Konec srandy!!! Mocniny s přirozeným mocnitelem I. Předpoklady: základní početní operace

Transkript

1 Koec srady!!!.6. Mociy s přirozeým mocitelem I Předpoklady: základí početí operace Pedagogická pozámka: Zápis a začátku kapitoly je víc ež je srada. Tato hodia je prví v druhé části studia. Až dosud ehrálo příliš velkou roli zda studeti chápou a pamatují si všecho, co jsme probírali. Od tohoto okamžiku se situace měí. Fakt, že studeti pochopí a budou si pamatovat všechy hlaví pozatky (červeé rámečky), které budeme yí probírat je z hlediska budoucího postupu v matematice zcela zásadí. Od tohoto okamžiku stavíme základy, a kterých bude stát celý zbytek matematického vzděláváí a gymáziu. Zatímco dosud byla hlavím cílem práce o hodiách to, aby se studeti aučili pracovat a chápat probíraou látku, yí je k tomu potřeba přidat ještě zapamatováí si probíraé látky a stavbu kozistetího systému. Dalším cílem výuky v tomto období je získáí mechaických schopostí při úpravě výrazů. Z tohoto důvodu v tomto období trvám a tom, aby studeti opravdu počítali všechy příklady ve sbírkách. Pedagogická pozámka: Podle mě eí možé probrat všechy vzorce pro mociy s přirozeým mocitelem v jedié hodiě. Já jsem látku rozdělil do dvou hodi, avíc logicky k těmto dvěma hodiám patří i hodia 60 KISS, kde se studety sažím aučit základí strategii postupého upravováí bez zbytečého zesložiťováí příkladu. Je uté, aby po každém vzorci i Ti ejpomalejší samostatě vyřešili alespoň ěkolik prvích bodů z ásledujícího příkladu. Ti rychlejší mají příkladů samozřejmě víc, avíc se mohou zabavit počítáím sbírky. Matematika se saží o zestručěí a zpřehleděí zápisu (součet jsem apsal jako souči) (souči jsem apsal jako mociu) Pro každé a R a N platí: a a a a... a. krát - to eí žádý objev a pochopeí, jde je o zestručěí zápisu Termiologie: a - mocia a základ mociy (mocěec) expoet (mocitel) Pozor:

2 ( ) 6 umocňuju číslo 6 umocňuju číslo, pak ásobím (umocňováí má předost) Př. : Doplň větu: Pro každé a R a každé N platí: a 0 Důsledky defiice mociy: Pro každé a R a každé N platí: a a... krát krát Pedagogická pozámka: Už v předchozím příkladu dělají ěkteří studeti chybu, ejčastěji. Teto omyl vychází z předpokladu, že číslo v expoetu slouží k ásobeí základu mociy. Př. : Na příkladech zjisti, jak závisí zaméko mociy a hodotách čísel a a. Postřehy co ejexaktěji ověř a zjištěé skutečosti zapiš do přehledé tabulky. Zkouším: ; ; 8 ; 6 ; 9 ; 7 ; 8 ; ( ) 8 ( ) ; ( ) ; ( ) 6 ( ) ; ( ) 9 ; ( ) 7 ; ( ) 8 Postřehy: umocňováím kladého čísla, získám vždy kladé číslo umocňováím záporého čísla a lichý expoet, získám vždy záporé číslo umocňováím záporého čísla a sudý expoet, získám vždy kladé číslo Ověřeí: umocňováím kladého čísla, získám vždy kladé číslo a a a a... a - souči kladých čísel výsledek je kladý krát umocňováím záporého čísla a lichý expoet, získám vždy záporé číslo a a a a... a a a a a... a - čísla v součiu jsem rozdělil do dvojic, jedotlivé krát (lichý počet) dvojice dají kladá čísla, jedo a zbude (je jich lichý počet) výsledek je záporý umocňováím záporého čísla a sudý expoet, získám vždy kladé číslo a a a a... a a a a a... a - čísla v součiu jsem rozdělil do dvojic, jedotlivé krát (sudý počet) dvojice dají kladá čísla, žádé a ezbude (je jich sudý počet) výsledek je kladý Zaméka moci: a > 0, N (libovolý expoet) a > 0 a < 0, k (sudý expoet) 0 a > ( ) 6

3 a < 0, k + (lichý expoet) 0 a < ( ) 8 Pedagogická pozámka: Myslím, že je velice vhodé echat studety, aby se trápili sami. I strategie, se kterou zkouší mociy (a vybírají si čísla a umocňováí) je důležitá a je možé ji korigovat během jejich samostaté práce. Při zkotrolováí je pak dobré zmíit, že a zkoušeí vybíráme čísla rozdílá, zkouška a příkladech eí důkaz. Př. : Spočti mociy: 6 b)( ) c) d)( ) 5 g) 0 5 h) 007 i) 98 j)( ) 60 e) ( ) f) b)( ) 6 c) d)( ) f) e) ( ) ( ) g) h) i) j)( ) 60 Pedagogická pozámka: Pokud ěkdo udělá chybu, vždy se sažím, aby si uvědomil, že správé řešeí přímo vyplývá z dodržeí pravidla a a a a... a. Cílem, je, aby krát studeti uvědomili, že existuje poměrě malé možství základích pravidel, které je uté za všech okolostí dodržovat (a to vede ke správému výsledku) a jejich edodržováí ústí v chyby (a jejich chyby měly stejý prapočátek). Posledí čtyři body předchozího příkladu jsou zároveň opakováím dějepisu. Letopočet 007 připomíá rok, ve kterém jsem se stal matikářem B0, a je urče k ahrazeí. Př. : Vypočti: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + b) ( ) ( ) b) ( ) ( ) ( )( ) Pedagogická pozámka: Pozor při výpočtu bodu b) postupují ěkteří studeti zbytečě složitě: ( ) ( ) ( 6)( 9) 8. Teto postup eí 8 zas takovým zdržeím, pokud mají k dispozici kalkulačku. Pokud e (a já jim pro tyto výpočty kalkulačky zakazuji, protože bez ich je počítáí rychlejší a studeti získávají odhad čísel), jde o začé zdržeí. Zdržeí je avíc zbytečé, protože logické je ejdřív krátit a pak teprve ásobit. Více o logice úprav v hodiě 60 KISS..

4 Př. 5: Příklady a sbírka. Pedagogická pozámka: Předchozí příklad odkazuje a sbírku příkladů, kterou studetům rozdávám. Slouží k tomu, aby Ti rychlejší měli, co dělat. S celou třídou se těmito příklady ezdržujeme, pomalejší si je musí poviě vypočítat doma. Pro každé a R a r, s N platí: Pravidla pro počítáí s mociami r s r s a a a +. Důkaz: Př. 6: a a a a a... a a a a... a a r s r+ s r krát s krát r+ s + krát a ( r s) Zapiš jediou mociou: b) ( ) ( ) 5 c) ( ) e) a a ( d) ( ) ( ) f) ( b c) ( c b) b) ( ) ( ) ( ) šestka je sudá,výsledek je kladý jiý postup ( ) ( ) ( ) c) ( ) d) ( ) ( ) ( ) e) ( ) a a a a a a a a f) ( b c) ( c b) ( b c) ( b c) ( b c) ( b c) ( b c) 6 Pedagogická pozámka: Při počítáí předchozího příkladu je třeba ohlídat, aby studeti edávali dohromady mociy s růzými základy (ěkteří se a to zeptají, ěkteří to rovou zkazí). V prví fázi ikdy eříkám, v čem je chyba, jeom ji ukážu a připomeu, aby si pořádě přečetli rámeček se vzorcem. Př. 7: Zjedoduš: 5 ( ) ( ) a + a + a a a 5 b) ( ) ( ) ( ) ( ) a + a + a a a + a a + a a a 6 7 c) ( ) ( ) ( ) b b + b + b b + b : b ( ) ( ) a + a + a a a a a + a a a b)

5 5 ( ) ( ) ( ) ( ) a + a + a a a + a a + a a a a a + a a a + a a a a a + a a + a a a + a c) ( ) ( ) ( ) b b + b + b b + b : b b b b b : b 7 6 b b b b b b b b b b b b b b Pedagogická pozámka: Sažím se zařídit, aby všichi zkusili vyřešit bod c) v předcházejícím příkladě. je zajímavé studety sledovat, jak si poradí s ěčím, co ještě eprobírali. Určitě si ikdo bude stěžovat, že vzorec pro děleí moci jsme ještě eměli, chci po ich, aby si přesto zkusili poradit. Na příkladě toho, že to jde se sažím ukázat, že ve chvílích, kdy si ejsme jisti půdou pod ohama, je zvlášť důležité vědět, co vlastě věci zameají. Vzoreček slíbím a příští hodiu, vždy se ajde ěkdo ho stejě odhalí. Př. 8: Příklad sbírka. Př. 9: Petáková: straa 6/cvičeí 7 Shrutí: a a a a a z toho je všecho jasé. 5