Kapitola 4: Průběh funkce 1/11

Transkript

1 Kapitola 4: Průběh funkce 1/11

2 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající na I. (iii) Je-li f (x) < 0 na I, je f klesající na I. (iv) Je-li f (x) 0 na I, je f nerostoucí na I. (v) Je-li f (x) = 0 na I, je f konstantní na I. Pozor: Platí jen pro interval! Např. pro f (x) = 1 x, f (x) = 1 < 0 na (, 0) (0, ), x 2 ale f není klesající na (, 0) (0, ). Důsledek: Určujeme intervaly, kde f roste, resp. klesá (tzv. intervaly monotonie).

3 Lokální extrémy funkce 3/11 Definice: Funkce f má v bodě x 0 lokální maximum, jestliže O(x 0 ) takové, že x O(x 0 ) platí f (x) f (x 0 ). Analogicky: Funkce f má v bodě x 0 jestliže O(x 0 ) takové, že x O(x 0 ) platí f (x) f (x 0 ). lokální minimum, Poznámka: Platí-li ostré nerovnosti, mluvíme o ostrém lokálním maximu (resp. minimu). Lokální extrémy... společný název pro lok. maxima i minima

4 4/11 Určování lokálních extrémů Věta: Necht je funkce f spojitá na (a, b) a x 0 (a, b). (i) Jestliže f (x) > 0 na (a, x 0 ) a f (x) < 0 na (x 0, b), pak má f v bodě x 0 ostré lokální maximum. (ii) Jestliže f (x) < 0 na (a, x 0 ) a f (x) > 0 na (x 0, b), pak má f v bodě x 0 ostré lokální minimum. (iii) Je-li f (x 0 ) 0, pak f nemá v bodě x 0 lokální extrém. body podezřelé z extrému { f (x 0 ) = 0... stacionární body f (x 0 ) neexistuje

5 Globální extrémy funkce 5/11 Definice: Funkce f má v bodě x 0 D(f ) globální maximum, jestliže x D(f ) je f (x) f (x 0 ). Analogicky: Funkce f má v bodě x 0 D(f ) globální minimum, jestliže x D(f ) je f (x) f (x 0 ). Číslo f (x 0 ) pak nazýváme maximální (resp. minimální) hodnotou funkce f. Pozn. Ne každá funkce má maximální a minimální hodnotu. Věta: Necht je funkce f spojitá na a, b, potom funkce nabývá své maximální a minimální hodnoty na a, b. Pozn. Maximální a minimální hodnotu nabývá spojitá funkce bud v lokálních extrémech nebo v krajních bodech.

6 6/11 Funkce konvexní a konkávní Definice: Necht je funkce f spojitá na I. 1 Jestliže pro libovolné x 1 < x 2 < x 3, x 1, x 2, x 3 I, leží bod P 2 = [x 2, f (x 2 )] pod přímkou nebo na přímce spojující body P 1 = [x 1, f (x 1 )] a P 3 = [x 3, f (x 3 )], říkáme, že funkce je konvexní na I. 2 Jestliže bod P 2 leží nad přímkou nebo na přímce, říkáme, že funkce je konkávní na I. Věta: Necht funkce f má na intervalu I druhou derivaci. Potom platí: (i) Je-li f (x) 0 na I, je f konvexní na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f konkávní na I. Věta: Necht je funkce f definovaná na (a, b) a x 0 (a, b). Je-li f (x 0 ) = 0 a f (x 0 ) > 0 má f v bodě x 0 lokální minimum. Je-li f (x 0 ) = 0 a f (x 0 ) < 0 má f v bodě x 0 lokální maximum.

7 7/11 Inflexní body Definice: Necht je funkce f spojitá na (a, b), x 0 (a, b). Necht f (x 0 ) existuje (i nevlastní). Je-li f na (a, x 0 ) konvexní a na (x 0, b) konkávní (nebo obráceně), říkáme, že f má v bodě x 0 inflexi nebo graf funkce f má v bodě [x 0, f (x 0 )] inflexní bod. Stručně: Inflexní bod je bod na grafu f, kde se spojitá funkce mění z konvexní na konkávní či naopak. Věta: Necht funkce f má na intervalu (a, b) druhou derivaci. Jeli f (x) > 0 na (a, x 0 ) a f (x) < 0 na (x 0, b) (nebo obráceně) má funkce f v bodě x 0 inflexi.

8 Asymptoty grafu funkce 8/11 Asymptota = přímka, která se "přimyká" ke grafu funkce Definice: Jestliže lim f (x) = ± nebo lim x a+ f (x) = ± x a nazýváme přímku x = a vertikální (svislou) asymptotou grafu f. Definice: Jestliže lim f (x) = b R nebo lim x f (x) = b R x nazýváme přímku y = b horizontální (vodorovnou) asymptotou grafu f v (resp. v ).

9 9/11 Vyšetřování průběhu funkce 1 Určení D(f ), sudost, lichost, periodicita. 2 Spojitost, (jednostranné) limity v krajních bodech D(f ) a v bodech nespojitosti svislé a vodorovné asymptoty 3 f (x) monotonnost, lokální extrémy. 4 f (x) konvexnost, konkávnost, inflexe. 5 Nakreslení grafu funkce f a určení H(f ).

10 Numerické řešení rovnice f (x) = 0. 10/11 Připomenutí ze SŠ: Kořen rovnice = takové číslo α, pro které je rovnice splněna. (zde f (α) = 0). 1 určíme počet kořenů (např. graficky) 2 pro každý kořen najdeme tzv. separační interval Definice: Jestliže se v intervalu a, b nachází právě jeden kořen rovnice nazýváme a, b separační interval. Věta: (jak se pozná separační interval) Je-li f je spojitá na a, b a platí f (a) f (b) < 0, potom se v (a, b) nachází aspoň jeden kořen rovnice f (x) = 0. Je-li navíc f (x) 0 pro všechna x a, b, potom se v (a, b) nachází právě jeden kořen rovnice f (x) = 0. 3 určíme přibližně kořen α bud např. "půlením intervalů"... jednoduchá naivní metoda nebo např. tzv. Newtonovou metodou... Numerická metoda pro přibližné určení kořene

11 Newtonova metoda - metoda tečen 11/11 Předpokládáme, že f je spojitá, má první a druhou derivaci na (a, b) a α je kořen rovnice f (x) = 0 nacházející se v a, b Zvolme x 0 {a, b} takové, že f (x 0 ) f (x 0 ) > 0. Sestrojme posloupnost {x n } n=0 : x n+1 = x n f (x n) f (x n ). Posl. {x n } n=0... posloupnost postupných aproximací kořene α. Číslo x n... n tá aproximace kořene α. Věta: Jsou-li splněny předpoklady (i) f (a) f (b) < 0 (ii) f (x) 0 pro x a, b (iii) f (x) 0 pro x a, b (iv) x 0 {a, b}, f (x 0 ) f (x 0 ) > 0, potom pro posloupnost {x n } n=0 platí lim x n = α. n