ROZHODOVÁNÍ VE FUZZY PROSTŘEDÍ

Transkript

1 ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ Ročník LV 24 Číslo 6, 2007 ROZHODOVÁNÍ VE FUZZY PROSTŘEDÍ V. Konečný Došlo: 30. června 2007 Abstract KONEČNÝ, V.: Decson makng n fuzzy envronment. Acta unv. agrc. et slvc. Mendel. Brun., 2007, LV, No. 6, pp Ths paper s attended on smple method for support decson process n ther fnal stage,.e. by selecton of sutable varant, from a set acceptable varant and by usng fuzzy sets. In ths entry are presented two approaches to soluton: one wthout acceptance of weghts pont of vew selecton and second wth acceptance weghts pont of vew selecton, ncludng a method easy determnaton weghts vew ponts. Approaches are documented wth sample decson makng about choce new product for extenson of produce. As a vew ponts ware selected: costs realzaton, tme realzaton, employment ncrease, beneft, envronmental mpact. decson process, selecton varant, fuzzy set, decson vew ponts, weghts decson vew ponts Závěrečná fáze rozhodovacího procesu představuje volbu varanty. Mnohdy je nutno provést tuto volbu na základě krtérí a cílů, které jsou formulovány pomocí vágních pojmů. Například rozhodnutí týkající se frem bývají podmňována dosažením velkého zsku, co nejmenších nákladů, malé pracnost, rychlé realzace rozhodnutí atd. Využtí fuzzy množn, stejně jako další metody z oblast umělé ntelgence, patří v současné době k moderním směrům (Rábová a kol., 2005) podpory rozhodovacích procesů v podmínkách nejstoty. METODIKA ŘEŠENÍ Výběr varanty bez akceptování vah cílů a podmínek V obecné rovně rozhodování představuje volbu varanty řešení problému z množny přípustných varant. Nechť množna přípustných varant rozhodnutí je V = {v 1, v 2,, v n }. Varanty se hodnotí podle hledsek H = {h 1, h 2,, h m } a ke každému hledsku je stanoven cíl {c 1, c 2,, c r } nebo omezující podmínka {p 1, p 2,, p s } a nebo obojí. Problém praktckého rozhodování bývá často v tom, že jak cíle, tak podmínky nebývají formulovány přesně, ale poněkud zamlženě, pomocí vágních pojmů. Nechť například jedním z hledsek hodnocení je zsk, pak jako cíl může být požadavek dosažení spíše vysokého zsku. Taková formulace cíle nebo podmínky znamená, že an podmnožny varant R c a nemohou být vymezeny přesně, ale pouze určtým stupněm jstoty pro každou varantu, tj. jako fuzzy množny. Je tedy očvdné, že řešení této rozhodovací úlohy bude probíhat ve fuzzy prostředí. Výsledkem řešení úlohy je nalezení takové fuzzy podmnožny varant R, která splňuje všechny cíle c a podmínky výběru p j, tj. r I c s I R = R R, (1) kde j p j R c = {[ ch (v 1 ), v 1 )]; [ ch (v 2 ), v 2 )]; ; [ ch (v n ), v n )]}, (2) = {[ pjh (v 1 ), v 1 )]; [ pjh (v 2 ), v 2 )]; ; [ pjh (v n ), v n )]}, (3) jsou fuzzy množny vytvořené na unverzu V. R c odráží plnění cíle c, plnění podmínky p j a h H je hledsko, z jehož pohledu je formulován cíl c a podmínka p j. Je-l nalezena fuzzy množna R = {(v 1, 1 ); (v 2, 2 ); ; (v n, n )}, (4) 227

2 228 V. Konečný pak pro nejlepší varantu v x R platí, že v x = max ( 1, 2,, n ). (5) Př stanovení stupňů jstoty cílů a R c a podmínek lze postupovat v podstatě dvěma způsoby. Buď přímým odhadem stupňů jstoty odborníky, kteří posuzují jednotlvé varanty, nebo defnováním charakterstckých funkcí fuzzy množn cílů a podmínek, podle kterých bude možné potřebné stupně jstoty zjstt. Tj. bude nutno defnovat F z h = {(x, zh (x)); x U h }, (6) kde x U h je pro varantu v k uvedená hodnota plnění cíle nebo podmínky a U h je unverzum hledska h, z lngvstcká hodnota cíle c nebo podmínky p j a zh (x) je charakterstcká funkce z. Tyto fuzzy množny je zapotřebí defnovat pro všechny použté lngvstcké hodnoty (vágní pojmy) z, které se vyskytují se ve formulacích cílů a podmínek. Například na obr. 1 jsou uvedeny fuzzy množny pojmů malý, průměrný a velký, které se týkají hledska zsku, fuzzy množny nízké a vysoké týkající se hledska realzačních nákladů atd. Některé fuzzy množny mohou být výsledkem operací negace, sjednocení nebo průnku množn. Například fuzzy množna vysokých nákladů může být považována jako doplněk nízkých nákladů nebo fuzzy množna ne dlouhá realzační doba může být vytvořena sjednocením fuzzy množn krátká a průměrná realzační doba atd. 1: Fuzzy množny cílů a podmínek hodnocení Základní operace s fuzzy množnam budou prováděny podle vztahů: not A (x) = 1 A (x), (7) A B (x) = mn[ A (x), B (x), (8) A B (x) = max[ A (x), B (x). (9) Další způsoby možné realzace těchto logckých operací a jejch vlastností jsou uvedeny v lteratuře (Novák, 1990), (Klr, 1998) atd. Ve formulac cílů a podmínek jsou poměrně často používány pojmy, které je zeslují nebo zeslabují.

3 Rozhodování ve fuzzy prostředí 229 Jsou to tzv. jazykové operátory a ve svém důsledku představují určtou transformac fuzzy množny. Například cílem c může být požadováno dosažení spíše velkého zsku. Pokud stupeň příslušnost zsku z do množny velký zsk 1 (z) je a stupeň příslušnost 2 (z) do množny spíše velký zsk, pak transformace musí zabezpečt relac 2 (z) < 1 (z). Možné způsoby transformace stupně příslušnost (z) 0, 1 pro nejčastěj používané jazykové operátory (Negnevtsk, 2002), jsou uvedeny v tabulce I. I: Transformační funkce jazykových operátorů Jazykový operátor více než více méně spíše velm značně Transformace Uvedený cíl obsahuje operátor spíše, takže je-l varantou v k nabízen zsk = 3 ml. Kč, (vz obr. 1) pak: zsk (3) = 0,5, velký zsk (3) = spíše velký 0,51,3 = 0,41. Podobně lze postupovat př stanovení stupně pravdvost podmínky uvedeného cíle. Je-l pro varantu v k uvedena doba dosažení zadaného zsku 15 měsíců, pak stupeň příslušnost k množně krátká doba je podle obr. 1 roven hodnotě 0,75. Podmnožna R c bude jako k-tý prvek obsahovat dvojc (0,41; v k ) a podmnožna (0,75; v k ). Po výpočtu stupně pravdvost cílů c a podmínek p j pro všechny zkoumané varanty rozhodnutí lze podle vztahů (2) a (3) vytvořt fuzzy množny R c, a výslednou podmnožnu varant R. Nejvhodnější bude ta varanta v x R, která má největší stupeň jstoty. Řešení dosažené tímto způsobem je tzv. pesmstcké. Mnohdy se požaduje výběr takové varanty, která některý cíl a podmínku plní s největším stupněm jstoty. Tj.: R = U R c R. (10) p j 3 Formálně je v tomto případě ke každému cíl (podmínce) požadována podmínka (cíl). V případě, že zadaný cíl (podmínka) nemá formulovanou podmínku (cíl), příslušná fuzzy množna je akceptována ve tvaru = V nebo R c = V = {(1, v 1 ); (1, v 2 ); ; (1, v n )}. 1,3 2 3 Akceptování vah cílů a varant Velm často je požadováno akceptování cílů a podmínek s určtým stupněm důležtost, resp. váhou. Současně s tímto požadavkem vznká také problém, jak tyto váhy stanovt. Manager obvykle přesný poměr vah dvou různých cílů nezná, ale dokáže říc, které cíle jsou stejně důležté, důležtější, mnohem důležtější nebo značně důležtější, atd. V lteratuře, např. (Novák, 1990), je uváděna stupnce, kterou navrhl T. L. Saaty. V devítbodové škále jsou pojmům přřazeny následující hodnoty: 1 stejná důležtost, 3 mírně důležtější, 5 významně důležtější, 7 podstatně důležtější, 9 absolutně důležtější. Sudé hodnoty stupnce (vzhledem k obtížnost jejch slovního vyjádření jednoduše vyplňují významovou mezeru mez dvěma pojmy lchých hodnot. Nechť poměr vah w všech r cílů a s podmínek vzhledem k váze w k je vyjádřen stupněm důležtost q = w /w k pomocí uvedené škály hodnot. Tj. w 1 w wr + s q, q,..., q = r+ s),,...,, (11) 1 2 resp. ( 2 w 1 w2 wr + s ( q, q,...,1,..., q = r+ s),,...,1,...,. (12) 1 2 Je-l váha w k = 1, pak w = q. Pro zabezpečení často požadované podmínky w = 1 je nutno přepočítat váhy w pomocí vztahu: q w o. (13) q = r + s Př akceptování těchto vah, jak uvádí (Klír, 1988) nebo (Novák, 1990), bude stupeň pravdvost splnění všech cílů a podmínek pro každou dílčí varantu rozhodnutí v k, dán vztahem: r v = +s k o h w, (14) což je vážený průměr stupňů pravdvost h. DISKUSE Předpokládejme, že vedení frmy má pro rozšíření výroby vybrat nový výrobek. Jako kanddát se nabízejí výrobky {V 1, V 2, V 3, V 4, V 5 }. Pro výběr nejvhodnějšího jsou stanoveny cíle a podmínky uvedené v tabulce II.

4 230 V. Konečný II: Cíle a podmínky volby výrobku c Cíle p j Podmínky 1. Dosažení spíše nadprůměrného zsku 1. Krátká doba realzace výroby 2. Nezanedbatelné zvýšení zaměstnanost 2. Nezatěžování žvotního prostředí 3. Nízké realzační náklady Atrbuty těchto výrobků jsou uvedeny v tabulce III, kde např. pro výrobek V 2 je uvedeno, že zajstí roční zsk 2,5 ml Kč a 40 nových pracovních míst př realzačních nákladech 100 ml. Kč. Potřebná doba realzace je 20 měsíců a jeho výroba bude zatěžovat žvotní prostředí 20 kg nebezpečného odpadu. Podobným způsobem lze nterpretovat atrbuty dalších varant výrobků. Před hodnocením výrobků, podle toho jak plní cíle a podmínky, je nutno poznamenat, že dosažení nadprůměrného zsku bude chápáno jako dosažení více méně velkého zsku. To znamená, že stupně příslušnost zsk (z) je nutno dále přetransformovat na stupně velký příslušnost zsk zsk více ménì velký ( z) = velký. (15) Dále pak, podmínka nezatěžování žvotního prostředí bude chápána jako nízká zátěž žvotního prostředí. III: Atrbuty nových výrobků Výrobek Roční zsk [ml. Kč] Počet nových pracovních míst Realzační náklady [ml. Kč] Doba realzace Nebezpečný odpad [kg] V 1 1, ,5 V 2 2, ,0 V 3 2, ,0 V 4 3, ,0 V 5 4, ,0 IV: Plnění cílů a podmínek jednotlvým výrobky Výrobek Cíle Podmínky zsk prac. míst náklady doba ral. prostř. V 1 0,00 1,00 0,67 0,75 0,25 V 2 0,50 1,00 0,50 0,50 0,00 V 3 0,50 0,50 0,67 1,00 0,50 V 4 0,71 1,00 0,00 0,25 1,00 V 5 1,00 0,25 0,00 0,25 0,50 Vyhodnocení plnění cílů a podmínek, přesněj řečeno, zjštění s jakým stupněm jstoty jsou plněny, je uvedeno v tabulce IV. Praktcké stanovení stupně jstoty cíle znamená (ve většně případů) odečtení této hodnoty z grafu charakterstcké funkce fuzzy množny lngvstcké hodnoty, která reprezentuje tento cíl, na základě hodnoty příslušného atrbutu. Například varanta výrobku V 1 slbuje realzační náklady ve výš 150 ml. Kč. Pak podle odpovídající náklady fuzzy množny na obr. 1 zjstíme nízké (150) = 0,67. Podobně, až na hledsko zsk, kde je nutno použít transformac podle vzorce (13), lze získat stupně příslušnost plnění všech cílů a podmínek zkoumaných varant a sestavt množny: R zsk {(V 1 ; 0), (V 2 ; 0,5), (V 3 ; 0,5), (V 4 ; 0,71), (V 5 ; 1)}, R prac. míst {(V 1 ; 1), (V 2 ; 1), (V 3 ; 0,5), (V 4 ; 1), (V 5 ; 0,25)}, R náklady {(V 1 ; 0,67), (V 2 ; 0,5), (V 3 ; 0,67), (V 4 ; 1), (V 5 ; 1)}, R doba real. {(V 1 ; 0,75), (V 2 ; 0,5), (V 3 ; 1), (V 4 ; 0,25), (V 5 ; 0,25)}, R prostř. {(V 1 ; 0,25), (V 2 ; 0), (V 3 ; 0,5), (V 4 ; 1), (V 5 ; 0,5)}, (16)

5 Rozhodování ve fuzzy prostředí 231 Podmnožna varant, která splňuje všechny cíle a podmínky, je podle vztahu (1) průnkem všech množn (16) provedeným podle operace (8), tj. R = {(V_1,0), (V_2,0), (V_3,0,5), (V_4,0,25), (V_5,0,25)}. (17) Podle vztahu (5) má největší stupeň jstoty varanta V 3, a tedy vedením frmy by měl být pro realzac zvolen tento výrobek. Nechť jednotlvým hledskům jsou nyní přděleny stupně důležtost, které odrážejí poměr váhy příslušného hledska k váze přdělené době realzace takto: 1 doba realzace (w dr ), 2 zaměstnanost (w zam ), 5 žvotní prostředí (w žp ), 5 náklady (w nák ), 7 zsk (w zsk ). V souladu se vztahem (12) zsk zam nák dr žp w w w w w { 7, 2, 5,1, 5} =,,,, dr dr dr dr dr (18) w w w w w a př w dr = 1, lze podle vztahu (13) získat váhy: W o = {w o zsk zam nák dr žp } = = {0,35; 0,1; 0,25; 0,05; 0,25} (19) Podle vztahu (14), stupňů jstoty plnění dílčích cílů a podmínek varant uvedených v množnách (16) a vah W o dostaneme výslednou množnu R o = {(V 1 ; 0,37), (V 2 ; 0,43), (V 3 ; 0,57), (V 4 ; 0,86), (V 5 ; 0,76)}. (20) Očvdně největší stupeň jstoty s akceptováním zadaných vah hledsek má výrobek V 4, následovaný výrobkem V 5. Snadno se lze přesvědčt, že kdyby všechna hledska měla stejný stupeň důležtost (všechny váhy budou 0,2), největší stupeň jstoty bude mít opět výrobek V 4, ale následovaný výrobkem V 3. ZÁVĚR Z výkladu příkladu použtí je patrno, že uvedená metoda výběru varanty je velm jednoduchá. V prax lze nalézt řadu dalších příkladů pro její aplkac. Např. př konkurzním řízení na obsazení pracovního místa, prognózování výsledků voleb, výběru projektů, výběru dodavatelů komponent výrobků nebo surovn, atd. Metoda bez akceptování vah je o něco jednodušší, ale značně pesmstcká, stačí jeden chybně stanovený stupeň jstoty a postžená varanta může být z rozhodovacího procesu vyloučena. Varanta s použtím vah je z tohoto pohledu mírnější. Je to v důsledku použtí jného pravdla př řešení průnku fuzzy množn a defuzzfkace. SOUHRN Příspěvek je zaměřený na jednoduchou metodu podpory rozhodovacího procesu v jeho závěrečné fáz, tj. př volbě varanty z množny přípustných varant využtím fuzzy množn. V příspěvku jsou uvedeny dva přístupy: jeden bez akceptování vah hledsek výběru varant a druhý s akceptování vah hledsek, včetně metody snadného stanovení vah jednotlvých hledsek. Přístupy jsou dokumentovány příkladem rozhodování o volbě nového výrobku pro rozšíření výroby. Jako hledska rozhodování jsou zvoleny náklady, zsk, zvýšení zaměstnanost, doba realzace a vlv na žvotní prostředí. rozhodovací proces, výběr varanty, fuzzy množny, hledska rozhodování, váhy hledsek LITERATURA KLIR, G. J.: Fuzzy Sets, Uncertanty, and Informaton. Prentce Hall, New Jersey, ISBN NEGNEVITSKY, M.: Artfcal Intellgence. Addson Wesly, ISBN NOVÁK, V.: Fuzzy množny a jejch aplkace. SNTL Praha, ISBN RÁBOVÁ, I., KONEČNÝ, V., MATIÁŠOVÁ, A.: Decson makng wth support of artfcal ntellgence. Agrcultural Economcs sv. 51, č. 9, s ISSN X. Adresa Doc. Ing. Vladmír Konečný, CSc., Ústav nformatky, Mendelova zemědělská a lesncká unverzta v Brně, Zemědělská 1, Brno, Česká republka, e-mal: konecny@mendelu.cz

6 232