6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

Transkript

1 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat se zápisem y = f ( ) a v jedodušších případech u algebraických fukcí umět určit jejich defiičí obor. U fukcí zadaých grafem umět určit jejich defiičí obor i obor hodot. -Umět podle grafu operovat s pojmy: fukce rostoucí, klesající, kostatí(mootóost), fukce prostá. -Ovládat pojmy etrémy a omezeost fukce (maimum, miimum, fukce omezeá shora ebo zdola, omezeá ). -Pozat, kdy je fukce sudá, lichá. -Umět všech předchozích dovedostí využít ke kompleímu popisu vlastostí fukce.. Nepřímá úměrost a lieárí lomeá fukce -Ovládat defiice. K daé hodotě proměé umět určit fukčí hodotu a obráceě k daé fukčí hodotě určit hodotu proměé. -Chápat vztah mezi lieárí lomeou fukcí a epřímou úměrostí. -Umět ačrtout graf a podle ěj popsat základí vlastosti fukcí pro k a + b zadáí fukce ve tvaru y = ebo y =.Chápat výzam m c + d kostaty k pro průběh fukce. k -Umět rovice tvaru y = využít k sestaveí předpisu pro fukci, jsouli dáy souřadice středu hyperboly, která je grafem fukce, a jedoho m bodu jejího grafu.. Epoeciálí fukce a rovice -Zát defiici epoeciálí fukce, umět pomocí vhodých bodů pro daý základ ačrtout její graf a popsat její základí vlastosti, chápat souvislost hodoty základu s průběhem fukce. -Umět ačrtout graf a popsat vlastosti fukcí, jejichž grafy vzikou z grafu epoeciálí fukce jedoduchým posuutím. -Umět aplikovat metodu převedeí a společý základ při řešeí základích epoeciálích rovic typu a = b a rovic, které lze a ě převést početí úpravou (pomocí pravidel o mociách ebo pomocí vytýkáí) ebo jedoduchou substitucí.

2 . Logaritmické fukce a rovice - Chápat fukce y = a a y = log jako fukce avzájem iverzí. a - Ovládat defiici logaritmu a umět ji aplikovat. - Umět pomocí vhodých bodů pro daý základ ačrtout graf logaritmické fukce a popsat její vlastosti; chápat, jak souvisí hodota základu s průběhem fukce. - Umět ačrtout grafy a popsat vlastosti fukcí typu y = loga a y = log a( m ). - Ovládat pravidla pro logaritmováí součiu, podílu a mociy a umět je aplikovat při logaritmováí a odlogaritmováí výrazů. - Umět využít předcházející dovedosti při řešeí jedodušších typů epoeciálích a logaritmických rovic. Úlohy:. Rozhoděte, který z předpisů je předpisem fukce. a) y + 7 = 0 [ao] b) + y = [e] c) + y - = 0 [ao] d) y + = 0 [ao] e) y = + + [ao] f) y = + [ao]. Určete defiičí obory fukcí: a) f: y = - + [ D = R] b) f: y = [D = R- ] + c) f: y = [ D = R] + 7 d) f: y = 7 [D = ; ) ] e) f: y = - [D = ( ; )] + f) f: y = + [D = ;7) ( 7; ) ] 7 g) f: y = + + [D = ( ; ; ) ] h) f: y = [D = ( ;) ( ; ) ] + ch) f: y = log [D = ; ]

3 i) f: y = j) f: y = log( ) ( ) log [D = ( ;) ( ; ) ] [D = ; ( ; ) k) f: y = + log( ) [D = ( ; ] l) f: y = log( ) [D = ; )] ]. Dokažte (podle defiice i podle áčrtu), že daá fukce je: a) rostoucí: f : y = [ao] + f : y = [e] f : y = - + [ao] f : y = + [ao] b) klesající: f : y = + 0, [e] f : y = [ao] f : y = + + [ao] f : y = + [ao]. Které z fukcí jsou sudé (liché) v defiičím oboru? g : y = g : y = g : y = g : y = g : y = cos g 6 : y = log g 7 : y = g 8 : y = g 9 : y = g 0 : y = si g : y = + g : y = + + g : y = g : y = g : y = cos + g 6 : y = - + [g lichá v R, g lichá v R, g lichá v R-{0}, g sudá v R, g sudá v R, g 6 eí sudá ai lichá, g 7 eí sudá ai lichá, g 8 sudá v R, g 9 lichá v R, g 0 sudá v R, g eí sudá ai lichá, g lichá v R, g sudá v R, g lichá v R-{0}, g sudá v R, g 6 lichá v R-{0} ]. K daé fukci zapište předpis pro fukci iverzí, Zázorěte obě fukce v jedé soustavě souřadic: f: y = + [f - : y = ] + obr. V. g: y = [g - = g] + obr. V. h: y = [h - : y = + ] + obr. V.

4 k: y = -0, +, ; [k - : y = - +, ; ] l: y = m: y = +, ( 0 ; ) [m - : y = : y = + obr. V.6 [l - = l] + obr. V., ( ; )] + obr. V.7, ( ; 0 [ - : y = -, 0 ; )] + obr. V.6 o: y = [o - : y = ] + obr. V.8 [ 6] 6. Určete obor hodot fukce f: y = ( ). [H = ; )] 7. Jsou dáy fukce: f: y = - + a g: y = ( + ) = 0. a) Zapište defiičí obory a obory hodot obou fukcí a sestrojte jejich grafy (do jedé soustavy souřadic). b) Vypočtěte souřadice společých bodů obou grafů. 9 [a) D f = R, H f = R, D g = R, H g = ; b) P [;], P ; ] 8. Sestrojte grafy fukcí a určete jejich vlastosti: a) f : y = f : y = + f : y = f : y = - f : y = + f 6 : y = + f 7 : y = - f 8 : y = + b) g : y = g : y = - g : y = + g : y = ( + ) g : y = g 6 : y = ( ) + g 7 : y = - g 8 : y = ( ) + 9. Sestrojte grafy fukcí, zapište jejich vlastosti: a) f : y = f : y = f : y = - f : y = + + f : y = - g : y = g : y = + g : y = + g : y = - g : y = e b) f : y = log f : y = log ( ) f : y = - log f : y = log

5 g : y = log 0, g : y = log 0, + g : y = log 0, g : y = log 0, 0. Využijte vlastosti a grafu epoeciálí fukce a porovejte epoety p a r, je-li dáo: a), p >, r [p>r] b) e p < e r [p<r] c) 9 p > 9 r [p>r]. Staovte podmíku pro a, je-li dáo (využijte pozatky o epoeciálí fukci): a) a 0, > a, [0 < a < ] b) a < a [0 < a < ] c) a,0 > a 0, [a > ]. Uveďte, zda daý zápis je pravdivý, či ikoli (využijte áčrty příslušých grafů): a) e 6, < e,6 [e] b) 0,7 > 0,7 8 [ao] c) d), 7 < > 7, [e] [ao] e) 0, π > 0, 0,π [ao]. Načrtěte grafy příslušých fukcí f: y = log, g: y = log 0, a z grafů určete, pro která platí: ; ] a) log > 0 [ ( ) b) log < 0 [ ( 0; )] c) log 0, 0 [ ( 0; ] d) log 0, < 0 [ ( ; )] e) log 0 [ ( 0; ] f) log 0, 0 [ ; )]. Rozhoděte o pravdivosti tvrzeí (využijte vlastosti a áčrtu příslušé fukce): a) log 7 > log 6 [ao] b) log 0,9 < log,0 [ao] c) l 0, < l 0,9 [ao] d) log (-6) > log [log(-6) eí def., elze určit] e) log 0, 0 < log 0, [e]

6 . Pomocí defiice logaritmu určete ezámé hodoty,y,a : a) log = b) log = - c) log 8 = d) log = e) log 6 = f) log 9 8 = y g) log 8 = y h) log0, = y ch) log 7 (-9) = y i) log = y j) log a = k) log a = - l) loga 6 = m) loga 0,00 = - ) log a 6 = [; 8; ; 0; 6 ; ; ; 0; edef.; -; ; ; ; 0; 6 ] 6. Najděte R : a) log = log + log + log [ = 0] b) log = log 0 log log7 [ = 7 ] c) log = -log + log 6 log [ = ] 7. Logaritmujte daý výraz (předpokládejte přípusté hodoty proměých): a) y - [log + log log y] b) m. + [log m + log ( + )] y c) p 7 a d) a + [ 7 log + 7 log y log -log p] [ log( a ) log( a + )] 8. V daých úlohách odlogaritmujte výrazy: a) log log ( ) ( ) 0 b) log 6 ( + ) + log 6 ( ) + [( + ).( ).6] 0 p + p. p c) + log (p + ) - log (p ) log p ( ) 9. Řešte rovice v R, proveďte zkoušku: a) = b) 9 m 8 = m [ = -] [m = ] c) = 9 [ = ] 6

7 d) e) f) = = 7 9 = 8 [ = - ] [ = - ] [ = 7 ] 6 g) = 6. h) = ( ). 8 ch) i) j) +. + = =. 7 =.. 0,.0 [ = 7; = -] [ = ; = ] [=] [ = 8; = -] [ = ] 0 k) = [ = ; = 9] 0 0. Řešte v oboru reálých čísel, proveďte zkoušku: a).( ) =. 8 [ = ] b) + + = 8 [ = ] c) +. = 0 [ = ] d) = 0 [ = ] e) + = [ = ]. Řešte v R, proveďte zkoušku: a) = 70 [ = ] b) = 6. 7 [ = ] c) + = 6. [ = -; = ] d) = 0,. [ = -] e) 8. = 9 + [ = -] f) = 0 [ = -; = ] g). 6 = 6. ( ) [ = ] h) + =. ( ) [ = ; = ]. Řešte v R: a) log ( + ) = log ( ) [ = 6] b) log ( 7) = log ( + ) [ = ] c) log ( + ) + log ( ) =. log ( + ) P = ø d) log 0, (0 + ) = 0 P = ø e) log 0, ( ) = - [ = -] 7

8 f) log ( ) log ( ) = [ = ] g) log ( + 9). log + log ( ) = log 0 [ = 6] log ( ) h) 8 = [ = 9; = -] log( + ) ch) = [ = 0] log + i) + log 8 = log 8 (6 ) +. log 8 [ = ; = ] j) -. log 0, ( ) = log 0, (0 ) [ = -8]. Řešte v R: a) log log = 0 [ = ; = 0,] b) (log )(log + ) = 0 [ = 0 - ; = 0 ] c) (log ). log = 0. log [ = 9 ; = ] d) e).log = + [ = ; log log = [ = 0 ; log = 00] = 0 - ] f). log = log +. log [ = ; = ] 7 g) (log ) - = - log [ = ] 6 h) log = log [ = 000; = 0,0] ch) l = l [ = e ; = e - ]. Rovice řešte v oboru R: a) + = log.log b) =.log +.log log +.log c) + = + log = =, log d) + + = + [ = 0] 8

9 Poslouposti Dovedosti:. Ovládat pojem poslouposti, symboliku, grafické zázorěí a určeí poslouposti vzorcem pro -tý čle a rekuretě.. Zát základí vztahy, které platí pro aritmetickou a geometrickou posloupost, umět je aplikovat při řešeí jedoduchých úloh.. Umět v jedoduchých příkladech rozhodout o mootóosti a omezeosti poslouposti.. S využitím geometrické iterpretace rozumět defiici vlastí i evlastí limity poslouposti a aktivě ovládat věty o limitách poslouposti. Úlohy:. Určete prvích čleů daé poslouposti: a) a = [ -; ; ; 8; ] b) a = [ 0; ; ; ; ] + + c) a =.( ) [;-;;-;] d) cos π a = ;0; ; ; Sestrojte grafy uvedeých posloupostí.. Posloupost je dáa rekuretě.vypočítejte prvích 6 čleů poslouposti, jestliže: a) a =, a + = a + + [ ; ; 9; 6; ; 6 ] b) a, a = [ ; ;-; -;-;-7 ] = a =, =, a+ = a a+ =, =, a+ = a a c) a a [ -; ;-; 0;-6;6 ] d) a a [ -; -; ; ; ; 7 ]. Určete vztah pro tý čle poslouposti, je-li: a) a = ;a + = a [a = + ] b) a = ; a+ = a a =.( ) c) a ; a = a [ a = ] = + 9

10 . Rozhoděte, zda daá posloupost je rostoucí, či klesající. a) b) + = + = [ klesající ] [ rostoucí ]. Rozhoděte, které z ásledujících posloupostí jsou aritmetické, které jsou geometrické. V případě aritmetických určete difereci, v případě geometrických určete kvociet. + a) = AP, a =, d = b) ( ) = [ AP, a =0, d = - ] c) d) = = GP, a =, q = 9 [ eí AP, eí GP ] 6. Určete prvích čleů AP, je-li : a) a = 6, d = -, [ 6;,; ; -,; - ] b) a =, a = + [;+ ; + ; + ;+ ] c) a =, a 7 = -7 [ ; ; ; -; - ] d) a - a +a = 8 a = - a 9 [ -; -; -; 0; ] Pro uvedeé poslouposti určete součet prvích 0 čleů. a) [-,] b) [0 + ] c) [ - 0 ] d) [ ] 7. V AP určete součet prvích osmi čleů, jestliže platí : a : a = 6 a a + = 0 [ 8 ] 8. Určete, kolik prvích čleů AP dává součet, je-li a =, d = [8] 9. Určete součet všech lichých přirozeých čísel meších ež 00. [ 00 ] 0. Mezi kořey kvadratické rovice ( + ) - (7 6 )=0 vložte čtyři čísla tak, aby spolu s vypočteými kořey vziklo šest ásledujících čleů AP. [;,;,;,6; 6,8; 8 ebo 8; 6,8;,6;,;,; ] 0

11 . Délky pravoúhlého trojúhelíku tvoří tři po sobě jdoucí čley aritmetické poslouposti. Delší odvěsa má délku cm. Určete délky zbývajících stra. [ 8cm, 0cm]. Určete součet všech sudých čísel, která vyhovují erovici [ s = 68 ]. V aritmetické poslouposti určete. čle a difereci, víte-li, že platí: a) a 6 = - a 6, s 6 = 0 [ a = -6; d = 0,8 ] b) s = 60, s 0 = 70 [ a = 8; d = ]. Určete prví čtyři čley geometrické poslouposti a zázorěte graficky: a) a = -9, q = [-9; -; -; - ] b) a = 0,, a = -0, [0,; 0,; 0,9; -,7] c) a = 0, a = -0,0 [-00; 0;-; 0,] d) a = -,, q = - [-; ; -6; ]. V geometrické poslouposti je a = 6, q =. Kolikátý čle je rove číslu? [. čle ] 6. Určete prví čle a kvociet GP, ve které platí : a) a - a + 6 = 0 a - a + 8 = 0 [ a = -, q = ] b) a = 0 - a [.řeš.:a =, q = ] a + a = 0 [.řeš.:a =, q = - ] 7. Mezi čísla a 6 vložte čtyři čísla tak, aby s daými čísly tvořila GP. [ ; 6; 8; ] 8. Určete kvociet GP, je-li dáo : a =, a 6 = 8 [ q = ] 9. V GP je dáo : q = -, s = -80. Určete a. [ - 08 ]

12 0. Určete tři reálá čísla větší ež 8 a meší ež 68 tak, aby spolu s daými čísly tvořila pět ásledujících čleů GP. [q =;8;;7;6;68; q =-;8;-;7;-6;68]. Poločas přeměy protaktiia 9 Pa je, mi..počátečí hmotost protaktiia je 0 g. Jaká bude jeho hmotost za 8 mi.? [ 0,9 g ]. Průměr měděého drátu se každým tažeím zmešuje a předcházejícího průměru. Jaký bude jeho průměr po pěti tažeích, byl-li původí průměr mm? [, mm ]. Při průchodu skleěou deskou ztrácí světlo 0 0 své itezity. Kolik desek je třeba avrstvit a sebe, aby se světlo ztlumilo alespoň a poloviu své původí itezity? [ desek ]. Za kolik let klese hodota předmětu a méě ež desetiu původí cey, jestliže ročě odepisujeme cey předmětu z předchozího roku? [ za let ]. Vypočtěte: a) lim + e) ( ) lim ( )( + ) i) lim ( + ) b) lim + f) lim( ) c) lim + g) lim d) lim + + h) lim. [a) ; b) - ; c) 0; d) + ; e) -; f) eeistuje; g) ; h) - ; i) ]