Kapitola 4 Euklidovské prostory
|
|
- Renata Kovářová
- před 4 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Kapitola 4 Euklidovské prostory 4.1. Defiice euklidovského prostoru DEFINICE Nechť E je vektorový prostor ad tělesem reálých čísel R,, : E 2 R. E se azývá euklidovský prostor, platí-li: (I) Pro všecha u E : u, u 0. (II) Pro všecha u E : u, u =0 právě tehdy, když u= 0. (III) Pro všecha u, v E : u, v = v, u. (IV) Pro všecha u, v, w E : u, v w = u, v u, w. (V) Pro všecha u, v E, pro všecha c R : u, c v =c u, v. Pro u, v E se číslo u, v azývá skalárí souči vektorů u a v PŘÍKLAD Uvažme vektorový prostor R. Defiujeme x, y =x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 x y pro libovolá x= x 1, x 2 R, y= y 1, y 2,, y R. Pak R je euklidovský prostor Cauchyova erovost DEFINICE Nechť E je euklidovský prostor, v E. Normou vektoru v rozumíme číslo v, v. Normu vektoru v začíme v VĚTA (Cauchyova) Nechť E je euklidovský prostor, x, y E. Platí: x, y x y, přičemž rovost astává právě tehdy, když x a y jsou lieárě závislé vektory. Důkaz: Rozlišíme dva případy: (I) y= 0 (II) y 0 ad (I): x, y = x, 0 = 0 =0, x y = x 0 = x 0=0. Uvědomme si také, že vektory x a y, tj. vektory x a 0, jsou lieárě závislé. ad (II): Pro libovolé c R položme f c = x c y, x c y. Platí: 0 f c = x, x 2 c x, y c 2 y, y. Je y, y 0. Kvadratická trojčle f c s reálými koeficiety má ekladý diskrimiat, tj. x, y 2 x, x y, y 0. Pak x, y 2 x, x y, y, čili x, y x y. Rovost astává právě tehdy, když f c má ulový diskrimiat, a to je právě tehdy, když existuje c 0 R tak, že f c 0 = x c 0 y, x c 0 y =0 a to je právě tehdy, když existuje c 0 R tak, že x=c 0 y, a to je právě tehdy, když vektory x a y jsou lieárě závislé Norma a metrika VĚTA Nechť E je euklidovský prostor, v, w E, c R. Platí: (a) v 0 (b) v =0 právě tehdy, když v= 0 (c) c v = c v (d) v w v w (trojúhelíková erovost) Důkaz: (a) Důkaz přeecháváme čteáři. (b) Důkaz přeecháváme čteáři.
2 (c) Důkaz přeecháváme čteáři. (d) v w = v w, v w = v, v 2 v, w w, w = v 2 2 v, w w 2 v 2 2 v, w w 2. Podle Cauchyovy erovosti je v, w v w, takže v w 2 v 2 2 v w w 2 = v w 2. Odtud máme: v w v w DEFINICE Nechť M je možia, :M 2 R. Zobrazeí se azývá metrika a možiě M, platí-li: (I) Pro všecha x, y M : x, y 0. (II) Pro všecha x, y M : x, y =0 právě tehdy, když x= y. (III) Pro všecha x, y M : x, y = y, x. (IV) Pro všecha x, y, z M : x, z x, y y, z VĚTA Nechť E je euklidovský prostor. Platí: Zobrazeí : E 2 R defiovaé vztahem x, y = x y (pro každé x, y E ) je metrika a možiě E. Důkaz: Ověříme, že zobrazeí splňuje podmíky (I) (IV) z defiice (I) ověřeí přeecháváme čteáři (II) ověřeí přeecháváme čteáři (III) ověřeí přeecháváme čteáři (IV) Nechť x, y, z E. Chceme: x, z x, y y, z. x, z = x z = x y y z x y y z = x, y y, z (využili jsme trojúhelíkovou erovost viz ) Ortogoalita, velikost úhlu vektorů DEFINICE Nechť E je euklidovský prostor, x, y E. Říkáme, že vektor x je ortogoálí k vektoru y, pokud x, y =0. Ozačeí x y POZNÁMKA x, y =0 právě tehdy, když y, x =0, eboť x, y = y, x. Takže x y právě tehdy, když y x. Proto říkáme, že vektory x, y jsou vzájemě ortogoálí VĚTA (Pythagorova) Nechť E je euklidovský prostor, x, y E. Platí: x y právě tehdy, když x y 2 = x 2 y 2. Důkaz: x y 2 = x y, x y = x, x 2 x, y y, y = x 2 y 2 2 x, y. Vidíme, že x y 2 = x 2 y 2 2 x, y =0 x, y =0 x y. Pozatek: Nechť E je euklidovský prostor x, y E, x 0, y 0. Podle Cauchyovy erovosti (4.2.2.) x, y platí: x, y x y. Pak x y 1 x, y, eboli ekvivaletě 1 x y 1. x, y Pak existuje právě jedo [0, ] tak, že cos = x y. Teto pozatek ospravedlňuje ásledující defiici.
3 DEFINICE x, y Nechť E je euklidovský prostor, x, y E, x 0, y 0. Nechť [0, ], cos = x y. Číslo se azývá velikost úhlu vektorů x, y Ortogoálí báze TVRZENÍ Nechť E je euklidovský prostor, N, v 1,, v E { 0}. Jestliže v i v j pro každé i, j {1, 2,, }, i j, pak vektory v 1,, v jsou lieárě ezávislé. Důkaz: Nechť c 1,, c R, c 1 v 1 c v = 0. Chceme: c 1 = =c =0. Buď i {1,, }. Platí: 0= 0 = c 1 v 1 c v =c 1 v 1 c i 1 v i 1 c i v i c i 1 v i 1 c v =c 1 0 c i 1 0 c i v i c i 1 0 c 0 =c i v i. Protože v i 0, je v i 0 a tudíž c i = DEFINICE Nechť E je euklidovský prostor, B E. B se azývá ortogoálí báze prostoru E, platí-li: (I) B je báze vektorového prostoru E. (II) Pro všechy vektory x, y B : Jestliže x y, pak x y. Je-li avíc splěa podmíka (III) Pro všechy vektory x B : x =1. azývá se B ortoormálí báze prostoru E ALGORITMUS (Gramův-Schmidtův ortogoalizačí proces) Nechť E je euklidovský prostor. VSTUP: Lieárě ezávislé vektory v 1,, v. VÝSTUP: Neulové vektory g 1, g 2,, g splňující { g 1,, g,, v } a g i g j pro každé i, j {1,, }, i j. PROCES: Na počátku klademe g 1 = v 1. Nechť 1 k a echť jsou již sestrojey vektory g 1 1. Klademe g k = c 1 g 1 1 g k 1, kde c 1 = g, 1 v k g 1, g 1, c = g, 2 v k 2 g 2, g 2,, c = g, k 1 v k k 1 g k 1, g k 1. Důkaz korektosti algoritmu: Idukcí pro k =1, 2,, dokážeme: (I) vektory g 1, g 2 jsou eulové. (II) { g 1 }. (III) g i g j pro každé i, j {1,, k }, i j. k=1 : ad (I) g 1 = 0 by zamealo, že v 1 = 0 a že vektory v 1,, v jsou lieárě závislé;to by byl spor. Takže g 1 0. ad (II): zřejmě platí ad (III): zřejmě platí k 1 : ad (I): Z idukčího předpokladu víme, že vektory g 1 1 jsou eulové. Zbývá ukázat, že g k 0. Předpokládejme opak, tj. g k = 0. Pak = c 1 g 1 c k 1 g k 1 1 }
4 Ovšem dle idukčího předpokladu { g }, takže 1 }. Tedy vektory v 1 1, ejsou lieárě ezávislé. Pak též vektory v 1 1,,, v ejsou lieárě ezávislé, spor. Nutě tedy g k 0. ad (II): { g 1 } { v 1 } : Stačí ukázat, že g 1 }. Dle idukčího předpokladu { g }, takže g } { v 1 1, }. Zbývá ukázat, že g k }. Víme, že g k = c 1 g 1 1 g k 1. Ovšem, g 1 1 }, takže g k }. { v 1 } { g 1 } : Stačí ukázat, že v 1 }. Dle idukčího předpokladu { v 1 1 } = { g 1 1 }, takže v } = { g 1 1 } { g 1 1, g k }. Zbývá ukázat, že }. Víme, že = c 1 g 1 c k 1 g k 1 g k. Nutě tedy }. ad (III): Nechť i, j {1,, k }, i j. Chceme: g i g j. Jestliže i, j k 1, pak g i g j dle idukčího předpokladu. Zbývá tedy ukázat, že g k g 1, g k g 2,, g k g k 1. Zvolíme libovolě i {1,, k 1} a počítejme: g k = c 1 g 1 1 g k 1 = = c 1 g 1 c i 1 g i 1 c i g i c i 1 g i 1 1 g k 1. Ještě jedou si uvědomme, že dle idukčího předpokladu g 1 =0,, g i 1 =0, g i 1 =0,, g k 1 =0. Pak g k = c 1 0 c i 1 0 c i g i c i = = c i g i = g i, g i g i = = g i, =0. Tudíž g k g i VĚTA V každém euklidovském prostoru koečé dimeze existuje ortogoálí báze. Důkaz: Nechť E je euklidovský prostor koečé dimeze. Nechť dim E=. Je-li =0, je ortogoálí báze prostoru E. Nechť 0. Nechť { v 1, v 2,, v } je báze prostoru E. Aplikujeme Gramův-Schmidtův ortogoalizačí proces (4.5.3.) a vektory v 1,, v. Obdržíme vektory g 1,, g. Ukážeme, že { g 1,, g } je ortogoálí báze prostoru E. Víme, že { g 1,, g,, v } =E. Dále g j pro každé i, j {1,, }, i j. Zbývá dokázat, že vektory g 1,, g jsou lieárě ezávislé. To ihed plye z (Uvědomme si, že vektory g 1,, g jsou eulové) DŮSLEDEK V každém etriviálím euklidovském prostoru koečé dimeze existuje ortoormálí báze. Důkaz: Nechť E je etriviálí euklidovský prostor koečé dimeze. Dle existuje ortogoálí báze B prostoru E. Nechť B={ g 1,, g } ( =dim E ). Je g i 0 pro každé i {1,, } - jiak bychom měli spor s lieárí ezávislostí vektorů g 1,, g. Položme e 1 = 1 g 1 g,, 1 e = 1 g g. Ukážeme: { e 1,, e } je ortoormálí báze prostoru E. Protože g 1,, g jsou eulové, jsou též e 1,, e eulové. Nechť i, j {1,, }, i j. Počítejme: 1 e i, e j = g i, 1 g j g j = 1 1 g j g i, g j =0, eboť g i g j. Takže e i e j.
5 Dále: Nechť i {1,, }. Počítejme e i = 1 i g = 1 g = 1 i g =1 i. Protože e 1,, e jsou eulové a e i e j pro každé i, j {1,, }, i j, jsou vektory e 1,, e lieárě ezávislé (viz ). Jelikož dim E=, je { e 1,, e } báze prostoru E, která je ortoormálí Izomorfismus euklidovských prostorů DEFINICE Nechť E 1 je euklidovský prostor se skalárím součiem, 1, echť E 2 je euklidovský prostor se skalárím součiem, 2, E 1 E 2. Zobrazeí se azývá izomorfismus euklidovských prostorů E 1 a E 2 platí-li: (I) je izomorfismus vektorových prostorů E 1 a E 2. (II) Pro všecha x, y E 1 platí: x, y 1 = x, y 2. Pokud existuje izomorfismus euklidovských prostorů E 1 a E 2, říkáme, že prostory E 1 a E 2 jsou izomorfí Věta o reprezetaci euklidovských prostorů koečé dimeze VĚTA (o reprezetaci euklidovských prostorů koečé dimeze) Nechť E je euklidovský prostor koečé dimeze, dim E= ( N ). Platí: euklidovské prostory E a R jsou izomorfí. Důkaz: Dle existuje ortoormálí báze B={ e 1,, e } euklidovského prostoru E. Pro každé x= x 1 R položme x = x 1 x 2 e 2 x e. Zřejmě zobrazuje R do E. Ukážeme, že je izomorfismus euklidovských prostorů: (I) je izomorfismus vektorových prostorů R a E. (a) je homomorfismus Nechť x= x 1, y= y 1,, y R. Chceme: x y = x y. x y = x 1 y 1,, y = x 1 y 1 y = x 1 y 1 x y e =x 1 y 1 x e y e = x 1 x e y 1 y e = x y. Nechť x= x 1 R, c R. Chceme: c x =c x. c x = c x 1 = c x 1,, c x = c x 1 c x e =c x 1 c x e =c x 1 x e =c x. (b) je ijekce Nechť x= x 1, y= y 1,, y R, x = y. Chceme: x= y. 0= x y = x 1 x e y 1 y e = x 1 y 1 x y e. Vektory e 1,, e jsou lieárě ezávislé, takže x 1 y 1 = = x y =0, což dává x 1 = y 1,, x = y. (c) je surjekce Nechť y E. Chceme: existuje x R tak, že x = y. Víme, že B =E. Existují tedy y 1,, y R, y= y 1 y e. Položme x= y 1,, y. Pak x = y 1 y e = y. (II) Nechť x= x 1, y= y 1,, y R. Chceme: x, y = x, y.
6 x, y = x 1 x e, y 1 y e = x 1 x e, y 1 x 1 x e, y e = = x i e i, y 1 x i e i, y e x i y 1 e i, e 1 x i y e i, e. Uvědomme si, že e i, e j =0 pro každé i, j {1,, }, i j. Pak x, y = x 1 y 1 e 1, e 1 x 2 y 2 e 2, e 2 x y e, e = x i y i e i 2 = 4.8. Ortogoálí doplěk podprostoru x i y i 1 2 = x i y i = x, y DEFINICE Nechť E je euklidovský prostor, W je podprostor prostoru E. Říkáme, že vektor v je ortogoálí k podrpostoru W, jestliže v x pro každý vektor x W (začeí: v W ) DEFINICE Nechť E je euklidovský prostor, W je podprostor prostoru E. Možia { v E v W } se azývá ortogoálí doplěk podprostoru W (v prostoru E ). Ozačeí: W DEFINICE Nechť E je euklidovský prostor, W je podprostor prostoru E, v E. Vektor v 0 W se azývá ortogoálí průmět vektoru v do podprostoru W, jestliže v v 0 W TVRZENÍ Ortogoálí průmět vektoru do podprostoru koečé dimeze vždy existuje a je urče jedozačě. Důkaz: Buď E euklidovský prostor, W jeho podprostor koečé dimeze, v E. Rozlišme dva případy: (I) W je triviálí. Položíme v 0 = 0. Jiá možost ai eí. (II) W je etriviálí. Podle existuje ortoormálí báze { e 1,, e k } podprostoru W ( k =dimw ). Nejdříve si uvědomme: x W právě tehdy, když x e i pro každé i {1,, k }. ( x je libovolý vektor z E ). Zdůvoděí:
7 Nechť y W, x e i pro,, k. Chceme: x y. Existují d 1,, d k R tak, že y=d 1 d k. Pak x, y = x, d 1 d k =d 1 x, e 1 d k x, e k =d 1 0 d k 0=0. Takže x y. Hledáme c 1,, c k R tak, aby v c 1 e i pro každé i {1,, k }. K ukočeí důkazu tvrzeí stačí ukázat, že ásledující systém k rovic o ezámých c 1,, c k má právě jedo řešeí: v c 1, e 1 =0 Soustavu ozačíme. v c 1, e k =0. Nechť i {1,, k }. Počítejme: v c 1, e i = v, e i c 1, e i k = v, e i c j e j, e i = v, e i c i e i, e i j =1 = v, e i c i 1= v, e i c i. Soustava ( ) má tedy tvar v, e 1 c 1 =0 v, e k c k =0 a je vidět, že má právě jedo řešeí VĚTA Nechť E je euklidovský prostor, W je podprostor prostoru E. Platí: W je podprostor prostoru E a (v případě, že E má koečou dimezi) dim W dimw =dim E, W W =E. Důkaz: (I) Dokážeme, že W je podprostor. Nechť u, v W. Chceme: u v W. Nechť x W. Počítejme: u v, x = u, x v, x =0 0=0, tedy u v W, u v W. Nechť u W, c R. Chceme: c u W. Nechť x W. Počítejme: c u, x =c u, x =c 0=0. Tedy c u W, c u W. Ještě chceme: 0 W. Zřejmě pro každé x W je 0, x =0, tedy 0 W, 0 W. (II) Předpokládejme, že E má koečou dimezi. Nejdříve dokážeme, že W W =E. W W E : To je jasé. E W W : Nechť v E. Protože E má koečou dimezi, má koečou dimezi též podprostor W. Dle existuje ortogoálí průmět v 0 vektoru v do prostoru W. Platí: v= v 0 v v 0, v 0 W, v v 0 W, tj. v v 0 W. Vidíme, že v W W. Dle platí: dim W dimw =dim W W dim W W. Vzhledem k výše dokázaému dim W dimw =dim W W dim E. Nechť x W W. Pak x x, tedy x, x =0, což dává x= 0. Proto W W ={ 0}, dim W W =0, dim W dimw =dim E VĚTA Nechť E je euklidovský prostor, P je podprostor prostoru E, v E, v 0 je ortogoálí průmět vektoru v do P ( v 0 P ). Platí: Pro všecha x P je v v 0 v x, přičemž rovost astává právě tehdy, když x= v 0. Důkaz: Nechť x P. v x= v v 0 v 0 x. Je v v 0 P, tedy specielě v v 0 v 0 x.
8 Podle Pythagorovy věty (4.4.3.) platí: v x 2 = v v 0 2 v 0 x 2. Pak v v 0 2 v x 2, takže v v 0 v x. Rovost astává právě tehdy, když v 0 x =0, což je právě tehdy, když x= v 0.
Kapitola 5 - Matice (nad tělesem)
Kapitola 5 - Matice (ad tělesem) 5.. Defiice matice 5... DEFINICE Nechť T je těleso, m, N. Maticí typu m, ad tělesem T rozumíme zobrazeí možiy {, 2,, m} {, 2,, } do T. 5..2. OZNAČENÍ Možiu všech matic
Více3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie
3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se
Více1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE
1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;
Více1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V
Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být
VíceGEOMETRIE I. Pavel Burda
GEOMETRIE I Pavel Burda Obsah Úvod... 4 1. Vektorové prostory... 5. Vektorové prostory se skalárím ásobeím... 9. Afií prostory... 19 4. Afií přímka ( A 1 )... 5 5. Afií rovia (A )... 6 6. Afií prostor
Více20. Eukleidovský prostor
20 Eukleidovský prostor V této kapitole budeme pokračovat ve studiu dalších vlastostí afiích prostorů avšak s tím rozdílem že místo obecého vektorového prostoru budeme uvažovat prostor uitárí Proto bude
VíceSprávnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).
37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým
Víceprocesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze
limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí
VíceMATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce
MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost
VíceDefinice obecné mocniny
Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma
VíceMasarykova univerzita Přírodovědecká fakulta
Masarykova uiverzita Přírodovědecká fakulta Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák NEKONEČNÉ ŘADY Bro 00 c Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák, Masarykova uiverzita, Bro, 998, 00 ISBN 80-0-949- 3 Kapitola 3 Řady absolutě
Vícec) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je transcendentí. xp 1 (p 1)! (x 1)p (x 2) p... (x d) p e x t f(t) d t = F (0)e x F (x),
a) Vyslovte a dokažte Liouvillovu větu o šaté aroximovatelosti algebraického čísla řádu d b) Defiujte Liouvillovo číslo c) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je trascedetí 2 a) Defiujte
Více11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.
11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám
Více1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN
2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;
VíceAnalytická geometrie
Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí
Více5. Posloupnosti a řady
Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru
Vícen=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0
Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada
VíceP. Girg. 23. listopadu 2012
Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt
Vícen-rozměrné normální rozdělení pravděpodobnosti
-rozměré ormálí rozděleí pravděpodobosti. Ortogoálí a pozitivě defiití symetrické matice. Reálá čtvercová matice =Ha i j L řádu se azývá ortogoálí, je-li regulárí a iverzí matice - je rova traspoovaé matici
Víceje číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost
Číselé řady Defiice (Posloupost částečých součtů číselé řady). Nechť (a ) =1 je číselá posloupost. Pro všecha položme s = ak. Posloupost ( s ) azýváme posloupost částečých součtů řady. Defiice (Součet
VíceŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil
ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická
VíceAbstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat
Komplexí čísla Hoza Krejčí Abstrakt. Co jsou to komplexí čísla? K čemu se používají? Dá se s imi dělat ěco cool? Na tyto a další otázky se a předášce/v příspěvku pokusíme odpovědět. Proč vzikla komplexí
VíceCvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?
1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí
VíceMatematická analýza I
1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další 2 Matematická
VíceDiskrétní matematika
Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Diskrétí matematika látka z I semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia Obsah Biárí relace2
Více1. Přirozená topologie v R n
MATEMATICKÁ ANALÝZA III předášy M Krupy Zií seestr 999/ Přirozeá topologie v R V prví části tohoto tetu zavádíe přirozeou topologii a ožiě R ejprve jao topologii orovaého prostoru a pa jao topologii součiu
Vícea logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.
Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o
VícePřednáška 7: Soustavy lineárních rovnic
Předáška 7: Soustavy lieárích rovic 7.1. Příklad (geometrie v roviě) Rozhoděte o vzájemé poloze přímky p : x y 1 a přímky a) a : x y 3, b) b : 2x 2y 3, c) c :3x 3y 3. Jak víme ze středí školy, lze o vzájemé
VíceKomplexní čísla. Definice komplexních čísel
Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují
Více5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu
5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá
VíceObsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...
Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1
VíceZnegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:
. cvičeí Příklady a matematickou idukci Dokažte:.! . Návody:. + +. + i i i i + + 4. + + + + + + + + Operace s možiami.
VíceMatematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice
Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké
VíceSkalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy.
6 Skalární součin Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. Příklad: Určete odchylku přímek p, q : p : x =1+3t,
VíceSpojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné
Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v
Více1. Zjistěte, jestli následující formule jsou tautologie. V případě záporné odpovědi určete k dané formuli konjunktivní a disjunktivní normální formu.
Výrokový počet. Zjistěte, jestli ásledující formule jsou tautologie. V případě záporé odpovědi určete k daé formuli kojuktiví a disjuktiví ormálí formu. i) A C) = B C) = A B) ) ii) A B) = A C C B ) iii)
Více1 Základní pojmy a vlastnosti
Základí pojmy a vlastosti DEFINICE (Trigoometrický polyom a řada). Fukce k = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrický polyom. Řada = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrická řada. TVRZENÍ (Ortogoalita).
VíceAnalytická geometrie
7..06 Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí
VíceLineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy
Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy 1.1 Relace a funkce V celém textu budeme používat následující označení pro číselné množiny: N množina všech přirozených čísel bez nuly, N={1, 2,
Více1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie
1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho
VíceDERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře
VícePřednáška 7, 14. listopadu 2014
Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.
Vícejako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých
9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie
VíceMatematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti
Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti
VíceZkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3
Katedra matematiky Fakulty jaderé a fyzikálě ižeýrské ČVUT v Praze Příjmeí a jméo 1 2 3 4 5 BONUS CELKEM (13 bodů) Zkoušková písemá práce č. 1 z předmětu 01MAB3 14. leda 2016, 9:00 11:00 Pro kvadratickou
VíceBáze a dimenze vektorových prostorů
Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň
Více1 Trochu o kritériích dělitelnosti
Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak
Více1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor
. LINEÁRNÍ LGEBR Vektorový prostor.. Defiice Nechť V e moži které sou defiováy operce sčítáí + : t. zobrzeí V V V ásobeí i : t zobrzeí R V V. Možiu V zýváme vektorovým prostorem, sou-li splěy ásleduící
Více7. Analytická geometrie
7. Aaltická geoetrie Studijí tet 7. Aaltická geoetrie A. Příka v roviě ϕ s A s ϕ s 2 s 1 B p s ϕ = (s1, s 2 ) sěrový vektor přík p orálový vektor přík p sěrový úhel přík p k = tgϕ = s 2 s 1 sěrice příkp
Více1 Nekonečné řady s nezápornými členy
Nekoečé řady s ezáporými čley Příklad.. Rozhoděte o kovergeci ásledující řady Řešeí. Pro každé N platí Řada tg. tg. diverguje, a proto podle srovávacího kritéria diverguje také řada tg. Příklad.. Určete
VíceO Jensenově nerovnosti
O Jeseově erovosti Petr Vodstrčil petr.vodstrcil@vsb.cz Katedra aplikovaé matematiky, Fakulta elektrotechiky a iformatiky, Vysoká škola báňská Techická uiverzita Ostrava Ostrava, 28.1. 2019 (ŠKOMAM 2019)
VíceLineární zobrazení. V prvním z následujících tvrzení navíc uvidíme, že odtud plynou a jsou tedy pak rovněž splněny podmínky:
Lineární zobrazení Nechť (V, +, ) a (W, +, ) jsou dva vektorové prostory nad týmž tělesem (T, +, ). Nechť f : V W je zobrazení splňující následující podmínky: ( u, v V)(f(u + v) = f(u) + f(v)), ( s T )(
VíceZS 2018/19 Po 10:40 T5
Cvičeí - Matematická aalýza ZS 08/9 Po 0:40 T5 Cvičeí 008 Řešte erovice v R: 8, log 3 ( 3+3 0 Částečý součet geometrické řady: pro každé q C, q, a N platí 3 Důsledek: +q +q + +q = q+ q si+si+ +si = si
VíceMatematika I, část II
1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího
Víceje konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n
8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VícePřijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika
Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo
VícePříkladykecvičenízMMA ZS2013/14
PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.
VícePřijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení
Přijímací řízeí akademický rok 0/0 Kompletí zěí testových otázek matematické myšleí Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď. Které číslo doplíte místo otazíku? 6 8 8 6?.
VíceMatematika I 12a Euklidovská geometrie
Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky
VíceTěleso racionálních funkcí
Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso
VíceBudeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)
Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a
Více1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy
1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá
VíceZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ INDUKCE
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí registračí číslo projektu: CZ07/500/098 IV- Iovace a zkvalitěí výuky směřující k rozvoji matematické gramotosti žáků středích škol ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ
Více10 Přednáška ze
10 Přednáška ze 17. 12. 2003 Věta: G = (V, E) lze nakreslit jedním uzavřeným tahem G je souvislý a má všechny stupně sudé. Důkaz G je souvislý. Necht v je libovolný vrchol v G. A mějme uzavřený eurelovský
Víceu, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,
Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou
Více1 Základní matematické pojmy Logika Množiny a jejich zobrazení... 7
Semiář z matematické aalýzy I Čížek Jiří-Kubr Mila 8 září 007 Obsah Základí matematické pojmy Logika Možiy a jejich zobrazeí 7 Reálá a komplexí čísla 6 Poslouposti 7 Základí vlastosti posloupostí 7 Limita
VíceMatematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti
Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Ivaa Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti
VíceI. TAYLORŮV POLYNOM ( 1
I. TAYLORŮV POLYNOM Připomeňme si defiice elemetárích fukcí: a si( = 2+ = ( (2+! b cos( = 2 = ( (2! c e = =!. Dokažte, že Taylorův polyom k-tého řádu v bodě pro fukce f je rove polyomu P : (tyto výsledky
Víceje konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n
8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že
Více7.2.4 Násobení vektoru číslem
7..4 Násobeí vektor číslem Předpoklady: 703 Tetokrát začeme hed defiicí. Násobek lového vektor číslem k je lový vektor. Násobek elového vektor = B Ačíslem k je vektor C A, přičemž C je bod, pro který platí:
Více5 PŘEDNÁŠKA 5: Jednorozměrný a třírozměrný harmonický oscilátor.
5 PŘEDNÁŠKA 5: Jedorozměrý a třírozměrý harmoický oscilátor. Půjde o spektrum harmoického oscilátoru emá to ic společého se spektrem atomu ebo se spektrálími čarami atomu. Liší se to právě poteciálem!
VíceS polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické
5 Itegrace racioálích fukcí 5 Itegrace racioálích fukcí Průvodce studiem V předcházejících kapitolách jsme se aučili počítat eurčité itegrály úpravou a základí itegrály, metodou per partes a substitučí
Vícemnožina všech reálných čísel
/6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,
VíceIterační metody řešení soustav lineárních rovnic
Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
VícePROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
VíceNecht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme
Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad
Více11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16
11. Skalární součin a ortogonalita 11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16 11. Skalární součin a ortogonalita p. 2/16 Skalární součin a ortogonalita 1. Definice skalárního součinu 2. Norma vektoru 3.
Vícedefinované pro jednotlivé řády takto: ) řádu n nazýváme číslo A = det( A) a a a11 a12
Předáška 3: Determiaty Pojem determiatu se prosadil původě v souvislosti s potřebou řešit soustavy lieárích rovic v 8 století (C Maclauri, G Cramer) Teprve později se pojem osamostatil, zjedodušilo se
Více1.3. ORTOGONÁLNÍ A ORTONORMÁLNÍ BÁZE
ORTOGONÁLNÍ A ORTONORMÁLNÍ BÁZE V této kaptole se dozvíte: jak je oecě defováa kolmost (ortogoalta) vektorů; co rozumíme ortogoálí a ortoormálí ází; co jsou to tzv relace ortoormalty a Croeckerovo delta;
VíceLineární programování
Lieárí programováí Adjugovaý problém lieárího programováí V případě řešeí problému lieárího programováí LP ma{ c T : A b 0} získáváme výchozí přípustou jedotkovou bázi u doplňkových proměých a za předpokladu
Vícen=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1
[M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti
Více3. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
3 DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Difereciálí rovice (dále je DR) jsou veli důležitou částí ateatické aalýz, protože uožňují řešit celou řadu úloh z fzik a techické prae Občejé difereciálí rovice: rovice, v íž se
Více8. Analýza rozptylu.
8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,
VíceČíselné charakteristiky náhodných veličin
Číselé charakteristiky áhodých veliči Motivace Doposud jsme pozali fukcioálí charakteristiky áhodých veliči (apř. distribučí fukce, pravděpodobostí fukce, hustota pravděpodobosti), které plě popisují pravděpodobostí
VíceTOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 4. PREDNÁŠKA - SOUČIN PROSTORŮ A TICHONOVOVA VĚTA.
TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 4. PREDNÁŠKA - SOUČIN PROSTORŮ A TICHONOVOVA VĚTA. PAVEL RŮŽIČKA 4.1. (Kvazi)kompaktnost a sub-báze. Buď (Q, ) uspořádaná množina. Řetězcem v Q budeme rozumět lineárně
VíceDISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY
DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST
Více6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety
6 Lineární geometrie Motivace. Pojem lineární varieta, který budeme v této kapitole studovat z nejrůznějších úhlů pohledu, není žádnou umělou konstrukcí. Příkladem lineární variety je totiž množina řešení
Více= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f
D E R I V A C E F U N KCE Deiice. (derivace Buď ukce,!. Eistuje-li limitu derivací ukce v bodě a začíme ji (. lim ( + lim Deiice. (teča a ormála Přímku o rovici y ( v bodě, přímku o rovici y ( (, kde (
VíceČísla a početní výkony
Čísla a početí výkoy III. Reálá čísla I: Eduard Čech (author): Čísla a početí výkoy. (Czech). Praha: Státí akladatelství techické literatury, 1954. pp. 92--137. Persistet URL: http://dml.cz/dmlcz/402583
VíceMatematika 2 pro PEF PaE
Vektorové prostory 1 / 17 Matematika 2 pro PEF PaE 8. Vektorové prostory Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Vektorové prostory Vektorové prostory a podprostory 2 / 17 vektorového prostoru Množina
VíceU. Jestliže lineární zobrazení Df x n n
MATEMATICKÁ ANALÝZA III předášky M. Krupky Zmí semestr 999/ 3. Iverzí a mplctí zobrazeí V této kaptole uvádíme dvě důležté věty, které acházeí aplkace v moha oblastech matematky: Větu o verzím a větu o
Více5 Křivkové a plošné integrály
- 7 - Křivkové a plošé itegrály 5 Křivkové a plošé itegrály 51 Křivky Pozámka V této kapitole se budeme zabývat obecými křivkami v Vždy však můžeme položit = 2 či = a přejít tak k speciálím případům roviy
Více2.4. INVERZNÍ MATICE
24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:
Více2. přednáška 8. října 2007
2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =
VíceNáhodný výběr 1. Náhodný výběr
Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti
VíceDIM PaS Připomenutí poznatků ze střední školy. Faktoriály a kombinační čísla základní vzorce: n = k. (binomická věta) Příklady: 1.
DIM PaS. Připomeutí pozatků ze středí školy Faktoriály a kombiačí čísla základí vzorce: ( )( 2 )...2.! =. 0! = =! ( k)! k! ( )...( k ). + = k! = k + + = k + k + 2 2 ( a + b) = a + a b+ a b +... + a b +...
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
Více