Matematika. 3. listopadu Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze

Transkript

1 Matematika Ondřej Pártl Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze 3. listopadu 207 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu 207 / 73

2 Obsah Čísla 0 20, porovnávání čísel 2 Sčítání, odčítání, násobení, čísla Čísla Dělení 5 Zlomky 6 Desetinná čísla 7 Mocniny 8 Odmocniny 9 Logaritmy 0 Absolutní hodnota Závorky 2 Přirozená čísla jako substantiva (= podstatná jména) 3 Množiny 4 Úpravy zlomků 5 Čtení indexů 6 Popis řešení rovnic a nerovnic Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

3 Prezentace si můžete stáhnout na adrese V několika prvních týdnech bude místo fyziky matematika. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

4 Přirozená čísla a nula N = {, 2, 3,...}... přirozená čísla N 0 = {0,, 2, 3,...}... přirozená čísla a nula 0... nula... jedna 2... dvě 3... tři 4... čtyři 5... pět 6... šest 7... sedm 8... osm 9... devět 0... deset... jedenáct 2... dvanáct 3... třináct 4... čtrnáct 5... patnáct 6... šestnáct 7... sedmnáct 8... osmnáct 9... devatenáct dvacet Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

5 Přirozená čísla a nula N = {, 2, 3,...}... přirozená čísla N 0 = {0,, 2, 3,...}... přirozená čísla a nula 8,, 5, 3,, 4, 5, 2, 7, 7, 0,, 9, 4, 20, 3, 9, 6, 6, 8, 3, 6, 4, 5, 7, 2, 8, 0, 20, 0,, 2, 4, 5, 6, 0, 4, 2, 3, 9, 6, 3,, 2, 8, 9, 7, 2, 5, 9, 4, 8, 5, 3, 0, 9, 5,, 8, 20, 9, 4, 4, 0, 9, 7, 6, 3, 6, 9, 8, 5. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

6 Rovná se, nerovná se =... rovná se... nerovná se =... jedna se rovná jedna 2... jedna se nerovná dvě x y... x se nerovná y a = b... a se rovná b 5 = 5, 4 7, =, 3 9, 8 2, a b, x = z, 0 20, 6 = 6. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

7 Větší než, menší než >... větší než <... menší než... větší nebo rovno... menší nebo rovno 3 > 2... tři je větší než dvě 2 < 7... dvanáct je menší než sedmnáct 4... čtrnáct je větší nebo rovno jedenáct pět je menší nebo rovno pět 0 0, 6 <, 9 > 3, 6 20, 4 < 6, x z, w u. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

8 Příklady >... větší než <... menší než... větší nebo rovno... menší nebo rovno =... rovná se... nerovná se 5 = 5, 7 < 2, 20 0, 9 9, 6 > 3, 7 7,, 8 4, 6 6, 2 20, x < y, 0 = 0, 5 > 0, 3, 0 <,, 6 8, 2 0, 8 < 5, 20 3, 4 5, 7 > a, 8 = 8, 5 0, 3 9, 7 0, 2 < 4, c b. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

9 Sčítání ( + = 2) +... plus = 8... tři plus pět se rovná osm nula plus sedm se nerovná dvě x + y = z... x plus y se rovná z a + b = c první sčítanec plus druhý sčítanec rovná se součet, výsledek = 9... šest plus tři se rovná devět První sčítanec je šest. Druhý sčítanec je tři. Součet je devět. Výsledek je devět. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

10 Sčítání ( + = 2) a + b = c první sčítanec plus druhý sčítanec rovná se součet, výsledek + 9 = 0, = 7, = 20, + 5 = 6, = 2, = 20, = 8, = 7, 4 + = 5, = 9, 7 + = 8, =, = 6, = 5, u + v = s. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

11 Desítky N = {, 2, 3,...}... přirozená čísla N 0 = {0,, 2, 3,...}... přirozená čísla a nula 0... deset dvacet třicet čtyřicet padesát šedesát sedmdesát osmdesát devadesát sto 30, 90, 70, 0, 60, 40, 20, 50, 80, 00, 60, 40, 70, 20, 50, 00, 80, 90, 30, 60, 90, 40, 00, 50, 80, 40, 90, 60, 3 < 50, 40 00, 70 7, = 30, = 90, 80, 60 > 8, , = 30, a Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu 207 / 73

12 Je rovno, není rovno jedna plus dvě se rovná tři, + 2 = 3... jedna plus dvě je rovno tři, jedna plus dvě je tři. tři plus čtyři se nerovná pět, tři plus čtyři není rovno pět, tři plus čtyři není pět = 2, 4 + 6, = 30, = 90, , c + 00 = g, k + s h, = 9, =, 4 + w 80 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

13 Celá čísla Z = {..., 3, 2,, 0,, 2, 3,...}... celá čísla... mínus mínus sto x... mínus x 8,, 5, x,, 40, 5, 2, 70, 7, 0,, 9, 4, 20, 3, 9, 60, 00, 80, 7, o, r Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

14 Odčítání (3 2 = )... mínus 5 3 = 2... pět mínus tři se rovná dvě nula mínus sedm se nerovná dvě x y = z... x mínus y se rovná z 9 = 0... mínus jedna mínus devět se rovná mínus deset a b = c menšenec mínus menšitel rovná se rozdíl, výsledek (nepoužívá se) (nepoužívá se) 9 = 8, 4 5 =, 8 2 = 6, 5 = 6, 0 2 = 2, 0 30 = 20, = 90, 9 3 = 6, 4 = 3, h r = 80, = 00, 9 e = i, 7 4 0, o w j, = 0, 90 h > 20 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

15 Násobení (2 3 = 6)... krát 2 3 = 6... dva krát tři se rovná šest x y = z... x krát y se rovná z xy = z... x (krát) y se rovná z 3x = 9... tři x se rovná devět a b = c první činitel krát druhý činitel rovná se součin, výsledek 2 3 = 6... dva krát tři se rovná šest První činitel je dvě. Druhý činitel je tři. Součin je šest. Výsledek je šest. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

16 Násobení (2 3 = 6) a b = c první činitel krát druhý činitel rovná se součin, výsledek 2 9 = 8, 4 5 = 20, 7 0 = 70, 2 5 = 60, 0 00 = 0, 0 0 = 00, x y = 90, p 3 = 40, q = 3, , 5 3 = 5, 3 ( 6) = 8, 40 h <, o ( e) j, = 3 0, 6 k , 5 ( 8) 2 9, 0 2 0, 4 0 < Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

17 2, 22, 23,..., 99 2 (20 + )... dvacet jedna 62 (60 + 2)... šedesát dva (dvě) 34 (30 + 4)... třicet čtyři 97 (90 + 7)... devadesát sedm 85, 49, 52, 3, 63, 77, 26, 94, 38, 82, 34, 43, 27, 69, 7, 56, 99, 3, 25, 5, 50, 55, 33, 44, 66,, 87, 22, 00, 74, 0, 29, h, e, 48 < 93, 6 50, k + m 42, 9 7 = 63, 2 36 = 72, 3 3 = 39, = 25, 0 54, 6 ( 4) = 84 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

18 Stovky sto dvě stě tři sta čtyři sta pět set šest set sedm set osm set devět set tisíc 400, 00, 600, 900, 200, 000, 300, 800, 500, 700, 600, 200, 000, 800, 400, 500, 900, 700, 00, 600, 300, 700, 500, 300, 900, 000, 00, 200, 20, 39, 75, 400, 0 60 = 600, = 500, , Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

19 0, 02, 03,..., (00 + )... sto jedna 2 (00 + 2)... sto dvanáct 632 ( )... šest set třicet dva (dvě) 350 ( )... tři sta padesát 999 ( )... devět set devadesát devět 852, 497, 52, 38, 643, 777, 265, 942, 382, 824,, 569, 333, 57, 290, 444, 600, 55, 708, 80, 000, 906, 74, 3, 25, 555, 280, 37 < 692, = 589, 222, 555, 8 6 = 288, = 437, 973h = 000 g Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

20 Opakování 23, 456, 789, 0, 000, 98, 76, 543, 2, 2, 875, x, h + p 358, , q 905 = 26, = 956, 82 + ( 529) = 347, 405, 30 < 7, 224 y z, 000, 88, 766 r, , = 339, s 6 = l, 5w = i, 45 6 = 270, 3 22 = 682, = 539, = 560, ( 330) = 25, x y f j + c g 7 = u Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

21 Tisíce ( 000, 2 000, 3 000,..., ) tisíc dva tisíce tři tisíce čtyři tisíce pět tisíc třicet }{{ dva } tisíc devět } set devadesát {{ devět } tisíc 999 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

22 Tisíce ( 000, 2 000, 3 000,..., ) , 3 000, , 0 000, 000, , 2 000, , , 4 000, , , 7 000, , 5 000, 3 000, , , , 300, 33, , Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

23 00, 002,..., ( )... sto dvacet tři tisíc čtyři sta padesát šest ( )... sedm set osmdesát devět tisíc tři sta dva , ,, , , 57 62, Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

24 , ,..., milion dva (dvě) miliony tři miliony čtyři miliony pět milionů devět set devadesát devět milionů miliarda ( )... sto dvacet tři milionů čtyři sta padesát šest tisíc sedm set osmdesát devět , , , , , Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

25 , ,..., miliarda dvě (dva) miliardy tři miliardy čtyři miliardy pět miliard devět set devadesát devět miliard bilion ( )... sto dvacet tři miliard čtyři sta padesát šest milionů sedm set osmdesát devět tisíc , , , , , , , Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

26 Dělení (6 3 = 2, 6/3 = 2)... děleno /... děleno, lomeno x 0... x děleno nulou x... x děleno jednou x 2... x děleno dvěma x 3... x děleno třemi x 4... x děleno čtyřmi x 5... x děleno pěti x 9... x děleno devíti x 0... x děleno deseti. x x děleno dvaceti x 2... x děleno dvaceti jednou.. x 8... x děleno osmi x x děleno devadesáti devíti Při dělení čísly 0,,..., 99 všechna slova deklinujeme. 0, 5, 2, 6,, 2, 3, 78, 4, 50, 95, 3, 23, 49, 84,, 66, 8, 52, 0, 80, 77,, 23 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

27 Dělení (6 3 = 2, 6/3 = 2) x x děleno (jedním) stem x x děleno dvěma sty x x děleno (jedním) tisícem x x děleno dvěma tisíci Ale: x x děleno dvaceti jedním tisícem (jednou tisíci) x x děleno (jedním) milionem x x děleno dvěma miliony Ale: x x děleno dvaceti jedním milionem (jednou miliony) x x děleno miliardou x x děleno dvěma miliardami Ale: x x děleno dvaceti jednou miliardou Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

28 Dělení (6 3 = 2, 6/3 = 2) 800, 000, , 00, 7 000, , /7 000, , ( ), , 300, ( ), /45, /900, / , 0 000, 500, 5 000, , 9 000, , / Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

29 Dělení (6 3 = 2, 6/3 = 2) Při dělení čísly 00, 0, 02,... máme dvě možnosti. Deklinujeme všechna slova děleno devíti sty osmdesáti sedmi miliony šesti sty padesáti čtyřmi tisíci třemi sty dvaceti jednou děleno (jedním) stem dvaceti třemi miliony čtyřmi sty jedním tisícem 2 Nedeklinujeme nebo deklinujeme pouze část. Nejčastěji poslední dvě číslice děleno devět set osmdesát sedm milionů šest set padesát čtyři tisíc tři sta dvaceti jednou děleno dvě stě dvěma děleno sto dvacet tři milionů čtyři sta pět tisíc Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

30 Dělení (6 3 = 2, 6/3 = 2) 6 3 = 2... šest děleno třemi se rovná dvě 6/3 = 2... šest děleno třemi se rovná dvě 7 x = a... sedm děleno x se rovná a a b = c dělenec děleno dělitel rovná se podíl, výsledek 6 3 = 2... šest děleno třemi se rovná dvě Dělenec je šestka. Dělitel je trojka. Podíl je dvě. Výsledek je dvě. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

31 Dělení (6 3 = 2, 6/3 = 2) , , 56 ( 000), , , q 37, , k l m = o, w/ = g 276/5, = 2 345, , b , , /72 0 = 2 74, u j s/t = r Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

32 Zlomky ( 2, 7,...) x y... zlomek (jedna) polovina... (jedna) třetina... (jedna) čtvrtina... (jedna) pětina (jedna) šestina... (jedna) sedmina... (jedna) osmina... (jedna) devítina 0,,..., 20 30, 40,..., (jedna) desetina, jedenáctina,..., dvacetina... (jedna) třicetina, čtyřicetina,..., devadesátina 8, 2, 4, 50, 3, 0, 4, 7, 70, 90, 6, 3, 5, 9, 20,, 7,, 3, 4, 30, 9, 60, 2, 80, 2, 5, 4, 0, 9, 6 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

33 Zlomky ( 2, 77,..., ) (jedna) jedena }{{}} dvacetina {{} (jedna) dvaa }{{}} dvacetina {{} , (jedna) třiadvacetina... (jedna) devětadvacetina... (jedna) osmapadesátina, (jedna) jedenasedmdesátina 63, 49, 9, 72, 55, 27, 68, 3, 84, 99, 26, 62, 5, 2, 5, 90, 47, 4, 30, 85,, 29, 34, 44, 33, 5, 27, 9 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

34 Zlomky ( 00, 000,...)... (jedna) setina (jedna) tisícina (jedna) desetitisícina (jedna) stotisícina (jedna) miliontina (jedna) miliardtina , 00, , 000, , 0 000, 0, 00 = , ( )/5 = = 000, Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

35 Zlomky ( 2 5, 5 8,...) 0... nula pětin 5... (jedna) pětina dvě pětiny tři pětiny čtyři pětiny pět pětin dvacet pětin Zlomky x 5 pro x > 20 a x písmeno Pokud x končí na jednu z číslovek, 2, 3, 4, čteme dvacet jedna pětina sedmdesát tři pětiny čtyřicet dvě pětiny sto padesát čtyři pětiny Jinak čteme dvacet pět pětin x 5... x pětin Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

36 Zlomky ( 2 5, 5 8,...) x Zlomky y pro x > 20 Pokud x končí na jednu z číslovek, 2, 3, 4, čteme dvacet jedna setina... sedmdesát tři devětadevadesátiny Jinak čteme čtyřicet dvě tisíciny sto padesát čtyři pětatřicetiny x 5... x patnáctin sedmdesát sedm polovin 2 63, 2, 3 9, 76 72, 84 55, 4 27, 59 3, 60 3, 84, 37 99, 2 26, 99 62, 0 5, j 4, 386 7, 2 7, 3 2, 5 5, 32 8, 3 2, 5 97, w 4, , , , 2 5, 30 7, , , a 45, 23 2, 0 3, 33 66, 43 43, 9 00, 6 74, 20 9, 3 88, 4 28 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

37 Zlomky ( 2 03, ,...) Zlomky x y pro y > 00 a zlomky s písmeny (s výjimkou dříve uvedených) nebo se složitějšími výrazy čteme jako podíl dvacet jedna lomeno jedním stem dvěma... sedmdesát tři lomeno devadesáti devíti tisíci osmi sty sedmdesáti x y... x lomeno y 3 x 5... tři lomeno x mínus pět 2 čitatel zlomková čára jmenovatel V čitateli zlomku je jednička. Čitatel zlomku je jedna. Ve jmenovateli zlomku je dvojka. Jmenovatel zlomku je dvě. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

38 Zlomky ( , s t 8,...) Složitější zlomky čteme takto: x+y z s+r... Zlomek. V čitateli x plus y mínus z, ve jmenovateli s plus r. 2x 37 q... Zlomek. V čitateli dvě x mínus třicet sedm, ve jmenovateli jedenáct krát q. 7x 67, 45 2, a b x +, 53 00, 2, 2 3, q , 4/72 4, c 72/c, 5 99, 4 9, , , , k l 67, 2 98, 5 52, 0 000, 83 39, g f, 3 2, ( , 23r , 54 55, , , 4 82 ) = = 4 8 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

39 Desetinná čísla (0,, 6,037,...),3... celá část,... desetinná čárka 3... desetinná část 0, desetiny 2... setiny 3... tisíciny,2... jedna celá dvě (desetiny) 2,2... dvě celé dvě (desetiny) 3,2... tři celé dvě (desetiny) 4,2... čtyři celé dvě (desetiny) 4... desetitisíciny 5... stotisíciny 6... miliontiny 5,2... pět celých dvě (desetiny). 20,2... dvacet celých dvě (desetiny) 2,2... dvacet jedna celá dvě (desetiny) 93,2... devadesát tři celé dvě (desetiny) 45,2... sto čtyřicet pět celých dvě (desetiny) Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

40 Desetinná čísla (0,, 6,037,...) Při čtení desetinné části (,23) máme následující dvě možnosti: Desetinnou část čteme jako zlomek.,23 ( = + 00) jedna celá dvacet tři (setiny),023 ( = )... jedna celá dvacet tři tisíciny,0705 ( = )... jedna celá sedm set pět desetitisícin 2 Desetinnou část čteme jako posloupnost číslovek., jedna celá dvě, tři, čtyři, pět, šest, jedna celá nula, sedm, nula, pět 0,09... žádná/nula celá devět setin, žádná/nula celá nula, devět 93, devadesát tři celé dvě stě jedna stotisícina, devadesát tři celé nula, nula, dva, nula, jedna 05,0... sto pět celých nula (desetin) 0,68, 3,907, 003,0, 0,432, 2,090807, 3,630, 0,4443, 2,052, 4,27 +,000 = 5,270, 4 782,50039, 23,057, 5,92674, 0,5, 0,25 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

41 Desetinná čísla (0,, 6,037,...) 3 733,357/3809 = 0,9803, ,76 = 0,80, 23,456789, 22,64, , ,249 = 89773,9843, 4 782,50039, 2,7, 0,0909, 8,07, 6,300, 0,25, 0,00003, 002,056, 0,23 0,987 = 0,240, 7,04003, 0,72, 0,06002, ,05, 8,56, 64,9070, 3,98/5 = 0,2654 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

42 ( ) Mocniny x 2, 2 3, 5 2,... x 0 x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7... x na nultou... x na prvou... x na druhou... x na třetí... x na čtvrtou... x na pátou... x na šestou... x na sedmou x 8 x 9 x 0 x x 9 x x na osmou... x na devátou... x na desátou... x na jedenáctou.... x na devatenáctou... x na dvacátou j, x 9, c 4, p 7, f 7, x 0, o 4, k 6, x 3, x 2, a 5, r 3, x 2, e 9, x, w 20, m 8, z 8, q 5, v 6, h 4, s 0, u 2, f 20, n 0, w 9, d 3, g 7, t, i 0, y 2, x 9, g 3, p 0, n 4, u 0, e, c 2, j 5, k 2, l 3, a 9 x 9, s 4, z 7 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

43 ( ) Mocniny x 2, 2 3, 5 2,... x 2 exponent základ (mocniny) Základ mocniny je trojka. Exponent je dvojka Základ mocniny je číslo tři. Exponent je číslo dvě. Při čtení mocnin s různými základy základ nedeklinujeme dvě na druhou sedmnáct na patnáctou ( 6 4)... jedna čtvrtina na šestou 0, žádná celá čtyřicet sedm tisícin na čtvrtou ( ) 0... mínus jedna na nultou 0,257 5, ( ) 5, 4 ( ) 3 ( 4, 29 ) 9, , 2 456, , w 5, 4 0, 0, 2, 7 2 ( ) 3 ( ) 7 ( ) , , , d 20, 0,,, s Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

44 ( ) Mocniny x 2, 2 3, 5 2,... Při čtení mocnin s písmenem latinské abecedy v exponentu čteme: 2 x... dvě na x-tou 2 n... dvě na n-tou Pokud je exponent mocniny složitější, deklinovat nemusíte. 4 2,57... čtyři na dvě celé padesát sedm 7 x2 +2x+4... sedm na x na druhou plus dvě x plus čtyři x x na dvě třetiny a 2 b 2 ( ) 27 a + b = a b, c+23r, x,, r s 456 3, ( 0,23) 789, 0 0, 4 a 3 b 3 = (a b) (a 2 + ab + b 2) ( ) n 32, 7,0509 3,4, e x, 2 4,, 4 2, 6 ) 0x 3 5x 2 y+y 4, a b (8 423/ ) 29 4, ( 2,783) 9,2000x, ( ) n n, ( 20 2 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

45 ( x, ) Odmocniny 3 8, n n... ( x... první odmocnina z x) x... (druhá) odmocnina z x 3 x... třetí odmocnina z x 4 x... čtvrtá odmocnina z x 5 x... pátá odmocnina z x 6 x... šestá odmocnina z x 7 x... sedmá odmocnina z x 8 x... osmá odmocnina z x 9 x... devátá odmocnina z x 0 x... desátá odmocnina z x x... jedenáctá odmocnina z x 2 x... dvanáctá odmocnina z x. 9 x... devatenáctá odmocnina z x 20 x... dvacátá odmocnina z x j, 9 x, 4 c, 7 p, 7 f, x, 4 o, 20 k, 3 z, 3 r, 5 a, 0 w, 2 q, 9 e, y, 8 m, 8 p, 5 q, 6 v, 4 a, 9 s, 2 u, 0 n, 3 3 w, d, 7 g, 7 4 t, i, b, 2 y, 9 x, 3 g, 0 p, 6 n, c, 5 e, 2 s, j, k, l, 9 a 9 y, 4 t, 6 z, 20 y, 6 k Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

46 ( x, ) Odmocniny 3 8, n n odmocnina z nuly 9... odmocnina z devíti... odmocnina z jedné 2... odmocnina ze dvou 3... odmocnina ze tří 4... odmocnina ze čtyř 5... odmocnina z pěti odmocnina z osmi 0... odmocnina z deseti odmocnina z dvaceti 2... odmocnina z dvaceti jedné odmocnina z dvaceti dvou odmocnina z devadesáti devíti 0, 5, 2, 6,, 2, 3, 8, 4, 6 50, 95, 3, 6, 23, 0 49, 84,, 66, 3 8, 52, 0, 80, 7 77,, 92, 3, 64, 29, 9 53, 42, 7, 3 0,, 2, 4 76, 2, 0 3 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

47 ( x, ) Odmocniny 3 8, n n... Při odmocňování čísel 00, 0, 02,... můžeme postupovat tak, že nedeklinujeme nebo deklinujeme pouze část. Nejčastěji poslední dvě číslice odmocnina z devět set osmdesát sedm milionů šest set padesát čtyři tisíc tři sta dvaceti jedné odmocnina z dvě stě dvou odmocnina ze sto dvacet tři milionů čtyři sta pět tisíc 32, 769, , , 55, 092, 8 080, 3 6, 7 3, 5 0, , 2, 8 9, , 20, 8 3, 5 2, 0 7, 4, 3 9 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

48 ( x, ) Odmocniny 3 8, n n... 3 x odmocnitel základ (odmocniny), číslo pod odmocninou Pod odmocninou je dvojka. Pod odmocninou je číslo dvě Základ odmocniny je dvojka. Odmocnitel je trojka Základ odmocniny je číslo dvě. Odmocnitel je číslo tři. Pokud je odmocnitel písmeno latinské abecedy, čteme ho následovně: n 5... n-tá odmocnina z pěti x 3... x-tá odmocnina ze tří Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

49 ( x, ) Odmocniny 3 8, n n... Pokud je výraz pod odmocninou složitější, deklinovat ho nemusíme. 2,5... odmocnina z čísla dvacet jedna celých pět desetin odmocnina z (výrazu/čísla) deset mínus jedenáct čtvrtin n 2 + 2n odmocnina z (výrazu/čísla) n na druhou plus dvě n plus čtyři Pokud je odmocnitel složitejší, čtěte odmocninu následujícím způsobem: 2n 2... Odmocnina. Odmocnitel je 2n, pod odmocninou je číslo dvě/dvojka. x2 + 3w Odmocnina. Odmocnitel je x 2 +, pod odmocninou je číslo/výraz tři w plus čtyři Odmocnina. Odmocnitel je sto dvacet sedm tisíc, pod odmocninou je číslo pět/pětka x0, n nn, 9 + 2, t 2 x8 3y 2, q+s k/2 23/456, 2 g+h, j 0, Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73 y e x

50 Logaritmy (log 0 2, ln x,...) log a x... logaritmus x při/o základu a, logaritmus x log x ( = log 0 x)... logaritmus x ln x ( = log e x)... přirozený logaritmus x, logaritmus x e... Eulerovo číslo, e = 2,78... log a b argument logaritmu základ logaritmu Argument logaritmu čteme stejně jako číslo pod odmocninou (2. pád). ln přirozený logaritmus dvě stě padesáti sedmi log logaritmus tři tisíce jedné při základu čtyři log logaritmus odmocniny ze dvou při základu dvě log a x + log a y = log a (xy), log a x log a y = log a ( x y ), c log a x = log a x c, ln 23, log , log a x = log a b log b x, log =? Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

51 Absolutní hodnota ( x, 0,...)... absolutní hodnota x číslo v absolutní hodnotě absolutní hodnota Číslo v absolutní hodnotě čteme stejně jako číslo pod odmocninou (2. pád). x... absolutní hodnota x... absolutní hodnota mínus jedné x absolutní hodnota výrazu/čísla x na druhou plus dvě absolutní hodnota třetí odmocniny z mínus dvou ln 4... absolutní hodnota přirozeného logaritmu čtyř ln 4... přirozený logaritmus absolutní hodnoty mínus čtyř 200, 35, q, x2 + 4x + 4 =?, 74 9, 2x, x2 = x, e s = e s,, log 3 8 =?, x + y x + y, x y = xy Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

52 Závorky ((), [], {}, ) (... kulatá závorka [... hranatá závorka {... složená závorka... špičatá/ostrá závorka ()... kulaté závorky []... hranaté závorky {}... složené závorky... špičaté/ostré závorky (... levá závorka )... pravá závorka (x), [x], {x}, x... x v závorce (x + ), [x + ], {x + }, x +... x plus jedna (to celé) v závorce (x + ) 3... x plus jedna to celé/v závorce krát tři ln(4x + 3)... logaritmus výrazu/čísla čtyři x plus tři ( + x) n... jedna plus x to celé na n-tou 6/(2 + 4)... šest děleno závorka dvě plus čtyři konec závorky (4/(x + y) + ) 5... čtyři děleno závorka x plus y konec závorky plus jedna to celé (v závorce) krát pět Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

53 Závorky ((), [], {}, ) (a + b) (a b) = a 2 b 2, (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2, 5(4r + 3h), [ ( ln )] e 3 =?, (m + n) l + m + n = (m + n) (l + ), ( ) { p/2 345 log r } [ ] 90 45, + e 2(3s g) 5 q , = 3, (x + a) w (log y 37 6u) Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

54 Přirozená čísla jako substantiva (= podstatná jména) Příklad: Na Palackého náměstí jede sedmnáctka (= tramvaj číslo sedmnáct).... { jedna, jednička, je číslo (number), je substantivum = podstatné jméno (noun) nula... jednička, jednotka... jedenáctka 2... dvojka 2... dvanáctka 3... trojka 3... třináctka 4... čtyřka 4... čtrnáctka 5... pětka 5... patnáctka 6... šestka 6... šestnáctka 7... sedmička 7... sedmnáctka 8... osmička 8... osmnáctka 9... devítka 9... devatenáctka 0... desítka dvacítka Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

55 Přirozená čísla jako substantiva (= podstatná jména) desítka dvacítka třicítka čtyřicítka padesátka { sto, stovka, 00 je číslo (number), 00 je substantivum = podstatné jméno (noun) šedesátka sedmdesátka osmdesátka devadesátka stovka Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

56 Přirozená čísla jako substantiva (= podstatná jména) 2... { dvacet jedna, dvacítka jednička, 2 je číslo (number), 2 je substantivum = podstatné jméno (noun). Při čtení čísel 2, 22, 23,..., 99 se používají následující dva způsoby: Číslo čteme zleva doprava. 2 (20 + )... dvacítka jednička 62 (60 + 2)... šedesátka dvojka 34 (30 + 4)... třicítka čtyřka 97 (90 + 7)... devadesátka sedmička 2 Číslo čteme jako při čtení jmenovatele zlomku (= zprava doleva). 2 ( + 20)... jedenadvacítka (jednaadvacítka) 62 (2 + 60)... dvaašedesátka 34 (4 + 30)... čtyřiatřicítka 97 (7 + 90)... sedmadevadesátka Příklad: Na Karlovo náměstí jede dvaadvacítka/dvacítka dvojka. Ale: Přijedu dvaadvacítkou/dvacítkou dvojkou. (7. pád) Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

57 Přirozená čísla jako substantiva (= podstatná jména) Čísla čteme následujícím způsobem: 2 (00 + 2)... sto dvacítka jednička 275 ( )... dvě stě sedmdesátka pětka Jména bankovek (200 Kč, 000 Kč, Kč,...): stovka (= kilo ) dvoustovka pětistovka tisícovka (= litr ) dvoutisícovka pětitisícovka Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

58 Množiny (R, x 0,, A B) {, a, +}... množina, která obsahuje prvky jedna, a, plus A = {, a, +}... Množina A obsahuje prvky jedna, a, plus. x A... x patří/náleží do množiny A (2. pád), x je v A,5 / A... (číslo) jedna celá pět desetin nepatří/nenáleží do množiny A (2. pád), (číslo) jedna celá pět desetin není v A A B... Množina A je podmnožinou množiny B (2. pád). A je v B. A B... Množina B je nadmnožinou množiny A (2. pád). A B... Množina A není podmnožinou množiny B (2. pád). A není v B. A B... průnik množin A a B, A průnik B A B... sjednocení množin A a B, A sjednoceno s B A \B... rozdíl množin A a B, A mínus B x A B... x patří do průniku množin A a B, x je v průniku množin A a B, x je v A a i v B Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

59 Množiny (R, x 0,, A B) Intervaly (0, )... otevřený interval od nuly do jedné 0,, [0, ]... uzavřený interval od nuly do jedné (a, b)... otevřený interval od a do b Číslo 0 je dolní mez intervalu a číslo je horní mez intervalu. Meze intervalu čteme jako číslo pod odmocninou (2. pád). (0,... zleva otevřený zprava uzavřený interval od nuly do jedné 0, )... zleva uzavřený zprava otevřený interval od nuly do jedné x (3,4)... x patří/náleží do otevřeného intervalu (2. pád) od tří do čtyř, x / (3,4)... x není v otevřeném intervalu (6. pád) od tří do čtyř Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

60 Množiny (R, x 0,, A B) x (2,3), q / [ 7, ], ( 3, 7) ( 2, 9), (c,d) {c, d} = c,d, {8, 5, 7} 4, 0), 0, 6 3, 5 =?, (8, 7 (7, 8) =?, (A B) \ C = (A \ C) (B \ C), (A B) \ C = (A \ C) (B \ C) Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

61 Množiny (R, x 0,, A B) Důležité množiny N... množina všech přirozených čísel (x N... x je přirozené) Z... množina všech celých čísel (x Z... x je celé) Q... množina všech racionálních čísel (x Q... x je racionální) R... množina všech reálných čísel (x R... x je reálné) R +... množina všech kladných reálných čísel (x R +... x je kladné) R... množina všech záporných reálných čísel (x R... x je záporné) R množina všech kladných reálných čísel a nuly R... rozšíření množiny všech reálných čísel (R = R {+, }) +... plus nekonečno,... mínus nekonečno C... množina všech komplexních čísel (x C... x je komplexní) C... rozšíření množiny všech komplexních čísel (C = C { })... nekonečno... prázdná množina Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

62 ( ) Úpravy zlomků 2 = 4 2 2, = 29 35,... Krácení a rozšiřování zlomků (krátit zlomek, rozšířit zlomek) Číslo, kterým krátíme/rozšiřujeme, čteme jako při dělení (7. pád) Zlomek dvě čtvrtiny zkrátíme dvěma (na tvar jedna polovina). 4 2 x3x x Zlomek x na třetí lomeno x na druhou zkrátíme x na druhou.... Zlomek tři sedminy rozšíříme třemi. Jak můžeme zkrátit zlomek ? Například dvěma na tvar 30 nebo deseti na tvar Převod zlomků na společného jmenovatele (převést zlomky na společného jmenovatele) = Zlomky tři sedminy a dvě pětiny převedeme na společného jmenovatele (třicet pět) Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

63 Čtení indexů ( a, x n, x (3),... ) Čtení indexů x... x jedna, x s dolním indexem jedna... dolní index x 2, x (2)... x dvě, x s horním indexem dvě 2, (2)... horní index x,2... x jedna dvě x n... x n Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

64 Rovnice, nerovnice ( x 2 + 2x 3 = 0, +x < x x,...) x 2 + 2x 3 = 0... rovnice (s neznámou x), x 2 = 2x + p... rovnice (s neznámou x a parametrem p), x 2 2x + p... nerovnice (s neznámou x a parametrem p) x 2 = 2x + p levá strana rovnice rovná se pravá strana rovnice x je neznámá. p je parametr. Na levé straně rovnice je (výraz/číslo) x 2. Na pravé straně rovnice je (výraz/číslo) 2x + p. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

65 Rovnice, nerovnice ( x 2 + 2x 3 = 0, +x < x x,...) Úpravy výrazů a rovnic x 2 = 2x 0 = x 2 2x Převedeme (výraz/číslo) x 2 z levé strany (rovnice) na pravou (převést). x 2 = 2x x 2 + 2x = 0 Převedeme (výraz/číslo) 2x z pravé strany (rovnice) na levou (převést). 2x 2 = 2x x = Vydělíme levou a/i pravou stranu (rovnice) číslem/výrazem 2x (vydělit). 2x = = 2x Vynásobíme levou a/i pravou stranu (rovnice) číslem/výrazem 2x (vynásobit). x 2 + 4x = 4 x 2 + 4x+y = 4+y K levé a/i pravé straně (rovnice) přičteme číslo y (přičíst). x 2 + 4x + 4 = 0 x 2 + 4x + 4 y = 0 y Od levé a/i pravé strany (rovnice) odečteme číslo y (odečíst). Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

66 Rovnice, nerovnice ( x 2 + 2x 3 = 0, +x < x x,...) Úpravy výrazů a rovnic x + = 0 x + = 0 Levou a/i pravou stranu (rovnice) umocníme na druhou (umocnit). (x + ) 2 = 0 x + = 0 Levou a/i pravou stranu (rovnice) odmocníme (odmocnit). 2 x = log 2 2 x = log 2 Levou a/i pravou stranu (rovnice) logaritmujeme (logaritmovat). log 2 2 x = log 2 2 x = Levou a/i pravou stranu (rovnice) odlogaritmujeme (odlogaritmovat). x 2 + 2x + = 0 (x + ) (x + ) = 0 Levou stranu rovnice převedeme na součin (převést). Levou stranu rovnice vyjádříme jako součin (vyjádřit). Levou stranu rovnice převedeme na tvar (x + ) (x + ). Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

67 Rovnice, nerovnice ( x 2 + 2x 3 = 0, +x < x x,...) Úpravy výrazů a rovnic log 2 2 x 2 = x =... Levou stranu (rovnice) zjednodušíme (na (tvar) x ). Výraz na levé straně (rovnice) zjednodušíme (zjednodušit). ln 2 ln x=a x + 3ln x + 2 = 0 = a 2 + 3a + 2 = 0 Provedeme substituci ln x = a (provést). Substituujeme ln x za a (substituovat). Označíme ln x jako a (označit). a 2 + 3a + 2 a= = Za a dosadíme číslo jedna. (dosadit). x 3 + 3x 2 + 2x = x ( x 2 + 3x + 2 ) Z výrazu vytkneme číslo x. (vytknout). Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

68 Seznam frází Převedeme (výraz/číslo) x z levé strany (rovnice) na pravou (převést). Převedeme (výraz/číslo) x z pravé strany (rovnice) na levou (převést). Vydělíme levou a/i pravou stranu (rovnice) číslem/výrazem x (vydělit). Vynásobíme levou a/i pravou stranu (rovnice) číslem/výrazem x (vynásobit). K levé a/i pravé straně (rovnice) přičteme číslo x (přičíst). Od levé a/i pravé strany (rovnice) odečteme číslo x (odečíst). Levou a/i pravou stranu (rovnice) umocníme na druhou (umocnit). Levou a/i pravou stranu (rovnice) odmocníme (odmocnit). Levou a/i pravou stranu (rovnice) (od)logaritmujeme ((od)logaritmovat). Levou stranu rovnice vyjádříme/napíšeme jako součin/podíl/mocninu/logaritmus (vyjádřit/napsat). Levou stranu rovnice převedeme na tvar... (převést). Levou stranu (rovnice) zjednodušíme (na (tvar)...) (zjednodušit). Výraz na levé straně (rovnice) zjednodušíme (zjednodušit). Provedeme substituci ln x = a (provést). Substituujeme ln x za a (substituovat). Označíme ln x jako a (označit). Za x dosadíme číslo jedna (dosadit). Z výrazu vytkneme číslo x (vytknout). Řešením rovnice je číslo x =. Řešením nerovnice jsou všechna čísla x z otevřeného intervalu od nuly do jedné. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

69 Rovnice, nerovnice ( x 2 + 2x 3 = 0, +x < x x,...) Popis postupu řešení rovnice 3x 2 = 6 3x (s neznámou x R) Máme řešit rovnici 3x 2 = 6 3x. 2 3 x 2 = x... Levou i pravou stranu rovnice vydělíme třemi. 3 x 2 = 2 x x 2 +x 2 = 0... Výraz dvě mínus x převedeme z pravé strany na levou. Převedeme všechno/vše na levou stranu. 4 x 2 + x 2 = 0 (x + 2) (x ) = 0... Levou stranu převedeme na součin x plus dva krát x mínus jedna. 5 x = 2 nebo x =... Řešením rovnice jsou čísla mínus dvě a jedna. Rovnici řeší čísla mínus dvě a jedna. Rovnice má dvě řešení, čísla mínus dvě a jedna. x = 2, x 2 =... Řešením rovnice jsou čísla x jedna a x dvě, kde x jedna se rovná mínus dvě a x dvě se rovná jedna. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

70 Rovnice, nerovnice ( x 2 + 2x 3 = 0, +x < x x,...) Popis postupu řešení nerovnice 2 (x 2)2 < 6 (s neznámou x R). Řešíme nerovnici 2 (x 2)2 < (x 2)2 < 6 log 2 2 (x 2)2 < log Levou a pravou stranu rovnice logaritmujeme (logaritmem při základu dvě). 3 log 2 2 (x 2)2 < log 2 6 (x 2) 2 < 4... Levou i pravou stranu rovnice zjednodušíme. Obě strany rovnice zjednodušíme. 4 (x 2) 2 < 4 x 2 < 2... Levou a pravou stranu rovnice odmocníme. 5 x > 0 a zároveň x < 4... Řešením rovnice jsou všechna čísla x (, která jsou) větší než nula a zároveň menší než čtyři. Řešením rovnice jsou všechna x z otevřeného intervalu od nuly do čtyř (všechna x (0, 4)). Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

71 Rovnice, nerovnice ( x 2 + 2x 3 = 0, +x < x x,...) Popis postupu řešení nerovnice 4x 3 7+x Máme řešit nerovnici 4x 3 7+x > 0. 2 > 0 (s neznámou x R). 4x 3 7+x > x 0 x 7 Určíme, pro která x má zlomek smysl. Určíme, za jakých podmínek má zlomek smysl. Zlomek má smysl pro (všechna) x různá od mínus sedmi. 3 4x 3 = 0 nebo 7 + x = 0 x = 3 4 nebo x = 7... Určíme/nalezneme nulové body čitatele a jmenovatele. x = nulový bod 4 x < 7 4x 3 7+x > 0, x ( 7, 3 4 ) 4x 3 7+x < 0, x > 3 4 4x 3 7+x > 0 Určíme, znaménka zlomku v intervalech (, 7), ( 7, 3 4 ) a ( 3 4, + ). Určíme, kdy je zlomek kladý a kdy (je) záporný. 5 x (, 7) ( 3 4, + )... Řešením rovnice jsou všechna čísla x ze sjednocení otevřeného intervalu od mínus nekonečna do mínus sedmi s otevřeným intervalem od tří čtvrtin do plus nekonečna. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

72 Rovnice, nerovnice ( x 2 + 2x 3 = 0, +x < x x,...) Popis postupu řešení rovnice x 2 = 2 x (s neznámou x R) Řešíme rovnici x 2 = 2 x. 2 a)... x 2 0, b)... x 2 > 0... Rozdělíme řešení na dva případy. 3 a) x 2 0 x 2 = (x 2) = 2 x... Za a. Pokud je výraz x mínus dvě menší nebo roven nula, zjednoduší se absolutní hodnota čísla x mínus dvě na tvar dvě mínus x. 4 b) x 2 > 0 x 2 =x 2 Za b. Pokud je výraz x mínus dvě větší než nula, zjednoduší se absolutní hodnota čísla x mínus dvě na tvar x mínus dvě. Za b. Pro x mínus dva větší než nula se absolutní hodnota z x 2 rovná x mínus dvě. 5 x 2... Řešením rovnice jsou všechna čísla x menší nebo rovna dvě. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73

73 Rovnice, nerovnice ( x 2 + 2x 3 = 0, +x < x x,...) Popis postupu řešení rovnice xp = 0 s neznámou x R a parametrem p R Řešíme rovnici xp = 0 s parametrem p R. 2 a)... p = 0, b)... p 0 V závislosti na hodnotě parametru p rozdělíme řešení na případy a a b (rozdělit). Rozlišíme následující dva případy: p je nula a p není nula. Rozdělíme řešení na případ, kdy p je nula, a případ, kdy p je různé od nuly. 3 a) p = 0 0 x = 0 x R Za a. Pokud je p nula, dostáváme rovnici nula x se rovná nula, takže řešením jsou všechna reálná x. 4 b) p 0 x p = 0 x = 0 Za b. Pro p různé od nuly vydělíme levou i pravou stranu rovnice (číslem) p, takže dostáváme, že x je nula. 5 Pro p 0 (různé od nuly) má rovnice řešení x = 0 (x se rovná nula) a pro p = 0 (p se rovná nula) rovnici řeší všechna x R (reálná x). Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu / 73