množina všech reálných čísel

Transkript

1 /6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor, obor hodot, mootóost fukce Lieárí a kvadratická fukce, fukce s absolutí hodotou. Opakováí základích pojmů Fukce: Fukce f je zobrazeí, které Defiičí obor fukce: D(f) Obor hodot fukce: H(f) možia všech reálých čísel, pro které možia všech reálých čísel Urči, zda se jedá o fukci a apiš defiičí obor a obor hodot: Mootóost fukce: Fukce f je rostoucí, jestliže platí Fukce f je klesající, jestliže platí Fukce f je kostatí, jestliže platí. ROČNÍK

2 Fukce /6. Sestrojte graf fukce: a) f : y =, > 0, zapište D(f), H(f) b) g : y = - +, zapište D(f), H(f) c) h : y = - +, D(f) =,5), zapište H(f) d) k : y = - -,zapište D(f), H(f) e) l : y = - + +, D(f) = -,), zapište H(f). ROČNÍK

3 Fukce /6. Urči defiičí obor fukce: a) f : y = + b) g : y = + c) h : y = d) k : y = e) l : y = f) m : y = + +. Defiičím oborem fukce f: y = + je možia: A/,, B/, D/,, E/,, C/, F/,. Určete mootóost fukcí, graf ačrtěte: a) y = b) y = + c) y = 5 d) y = e) y = ( ) f) y = g) y = - h) y =. ROČNÍK

4 Fukce /6. Sudost a lichost fukce Načrtěte grafy fukcí: f : y = + g : y = h : y = + Hodoty avzájem opačých Hodoty avzájem opačých Hodoty avzájem opačých čísel jsou čísel jsou čísel SUDÁ FUNKCE LICHÁ FUNKCE emá žádou tuto vlastost graf osově souměrý graf středově souměrý dle osy y dle počátku Defiice: Fce f () je sudá D( f ), f ( ) = f ( ). Fce f () je lichá D( f ), f ( ) = f ( ). Důkaz: y = + y =. Rozhoděte, které z ásledujících fcí jsou sudé či liché. ROČNÍK

5 Fukce 5/6. Dokažte, zda je fukce sudá či lichá a) y = b) y = c) y = d) y = e) y = f) y = ( ) g) y = +. Proveďte rozbor fce: a) y = b) y = + c) y = + d) y =,, e) y =, f) y = + +. ROČNÍK

6 Fukce 6/6. Iverzí fukce (iverzí= obráceá ) f : y = + iverzí fce f vzike přehozeím a y Grafy iverzích fcí f, f jsou souměrě sdružeé podle osy. a. kvadratu. Se záměou proměých se zaměí i příslušé obory. D ( f ) = H ( f ) H ( f ) = D( f ). Najdi fukce iverzí k daým fukcím a určete defiičí obor a obor hodot: a) y =, 5 b) y = c) y = +,,) d) y = +. ROČNÍK

7 Fukce 7/6 k. Nepřímá úměrost lieárí lomeá fce y = Př. :. B vsadí sportku a vyhraje 50 mil. Určete, kolik peěz připade a jedoho studeta, když se to dozví:,,, 5, 0, 5, 0 studetů. Studeti Kč (mil.) Čím víc lidí se to dozví, tím míň peěz dostaou. 50 Závislost je možé zapsat fukčím předpisem y =... epřímá úměrost Př. : Načrtěte graf fukcí a určete vlastosti. a) y = b) y = ,5 0 0, ,5 0 0,5 y y Obě osy tvoří kříž, ke kterému se přimyká graf, takové přímky se azývají asymptoty grafu. Graf se azývá HYPERBOLA. c) y = + d) y =. ROČNÍK

8 Fukce 8/6 e) y = f) y = + g) + y = Připomeeme děleí: ( - + 5) : ( - ) = ( ) : ( + ) = Úprava předpisu fce: h) y = i) + y = j) + + y = k) y = l) y = m) y = ROČNÍK

9 Fukce 9/6 5. Mociá fce y = sudé, kladé liché, kladé sudé, záporé liché, záporé. Načrti graf fukce a u všech případů zapiš D(f) a H(f) a) = 5 y b) y = c) y = + d) y = + e) y = f) y = +. ROČNÍK

10 Fukce 0/6. Přiřaď předpis fukce, urči D(f) a H(f) y = y = y = y = + 5 y = y = 5 y = = y = y = + y = y = y = y = y = y =. Načrti graf fcí, urči vlastosti a průsečíky grafu s osami,y. Jak se graf azývá? a) y = b) y = + +. ROČNÍK

11 Fukce /6 6. Epoeciálí fce y = a Př. : Načrtěte graf fukcí a určete vlastosti. a) y = b) y = y y. Načrtěte graf, určete vlastosti a) y = 0 b) Grafem je EXPONENCIÁLA. y = 0 c) y = d) y = + e) + y = f) y =. ROČNÍK

12 Fukce /6. ROČNÍK. Porovej mociu s číslem (ačrti graf:) ( ) ( ) 0 7 0,5, 5, 0, 7, 7,. Rozhoděte, které výroky jsou pravdivé: ( ) ( ),5 0,5 >,, > 0,, 0 < <. Porovejte reálá čísla m, ( ) ( ) ( ) m m m m = < = > 0, 0,

13 Fukce /6 7. Logaritmus Objev logaritmů - koec 6. století - rozvoj mořeplavby, obchodu a kostruováí potřeba rychlého počítáí rozvoj metod a usaděí výpočtů. Problémy s ásobeím (sčítáí je ještě sesitelé, ale ásobeí čtyřmístých čísel je problém), děleím, umocňováí a odmocňováím počátek 7. století: objev logaritmů. Převod: ásobeí a sčítáí, děleí a odčítáí, umocňováí a ásobeí log a logaritmus o základu a Platí: log a = y a y = pro a (0,) (, ), > 0 Příklad: y = log dekadický logaritmus (základ 0) y = l přirozeý logaritmus (základ e Eulerovo číslo,78) Podle defiice logaritmů vypočti ezámou: log 5 = log 0 = 6 log a 5 = log 7 9 = y log 5 = 0 log 0 = - log a 8 = - log 0 / 00 = y log 5 = log 0 = -0,5 log a 8 = log = y log 5 = - / log 0 = log 0 0,00000 = y 8. Logaritmická fce y = log a Př. : Načrtěte graf fukcí a určete vlastosti. a) b) y / / 8 y / / 8 Fukce logaritmická je fukce iverzí k fukci epoeciálí.. ROČNÍK

14 Fukce /6. Načrtěte graf, určete vlastosti: a) y = log( ) b) y = log c) y = l( + ) d ) y = log ( ) + e) y = log f ) y = log. Z grafu rozhoděte, která tvrzeí jsou pravdivá: a log 5 > 0 b)log = 0 c) log ) 0, 5 0,7 < 0 d ) log < log 5 e) log < log 5. Rozhoděte, která z čísel jsou záporá: a) log 5 b)log0, c) log5 0,7 d ) log e) log f ) log0, 0,. Určete všecha reálá, pro která platí: a log = 0 b)log > 0 c)log ) 0, < 0. ROČNÍK

15 Fukce 5/6 5. Určete defiičí obor fukcí: 9. Věty pro počítáí s logaritmy. Vypočtěte. ROČNÍK

16 Fukce 6/6. Zjistěte požadovaé hodoty logaritmů, pokud víte, že log = 0, 00 a log = 0, 77. a) log 6 = b) log 5 = c) log 8 = d) log 0 = e) log 000 =. Zjistěte, který výraz byl logaritmová: a).loga + log logb log5 = b).log.log( + ) + =. Určete (odlogaritmujte): a) log =.logm +.log log( r + 7) = b) log = logc +.logπ + log( ) log( + ) = c) log = log + logπ +.logr log 5. Určete logaritmy výrazů (zlogaritmujte): a). π. r.. y b) 5. a b c). a π. d. v d ) e) 5. y 6. Převeďte a logaritmy o jiém základě: a) log5 = b) log 9 = c) log 6 = 8 ( základ ( základ ( základ ) 0) ). ROČNÍK

17 Fukce 7/6 0. Epoeciálí rce Používáme vzorce pro počítáí s mociami: a m a a. a m = a = a m+ m m ( a ) = a b a a = b m. a = a m a = a m a 0 = ; a 0 PŘÍMÉ ŘEŠENÍ: a) = b)..8 =. + c) 9 = a) 5 + = b) = 6 c) 0, = d) 00 = 0, 0 e) 6 = 0,5 f).7 = 8 5 g) 9 = = 0,. 0 h) ( ) 5. ROČNÍK

18 Fukce 8/6 i) = 7 j) 9. 8 = 7 6 k) = 8 5 l) = VYTÝKÁNÍ - rovice s + či mezi mociami vytkeme mociu o stejém základu a). + + = 5 b). + = c) = a) + = b) = 0 c). 0 = d) + + = 8. ROČNÍK

19 Fukce 9/6 e) = 8 + f) = + + SUBSTITUCE - áhrada jedoduchou proměou řešeí kvadratické rovice a). + 7 = 0 a) = 0 + b) = 65. c) = 7 d) = 70 e) = 08 f). + = 0. ROČNÍK

20 Fukce 0/6 RŮZNÉ ZÁKLADY - poměr 5 = 7 a).7 b) 7. + = = c) 0. + = + RŮZNÉ ZÁKLADY - logaritmicky = zlogaritmujeme vzorec log =. log a a a) 6 = b) = + c) + =. ROČNÍK

21 Fukce /6 Shrutí: a) = 8 5 b) + = 6. + c). = 8 + d) = e) 0,0 = f) +. = 0 g). + 5 = g) + =,5.. ROČNÍK

22 Fukce /6. Logaritmické rovice - uté určeí podmíek řešitelosti!! ŘEŠENÍ POMOCÍ DEFINICE LOGARITMŮ log a = y a y = a) log = b) log ( ) = c).log ( + ) = 6 a) log 5 ( ) = 0 b) log9 ( ) = c) log ( ) = d) log = ŘEŠENÍ POMOCÍ VĚT O LOGARITMECH a) log( ) log( ) = b) log5 = log. ROČNÍK

23 Fukce /6 a) log( 9) +.log + = b) log = log 5 + log c) log(,5 ) = log,5 log d) log =.log e) log( + ) = log( 7) f) log( + ) log( ) = log ŘEŠENÍ SUBSTITUCÍ - áhrada logaritmu jedoduchou proměou a) (log ) +.log = 0 b) log + = log a) b) log =. log b) (log ).log 0 = 0. ROČNÍK

24 Fukce /6 Shrutí: 5 a) log + log + log + log = 6 b) log ( 8) = log + log c) = 0000 d) = log e) log + log8 = 8 f) 9 log = 0 g) log + = h) log6 + log + log = 7 log7 i) = log( 7) j) log( 9) + log =. ROČNÍK

25 Fukce 5/6. Epoeciálí a logaritmické erovice - úprava stejá jako u rovic, ale: je-li základ a > zachováváme zak erovosti je-li základ 0 < a < obracíme zak erovosti Příklad: Shrutí: a) b). ROČNÍK

26 Fukce 6/6 + c) < 0 5 d) log( + ) < log( ) e) log0,5 + log0,5( + ).log0, 5 f) log < + g) log 0. ROČNÍK