Pokroky matematiky, fyziky a astronomie

Transkript

1 Pokroky mtemtiky, fyziky stronomie Kliment Šoler Progrmovná učebnice mtemtiky pro vysoké školy technické Pokroky mtemtiky, fyziky stronomie, Vol. 14 (1969), No. 4, Persistent URL: Terms of use: Jednot českých mtemtiků fyziků, 1969 Institute of Mthemtics of the Acdemy of Sciences of the Czech Republic provides ccess to digitized documents strictly for personl use. Ech copy of ny prt of this document must contin these Terms of use. This pper hs been digitized, optimized for electronic delivery nd stmped with digitl signture within the project DML-CZ: The Czech Digitl Mthemtics Librry

2 VYUČOVÁNÍ MATEMATICE A FYZICE PROGRAMOVANÁ UČEBNICE MATEMATIKY PRO VYSOKÉ ŠKOLY TECHNICKÉ KLIMENT ŠOLER, Prh V Pokrocích MFA 13 (1968), č. 1, str. 33 vyšel článek J. Mikulčák Progrmovná učebnice moderní mtemtiky", který uvádí ukázky z merické progrmovné učebnice Modern Mthemtics ukzuje, že její progrmovné zprcování učiv má řdu nedosttků. Upozorňuje, že by bylo účelné vyzkoušet kombinovnou formu práce, při níž by n učitelův výkld nvzovl nácvik žádoucích lgoritmů dovedností pomocí progrmovných textů, popř. pomocí vyučovcích strojů. Tento poždvek splňuje do znčné míry sovětská progrmovná učebnice Mtemtičeskij prktikum dlj vtuzov, kterou vydlo nkldtelství Vysšj škol Minsk v r Knih má 205 strn obshuje vedle úvodu šest kpitol, v nichž se probírjí následující témt výpočetní techniky: 1. Řešení soustvy lineárních lgebrických rovnic metodou postupného vylučování neznámých (Gussov metod) 13 strn 2. Interpolce funkcí 31 strn 3. Přibližné řešení lgebrických rovnic 44 strn 4. Přibližný výpočet určitých integrálů 25 strn 5. Přibližné řešení diferenciálních rovnic 40 strn 6. Přibližný výpočet pomocí mocninných řd 24 strn 7. Přibližná hrmonická nlýz 22 strn. Knih je prktickou příručkou pro prktická cvičení z výpočetní techniky n vysokých školách technických, le předpokládá, že studenti již bsolvovli příslušné přednášky z dné temtiky. U kždého témtu je nejprve uveden krátký výkld zákldních teoretických pozntků (bez jejich odvození); k objsnění tohoto výkldu, k jeho procvičení pro kontrolu správného pochopení jsou zřzeny vhodné otázky příkldy. Pro kontrolu správnosti řešení jeho postupu knih využívá větveného progrmování. Řešení je přitom rozděleno n jednotlivé kroky, po nichž vždy následuje otázk s několik uvedenými výsledky. Student volí tu odpověď, která odpovídá výsledku jeho výpočtu pokrčuje pk n strně uvedené u zvolené odpovědi. Tm njde potvrzení správnosti svého výsledku dlší pokyny pro postup výpočtu, popř. dlší výkld nebo upozornění n chybu, které se dopustil, nebo konečně podrobný výpočet dného kroku. N konci 182

3 kždé kpitoly je shrnutí, při němž student znovu souborně prostuduje všechny částečné výsledky teorie, které ve skutečnosti tvoří souvislý výkld přerušený pouze vloženými kontrolními otázkmi úlohmi. Po tomto teoretickém uvedení jeho procvičení následují pokyny k vlstnímu provedení příslušného mtemtického prktik, které obshují podrobný návod pro vlstní provedení výpočtu pro jeho přehledný zápis (obyčejně ve formě vhodných tbulek). Nkonec je zřzeno několik příkldů (s uvedenými výsledky), které tvoří jádro smosttné činnosti student při studiu tohoto mtemtického prktik. Jko ukázk je v dlším zřzen prvá kpitol uvedené příručky. Byl vybrán proto, že je nejkrtší má nejjednodušší obsh. Její omezený obsh rozsh ovšem nedovolují ukázt plně možnosti progrmování učiv jko dlší rozsáhlejší kpitoly, le přece je z ukázky dobře ptrno, že příručky tohoto typu mohou být i pro studenty vysokých škol technických přírodovědných velmi užitečné že mohou dobře pomoci při řízení jejich smosttné práce. Příručk je dokldem toho, že zásd pomůcek progrmovného učení je dobře možno využít i n vysokých školách, jestliže způsob progrmování přizpůsobíme duševní úrovni studentů, pro něž jsou určeny. Protože ve větvené progrmovném textu je třeb stále listovt, je ukázkový progrmovný text uvedený v tomto článku optřen vlstním číslováním strn umístěným v hrnté závorce uprostřed spodní části stránek. N toto číslování se vzthují tké odkzy v progrmovném textu. Vzhledem k tomu, že čsopis má větší formát než originální knih, bylo třeb tké text rozdělit jink než v originále, kde je text rozdělen řidčeji. Autor děkuje tiskárně z pečlivé zlomení szby. Metod probírná v uvedené příručce v tomto článku progrmovným způsobem je uveden neprogrmovně tké v některých nšich příručkách učebnicích. Jsou to n příkld FADDĚJEV D. K. - FADDĚJEVOVÁ V. N.: Numerické metody lineární lgebry, kterou v řdě Teoretická knižnice inženýr 46 vydlo Státní nkldtelství technické litertury. Prh 1964 (oddíl II: Finitní metody řešení soustv lineárních rovnic, kpitol 16: Gussov metod; strn ). REKTORYS K. kol.: Přehled užité mtemtiky. Státní nkldtelství technické litertury Prh 1968, oddíl 30: Numerické metody lineární lgebry, kpitol 30,1: Eliminční metody; strn 942 násl. Čtenáři proto mjí možnost provést si porovnání progrmovného nprogrmovného podání téže učební látky. Je z něj ptrno, že utoři progrmovné příručky u běžných studentů sovětských vysokých škol technických, pro něž je mtemtik přeci jen pouze pomocnou disciplínou, znlost speciální mtemtické symboliky nepředpokládjí proto jí ve svém výkldu nepoužívjí. Výkld i jeho zápis se tím sice poněkud prodlouží, le studium textu se tím studentům, kteří tuto symboliku nemjí dokonle vžitou, usndní. Ale i jink je tento populárnější způsob výkldu v progrmovných učebních textech nejběžnější. 183

4 ŘEŠENÍ SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC METODOU POSTUPNÉHO VYLUČOVÁNÍ NEZNÁMÝCH (GAUSSOVA METODA) 1. Úvod Při řešení soustvy n lineárních rovnic o n neznámých užíváme v přípdě, že determinnt složený z koeficientů u neznámých není roven nule, známých vzorců Krmerových. Těchto vzorců se všk při prktických numerických výpočtech pro n > 3 neužívá, protože jejich vyčíslení je obtížné. I pro soustvu tří lineárních rovnic se třemi neznámými (n 3) jsou Krmerovy vzorce těžko použitelné v přípdě, že koeficienty rovnice jsou vyjádřeny vícecifernými čísly. 2. Přímý postup Budiž dán systém n lineárních rovnic s n neznámými (1) 11 x ln x n = Un+l 21 x n x n = 2, n+1 nl X l + n2 X nn X n ~ n,n+ 1 Předpokládejme, že koeficient při x t v prvé rovnici není roven nule ( 11 4= 0). Je-li lx 0, stčí změnit pořdí zápisu rovnic nebo nebrt z neznámou x u le některou jinou. Koeficient u této neznámé oznčíme jko vedoucí koeficient prvého kroku. Nejprve vydělíme obě strny prvé rovnice číslem ll5 obě strny druhé rovnice číslem 2 i td., tj. kždou rovnici vydělíme jejím vedoucím koeficientem prvního kroku. Je-li v některé rovnici tento koeficient roven nule, pk se dělení této rovnice netýká (tj. opíšeme ji beze změny). Otázk: Zúčstní se prvého kroku všechny rovnice soustvy Odpovědi: 2x x = 6,2 - З = -2,3 З + 2 = 7,01 1. Prvého kroku se zúčstní všechny rovnice Str. [3] cf 2. Prvého kroku se nezúčstní rovnice - 3 = -2,3 Str. [3] c [1] 184

5 Pokrčování ze strny [4] [5] 3. Zpětný postup Z trojúhelníkové soustvy rovnic určíme hodnoty neznámých. Zčneme přitom poslední rovnicí, v níž je nlezen hodnot poslední neznámé x n. Abychom určili x n _i, dosdíme určenou hodnotu x n do předposlední rovnice. Dlší neznámou x _ 2 vypočteme tím., že do rovnice č. (n - 2), tj. druhé od konce, dosdíme hodnoty x n x n - 1. Tk určíme postupně hodnoty všech neznámých. Proces, pomocí něhož získáme řešení soustvy rovnic (l) n str. [1] vyřešením trojúhelníkové soustvy rovnic (3) n str. [4], se oznčuje zpětný postup. Příkld: Zpětným postupem řešte trojúhelníkovou soustvu rovnic, které jsme dostli při dosvdním výpočtu: Odpovědi: x! = 7,01 3 = 2,3 = -0,46 1. x x = 3,11; = 2,8; = -0,46 Str. [3] b 2. Vychází jiné řešení Str. [3] f Správně! Obě soustvy rovnic jsou ekvivlentní, protože soustv (3) vznikl ze soustv (l) ekvivlentními úprvmi. Řešte příkld n strně [5]! b Soustv rovnic (3) vznikl ze soustvy (1) ekvivlentními úprvmi (dělením jejich rovnic určitými čísly koeficienty u neznámých sloučením těchto rovnic). Proto jsou obě soustvy rovnic ekvivlentní. Řešte příkld n strně [5]! [2] 185

6 Správný výpočet vede k jedné z následujících trojúhelníkových soustv rovnic: x i = 7,01 íx t 2 + 2,5x3 = 3,1 + 0,5x3 = -3,91 l + 0,5x3 = -3,91 = -0,46 [ = -0,46 [x! 2 + 2,5x3 = 3,1 :=: x2 ^x3 ---,5 = -0,46. Vyšl-li vám některá z těchto soustv rovnic, je váš výpočet správný pokrčujte n str. [2]. Vyšl-li vám jiná odpověď, vrťte se n str. [5] řešte příkld znovu. h Nesprávně! Vrťte se n str. [2], prostudujte ji ještě jednou řešte příkld znovu! c Správně! Rovnice 3 = 2,3 se prvého kroku nezúčstní, protože její koeficient při x! je roven nule. Pokrčujte n str. [4]! d Nesprávně! V rovnici 3 = 2,3 je koeficient při x x roven nule, proto se tto rovnice prvého kroku nezúčstní. Přejděte n str. [4]! e Správně! Pokrčujte n str. [2]! f Správně! Vyšlo-li vám x t = 3,11; = 3,68; = 0,46, je Vše řešení můžete přejít n str. [6]. správné Vyšel-li vám jiný výsledek, prostudujte str. [2] podruhé řešte dnou soustvu rovnic znovu! 186 [3]

7 X 2 + C 23 X C 2n X n = C 2n+1 Pokrčování ze str. [1] V soustvě rovnic, kterou dostneme jejich vydělením koeficientem při x x u \ 2 x t + -~ '11 u ll u ll ->2 fliи -y n + л Xi + -^ ^x = -^ l 2l *i i x n =2ьг±. nl nl nl odečteme postupně první rovnici od všech rovnic osttních. Dostneme tím soustvu rovnic (2) x 1 + b b ln x = b Un+1 b b 2n x n = b 2jtl+1 b n b nn x n b nn+1 V této soustvě zůstává x x pouze v první rovnici. Nyní přejděme k druhému kroku. Kždou z rovnic počínje druhou vydělíme koeficientem při v této rovnici pk odečteme druhou rovnici od všech následujících. Je možno opět předpokládt, že b Je-li b 22 = 0, postupujeme obdobně jko při prvém kroku v přípdě, že bylo u = 0! Koeficient b 22 oznčujeme jko vedoucí koeficient druhého kroku. Spojíme-li prvé rovnice všech tkto postupně vykonných kroků, dostneme trojúhelníkovou soustvu rovnic (3) x { + b 12 + b b ln x n = b Un+1 v л ' n,n+ l Proces, pomocí něhož dostáváme koeficienty trojúhelníkové soustvy rovnic, oznčujeme jko přímý postup. Pokrčování n strně [5] W 187

8 Otázk: Je získná soustv rovnic (3) ekvivlentní s původní soustvou rovnic (1) uvedenou n str. [1]? Odpovědi: 1. Soustvy jsou ekvivlentní Str. [2] 2. Soustvy nejsou ekvivlentní Str. [2] b Příkld: Pro níže uvedenou soustvu rovnic proveďte přímý postup určete soustvu rovnic ekvivlentní k soustvě dné Odpovědi: 2xj = 6,2-3 = -2,3 x! = 7,01 \. x í = 7,01 3 = 2,3 = -0,46 Str. [3] e 2. Vychází jiná soustv rovnic Str. [3] o [5] 188

9 Přechod ze str. [2] 4. Závěry poznámky Gussov metod řešeni soustvy n rovnic s n neznámými záleží v tom, že nejprve sestvíme pomocnou trojúhelníkovou soustvu rovnic (3) uvedenou n str. [4] potom jejím řešením určíme hodnoty všech neznámých. Nebereme zde v úvhu ty přípdy, kdy soustv rovnic nemá řešení nebo kdy jich má nekonečně mnoho, tj. předpokládáme, že determinnt soustvy není roven nule. Metod uvedená v této kpitole je přesná; protože všk při dělení dných rovnic vedoucími koeficienty při neznámých obyčejně bereme pouze přibližné hodnoty, bude pk řešení tké pouze přibližné. Nebudeme se zde zbývt otázkou přesnosti výpočtu při hodnocení výsledných hodnot. Zájemci to njdou v knize L. Z. RUMŠICKU: Vyčislitelnyj lbortornyj prktikum (Moskv 1961). Je třeb poznment, že blíží-li se koeficienty rovnic k nule, může to být příčinou znčného snížení přesnosti. Abychom dosáhli pokud možno velké přesnosti řešení, je vhodné volit z x x tu z neznámých, u níž je bsolutní hodnot koeficientu v prvé rovnici soustvy (1) n str. [l] největší. Z pk zvolíme tu z neznámých v soustvě rovnic (l), u níž má největší bsolutní hodnotu koeficient v druhé rovnici td. Uvedený postup při vylučování neznámých se oznčuje jko schém hlvních prvků. Bližší podrobnosti jsou uvedeny v knize FADDĚJEV D. K.-FADDĚJEVA V. N.: Vyčislitelnyje metody linejnoj lgebry. Moskv Leniigrd Kontrolní otázky Soustvný popis Gussovy metody je v této kpitole uveden n stránkách [1], [4] [5], [2]. Pročtěte je znovu souvisle z sebou v uvedeném pořdí odpovězte pk n následující kontrolní otázky: 1. Které koeficienty oznčujeme jko vedoucí? 2. V čem záleží přímý postup při řešení soustvy lineárních rovnic Gussovou metodou? 3. Co oznčujeme jko zpětný postup? 4. Je Gussov metod přesná nebo přibližná? S Gussovou metodou se můžete podrobněji seznámit v knihách cituje se 7 sovětských příruček učebnic výpočetní techniky. [6] 189

10 6. Instrukce k provedení práce Uvžujme soustvu tří lineárních rovnic se třemi neznámými. Tuto soustvu vyřešíme Gussovou metodou. Pro soustvnou kontrolu prováděných výpočtů budeme postupovt následujícím způsobem: Sestvíme součet koeficientů při neznámých bsolutního členu kždé rovnice. S tímto kontrolním součtem pk provádíme tytéž početní operce jko s koeficienty dné rovnice. Po kždé operci s koeficienty s bsolutním členem opět určíme jejich součet porovnáme jej se součtem kontrolním. Všechny hodnoty získné při výpočtu zpisujeme do tbulky (l) uvedené n str. [8] Výpočet provedeme podle následujícího plánu: 1. Zpíšeme rovnice v tkovém pořdí, by (4) 11 x = 14 ^21*1 "+" #22*2 "+" ^23*3 = ^24 ^31*1 "^ fl 32*2 + ^33*3 = fl Koeficienty soustvy rovnic i kontrolní součty zpíšeme do oddílu I. tbulky (l). 3. Kždou rovnici vydělíme jejím koeficientem při x x. Dostneme soustvu rovnic: (5) x t + b 12 + b 13 = b 14 X 1 + U 22 X 2 + O23-^'3 + ^24 *1 + ^32*2 "+" b 33 X 3 = D 34 Koeficienty bsolutní člen zpíšeme do oddílu II. tbulky (l). Tytéž operce provedeme s kontrolními součty. Sečteme koeficienty bsolutní člen kždé rovnice porovnáme je s kontrolním součtem. Jsou-li vypočtené součty rovny kontrolním, přejdeme k dlšímu bodu výpočtu. Nejsou-li si součty rovny, dopustili jsme se chyby výpočet je třeb provést znovu. 4. Od druhé třetí rovnice soustvy (5) odečteme rovnici první. První rovnice se přitom nezmění, druhá třetí dostnou tvr (6) C 22 X 2 + C 23*3 = C 24 C 32 X 2 + C 33 X 3 = C 34 Totéž provedeme s kontrolními součty porovnáme je se součty koeficientů získných rovnic (oddíl III. tbulky (l)). 5. Získné rovnice soustvy (6) i kontrolní součty dělíme koeficientem při. Dostneme soustvu (7) + d 23 = ď 24 + d 33 = 34 Provedeme opět prověrku správnosti výpočtu obdobně jko v předcházejících přípdech (oddíl IV). 190 [7]

11 Tbulk 1 Koeficienty soustvy rovnic bsolutní pn *i ўľ\x 2 pп člen Kontrolní součet I û п ll 21 Ъl ll Ъl lъ lъ ъъ i\ i\ II 1 b 12 b lъ b l\ 1 b ll 1 b Ъl b lъ b ъъ b l\ b III c ll C Ъ1 C 1Ъ c ъъ c l\ c IV 1 d lъ d 24 1 d d ъъ " V - - e ъъ e VI 3 *34 ~ Z *зз VII = d l\ VIII x l = b l\~ - e d iъ *зз & 12И24- ^IЪŢ^Jb lъ e e ъъ 6. Od druhé rovnice soustvy (7) odečteme rovnici prvou (totéž uděláme s kontrolním součtem) dostneme rovnici (8) e33 X 3 ^34 Provedeme opět kontrolu správnosti výpočtu. 7. Získnou rovnici vydělíme koeficientem e 33 vypočteme tk. 8. Hodnotu dosdíme do prvé rovnice soustvy (7) vypočítáme. 9. Hodnoty dosdíme do prvé rovnice soustvy (5) vypočítáme x t. [8] 191

12 7. Příkldy Příkld 1: Řešte soustvu tří rovnic o třech neznámých: 2,75x! + l,78 + 1,1 l = 15,71 3,28x x + 0,71 + l,15 = 43,78 l,15x! + 2,70 + 3,58 = 37,11 Celý výpočet je zpsán v tbulce (2) Tbulk 2 Koeficienty soustvy rovnic při x! při přïxз bsolutní člen Kontrolní součet I 2,75 3,28 1,15 1,78 0,71 2,70 1,11 1,15 3,58 15,71 43,78 37,11 21,35 48,92 44, ,647 0,216 2,348 0,404 0,351 3,113 5,713 13,348 32,270 7,764 14,915 38,731 III -0,431 1,701-0, ,709 7,635 26,557 7,151 30,967 IV ,123 1,593-17,715 15,613-16,592 18,206 V - - 1,470 33,328 34,798 VI VII VIII = 22,672 = -17,715-0, ,672 = 17,715-2,789 = -20,504 x t = 5,713-0,647. (-20,504) - 0, ,672 = 9,820 И 192

13 Smosttně řešte následující příkldy: Příkld 2: Určete řešení soustvy rovnic: 2,3x- + 5,7-0,8 = -6,49 3,5*,. - 2,7 + 5,3 = 19,90 ÍJx, + 2,3 - l,8 = -5,09 Odpověď. x x = 1,2; = 1,3; = 2,3 Příkld 3: Řešte soustvu rovnic: 7,8XÍ + 3,2 + 5,4 = 37,78 3,7XÍ - 2,8 + l,5 = -0,29 2,5*! + 3,3 + 7,1x3 = 59,22 Odpověd: x { = 1,5; = 2,3; = 7,8. Poznámk utor článku k příkldu 1 Autor sovětské příručky při výpočtu hodnot k příkldu 1 n str. [9] tohoto článku vepsl (ptrně přehlédnutím) do oddílu VII. tbulky pouze druhý člen dvojčlenu pro dostl tk pro tuto neznámou nesprávnou hodnotu = 2,789; této hodnoty pk použil i pro výpočet druhého členu pro neznámou x l9 tkže i pro tu dostl nesprávnou hodnotu x 1 = 1,642. Předpokládl ptrně, že kontrolní součty uváděné v posledním sloupci tbulky vylučují chybu ve výpočtu neprovedl proto kontrolu doszením vypočtených hodnot do původních rovnic. Neuvědomil si, že výpočty v oddílech VI VIII již nejsou touto kontrolou podchyceny. Příkld je proto tké pěkným dokldem toho, že tuto kontrolu doszením vypočítných hodnot neznámých do původních rovnic není možno v žádném přípdě opomenout. [10] 193