MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. DIPLOMOVÁ PRÁCE Úlohy s prostorovými tělesy v Mongeově zobrazovací metodě

Transkript

1 MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA DIPLOMOVÁ PRÁCE Úlohy s prostorovými tělesy v Mongeově zobrazovací metodě BRNO 2006 BLANKA MORÁVKOVÁ

2 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem diplomovou práci vypracovala samostatně pod vedením doc. RNDr. Josefa Janyšky, CSc., a uvedla jsem veškerou literaturu, kterou jsem použila. V Brně,

3 Poděkování: Chtěla bych poděkovat doc. RNDr. Josefovi Janyškovi, CSc., za vedení mé diplomové práce a za užitečné rady a připomínky.

4 Obsah Úvod 5 1 Zobrazení těles Hranol Jehlan Válec Kužel Kulová plocha Rovinné řezy těles Rovinný řez hranolu Rovinný řez jehlanu Rovinný řez válce Rovinný řez kužele Rovinný řez kulové plochy Průnik přímky s tělesem 115 Závěr 126 Použitá literatura 127 Příloha pracovní listy s vyrýsovaným zadáním

5 Úvod Cílem mé diplomové práce bylo vytvořit učební text použitelný pro výuku deskriptivní geometrie na středních školách, pojednávající o úlohách na prostorových tělesech v Mongeově zobrazovací metodě. V diplomové práci jsem navázala na svoji bakalářskou práci Řezy těles v Mongeově zobrazovací metodě. Diplomová práce obsahuje tři kapitoly. V první jsem se věnovala samotnému sestrojení průmětů prostorových těles. V druhé kapitole je obsažena problematika rovinných řezů těles a třetí kapitola pojednává o průniku přímky s tělesem. Věnovala jsem se základním tělesům hranolu, jehlanu, válci a kuželi a kulové ploše. Po vyložení teorie následují řešené příklady. U všech příkladů je uveden slovní postup konstrukce a vyrýsované řešení. Zadání příkladu je voleno tak, aby byl výsledek (těleso, řez, apod.) ve sdružených průmětech dobře viditelný a pomocné konstrukce nevycházely pokud možno mimo pracovní plochu. Jsou zde obsaženy příklady ukázkové i méně typické. V příloze jsou pracovní listy s vyrýsovaným zadáním ke každému příkladu. Žáci se tak mohou hned věnovat řešení příkladu. Příklady jsou zároveň zadány v konkrétních souřadnicích, aby si žáci mohli případně zadání sami narýsovat. Osový kříž je vždy volen doprostřed stránky formátu A4. Při řešení úloh je předpokládána znalost základních konstrukcí Mongeovy zobrazovací metody, konstrukcí kuželoseček z daných prvků, Rytzovy a proužkové konstrukce, osové afinity a středové kolineace. Postupy těchto konstrukcí nejsou ve slovním řešení popsány. 5

6 Kapitola 1 Zobrazení těles 1.1 Hranol Je dána rovina α, v ní konvexní n-úhelník ABC... a přímka s různoběžná s rovinou α. Množina všech přímek rovnoběžných s přímkou s, která protínají n-úhelník ABC..., resp. jeho obvod, se nazývá n-boký hranolový prostor, resp. n-boká hranolová plocha. Těmto přímkám říkáme tvořící přímky. Daný n-úhelník nazýváme řídícím mnohoúhelníkem, přímky procházející vrcholy řídícího mnohoúhelníka hranami, přímky protínající obvod řídícího mnohoúhelníku povrchovými přímkami (površkami). Množina všech přímek protínajících stranu řídícího mnohoúhelníka tvoří stěnu. Rovina α rovnoběžná s rovinou α, α α, protíná hranolový prostor v mnohoúhelníku A B C..., který je shodný s řídícím mnohoúhelníkem. Hranolový prostor mezi rovinami α a α je n-boký hranol. 1 Roviny α a α nazýváme rovinami podstavy, n-úhelníky ABC... a A B C... podstavami, jejich strany podstavnými hranami a jejich vrcholy nazýváme vrcholy hranolu. Části hran hranolové plochy mezi rovinami α a α, kterými jsou shodné úsečky, nazýváme pobočnými hranami hranolu. Části stěn hranolové plochy mezi rovinami α a α, kterými jsou rovnoběžníky, nazýváme pobočnými stěnami hranolu. Pobočné stěny tvoří plášť hranolu, plášť a obě podstavy tvoří povrch hranolu. Výškou hranolu nazveme vzdálenost rovin podstav. Pojem povrchové přímky, který jsme zavedli pro hranolový prostor, přenášíme i na hranol. Povrchovou přímkou hranolu (površkou) rozumíme povrchovou přímku příslušného hranolového prostoru. 1 Omezujeme se pouze na konvexní hranol, tj. hranol vzniklý z hranolového prostoru, jehož řídící n-úhelník je konvexní. Existují i nekonvexní hranoly, která vznikají z hranolového prostoru s nekonvexním řídícím n-úhelníkem. 6

7 KAPITOLA 1. ZOBRAZENÍ TĚLES 7 Jsou-li pobočné hrany kolmé na rovinu podstavy, nazýváme hranol kolmým. V opačném případě se hranol nazývá kosým. Kolmý hranol, jehož podstavy tvoří pravidelné n-úhelníky, se nazývá pravidelný n-boký hranol. Spojnici středů podstav pravidelného hranolu nazýváme osou. Zvláštním případem pravidelného n-bokého hranolu je krychle. Je to pravidelný čtyřboký hranol, jehož výška je rovna délce podstavné hrany. Je zřejmé, že všechny hrany krychle jsou stejně dlouhé a všechny její stěny jsou čtverce. 2 Rovnoběžným průmětem konvexního hranolu je konvexní mnohoúhelník. Jeho obvod je zdánlivým obrysem průmětu hranolu (krátce obrysem). Povrch hranolu pokládáme za neprůhledný, musíme proto určit viditelnost vrcholů a hran. V prvním i druhém průmětu je obrys vždy viditelný. Stačí tedy určit viditelnost vrcholů a hran zobrazených uvnitř obrysu. Viditelnost v půdorysu určujeme z nárysu (při pohledu shora). Porovnáním z-ových souřadnic vrcholů obou podstav zjistíme, která podstava leží výš a která níž. Protože pobočné hrany jsou rovnoběžné, stačí porovnat z- ové souřadnice vrcholů na jedné pobočné hraně nebo středů podstav. Vrchol, který má větší z-ovou souřadnici než vrchol ležící na téže pobočné hraně, leží výš a s ním i celá podstava. Vyšší podstava je v půdorysu viditelná a nižší neviditelná. Viditelnost v nárysu určujeme z půdorysu (při pohledu zepředu). Porovnáním y-ových souřadnic vrcholů určíme podobně jako v předchozím případě, která podstava leží vředu a která vzadu. Podstava s většími y-ovými souřadnicemi leží vpředu a je v nárysu viditelná. Zadní podstava, s menšími y-novými souřadnicemi, je neviditelná. Vrcholy neviditelné postavy ležící uvnitř obrysu jsou neviditelné. Všechny hrany vedoucí z neviditelných vrcholů jsou neviditelné. I v případě, že všechny vrcholy leží na obrysu a jsou tedy viditelné, mohou existovat neviditelné hrany. Jsou to ty hrany, jejichž průměty leží uprostřed obrysu a mají nejmenší z-ové, resp. y-ové souřadnice. Viditelné hrany znázorňujeme plnou čarou, neviditelné čárkovanou. 2 Krychle patří mezi pravidelné mnohostěny, tzv. platónská tělesa. Všechny hrany těchto těles jsou stejně dlouhé, všechny jejich stěny jsou pravidelné n-úhelníky a u každého vrcholu se stýká stejný počet stěn. Platónských těles existuje pět: pravidelný čtyřstěn, krychle, pravidelný osmistěn, pravidelný dvanáctistěn, pravidelný dvacetistěn.

8 KAPITOLA 1. ZOBRAZENÍ TĚLES 8 Příklad 1.1. Kosý hranol má čtvercovou podstavu ABCD v půdorysně. Zobrazte tento hranol, jsou-li dány vrcholy podstavy A[ 6; 3; 0], C[ 1; 4; 0] a vrchol druhé podstavy A [1; 7; 7]. Určete oba průměty bodů K[1; 6;?] a L[ 0, 5;?; 4, 5] ležících na plášti tohoto hranolu. Řešení. Průmět hranolu dostaneme tak, že sestrojíme průměty podstav a pobočných hran. Podstavy leží v půdorysně a v rovině s ní rovnoběžné, a proto jsou jejich půdorysy shodné čtverce a nárysy stejně dlouhé rovnoběžné úsečky. Oba průměty pobočných hran jsou rovnoběžné úsečky. V půdorysu je neviditelný bod C a všechny hrany z něho vedoucí. V nárysu je neviditelná pouze hrana DD. Bod K leží na površce k, sestrojíme ji pomocí jejího průsečíku s obvodem podstavy. Bod K 1 je zřejmě půdorysem také bodu K, který leží na površce k. Rovněž bod L 2 je nárysem dvou bodů L a L ležících na površkách l a l. Postup je zřejmý z obrázku.

9 KAPITOLA 1. ZOBRAZENÍ TĚLES 9 Příklad 1.2. Zobrazte pravidelný šestiboký hranol, jehož podstava se středem S[1, 5; 4; 5] a vrcholem A[ 0, 5; 5; 7] leží v rovině α kolmé k nárysně. Délka pobočných hran je 3, druhá podstava leží pod rovinou α. Řešení. Protože je rovina podstavy α kolmá k nárysně, je jejím druhým průmětem přímka A 2 S 2. Pro sestrojení podstavy sklopíme rovinu α do nárysny. Nárysem podstavy je úsečka A 2 D 2, půdorysem šestiúhelník. Pobočné hrany jsou rovnoběžné s nárysnou, jsou tedy v druhém průmětu zobrazeny ve skutečné velikosti. Jejich půdorysy jsou rovnoběžné s osou x 12. Druhá podstava leží pod rovinou α, a proto z A > z A. V půdorysu je viditelná podstava ABCDEF. Vrcholy C a D a všechny hrany z nich vedoucí jsou neviditelné. V nárysu jsou neviditelné hrany EE a F F.

10 KAPITOLA 1. ZOBRAZENÍ TĚLES 10 Příklad 1.3. Zobrazte kolmý čtyřboký hranol se čtvercovou postavou ABCD v rovině α(6; 6; 4, 5), jsou-li dány vrcholy podstavy A[ 2, 5;?; 4, 5], C[ 1, 5; 6, 5;?] a výška hranolu v = 7. Druhá podstava leží nad rovinou α. Řešení. V rovině α sestrojíme čtverec ABCD s úhlopříčkou AC, který tvoří jednu podstavu hranolu. Půdorys čtverce ABCD podstavy sestrojíme např. v otočení roviny α kolem její půdorysné stopy do půdorysny. Využijeme přitom afinity mezi prvním a otočeným průmětem. Do nárysu přeneseme čtverec ABCD např. pomocí hlavních přímek roviny α. Ve vrcholech podstavy vztyčíme kolmice na rovinu α; na nich leží pobočné hrany. Na tyto kolmice naneseme od vrcholů podstavy délku v = 7 = AA, např. ve sklopení, a tím získáme vrcholy druhé podstavy. Druhá podstava (horní) leží nad rovinou α, proto y A < y A a z A < z A. (Výšku stačí nanést pouze na jednu hranu, protože všechny pobočné hrany jsou stejně dlouhé.) V obou průmětech je viditelná horní podstava. V půdorysu není vidět vrchol C a v nárysu vrchol A.

11 KAPITOLA 1. ZOBRAZENÍ TĚLES 11 Příklad 1.4. Zobrazte pravidelný čtyřboký hranol, je-li dána jeho osa o = ([ 7, 5; 12, 5; 0], [6; 0; 10, 5]), vrchol podstavy A[ 4; 8; 7, 5] a výška v = 7. Zobrazte to řešení, které celé leží v prvním kvadrantu. Řešení. Bodem A proložíme rovinu α kolmo k přímce o. Rovina α je rovinou podstavy. Určíme ji hlavními přímkami první a druhé osnovy I h a II h procházejícími bodem A a sestrojíme její stopy. (Stačí sestrojit pouze jednu ze stop. Na obrázku je sestrojena půdorysná stopa.) Pomocí krycí přímky, kterou je spádová přímka první osnovy I s, sestrojíme průsečík S přímky o s rovinou podstavy α. Bod S je středem podstavy. V rovině α sestrojíme podstavný čtverec ABCD, pro který je dán vrchol A a střed S; řešení provedeme otočením do první průmětny kolem půdorysné stopy. Pobočné hrany vedeme vrcholy podstavy kolmo na rovinu podstavy, tj. rovnoběžně s osou o, a určíme vrcholy druhé podstavy. Výšku hranolu v = SS naneseme ve sklopení např. na osu hranolu o. Jsou dvě možnosti; protože hranol má celý ležet v prvním kvadrantu, musí platit y S > y S a z S < z S.

12 KAPITOLA 1. ZOBRAZENÍ TĚLES 12 V půdorysu je viditelná podstava A B C D (leží výš), neviditelný je vrchol C (má menší z-ovou souřadnici než bod A). V nárysu je viditelná podstava ABCD (leží více vpředu), neviditelný je vrchol D (má menší y-ovou souřadnici než bod B). Příklad 1.5. Zobrazte kolmý hranol, jehož podstavu tvoří čtverec ABCD v rovině α( 5; 5; 4), A[2; 1;?]. Čtverec ABCD je souměrný podle osy menšího úhlu obou stop roviny α. Výška hranolu je 7. Druhá podstava leží nad rovinou α. Řešení. Abychom mohli sestrojit podstavný čtverec ABCD, otočíme rovinu α kolem její půdorysné stopy do půdorysny. Musíme otočit bod A a nárysnou stopu n α. Půdorysná stopa zůstává při otočení na místě. Úhlopříčka BD podstavy leží na ose úhlu obou stop roviny α. Další postup je stejný jako v příkladě 1.3. V půdorysu je neviditelný vrchol C, v nárysu vrchol A.

13 KAPITOLA 1. ZOBRAZENÍ TĚLES 13 Příklad 1.6. Zobrazte pravidelný šestiboký hranol, který má dolní podstavu v rovině α(5; 6; 5), je-li dán střed této podstavy S[ 2;?; 4] a vrchol A [1, 5; 5; 11] horní podstavy. Řešení. Bodem A vedeme kolmici a na rovinu α. Sestrojíme průsečík A roviny α a přímky a pomocí krycí přímky. Za krycí přímku jsme zvolili spádovou přímku druhé osnovy II s. V rovině α sestrojíme šestiúhelník ABCDEF se středem S a jedním vrcholem A, který tvoří dolní podstavu. Jednu pobočnou hranu AA už máme sestrojenou (leží na přímce a); zbývá zobrazit ostatní vrcholy horní podstavy. Tyto vrcholy leží na kolmicích vedoucích z vrcholů dolní podstavy k rovině α. Délka úsečky AA je výškou hranolu. Horní podstava je v obou průmětech viditelná. V půdorysu jsou neviditelné vrcholy E a D, v nárysu vrcholy A a F.

14 KAPITOLA 1. ZOBRAZENÍ TĚLES 14 Příklad 1.7. Je dána rovina α(5; 5, 5; 5, 5) a mimo ni bod O[0; 5, 5; 6]. Zobrazte pravidelný čtyřboký hranol, jehož středem je bod O, jedna jeho tělesová úhlopříčka u je rovnoběžná se základnicí a jedna podstava leží v rovině α. Řešení. Úhlopříčka hranolu u prochází bodem O a v obou průmětech je rovnoběžná s osou x 12. Sestrojíme její průsečík s rovinou α a získáme tak vrchol podstavy A. (Jako krycí přímku pro sestrojení bodu A jsme použili hlavní přímku druhé osnovy II h roviny α.) Středem hranolu O prochází osa hranolu o, která je kolmá k rovině podstavy α. Průsečík osy o a roviny α je středem S podstavy. (Krycí přímkou je spádová přímka první osnovy I s.) V rovině α sestrojíme podstavný čtverec ABCD, pro který známe vrchol A a střed S. Výška hranolu je daná délkou úsečky SS, kde S leží na ose o hranolu tak, že bod O je středem úsečky SS. Hranol můžeme sestrojit i jiným způsobem. Na úhlopříčce u leží vrchol C druhé podstavy tak, že bod O je středem úsečky AC. Bodem C

15 KAPITOLA 1. ZOBRAZENÍ TĚLES 15 vedeme kolmici na rovinu α a určíme jejich průsečík C. Máme jednu pobočnou hranu CC (délka úsečky CC je výškou hranolu) a pro podstavný čtverec úhlopříčku AC. V půdorysu je viditelná podstava A B C D, vrchol C je neviditelný. V nárysu je viditelná podstava ABCD, neviditelný je vrchol D. Příklad 1.8. Zobrazte pravidelný čtyřboký hranol, jehož osu tvoří přímka o = OS, O[ 4; 8; 1], S[2; 3; 6]. Bod S je středem podstavy ABCD, A[?;?; 6], která je vepsaná do kružnice o poloměru 3. Vzdálenost podstav je 6 a y A > y A. Řešení. Jedna podstava hranolu leží v rovině α, která prochází bodem S a je kolmá k ose o. Určíme ji hlavními přímkami první a druhé osnovy I h, II h vedenými bodem S. Protože z A = z S, leží bod A na hlavní přímce první osnovy I h. V půdorysu ji vidíme ve skutečné velikosti, proto AS = A 1 S 1 = 3. Na přímce I h leží také vrchol C. Úhlopříčky čtverce jsou k sobě kolmé, musí tedy úhlopříčka podstavného čtverce BD ležet na spádové přímce první osnovy I s roviny α. Vrcholy B, D určíme otočením roviny α nebo sklopením

16 KAPITOLA 1. ZOBRAZENÍ TĚLES 16 spádové přímky I s. Výšku hranolu naneseme na osu o; střed S druhé podstavy leží mezi body S a O. V půdorysu není vidět vrchol B, v nárysu vrchol C. Příklad 1.9. Je dána rovina α( ; 4; 6) a v ní body A[0, 5; 1;?], B[2; 3, 5;?]. Zobrazte kolmý hranol stojící na rovině α, jehož podstavy tvoří rovnostranné trojúhelníky a pobočné stěny čtverce. Pro dolní podstavu ABC platí x C < x A. Řešení. Rovina α je rovnoběžná s osou x, nemůžeme proto druhé průměty bodů A a B určit pomocí hlavních přímek. Známe ale půdorys přímky AB, můžeme sestrojit její nárys a tím i nárysy bodů A, B. V rovině α sestrojíme nad úsečkou AB rovnostranný trojúhelník ABC (bod C leží nejvíce vlevo). Výška hranolu je rovna délce podstavných hran. Pobočné hrany ležící na kolmicích k rovině α jsou kolmé na základnici. Známe pro ně jenom jeden bod, a proto je nemůžeme sklopit. Protože jsou kolmé k rovině α, jsou kolmé i k jejím spádovým přímkám a navíc s nimi leží ve stejné promítací rovině, kterou můžeme sklopit. Výšku hranolu musíme nanést dvakrát, v půdorysu i v nárysu; konstrukce je zřejmá z obrázku. V půdorysu je jediným bodem uvnitř obrysu vrchol A, který leží ze všech vrcholů nejvýše a je tedy viditelný. Hrana BC leží nejníže a je jako jediná

17 KAPITOLA 1. ZOBRAZENÍ TĚLES 17 neviditelná. Vrchol A je nejvýce vzadu, proto je v nárysu, stejně jako všechny hrany z něho vycházející, neviditelný. Příklad Je dán bod S[2; 7; 2, 5] a přímka a = ([3; 10; 3], [ 3; 4; 9]). Zobrazte pravidelný pětiboký hranol, víme-li, že bod S je středem jedné podstavy, pobočná hrana AA leží na přímce a a výška hranolu je 6. Zobrazte ten hranol, který celý leží v prvním kvadrantu. Řešení. Bodem S proložíme rovinu α = I h II h kolmo k přímce a. Sestrojíme průsečík A roviny α a přímky a, (krycí přímkou je I s). V rovině α sestrojíme podstavu, kterou je pravidelný pětiúhelník se středem S a vrcholem A. Určíme zbývající pobočné hrany a naneseme výšku. V obrázku je nanesena na pobočnou hranu procházející bodem D. Podstava ležící v rovině α je v půdorysu neviditelná a v nárysu viditelná. V půdorysu je tedy neviditelný vrchol C a v nárysu vrchol D.

18 KAPITOLA 1. ZOBRAZENÍ TĚLES 18 Příklad Zobrazte plášť pravidelného šestibokého hranolu, který má podstavu se středem S[0; 3;?] a vrcholem A[ 0, 5; 0, 5;?] v rovině α( ; 6; 5). Druhá podstava leží nad rovinou α, výška hranolu je 6. Řešení. Hranol sestrojíme obdobně jako v příkladu 1.9. V obou průmětech je viditelná horní podstava A B C D E F. Kdybychom zobrazovali celý hranol, byly by v půdorysu neviditelné vrcholy D a E a v nárysu vrcholy A a B. Protože se jedná pouze o plášť, vidíme i dovnitř hranolu. Kromě viditelných hran celého hranolu vidíme navíc v půdorysu hranu DD a části hran CD, DE a EE, v nárysu vidíme navíc části hran AA a BB.

19 KAPITOLA 1. ZOBRAZENÍ TĚLES 19 Příklad Zobrazte krychli ABCDEF GH, leží-li její stěna ABCD, A[ 3;?; 6], se středem S[ 1; 4;?] v rovině α(8; 6; 8) a platí-li z A < z E. Řešení. V rovině α sestrojíme čtverec ABCD, pro který známe střed S a vrchol A. V jeho vrcholech vztyčíme kolmice na rovinu α a naneseme na ně délku hrany čtverce ABCD. Protože z A < z E, leží stěna EF GH nad rovinou α a je v obou průmětech viditelná. V půdorysu je neviditelný vrchol C, v nárysu vrchol D.

20 KAPITOLA 1. ZOBRAZENÍ TĚLES 20 Příklad Zobrazte krychli, jsou-li dány její vrcholy A[3; 3; 4] a B[0; 1; 2] a víme-li, že bod C leží v půdorysně. Narýsujte to řešení, které leží celé v prvním kvadrantu. Řešení. Velikost hrany krychle je dána délkou úsečky AB, tu zjistíme např. sklopením přímky AB do půdorysny. Bodem B proložíme rovinu β = I h II h kolmo k přímce AB a určíme její půdorysnou stopu p β. V rovině β leží stěna BCGF, sestrojíme ji otočením roviny β do půdorysny. Protože vrchol C má ležel v půdorysně a zároveň v rovině β, musí ležet na půdorysné stopě roviny β ve vzdálenosti AB od bodu B. Otočený bod C splývá se svým prvním průmětem. Pro bod C existují dvě řešení. Aby krychle ležela celá v prvním kvadrantu, musí platit y B > y C. Ve vrcholech čtverce BCGF vztyčíme kolmice k rovině β a určíme zbývající vrcholy. Vrchol C je nejnižším bodem krychle a je v půdorysu neviditelný. V nárysu je neviditelný vrchol B.

21 KAPITOLA 1. ZOBRAZENÍ TĚLES 21 Příklad Zobrazte krychli, známe-li její vrchol A[ 0, 5; 2; 3] a víme-li, že hrana CG leží na přímce m = ([ 5, 5; 0; 9], [0; 7; 6]), y G > y C. Řešení. Bodem A proložíme rovinu α = I h II h kolmo k přímce m. Sestrojíme vrchol C, kterým je průsečík přímky m a roviny α. V rovině α sestrojíme čtverec s úhlopříčkou AC. Jeho vrcholy vedeme kolmice k rovině α (rovnoběžky s přímkou m) a určíme na nich zbývající vrcholy. V půdorysu není vidět vrchol E, v nárysu vrchol A.

22 KAPITOLA 1. ZOBRAZENÍ TĚLES 22 Příklad Zobrazte krychli se středem S[0; 4; 5] a jednou hranou na přímce a = ([ 4; 9; 9], [5; 5, 5; 5, 5]). Řešení. Na přímku a umístíme hranu AE krychle ABCDEF GH. Rovina σ = I h II h jdoucí středem S krychle protíná přímku a v bodě K, který je středem hrany AE. Čtverec KLMN, kde body L, M, N jsou po řadě středy hran BF, CG, DH, leží v rovině σ, je shodný se stěnami krychle a jeho střed je totožný se středem krychle. Setrojíme rovinu σ, v ní čtverec KLMN a v jeho vrcholech rovnoběžky s přímkou a (kolmice na rovinu σ). Na přímku a naneseme od bodu K na obě strany polovinu déky stany čtverce KLMN a dostaneme vrcholy A a E krychle. Podobně sestrojíme i ostatní vrcholy krychle. Existuje jediné řešení. V půdorysu není vidět vrchol D, v nárysu vrchol C.

23 KAPITOLA 1. ZOBRAZENÍ TĚLES 23 Příklad Zobrazte krychli, která má stěnu ABCD v rovině α( 8; 7; 4, 5), vrchol B v nárysně a stěnu EF GH nad rovinou α, víme-li, že: a) A[1; 3;?], vrchol C leží nad nárysnou a délka hran krychle je 4, b) A[1, 5;?; 3], vrchol C leží pod nárysnou a délka hran krychle je 5. Zobrazte všechna řešení. Řešení. a) V rovině α sestrojíme stěnu ABCD. Protože bod B leží zároveň v nárysně i v rovině α, musí ležet na nárysné stopě n α roviny α ve vzdálenosti 5 od bodu A. Vrchol C leží nad nárysnou, a proto celý čtverec ABCD leží v jedné polorovině s hraniční přímkou n α. Konstrukci čtverce ABCD provedeme v otočení roviny α kolem její nárysné stopy do nárysny, přičemž otočený bod B splývá se svým druhým průmětem. Ve vrcholech stěny ABCD vztyčíme kolmice na rovinu α, naneseme na ně délku hran krychle tak, aby platilo z A < z E, a tím získáme zbývající vrcholy krychle. Pro bod B existují dvě řešení, proto i celá úloha bude mít dvě řešení krychli ABCDEF GH a krychli AB C D EF G H, které mají společnou hranu AE. V nárysu jsou neviditelné vrcholy B a B a všechny hrany z nich vedoucí. V půdorysu je neviditelný vrchol A krychle ABCDEF GH a vrchol D krychle AB C D EF G H a všechny hrany vedoucí z těchto vrcholů. Protože krychle ABCDEF GH leží výš než krychle AB C D EF G H, zakrývá krychle ABCDEF GH při pohlehu shora část krychle AB C D EF G H.

24 KAPITOLA 1. ZOBRAZENÍ TĚLES 24 V půdorysu je tedy u krychle AB C D EF G H navíc neviditelná hrana AE a část hrany AB. b) Krychli sestrojíme stejně jako v případě a) s tím rozdílem, že vrcholy C a A čtverce ABCD leží v opačných polorovinách s hraniční přímkou n α. Existují dvě řešení krychle ABCDEF GH a krychle AB C D EF G H se společnou hranou AE. Krychle mají neprázdný průnik, tzn. že část krychle ABCDEF GH leží uvnitř krychle AB C D EF G H a naopak. Povrchy obou krychlí se protínají v obdélníku AEY X, jehož nárysem je úsečka A 2 Y 2. Vrchol C krychle ABCDEF GH je nejvíce vzadu, proto je v nárysu neviditelný a s ním i hrany CB, CD a CG. Kromě toho jsou neviditelné hrany ležící uvnitř druhé krychle, tj. hrany AB a BF. Podobně je tomu i u krychle AB C D EF G H, neviditelné hrany jsou tedy C B, C D, C G, AB a B F. V půdorysu je nejnižším vrcholem krychle ABCDEF GH vrchol D a nejnižším vrcholem krychle AB C D EF G H vrchol A. Tyto vrcholy jsou v půdorysu neviditelné a s nimi i hrany DA, DC, DH, AB, AD, AE. Kromě toho jsou stejně jako v nárysu neviditelné hrany ležící uvnitř druhé krychle, tj. hrany AB, BF, AB, B F a části hran BC, B C. V půdorysu je ještě neviditelná strana AX průniku AEY X.

25 KAPITOLA 1. ZOBRAZENÍ TĚLES Jehlan Je dána rovina α, v ní konvexní n-úhelník ABC... a mimo ni bod V. Množina všech přímek, které procházejí bodem V a protínají n-úhelník ABC..., resp. jeho obvod, se nazývá n-boký jehlanový prostor, resp. n-boká jehlanová plocha. Těmto přímkám říkáme tvořící přímky. Bod V nazýváme vrcholem jehlanové plochy. Daný n-úhelník nazýváme řídícím mnohoúhelníkem, přímky procházející vrcholy řídícího mnohoúhelníka hranami, přímky protínající obvod řídícího mnohoúhelníka povrchovými přímkami (površkami). Množina všech přímek protínajících stranu řídícího mnohoúhelníku tvoří stěnu. Jehlanový prostor mezi rovinou α a bodem V je n-boký jehlan. 3 Bod V nazýváme hlavním vrcholem jehlanu. Rovinu α naýváme rovinou podstavy, n- úhelník ABC... podstavou, jeho strany podstavnými hranami a jeho vrcholy spolu s hlavním vrcholem nazýváme vrcholy jehlanu. Části hran jehlanové plochy mezi rovinou α a hlavním vrcholem V nazýváme pobočnými hranami jehlanu. Části stěn jehlanové plochy mezi rovinou α a hlavním vrcholem V, kterými jsou trojúhelníky, nazýváme pobočnými stěnami jehlanu. Pobočné stěny tvoří plášť jehlanu, plášť a obě podstavy tvoří povrch jehlanu. Vzdálenost roviny podstavy a hlavního vrcholu nazýváme výškou jehlanu. Podobně jako u hranolu rozumíme povrchovou přímkou jehlanu (površkou) povrchovou přímku příslušného jehlanového prostoru. Je-li podstavou jehlanu pravidelný n-úhelník a pata kolmice vedené z hlavního vrcholu na rovinu podstavy je středem podstavy, nazýváme jehlan pravidelným n-bokým jehlanem. Má-li podstava jehlanu střed a pata kolmice vedené z hlavního vrcholu na rovinu podstavy je totožná s tímto středem, nazývá se jehlan kolmý. V opačném případě se jehlan nazývá kosý. Pravidelný jehlan je zřejmě jehlanem kolmým. Spojnici středu podstavy a hlavního vrcholu kolmého jehlanu nazýváme osou jehlanu. Trojbokému jehlanu říkáme čtyřstěn. Pokud jsou všechny strany čtyřstěnu tvořeny rovnostrannými trojúhelníky, jde o pravidelný čtyřstěn. Pravidelný čtyřstěn je tedy zvláštním případem pravidelného n-bokého jehlanu. Pata výšky pravidelného čtyřstěnu vedené z každého jeho vrcholu je totožná s těžištěm jeho protější stěny. Je-li bod T těžištěm trojúhelníka ABC, pak výšku v = T D pravidelného čtyřstěnu získáme např. z pravoúhlého trojúhelníka ADT s pravým úhlem při vrcholu T. V této části se zmíníme ještě o pravidelném osmistěnu. Lze si ho představit 3 Stejně jako u hranolu i zde se omezujeme se pouze na konvexní jehlan, tj. jehlan vzniklý z jehlanuvého prostoru, jehož řídící n-úhelník je konvexní. Existují i nekonvexní jehlany, která vznikají z jehlanového prostoru s nekonvexním řídícím n-úhelníkem.

26 KAPITOLA 1. ZOBRAZENÍ TĚLES 26 jako dva shodné pravidelné čtyřboké jehlany přilepené podstavani k sobě, jejichž pobočné strany jsou rovnostranné trojúhelníky. Pravidelný osmistěn má tedy osm stěn, dvanáct hran, šest vrcholů a tři stejně dlouhé a navzájem kolmé tělesové úhlopříčky protínající se ve středu osmistěnu. Z každého vrcholu vedou čtyři hrany. Všechny úhlopříčné řezy pravidelného osmistěnu jsou shodné čtverce s délkou strany rovnající se délce strany osmistěnu. Úhlopříčky těchto čverců jsou totožné s tělesovými úhlopříčkami. 4 Rovnoběžným průmětem konvexního jehlanu je opět konvexní mnohoúhelník. Jeho obvod je zdánlivým obrysem průmětu jehlanu (krátce obrysem). Stejně jako u hranolu pokládáme povrch jehlanu za neprůhledný. Určování viditelnosti je u jehlanu obdodné jako u hranolu. Porovnáním z-ových, resp. y-ových, souřadnic vrcholů zjistíme, zda leží výše, resp. vpředu, podstava nebo hlavní vrchol jehlanu. U pravidelných jehlanů je vhodné porovnávat hlavní vrchol a střed podstavy. Leží-li hlavní vrchol výše než podstava, je podstava v půdorysu neviditelná, v opačném případě je viditelná. Je-li hlavní vrchol před podstavou, je podstava v nárysu neviditelná, v opačném případě je viditelná. 4 Pravidelný čtyřstěn a pravidelný osmistěn patří mezi pravidelná tělesa.

27 KAPITOLA 1. ZOBRAZENÍ TĚLES 27 Příklad Zobrazte pravidelný čtyřboký jehlan s podstavou v půdorysně, je-li dán její střed S[0; 4; 0] a vrchol A[ 1; 7; 0] a výška jehlanu v = 7. Na povrchu tohoto jehlanu zobrazte body K[ 1; 5;?] a L[1, 5;?; 2]. Řešení. Průmět jehlanu dostaneme tak, že sestrojíme průměty podstavy a pobočných hran. Podstava leží v půdorysně, proto je jejím půdorysem čtverec a nárysem úsečka D 2 B 2 ležící na základnici. Protože jde o kolmý jehlan, je jeho výška, tj. úsečka SV, kolmá k půdorysně. První průmět hlavního vrcholu splývá s prvním průmětem středu podstavy. V nárysu je úsečka SV kolmá na základnici a vidíme ji ve skutečné velikosti, tedy v = SV = S 2 V 2 = 7. V půdorysu jsou všechny vrcholy i hrany viditelné, v nárysu je neviditelná pouze hrana CV. Zbývající průměty bodů K a L odvodíme podobně jako u hranolu pomocí povrchových přímek. Nárys bodu K je odvozen pomocí povrchové přímky k. Bod L 2 je nárysem dvou bodů L a L, které leží na površkách l a l. Postup je zřejmý z obrázku.

28 KAPITOLA 1. ZOBRAZENÍ TĚLES 28 Příklad Zobrazte pravidelný čtyřboký jehlan výšky v = 6 s postavou v rovině α( 6; 6; 7), známe-li vrchol podstavy A[2, 5;?; 7] a její střed S[1; 3;?]. Hlavní vrchol jehlanu leží nad rovinou podstavy. Řešení. Podstavou jehlanu je čtverec ABCD, pro který známe střed S a vrchol A. Sestrojíme ho např. v otočení roviny α kolem její půdorysné stopy p α do půdorysny. V bodě S sestrojíme osu o jehlanu, kterou je kolmice na rovinu podstavy α. Naneseme na ni délku v, např. ve sklopení přímky o do půdorysny, a dostaneme tak hlavní vrchol jehlanu V. Protože vrchol V má ležet nad rovinou podstavy, platí y V > y S, z V > z S a podstava jehlanu je v obou průmětech neviditelná. V půdorysu tedy není vidět vrchol C a v nárysu vrchol B.

29 KAPITOLA 1. ZOBRAZENÍ TĚLES 29 Příklad Jsou dány body A[ 2; 2; 6], C[0; 6; 1] a P [4; 0; 0]. Zobrazte pravidelný čtyřboký jehlan s hlavním vrcholem V a podstavou ABCD v rovině ACP. Výška jehlanu je 6 a z V > z C. Řešení. Sestrojíme stopy roviny α ACP. Jehlan sestrojíme podobně jako v příkladu Podstava jehlanu je opět v obou průmětech neviditelná. V půdorysu je neviditelný vrchol C. V nárysu jsou všechny vrcholy na obvodu a neviditelná je pouze podstavná hrana AD.

30 KAPITOLA 1. ZOBRAZENÍ TĚLES 30 Příklad Zobrazte pravidelný čtyřboký jehlan, je-li dána jeho osa o = ([ 4; 0; 8], [6; 10; 0]), vrchol podstavy A[3; 6; 6, 5] a výška v = 7. Pro hlavní vrchol platí y V < y A. Řešení. Bodem A proložíme kolmo k přímce o rovinu α = I h II h, která je rovinou podstavy a sestrojíme její stopy. (Stačí sestrojit pouze jednu ze stop. Na obrázku je sestrojena půdorysná stopa.) Sestrojíme průsečík S přímky o s rovinou podstavy α. (Krycí přímkou je spádová přímka první osnovy I s.) V rovině α sestrojíme podstavu jehlanu, kterou je čtverec s vrcholem A a středem S. Na osu o naneseme od středu podstavy S délku v = 7 a dostaneme hlavní vrchol V. Hlavní vrchol jehlanu leží nad a za rovinou podstavy, proto je podstava v půdorysu neviditelná a v nárysu viditelná. V půdorysu tedy není vidět vrchol C a všechny hrany z něho vedoucí, v nárysu je neviditelná pouze hrana BV.

31 KAPITOLA 1. ZOBRAZENÍ TĚLES 31 Příklad Zobrazte pravidelný šestiboký jehlan s podstavou v rovině α(8; 9; 8), je-li dán vrchol podstavy A[ 1, 5; 7;?] a hlavní vrchol V [ 3; 1, 5; 1]. Řešení. Z vrcholu V spustíme kolmici o na rovinu podstavy α. Tato kolmice je osou jehlanu. Průsečík S roviny α a přímky o je středem podstavy. V rovině α sestrojíme pravidelný šestiúhelník se středem S a vrcholem A, který tvoří podstavu jehlanu. Protože platí y V < y S a z V < z S, je v obou průmětech podstava jehlanu viditelná. Největší z-ovou souřadnici má vrchol E, proto je v půdorysu pobočná hrana EV viditelná a pobočné hrany AV, BV, CV neviditelné. Největší y-ovou souřadnici má vrchol A, proto je v nárysu pobočná hrana AV viditelná a pobočné hrany CV, DV, EV neviditelné.

32 KAPITOLA 1. ZOBRAZENÍ TĚLES 32 Příklad Zobrazte pravidelný čtyřboký jehlan s podstavou v rovině α(6; 5; 7), je-li dán hlavní vrchol V [4; 9; 9] a bod M[0; 5; 8] ležící na pobočné hraně jehlanu. Řešení. Osou o jehlanu je kolmice spuštěná z vrcholu V na rovinu podstavy α, jejich průsečík S je středem podstavy. Na přímce a = V M leží pobočná hrana AV, vrchol A dostaneme jako průsečík roviny podstavy α a přímky a. V rovině α sestrojíme čtverec se středem S a vrcholem A, který je podstavou jehlanu. Podstava je v obou průmětech neviditelná. V půdorysu není vidět vrchol C, v nárysu vrchol D.

33 KAPITOLA 1. ZOBRAZENÍ TĚLES 33 Příklad Zobrazte pravidelný šestiboký jehlan s podstavou v rovině α( 7; 8; 9), středem podstavy S[0;?; 3] a jednou pobočnou stěnou v půdorysně. Řešení. Do půdorysny umístíme např. pobočnou stěnu ABV. Podstavná hrana AB pak musí ležet na půdorysné stopě p α roviny podstavy α a je v půdorysu zobrazena ve skutečné velikosti. Podstava je tvořena pravidelným šestiúhelníkem ABCDEF. Z vlastností pravidelného šestiúhelníku plyne, že hrana DE a uhlopříčka CF leží na hlavních přímkách první osnovy roviny α a jsou tedy v půdorysu také vidět ve skutečné velikosti. Šestiúhelník ABCDEF, pro který známe střed S a přímku p α na které leží jeho strana AB, sestrojíme v otočení roviny α do půdorysny kolem její půdorysné stopy p α. Otočené body A a B splývají se svými prvními průměty. V otočení stačí sestrojit pouze vrcholy A a B, ostatní vrcholy podstavy získáme z výše uvedených vlastností podstavy. Osou o jehlanu je kolmice ze středu podstavy na rovinu α. Stěna ABV má ležet v půdorysně, musí v ní tedy ležet i hlavní vrchol V jehlanu, který je půdorysným stopníkem přímky o. V obou průmětech je podstava viditelná. V půdorysu jsou neviditelné hrany AV a BV (leží v půdorysně, jsou tedy zřejmě nejníže). V nárysu jsou neviditelné hrany EV a F V.

34 KAPITOLA 1. ZOBRAZENÍ TĚLES 34 Příklad Zobrazte pravidelný šestiboký jehlan, je-li dán hlavní vrchol V [ 4; 8; 2], střed podstavy S[2; 4; 6], délka podstavné hrany a = 3 a jsou-ji dvě podstavné hrany rovnoběžné s nárysnou. Řešení. Rovina podstavy α = I h II h je rovina jdoucí bodem S kolmo k přímce o = SV ose jehlanu. Podstavou je pravidelný šestiúhelník ABCDEF, jehož dvě strany, např. AB a DE, jsou rovnožné s nárysnou; leží tedy na hlavních přímkách druhé osnovy roviny α a jsou v nárysu vidět ve skutečné velikosti. Rovněž úhlopříčka CF leží na hlavní přímce druhé osnovy roviny α a je v nárysu vidět ve skutečné velikosti. Platí proto: A 2 B 2 = D 2 E 2 = a = 3, C 2 S 2 = F 2 S 2 = a = 3, C 2 F 2 = 2a. Vrcholy C a F umíme sestrojit a pro šestiúhelník ABCDEF známe jeho úhlopříčku CF a kružnici opsanou o poloměru 3. Ostatní vrcholy šestiúhelníku ABCDEF sestrojíme např. v otčení roviny α do nárysny kolem její nárysné stopy n α. Výhodné je otočit rovinu α do hlavní roviny kolem její hlavní přímky II h. Protože z V < z S a y V > y S, je v půdorysu podstava viditelná a v nárysu neviditelná a v půdorysu jsou tedy neviditelné pouze hrany BV, CV a v nárysu vrcholy A, B a všechny hrany z nich vedoucí.

35 KAPITOLA 1. ZOBRAZENÍ TĚLES 35 Příklad Zobrazte pravidelný čtyřstěn ABCD, jehož jedna stěna ABC leží v rovině α(6; 10; 4), A[ 3, 5; 5;?], B[0; 1, 5;?], y C > y B >, z D > z A. Řešení. V rovině α sestrojíme rovnostranný trojúhelník ABC a jeho těžiště T. Bodem T vedeme na rovinu podstavy α kolmici k, na které leží čtvrtý vrchol čtyřstěnu D. Na přímku k naneseme výšku v = T D čtyřstěnu. Výšku v získáme např. z pravoúhlého trojúhelníka AT D (v obrázku trojúhelník A 0 T 0 D). Protože z D > z A, leží vrchol D nad rovinou podstavy α. V půdorysu leží všechny vrcholy na obrysu, nejsou vidět stěny ABC a BCD, tedy hrana BC je neviditelná. V nárysu je vidět pouze stěna ACD, vrchol B a všechny hrany z něho vedoucí jsou proto neviditelné.

36 KAPITOLA 1. ZOBRAZENÍ TĚLES 36 Příklad Je dána přímka MN, M[ 4; 2, 5; 2], N[6; 0; 6] a mimo ni bod A[0; 7; 6]. Zobrazte pravidelný čtyřstěn ABCD s hranou BC na přímce MN, z D > z A. Řešení. Přímka MN a bod A určují rovinu α, v níž leží stěna ABC. Sestrojíme její stopy a čtyřstěn dokončíme stejně jako v příkladě Ukážeme si ještě jiný postup, při kterém není třeba stopy sestrojovat. Tento způsob řešení je vyrýsován v obrázku. Protože platí z A = z N, leží body A, N na hlavní přímce první osnovy I h roviny α. Rovinu α otočíme kolem této hlavní přímky do hlavní roviny a v otočení sestrojíme rovnostranný trojúhelník ABC a jeho těžiště T. Známe první průmět těžiště T. Do nárysu ho můžeme přenést pomocí libovolné přímky ležící v rovině α, její nárys sestrojíme pomocí průsečíků s přímkami MN a I h. Protože potřebujeme znát směr hlavních přímek druhé osnovy, využijeme k přenesení bodu T do nárysu hlavní přímku druhé osnovy II h. V bodě T vztyčíme kolmici k na rovinu α a na ní sestrojíme vrchol D stejně jako v předchozím příkladě. V půdorysu je neviditelná hrana BC, v nárysu jsou všechny hrany viditelné.

37 KAPITOLA 1. ZOBRAZENÍ TĚLES 37 Příklad Zobrazte pravidelný osmistěn ABCDEF se středem v bodě S[0;?; 4], jehož čtvercový řez ABCD leží v rovině ρ(8; 6; 9), A[ 1, 5;?; 7]. Řešení. Střed S pravidelného osmistěnu je zároveň středem čtvercového řezu ABCD tohoto osmistěnu. V rovině ρ sestrojíme čverec ABCD, pro nějž známe střed S a vrchol A. Bodem S vedeme osu o osmistěnu kolmo na rovinu ρ. Na osu o naneseme od bodu S na obě strany délku, která je rovna polovině délky úhlopříčky čtverce ABCD, a tím dostaneme zbývající vrcholy osmistěnu E a F. Nejnižším vrcholem osmistěnu je vrchol C, proto není v půdorysu tento bod a všechny hrany z něho vedoucí vidět. V nárysu leží všechny vrcholy na obrysu. Neviditelné hrany jsou na stěně ADF, která leží nejvíce vzadu. V nárysu jsou tedy neviditelné hrany AD, AF a DF.

38 KAPITOLA 1. ZOBRAZENÍ TĚLES 38 Příklad Zobrazte pravidelný osmistěn, je-li dána jeho osa o = ([ 5; 0; 8], [5; 10; 0]) a vrchol A[ 0, 5; 8; 7]. Řešení. Bodem A proložíme rovinu ρ = I h II h kolmo na osu o. Sestrojíme průsečík S roviny ρ a osy o, který je středem osmistěnu. V rovině ρ sestrojíme čtverec ABCD se středem S. Zbývající vrcholy E a F leží na ose o ve vzdálenosti rovnající se polovině délky úhlopříčky čtverce ABCD. V půdorysu nejsou vidět hrany CD, CF a DF (stěna CDF je nejnišží stěnou osmistěnu). V nárysu jsou neviditelné hrany BC, BE a CE (stěna BCE je leží nejvíce vzadu).

39 KAPITOLA 1. ZOBRAZENÍ TĚLES 39 Příklad Zobrazte pravidelný osmistěn, jehož úhlopříčka leží na přímce o = MN, M[ 4; 7; 7], N[5; 2; 0] a jedním vrcholem je bod A[0; 2; 7]. Řešení. Pro osmistěn známe osu o a vrchol A a můžeme ho sestrojit stejně jako v předchozím příkladě. Ukážeme si ještě jiný způsob řešení. Přímka MN a bod A určují rovinu σ, ve které leží čtvercový řez AECF. Body A, M určují hlavní přímku první osnovy I h roviny σ a body A, N hlavní přímku druhé osnovy II h roviny σ. V rovině σ sestrojíme čtverec AECF, pro který známe vrchol A a víme, že úhlopříčka EF leží na přímce MN. Střed S čtverce AECF je středem celého osmistěnu. Výhodnější je provést konstrukci v otočení do hlavní roviny kolem hlavní přímky, protože nemusíme sestrojovat stopy roviny σ. V obrázku je rovina σ otočena kolem hlavní přímky druhé osnovy II h. Středem osmistěnu S vedeme kolmici k na rovinu σ. Přímka k je další osou osmistěnu a leží na ní vrcholy B a D. Dostaneme je nanesením délky, která je rovna polovině délky úhlopříčky čtverce AECF, na přímku k od středu S. Nejnišží stěnou osmistěnu je stěna BCF, proto jsou hrany BC, BF a CF v půdorysu neviditelné. Stěna ABF je nejvíce vzadu, v nárysu jsou proto neviditelné hrany AB, AF a BF.

40 KAPITOLA 1. ZOBRAZENÍ TĚLES 40 Příklad Je dána přímka m = ([ 6; 9; 7], [1; 0; 7]) a mimo ni bod S[0; 5; 5]. Zobrazte pravidelný osmistěn se středem v bodě S a jednou hranou na přímce m. Řešení. Přímka m a bod S určují rovinu ρ. Přímka m je hlavní přímkou první osnovy této roviny. V rovině ρ leží čtvercový řez ABCD, jehož strana AB leží na přímce m. Čtverec ABCD sestrojíme v otočení roviny ρ do hlavní roviny kolem hlavní přímky m. V obrázku jsou sestrojeny v otočení pouze vrcholy A a B, vrcholy C a D jsou s nimi souměrné podle středu S. Vrcholy E a F sestrojíme podobně jako v předchozích příkladech. Abychom mohli v bodě S vztyčit kolmici o na rovinu ρ, musíme znát směr hlavních přímek druhé osnovy. Sestrojíme proto v rovině ρ libovolnou hlavní přímku druhé osnovy. V obrázku je sestrojena hlavní přímka druhé osnovy II h jdoucí středem S. Vrchol A je nejvíce vzadu, proto je vrchol A a všechny hrany z něho vedoucí v nárysu neviditelný. V půdorysu jsou neviditelné hrany CD, CF a DF, protože stěna CDF je nejnižší stěnou osmistěnu.

41 KAPITOLA 1. ZOBRAZENÍ TĚLES Válec Pojmy válcová plocha, válcový prostor a válec jsou obdobné pojmům hranolová plocha, hranolový prostor a hranol. Dostaneme je tak, že nahradíme řídící n-úhelník řídící křivkou. Omezíme se na případ, kdy je řídící křivkou kružnice. Kruhová válcová plocha (stručně válcová plocha), resp. kruhový válcový prostor (stručně válcový prostor), je množina všech přímek (tvořící přímky) rovnoběžných s danou přímkou s, které protínají danou kružnici k ležící v rovině α různoběžné s přímkou s, resp. kruh omezený touto kružnicí. Kružnici k nazýváme řídící kružnicí, tvořící přímky protínající kružnici k povrchovými přímkami (površkami). Každá rovina α rovnoběžná s rovinou α protíná válcovou plochu v kružnici k, která je shodná s řídící kružnicí k. Všechny takové kružnice nazýváme povrchovými kružnicemi. Řídící kružnice je zřejmě také povrchovou kružnicí. Středy všech povrchových kružnic leží na přímce o, která je rovnoběžná s přímkou s a nazýváme ji osou. Je-li osa o kolmá na rovinu řídící kružnice, mluvíme o rotační válcové ploše, resp. rotačním válcovém prostoru. Rotační válcová plocha vzniká také rotací přímky kolem osy o, která je s ní rovnoběžná (a od ní různá). Všechny povrchové přímky rotační válcové plochy mají od osy o stejnou vzdálenost. Válcový prostor mezi rovnoběžnými rovinami α a α, α α, je kuhový válec (stručně válec). Roviny α a α nazýváme rovinami podstavy, kruhy omezené kružnicemi k a k podstavami, kružnice k a k podstavnými hranami. Pojmy povrchové přímky, povrchové kružnice a osy přenášíme i na válec. Osou válce je zřejmě spojnice středů podstav. Část válcové plochy mezi rovinami α a α tvoří plášť válce, plášť a obě podstavy tvoří povrch válce. Výškou v válce rozumíme vzdálenost rovin podstav. Rotační válec neboli kolmý má osu kolmou na rovinu podstavy. Vzniká tedy z rotačního válcového prostoru. Rotační válec vzniká také rotací obdélníku kolem přímky procházející jeho stranou nebo sřední příčkou. Poloměr r rotačního válce je poloměr jeho podstavy. Rotační válec se nazývá rovnostranný, je-li jeho osovým řezem čtverec, tedy platí-li v = 2r. Válec, jehož osa není kolmá na rovinu podstavy je kosý. Při sestrojování kolméko průmětu válce sestrojíme průměty obou podstav a osu válce, tj. směr povrchových přímek. Potom sestrojíme společné tečny průmětů podstav, ktré jsou rovnoběžné s průmětem osy válce. Tyto tečny jsou zřejmě průměty dvou površek válce. Obrys válce tvoří části těchto tečen, které leží mezi dotykovými body s průměty podstav, a oblouky průmětů podstavných hran, jejichž krajními body jsou body dotyku těchto tečen

42 KAPITOLA 1. ZOBRAZENÍ TĚLES 42 s průměty podstavných hran. Porovnáním z-ových, resp. y-ových souřadnic středů podstav určíme, která podstava válce leží výše, resp. vpředu. Podstava ležící výše, resp. vpředu, je v půdorysu, resp. v nárysu, viditelná, druhá podstava je neviditelná. Je-li podstava viditelná, je viditelná i celá podstavná hrana. Je-li podstava neviditelná, je neviditelná ta část podstavná hrany, krerá leží uvnitř obrysu válce. Podél každé povrchové přímky p válcové plochy se jí dotýká právě jedna rovina τ, která se nazývá tečná rovina. Kromě povrchové přímky válcové plochy, podél které se jí tečná rovina dotýká, nemá tečná rovina s válcovou plochou splolečný žádný jiný bod. Tečná rovina je rovnoběžná s povrchovými přímkami válcové plochy a je určena přímkou p a tečnou t libovolné povrchové kružnice k v bodě T = p k. Přímka t, která není rovnoběžná se směřem povrchových přímek a má s válcovou plochou společný právě jeden bod, se nazývá tečna. Společný bod T tečny t a válcové plochy se nazává bod botyku. Tečna válcové plochy leží v tečné rovině, která se dotýká válcové plochy podél povrchové přímky procházející bodem dotyku tečny. Tečnou rovinu a tečnu převádíme i na válec.

43 KAPITOLA 1. ZOBRAZENÍ TĚLES 43 Příklad Zobrazte šikmý kruhový válec poloměru r = 3, jehož jedna podstava se středem S[ 4; 4; 0] leží v půdorysně, středem druhé podstavy je bod S [4; 8; 7]. Dále zobrazte body A[ 1; 8;?], B[0;?; 4] ležící na plášti tohoto válce. Řešení. Podstavy válce leží v půdorysně a v rovině s ní rovnoběžné, proto jsou půdorysy podstav kruhy ohaničené kružnicemi k 1 (S 1, r = 3), k 1(S 1, r = 3), nárysy jsou úsečky k 2, k 2 velikosti 2r se středy S 2, S 2. Půdorysný obrys válce tvoří kromě polovin kružnic k 1, k 1 ještě jejich společné tečny (rovnoběžné s prvním průmětem osy válce). Nárysným obrysem válce je rovnoběžník, jehož dvě protější strany jsou úsečky k 2, k 2 (další dvě strany jsou rovnoběžné s druhým průmětem osy válce). Podstava se středem S leží výše než podstava se středem S, a proto je v půdorysu neviditelná. Zbývající průměty bodů A, B odvodíme pomocí povrchových přímek. Bod A leží na površce a, sestrojíme ji pomocí jejího průsečíku s obvodem podstavy. Bod A 1 je zřejmě půdorysem také bodu A, který leží na površce a. Rovněž bod B 2 je nárysem dvou bodů B a B ležících na površkách b a b.

44 KAPITOLA 1. ZOBRAZENÍ TĚLES 44 Příklad Zobrazte rotační válec, jehož jedna podstava se středem S[0; 4; 0] leží v půdorysně, poloměr válce je r = 3 a jeho výška je v = 7. Dále veďte bodem M[1; 9; 5] tečné roviny k tomuto válci. Řešení. Podstavy válce leží v půdorysně a v rovině s ní rovnoběžné, osa o válce je kolmá k půdorysně. Osa válce se v půdorysu promítá do bodu, který je zároveň půdorysem středů S, S podstav válce. Střed S druhé podstavy leží na ose válce ve vzdálenosti v = 7 od bodu S a úsečku SS vidíme v nárysu ve skuteční velikosti, tedy v = SS = S 2 S 2 = 7. Prvním průmětem obvodu podstav je kruh o poloměru r a středu S 1 = S 1. Kružnice k 1 = k 1, která tento kruh omezuje, je půdorysem obou podstavných hran k, k a je zárověň půdorysným obrysem válce. Nárysy podstavných hran k, k jsou úsečky k 2, k 2 velikosti 2r se středy S 2, S 2. Nárysem válce je obdélník, jehož dvě protější strany jsou úsečky k 2, k 2, zbývající dvě strany mají velikost v. Hledaná tečná τ rovina je rovnoběžná s osou válce. Přímka m, která prochází bodem M rovnoběžně s osou o, leží nutně v hledané tečné rovině τ. Proto v ní leží i průsečík P přímky m s rovinou libovolné povrchové kružnice válce. Průsečnice této roviny a roviny τ zřejmě prochází bodem P, je tečnou zvolené povrchové kružnice a spolu s přímkou m určuje tečnou rovinu τ.

45 KAPITOLA 1. ZOBRAZENÍ TĚLES 45 Za povrchovou kružnici zvolíme podstavnou hranu k ležící v půdorysně. Bodem M vedeme přímku m rovnoběžně s osou válce a najdeme její půdorysný stopník P. Tečna kružnice k procházející bodem P je půdorysnou stopou p τ hledané tečné roviny τ, která je kolmá k půdorysně. Povrchová přímka t, ve které se tečná rovina τ dotýká válce, prochází bodem dotyku T tečny p τ a kružnice k. Protože bodem P procházejí dvě tečny kružnice k, existují dvě různé tečné roviny τ, τ, které jsou řešením úlohy. Příklad Zobrazte rotační válec, který má výšku v = 8. Jedna jeho podstava leží v rovině α = (7; 6; 5), střed má v bodě S[ 2;?; 3] a jeden bod na jejím obvodu je bod M[ 2; 6;?]. Druhá podstava leží nad rovinou α. Řešení. V rovině α sestrojíme podstavu válce, jehož obvod tvoří kružnice k se středem S a poloměrem rovným délce úsečky SM. Délku úsečky SM zjistíme např. sklopením do nárysny. Průměty podstavné hrany k jsou elipsy k 1, k 2. V bodě S vztyčíme kolmici o na rovinu podstavy α. Přímka o je osou

46 KAPITOLA 1. ZOBRAZENÍ TĚLES 46 válce. Na osu o naneseme od bodu S délku v = 8 a dostaneme tak střed S druhé podstavy válce, jejíž obvod tvoří kružnice k shodná s kružnicí k. Abychom získali první a druhý obrys válce, sestrojíme společné tečny elips k 1, k 1 a společné tečny elips k 2, k 2. Podstava se středem S leží nad rovinou α, proto platí y S > y S, z S > z S a tato podstava je v obou průmětech viditelná. Příklad Zobrazte rotační válec, je-li dána jeho osa o = ([ 1, 5; 3; 0], [ 3; 0; 5]), bod M[1; 2, 5; 3, 5] ležící na dolní podstavné hraně a výška v = 6. Řešení. Bodem M proložíme rovinu α = I h II h kolmo k přímce o. Sestrojíme průsečík S roviny α a přímky o. Rovina α je rovinou jedné podstavy válce a bod S je středem této podstavy. Podstavnou hranou je kružnice k se středem S a poloměrem SM. Střed S druhé podstavy leží na ose o ve vzdálenosti v = 6 od bodu S. Protože podstava se středem S má být dolní, musí pro bod S platit y S > y S, z S > z S. Podstava se středem S je pak v obou průmětech neviditelná.

47 KAPITOLA 1. ZOBRAZENÍ TĚLES 47 Příklad Zobrazte rotační válec, pro který jsou dány středy jeho podstav S[2; 4; 5], S [ 2; 7; 3] a bod M[0; 7; 6] ležící na plášti tohoto válce. Řešení. Přímka o = SS je osou hledaného válce. Sestrojíme rovinu α = I h II h jedné podstavy válce, která prochází bodem S kolmo k přímce o. Protože bod M leží na plášti válce, prochází jím povrchová přímka m. (Přímka m je rovnoběžní s osou o a kolmá k rovině α.) Pomocí krycí přímky, za kterou jsou zvolili spádovou přímku první osnovy I s roviny α, sestrojíme průsečík A přímky m a roviny α. Bod A leží na podstavné hraně válce. V rovině α sestojíme kružnici k(s, SA ), která tvoří podstavnou hranu válce. Výška válce je dána velikostí úsečky SS. Protože platí y S < y S, z S > z S, je podstava se středem S v půdorysu viditelná a v nárysu neviditelná.

48 KAPITOLA 1. ZOBRAZENÍ TĚLES 48 Příklad Zobrazte rotační válec, je-li dána rovina α(6; 5; 6) jedné podstavy, střed S[ 2; 3;?] této podstavy a bod M [2; 6; 10], který leží na obvodu druhé podstavy. Řešení. Bodem M vedeme přímku m kolmo k rovině podstavy α. Přímka m je povrchovou přímkou hledaného válce. Průsečík M přímky m a roviny α je bodem podstavné hrany ležící v rovině α. Bod M jsme sestrojili pomocí krycí přímky, kterou je spádová přímka první osnovy I s roviny α. V rovině α sestrojíme podstavnou hranu válce, kterou je kružnice k(s, SM ). Výška válce je rovna velikosti úsečky MM. Ve středu S vztyčíme kolmici o na rovinu podstavy α. Kolmice o je osou válce. Střed S druhé podstavy leží na ose válce ve vzdálenosti MM od bodu S. Protože platí y S < y S, z S < z S, je podstava se středem S v obou průmětech neviditelná.

49 KAPITOLA 1. ZOBRAZENÍ TĚLES 49 Příklad Jsou dány tři rovnoběžné přímky a, b, c. Přímka a je určena body A[1; 1; 6, 5] a A [ 3; 5, 5; 10], přímka b bodem [3; 6; 7] a přímka c bodem [ 1; 7, 5; 4, 5]. Zobrazte rotační válec takový, aby bod A ležel na hraně jedné podstavy, bod A na hraně druhé podstavy a přímky a, b, c tvořily povrchové přímky válce. Řešení. Bodem A proložíme rovinu α = I h II h, která je kolmá na přímky a, b, c. Rovina α je rovinou jedné podstavy. Sestrojíme průsečík B přímky b a roviny α (krycí přímka l) a průsečík C přímky c a roviny α (krycí přímka m). Body B, C leží na téže podstavné hraně jako bod A. Podstavnou hranou je kružnice k, která je kružnicí opsanou trojúhelníku ABC. Kružnici k a její střed S sestrojíme např. v otočení roviny podstavy α kolem její půdorysné stopy p α do půdorysny. Bod S je středem podstavy ležící v rovině α, její poloměr je r = SA = SB = SC. Bodem S vedeme na rovinu α kolmici o, která je osou válce. Střed S druhé podstavy leží na ose o. Protože bod A leží na druhé podstavné hraně,