4. GONIOMETRICKÉ A CYKLOMETRICKÉ FUNKCE, ROVNICE A NEROVNICE 4.1. GONIOMETRICKÉ FUNKCE

Transkript

1 GONIOMETRICKÉ A CYKLOMETRICKÉ FUNKCE, ROVNICE A NEROVNICE V této kapitole se dozvíte: GONIOMETRICKÉ FUNKCE vztah mezi stupňovou a obloukovou mírou; jak jsou definovány čtyři základní goniometrické funkce: sinus, kosinus, tangens a kotangens; jak vypadají grafy goniometrických funkcí a jaké mají tyto funkce vlastnosti; důležité vzorce pro práci s goniometrickými funkcemi Klíčová slova této kapitoly: goniometrické funkce, sinus, kosinus, tangens, kotangens, sekans, kosekans, součtové vzorce Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 0,7 +,0 hodiny (teorie + řešení příkladů)

2 Oblouková a stupňová míra Matematika I seminář: Goniometrické a cyklometrické funkce Velikost rovinného úhlu se v praxi vyjadřuje ve stupních, kdy přímému úhlu odpovídá hodnota 80º (a tedy pravému úhlu 90º, plnému úhlu 60º) V teorii se dává přednost tzv obloukové míře, jejíž jednotkou je bezrozměrná jednotka zvaná radián Je-li úhel α v radiánech, a úhel α º tentýž úhel ve stupních, pak platí převodní vztah α = αº 80 Tudíž = 80º, = 60º, = 90º, = 60º, = º, = 0º 6 V dalším textu budou všechny úhly výhradně v obloukové míře! Goniometrické funkce Goniometrické funkce jsou zavedeny buď pomocí jednotkové kružnice nebo (pro ostré úhly) pomocí pravoúhlého trojúhelníka Připomeňme druhý případ Nechť je dán pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem u vrcholu C Úhel u vrcholu A označíme α Čtyři základní goniometrické funkce jsou pak definovány takto: BC sinus: =, tzn poměr velikostí protilehlé odvěsny a přepony; AB AC kosinus: =, tzn poměr velikostí přilehlé odvěsny a přepony; AB tangens: kotangens: BC tgα = =, tzn poměr velikostí protilehlé odvěsny a přilehlé odvěsny; AC AC cotgα = =, tzn poměr velikostí přilehlé odvěsny a protilehlé odvěsny BC Další dvě goniometrické funkce, sekans ( secα = ) a kosekans ( cosecα = ) se běžně nepoužívají Grafy goniometrických funkcí Velmi mnoho informací o goniometrických funkcích ukazují jejich grafy, které je nutné znát zpaměti

3 Základní vlastnosti goniometrických funkcí Všechny základní vlastnosti vyčteme z grafů Funkce sinus, resp cosinus je - periodická, spojitá, definiční obor je R, obor hodnot uzavřený interval, Funkce tangens, resp cotangens jsou - periodické, definované v R bez množiny + k, k Z, resp k, k Z, oborem hodnot je celá množina R Žádná z uvedených funkcí není prostá { } Tabulka hodnot goniometrických funkcí pro vybrané argumenty z prvního kvadrantu argument α : tgα 0 nedefinováno cotgα nedefinováno 0 Uvedenou tabulku je třeba znát zpaměti, není to příliš obtížné Vybrané vzorce pro počítání s goniometrickými funkcemi Uvedené vzorce patří k základnímu matematickému vybavení a nejdůležitější z nich (jsou uvedeny v rámečku) je nutné znát zpaměti Součtové vzorce pro sinus a kosinus ( α ± β) = α β ± α β, ( ) sin sin cos cos sin Z uvedených vzorců lze odvodit následující: cos α ± β = cos β sin β sin sin α cos α + = ( ± α) =, sin ( ± α) =, cos ( ± α) =, cos( ) Sinus a kosinus dvojnásobného argumentu sin α =, Sinus a kosinus polovičního argumentu cos α = cos α sin α ± α = α sin =, α + cos =

4 Součtové vzorce pro funkční hodnoty sinů a kosinů α ± β α β ± sin β = sin cos α + β α β α + β α β + cos β = cos cos, cos β = sin sin Součtové vzorce pro tangentu a kotangentu tg tgα ± tgβ tgαtgβ ( α ± β) =, cotg ( α β) Tangens a kotangens dvojnásobného a polovičního úhlu cotgαcotgβ ± = cotgβ ± cotgα tgα tgα =, tg α cotg α cotgα =, cotgα α tg = + cos α, α + cotg = cos α Vztahy mezi různými goniometrickými funkcemi tgα = cotgα, + tg α =, + cotg α = cos α sin α Shrnutí kapitoly: K měření úhlů se ve vyšší matematice používá takřka výlučně obloukové míry, vyjadřované v radiánech Převodní vztah mezi obloukovou a stupňovou mírou je jednoduchý a je dán tím, že přímému úhlu (80 ) odpovídá hodnota radiánů Základními goniometrickými funkcemi jsou funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens Funkce sekans a kosekans se používají zřídka Uvedené funkce jsou definovány pomocí jednotkové kružnice nebo pravoúhlého trojúhelníka Velmi důležité jsou grafy goniometrických funkcí, ze kterých lze vyčíst většinu jejich vlastností, zejména definiční obory, obory hodnot, periodicitu a nulové body Ve výpočetní praxi je často nutné použít vzorce s goniometrickými funkcemi Těchto vzorců je relativně mnoho a ty nejdůležitější je nezbytné znát zpaměti

5 Otázky: Jak se jmenují a jak jsou definovány čtyři nejpoužívanější goniometrické funkce? Jaké základní vlastnosti mají funkce sinus a kosinus? Jaký mají definiční obor a obor hodnot? Jak je to s jejich periodicitou a monotónností? Jaké základní vlastnosti mají funkce tangens a kotangens? Jaký mají definiční obor a obor hodnot? Jak je to s jejich periodicitou a monotónností? Načrtněte zpaměti grafy všech čtyř nejpoužívanějších goniometrických funkcí Jakými význačnými body tyto grafy musí procházet? Napište zpaměti základní vzorce pro práci s goniometrickými funkcemi Příklad Určete hodnotu výrazu převodem argumentu do prvního kvadrantu: a) sin ; b) 7 cos 6 ; c) 7 tg ; d) cotg- ; e) 7 sin ; f) cos 7 + Návod Využijte periodicity goniometrických funkcí a jejich dalších vlastností, např sudosti nebo lichosti apod Všechny požadované vlastnosti lze vyčíst z grafů Příklad Určete hodnotu výrazu převodem argumentu do prvního kvadrantu: a) sin ; b) cos ; c) sin ; d) 7 cos ; e) tg ; f) tg 8 Návod Rozepište argument na vhodný součet nebo rozdíl úhlů a použijte součtové vzorce Např = 6 Příklad Zjednodušte výrazy s goniometrickými funkcemi Uveďte podmínky platnosti + sin α a) sin α cos α + cos α ; b) ; c) ; + tg α cotg α cos α sin α d) + ; e) ; f) cos ( α + β) cos( α β) tg α cotg α sin α + cos α Návod Použijte vzorců pro práci s goniometrickými funkcemi

6 Řešení příkladů: a) e) sin = ; b) cos = ; c) tg = ; d) 6 sin = ; f) cos 0,090 cotg = ; a) 6 ; b) 6+ ; c) 6+ ; d) 6 ; e) ; f) a) f) sin α ; b) 0, cos α sin β α k ; c) cos α, α + k ; d) 0, α k ; e) tgα ; Další zdroje: POLÁK, J Přehled středoškolské matematiky 6 vyd Praha: Prometheus, 997 POLÁK, J Středoškolská matematika v úlohách I vyd Praha: Prometheus, 996 POLÁK, J Středoškolská matematika v úlohách II vyd Praha: Prometheus, 996 REKTORYS, K a spol Přehled užité matematiky 6 přepr vyd Praha: Prometheus, 99 ZÁVĚR: