tolerance Rozměrové řetězce vzájemná zaměnitelnost součástí vznik principu základní požadavek základní pojmy

Transkript

1 Rozměrové řetězce Ing. Oskar Zemčík, Ph.D. základní pojmy druhy rozměrových řetězců vztahy, definice výpočet tolerance žádnou součást či výrobek nedokážeme vyrobit s absolutní přesností... vzájemná zaměnitelnost součástí strojírenství produkuje konstrukčně často velmi složité součásti, skládající se z tisíců až desetitisíců jednotlivých dílů. vznik principu myšlenka výroby ze vzájemně zaměnitelných dílů přímo souvisí s pásovou výrobou první zmínky ve starém egyptě 1450 p.n.l. (výroba bojových vozů) a číně 2st. p.n.l. (výroba luků) v evropě jsou zmínky o pásové výrobě lodí ve Benátkách, kdy jako výrobní pás sloužil vodní kanál (údajně zdejší stavitelé dokázali zkompletovat obchodní loď během hodiny) základní požadavek základním požadavkem je opakovatelnost výroby (případně montáže). pro dosažení slouží sytém stanovení hraničních rozměru, tzv. tolerance. toleranční pole základní pojmy Jmenovitá hodnota [J] Horní mezní rozměr [J max ] Dolní mezní rozměr [J min ] Horní mezní úchylka [UH] Dolní mezní úchylka [UD] Přičemž platí že JH > JD JH = J + UH JD = J + UD Přičemž /UH/ > /UD/ a JH > JD

2 J UD T UH tolerance (grafické znázornění, pro délkové rozměry) základní pojmy šířka tolerančního pole T T = UH UD = J max J min J min J max soustavou tolerancí a uložení se zabývá ČSN EN až 3 toleranční stupně IT 01 až IT18 poloha tolerančních polí děr (A-ZC) a hřídelů (a-zc) toleranční pole díry a hřídele Definice Rozměrový řetězec je soubor na sobě závislých rozměrů, které na sebe navazují tak, že tvoří geometricky uzavřený obvod. Mohou to být rozměry určující vzájemnou polohu prvků na jedné součásti, nebo rozměry několika součástí v montážní jednotce. Druhy rozměrových řetězců Součásti rozměrového řetězce Lineární rozměrové řetězce Rovinné rozměrové řetězce Prostorové rozměrové řetězce Úhlové rozměrové řetězce Členy rozměrového řetězce Ai (rozměr, který je součástí daného řetězce) Závěrný člen Az (rozměr který vznikne vyrobením, nebo složením ostatních členů řetězce) Zvětšující člen Ai (jeho zvětšením, při zachování ostatních členů, zvětšíme i závěrný člen) Zmenšující člen Aj (jeho zvětšením, při zachování ostatních členů, zmenšíme závěrný člen) Vůle, přesah (jako jediná může nabývat ve jmenovité hodnotě hodnotu 0)

3 Ostatní pojmy Použití rozměrových řetězců jmenovitá hodnota Ai dolní mezní rozměr Ai MIN horní mezní rozměr Ai MAX horní mezní úchylka HU δi HU DU HU Ai DU Při konstrukci (např. poloha jednotlivých konstrukčních prvků) Při výrobě (seřízení stroje, určení tolerancí částí obrobku) dolní mezní úchylka DU šířka tolerančního pole δi Ai MIN Ai Ai MAX Při montáži (např. montážní přípravky) Typy řešených úloh Toleranční analýza - úlohy přímé, kontrolní Na základě známých mezních úchylek všech dílčích členů se stanoví mezní úchylky uzavíracího členu. Přímé úlohy jsou výpočtově jednoznačné a slouží obvykle ke kontrole součástí a montážních jednotek, vyrobených podle daného výkresu. Toleranční syntéza - úlohy nepřímé, konstrukční Na základě známých mezních úchylek uzavíracího členu, daných funkčními požadavky, se navrhují mezní úchylky dílčích členů. Nepřímé úlohy se řeší při navrhování funkčních a montážních skupin. Úplná a neúplná vyměnitelnost výpočet pro úplnou vyměnitelnost (jednotlivé členy spojené do rozměrového řetězce, zabezpečují vždy požadovanou toleranci závěrného členu i v případě vyčerpání tolerancí všech členů) neúplná vyměnitelnost (rozšíření tolerancí za pomoci teorie pravděpodobnosti a statistiky, snížení nákladů při dostatečné výtěžnosti) selektivní montáž (umožňuje získat přesnější rozměry pomocí vytřídění podle velikosti jednotlivých členů řetězce) Lineární rozměrové řetězce Příklady lineárního rozměrového řetězce všechny členy lineárního rozměrového řetězce jsou navzájem rovnoběžné. (často mohou ležet i na jedné ose). nejčastější typ rozměrových řetězců. odstupňovaný hřídel, určení chybějících tolerancí, či kontrola stávajících

4 Příklady lineárního rozměrového řetězce uložení ložiska na konci hřídele, kontrola vůle Kontrola vůle mezi kotouči uložení pera v hřídeli Základní vztahy lineárních rozměrových řetězců Jmenovitá hodnota závěrného členu Vůle mezi perem a drážkou pro pero Je rovna rozdílu součtů jmenovitých hodnot členů zvětšujících a zmenšujících. určení jmenovité hodnoty libovolného členu rozměrového řetězce. l 1 l 2 l 3 l 4 l 5 l 6 uzavřený lineární rozměrový řetězec

5 určení jednotlivých členů řetězce závěrný člen (člen který vznikne na základě vytvoření ostatních členů řetězce vyrobením či přidáním při montáži) v našem případě l 3 zmenšující členy (jejich zvětšením a ponecháním hodnot ostatních členů, se velikost závěrného členu zmenší) l 1, l 2, l 5 zvětšující členy (jejich zvětšením a ponecháním hodnot ostatních členů, se velikost závěrného členu zvětší) l 4, l 6 odvození výsledného vztahu po dosazení do obecného vztahu pro jmenovitou hodnotu Az= Ai Aj l 3 =l 4 l 6 l 1 l 2 l 5 při dalším řešení pak postupujeme jako u běžné lineární rovnice s jednou neznámou tj. pro neznámou l 4 : l 4 =l 3 l 6 l 1 l 2 l 5 Základní vztahy lineárních rozměrových řetězců maximální hodnota závěrného členu Je rovna rozdílu součtů minimálních hodnot členů zmenšujících od součtu maximálních hodnot členů zvětšujících. (totožný vztah platí pro mezní úchylky) výpočet maximální hodnoty závěrného, či zvětšujícího členu výpočet minimální hodnoty některého zmenšujícího členu pro neznámou hodnotu l 4max : Az max = Ai max Aj min l 3max =l 4max l 6max l 1min l 2min l 5min l 4max =l 3max l 6max l 1min l 2min l 5min při výpočtu mezních úchylek je postup totožný Základní vztahy lineárních rozměrových řetězců minimální hodnota závěrného členu HU l 3 =HU l 4 HU l 6 DU l 1 DU l 2 DU l 5 HU l 4 =HU l 3 HU l 6 DU l 1 DU l 2 DU l 5 Je rovna rozdílu součtů maximálních hodnot členů zmenšujících od součtu minimálních hodnot členů zvětšujících. (totožný vztah platí pro mezní úchylky)

6 výpočet minimální hodnoty závěrného, či zvětšujícího členu výpočet maximální hodnoty některého zmenšujícího členu pro neznámou hodnotu l 4min : Az min = Ai min Aj max l 3min =l 4min l 6min l 1max l 2max l 5max při výpočtu mezních úchylek je postup totožný DU l 3 =DU l 4 DU l 6 HU l 1 HU l 2 HU l 5 DU l 4 =DU l 3 DU l 6 HU l 1 HU l 2 HU l 5 l 4min =l 3min l 6min l 1max l 2max l 5max Základní vztahy lineárních rozměrových řetězců šířka tolerance závěrného členu příklad (ověření věty) šířka toleranční ho pole závěrného členu Az= Az max Az min Az max = Ai max Aj min Az min = Ai min Aj max Je rovna součtu všech tolerancí ostatních členů řetězce. (bez ohledu nato, zda se jedná o členy zvětšující či zmenšující) l 3max =l 4max l 6max l 1min l 2min l 5min l 3min =l 4min l 6min l 1max l 2max l 5max příklad (ověření věty) po dosazení l 3max l 3min =l 4max l 6max l 1min l 2min l 5min l 4min l 6min l 1max l 2max l 5max l 3max l 3min =l 4max l 4max l 6max l 6minmin l 1max l 1min l 2max l 2min l 5max l 5min l 3 =l 4 l 6 l 1 l 2 l 5 pravidlo nejkratší řady Z rovnice pro výpočet šířky tolerančního pole vyplývá, že čím více má rozměrový řetězec členů, tím více vzroste šířka tolerance závěrného členu, nebo je potřeba ostatní členy rozměrového řetězce zpřesnit. Při řešení v technologii či konstrukci se proto snažíme aplikovat řetězce s minimálním počtem členů.

7 Postup při řešení náčrt rozměrového řetězce určení všech členů rozměrového řetězce (závěrný, zvětšující, zmenšující) určení zkoumaného členu odvození vztahů pro jmenovité hodnoty, šířky tolerančního pole a mezních rozměrů z rovnic pro závěrečný člen samotný výpočet Plošné rozměrové řetězce Jednotlivé členy rozměrového řetězce nemusí být rovnoběžné, ale jsou rovnoběžné s jednou rovinou. Plošné rozměrové řetězce platí obdobné vztahy, kdy při výpočtu závěrného členu jsou jednotlivé členy vždy nejprve vynásobeny parciální derivací závěrného členu podle daného členu. Pro šířku tolerančního pole závěrného členu potom například platí při šířku tolerančního pole: 2D jmenovitý rozměr jmenovitý rozměr je dán matematickým vztahem mezi jednotlivými členy například: L4 L1 L3 L2 L1= L2 2 L3 L4 2 2D horní a dolní mezní rozměr (úchylka) pro maximální hodnotu závěrného členu Az max = Az Ai Ai max Az Aj Aj min pro minimální hodnotu závěrného členu Az min = Az Ai Ai mmin Az Aj Aj max aplikace na zvolený příklad maximální hodnota závěrného členu (pro Az = L1) L1 max = L1 L2 L2 max L1 L3 L3 max L1 L4 L4 min minimální hodnota závěrného členu L1 min = L1 L2 L2 min L1 L3 L3 min L1 L4 L4 max

8 derivace jednotlivých členů derivace závěrného podle prvního členu 1 L1= L2 2 L3 L4 2 = L2 2 L3 L4 2 2 L1 L2 = 1 2 L22 L3 L L2 L1 L2 = L2 L2 2 L3 L4 2 výsledek odpovídá cosinu úhlu sevřeného členy L1 a L2 v pravoúhlém trojúhelníku = L2 L1 derivace jednotlivých členů derivace závěrného podle členu L3 či L4 1 L1= L2 2 L3 L4 2 = L2 2 L3 L4 2 2 L1 L3 =1 2 L22 L3 L L3 L4 L1 L3 = L3 L4 L2 2 L3 L4 2 výsledek odpovídá cosinu úhlu sevřeného členy L1 a L3 respektive L4 v pravoúhlém trojúhelníku = L3 L4 L1 Prostorové rozměrové řetězce Úhlové rozměrové řetězce A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A z A 6 jednotlivé členy rozměrového řetězce jsou orientovány v třírozměrném prostoru (nejsou všechny rovnoběžně s jednou rovinou či přímkou) pokud všechny úhly leží v jedné rovině, případně v rovinách rovnoběžných, řešíme je obdobně jako u lineárních rozměrových řetězců. Úhlové rozměrové řetězce aplikace v praxi Mitcalc 1.4 v případě, že úhly neleží v rovnoběžných rovinách, určíme jejich vzájemná vztah a použijeme opět parciální derivace. řeší 1D, 2D a 3D rozměrové řetězce Toleranční analýza, syntéza a optimalizace rozměrového řetězce Pro 2D a 3D rozměrové řetězce používá metody "Worst case" a"monte Carlo" solupracuje s mnoha konstrukčními programy (Autocad, ProEngineer atd.)

9 metoda monte carlo jednoduchý příklad metody monte carlo Základní myšlenka této metody je následující, chceme určit střední hodnotu veličiny, která je výsledkem náhodného děje. Vytvoří se počítačový model toho děje a po proběhnutí dostatečného množství simulací (s využitím náhodných čísel) se mohou data zpracovat klasickými statistickými metodami, třeba určit průměr a směrodatnou odchylku. x= 1 x N i Je nutné znát všechna pravděpodobnostní = x x i 2 n 1 rozložení zkoumaných jevů a fyzikální zákonitosti, kterými se řídí výpočet čísla Π plocha vepsaného kruhu je definována jako: ΦD=a plocha čtverce: Sk= D2 4 Sc=D 2 Jestliže budeme generovat náhodné body uvnitř ploch obrazců pak poměr jejich počtu se bude blížit poměru jejich ploch.. odtud = 4 Sk Sc = 4 nk nc metoda monte carlo metoda worst case chyba výsledku získaná pomocí n náhodných průběhů se udává jako: r= 1 n abychom zpřesnily výsledek o jeden řád tj. 10x, musíme provést o dva řády více průběhů, tj pro odhad našeho čísla Π na 4 desetinná místa 10 8 průběhů. určíme rozsahy největších a nejmenších hodnot jednotlivých členů rozměrového řetězce, ty jsou pak dále případně rozděleny na více úseku. Provede se kontrolní výpočet pro všechny možné kombinace, přičemž počet potřebných výpočetních cyklů c=k n kontroluje se závěrný člen k je počet variant rozměrů členu řetězce a n je počet členů řetězce používá se pro jednodušší rozměrové řetězce anglické pojmy rozměrový řetězec : dimensional chain vůle : gap strojírenství : engineering toleranční analýza : tolerance analysis derivace : derivation Použitá litaratura KOCMAN K. Speciální technologie. Obrábění. 3. vyd. Brno: CERM, s. ISBN Mechanical, Industrial and Technical Calculations