MATEMATICKÁ TEORIE ROZHODOVÁNÍ

Transkript

1 MTMTICKÁ TORI ROZODOVÁNÍ odklady k soustředění č. 3 ráce s neurčtostí Většna našch znalostí o reálném světě je zatížena ve větší č menší míře neurčtostí. Na druhou stranu, schopnost rozhodovat se v stuacích, kdy nejsou všechny nformace dostupné, je běžnou vlastností ldského rozumu. Vezměme s následující čtyř tvrzení: 1. Žadatel o úvěr má měsíční příjem korun, 2. Žadatel o úvěr má vysoký měsíční příjem, 3. Žadatel o úvěr má měsíční příjem as korun, 4. Žadatel o úvěr má as vysoký měsíční příjem. rvní tvrzení žádnou neurčtost neobsahuje. Tvrzení číslo dvě používá vágní pojem vysoký příjem ; není přesně specfkováno, jaké částky už jsou vysoké a jaké ještě nízké navíc pojem vysoký příjem může být různým ldm chápán různě. Ve třetím tvrzení se objevuje nejstota; neznáme přesnou výš příjmu víme jen, že je okolo Ve čtvrtém tvrzení se pak objevuje jak vágnost, tak nejstota. Zpočátku byla problematka neurčtost umělou ntelgencí přehlížena, výzkum se zaměřoval především na symbolcké manpulace. Své explctní vyjádření našla neurčtost až v polovně 70. let v souvslost s expertním systémy. Vedle ad hoc přístupů, navržených pro prác s neurčtostí v konkrétních expertních systémech např. MYCIN nebo ROSCTOR se vychází z propracovaných teorí. storcky první je teore pravděpodobnost, jejíž základy spadají do sedmnáctého století. ravděpodobnostní přístup bychom mohl použít pro vyjádření nejstoty. V současnost je tato teore nejpropracovanější a exstuje celá řada jejích aplkací v oblast umělé ntelgence. Za všechny zmňme bayesovské sítě umožňující reprezentovat znalost o částečně nezávslých evdencích a tyto znalost použít př usuzování. Z dalších teorí našly své uplatnění v umělé ntelgenc teore možnost possblty theory a teore fuzzy množn a fuzzy logky. Zatímco axomy teore možnost jsou velce podobné axomům teore pravděpodobnost, teore ale umožňuje vyjadřovat vágnost přrozeného jazyka, fuzzy množny rovněž nabízející formalsmus pro vyjádření vágnost vycházejí ze zcela odlšných základů. odrobněj je této problematka zpracována např. v [Mařík a kol., 1997] nebo [Garratano, Rley, 1993]. Důraz na zpracování neurčtost dostal v posledních letech v kontextu umělé ntelgence nový mpuls v oblast nazývané soft computng. Soft computng je termín souhrnně označující metody, které umožňují rychle nalézat řešení byť ne zcela optmální vágně a neúplně popsaných problémů [Zadeh, 1994]. Do oblast soft computng bývají z metod umělé ntelgence řazeny fuzzy logka, neuronové sítě a genetcké algortmy. atří sem ale pravděpodobnostní metody nebo teore chaosu. odstatné je, že tyto metody se nepoužívají zolovaně ale ve vzájemné kombnac; nalezneme tak například celou řadu neuro-fuzzy nebo fuzzy-genetckých systémů. Do oblast soft computng se přesouvá práce s neurčtostí z expertních a znalostních systémů. 1

2 1. Způsoby vyjádření neurčtost 1.1 Vágnost Fuzzy množny Fuzzy množny představují zobecnění klasckých množn též v tomto kontextu nazývaných crsp. Def: Crsp množna je defnována pomocí charakterstcké funkce ϕ : U {0,1} takové, že 0, x U;ϕ x = 1, právě když právě když x x Def: Fuzzy množna je defnována pomocí charakterstcké funkce též nazývané funkce příslušnost µ : U [0,1] tak, že každému prvku x je přřazena hodnota z ntervalu [0,1]. ro fuzzy množny obsahující konečný počet prvků se používá záps = {x, µ x} Obr. 1 Crsp resp. fuzzy množna zvýšená teplota lavní rozdíl mez oběma typy množn je patrný z obr. 1. Zatímco u crsp množny, U můžeme o každém prvku x z unverza U říc, že do množny jstě patří nebo jstě nepatří vz charakterstcká funkce vlevo, v případě fuzzy množny může x prvek do množny patřt jen do jsté míry vz funkce příslušnost vpravo. S využtím funkce příslušnost jsou defnovány všechny množnové operace na fuzzy množnách: kardnalta počet prvků fuzzy množny doplněk fuzzy množny = µ x x U µ U \ x = 1 µ x průnk fuzzy množn a B µ x = mn µ x, x B µ B sjednocení fuzzy množn a B µ x = max µ x, x B µ B fuzzy podmnožna B B právě když x; µ x < µ B x 2

3 Kromě těchto klasckých operací lze pro fuzzy množny defnovat: α-řez fuzzy množny nosč support fuzzy množny jádro kernel fuzzy množny [µ] α = {x; µ x > α} supp = {x; µ x > 0} ker = {x; µ x = 1} Nebol podpora jsou ty prvky unverza, které do množny alespoň trochu patří a jádro jsou ty prvky unverza, které do jstě patří. Často se v souvslost s fuzzy množnam mluví o počítání se slovy. Mají se tím na mysl tzv. lngvstcké proměnné např. velký, malý apod., vyjádřené pomocí fuzzy ntervalů. Obr. 2 Lngustcké proměnné Fuzzy relace Fuzzy relace jsou defnovány na kartézském součnu crsp množn: R: X Y [0, 1], X = {x}, Y = {y}. odnota µ R x,y odpovídá stupn relace mez x X a y Y. říklad: odobnost mez zvířaty X = {kůň, osel}, Y = následující tabulkou: Y = {mula kráva} X = {kůň osel} {mula, kráva} může být defnována Def: Kompozce relace pro crsp relac R: X Y {0, 1} a crsp množnu M X je defnována jako M R = {y Y; x M x, y R} 3

4 Def: Kompozce relace pro fuzzy relac R: X Y [0, 1] a fuzzy množnu M X je defnována jako M R = {y, µ M R y}, kde µ M R y = max mn µ M x, µ R x,y Def: ro dvě fuzzy relace R: X Y [0, 1] a S: Y Z [0, 1] je R S fuzzy relace X Z [0, 1] taková, že µ R S x,y = max y mn µ R x,y, µ S y,z Jde o tzv. max-mn kompozc. říklad: Jsou dány tř crsp množny X = {1, 2}, Y = {1, 2, 3}, Z = {1, 2, 3, 4}, a dvě fuzzy relace R: X Y a S: Y Z Y R: X S: Y Z pak R S = Relac mez lngustckým proměnným tj. mez fuzzy množnam můžeme chápat jako fuzzy podmíněný příkaz f L = then K = B kde je fuzzy množna na X a B je fuzzy množna na Y např. IF BMI vysoké TN krevní tlak vysoký 1.2 Nejstota rubé množny rubé množny rough sets představují jakés aproxmace klasckých crsp množn. Def: Nechť pro unversum U exstuje jeho rozklad tvořený množnam B. množny tvořící rozklad jsou navzájem dsjunktní a jejch sjednocení tvoří celou množnu U. ak pro každou množnu ; U defnujme dolní aproxmac L jako 4

5 horní aproxmac U jako a hranc U L jako L = { B ; B }, U = { B ; B }, U L = U L. Obr. 3 rubé množny Základní myšlenku hrubých množn lustruje Obr. 3. ro množnu na obrázku žlutě a množny B tvořené jednotlvým obdélníky je její dolní aproxmace znázorněna zeleně a hrance znázorněna modře. orní aproxmace je pak vše, co je barevné Vícehodnotové logky Klascká dvouhodnotová logka pracuje se dvěma pravdvostním hodnotam TRU a FLS často značené 1 a 0. U vícehodnotových logk je pravdvostních hodnot více. Nejjednodušší vícehodnotovou logkou je tříhodnotová logka. K hodnotám 1 a 0 se zde přdává hodnota X, která má význam UNKNOWN ve smyslu tvrzení může být TRU nebo FLS. Tomu odpovídá příslušné rozšíření defnc jednotlvých logckých spojek: 1. nezáleží-l na neznámé hodnotě, pravdvostní hodnota logcké spojky je příslušná standardní hodnota, 2. záleží-l na neznámé hodnotě, je pravdvostní hodnota logcké spojky X. Obr. 4 Negace a konjunkce v trojhodnotové logce 5

6 Obr. 5 Dsjunkce a mplkace v trojhodnotové logce ravé vícehodnotové logky pracují s pravdvostním hodnotam z celého ntervalu [0, 1]. Často se v této souvslost mluví o fuzzy logce, když ne každá vícehodnotová logka je nsprována fuzzy teorí. Def: Funkce : [0, 1] [0, 1] [0, 1] se nazývá t-norma, právě když: 1. a, 1 = a 2. a, b = b, a 3. a, b,c = a, b, c 4. pro b < c a, b < a, c lze dokázat, že a, 0 = 0 říklady t-norem: Gődelova mn a, b = mna, b součnová prod a, b = a b Lukasewczova Luk a, b = max0, a + b 1 Def: Funkce : [0, 1] [0, 1] [0, 1] se nazývá t-konorma, právě když: 1. a, 0 = a 2. a, b = b, a 3. a, b,c = a, b, c 4. pro b < c a, b < a, c lze dokázat, že a, 1 = 1 říklady t-konorem: Gődelova mn a, b = maxa, b součnová prod a, b = a + b - a b Lukasewczova Luk a, b = mn1, a + b Vztah mez t-normou a t-konormou je defnován následující rovností: a, b = a, 1 - b 6

7 Def: Nechť a, b [0, 1] jsou pravdvostní hodnoty dvou fuzzy tvrzení. Logcké spojky ve fuzzy logce jsou pak defnovány následujícím způsobem: 1. negace a pro a < b a = a b < a uvedeným požadavkům vyhovuje standardní negace a = 1 - a 2. konjunkce 3. dsjunkce 4. mplkace a b a b = a, b a b = a, b je defnována jako tzv. rezduum t-normy, tedy tak, že a b = maxc, a, c < b Věta: Nechť fuzzy mplkace je defnována jako rezduum t-normy. ak 1. pro a < b je a b = 1 neboť a, 1 = a < b 2. pro a > b je Gődelova mplkace a b = b součnová mplkace a b = b/a Lukasewczova mplkace a b = 1 a + b ravděpodobnost Teore pravděpodobnost představuje klascký způsob jak pracovat s neurčtostí. řpomeňme zde některé základní pojmy dle Jroušek. Def: Nechť X je konečná množna, tx je potenční množna množna všech podmnožn. ravděpodobnostní dstrbuce je takové zobrazení že, X = 1 = 0 : tx [0, 1] pro, B tx takové, že B = platí B = + B Def: odmíněná pravděpodobnost jevu př jevu B je defnována jako B B = B 7

8 Věta: Je-l > 0 a B > 0, potom B = Výše uvedený vztah se nazývá Bayesův vzorec. B B Def: Jevy a B jsou nezávslé právě když B = B Def: Jevy a B jsou podmíněně nezávslé př jevu C právě když BC = C BC odívejme se nyní na stuac, kdy množna X je kartézský součn hodnot, které mohou nabývat náhodné velčny X 1, X 2,, X n. otom pravděpodobnostní rozložení defnované na X 1 X 2 X n budeme též nazývat pravděpodobnostní dstrbuce náhodných velčn X 1, X 2,, X n. Místo X 1 =x 1, X 2 =x 2, budeme pro jednoduchost psát x 1, x 2,. Def: Uvažujme dvě náhodné velčny X 1, X 2 a nějakou jejch sdruženou pravděpodobnostní dstrbuc X 1, X 2. Margnální pravděpodobnostní dstrbuce velčny X 1 je dána vztahem X x =, 1 1 x1 X 2 Def: Uvažujme dvě náhodné velčny X 1, X 2 a nějakou jejch sdruženou pravděpodobnostní dstrbuc X 1, X 2. Velčny X 1, X 2 jsou nezávslé, právě když x1, = x1 Def: Uvažujme tř náhodné velčny X 1, X 2, X 3. Velčny X 1, X 2 jsou podmíněně nezávslé př velčně X 3, právě když x1, x3 = x1 x3 x Možnost Základy teore možnost possblty theory formuloval v roce 1978 L.: Zadeh jako nástroj umožňující usuzovat na základě nepřesné č vágní znalost a brát přtom do úvahy neurčtost těchto znalostí. Formálně vzato tato teore představuje alternatvu k teor pravděpodobnost. Uvdíme tedy podobné defnce jako v předcházející podkaptole. Def: Nechť X je konečná množna, tx je potenční množna množna všech podmnožn. ossblstcká dstrbuce Π je takové zobrazení 8

9 že, Π: tx [0, 1] Π X = 1 Π = 0 pro, B tx takové, že B = platí Π B = max Π, Π B Věta: Nechť, B tx. otom Π B = max Π, Π B Zatímco defnce possblstcké dstrbuce požaduje, aby množny a B byly dsjunktní, to že možnost sjednocení odpovídá maxmální možnost jednotlvých členů platí pro jakékolv množny a B. Věta: Nechť, B tx. otom Π B mn Π, Π B Def: Uvažujme dvě náhodné velčny X 1, X 2 a nějakou jejch sdruženou pravděpodobnostní dstrbuc X 1, X 2. Margnální possblstcká dstrbuce velčny X 1 je dána vztahem Π x1 = max Π x1, 2 X x 1 X 2 Def: Uvažujme dvě náhodné velčny X 1, X 2 a nějakou jejch sdruženou possblstckou dstrbuc ΠX 1, X 2. Velčny X 1, X 2 jsou nezávslé, právě když Π x1, = Π x1 Π Def: Uvažujme tř náhodné velčny X 1, X 2, X 3. Velčny X 1, X 2 jsou podmíněně nezávslé př velčně X 3, právě když Π x1, x3 = Π x1 x3 Π x3 Ve výše uvedených defncích značí symbol t-normu, kterou jsme poznal v souvslost s fuzzy množnam. Operace tedy může ale nemusí být klascké násobení, tak jak je tomu v případě pravděpodobnost. Dalším a ještě významnějším rozdílem je to, že požadujeme aby součet pravděpodobností všech prvků množny X byl 1, zatímco u možnost požadujeme, aby nějaký prvek množny X byl jstě možný. Možnost tedy klade méně omezujících podmínek na formulování expertem, než pravděpodobnost. 9

10 2. Usuzování s využtím neurčtost 2.1 Rozhodování za rzka a nejstoty ředpokládejme, že množna rozhodnutí množna výsledků jsou konečné. ak můžeme Krtérum hodnotící optmaltu rozhodnutí vzhledem k výsledku vyjádřt pomocí matce Obr Je-l tímto krtérem užtek, pak optmální rozhodnutí užtek maxmalzuje, je-l tímto krtérem cena, pak optmální rozhodnutí cenu mnmalzuje rozhodnutí u u u k1 výsledek u u u k 2 u u u 1t 2t kl c rozhodnutí c c Obr. 2.6 Krtérum optmalty 21 k1 výsledek c Rozhodování za rzka Rozhodovací funkce d přřadí každému rozhodnutí nějaké známé rozložení pravděpodobnost na množně V. Skutečný výsledek je vybírán na základě této pravděpodobnost. Optmální rozhodnutí * je to, které maxmalzuje střední hodnotu užtku 11 c c k 2 c c c 1t 2t kl resp. mnmalzuje střední hodnotu ceny * * = arg max = arg mn l j= 1 l j= 1 u c j j p p j j Rozhodování za neurčtost Rozhodovací funkce d přřadí každému rozhodnutí nějakou podmnožnu výsledků, neznáme ale jejch pravděpodobnost nevíme, který výsledek nastane. Jak už bylo uvedeno výše, exstují dvě základní stratege jak postupovat: Garanční mnmaxová stratege vychází z toho, že očekáváme z hledska našch preferencí nejméně příznvý výsledek Tedy v případě, že krtérem je užtek, hledáme rozhodnutí * takové, že * = arg max mn u a v případě, že krtérem je cena, hledáme rozhodnutí * takové, že * = arg mn maxu rncp maxmální entrope je založen na předpokladu rovnoměrného rozdělení pravděpodobností jednotlvých výsledků, tedy že p = p j. V případě, že krtérem užtek, hledáme rozhodnutí * takové, že j j j j 10

11 * = arg max l j= 1 u j a v případě, že krtérem je cena, hledáme rozhodnutí * takové, že * = arg mn l j= 1 c j Rzko vs. Neurčtost rncp rozhodování za rzka a neurčtost osvětlí následující příklad převzatý ze [Štecha]. an Novák stojí před úkolem objednat uhlí na zmu. Ze zkušenost ví, že pokud bude zma mírná, stačí mu 10q uhlí, pokud bude normální, bude potřebovat 15q a pokud bude tuhá, bude potřebovat 20q. V létě je cena 1q uhlí 100,- Kč. okud bude nakupovat změ, bude cena závset na průběhu zmy. ř mírné změ bude cena za 1q uhlí rovněž 100,- Kč, př normální změ bude cena za 1q uhlí 150,- Kč a př tuhé změ bude cena za 1q uhlí 200,- Kč. Rozhodovacím problémem pana Nováka je tedy kolk uhlí má koupt v létě. Daná úloha má tř možná rozhodnutí odpověd na otázku kolk uhlí koupt v létě a tř možné výsledky alternatvní průběhy zmy. Krtérem hodnocení jednotlvých varant je cena, kterou pan Novák ve výsledku zaplatí pokud v létě koupí méně uhlí, než bude potřebovat, musí něco dokoupt v změ. odnotu krtéra pro jednotlvé varanty ukazuje následující tabulka. mírná zma normální zma tuhá zma v létě v létě v létě ř rozhodování př rzku musí pan Novák znát pravděpodobnost jednotlvých podob zmy. Řekněme, že mírná = 0.4 normální = 0.5 tuhá = 0.1 an Novák vybere rozhodnutí řádek, které bude mnmalzovat hodnotu j p j a j pro =1 je j p j a j = = 1575 pro =2 je j p j a j = = 1600 pro =3 je j p j a j = = 2000 an Novák tedy v létě koupí 10q uhlí. ř rozhodování za neurčtost pan Novák pravděpodobnost jednotlvých podob zmy nezná: př použtí mnmaxové stratege pan Novák vybere to rozhodnutí, pro které 11

12 max j a j bude mnmální. an Novák tedy v létě koupí 20q uhlí, neboť ve třetím řádku je maxmální hodnota mnmální ze všech řádkových maxm. př použtí prncpu maxmální entrope pan Novák vybere to rozhodnutí, pro které j a j bude mnmální. řesně vzato, budeme opět mnmalzovat výraz j p j a j, ale protože p j je př rovnoměrném rozdělení konstanta, můžeme j zanedbat. pro =1 je j a j = = 5750 pro =2 je j a j = = 5500 pro =3 je j a j = = 6000 an Novák tedy v létě koupí 15q uhlí. 2.1 Odvozování s využtím neurčtost Fuzzy nference Takzvaný Mamdanho model je jazykový model pracující s fuzzy podmíněným příkazy typu R: f X = then Y = B kde x a By jsou fuzzy množny. ravdla chápeme jako fuzzy relac, kde µ R x,y = µ x, µ B y kde jako t-norma se nejčastěj používá mnmum. Výstup y * fuzzy systému spočítáme ze vstupu x * a relace R jako max mn kompozc y * = x * R tedy µ B y * = max x mn µ x *, µ R x,y říklad: Jsou dány crsp množny X = {1, 2, 3}, Y = {1, 2, 3, 4}, fuzzy množna Xlow = {1,1, 2,0.7, 3,0.3} a fuzzy množna Yhgh = {1,0.2, 2,0.5, 3,0.8, 4,1}. ravdlo f X=low then Y=hgh lze vyjádřt relací R: low hgh =

13 Je-l nyní fuzzy množna Xmedum = {1,0.5, 2,1, 3,0.5}, potom y * = medum R = {1,0.2, 2,0.5, 3,0.7, 1,0.7} Stupeň pravdvost případné konjunkce v předpokladu fuzzy podmíněného příkazu se vyhodnotí jako mnmum Obr. 8. V případě fuzzy regulace musíme tento odvozovací postup ještě doplnt o fuzzyfkac vstupů a defuzzyfkac výstupu. ř fuzzyfkac se konkrétní číselná hodnota převádí na fuzzy množnu fuzzy nterval, př defuzzyfkac se výsledek odvozování na základě fuzzy nference fuzzy množna převádí na konkrétní číselnou hodnotu. Obecné schéma fuzzy regulace podle kterého pracují různé spotřebče typu fuzzy pračka, fuzzy mkrovlnná trouba apod. je na Obr. 7. ro defuzzyfkac výstupu y se nabízí několk možností. Numercké výstupní velčně se přřadí hodnota odpovídající těžšt odvozené fuzzy množny středu maxma odvozené fuzzy množny odpovídající váženému průměru odvozené fuzzy množny Jnou varantou fuzzy odvozování je odvozování ve vícehodnotové fuzzy logce. Zde vycházíme z klasckého dedukčního pravdla ϕ ψ ϕ ψ Ze stupně a pravdvost formule ϕ ψ stupně b pravdvost formule ϕ pak počítáme stupeň pravdvost formule ψ. oužjeme-l Lukasewczovu logku, která má vlastnost úplnost logcké vyplývání v sémantckém smyslu odpovídá dokazatelnost chápané syntaktcky, stupeň pravdvost formule ψ spočítáme jako Luk a, b = max0, a + b 1. Obr. 7 Fuzzy regulace 13

14 14 Obr. 8 Fuzzy nference ravděpodobnostní nference Základním pojmem tohoto přístupu, známého především ze systému ROSCTOR [Duda, Gaschng, 1979], je pojem šance. Ta je pro lbovolný výrok defnována jako podíl počtu jevů příznvých a jevů nepříznvých : 1 O = = ráce s neurčtostí vychází z Bayesovy věty, známé z teore pravděpodobnost: =, kde je podmíněná, nebo aposterorní pravděpodobnost hypotézy, víme-l, že evdence jstě platí, a je aprorní pravděpodobnost hypotézy. odobně můžeme defnovat aposterorní pravděpodobnost negace hypotézy, víme-l, že evdence jstě platí jako = Vydělíme-l výše uvedené rovnce, dostaneme =, což můžeme, s využtím pojmu šance vyjádřt jako O O =.

15 Defnujeme-l výrazem L = míru postačtelnost, dostáváme pro aposterorní šanc hypotézy výraz O = L O Míra postačtelnost L je kvanttatvní ocenění pravdla a zadává j expert. Velká hodnota L>>1 říká, že evdence je postačující k dokázání hypotézy, protože z ndferentní aprorní šance O udělá velkou aposterorní šanc O. Obdobným způsobem můžeme defnovat míru nezbytnost L = a aposterorní šanc hypotézy jako O = L O. Bayesova věta dává návod jak stanovt vlv jedné evdence na uvažovanou hypotézu. Jak ale postupovat, pokud je evdencí více? Tedy, jak stanovt aposterorní pravděpodobnost 1,, K? Jsou v zásadě dvě možnost, jak postupovat: 1. Navní bayesovský přístup vychází z předpokladu, že jednotlvé evdence 1,,K jsou podmíněně nezávslé př platnost hypotézy [Duda, art, 1973]. Tento zjednodušující předpoklad umožňuje spočítat aposterorní pravděpodobnost hypotézy př platnost všech evdencí 1,, K = vyjádřeno jako šance dostáváme 1,,K 1,, K O 1 n = L1 Ln O O 1 n = L1 L n O 2. Bayesovské sítě též nazývané pravděpodobnostní sítě umožňují reprezentovat znalost o částečně nezávslých evdencích a tyto znalost použít př usuzování. Bayesovská síť je acyklcký orentovaný graf zachycující pomocí hran pravděpodobnostní závslost mez náhodným velčnam. Ke každému uzlu u náhodné velčně je přřazena pravděpodobnostní dstrbuce tvaru urodčeu, kde rodčeu jsou uzly, ze kterých vycházejí hrany do uzlu u. To umožňuje spočítat sdruženou pravděpodobnostní dstrbuc celé sítě jako n u 1,.,u n = u rodčeu =1 Má-l tedy bayesovská síť podobu uvedenou na Obr. 9, bude mít sdružená dstrbuce tvar 15

16 Z,K,D,M = Z KZ DZ MK,D Obr. 9 říklad bayesovské sítě ossblstcká nference Odvozování založené na teor možnost je analogcké s odvozováním založeným na teor pravděpodobnost. Zhruba se dá říc, že sčítání je nahrazeno hledáním maxma a násobení je nahrazeno použtím nějaké t-normy Nemonotonní usuzování Všechny doposud zmíněné způsoby práce s neurčtostí vycházejí z toho, že neurčtost je vyjádřena pomocí číselné hodnoty. Zajímavou alternatvu nabízí logka, konkrétněj tzv. nemonotónní usuzování. Klasckou logckou nferenc můžeme chápat jako odvozování důsledků plynoucích y formulí v prostředí, které je statcké. Označíme-l CnX množnu všech důsledků množny formulí X, pak 1. X CnX 2. X Y CnX CnY 3. CnCnX = CnX Nemonotonní usuzování je takový způsob nference, kdy dříve učněný závěr může být zpochybněn ve světle nové nformace neplatí tedy podmínka č. 2. Klasckým příkladem je formule každý pták létá. Závěr, který můžeme učnt na základě této formule o leteckých schopnostech lbovolného ptáka ale bude zpochybněn, přdáme-l dodatečnou formul znalost, že tučňák nelétá Kompozconální vs. nekompozconální přístup Výše uvedené přístupy buď skládají dílčí příspěvky k celkové neurčtost = jsou tedy kompozconální pravděpodobnostní, possblstcká nference, fuzzy nference, nebo hledají jeden neurčtého způsob odvození závěru tříhodnotová logka, nemonotónní usuzování. 16