ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC. Řešme na množině reálných čísel rovnice: log 5. 3 log x. log

Transkript

1 Řešme n množině reálných čísel rovnice: ) 6 b) 8 d) e) c) f) ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC Co budeme potřebovt? Chápt definici ritmu. Znát průběh ritmické funkce. Znát jednoduché vět o počítání s ritm. Umět řešit lineární kvdrtickou rovnici. Znát princip řešení rovnic užitím substituce. ) 6 Nejdřív se zbvíme zlomku. Zlomek od slov ZLO. 6 Toto je tp rovnice, kd je nejlepší použít definici ritmu. T říká: = právě tehd, kdž =. Použijeme-li tuto definici, dostneme rázem jednoduchou lineární rovnici. 6 6 = 6 6 = 6 = Hotovo. b) Nejjednodušší tp ritmické rovnice. Logritmická funkce je prostá, ted n celém svém definičním oboru pořád roste nebo pořád klesá. Nemůže se ted stát, že b dvě různá čísl měl stejné ritm (o stejných zákldech). Pro nás to v tuto chvíli znmená toto: Rovnjí-li se dv ritm o stejných zákldech, pk se musejí rovnt i ritmovné výrz. Rovnice toto beze zbtku splňuje, tkže t ritm prostě umázneme hotovo. Opět jsme dostli jednoduchou lineární rovnici. = Jelikož jsme nepostupovli podle definice, je nutné provést zkoušku! Zdlek ne všechn čísl totiž můžeme ritmovt, jk určitě víte. Ab jste se všk zbtečně neplšili (jelikož u těžších rovnic je provedení zkoušk oprvdu mzec), uděláme teď tkovou mlou dohodu mezi ( N ) očim: Zkoušku budeme provádět tk, že jen ověříme, zd všechn výrz v rovnici po doszení výsledku (v nšem přípdě = ) dávjí smsl. Tk teď pojďme n to:

2 Dosdíme z všechn v rovnici dvojku. Vlevo ritmuji pětku. Sice humus, le jde to. Vprvo ritmuji zse pětku, to jde. Tkže = OK. Tpická rovnice n užití vět o počítání s ritm. Podle I. vět o počítání s ritm pltí: Levou strnu rovnice ted nhrdíme jedním ritmem. 8 Dostli jsme opět rovnost dvou ritmů se stejnými zákld. Tkže prč s těmi ritm! ( ) = 8 Vpdá to n kvdrtickou rovnici = = 0 c) 8 D = = D =, Zkoušk nutná! ) Pro kořen N obou strnách rovnice jsme dostli výrz, který nemá smsl. Kořen ted nevhovuje. ) Pro kořen 8 N obou strnách rovnice jsme dostli výrz, který nemá smsl. Kořen tké nevhovuje. Závěr je jsný: Rovnice nemá řešení. d) Td je jeden mlý zádrhel, sice t jedničk vprvo. Při řešení tkovéto ritmické rovnice obvkle kombinujeme postup vsvětlené při řešení předchozích tří rovnic. Jelikož se to v rovnici hemží ritm o zákldu, nhrdíme jedničku n prvé strně tk ritmem o zákldu. Vužijeme při tom definice ritmu. = právě tehd, kdž =. Ted =. Gut.

3 N prvé strně jsme dostli součet ritmů. Použijeme ted opět I. větu o počítání s ritm. A teď prč s těmi ritm! = + = Levá strn po doszení: to jde. Prvá strn po doszení: to tk jde. Tkže OK. e) Já vím, vpdá to stršně, le žádnou pniku! Toto je tpická rovnice n užití substituce. Než k tomu všk přikročíme, provedeme jednu mlou kosmetickou úprvu užitím III. vět o počítání s ritm, která říká:. Jedná se o tu hnusnou odmocninu ve jmenovteli. Kždá odmocnin je vlstně mocnin, konkrétně. Použijeme III. větu. A teď zvedeme substituci =. Rovnice prokoukne. 6 Prád, ne? Ještě vnásobíme výrzem z podmínk 0. 6 = 6 = 0 = 0 A jsme opět u jednoduché kvdrtické rovnice. Teď to pofrčí. Diskroš je 6, jeho odmocnin. Kořen =, =. OK. N závěr se musíme vrátit k zvedení substituce. Zjímá nás proměnná, nikoli. ) Dosdíme do substituční rovnice z trojku. Dostneme rovnici: = Zákld není vidět, jedná se o dekdický ritmus se zákldem = 0. Hodnotu určíme podle definice ritmu. 0 = = 000

4 ) Dosdíme do substituční rovnice z mínus jedničku. Dostneme rovnici: = Hodnotu určíme stejným způsobem. 0 = = 0, Zkoušku v tomto přípdě dělt nemusíme, postupovli jsme totiž podle definice. f) N závěr tu máme jednu zdánlivě brutální rovnici. Zdání všk klme. Zčneme substitucí: =. To není zlý! Teď použijeme nlevo větu III. Rovnici vdělíme výrzem ( 0 ). Toto je ircionální rovnice. Než ji umocníme, musíme ji vhodně uprvit, jink bchom se té ošklivé odmocnin nezbvili. A teď ji umocníme. Pozor, vlevo podle vzorce!! 8 + = 9 Opět kvdrtická rovnice. Tkže fofrem. D = 89 6 = D = ; =. POZOR! Při řešení rovnice s neznámou R jsme použili jednu neekvivlentní úprvu, to kdž jsme celou rovnici umocnili n druhou! Proto musíme nejprve provést zkoušku. ) = OK. ) = 0, 0,, 0,, A to rozhodně není OK. Ted rovnice má jen jeden kořen =. A teď už zpátk k substituci. = = 0 = 0 000

5 Příkld k procvičení: ) 8 {; } ) 6 0 { } ) { } ) 7 0 {6} ) {8} 6) { } 7) {8} 8) 7 0 {} 9) {000; 0,} ln 0) ln e {0} ln ) 7 {} {000} ) ) {0; 0 } Pozn. k 0): ln e Návod ke ): Člen ( 0 6 ) přičti n druhou strnu, rovnici zritmuj zveď substituci.