MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10

Transkript

1 1 MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET

2 2 koncepce/slides: Jan Picek přednášející: Jiří Veselý KAP, tel , budova H konzul. hodiny: dle úmluvy jvesely@karlin.mff.cuni.cz cvičící: Milan Cvrček, Staněk Jan, Zedek Lukáš

3 3 Požadavek na udělení zápočtu: V průběhu semestru budou znalosti prověřovány dvěma testy z probírané látky. Termín každého testu bude dopředu oznámen cvičícím. Pro udělení zápočtu je nutné získat alespoň poloviční počet bodů z každého testu.

4 4 Požadavky ke zkoušce: Znalost řešení úloh, vyložených pojmů a jejich vlastností v rozsahu daném přehledem přednášek.

5 Literatura: 5 NEKVINDA M.: Matematika. Část 1. Liberec, Technická univerzita v Liberci, NEKVINDA M., VILD J.: Matematické oříšky 1. Liberec, Technická univerzita v Liberec, BITTNEROVÁ, D., PLAČKOVÁ G.: Louskáček. Část 1, Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Liberec, Technická univerzita v Liberci, 2005.

6 6 HRUBÝD.,KUBÁTJ.:Matematikaprogymnázia: diferenciální a integrální počet. Praha, Prometheus, KADEŘÁBEK J.: Základy matematiky: Studijní texty pro distanční bakalářské studium textilní marketing. Liberec, Technická univerzita v Liberci, REKTORYS K.: Přehled užité matematiky. Praha, Prometheus, 2000.

7 7 CALDA E., DUPAČ V.: Matematika pro gymnázia: kombinatorika, pravděpodobnost a statistika. Praha, Prometheus, KADEŘÁBEK J.: Statistika, Technická univerzita v Liberci, KADEŘÁBEK, J. PICEK, J.: Sbírka příkladů z pravděpodobnosti a statistiky. Liberec, Technická univerzita v Liberci, 2001.

8 8 Internetové zdroje: linearni-algebra.htm Matematika-I/sc-5-sr-1-a-4/ default.aspx

9 9 LINEÁRNÍ ALGEBRA

10 10 Matematika: specifika různé charakteristiky náročnost jak ji studovat dobře seřazené jednoduché věci

11 Motivace: 11 2x+3y=5 4x+5y=9 4x+6y=10 4x+5y=9 x=1, y=1

12 12 Modifikace: 2x+3y=5 2x+3y= 5 2x+3y=6 4x+6y=10 Žádné řešení(2. případ), jediné řešení(1. případ) nekonečně mnoho řešení(3. případ)

13 13 Geometricky: 1. případ: různoběžky jediný průsečík 2. případ: různé rovnoběžky 3. případ: splývající rovnoběžky Možná zobecnění?

14 14 Zobecnění: Linearita nebudeme dále rozvíjet Počet neznámých v soustavě(obecně n) Počet rovnic soustavy(obecně m) Metody řešení

18 18 Zobecnění: Linearita nebudeme dále rozvíjet Počet neznámých v soustavě(obecně n) Počet rovnic soustavy Metody řešení

19 19 Metody řešení: Eliminační(vylučovací) Komparační(srovnávací) jen speciální případ Cramerovo pravidlo spíše teoretický význam

23 23 Náznak postupu: ax+by=u cx+dy=v cax+bcy = cu cax+ady=av (ad bc)y=(av cu), (ad bc)x=(du bv) x= du bv ad bc, cu y=av ad bc

24 24 Standardní označení: a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 12 x 1 + a 22 x 2 = b 2 resp. a 11 x 1 + a 12 x 2 + +a n1 x n = b 1 a 12 x 1 + a 22 x 2 + +a n2 x n = b 2.. a 1m x 1 + a 2m x 2 + +a nm x n = b m

25 25 Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a a m1 a m2 a mn nazývámematicítypu m n.je-li m=nmluvíme o čtvercové matici řádu n.

26 26 a ij prveksenacházívi-témřádkuavj-tém sloupci. Označení: A= (a ij ) j=1..m i=1..n řádek, sloupec matice- vektory

27 27 Rovnostmatic:Jsoustejnéhotypuaprvkysestejnými indexy se rovnají ) j=1..m ) j=1..m Součetmatic:Nechť A= (a ij, B= (b ij A+B= i=1..n a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 1n + b 1n a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 2n + b 2n a 31 + b a m1 + b m1 a m2 + b m2 a mn + b mn i=1..n

28 28 Nulovámatice:Všechnyjejíprvkyjsourovny0 Opačnámatice:KAjetomatice( 1)A= A Maticejakoreálnáčísla :Maticestejnéhotyputvoří grupu Lze matice mezi sebou násobit? Násobení číslem lehké:

29 29 Násobení matice A reálným číslem λ λa= λa 11 λa 12 λa 1n λa 21 λa 22 λa 2n λa λa m1 λa m2 λa mn

30 30 Součinmatic:Nechť A= ) s=1..m (a is, B= i=1..n (b sj ) j=1..k s=1..m c ij = AB= C= m a is b sj, s=1 (c ij ) j=1..k, i=1..n i=1,..., n, j=1,...,k.

31 31 A= ( ), B= ( , ( 1)+3 0, , ( 1) 1, ( 1)+( 1) 0, ( 1) 4, ( 1) 5 )

32 32 Součinmatic:Jakémávlastnosti? násobení není komutatitivní, je-li např. A typu 2 3aBtypu3 4,paksoučin ABjedefinován, zatímco BA nikoliv. Ani v případě dvou čtvercových matic stejného řádu obecně neplatí AB = BA. A, B, Cčtvercovématiceřádu n. Platí(AB)C = A(BC), A(B+C)=AB+AC,(A+B)C= AC+BC

33 33 A= a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn Nechť Aječtvercovámaticeřádu n. Prvky a 11, a 22, a 33,..., a nn tvořítzv.hlavnídiagonálu

34 34 Jednotková matice řádu n I= AI= IA=A

35 35 Ačtvercovématiceřádu n.lzenaléztmatici B řádu ntak,že AB= BA=I? (anenulovéreálnéčíslo: ab=ba=1, b=a 1 ) Obecně nikoliv ( ) 10 A 00 Nechť A čtvercové matice řádu n. Řekneme, že A je regulární matice, pokud existuje čtvercová matice Břádu ntaková,že AB= BA=I

36 Ačtvercovématiceřádu n.lzenaléztmatici B řádu ntak,že AB= BA=I? (anenulovéreálnéčíslo: ab=ba=1, b=a 1 ) Obecně nikoliv ( ) 10 A= 00 Nechť A čtvercové matice řádu n. Řekneme, že A je regulární matice, pokud existuje čtvercová matice Břádu ntaková,že AB= BA=I 36

37 Ačtvercovématiceřádu n.lzenaléztmatici B řádu ntak,že AB= BA=I? (anenulovéreálnéčíslo: ab=ba=1, b=a 1 ) Obecně nikoliv ( ) 10 A= 00 Nechť A čtvercové matice řádu n. Řekneme, že A je regulární matice, pokud existuje čtvercová matice Břádu ntaková,že AB= BA=I 37

38 38 Nechť Ajeregulárnímaticeanechť Bjetamatice,prokterouplatí AB= BA=I.Matici Bpaknazývámeinverzní maticíkmatici Aaznačímeji A 1. Existují nějaké regulární matice? Ano, jednotková matice je regulární. Jak zjistit, zda-li je matice regulární? Jak určit inverzní matici?

39 39 Mějme řádky matice(řádkové vektory): a 1 =(a 11,..., a 1n ),...,a k =(a k1,..., a kn ). Lineární kombinací řádků rozumíme λ 1 a λ k a k, λ i R Triviální lineární kombinací řádků rozumíme 0a a k

40 40 Řekneme,ževektorya 1,...,a k jsoulineárněnezávislé, jestliže platí λ 1,..., λ k R:λ 1 a λ k a k =(0,...,0) λ 1 = λ 2 =...=λ k =0. Mezi všemi lineárními kombinacemi řádků je rovna nulovému vektoru jen triviální lineární kombinace Hodnost matice... maximální počet lineárně nezávislých řádků, ozn. h(a)

41 41 Nechť Aječtvercovématiceřádu n.maticejeregulární,právěkdyž h(a)=n. Jak prakticky určovat hodnost(a inverzní matici)? Jednoduše lze pro schodovité matice: Matice A typu m n je schodovitá,jestližeprokaždé i 2,..., mplatí,že i-týřádek matice Ajenulovýnebozačínávětšímpočtemnulnež(i 1)-ní řádek. Hodnost je pak zřejmě rovna počtu nenulových řádků.

42 42 Elementární řádkové úpravy: záměna dvou řádků vynásobení řádku nenulovým číslem přičtení násobku jednoho řádku k jinému řádku Lze ukázat, že pokud pomocí těchto úprav převedemematicianaschodovitoumaticib,pak h(a)=h(b)

43 43 Elementární řádkové úpravy: záměna dvou řádků vynásobení řádku nenulovým číslem přičtení násobku jednoho řádku k jinému řádku Elementární úpravy lze použít i na hledání inverzní matice: (A I)... (I A 1 )

44 44 A= a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a a m1 a m2 a mn Transponovanámatice A T kmatici A: a 11 a 21 a 12 a 22 A T = a a m1 a m2 a 1n a 2n a mn

45 45 Vlastnosti transponovaných matic (A T ) T = A (A+B) T = A T + B T (AB) T = B T A T

46 46 Soustavy lineárních rovnic Příklad: Mám k dispozici 110 příkladů na derivace, 105 na integrály a 185 příkladů z finanční matematiky. Chci dát testy, z nichž 1. test obsahuje jeden příklad na derivace a dva příklady na integrály, atd. Počty popisuje tabulka. Zajímá mne, kolik variant jednotlivých testů mohu sestavit tak, abysekaždýpříkladvyskytovalprávěvjednomtestu(azdatovůbec půjde nějak zkombinovat). Podle následující tabulky sestavíme soustavu rovnic.

47 47 T 1 T 2 T 3 početpříkladů derivace integrály finanč.mat KolikvariantT 1,T 2,T 3? Označímepočty:(x 1, x 2, x 3 )

48 48 1 x 1 +2 x 2 +3 x 3 =110 2 x 1 +5 x 2 +1 x 3 =105 0 x 1 +1 x 2 +7 x 3 = x 1 x 2 x 3 =

49 49 1 x 1 +2 x 2 +3 x 3 =110 2 x 1 +5 x 2 +1 x 3 =105 0 x 1 +1 x 2 +7 x 3 = x 1 x 2 x 3 =

50 50 soustava lineárních rovnic obecně: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Ax=b

51 51 A= a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn x= x 1 x 2. x n b= b 1 b 2. b m A je matice soustavy, x je vektor neznámých, a bjevektorpravýchstran

52 (A b) = a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b a m1 a m2 a mn b m 52 (A b) je rozšířená matice soustavy Soustava je řešitelná, právě když hodnost matice soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy.

53 53 Soustava je řešitelná: má 1 řešení nebo nekonečně mnoho řešení Je-li matice soustavy čtvercová matice(soustava má nrovniconneznámých),pakmásoustavajediné řešení, právě když je matice soustavy regulární Řešení: Gaussova eliminace(elementární úpravy jako inverzní matice)

54 54 Determinanty Determinant je funkce, která každé čtvercové matici přiřadí číslo. Označení:det Anebo A Definice: { a11 pokud n=1 deta= ni=1 ( 1) i+1 a i1 deta i1 pokud n >1

55 55 A ij jematice,ukterévynecháme i-týřádekaj-tý sloupec. Její determinant se zpravidla nazývá subdeterminant. Ve vzorci se subdeterminantům navíc přidělujíznaménka podleschematu

56 56 matice2 2:detA=a 11 a 22 a 21 a 12 ( ) a11 a 12 a 21 a 22 Pamatujeme si: součin prvků na diagonále zleva dopravaberemeseznaménkem +,součinprvkůna diagonálezpravadolevaberemeseznaménkem -

57 57 matice 3 3: Sarrusovo pravidlo deta=a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 31 a 22 a 13 a 32 a 23 a 11 a 33 a 21 a 12

58 Pomůcka: a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 třikrát součin prvků na diagonálách zleva doprava seznaménkem+atřikrátsoučinprvkůnadiagonáláchzpravadolevaseznaménkem ;lzeispřipsánímprvníchdvouřádkůpodpůvodnímatici Vyšší řády: nutno upravit 58

59 59 A z Avzniknezáměnoudvouřádkůmezisebou deta = deta A z Avzniknevynásobenímjednohořádkučíslem λ deta = λdeta A z Avzniknepřičtenímnásobkujednohořádku k jinému řádku deta =deta

60 60 Rozvoj determinantu podle j-tého sloupce n deta= ( 1) k+j a kj deta kj k=1 Rozvoj determinantu podle i-tého řádku n deta= ( 1) i+k a ik deta ik k=1

61 61 Vlastnosti: deta=deta T det(a B)=detA detb Je-li A horní(resp. dolní) trojúhelníková matice, pak platí deta=a 11 a a nn. Ajeregulární,právěkdyždetA 0.

62 62 Determinanty a inverzní matice: (a ij ) j=1..n (b ij ) j=1..n A= i=1..n, A 1 = i=1..n, b ij = ( 1)i+j deta ji deta

63 63 Rozložíme-li do jednodušších kroků: vytvoříme matici ze stejnolehlých subdeterminantů A ij opatřímeje střídavýmiznaménky takto vzniklou matici transponujeme každý prvek vzniklé matice dělíme determinantem matice původní

64 Determinant a řešení lineární rovnic: Cramerovo pravidlo: Nechť Ax=bjesoustavalineárníchrovnic,kde A jeregulárníčtvercovámaticeřádu n.označme A j matici, která vznikne z matice A nahrazením j-tého sloupce sloupcem b pravých stran rovnic dané soustavy.pakprokaždé j=1,2,..., nplatí x j = deta j deta 64

65 65 Podrobnější výklad a návod k řešení příkladů najdete na adrese: Matice-a-determinanty-inverzni-matice/ sc-63-sr-1-a-33/default.aspx Přečtěte si nejprve výklad vystavený pod STUDIJNÍ TEXT apaksiprojděteanimacev ŘEŠENÉ PŘÍKLADY- PRESENTACE. Část NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY obsahuje příklady, ale bez výsledků.