2.5.9 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice

Transkript

1 59 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 57, 58 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin Příkld 8 9 zůstávjí n vičení nebo polovinu hodin při píseme + b + - zákldní tvr kvdrtiké rovnie, zbtečně mnoho koefiientů, vdělíme (dík podmíne můžeme), b před bl jedničk (řešení rovnie se tím nezmění) b normovný tvr kvdrtiké rovnie b Používá se i jiné oznčení koefiientů: + p q b p ; q Jk souvisí hodnot kořenů s koefiient rovnie? Př : Njdi kořen rovnie + + ± 9 4, + K ; { } Víme, že kořen rovnie : ( ) ( ) : ( ) ( ) Kdž víme, že pro vjde + + jsou čísl - - rovnie pro ně musí vjít: , ( [ ] )( ) ( )( ) + +, můžeme rovnii npst i jink: + První (modrá) závork vjde je zel jedno, jkou hodnotu získáme z druhé závork, rovnie přesto vjde To smé můžeme npst pro druhý kořen : + + ( [ ] )( ) ( )( ) + První (modrá) závork vjde je zel jedno, jkou hodnotu získáme z druhé závork, rovnie přesto vjde Obě závork můžeme zkombinovt: ( ) ( ) ( )( ) Třetí tkovou závorku nenjdeme, protože: + + b po roznásobení vtvořil třetí moninu, výrz ( )( )( )

2 číslo ve třetí závore b blo dlším (už třetím) kořenem kvdrtiké rovnie Vužili jsme kořen rovnie k získání součinového tvru rovnie Př : Kvdrtiká rovnie + p + q má kořen Rozlož rovnii pomoí kořenů n součin správnost rozložení ověř doszením Rozložení n součin: ( v kždé závore je neznámá opčné číslo k jednomu z kořenů) ( ) ( ) Dosdíme Dosdíme : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Jde o stejný sstém, který jsme používli u některýh funkí, kdž jsme zjišťovli -vou souřdnii minim nebo mim Ptli jsme se: Co máme dát z, b se závork vnulovl? Rozkld n součin vužijeme pro zkoumání kořenů rovnie zpsné v normovném tvru: + p + q ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Máme rovnii zpsnou pomoí koefiientů p, q i pomoí kořenů, Ob tvr ( ) + + porovnáme: získáme dv vzore: + p + q b p ( ) q Těmto vzorům se říká Vietov Pltí vžd, kdž má kvdrtiká rovnie lespoň jeden kořen, ted D b 4 p 4 q Pro kořen, kvdrtiké rovnie b pltí: p, q p q + +, kde p, q R p 4q Ve skutečnosti pro nás Vietov vzore nejsou ni nového Používli jsme je pro rozkládání n součin hledáme dvě čísl do rozkldu: Součet má být 5 ( p - čísl v rozkldu jsou opčná ke kořenům) Součin má být 6 ( q ) K ; ( + ) ( + ) { } Př : Převeď kvdrtikou rovnii n součinový tvr urči její kořen: ) + 5 b) 4 ) ) + 5

3 ( ) ( + 5) K { 5,} b) 4 4 ( ) ( + ) K {,4} ) ( + ) ( + ) K { 4, } Př 4: Rozhodni, jké musí být hodnot koefiientů kvdrtiké rovnie b její kořen bl čísl nvzájem opčná p q + +, Kořen jsou nvzájem opčná čísl: Dosdíme do součinového tvru uprvíme n tvr + p + q ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) použijeme + teď roznásobíme závork + + p + q Přepíšeme n normovný tvr: + p, q q b Pltí p b Pokud mjí být kořen kvdrtiké rovnie čísl nvzájem opčná, musí se lineární člen rovnie rovnt nule bsolutní člen musí být záporné číslo nebo nul To už le víme, tkové rovnie jsme řešili v předminulé hodině rozkládli jsme je pomoí vzore A B A B A + B ( )( ) Poznámk: Příkld je možné rovnou řešit doszením do Vietovýh vzorů: Kořen jsou nvzájem opčná čísl: ( ) p p + q ( ) Př 5: Urči jké vlstnosti musí mít koefiient, b, kvdrtiké rovnie b její kořen bl čísl nvzájem převráená b + +, Kořen jsou čísl nvzájem převráená: Dosdíme do Vietovýh vzorů:

4 p - ni zjímvého q q Kořen kvdrtiké rovnie jsou čísl nvzájem převráená, kdž je její koefiient kvdrtikého členu roven členu bsolutnímu ( ) Př 6: Npiš libovolnou konkrétní kvdrtikou rovnii, jejíž kořen jsou čísl nvzájem převráená svůj odhd potvrď výpočtem kořenů Absolutní člen rovnie se musí rovnt jedné Npříkld: ± ± ±, ± + ( )( ) Př 7: Jeden z kořenů kvdrtiké rovnie ob kořen hodnotu prmetru q 8 q + je třikrát menší než druhý Urči Vzth mezi kořen: Vzore mezi koefiient kvdrtiké rovnie jejími kořen pltí v přípdě, že rovnie je zpsná v normovném tvru převedeme rovnii n normovný tvr: 8 + q / : 8 q p q q 4 Kvdrtiká rovnie má tvr jejími kořen jsou čísl Pedgogiká poznámk: Nejsem si úplně jistý, zd následujíí dv příkld mjí tkovou důležitost, jká se jim přikládá N druhou strnu si mslím, že smosttné řešení osmého příkldu je po většinou společném řešení sedmého dobrým testem pohopení Řešení smotné sedmičk nemá podle mě ni čtvrtinový přínos jko řešení obou příkldů 4

5 Př 8: Aniž bs řešil rovnii + njdi rovnii, jejíž kořen jdou o jedn větší než kořen rovnie + Podle Vietovýh vzorů pltí: + p q Hledná rovnie: + +, má kořen ; Kořen hledné rovnie jsou o jedn větší: +, + Vietov vzore pro novou rovnii: p p 5 ( ) ( )( ) ( ) q Kořen o jedn větší než jsou kořen rovnie + má rovnie Pedgogiká poznámk: Víe než polovin studentů udělá hbu n zčátku, kdž nepřevedou rovnii do normovného tvru I kdž se snžím, b elý příkld počítli smosttně, n tuto hbu upozorňuji elou třídu, b zbtečně neztrtili příliš čsu počítáním n zákldě šptnýh hodnot p, q Př 9: Aniž bs řešil rovnii + 5 njdi rovnii, jejíž kořen jdou dvkrát větší než kořen rovnie Uprvíme původní rovnii do normovného tvru: + Podle Vietovýh vzorů pltí: Hledná rovnie: + p + q, má kořen ; Kořen hledné rovnie jsou krát větší:, Vietov vzore pro novou rovnii: 5 p ( + ) 5 q Dvkrát větší kořen než jsou kořen rovnie + 5 má rovnie Př : Petáková: strn /vičení 7 strn /vičení 8 strn /vičení 9 strn /vičení strn /vičení strn /vičení Shrnutí: Mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie eistují vzth, které už jsme vužívli při rozkldu kvdrtikýh trojčlenů n součin 5

6 6