Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

Transkript

1 Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

2 Vektorový (lineární) prostor V : Pro každé u, v V a každé α,β R je lineární kombinaceαu +βv opět prvkem V. Dále x + y = y + x x, y V, (1) x +(y + z) = (x + y)+z x, y, z V, (2)! 0 V x + 0 = x, x V, (3) x V! x V x +( x) = 0, (4) α R x V αx V, (5) 1x = x, (6) α,β R α(βx) = (αβ)x, (7) α(x + y) = αx +αy, (8) (α+β)x = αx +βx. (9) Vektory (uspořádané n-tice), matice téhož typu, polynomy stupně n, funkce... Poznámka: Vektorový prostor nad komplexními čísly: α, β C.

3 Normovaný lineární prostor X Reálný vektorový prostor X se nazývá normovaný lineární prostor, je-li každému x X přiřazeno reálné číslo x, které se nazývá norma x, a jsou splněny tyto podmínky: Též platí x 0 x X, (10) x + y x + y x, y X, (11) αx = α x x X, α R, (12) x = 0 x = 0. (13) u v u w + w v u, v, w X. (14) Nerovnost (11) i (14) se nazývá trojúhelníková nerovnost. Poznámka: Stejná definice normy i pro komplexní vektorový prostor, jen α C.

4 Normy vektorů (s reálnými nebo i komplexními složkami) x = (x 1, x 2,..., x n ) R n, případně C n x 1 = n x i (oktaedrická norma), i=1 ( n ) 1/2 x 2 = x i 2 (euklidovská norma), i=1 x = max i {1,2,...,n} x i (max-norma).

5 V dalším se pro jednoduchost omezíme na reálné matice a reálné vektory. (I když uvedená tvrzení platí i pro matice s komplexními prvky.) Norma matice A typu (m, n) generovaná normami vektorů: A YnX m = Ax max Ym, (15) {x X n: x 0} x Xn kde X n a Y m jsou prostory vektorů s n a m složkami. Jestliže y = Ax, kde x X n a y Y m, pak y Ym A YmX n x Xn. Jsou-li v obou prostorech použity normy stejného typu ξ, kde ξ odpovídá 1, 2 nebo, pak i normu matice A generovanou normami ξ budeme značit A ξ. Ve speciálních případech se A ξ nemusí počítat dle (15).

6 Konkrétně A 1 = max k {1,2,...,n} A 2 = ( (A T A)) 1/2 m a ik, A = max i=1 (spektrální norma). Pokud A je reálná a symetrická, pak A 2 =( (A T A)) 1/2 = ( (A 2 )) 1/2 = (A). i {1,2,...,m} k=1 n a ik, ( m ) 1/2 n Frobeniova norma A F = a ik 2 i=1 k=1 není generovaná. Platí (A) A pro Frobeniovu i každou generovanou normu. Všechny normy NLP konečné dimenze jsou ekvivalentní, např. c 1, c 2 > 0 x R n c 1 x 1 x 2 c 2 x 1, obdobně pro normy matic.

7 Skalární součin prvků vektorového prostoru V (nad R) Zobrazení(, ) : V V R, které dvojicím prvků z V přiřazuje reálná čísla, nazveme skalárním součinem na V, pokud pro každé x, y V a každé α R platí (y, x) = (x, y), (16) (x + z, y) = (x, y)+(z, y), (17) (αx, y) = α(x, y), (x,αy) = α(x, y), (18) (x, x) 0, (19) (x, x) = 0 x = 0. (20) Navíc předpisem x 2 = (x, x) je definována norma na V. Poznámka: Lze definovat skalární součin i pro vektorový prostor nad komplexními čísly, tj. pak α C.

8 Skalární součin reálných vektorů Je-li vektorový prostor V tvořen uspořádanými n-ticemi reálných čísel s obvyklým sčítáním a násobením reálným číslem, pak standardně (x, y) = n x k y k, (21) k=1 kde x = (x 1,..., x n ) R n a y = (y 1,..., y n ) R n. Předpisem x 2 = (x, x) je definována euklidovská norma na R n. Poznámka: Definiční požadavky (16)-(20) splňuje i skalární součin funkcí (u, v) = b a u(x)v(x) dx, kde u, v C([a, b]).

9 Schwarzova (Cauchyova) nerovnost (x, y) x 2 y 2 x, y V. Důkaz: y = 0 tvrzení platí. Jestliže y 0, pak (x, y) 0 x y 2 y 2 = x (x, y)2 y 2 2 = + ( x (x, y)2 y 2 2 (x, y) y 2 y, x 2 = x 2 2 ) (x, y) y 2 y 2 (x, y)2 y 2. 2 Poznámka: V důkazu nebyla použita konkrétní definice skalárního součinu, jen jeho vlastnosti (17)-(18)! Nerovnost tedy platí i pro skalární součin funkcí.

10 Pozitivně definitní matice Matice A = (a ij ) typu (n, n) se nazývá pozitivně definitní, platí-li pro každý nenulový n-rozměrný reálný vektor x (Ax, x) > 0, tj. n n a ij x i x j > 0. i=1 j=1 ((Ax, x) 0... pozitivně semidefinitní; > 0, < 0... indefinitní) Důležité: Lze ukázat, že symetrická (!) matice A je pozitivně definitní právě tehdy, když všechna vlastní čísla matice A jsou kladná. Souvislost mezi řešením soustavy rovnic a minimalizací funkce více proměnných; A je symetrická pozitivně definitní matice typu (n, n), b je sloupcový n-složkový vektor: Necht g(x) = 1 (Ax, x) (b, x) a minima funkce g se nabývá v bodě 2 x, pak platí x = arg min g(x) grad g( x) = 0 A x = b x R n

11 Gaussova eliminační metoda Řešení soustavy Ax = b převodem ekvivalentními úpravami na soustavu s horní trojúhelníkovou maticí U, tj. Ux = b. Zpětný chod. LU rozklad, tj. LUx = b, kde L je dolní trojúhelníková matice. Pivotace. Je-li matice A pozitivně definitní, jsou prvky na hlavní diagonále nenulové, nebot a ii = e T i Ae i > 0. Navíc A symetrická, pak existuje Choleského rozklad A = LL T, kde L je dolní trojúhelníková matice (úspora paměti). Řídká matice: Nejvýše 5% prvků je nenulových. Zaplnění. Pásovost. Počet operací.

12 Číslo podmíněnosti Necht je nějaká generovaná norma a necht A je regulární matice. Pak číslo κ(a) = A A 1 se nazývá číslo podmíněnosti matice A vzhledem k normě. Je-li A symetrická a pozitivně definitní a použijeme-li normu 2, je κ(a) = λ max /λ min. Necht Ax 0 = b 0 a Ax 1 = b 1, kde b 0 b 1, pak platí x 1 x 0 x 0 κ(a) b 1 b 0. (22) b 0 K A existují b 0 0 a b 0 b 1 takové, že v (22) nastane rovnost.

13 O matici, která má velké číslo podmíněnosti, říkáme, že je špatně podmíněná. Soustavy lineárních algebraických rovnic se špatně podmíněnou maticí mohou být (a v praxi bývají) numericky obtížně řešitelné. Výsledné řešení může být značně nepřesné, numerická metoda může selhat. Hrubý odhad čísla podmíněnosti pomocí Geršgorinovy věty, příklady ve sbírce.

14 Hilbertova matice H(n) 1 H(n) = (a ij ), kde a ij =, i, j = 1, 2,...,n. i + j 1 1 1/2 1/3 Například H(3) = 1/2 1/3 1/4 1/3 1/4 1/5 1 Řešme soustavu H(n)x =. pro n = 2, 3,...,12. 1

15 6 Presne reseni. Ax b = 0.00E presne numer. res. C. podm. = 1.9E+01 Ax b = 2.22E

16 40 Presne reseni. Ax b = 0.00E presne numer. res. C. podm. = 5.2E+02 Ax b = 8.88E

17 200 Presne reseni. Ax b = 0.00E presne numer. res. C. podm. = 1.6E+04 Ax b = 3.55E

18 1000 Presne reseni. Ax b = 0.00E presne numer. res. C. podm. = 4.8E+05 Ax b = 2.84E

19 x 104 Presne reseni. Ax b = 0.00E presne numer. res. C. podm. = 1.5E+07 Ax b = 8.53E

20 2 4 x 104 Presne reseni. Ax b = 0.00E presne numer. res. C. podm. = 4.8E+08 Ax b = 1.25E

21 4 x 105 Presne reseni. Ax b = 0.00E presne numer. res. C. podm. = 1.5E+10 Ax b = 3.64E

22 1 2 x 106 Presne reseni. Ax b = 0.00E presne numer. res. C. podm. = 4.9E+11 Ax b = 1.82E

23 x 107 Presne reseni. Ax b = 0.00E presne numer. res. C. podm. = 1.6E+13 Ax b = 1.02E

24 5 x 107 Presne reseni. Ax b = 0.00E presne numer. res. C. podm. = 5.2E+14 Ax b = 9.31E

25 2 x 108 Presne reseni. Ax b = 0.00E presne numer. res. C. podm. = 1.7E+16 Ax b = 2.79E

26 Presne reseni. Ax b 2 x = 0.00E presne numer. res. C. podm. = 1.8E+18 Ax b = 2.51E

27 Presne reseni. Ax b 1 x = 0.00E presne numer. res. C. podm. = 3.1E+17 Ax b = 1.34E