Zlín, 23. října 2011
|
|
|
- Vítězslav Doležal
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 (. -. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 3. října 0
2 Postup při vyšetřování průběhu funkce. Definiční obor funkce, funkce sudá, lichá, periodická. Výpočet limit v krajních bodech definičního oboru, tzn. v nevlastních bodech a v bodech, kde není funkce definována (jednostranné limity) 3. Průsečíky grafu funkce s osami x, y, znaménka funkčních hodnot 4. Výpočet. derivace, nulové body. derivace a body, ve kterých neexistuje.derivace 5. Lokální extrémy, intervaly monotónnosti 6. Výpočet. derivace, nulové body. derivace a body, ve kterých neexistuje.derivace 7. Inflexní body, intervaly konvexnosti a konkávnosti 8. Asymptoty 9. Graf funkce
3 Vyšetřete průběhy funkcí: a) f : y = x 3 6x + 9x, b) f : y = x x.
4 f(x) = x 3 6x + 9x
5 f(x) = x 3 6x + 9x Funkce f(x) je polynom 3. stupně, tedy funkce spojitá.. D f = R
6 f(x) = x 3 6x + 9x Funkce x 3 a x jsou liché funkce, x je sudá funkce, tedy funkce f(x) nemůže mít ani jednu z těchto vlastností. Tzn.: x D f \{0} : f( x) f(x), f( x) f(x).. D f = R f( x) = x 3 6x 9x ani lichá ani sudá funkce
7 f(x) = x 3 6x + 9x Funkce f je definována pro všechna x R, počítáme pouze limity funkce v a +.. D f = R f( x) = x 3 6x 9x ani lichá ani sudá funkce (. lim x 3 6x + 9x ) = x ±
8 f(x) = x 3 6x + 9x Při výpočtu vytýkáme člen s největší mocninou.. D f = R f( x) = x 3 6x 9x ani lichá ani sudá funkce (. lim x 3 6x + 9x ) = lim x ± x ± x3 ( 6 x + ) 9 x =
9 f(x) = x 3 6x + 9x Výsledná limita závisí pouze na limitě členu s největší mocninou.. D f = R f( x) = x 3 6x 9x ani lichá ani sudá funkce (. lim x 3 6x + 9x ) = lim x ± x ± x3 ( 6 x + ) 9 x = ±
10 f(x) = x 3 6x + 9x Řešením rovnice f(x) = 0 hledáme průsečíky grafu funkce f s osou x.. D f = R f( x) = x 3 6x 9x ani lichá ani sudá funkce (. lim x 3 6x + 9x ) = lim x ± x ± x3 ( 6 x + ) 9 x = ± 3. x 3 6x + 9x = 0
11 f(x) = x 3 6x + 9x Řešením rovnice f(x) = 0 hledáme průsečíky grafu funkce f s osou x.. D f = R f( x) = x 3 6x 9x ani lichá ani sudá funkce (. lim x 3 6x + 9x ) = lim x ± x ± x3 ( 6 x + ) 9 x = ± 3. x 3 6x + 9x = 0 x(x 3) = 0
12 f(x) = x 3 6x + 9x Řešením rovnice f(x) = 0 hledáme průsečíky grafu funkce f s osou x.. D f = R f( x) = x 3 6x 9x ani lichá ani sudá funkce (. lim x 3 6x + 9x ) = lim x ± x ± x3 ( 6 x + ) 9 x = ± 3. x 3 6x + 9x = 0 x(x 3) = 0 x = 0 x = 3
13 f(x) = x 3 6x + 9x Dosazením x = 0 do předpisu funkce f získáme její průsečík s osou y.. D f = R f( x) = x 3 6x 9x ani lichá ani sudá funkce (. lim x 3 6x + 9x ) = lim x ± x ± x3 ( 6 x + ) 9 x = ± 3. x 3 6x + 9x = 0 x(x 3) = 0 x = 0 x = 3 x = 0 f(0) = 0
14 f(x) = x 3 6x + 9x Zakreslíme průsečíky x = 0 a x = 3 na osu x, body nespojitosti funkce f nemá.. D f = R f( x) = x 3 6x 9x ani lichá ani sudá funkce (. lim x 3 6x + 9x ) = lim x ± x ± x3 ( 6 x + ) 9 x = ± 3. x 3 6x + 9x = 0 x(x 3) = 0 x = 0 x = 3 x = 0 f(0) = 0 0 3
15 f(x) = x 3 6x + 9x Vyznačíme intervaly, na kterých funkce f nabývá kladných hodnot a intervaly, na kterých funkce f nabývá záporných hodnot.. D f = R f( x) = x 3 6x 9x ani lichá ani sudá funkce (. lim x 3 6x + 9x ) = lim x ± x ± x3 ( 6 x + ) 9 x = ± 3. x 3 6x + 9x = 0 x(x 3) = 0 x = 0 x = 3 x = 0 f(0) = 0 0 3
16 f(x) = x 3 6x + 9x Znaménka funkce spolu s nulovými body určují, jak se funkční hodnoty mění z kladných na záporné nebo naopak.. D f = R f( x) = x 3 6x 9x ani lichá ani sudá funkce (. lim x 3 6x + 9x ) = lim x ± x ± x3 ( 6 x + ) 9 x = ± 3. x 3 6x + 9x = 0 x(x 3) = 0 x = 0 x = 3 x = 0 f(0) = 0 0 3
17 f(x) = x 3 6x + 9x 0 3 Vypočteme derivaci. 4. f (x) = 3x x + 9
18 f(x) = x 3 6x + 9x 0 3 Hledáme řešení rovnice f (x) = f (x) = 3x x + 9 f (x) = 0
19 f(x) = x 3 6x + 9x 0 3 Dosazením za derivaci řešíme kvadratickou rovnici. 4. f (x) = 3x x + 9 f (x) = 0 3x x + 9 = 0
20 f(x) = x 3 6x + 9x 0 3 Upravíme. 4. f (x) = 3x x + 9 f (x) = 0 3x x + 9 = 0 3(x )(x 3) = 0
21 f(x) = x 3 6x + 9x 0 3 Rovnice f (x) = 0 má dvě řešení, funkce f má dva stacionární body x =, x = 3. Body, kde derivace neexistuje, nejsou. 4. f (x) = 3x x + 9 f (x) = 0 3x x + 9 = 0 3(x )(x 3) = 0 x = x = 3
22 f(x) = x 3 6x + 9x 0 3 Nakreslíme osu x a stacionární body. 4. f (x) = 3x x f (x) = 0 3x x + 9 = 0 3(x )(x 3) = 0 x = x = 3 3
23 f(x) = x 3 6x + 9x 0 3 Dosazením x = 0 zjistíme, že f (0) > 0, a tedy funkce f je rostoucí na intervalu (,. 4. f (x) = 3x x f (x) = 0 3x x + 9 = 0 3(x )(x 3) = 0 x = x = 3 3
24 f(x) = x 3 6x + 9x 0 3 Dosazením x = zjistíme, že f () < 0, a tedy funkce f je klesající na intervalu, f (x) = 3x x f (x) = 0 3x x + 9 = 0 3(x )(x 3) = 0 x = x = 3 3
25 f(x) = x 3 6x + 9x 0 3 Zadaná funkce má v bodě x = lokální maximum. Funkční hodnota je f() = f (x) = 3x x f (x) = 0 3x x + 9 = 0 3(x )(x 3) = 0 x = x = 3 MAX 3
26 f(x) = x 3 6x + 9x 0 3 Dosazením x = 4 zjistíme, že f (4) > 0, a tedy funkce f je rostoucí na intervalu 3, ). 4. f (x) = 3x x f (x) = 0 3x x + 9 = 0 3(x )(x 3) = 0 x = x = 3 MAX 3
27 f(x) = x 3 6x + 9x 0 3 Zadaná funkce má v bodě x = 3 lokální minimum. Funkční hodnota je f(3) = f (x) = 3x x f (x) = 0 3x x + 9 = 0 3(x )(x 3) = 0 x = x = 3 MAX min 3
28 f(x) = x 3 6x + 9x MAX min Vypočteme druhou derivaci. 6. f (x) = 6x
29 f(x) = x 3 6x + 9x MAX min Hledáme řešení rovnice f (x) = f (x) = 6x f (x) = 0
30 f(x) = x 3 6x + 9x MAX min Dosadíme a zderivujeme. 6. f (x) = 6x f (x) = 0 6x = 0
31 f(x) = x 3 6x + 9x MAX min Bod x = je nulový bod. derivace, body, kde neexistuje. derivace nejsou. 6. f (x) = 6x f (x) = 0 6x = 0 x =
32 f(x) = x 3 6x + 9x MAX min Na osu x vyneseme bod x =. 6. f (x) = 6x 7. f (x) = 0 6x = 0 x =
33 f(x) = x 3 6x + 9x MAX min Dosazením např. x = 0 zjistíme, že f (x) < 0 na intervalu (, ). Tzn., že funkce f je zde konkávní. 6. f (x) = 6x 7. f (x) = 0 6x = 0 x =
34 f(x) = x 3 6x + 9x MAX min Dosazením x = 3 zjistíme, že f (x) > 0 na intervalu (, ). Navíc v bodě x = 3 je lok. minimum, tzn., že funkce f musí být konvexní na intervalu (, ). 6. f (x) = 6x 7. f (x) = 0 6x = 0 x =
35 f(x) = x 3 6x + 9x MAX min Bod x = je inflexním bodem funkce f, f() =. 6. f (x) = 6x 7. f (x) = 0 6x = 0 x = infl.
36 f(x) = x 3 6x + 9x MAX min infl. Určíme asymptotu se směrnicí ke grafu funkce f pro x +. f(x) 8. k = lim x + x
37 f(x) = x 3 6x + 9x MAX min infl. Určíme asymptotu se směrnicí ke grafu funkce f pro x +. f(x) ( 8. k = lim x + x = lim x 6x + 9 ) x +
38 f(x) = x 3 6x + 9x MAX min infl. Asymptota pro x + neexistuje. f(x) ( 8. k = lim x + x = lim x 6x + 9 ) = + x +
39 f(x) = x 3 6x + 9x MAX min infl. Určíme asymptotu se směrnicí ke grafu funkce f pro x. f(x) ( 8. k = lim x + x = lim x 6x + 9 ) = + x + k = f(x) lim x x
40 f(x) = x 3 6x + 9x MAX min infl. Určíme asymptotu se směrnicí ke grafu funkce f pro x. f(x) 8. k = lim x + x = lim k = x + f(x) lim x x = lim x ( x 6x + 9 ) = + ( x 6x + 9 )
41 f(x) = x 3 6x + 9x MAX min infl. Asymptota pro x neexistuje. f(x) 8. k = lim x + x = lim k = x + f(x) lim x x = lim x ( x 6x + 9 ) = + ( x 6x + 9 ) = +
42 f(x) = x 3 6x + 9x MAX min infl. Asymptoty se směrnicí graf nemá. Asymptoty bez směrnice taky neexistují, protože D f = R a funkce f je všude spojitá. f(x) 8. k = lim x + x = lim k = x + f(x) lim x x = lim x ( x 6x + 9 ) = + ( x 6x + 9 ) = + asymptoty se směrnicí ani bez směrnice neexistují
43 f(x) = x 3 6x + 9x MAX min infl. Načrtneme graf funkce f. Zakreslíme souřadný systém. y x 3 4
44 f(x) = x 3 6x + 9x MAX min infl. Vyneseme průsečíky s osami, znaménka funkce rozhodují o tom, jak se funkční hodnoty mění z kladných na záporné nebo naopak. y x 3 4
45 f(x) = x 3 6x + 9x MAX min infl. Vypočítali jsme limity lim f(x) = ±. Částečně si je můžeme naznačit do grafu. x ± y x 3 4
46 f(x) = x 3 6x + 9x MAX min infl. Zjistili jsme lokální extrémy. V bodě x = je lokální maximum, jeho hodnota je f() = 4. V bodě x = 3 má funkce lokální minimum, f(3) = 0. y 4 LMAX LMIN x 3 4
47 f(x) = x 3 6x + 9x MAX min infl. V bodě x = má funkce f inflexi, f() =. y 4 LMAX 3 IB LMIN x 3 4
48 f(x) = x 3 6x + 9x MAX min infl. Na intervalu (, ) je funkce f rostoucí a konkávní. y 4 LMAX 3 IB LMIN x 3 4
49 f(x) = x 3 6x + 9x MAX min infl. Na intervalu (, ) je funkce f klesající a konkávní. y 4 LMAX 3 IB LMIN x 3 4
50 f(x) = x 3 6x + 9x MAX min infl. Na intervalu (, 3) je funkce f klesající a konvexní. y 4 LMAX 3 IB LMIN x 3 4
51 f(x) = x 3 6x + 9x MAX min infl. Na intervalu (3, ) je funkce f rostoucí a konvexní. 4 y LMAX f 3 IB LMIN x 3 4
52 f(x) = x x
53 f(x) = x x Určujeme definiční obor. Jmenovatel zlomku musí být různý od nuly.. D f = R\{}
54 f(x) = x x Funkce nemá symetrický definiční obor, proto není ani sudá ani lichá.. D f = R\{} ani lichá ani sudá funkce
55 f(x) = x x Počítáme limity funkce v a +.. D f = R\{} ani lichá ani sudá funkce x. lim x ± x =
56 f(x) = x x Při výpočtu vytýkáme člen s největší mocninou z čitatele i jmenovatele.. D f = R\{} ani lichá ani sudá funkce x. lim x ± x = lim x x ± x ( ) = x
57 f(x) = x x Po vykrácení čitatele se jmenovatelem získáme výsledek. Limita čitatele je + nebo a jmenovatele.. D f = R\{} ani lichá ani sudá funkce x. lim x ± x = lim x ± x x ( x ) = lim x ± x = ± x
58 f(x) = x x Vypočítáme limity zleva i zprava v bodě nespojitosti x =.. D f = R\{} ani lichá ani sudá funkce. lim x ± lim x ± x x = lim x ± x x = x x ( x ) = lim x ± x x = ±
59 f(x) = x x Při výpočtu využijeme pravidlo pro výpočet limity součinu.. D f = R\{} ani lichá ani sudá funkce. lim x ± lim x ± x x = lim x ± x x = lim x ± x x x ( x x = ) = lim x ± x x = ±
60 f(x) = x x Limita funkce x je. O hodnotě limity funkce x rozhodneme např. z jejího grafu.. D f = R\{} ani lichá ani sudá funkce. lim x ± lim x ± x x = lim x ± x x = lim x ± x x ) = lim x ± x ( x x = lim x ± x x x = ± = ±
61 f(x) = x x Řešením rovnice f(x) = 0 hledáme průsečíky grafu funkce f s osou x.. D f = R\{} ani lichá ani sudá funkce. lim x ± 3. lim x ± x x x = 0 x = lim x ± x x = lim x ± x x ) = lim x ± x ( x x = lim x ± x x x = ± = ±
62 f(x) = x x Zlomek je roven 0, právě když je čitatel roven 0.. D f = R\{} ani lichá ani sudá funkce. lim x ± 3. lim x ± x x = lim x ± x x = lim x ± x x x = 0 x = 0; x ) = lim x ± x ( x x = lim x ± x x x = ± = ±
63 f(x) = x x Dosazením x = 0 do předpisu funkce f získáme její průsečík s osou y.. D f = R\{} ani lichá ani sudá funkce. lim x ± 3. lim x ± x x = lim x ± x x = lim x ± x x ) = lim x ± x ( x x = lim x ± x = 0 x = 0; x = 0 f(0) = 0 x x x x = ± = ±
64 f(x) = x x Zakreslíme průsečík x = 0 s osou x a bod nespojitosti x =.. D f = R\{} ani lichá ani sudá funkce. lim x ± 3. lim x ± x x = lim x ± x x = lim x ± x x ) = lim x ± x ( x x = lim x ± x = 0 x = 0; x = 0 f(0) = 0 x x x x = ± = ± 0
65 f(x) = x x Vyznačíme intervaly, na kterých funkce f nabývá kladných hodnot a intervaly, na kterých funkce f nabývá záporných hodnot.. D f = R\{} ani lichá ani sudá funkce. lim x ± 3. lim x ± x x = lim x ± x x = lim x ± x x ) = lim x ± x ( x x = lim x ± x = 0 x = 0; x = 0 f(0) = 0 x x x x = ± = ± 0
66 f(x) = x x 0 Vypočteme derivaci funkce f s využitím pravidla pro derivování podílu funkcí a upravíme. 4. f (x) = x (x ) x (x ) = x x (x )
67 f(x) = x x 0 Hledáme řešení rovnice f (x) = f (x) = x (x ) x (x ) = x x (x ) f (x) = 0
68 f(x) = x x 0 Dosadíme a vytkneme x v čitateli. 4. f (x) = x (x ) x (x ) = x x (x ) f (x) = 0 x (x ) (x ) = 0
69 f(x) = x x 0 Rovnice f (x) = 0 má dvě řešení, funkce f má dva stacionární body x = 0, x =. Derivace funkce f není definována pro x =. 4. f (x) = x (x ) x (x ) = x x (x ) f (x) = 0 x (x ) (x ) = 0 x = 0 x =
70 f(x) = x x 0 Nakreslíme osu x a stacionární body. Vyznačíme i bod nespojitosti. derivace. 4. f (x) = x (x ) x (x ) = x x (x ) 5. f (x) = 0 x (x ) (x ) = 0 x = 0 x = 0
71 f(x) = x x 0 Dosazením x = zjistíme, že f ( ) > 0, a tedy funkce f je rostoucí na intervalu (, f (x) = x (x ) x (x ) = x x (x ) 5. f (x) = 0 x (x ) (x ) = 0 x = 0 x = 0
72 f(x) = x x 0 Dosazením x = zjistíme, že f ( ) < 0, a tedy funkce f je klesající na intervalu 0, ). 4. f (x) = x (x ) x (x ) = x x (x ) 5. f (x) = 0 x (x ) (x ) = 0 x = 0 x = 0
73 f(x) = x x 0 Zadaná funkce má v bodě x = 0 lokální maximum. Funkční hodnota je f(0) = f (x) = x (x ) x (x ) = x x (x ) 5. f (x) = 0 x (x ) (x ) = 0 x = 0 x = MAX 0
74 f(x) = x x 0 Dosazením x = 3 zjistíme, že f ( 3 ) < 0, a tedy funkce f je klesající na intervalu (,. 4. f (x) = x (x ) x (x ) = x x (x ) 5. f (x) = 0 x (x ) (x ) = 0 x = 0 x = MAX 0
75 f(x) = x x 0 Dosazením x = 3 zjistíme, že f (3) > 0, a tedy funkce f je rostoucí na intervalu, ). 4. f (x) = x (x ) x (x ) = x x (x ) 5. f (x) = 0 x (x ) (x ) = 0 x = 0 x = MAX 0
76 f(x) = x x 0 Zadaná funkce má v bodě x = lokální minimum. Funkční hodnota je f() = f (x) = x (x ) x (x ) = x x (x ) 5. f (x) = 0 x (x ) (x ) = 0 x = 0 x = MAX min 0
77 f(x) = x MAX min x 0 0 Vypočteme druhou derivaci s využitím pravidla pro derivování podílu funkcí a upravíme. 6. f (x) = ( x x (x ) ) = (x )(x ) (x x) (x ) (x ) 4 = (x ) 3
78 f(x) = x MAX min x 0 0 Hledáme řešení rovnice f (x) = f (x) = ( x x (x ) ) = (x )(x ) (x x) (x ) (x ) 4 = (x ) 3 f (x) = 0
79 f(x) = x MAX min x 0 0 Dosadíme. 6. f (x) = ( x x (x ) ) = (x )(x ) (x x) (x ) (x ) 4 = (x ) 3 f (x) = 0 (x ) 3 = 0
80 f(x) = x MAX min x 0 0 Pro každé x D f je f (x) 0. Nulové body. derivace nemá, bod x = je bod, kde funkce není definována. 6. f (x) = ( x x (x ) ) = (x )(x ) (x x) (x ) (x ) 4 = (x ) 3 f (x) = 0 (x ) 3 = 0 f (x) 0 x R\{}
81 f(x) = x MAX min x 0 0 Na osu x vyneseme bod x =. Tento bod určuje intervaly (, ), (, + ). 6. f (x) = 7. ( x x (x ) ) = (x )(x ) (x x) (x ) (x ) 4 = (x ) 3 f (x) = 0 (x ) 3 = 0 f (x) 0 x R\{}
82 f(x) = x MAX min x 0 0 Dosazením např. x = 0 zjistíme, že f (x) < 0 na intervalu (, ). Tzn., že funkce f je zde konkávní. 6. f (x) = 7. ( x x (x ) ) = (x )(x ) (x x) (x ) (x ) 4 = (x ) 3 f (x) = 0 (x ) 3 = 0 f (x) 0 x R\{}
83 f(x) = x MAX min x 0 0 Dosazením x = zjistíme, že f (x) > 0 na intervalu (, ). Navíc v bodě x = je lok. minimum, tzn., že funkce f musí být konvexní na intervalu (, ). 6. f (x) = 7. ( x x (x ) ) = (x )(x ) (x x) (x ) (x ) 4 = (x ) 3 f (x) = 0 (x ) 3 = 0 f (x) 0 x R\{}
84 f(x) = x MAX min x 0 0 Bod x = není inflexním bodem funkce f, D f. 6. f (x) = 7. ( x x (x ) ) = (x )(x ) (x x) (x ) (x ) 4 = (x ) 3 f (x) = 0 (x ) 3 = 0 f (x) 0 x R\{} není infl.
85 f(x) = x MAX min x 0 0 není infl. Určíme asymptoty se směrnicí ke grafu funkce f pro x + i x. Počítáme směrnici asymptoty y = k x + q ke grafu funkce f pro x +. f(x) 8. k = lim x + x
86 f(x) = x MAX min x 0 0 není infl. Počítáme směrnici k asymptoty y = k x + q ke grafu funkce f pro x +. f(x) x 8. k = lim x + x = lim x + x
87 f(x) = x MAX min x 0 0 není infl. Směrnice asymptoty pro x + je k =. f(x) x 8. k = lim x + x = lim x + x =
88 f(x) = x MAX min x 0 0 není infl. Počítáme směrnici k asymptoty y = k x + q ke grafu funkce f pro x. f(x) x 8. k = lim x + x = lim x + x = f(x) k = lim x x
89 f(x) = x MAX min x 0 0 není infl. Počítáme směrnici k asymptoty y = k x + q ke grafu funkce f pro x. f(x) 8. k = lim x + x = lim x + f(x) k = lim x x = lim x x x = x x
90 f(x) = x MAX min x 0 0 není infl. Směrnice asymptoty pro x je k =. f(x) 8. k = lim x + x = lim x + f(x) k = lim x x = lim x x x = x x =
91 f(x) = x MAX min x 0 0 není infl. Počítáme q pro asymptotu y = k x + q. f(x) 8. k = lim x + x = lim x + f(x) k = lim x x = lim x q = lim x + (f(x) k x) x x = x x =
92 f(x) = x MAX min x 0 0 není infl. Počítáme q pro asymptotu y = k x + q. f(x) 8. k = lim x + x = lim x + f(x) k = lim x x = lim x q = lim x + (f(x) k x) = lim x + x x = x x = [ ] x x x
93 f(x) = x MAX min x 0 0 není infl. Počítáme q pro asymptotu y = k x + q. f(x) 8. k = lim x + x = lim x + f(x) k = lim x x = lim x q = lim x + (f(x) k x) = lim x + x x = x x = [ ] x x x = lim x + x x =
94 f(x) = x MAX min x 0 0 není infl. Podobně se vypočítá q pro asymptotu y = k x + q. f(x) 8. k = lim x + x = lim x + f(x) k = lim x x = lim x q = lim x + (f(x) k x) = lim x + q = lim x (f(x) k x) = x x = x x = [ ] x x x = lim x + x x =
95 f(x) = x MAX min x 0 0 není infl. Existuje jediná asymptota se směrnicí, přímka y = x +. f(x) 8. k = lim x + x = lim x + f(x) k = lim x x = lim x q = lim x + (f(x) k x) = lim x + q = lim x (f(x) k x) = x x = x x = [ ] x x x = lim x + asymptota se směrnicí: y = k x + q = k x + q = x + x x =
96 f(x) = x MAX min x 0 0 není infl. x Protože lim = ±, má graf funkce f také asymptotu bez směrnice, přímku x =. x ± x f(x) 8. k = lim x + x = lim x + f(x) k = lim x x = lim x q = lim x + (f(x) k x) = lim x + q = lim x (f(x) k x) = x x = x x = [ ] x x x = lim x + asymptota se směrnicí: y = k x + q = k x + q = x + asymptota bez směrnice: x = x x =
97 f(x) = x MAX min x 0 0 není infl. Načrtneme graf funkce f. Zakreslíme souřadný systém. y x 3
98 f(x) = x MAX min x 0 0 není infl. Vyneseme průsečík s osou x, znaménka funkce rozhodují o tom, jak se funkční hodnoty mění z kladných na záporné nebo naopak. y x 3
99 f(x) = x MAX min x 0 0 není infl. Vypočítali jsme limity lim f(x) = ±. Částečně si je můžeme naznačit do grafu společně x ± s asymptotou se směrnicí y = x +. y x 3
100 f(x) = x MAX min x 0 0 není infl. Vypočítali jsme limity lim f(x) = ±. Částečně si je můžeme naznačit do grafu společně x ± s asymptotou bez směrnice x =. y x 3
101 f(x) = x MAX min x 0 0 není infl. Zjistili jsme lokální extrémy. V bodě x = 0 je lokální maximum, jeho hodnota je f(0) = 0. V bodě x = má funkce lokální minimum, f() = 4. Inflexní body funkce f nemá. y 5 4 LMIN 3 LMAX x 3
102 f(x) = x MAX min x 0 0 není infl. Na intervalu (, 0) je funkce f rostoucí a konkávní. y 5 4 LMIN 3 LMAX x 3
103 f(x) = x MAX min x 0 0 není infl. Na intervalu (0, ) je funkce f klesající a konkávní. y 5 4 LMIN 3 LMAX x 3
104 f(x) = x MAX min x 0 0 není infl. Na intervalu (, ) je funkce f klesající a konvexní. y 5 4 LMIN 3 LMAX x 3
105 f(x) = x MAX min x 0 0 není infl. Na intervalu (, ) je funkce f rostoucí a konvexní. 5 y f 4 LMIN 3 LMAX x 3
106 Úlohy na procvičení Příklad Vyšetřete průběhy funkcí: a) f : y = x 3 x, b) f : y = x 4 6x + 5, c) f : y = x3 x, d) f : y = x 3 (x ) 3.
Výsledky Př.1. Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkce a) ( ) ( ) ( ) Stacionární body:
Výsledky Př.. Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkce a) y < y > y < y > -2 0 3 Funkce je rostoucí v intervalech. Funkce je klesající v intervalech b) y < y > y < - Funkce je rostoucí v
Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6
Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly
Mocninná funkce: Příklad 1
Mocninná funkce: Příklad 1 Zadání: Vyšetřete průběh mocninné funkce. Řešení: 1. Jako první si určíme definiční obor: D(f)=R. 2. Nyní si spočítáme zda je daná funkce sudá nebo lichá: Daná funkce je lichá.
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =
Průběh funkce 1. Průběh funkce. Při vyšetření grafu funkce budeme postupovat podle následujícího algoritmu:
Průběh funkce Průběh funkce Při vyšetření grafu funkce budeme postupovat podle následujícího algoritmu:. Určení definičního oboru. 2. Rozhodnutí, jestli je funkce sudá, lichá, periodická nebo nemá ani
Základy matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 10. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 016/017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 016/017 1 / 1 Použití derivace pro vyšetřování průběhu funkce
Aplikace derivace a průběh funkce
Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného
10. cvičení - LS 2017
10. cvičení - LS 2017 Michal Outrata Příklad 1 Spočtěte následující itu daných posloupností: (a) (b) (c) n 3 +5n 2 n 3 6n 2 +3 n ; n 4 3n 2 6 n 4 + 3n 2 + 6; n 2 15n+2(1 n). 2(n 2) 3 2n 3 Příklad 2 Pro
Konvexnost, konkávnost
20. srpna 2007 1. f = x 3 12x 2. f = x 2 e x 3. f = x ln x Příklad 1. Určete intervaly, na kterých je funkce konvexní a konkávní a určete inflexní body f = x 3 12x Příklad 1. f = x 3 12x Řešení: Df = R
Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, )
Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (, ) a konkávní na intervalu (, ). Inflexní bod c =. 3 1 1 y = x 3 9x
Pavlína Matysová. 5. listopadu 2018
Soubor řešených úloh Vyšetřování průběhu funkce Pavlína Matysová 5. listopadu 018 1 Soubor řešených úloh Tento text obsahuje 7 úloh na téma vyšetřování průběhu funkce. Každé úloha je řešena dvěma způsoby
PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny
Digitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/4.080 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím
Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy
Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)
Stručný přehled učiva
Stručný přehled učiva TU1M2 Matematika 2 pro LP17, LP18 4. Aplikace diferenciálního počtu 4.1 Rovnice tečny a normály Má-li funkce v bodě vlastní derivaci, pak je to směrnice tečny grafu funkce v tečném
LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Průběh funkce ZVMT lesnictví 1 / 21
Průběh funkce Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
Kapitola 4: Průběh funkce 1/11
Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající
Kapitola 4: Průběh funkce 1/11
Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající
D(f) =( 1, 1) [ ( 1, 1) [ (1, 1). 2( x)3 ( x) 2 1 = 2(x) 3. (x) 2 1 = f(x) Funkce je lichá, není periodická
Vyšetříme funkci f(x): f(x) = 2x3.. Stanovme definiční obor funkce D(f) a zjistíme,ve kterých bodech je funkce sojitá D(f) =(, ) [ (, ) [ (, ). 2. Počítáme f( x) = 2( x)3 ( x) 2 = 2(x) 3 (x) 2 = f(x) Funkce
1.1 Příklad z ekonomického prostředí 1
1.1 Příklad z ekonomického prostředí 1 Smysl solidního zvládnutí matematiky v bakalářských oborech na Fakultě podnikatelské VUT v Brně je především v aplikační síle matematiky v odborných předmětech a
IX. Vyšetřování průběhu funkce
IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde
4. Určete definiční obor elementární funkce g, jestliže g je definována předpisem
4 Určete definiční obor elementární funkce g jestliže g je definována předpisem a) g ( x) = x 16 + ln ( x) x 16 ( x + 4 )( x 4) Řešíme-li kvadratickou nerovnice pomocí grafu kvadratické funkce tj paraboly
7.1 Extrémy a monotonie
KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x
Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.
@083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x
c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007
20. srpna 2007 1. f = 3 12 2. f = 2 e 3. f = ln Příklad 1. Nakreslete graf funkce f() = 3 12 Příklad 1. f = 3 12 Nejprve je třeba určit definiční obor. Výraz je vždy definován. Příklad 1. f = 3 12 f =
MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel
MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní
2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.
MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci
Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z ÚVODU DO MATEMATICKÉ ANLÝZY FUNKCE 999/000 CIFRIK Funkce F a) Zadání: Vyšetřete bez užití limit a derivací funkci : y = { x } f Definice:
Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff
Derivace funkce Derivace je základním pojmem v diferenciálním počtu. Má uplatnění tam, kde se zkoumá povaha funkčních závislostí určitých proměnných (veličin). V matematice, ekonomii, fyzice ale i v jiných
Matematika 2 Průběh funkce
Matematika 2 Průběh funkce Jiří Fišer KMA, PřF UP Olomouc ZS09 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 1 Základní věty diferenciálního počtu Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09
PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ
Dierenciální počet unkcí jedné reálné proměnné - 5 - PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ Cílem vyšetřování průběhu unkce je umět nakreslit její gra Obvykle postupujeme tak že nalezneme její maimální deiniční
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická akulta DRUHÁ SEMINÁRNÍ PRÁCE Z DIFERENCIÁLNÍHO POČTU PRŮBĚH FUNKCE 000/001 Cirik, M-ZT Zadání: Vyšetřete průběh unkce ( ) : y Vypracování: ( ) : y Předně určíme deiniční
Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Průběh funkce Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Průběhem funkce rozumíme určení vlastností funkce
Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak
Derivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
Matematika B 2. Úvodní informace
Matematika B 2 MIROSLAV KUČERA Úvodní informace Kontakt miroslav.kucera@vsfs.czvsfs.cz Studijní středisko Kladno IT oddělení 306B (kanceláře studijního oddělení) Konzultační hodiny Po Pá 8:30 15:00 možno
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
Iracionální nerovnice a nerovnice s absolutní hodnotou ( lekce)
Iracionální nerovnice a nerovnice s absolutní hodnotou (15. - 16. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 22. října
KFC/SEM, KFC/SEMA Elementární funkce
Elementární funkce Požadované dovednosti: lineární funkce kvadratická funkce mocniná funkce funkce s asolutní hodnotou lineárně lomená funkce exponenciální a logaritmická funkce transformace grafu Lineární
Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,
LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce
Aplikace derivace ( )
Aplikace derivace Mezi aplikace počítáme:. LHospitalovo pravidlo. Etrémy funkce (růst a pokles funkce) 3. Inflee (konávnost a konvenost). Asymptoty funkce (se i bez směrnice) 5. Průběh funkce 6. Ekonomické
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 4 Studijní program: Studijní obory: Příklad (5 bodů) Spočtěte Matematika MA, MMIB, MMFT, MSTR, NVM, PMSE, MDU Varianta A M xy dxdy, kde M = {(x, y) R
22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich limita a derivace
22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich ita a derivace Základní vlastnosti Definiční obor Definiční obor je množina neznámých, pro něž je funkce definována. Obor hodnot Obor hodnot je množina všech
Průběh funkce jedné proměnné
Průběh funkce jedné proměnné Průběh funkce Newtonova metoda. p.1/8 Průběh funkce Příklad 4.1.1 Vyšetřete průběh funkce f(x) =ln 3 x. Příklad 4.1.2 Vyšetřete průběh funkce f(x) =arctg 1 x. Příklad 4.1.3
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
Matematika I pracovní listy
Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny
Seminární práce z matematiky
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Seminární práce z matematiky Vyšetřování průběhu funkcí Autor: Vyučující: Ondřej Vejpustek RNDr Eva Davidová Ostrava, 0 Taylorův polynom pro
, f g jsou elementární funkce.
Průběh funkce použité definice a věty Definice. Řekneme, že funkce je spojitá na otevřeném intervalu (a, b), jestliže je spojitá v každém vnitřním bodě tohoto intervalu. Řekneme, že funkce je spojitá na
Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou
Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí
Aplikační úlohy z diferenciálního počtu jedné proměnné
Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Fakulta Katedra Bakalářská práce Aplikační úlohy z diferenciálního počtu jedné proměnné Vypracoval: Michaela Jelínková Vedoucí práce: RNDr. Vladimíra Petrášková,
Průběh funkce. Robert Mařík. 27. června 2006
Průběh funkce Robert Mařík 27. června 26 c Robert Mařík, 26 Obsah y = x 1 x 2.... 3 y = 3x 1 x 3.... 49 y = 2(x2 x 1) (x 1) 2.... 11 y = x3 3 x 2.... 149 y = x2 1 x 2 1.... 191 c Robert Mařík, 26 y = x
Význam a výpočet derivace funkce a její užití
OPAKOVÁNÍ ZÁKLADŮ MATEMATIKY Metodický list č. 1 Význam a výpočet derivace funkce a její užití 1. dílčí téma: Výpočet derivace přímo z definice a pomocí základních vzorců. K tomuto tématu je třeba zopakovat
DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE,
DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE, LIMITA FUNKCE, DERIVACE FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století
soubor FUNKCÍ příručka pro studenty
soubor FUNKCÍ příručka pro studenty 1 Obsah Poznámky 6 lineární funkce mocninné funkce s přirozeným exponentem o sudým o lichým s celým záporným exponentem o sudým o lichým s racionálním exponentem o druhá
Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Diferenciální počet VY_32_INOVACE_M0217.
Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek
Sbírka úloh z matematiky
Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika
Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Diferenciální počet VY_32_INOVACE_M0216.
Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018 Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Příklad 1 (2 bodů) Studijní program: Studijní obory: Varianta A Matematika MMUI Navrhněte deterministický konečný
Funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
Lineární funkce, rovnice a nerovnice
Lineární funkce, rovnice a nerovnice 1. Lineární funkce 1.1 Základní pojmy Pojem lineární funkce Funkce je předpis, který každému číslu x z definičního oboru funkce přiřadí právě jedno číslo y Obecně je
ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI
ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY VYŠETŘOVÁNÍ PRŮBĚHU FUNKCÍ - ŘEŠENÉ PŘÍKLADY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Lucie Ceplechová Přírodovědná studia, obor
Označení derivace čárkami, resp. římskými číslicemi, volíme při nižším řádu derivace, jinak užíváme horní index v závorce f (5), f (6),... x c g (x).
9 Využití derivace 9.1 Derivace vyšších řádů Definice 1. Nechť funkce má derivaci v nějakém okolí bodu c D(f). Nechť funkce ϕ() =f () máderivacivboděc. Pak hodnotu ϕ (c) nazýváme derivací 2. řádu (2. derivací)
14. Monotonnost, lokální extrémy, globální extrémy a asymptoty funkce
. Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce Studijní text. Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce A. Rostoucí a klesající funkce Pojm rostoucí, klesající a konstantní
2. Ur íme sudost/lichost funkce a pr se íky s osami. 6. Na záv r na rtneme graf vy²et ované funkce. 8x. x 2 +4
Pr b h funkce V této jednotce si ukáºeme jak postupovat p i vy²et ování pr b hu funkce. P edpokládáme znalost po ítání derivací a limit, které jsou dob e popsány v p edchozích letácích tohoto bloku. P
Použití derivací. V této části budou uvedena některá použití derivací. LEKCE08-PRU. Použití derivací. l Hospital
V této části budou uvedena některá použití derivací. a derivace a derivace -zbytek L HOSPITALOVO PRAVIDLO POČÍTÁNÍ LIMIT Tvrzení je uvedeno pro jednostrannou limitu zprava. Samozřejmě obdobné tvrzení platí
1. Definiční obor funkce dvou proměnných
Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou
Rolleova věta. Mějme funkci f, která má tyto vlastnosti : má derivaci c) f (a) = f (b). a) je spojitá v a, b b) v každém bodě a,b
Průběh unkce Rolleova věta Mějme unkci, která má tto vlastnosti : a) je spojitá v a, b b) v každém bodě a,b má derivaci c) (a) = (b). b Potom eistuje v a, alespoň jeden bod c, v němž ( c) : 1, 3 0 1 1
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2015
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2015 Studijní program: Studijní obory: Matematika MMUI Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Příklad 1 (25 bodů Navrhněte deterministický konečný
Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice
Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Příklad: Pro která x R je součin x x 5 kladný? Řešení: Víme, že součin je kladný, mají-li oba činitelé stejné znaménko. Tedy aby platilo x x 5 0, musí
----- Studijní obory. z matematiky. z matematiky. * Aplikovaná matematika * Matematické metody v ekonomice
Minimum Maximum Minimum Maximum Studijní obory z matematiky z matematiky z matematiky z matematiky * Aplikovaná matematika * Matematické metody v ekonomice * Obecná matematika Navazující magisterský studijní
Matematika I: Pracovní listy do cvičení
Matematika I: Pracovní listy do cvičení Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Pro FAST upravil Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita
Vyšetřování průběhu funkcí v programu GeoGebra
Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta Katedra matematiky Bakalářská práce Vyšetřování průběhu funkcí v programu GeoGebra Autor práce: Markéta Medviďová Vedoucí práce: RNDr. Vladimíra
Úloha určit průběh funkce znamená nakreslit graf funkce na zadaném intervalu, nejčastěji na celé množině reálných čísel R.
@034 3. Průběhy funkcí Úloha určit průběh funkce znamená nakreslit graf funkce na zadaném intervalu, nejčastěji na celé množině reálných čísel R. Abychom nakreslili dobře průběh funkce (její graf) musíme
Použití derivací L HOSPITALOVO PRAVIDLO POČÍTÁNÍ LIMIT. Monotónie. Konvexita. V této části budou uvedena některá použití derivací.
V této části budou uvedena některá použití derivací. Použití derivací L HOSPITALOVO PRAVIDLO POČÍTÁNÍ LIMIT Tvrzení je uvedeno pro jednostrannou itu zprava. Samozřejmě obdobné tvrzení platí pro itu zleva
NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 17. února ( sin (π 2 arctann) lim + 3. n 2. π 2arctan n. = lim + 3.
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 3 Celkem bodů Bodů 5 7 0
MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. 8 Ing. Petra Schreiberová, Ph.D. Ostrava 01 Ing. Petra Schreiberová, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická
Variace. Kvadratická funkce
Variace 1 Kvadratická funkce Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kvadratická funkce Kvadratická
Funkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4
Přednáška z MA Michal Tuláček 6. prosince 004 Obsah IV.7 Průběhy funkce 3 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 3 Vzorový příklad na průběh funkce ze cvičení 4 4 Příkladynadobumezikapremahusou 7 Definice:
Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.
1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.
Derivace vyšších řádů, aplikace derivací
Derivace vyšších řádů, aplikace derivací Značení derivací vyšších řádů Máme funkci f: y = f x f x druhá derivace funkce y = f x f k x k-tá derivace funkce y = f x Derivace vyšších řádů počítáme opakovaným
Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab. 1. Co budeme potřebovat?
Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab K práci budeme potřebovat následující příkazy pro 1. Co budeme potřebovat? (a) zadání jednotlivých výrazů symbolicky (obecně) (b) řešení rovnice f()=0,
2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost
.7. Průběh unkce Všetřit průběh unkce znamená určit ne nutně v tomto pořadí: deiniční obor; sudost, lichost; periodičnost, interval spojitosti a bod nespojitosti, průsečík grau unkce s osami, interval,
NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 4. února 2009
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 4 Celkem bodů Bodů 4 4
Průběh funkce pomocí systému MAPLE.
Průběh funkce pomocí systému MAPLE. Vyšetřování průběhu funkce je komplení a někdy velmi obtížná úloha. V konkrétních aplikacích nás většinou zajímají jen některé otázky týkající se průběhu dané funkce.
Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací
Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Vyšetřete průběh následuících funkcí. Příklad. = x +arctg( x ). D(f) =R.. Funkce e spoitá na R. 3. Funkce není lichá, sudá, ani periodická.. lim x ±
LOKÁLNÍ A GLOBÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ A JEJICH UŽITÍ
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/3.098 IV- Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol LOKÁLNÍ
Průběh funkce pomocí systému MAPLE.
Průběh funkce pomocí systému MAPLE. Vyšetřování průběhu funkce je komplení a někdy velmi obtížná úloha. V konkrétních aplikacích nás většinou zajímají jen některé otázky týkající se průběhu dané funkce.
NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 26. ledna x. x 1 + x dx. q 1. u = x = 1 u2. = 1 u. u 2 (1 + u 2 ) (1 u 2 du = 2.
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 4 Celkem bodů Bodů 5 6 8
Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li
Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,
Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v
Funkce - pro třídu 1EB
Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému
Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
Definice derivace v bodě
Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +
MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch
MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch Marie Hojdarová Jana Krejčová Martina Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN: 978-80-87035-94-8
1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
verze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový
1 Úvod Lokální extrémy funkcí více proměnných verze 14 Následující text popisuje výpočet lokálních extrémů funkcí více proměnných Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec
Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list
METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti