2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic

Transkript

1 ..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci nkreslíme obě funkce (v grfu budou dvě přímky). y=x+ - hodnot pro x= hodnot pro x=- - y=-x Hodnoty funkcí udávjí hodnoty výrzů n obou strnách rovnice. Při řešení rovnice se snžíme zjistit, kdy se výrzy n obou strnách rovnice rovnjí stejnému číslu u grfů hledáme, kdy mjí obě funkce stejnou hodnotu (místo, kde mjí obě funkce v grfu body stejně vysoko) hledáme průsečík obou funkcí (bod, kde mjí stejnou hodnotu x i y). y=x y=-x Z obrázku je vidět, že řešením rovnice je x =. Pro toto x vyjdou hodnoty výrzů n obou strnách stejně y =, jk je vidět i ze zkoušky: L : x + = ( ) + = P x = ( ) = + = : L = P

2 Podobně můžeme řešit i nerovnice. Př. : Řeš početně i grficky nerovnici 0,5x + < x. Početně: Už umíme. 0,5x + < x <,5x < K = ( ; ) x Grficky: Kždá ze strn nerovnice je výrzem pro lineární funkci nkreslíme obě funkce (v grfu budou dvě přímky) y=x- y=0,5x+ 0,5 - hodnot pro x=- - - hodnot pro x=- Hodnoty funkcí udávjí hodnoty výrzů n obou strnách nerovnice. Hledáme, kdy má výrz vprvo větší hodnotu než výrz vlevo hledáme x, pro která má funkce y = x body výše než funkce y = 0,5x +. y=x- y=0,5x Z obrázku je vidět, že řešením nerovnice je intervl ( ; ). Př. : Řeš grficky rovnici x = x. Výsledek potvrď výpočtem. Levá strn: y = x Prvá strn: y = x

3 y y=x- - - x - - y=-x Zdá se, že K = { }. x = x = x = x x = K = { } Př. : Zhodnoť výhody nevýhody grfické metody řešení rovnic nerovnic. Nevýhody: Při normálním rýsování čsto pouze přibližný výsledek. Většinou čsově náročnější. Pokud by strny rovnice obshovly složitější výrzy, museli bychom uprvovt. Výhody: Sndno získáme předběžnou předstvu o řešitelnosti i u příkldů, které nejsou početně řešitelné v rámci středoškolské mtemtiky. Názornost celkový přehled o řešení, více toho vidíme. Pedgogická poznámk: Jednou z věcí, která studentům činí znčné problémy, je schopnost posoudit výhodnost různých postupů. Řešení podobných úkolů by jim snd mohlo pomoci. Př. 5: Řeš početně i grficky nerovnici x + b 0, < 0. Početně: x + b 0 x b / : (dělíme záporným číslem, obrcíme znménko) b b x K = ; Grficky: Funkce y = x + b je pro < 0 klesjící. Hledáme x, pro která jsou hodnoty menší než nul.

4 b - K b = ; Pedgogická poznámk: I když příkld není nový, zse se njdou někteří, kteří zpomenou obrátit znménko nebo nkreslit klesjící funkci. Dlším problémem bývá, že klesjící funkci je možné nkreslit jkkoliv, někteří se dokonce snží spočítt dv body grfu, které by mohli spojit. Nejdůležitější je, by se obě řešení shodovl. U mnoh studentů je běžné, že jim vyjdou nprosto odlišné výsledky nijk je to nevzrušuje. To je zásdní chyb, protože nutnost dospět ke stejnému výsledku po libovolné správné cestě je zcel zásdní vlstností mtemtiky. Pedgogická poznámk: Dv následující příkldy mjí z cíl procvičovt schopnost úvhy spojování pozntků. Mjí smysl pouze v přípdě, že studenti budou postupovt podle zdání, tedy nejdříve vypočítt, pk odhdnou pk ověřit. Zejmén při řešení prvního z nich byli pro mě ž nečekně úspěšní. Př. 6: Vyřeš početně rovnici x x ( x ) + = +. Po početním vyřešení odhdni, jk bude vypdt grfické řešení rovnice. Svůj odhd poté ověř grfickým řešením. ( ) x + = x x + x + = x x + + x + = x + 0x = K = Rovnice nemá řešení grfy funkcí pro obě strny se nesmí nikde protnout při grfickém řešení musíme získt dvě rovnoběžné přímky. Grfické řešení: Levá strn: y x y = x x + = x x + + = x + y=x+ = + Prvá strn: ( ) y y=x+ - - x - - Přesně, jk jsme odhdovli. N obrázku jsou dvě rovnoběžné přímky.

5 Př. 7: x x x x + 6 Vyřeš početně rovnici x + =. N zákldě výsledku řešení rovnice urči bez výpočtu uprvený tvr výrzu n prvé strně. Odhd potvrď výpočtem. x x x x + 6 x + = / x + x + x + + x + 8 = x + 6 6x + + x + 8 = 6 / 9x + = + + x 9x + = + + x 0x = 0 K = R V grfickém řešení musí být obě strny reprezentovány shodnými přímkmi prvá strn rovnice se musí tké rovnt výrzu x +. x x x x + x + x 6x x + 6 x + 6 x + 6 = = = + + x 9x + x + x + x + x + 8 x + 8 = = = = = x + Shrnutí: Strny lineární rovnice (nerovnice) můžeme znázornit pomocí lineárních funkcí tk získt grfické řešení. 5