentní špatně podmíněné matici např. graf dvou téměř totožných přímek.19. Iterační metody - zvolení počáteční vektoru x 0, generování posloupnosti x 0, x 1, x, která se blíží k přesnému řešení x - konvergence: x k x 0.0. Stop kritéria: - x k 1 x k ε x k - testování zadané podmínky ε v každém iteračním kroku.1. Jacobiova metoda - konvergence matice A je ryze diagonálně dominantní.. Gauss-Seidlova metoda - konvergence - A je ryze diagonálně dominantní nebo pozitivně definitní - je-li A r.d.d., pak G.-S. konverguje rychleji - konverguje-li G.-S., pak nemusí konvergovat Jacobiova a naopak.3. SOR - ω relaxační parametr, urychluje konvergenci, vynásobení každé iterace tímto parametrem.4. Kdy je efektivnější iterační metoda oproti přímé? - matice obsahuje nulové prvky x i

4 3. Aproximace funkcí 3.1. Co je aproximace funkce? Její typy. - náhrada funkce - interpolace vstupní data zatížená chybou - aproximace MNČ 3.. Úloha lagrangeovské interpolace - hledáme polynom, který splňuje P n x i = y i 3.3. Lagrangeův tvar int. polynomu n - P n x = i=0 y i l i x - l i fundamentální polynom, polynom i-tého stupně procházející bodem [x i,y i ] 3.4. P 1 x = x x 1 = 3x P x = x 3.6. Newtonův int. polynom - P n x = P n 1 x + a 0 x x 0 x x 1 x x n 1 - přidáme-li další tabulkové hodnoty, nemusíme celý výpočet opakovat (rozdíl od Lagrange) 3.7. Hermit - interpolační polynom je tabulkovými hodnotami a jejich derivacemi - lze případně použít pro polynomy vyšších stupňů 3.8. y=kx-1 nebo y=-kx+1 (různ strmé paraboly - máme derivaci v bodě, který neznáme podmínky, 3 stupně - x=1 y=1 y =1 y = y =6 - P 3 = a 3 x a x 1 + a 1 x 1 + a 0, - P 3 = 3a 3 x 1 + a x a 1,, - P 3 = 6a 3 x 1 + a,,, - P 3 = 6a 3 - všude dosadím x, vyjde a 0 =1 a 1 =1 a =1 a 3 =1 - P 3 = x x 1 + x ??? Účelnost interpolace polynomů vyšších stupňů - mezi uzly vznikají velké chyby - nabízí se řešení místo strašení, a to interpolace po částech 3.1. Lineární int. splajn - sousední body spojené úsečkou Herm. kub. int. splajn - známy tabulkové hodnoty a jejich derivace - 1. derivace spojitá,. derivace spojitá není - na každé části int. polynom nejvýše 3. stupně Kub. int splajn - spojitá rovněž druhá derivace - okrajové podmínky konkrétní čísla nebo soustava rovnic pro všechny koeficienty 3.15.??? 3.16.??? 3.17.??? MNČ - prokládání dat křivkami, přibližné řešení nepřesných rovnic - bázová funkce navržená podle očekávaného průběhu - počet parametrů n m pozorování např.: - R n (t)=? n= φ 1 =t φ =t t 1 t 1 - R t = t t φ 1, φ t m t m 3.0. a=0

5 3.1. přesně podle vzroce, nic těžkého 3.. vznikne interpolační polynom 3.3. Přeurčená soustava rovnic - řešení obdélníkové matice A

6 4. Numerická derivace a integrace 4.1. Účel num. derivování - funkci známe jen v tabulkových bodech - funkce je na přímou derivaci příliš složitá 4.. příklad na použití centrální derivace 4.3. Chyby numerické derivace - 1. diskretizační E d = 1 f ξ -. zaokrouhlovací E r = ε 1 ε 0 - pro 0 E d 0 E r 4.4. aproximace MNČ, její derivace 4.5. Richardsonova extrapolace - základem metoda nižší přesnosti, z ní získáme metodu vyšší přesnosti - funkční závislost přesnosti na velikosti kroku h - F = a + b 4 + c 4.6. Účel num. integrování - funkci známe jen v tabulkových bodech - funkce je na přímou integraci příliš složitá - funkci nelze integrovat - kvadraturní formule Q(f) = I(φ) φ aproximace f(x) - řád kvadraturní formule jaký stupeň polynomu integruje formule přesně (co nejvyšší) 4.7. Odvození formulí - obdélníková obsah obdélníka - I = b a f a+b r = 1 - I = b a y n 0 + y y i + y n 1 - I = b a y n 1 + y + + y i + y n - lichoběžníková obsah lichoběžníka - I = 1 f a + f(b) b a r = 1 - I = b a y n 0 + y 1 + y + + y i + y n 1 + y n 4.8. Simpsonova formule - aproximace polynomem. stupně na intervalu x i 1, x i+1 - I = b a f a + 4f a+b + f(b) r = I = y y 1 + y + 4y 3 + y srovnání Q s (x k ) a I(x k ) např. na intervalu 0,1 - x 3 : Q s = 0, , = 0,5 I = x 3 dx = x pro x 4 rovnost nenastane Důkaz Q S f = Q 3 R f + 1 Q 3 T(f) - Q S f = b a 6 f a + 4f a+b - Q R f = b a f a+b Q R + Q T = f(b) Q T f = 1 b a f a+b 4 0 f a + f(b) b a + b a f a + f(b) 1 = 0,5 = b a 3 f(a) + f a+b b a f(a) + 4f a+b + f(b) Metoda polovičního kroku - zjištění chyby numerické integrace - integrál s krokem h a integrál s krokem h/, chybu dostaneme kombinací výsledků 4.1. Rombergova integrace - založeno na Richardsonově extrapolaci - řád T si pro i-tý řádek r=i+1 + f(b) =

7 4.13. Adaptivní integrace - máme funkci s oblastmi, kde se mění pomalu hrubší dělení intervalu, a oblasti, kde se mění rychle jemnější dělení intervalu funkční hodnota těžiště (aritmetický průměr hodnot ve vrcholech) vynásobený obsahem trojúhelníka 4.15.???

8 5. Řešení nelineárních rovnic 5.1. Bisekce - půlení intervalu, kontrola rozdílnosti znamének - předpoklad na intervalu pouze 1 kořen - konverguje vždy, ale pomalu - stop kritérium - ε 1 b k a k 5.. Newtonova metoda - aproximace přímkou tečnou, podmínka f x 0 f x 0 > 0 -.řádu, tzn., že konverguje kvadraticky (chyba e k+1 ~e k ) - stop kritérium např. f x k + 1 ε - + rychlá konvergence - - v každém kroku nutné znát 3 hodnoty a předpis pro 1. derivaci - - ne vždy konverguje 5.3. Metoda sečen - + náhrada za Newtonovu metodu, neznáme-li předpis pro 1. derivaci - + vyčíslování jen hodnot - - ne vždy konverguje, pomalejší konvergence, řád 1,6 - zaručení konvergence body x 0 a x 1 blízko x* - stop kritérium - x k+1 x k ε 5.4. Regula falsi - metoda sečen hlídající znaménka - interval zvolen, aby f(x 0 )f(x 1 )<0 (podobnost s ijekcí) - stop kritérium jako u metody sečen

9 5.5. Metoda inverzní kvadratické interpolace - použití 3 bodů k získání dalšího (aproximace parabolou) - řád 1,8 - y=x nemusí mít vždy kořen, proto se vezme její inverzní funkce x=y P (y) x k+1 x k- x* x k-1 x k f(y) 5.6. Prostá iterace - generování posloupnosti x i+1 = g x i - hledání průsečíků funkcí x a g(x) - podmínky konvergence g x < 1 g x ε a, b xε a, b - konvergence mění se v závislosti na hodnotách derivací g(x*) 5.7.??? 5.8. Určení x 0-1 nelin. rovnice rozdílnost znamének (bijekcí) - soustava nelin. rovnic aproximace na lineární 5.9. Newtonova metoda pro nelin. rovnice - tečná rovina Taylorův polynom 1. stupně - konvergence kvadratická, pouze pokud je počáteční aproximace dostatečně blízko hledanému kořenu - řád - stop kritérium funkční hodnota aproximace < ε Modifikace N. metody - Tlumená N. metoda - N. metoda s lokálně omezeným krokem - použití v případě, že počáteční aproximace je vzdálena od hledaného kořene Prostá iterace pro soustavu nelin. rovnic - x k+1 = g(x k ) x k vektor g(x k ) matice - podmínky konvergence g x ε Ω x Ω ; g x < 1 x ε Ω

10 6. Optimalizace 6.1. Zlatý řez - a, b u = a + ; v = b ; = 0,38 b a - konverguje pomalu - stop kritérium - u k v k ε a 0 u 0 v 0 a 0 h a 1 u 1 v 1 b Kvadratická interpolace - máme 3 body, proložíme jimi parabolu, nalezneme její minimum lepší aproximace - konverguje rychleji než zlatý řez - stop kritérium - x k+1 x k ε 6.3. Nelder-Meadova metoda (Simplexová metoda) - E expanze - R reflexe - CE vnější kontrakce - CI vnitřní kontrakce - I redukce - stop kritérium x i x B < ε 1 f x i f(x B ) < ε x i x B 6.4. Metoda největšího spádu - x k+1 = x k + λd k d k = grad f(x k ) - A řez A-A A x 0 d 0 posunutí o vektor λ d 0 x 1 λ

11 6.5. Cik-cak efekt 6.6. Newtonova metoda - hledání minima x* jako řešení soustavy nelineárních rovnic - pokud je x 0 blízko x*, konverguje kvadraticky 6.7. Spolehlivost metod - MNS spolehlivá (kromě cik-cak efekt) - Newton nemusí konvergovat - spojení MNS NM je efektivnější 6.8.???