SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU
|
|
- Viktor Kadlec
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS
2 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii viz literatura, jedá se o matematický model z oblasti biologie. Teoretický pohled a model vypadá obecě ásledově. Model vychází z áhodého pohybu mraveců v okolí mraveiště. Mraveec se áhodě pohybuje v okolí mraveiště dokud eajde větší zdroj potravy a svou cestu si přitom začkuje. V případě, že ajde větší zdroj potravy, vrací se podle svých feromoových začek zpět do mraveiště kde vyšle sigál ostatím mravecům. Mraveci ho poté jede po druhém ásledují, přitom po ějaké době vytvoří řada mraveců přímou cestu spojující mraveiště s místem, kde se zdroj potravy achází. V semestrálí práci ukážeme, že i bez předpokladu hlubší itelektuálí schoposti, pouhým sledováím pohybu předchozího mravece, vyřeší mraveci tímto kolektivím úsilím časem optimalizačí úlohu alezeí ejkratší spojice dvou bodů, tj. vytvoří optimálí cestu k cíli (potravě, kterou lze často v přírodě pozorovat. /17
3 . SESTAVENÍ MODELU Začeí a zavedeí soustavy souřadé a časové osy Nejprve je uto zavést soustavu souřadou a to tak, že mraveiště umístíme do počátku soustavy souřadé tj. [,]. Cíl (kořist, potravu pak umístíme do bodu [L,]. Dále zavedeme předpoklad kostatí stejé rychlosti pohybu v u všech mraveců. Nechť prví mraveec průzkumík, ozačeý jako M, se pohybuje po své ozačkovaé cestě ásledově. V čase τ je v bodě [,], poté vyráží a cestu. V čase t se achází kdesi v bodě [x (t, y (t] (tj. kdesi a křivce kopírující průběh jeho cesty V čase T se dostává koečě k potravě do cíle, který se achází v bodě [L,]. Nákres je zobraze v ásledujícím obrázku 1. Pro ostatí mravece poté platí: Obrázek 1 pohyb mraveců v zavedeé souřadé soustavě V čase τ > δ (kde δ >, vyráží z mraveiště druhý mraveec M 1 a zamíří přímo k mraveci M. 3/17
4 V čase τ τ1+ δ vyráží z mraveiště třetí mraveec M a míří přímo k mraveci M 1. A takto ásledují i ostatí mraveci. Odvozeí modelu pohybu mraveců : Polohový vektor uur p každého z mraveců M, pro =,1,, v čase t uur uur p p. (1 = ( t = ( x ( t, y ( t Vektor rychlosti p ( t mravece M je poté vyjádře ásledově: ( d ( ( t p t = p. dt Vzhledem k předpokladu kostatí stejé rychlosti v u všech mraveců, platí dále: (3 p = v, pro všecha =1,,3,.., kde x začí velikost vektoru x (tj. eukleidovskou ormu x = x + K+ x. 1 Poěvadž mraveec M míří přímo k mraveci M -1 platí dále: (4 p = c ( p 1 p, kde c je kladá kostata. Z výrazu (3 a (4 plye ovšem rovost (5 p = c ( p 1 p = c p 1 p = v. / Po vyjádřeí kostaty c= v p 1 p z předchozího výrazu (5 a její dosazeí do výrazu (4 dostáváme model pohybu mraveců ve tvaru ekoečého systému difereciálích vektorových rovostí: (6 ( p ( p ( v 1 t t p ( t = p ( t p ( t 1, =1,,3, 4/17
5 Pro řešeí tohoto systému rovic (řešeím jsou fce p (t při platosti rovosti (6 při zámém v a p (t je však uto dodat, že musí splňovat ještě počátečí podmíky a to kokrétě: (7 ( τ = (, kde { τ } 1 kde { ε } = 1 p, =1,,3, je rostoucí posloupost kladých reálých čísel splňující τ = τ 1= δ + ε, je ohraičeá posloupost ezáporých čísel. O vektorové fukci p ( = p t předpokládáme, že je defiovaá a itervalu,, je spojitá (mraveec edělá skoky, což odpovídá realitě, je diferecovatelá a itervalu ( v p = a pro,t (mraveec se pohybuje kostatí rychlostí v, tj. p existuje a t T je p t = ( L (,. Tuto fukci považujeme za zámou. Lze tedy umericky vyřešit počátečí úlohu (6, (7 s =1 a ajít vektorovou fukci p = p ( t, pak lze umericky ajít fukci p = p ( t, atd. 1 1 Problém může astat v případě, že pro ějaké ˆ τ τ platí p ( ˆ ˆ τ = p 1( τ. V takovém případě eí pravá straa rovosti (6 pro t = ˆ τ defiováa, a tedy řešeí výše staoveé rovice p elze prodloužit za ˆ τ. V tomto případě klademe pro p ( t = p ( t. Tímto způsobem lze adefiovat všechy vektorové fukce p t>τ ˆ 1 pro =1,,3,.. a itervalu τ,. 5/17
6 Odvozeí vlastostí systému: Aiž bychom řešili samotý systém (6,(7 lze odvodit ěkolik zásadích vlastostí. 1. Nerostoucí vzdáleost dvou mraveců a koečý čas dosažeí potravy Prví vlastostí je, že žádý z mraveců euteče svému ásledovíku, tj. vzdáleost mezi mraveci M -1 a M se s časem ezvětšuje. Je tedy uto ukázat, že fukce (8 = ( t = p 1( t p ( t, začící ou vzdáleost mezi mraveci, je erostoucí v čase, tedy platí: d d = ( p 1 p.( p 1 p = dt dt ( p p.( p p + ( p p.( p p = = ( p p.( p p 1 ( p 1 p.. p 1 p = p 1 1 p Využijeme-li rovosti (6 dostáváme d p p 1 1 = ( p p. = p p. p = p. p p dt v v ( ( p 1 p Připomeeme-li si, že pro každé dva vektory q, r platí Cauchyova-Bujakovského erovost zapsaá ásledově: q. r q r, kde q.r je skalárí souči těchto dvou vektorů. Použitím této erovosti, rovosti (3 a kostatí rychlosti mravece v dostáváme ( p 1 p p ( p 1 p v d =. = ( v v =. dt v v v Dokázali jsme tedy, že vzdáleost mezi za sebou jdoucími mraveci se s časem ezvětšuje v ámi defiovaém modelu. 6/17
7 Dále lze ukázat, že se každý mraveec dostae do k potravě, tj. do bodu [L,] v koečém čase. Vycházíme ze skutečosti, že z výchozí pozice mravece M -1 eboli z bodu [,] se mraveec M -1 dostae ejdále při přímočarém pohybu. To však zameá, že =, (9 ( τ v ( τ τ 1 v ( δ + ε tj. vzdáleost mravece M -1 od mravece M, který za ím vyráží z mraveiště v čase τ je rova ejvýše vzdáleosti, kterou urazil mraveec M -1 při přímočarém pohybu mezi časy τ 1 a τ. Zavedeme-li dále vzdáleost D, jakožto vzdáleost uražeou při přímočarém pohybu v ejdelším časovém rozdílu dvou po sobě vycházejících mraveců, tj. (1 D v ( δ sup { ε : } = +, pak při platosti již dokázaé erostoucí vzdáleosti mezi mraveci v čase lze psát (11 ( t D pro t τ, =1,,3,.. Z erovosti (11 tedy vyplývá, že každý mraveec se v koečém čase dostae k místu potravy do bodu [L,] eboť v čase T, kdy se do tohoto bodu dostal mraveec M, je vzdáleost mravece M 1 od ěho 1( T D. Mraveec M 1 tedy do bodu [L,] směřuje již přímočaře, takže bodu [L,] dosáhe v čase 1( T D T1 = T + T +. v v Aalogicky se pak -tý mraveec dostae do bodu [L,] v čase ( T 1 D D D D D T = T 1+ T 1+ T + + = T +... T +. v v v v v v 7/17
8 . Délka cesty mraveců Dále lze dokázat, že celková dráha, uražeá mraveci při cestě k potravě, se s časem a počtem mraveců ezvyšuje. V modelu je rozumé předpokládat, že cíl [L,] je dostatečě daleko od mraveiště [,] a to tak daleko, že -tý mraveec k ěmu dorazí později, ež jeho ásledovík (+1-í mraveec vyrazí z mraveiště (předchůdce edorazí k cíli dřív ež ásledovík vyrazí z mraveiště tj. (1 T > τ + 1, pro všecha =,1,,. Ozačme l jako celkovou délku dráhy, kterou urazí mraveec M, tj. (13 T = x ( s + y ( s ds= v ( T τ τ l Poěvadž předpokládáme T > τ a eulovou v platí l > pro každé. Vzhledem k tomu, že v okamžiku T, kdy předchozí mraveec M dorazí k cíli [L,], zamíří ásledující mraveec M +1 přímočaře k ěmu je celková délka l + 1 dráhy, kterou urazí mraveec M +1 vyjádřea ásledově (rekuretě: (14 l+ 1= v T τ T = v T τ v τ+ 1 τ + + 1T = l v δ+ ε T ( ( ( ( ( ( ( Z rovostí (13,(14 a z erovosti (1 a současě z faktu, že + 1 je erostoucí fukce času (viz výše dále plye l l = ( T v( δ + ε = ( T ( τ ( τ ( τ =, a je tedy dokázáo, že posloupost { l } = je erostoucí, což rověž zameá, že l l pro všecha =1,,3,.. 8/17
9 Dále dokážeme existeci rostoucí poslouposti { k} k= 1 přirozeých čísel takové, že δv (15 ( T 1 k k. Důkaz provedeme sporem. Tedy připustíme existeci takového, že δv (16 ( T 1 < pro všecha. Z rovosti (14 a z předpokladu (16 plye, že pro je splěa erovost l l = v( δ + ε + ( T Z í dále úplou idukcí plye, že pro platí vδ vδ vδ + + 1( T < vδ + = vδ l < l (, zejméa tedy pro + je vδ l vδ vδ l < l ( l + l =. vδ Zde arážíme a spor s předpokladem l >, čímž jsme dokázali erovost (15. 9/17
10 3. Optimalizace dráhy mravece Nakoec dokážeme, že při dostatečě velkém počtu mraveců, se po jisté době všichi mraveci pohybují v úzkém pásu kolem ejkratší spojice mraveiště a cíle. V limitě by se pak pohybovali po této spojici. Neboli vzdáleost mravece M od úsečky spojující mraveiště a potravu bude po celou dobu jeho pohybu meší ež libovolé, předem daé kladé číslo. Fukce y,druhá složka polohového vektoru p, je řešeím výše zmíěé počátečí úlohy v y = y y, y ( τ =. (17 ( 1 p 1 p Jedá se o spojitou fukci a itervalu τ, T a dle 1. Weierstrassovy věty lze tedy tvrdit, že je to fukce omezeá. Dále ozačme (18 Dokažme tedy, že platí { τ } { τ } Y = y ( t : t, T Y = mi y ( t : t, T mi = y ( τ Y Y, tj. že žádý mraveec se od úsečky 1 spojující mraveiště a potravu evzdálí více, ež jeho bezprostředí předchůdce. Kdyby toto tvrzeí eplatilo, tj. kdyby existovalo ějaké s τ, T takové, že y s = Y > Y y s, ( 1 1( utě by pak ( což by byl evidetě spor. v ( = ( ( <, y s = a současě dle (17 y s ( y s y s -1 p 1( s p ( s Posloupost { Y } = 1 je tedy erostoucí a zdola ohraičeá ulou, což zameá, že je kovergetí. 1/17
11 Buď yí k libovolé přirozeé číslo. S využitím erovosti (15 a faktu, že k je erostoucí fukce času, dostaeme, že pro každé t ( τ, T 1 k k platí v v ( ( ( ( (. k k k k k k k ( t δv δ (19 y t = ( y 1 t y t ( Y 1 y t = ( Y 1 y t k Řešeí počátečí úlohy pro lieárí difereciálí rovici = Y η, η( τ k = k δ ( η ( 1 pak vypadá ásledově ( t τ / (1 t Y 1( k δ η = e k ( 1. S přihlédutím k erovosti (19 dostaeme s použitím srovávací věty erovost ( t τ / ( ( 1( 1 k δ y t Y k e k, platou pro všecha t τ, T 1 k k. Dále tedy platí 1 (3 ( ( t τ / δ ( ( T / 1 1 k k τ δ Y Y k k e Y k e k 1 1. S využitím (13 tj. l v ( T τ = a skutečosti, že { l } = je erostoucí dostáváme erovost (viz expoet a pravé straě předchozího vztahu (3 (4 T l k 1 l τ T τ =. v v k 1 k k 1 k 1 Po dosazeí vztahu (4 do erovosti (3 tedy dostáváme (5 ( 1 l /( δv Y Y 1 e eboli při úplé idukci k, l δv (6 τ ( k Y = y ( Y Y 1 e = 1 e 1 /( k 1 /( k k k 1 1 l /( δv Poěvadž 1 e < 1 a současě lim k =, platí k l /( δv ( 1 e l δv ( k. 11/17
12 ( l /( δv e k lim 1 =. k Z erovosti (6 a z věty o třech posloupostech dostáváme limy k k =. Jelikož jsme vybrali posloupost { Y } k k= 1 z kovergetí poslouposti { Y } 1 =, platí limy =. Podobě by se dalo dokázat mi limy =. 1/17
13 3. SESTAVENÍ UPRAVENÉHO MODELU V předchozí kapitole jsem se zabývali modelem pohybu řady mraveců, vycházející z předpokladu, že každý mraveec sleduje svého předchůdce a míří přímo k ěmu. Nyí se budeme zabývat otázkou, akolik je teto předpoklad realistický. Budeme přitom předpokládat pouze to, že mraveec umí vímat každým z tykadel kocetraci ějakého feromou a podle rozdílu kocetrací feromou přijímaých jedotlivými tykadly měí směr svého pohybu. Zpřesěí v soustavě souřadé Nadefiujeme si souřadice hlavy mravece jako x= xt ( a y= yt (, a dále směrový úhel osy těla mravece ϑ= ϑ( t, viz ásledující obrázek. Obrázek mraveec v souřadé soustavě Stále budeme předpokládat pro jedoduchost kostatí rychlost pohybu mravece v, tj. vektor rychlosti vypadá ásledově v=(v cosϑ,v siϑ. Za krátký časový iterval t se poloha mravecovy hlavy změí o x= ( v cos ϑ t, y= ( vsi ϑ t. Dále budeme předpokládat, že mraveec měí směrový úhel osy těla v časovém itervalu t v závislosti a kocetracích feromou ClaCr přijatých levým a pravým tykadlem, tedy změa směrového úhlu osy těla je fukcí dvou proměých C l a C r tj. 13/17
14 (7 ϑ (, = F C C t, Limitím přechodem při t dostaeme model pohybu jedoho mravece ve tvaru l r (8 x v cos ϑ, y vsi ϑ, ϑ F( C, C = = =. l r Pro získáí kokrétího modelu, je zapotřebí blíže specifikovat fukci F. Budeme tedy předpokládat existeci ějaké imálí změy směru pohybu θ >, jíž je mraveec schope, tj. ϑ θ. Změa směru pohybu je přitom tím větší, čím je větší rozdíl C= Cl + Cr kocetrací feromou a kocích tykadel. V případě ulového rozdílu kocetrací se směr pohybu eměí, je-li a levém tykadle větší kocetrace feromou ež a pravém, tj. když C>, mraveec se otáčí v kladém smyslu, v opačém případě v záporém smyslu. Příklad fukce F, která splňuje uvedeé předpoklady je (9 F( Cl, Cr θ sg ( C f ( C =, přičemž fukce f :,, je eklesající, spojitá a splňuje podmíky (3 f ( =, lim f ( ξ = 1. Nejjedodušší fukce s těmito vlastostmi je ξ ξ (31 f ( ξ =, ξ + ρ kdeρ je kladá kostata. Pro staoveí F( C, C ϑ= tedy zbývá vyjádřit C l a C r. l r 14/17
15 Budiž se že zdroj feromou achází v bodě Z = [ x, y ] odkud se šíří do prostoru všemi směry, přičemž jeho kocetrace v bodě A bude epřímo úměrá druhé mociě vzdáleostí bodů A a Z. Kladou kostatu úměrosti závisející a kocetraci feromou ve zdroji a a vlastostech prostředí, ozačme jako c. Dále ozačme R l, resp. R r, vzdáleost bodu Z od koce levého, resp. pravého, tykadla. Platí tedy z Z c c c = = =. R R R R (3 Cl, Cr, C ( Rr Rl Dosazeím do (31 dostáváme: (33 f ( C l r l r crr Rl = cr R + ρr R r l l r Nechť δ ozačuje vzdáleost koce tykadla od středu hlavy (tj. délku tykadel a α π úhel svírající tykadlo s osou těla (viz obrázek ; patrě je δ >, < α <. Souřadice koce levého tykadla jsou potom ásledující (34 x + δ cos ( ϑ + α, y + δ si( ϑ + α, resp. souřadice koce pravého tykadla jsou (35 x+ δ cos ( ϑ α, y+ δ si( ϑ α Dále je uto vyjádřit vzdáleost R l, resp. R r, bodu Z [ x, y ] pravého, tykadla (36 R x x cos( resp.. = od levého, resp. Z z ( δ ϑ α ( y y δ si( ϑ α l Z Z (37 R x x cos( Odtud plye = + + +, ( δ ϑ α ( y y δ si( ϑ α r Z Z = +. 15/17
16 r l Z ( Z ( ( cos ( cos ( ( si ( si ( ( ( xz x ( yz y ( ( yz y ( xz x ( x x ( ( ( y y ( ( R R = δ cos ϑ α cos ϑ+ α δ si ϑ α si ϑ+ α + δ ϑ α ϑ α δ ϑ α ϑ α + + = = δ siϑ siα cosϑ siα = = 4δ siα cosϑ siϑ Při dosazeí předchozího rozdílu spolu s R l a R r tj. (36 a (37 do (33 dostáváme výsledý tvar fukce f. Spolu s fukcí f dosadíme do (9 i vztah ( Z Z ϑ (38 ( C = ( y y ϑ ( x x sg sg cos si Dostaeme vyjádřeí fukce F, které dosadíme do (8 a tím obdržíme výsledý model pohybu jedoho mravece. Teto model poměrě složitý, takže z ěho lze je obtížě získat ějaké aalytické výsledky. Lze ho ovšem řešit umericky a tím dostat tvar mravecovy cesty. To lze udělat v případě, že se bod Z epohybuje, tedy když x Z, y Z jsou kostaty a řešeý systém je autoomí, i v opačém případě, když x = x ( t, y = y ( t a systém eí autoomí. Je-li vzdáleost zdroje feromou a mravecovi hlavy příliš velká, přesěji řečeo, Z Z Z Z když cr R ρr R, pak porováím s (33 je vidět že f C. V takovém r l l r případě tedy můžeme model (8 ahradit jedoduchým systémem rovic (39 x = v cos ϑ, y = v si ϑ, ϑ =. Řešeím s počátečí podmíkou x( = x, y( = y, ϑ( = ϑ je ( = + cos ϑ, ( = si ϑ, ϑ( = ϑ. (4 xt x vt yt y t 16/17
17 Mraveec tedy a feromo ereaguje, ezměí směr a pohybuje se po přímce. To samo o sobě eí ějak překvapivý závěr. Upozorňuje ale a skutečost, že může být obtížé experimetálě rozhodout, zda vzdáleý mraveec ereaguje proto, že podět je atolik slabý, že ho ezachytil, ebo proto, že rozdíl podětů a kocích jedotlivých tykadel je příliš malý. LITERATURA [1] Spojité modely v biologii Josef Kalas, Zdeěk Pospíšil 17/17
MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce
MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost
Více3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie
3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se
Víceje konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n
8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že
Víceje konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n
8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí
VíceMasarykova univerzita Přírodovědecká fakulta
Masarykova uiverzita Přírodovědecká fakulta Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák NEKONEČNÉ ŘADY Bro 00 c Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák, Masarykova uiverzita, Bro, 998, 00 ISBN 80-0-949- 3 Kapitola 3 Řady absolutě
VíceKomplexní čísla. Definice komplexních čísel
Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují
VíceKapitola 5 - Matice (nad tělesem)
Kapitola 5 - Matice (ad tělesem) 5.. Defiice matice 5... DEFINICE Nechť T je těleso, m, N. Maticí typu m, ad tělesem T rozumíme zobrazeí možiy {, 2,, m} {, 2,, } do T. 5..2. OZNAČENÍ Možiu všech matic
Více6. Posloupnosti a jejich limity, řady
Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme
VíceMatematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti
Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti
VíceSpojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné
Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v
Více1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie
1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho
Více8.2.1 Aritmetická posloupnost I
8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu
VíceDefinice obecné mocniny
Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma
Více5. Posloupnosti a řady
Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru
Více8.2.1 Aritmetická posloupnost
8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž
VíceKapitola 4 Euklidovské prostory
Kapitola 4 Euklidovské prostory 4.1. Defiice euklidovského prostoru 4.1.1. DEFINICE Nechť E je vektorový prostor ad tělesem reálých čísel R,, : E 2 R. E se azývá euklidovský prostor, platí-li: (I) Pro
VíceŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil
ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická
VíceMATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER
MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem
Víceje číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost
Číselé řady Defiice (Posloupost částečých součtů číselé řady). Nechť (a ) =1 je číselá posloupost. Pro všecha položme s = ak. Posloupost ( s ) azýváme posloupost částečých součtů řady. Defiice (Součet
VíceCvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?
1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí
VíceMatematická analýza I
1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další 2 Matematická
Vícen=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1
[M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti
Vícen=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0
Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada
VíceObsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...
Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1
Více6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.
6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola
VíceVlastnosti posloupností
Vlstosti posloupostí Nekoečá posloupost je fukce defiová v oboru přirozeých čísel Z toho plye, že kždá posloupost má prví čle (zčíme ), koečé poslouposti mjí i čle posledí Př Vypište prví čtyři čley poslouposti
VíceNMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 17. ledna 2019
Jméo: Příklad 2 3 Celkem bodů Bodů 0 8 2 30 Získáo 0 Uvažujte posloupost distribucí {f } + = D (R defiovaou jako f (x = ( δ x m, kde δ ( x m začí Diracovu distribuci v bodě m Najděte limitu f = lim + f
Více1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE
1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;
VícePřednáška 7, 14. listopadu 2014
Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.
Více1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V
Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být
VíceZnegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:
. cvičeí Příklady a matematickou idukci Dokažte:.! . Návody:. + +. + i i i i + + 4. + + + + + + + + Operace s možiami.
Víceprocesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze
limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí
VícePetr Šedivý Šedivá matematika
LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími
VíceDERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře
Více(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci
... 4. 5. 6. 0 0 0 a q koverguje pro q < geometrická řada diverguje harmoická řada koverguje srovejte s teleskopickou řadou + + utá podmíka kovergece + 4 + + 7 ití srovávací kritérium, srováí s ití podílové
VíceP. Girg. 23. listopadu 2012
Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt
VíceBudeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)
Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a
VíceSprávnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).
37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým
VícePři sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací
3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací
VíceMatematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti
Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Ivaa Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti
VíceNMAF061, ZS Zápočtová písemná práce skupina A 16. listopad dx
NMAF06, ZS 07 08 Zápočtová písemá práce skupia A 6. listopad 07 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo
Více5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu
5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá
Více1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN
2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;
Více12. N á h o d n ý v ý b ě r
12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých
VícePosloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b
Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a
VíceZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ INDUKCE
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí registračí číslo projektu: CZ07/500/098 IV- Iovace a zkvalitěí výuky směřující k rozvoji matematické gramotosti žáků středích škol ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ
Vícea logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.
Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o
VíceDIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce
DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem ukce, gra ukce De: Fukcí reálé proměé azýváme pravidlo, které každému reálému číslu D přiřazuje právě jedo reálé číslo y H Toto pravidlo začíme ejčastěji
Vícejako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých
9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie
Více( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) Derivace elementárních funkcí II. Předpoklady: Př. 1: Urči derivaci funkce y = x ; n N.
.. Derivace elemetárích fukcí II Předpoklady: Př. : Urči derivaci fukce y ; N. Budeme postupovat stejě jako předtím dosazeím do vzorce: f ( + ) f ( ) f f ( + ) + + + +... + (biomická věta) + + +... + f
VíceZformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):
Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při
VíceFUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost
Více1 Základní pojmy a vlastnosti
Základí pojmy a vlastosti DEFINICE (Trigoometrický polyom a řada). Fukce k = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrický polyom. Řada = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrická řada. TVRZENÍ (Ortogoalita).
Více1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy
1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá
VícePřijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika
Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo
VícePřijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení
Přijímací řízeí akademický rok 0/0 Kompletí zěí testových otázek matematické myšleí Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď. Které číslo doplíte místo otazíku? 6 8 8 6?.
Více20. Eukleidovský prostor
20 Eukleidovský prostor V této kapitole budeme pokračovat ve studiu dalších vlastostí afiích prostorů avšak s tím rozdílem že místo obecého vektorového prostoru budeme uvažovat prostor uitárí Proto bude
VíceAbstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat
Komplexí čísla Hoza Krejčí Abstrakt. Co jsou to komplexí čísla? K čemu se používají? Dá se s imi dělat ěco cool? Na tyto a další otázky se a předášce/v příspěvku pokusíme odpovědět. Proč vzikla komplexí
Více1 Nekonečné řady s nezápornými členy
Nekoečé řady s ezáporými čley Příklad.. Rozhoděte o kovergeci ásledující řady Řešeí. Pro každé N platí Řada tg. tg. diverguje, a proto podle srovávacího kritéria diverguje také řada tg. Příklad.. Určete
VíceNMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) =
NAF61, ZS 17 18 Zápočtová písemá práce VZOR 5. leda 18 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo a příjmeí:
VíceNáhodný výběr 1. Náhodný výběr
Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti
Vícen 3 lim 3 1 = lim Je vidět, že posloupnost je neklesající, tedy z Leibnize řada konverguje, ( 1) k 1 k=1
3. cvičeí Přílady. (a) (b) (c) ( ) ( 3 ) = Otestujeme itu 3 = 3 = = 0. Je vidět, že posloupost je elesající, tedy z Leibize řada overguje, ( ) Řada overguje podle Leibizova ritéria, ebot je zjevě erostoucí.
VíceO Jensenově nerovnosti
O Jeseově erovosti Petr Vodstrčil petr.vodstrcil@vsb.cz Katedra aplikovaé matematiky, Fakulta elektrotechiky a iformatiky, Vysoká škola báňská Techická uiverzita Ostrava Ostrava, 28.1. 2019 (ŠKOMAM 2019)
Vícejsou reálná a m, n jsou čísla přirozená.
.7.5 Racioálí a polomické fukce Předpoklad: 704 Pedagogická pozámka: Při opisováí defiic racioálí a polomické fukce si ěkteří studeti stěžovali, že je to příliš těžké. Ve skutečosti je sstém, kterým jsou
VíceČíselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1
Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet
Více5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC
5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém
Více11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.
11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám
VícePŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR
PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy
VíceI. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) =
Taylorovy řady ěkterých fukcí: I. TAYLORŮV POLYNOM Pro R platí: si) = 2+ = ), cos) = 2 2+)! = ), 2)! e = =.! Pro, : log + ) = = ) Pro, ) a a R: + ) a = a ) =, kde ) a = a a ) a 2) a +).!. Nalezěte Taylorův
VíceNMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 25. ledna x 1 n
Jméo: Příklad 3 Celkem bodů Bodů 8 0 30 Získáo [8 Uvažujte posloupost distribucí f } D R defiovaou jako f [δ kde δ a začí Diracovu distribuci v bodě a Najděte itu δ 0 + δ + této poslouposti aeb spočtěte
VíceSTUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6
Středoškolská techika 00 Setkáí a prezetace prací středoškolských studetů a ČVUT STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6 Pavel Husa Gymázium Jiřího z Poděbrad Studetská 66/II
Vícemnožina všech reálných čísel
/6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,
VíceAritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti
8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:
Více6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI
6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat
Více1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:
1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí
Vícec) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je transcendentí. xp 1 (p 1)! (x 1)p (x 2) p... (x d) p e x t f(t) d t = F (0)e x F (x),
a) Vyslovte a dokažte Liouvillovu větu o šaté aroximovatelosti algebraického čísla řádu d b) Defiujte Liouvillovo číslo c) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je trascedetí 2 a) Defiujte
VíceMatematika I, část II
1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího
VíceUžitečné zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičením z Kalkulu 3 od Kristýny Kuncové:
Užitečé zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičeím z Kalkulu 3 od Kristýy Kucové: http://www.karli.mff.cui.cz/~kucova/historie8. php K posloupostem řad a fukcí Ilja Čerý: Iteligetí kalkulus. Olie zde:
VíceMocninné řady - sbírka příkladů
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.
VíceMATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.
MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...
VíceOdhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:
Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy
VíceSekvenční logické obvody(lso)
Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách
Více1 Trochu o kritériích dělitelnosti
Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak
Více3. cvičení - LS 2017
3. cvičeí - LS 07 Michal Outrata Defiičí obor, průsečíky os, kladost/záporost fukce a) fx) x 5x+4 4 x b) fx) x x +4x+ c) fx) 3x 9x+ x +6x 0 d) fx) x 7x+0 4 x. Řešeí a) Nulové body čitatele a jmeovatele
VíceIAJCE Přednáška č. 12
Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích
Víceveličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou
1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i
Více3. cvičení - LS 2017
3. cvičeí - LS 07 Michal Outrata Defiičí obor, průsečíky os, kladost/záporost fukce a fx x 5x+4 4 x b fx x x +4x+ c fx 3x 9x+ x +6x 0. Řešeí a Nulové body čitatele a jmeovatele jsou { 4}. Aby vše bylo
Více2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT
2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic
VíceOdhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt
Více10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR
Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo
Více8. Zákony velkých čísel
8 Zákoy velkých čísel V této část budeme studovat velm často užívaá tvrzeí o součtech posloupost áhodých velč Nedříve budeme vyšetřovat tvrzeí azývaá souhrě ako slabé zákoy velkých čísel Veškeré úvahy
Více7. Analytická geometrie
7. Aaltická geoetrie Studijí tet 7. Aaltická geoetrie A. Příka v roviě ϕ s A s ϕ s 2 s 1 B p s ϕ = (s1, s 2 ) sěrový vektor přík p orálový vektor přík p sěrový úhel přík p k = tgϕ = s 2 s 1 sěrice příkp
Více1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha
74 ěžiště, rovovážá poloha Předpoklady: 00703 Př : Polož si sešit a jede prst tak, aby espadl Záleží a místě, pod kterým sešit podložíš? Proč? Musíme sešit podložit prstem přesě uprostřed, jiak spade Sešit
VíceOKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN
Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,
VíceI. TAYLORŮV POLYNOM ( 1
I. TAYLORŮV POLYNOM Připomeňme si defiice elemetárích fukcí: a si( = 2+ = ( (2+! b cos( = 2 = ( (2! c e = =!. Dokažte, že Taylorův polyom k-tého řádu v bodě pro fukce f je rove polyomu P : (tyto výsledky
VíceDISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY
DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST
VíceDerivace součinu a podílu
5 Derivace součiu a podílu Předpoklad: Pedagogická pozámka: Následující odvozeí jsem převzal a amerického fzikálího kursu Mechaical Uiverse Možá eí dostatečě rigorózí, ale mě osobě se strašě líbí spojitost
VíceM - Posloupnosti VARIACE
M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,
VíceFunkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,
VíceMatematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice
Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké
Více