je číslo vyjádřené výrazem 7n 21n , C cos je iracionální číslo d) 0, 9 = 1

Transkript

1 Číselné obory N, Z, Q, R, C (definice, základní operace v jednotlivých oborech, vlastnosti operací s čísly, různé zápisy čísel, znázornění čísel na číselné ose a v Gaussově rovině, řešení rovnic v jednotlivých oborech, úlohy o dělitelnosti) n N Dokažte, že pro každé Řešte rovnici s neznámou znázorněte v Gaussově rovině a) z 6i 0 b) z 7 0 z C Určete pravdivostní hodnotu následujících výroků: a) cos n n je číslo vyjádřené výrazem 7n n n dělitelné číslem Výsledek zapište v goniometrickém i v algebraickém tvaru Kořeny rovnice b) Jestliže číslo je iracionální číslo, pak jeho hodnota je dána hodnotou zlomku Porovnejte následující čísla A, B, C podle velikosti: n! n n! A = lim n, B = log tg n 7 n 5 Vyjádřete ve tvaru zlomku racionální číslo dané periodickým rozvojem: 6 Dokažte, že a) log 5 je iracionální číslo b) 7 Určete pravdivostní hodnotu výroků:, C cos cot g sin 6 je iracionální číslo 5,7 99 a) log log 56 N b) ln n cot g sin c) Z d) 0, 9 = 8 Vypočítejte n i pomocí a) binomické věty b) Moivreovy věty 9 Jsou dána dvě dvojciferná přirozená čísla a platí, že jedno z nich má tytéž cifry jako druhé, ale v opačném pořadí Kterými čísly je vždy dělitelný a) součet b) rozdíl těchto čísel? 0 V Gaussově rovině znázorněte množinu všech kompleních čísel z, pro která platí: z z i z Sestrojte úsečku dlouhou Vysvětlete, které matematické věty využijete Usměrněte zlomek: 5 Ověřte pravdivostní hodnotu výroku: ( ) N Rozhodněte, které z čísel A, B je větší: A=8!-80!, B=8!+8!

2 Absolutní hodnota (reálného čísla, kompleního čísla, rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou, funkce s absolutní hodnotou) Určete množiny A N; 9 D R; 5 6 B y R; 0 y E z C; 0 z 9 C z C; z 6 F Z; a) výčtem prvků (pokud to lze), b) graficky (na číselné ose, případně v Gaussově rovině) a) Načrtněte graf funkce f : y 8 0 b) Proveďte diskusi o počtu řešení rovnice s neznámou R a reálným parametrem p: 8 0=p 5 i Je dáno komplení číslo a) z ii 5 b) i Určete z Znázorněte v Gaussově rovině z, z, z z 0 5 i i i Určete definiční obor následujících funkcí: f : y log 8 m : y g : y log h : y ln ch : y log l : y log k : y log sin log 9 n : y ln j : y log 5 V intervalu ; načrtněte grafy funkcí: a) f y cos : b) cos cos 6 Následující nerovnici řešte v R (metodou nulových bodů, graficky, umocněním): 5 Dále řešte tutéž nerovnici v C 7 Načrtněte graf funkce a) f y 8 Řešte v R: a) log : b) b) 9 V Gaussově rovině zobrazte všechna komplení čísla z, pro něž platí: a) z i z i 7 b) z i z i z 0 Sestrojte graf relace f y 8 ; RR; y Řešte v R rovnici: ( ) = 0 Řešte v R nerovnici: + < ( + ) 5 f : y c) f : y log 5 c) 5 d) 5 5

3 Algebraické výrazy (početní operace s mnohočleny, početní operace s racionálními lomenými výrazy, početní operace s mocninami a odmocninami, početní operace s kombinačními čísly a faktoriály, nekonečné řady, určování definičních oborů výrazů, binomická věta, Moivreova věta) Je dán výraz log Určete pro která 5 6 a) definován b) nekladný c) kladný Zjednodušte následující výrazy: R je výraz: a) 96 log sin0 tg log c) 5 log log 7 d) e) sin cos sin b) log log log 9 5 Upravte a určete podmínky: a) n n 6! n 5!! n! n n b) n n 9 7 c) log( ) log log log Zjednodušte následující výrazy a určete, kdy mají smysl: a) b) a 6a 8a a : a 9 a a 9 a 5 Určete i pomocí: a) Moivreovy věty b) binomické věty 6 a) Určete člen binomického rozvoje výrazu 7 obsahující b) Určete pátý člen binomického rozvoje 7 7 Rozložte na součin mnohočlen P() = 7 6, víte-li, že P(-)=0 8 Určete, pro která R je výraz a) definován b) roven nule c) nezáporný 5 9 Načrtněte graf funkce f: y : 0 Danou sumu rozepište pomocí součtu a součet vypočítejte: a) 000 Určete poslední cifru a výsledný ciferný součet čísla k0 6 k b) n n 5

4 Rovnice (v R, C, soustavy dvou a více rovnic, algebraické a grafické řešení) Řešte rovnici s neznámou z C: 8 + i = z ( i) z i ( + i) Řešte rovnici s neznámou R a parametrem p R Proveďte diskusi a) p = (p )p 8 (9 ) b) = ( + p ) + p p p Určete vzájemnou polohu přímek p, q: a) p: = t, y = + t, z = 5 + t, t R q: = 5 + r, y = r, z = 6 r, r R b) p: = t, y = + t, z = 5 + t, t R q: = 5 + r, y = r, z = 6 r, r R Ze stanic A, B vzdálených od sebe 0 km jedou proti sobě dva vlaky Rychlík, který ujede za hodinu 80 km, vyjel ze stanice A v 8 hodin Osobní vlak vyjel ze stanice B v 7 hodin 0 minut a jel rychlostí 0 kmh - V kolik hodin a jak daleko od stanice A se oba vlaky potkají? 5 Vypočítejte souřadnice vrcholů trojúhelníka, jehož strany leží na přímkách s rovnicemi 5 y =, + y = 5, 6 y = 0 6 Řešte v R rovnici: = 7 Řešte graficky i početně v R: + = sgn() 8 Určete, pro které hodnoty parametru a C nemá daná rovnice žádné řešení: a) z (5 i + a) a (z + i ) = b) za + i z ( + i) = 9 Řešte v R: a) ( 5) = 5 b) ( 5) = 5 c) 5 = 0 Řešte v R: n= ( ) = 0 Určete, pro které hodnoty parametru a R jsou přímky p: y + 6 = 0, q: + ay + 5 = 0 a) rovnoběžné různé b) totožné c) různoběžné d) kolmé Určete parametrickou rovnici průsečnice rovin α: + y + z 8 = 0, β: y + z 6 = 0 Určete vzájemnou polohu (případně průsečík) přímky p: {[ + t, + t, t], t R} a roviny σ: y + z 5 = 0

5 5 Nerovnice (algebraické a grafické řešení lineárních a kvadratických nerovnic a jejich soustav) Danou nerovnici řešte graficky i početně v R: 9 a) b) 6 5 Řešte v R: a) log 0, 0 a) Určete, pro které hodnoty parametru a R b) log log 6 log je daná přímka y a vnější přímkou dané p : 5 0 kuželosečky: 5 9y 900 b) Určete a R tak, aby přímka p o rovnici y a byla sečnou kružnice k o rovnici k Řešte v R: y : Je dána posloupnost 6 Řešte v R: n n Dokažte, že posloupnost je rostoucí a omezená a) tg b) cos c) 5 sin 5 d) e) log f) 5 sincos g) 7 Určete definiční obory funkcí: f : y g : y h : y ch : y log j:y = ln sin 8 Znázorněte množinu všech bodů v rovině o souřadnicích ; y, které vyhovují následující soustavě rovnic: y y log 5 log 9 Řešte v R: 0 Karel si musí vybrat, jestli chce snížit kapesné o 0 Kč nebo o 8% Pro Karla je výhodnější první varianta Co můžeme usoudit o výši jeho kapesného? V Gaussově rovině znázorněte množinu všech kompleních čísel z, pro která platí: a) i z b) z i z i Řešte nerovnici pro R s parametrem p R: p( ) + p( )

6 6 Kvadratické rovnice (v R, v C, algebraické a grafické řešení, soustavy, slovní úlohy vedoucí ke kvadratickým rovnicím) Řešte rovnici pro : i z z 5i 0 i; i z C a R Nalezněte všechny hodnoty parametru,pro které následující rovnice s neznámou a a 5 5 a 0 a) má právě dva reálné kořeny b) má aspoň jeden reálný kořen c) nemá řešení v množině reálných čísel Vyšetřete vzájemnou polohu přímky p : y 0 a kuželosečky: y 5 0 Vypočítejte strany pravoúhlého trojúhelníku, víte-li, že jeho obsah je 70 delší než druhá odvěsna cm cm a jedna jeho odvěsna je o 6 5 Napište kvadratickou rovnici s reálnými koeficienty, víte-li, že jejím kořenem je komplení číslo a) 6 i b) -+5i 6 Mezi kořeny kvadratické rovnice 5 0 vložte šest čísel tak, aby spolu s vypočtenými kořeny vzniklo osm po sobě jdoucích členů aritmetické posloupnosti n 7 Řešte v Z rovnici: n 5 7! n! 5n 0 Udejte podmínky 8 Řešte v R: Určete hodnotu m R tak, aby přímka y 0 byla tečnou dané kuželosečky y m 0 Řešte v R: 5 Určete, pro které hodnoty parametru a R má kvadratická rovnice log a 0 dva imaginární kompleně sdružené kořeny Určete, pro které hodnoty parametru a R má kvadratická rovnice 5 a 7a 0 jeden kořen roven nule Řešte v R: a q a a s q Určete všechny hodnoty parametru b R tak, aby jeden kořen kvadratické rovnice b 9 0 byl dvakrát větší než druhý kořen b 9

7 7 Substituce jako efektivní metoda řešení některých typů rovnic (rovnice s neznámou pod odmocninou, obtížnější rovnice eponenciální, logaritmické, goniometrické, algebraické rovnice vyššího stupně) Řešte v N 0 : n n a) k k n! n! 0 b) 0 Řešte v cos 0 ; :, cos cos, 5 a) 0 b) sin sin sin 0 Řešte v R : 6 Řešte v R : a) b) c) ;,5 5 Řešte v R : log b) Řešte v C: log log a) log0 0 b) a) 0 0; ; 7 Řešte v R a) b) i; 0 i c) d) e) f) 8 Vhodnou substitucí a pomocí vzorců sin(a + b), sin(a - b) dokažte následující výrok Pro každou dvojici reálných čísel, y platí: 9 Řešte v R soustavu rovnic: log + 5 log y = log 5 log y = 56 0 Řešte v R rovnici: log =

8 8 Výroky, výrokové formy a operace s nimi ( pravdivostní hodnota výroku, negace výroku, složené výroky, negace složených výroků, tautologie) Rozhodněte, která z následujících tvrzení jsou výroky, u výroků určete pravdivostní hodnotu a negujte je: (Výroková forma V() je výraz, který se skládá ze slov, symbolů a z výrokových proměnných Výrok vznikne z výrokové formy buď dosazením konkrétních hodnot za výrokové proměnné, nebo přidáním kvantifikátorů) a) Každé prvočíslo je liché číslo b) Nejmenší prvočíslo je sudé číslo c) n N : n! n! n 8n 8n d) n lim n 6 9 n = n 8 e) R : tg 0 f) Z : 5 0 g) Grafem funkce procházející bodem f : y 0,, D f R je v pravoúhlé soustavě souřadnic přímka h) 7 0 N ch) Ze třiceti dvou studentů ve třídě lze skupinu třech žáků na zkoušení vybrat 060 způsoby i) Součet velikostí všech vnitřních úhlů konveního 67-úhelníku se rovná 7 lim n n n n j) = k) R 8 8 n l) R : m) Každý trojúhelník, jehož strany mají délky n, n, n n N n, je pravoúhlý 8 00 Rozhodněte o pravdivosti následujících složených výroků a negujte je: a) Číslo i se nazývá imaginární jednotka nebo jeho druhá mocnina se rovná b) Eulerovo číslo e je větší než, a zároveň menší než,9 c) Jestliže n je přirozené číslo, pak výraz n n + 7 n je dělitelný 57 Dokažte, že uvedené výrokové formule jsou tautologie (utvořte u těchto formulí tabulky pravdivostních hodnot) ) a a zákon vyloučené třetí možnosti ) ( a) a zákon o negaci negace ) a b b a komutativnost pro konjunkci ) a b b a komutativnost pro disjunkci 5) (a b) c a (b c) asociativnost konjunkce 6) (a b) c a (b c) asociativnost disjunkce 7) a (b c) (a b) (a c) distributivnost konjunkce vzhledem k disjunkci 8) a (b c) (a b) (a c) distributivnost disjunkce vzhledem ke konjunkci 9) a b b a ekvivalence implikace a obměněné implikace 0) a b a b tautologie o nahrazení implikace pomocí disjunkce

9 ) (a b) ((a b) (b a)) tautologie o nahrazení ekvivalence pomocí konjunkce dvou implikací - implikace a její obrácené implikace ) (a b) a b Morganova tautologie pro negaci konjunkce ) (a b) a b Morganova tautologie pro negaci disjunkce ) (a b) a b tautologie pro negaci implikace 5) (a b) (a b) (b a) tautologie pro negaci ekvivalence Rozhodněte, zda uvedená výroková formule je tautologie: A BA B 5 Uveďte obměnu, obrácení a negaci následujícího tvrzení: a), D f f f ; b), D f f f ; c), D f ; < f > f (Jaké vlastnosti funkce tímto definujeme?) 6 Určete obor pravdivosti výrokové formy: a) b) 7 Z výroků A, B vytvořte konjunkci, disjunkci, implikaci, ekvivalenci: A: Trojúhelník je pravoúhlý B: V trojúhelníku platí Pythagorova věta

10 9 Množiny a operace s nimi (určení množiny výčtem prvků nebo charakteristickou vlastností, vztah rovnosti a inkluze mezi množinami, základní množinové operace a jejich znázornění pomocí Vennových diagramů, slovní úlohy řešené pomocí Vennových diagramů, množinové oprace v geometrii, geometrická místa bodů) Definujte kružnici, kruh, elipsu, parabolu, hyperbolu, Thaletovu kružnici jako množinu bodů dané vlastnosti Pomocí Vennových diagramů rozhodněte, zda platí: a) A B C A B A C b) A B C A B A C c) AB C A B AC, B doplněk množiny B v základní množině A ; B = R; Jsou dány množiny R; log Určete A B, A B, A B, B A, B R Jsou dány množiny: A R; 0 ; B R; log 5 ; C N; Určete A B, A B, A C; B A R, C 9 V pravoúhlé soustavě souřadnic znázorněte body a všech a) kosočtverců ABCD b) čtverců ABCD A 5; B ;0 Určete množinu průsečíků S úhlopříček 5 y 5 Je dána kružnice k : + = 00 Určete množinu středů všech kružnic, které se dotýkají kružnice a procházejí středem kružnice k k 6 Jsou dány dvě přímky: p :, q : Určete množinu všech bodů X, které mají od přímky a) stejnou vzdálenost jako od přímky q b) dvojnásobnou vzdálenost než od přímky q c) vzdálenost p 7 V Gaussově rovině určete graficky množinu všech kompleních čísel z, pro která platí : a) z 5i 6 b) z 6 i z i 8 Sestrojte trojúhelník ABC, pro který platí v c cm, b cm, poloměr kružnice vepsané cm 9 Ve skupině hraje 5 dětí kopanou, 9 házenou, žádný z těchto sportů, oba sporty Kolik dětí je ve skupině? Kolik dětí hraje kopanou nebo házenou? Znázorněte Vennovým diagramem 0 Písemná práce z matematiky, které se zúčastnilo 5 studentů, obsahovala tři úlohy Dva studenti vyřešili jenom první úlohu a tři studenti jenom druhou úlohu První a druhou úlohu vyřešilo 6 studentů, druhou a třetí studentů Všechny úlohy vyřešilo 0 studentů, první nebo třetí studentů a studenti nevyřešili ani první, ani druhou úlohu Kolik studentů vyřešilo a) aspoň dvě úlohy b) aspoň jednu úlohu? [7,] Je dána úsečka AB o délce 8 cm Znázorněte množinu všech bodů a) ze kterých je vidět úsečku AB pod úhlem větším než 0 b) jejichž vzdálenost je od bodu A menší než vzdálenost od bodu B Petáková: /09,0,, /6-0, 76/-

11 0 Reálná funkce jedné reálné proměnné (definice, definiční obor, obor hodnot funkce, graf, monotonie, etrémy, omezenost, periodicita, funkce inverzní, sudá, lichá) Rozhodněte, které z nakreslených množin bodů jsou grafem funkce U funkcí napište jejich předpisy, určete jejich definiční obor a obor hodnot Určete definiční obory následujících funkcí: a) f: y = b) f: y = log + c) f: y = log d) f: y = cos sin Je dána funkce a) f: y = b) f: y = + c) f: y = + d) f: y = + Rozhodněte, zda je funkce f sudá či lichá, nakreslete její graf, určete její vlastnosti Je dána funkce f: y = log cos Určete její definiční obor a nakreslete její graf 5 Je dána funkce f: y = + 6 Určete předpis inverzní funkce k funkci f Určete definiční obory a obory hodnot obou funkcí Nakreslete grafy obou funkcí Určete průsečíky grafů obou funkcí s osami soustavy souřadnic 5 6 Pro která reálná čísla a je klesající funkce a) f: y = loga+7 a b) g: y = ( 5a 0 )? a 7 Je dána funkce f: y = Určete definiční obor a obor hodnot, rozhodněte, zda eistuje funkce inverzní k funkci f Pokud ano, napište její předpis a určete definiční obor a obor hodnot 8 Je dána funkce f: y = ( Určete definiční obor funkce f a obsah trojúhelníku, jehož vrcholy tvoří průsečíky grafu funkce s osou a osou y + ) 9 Je dána funkce g: y = + 6 Funkční předpis lineární funkce f určete tak, aby byl její graf souměrný s grafem funkce g podle: a) osy b) osy y c) počátku d) přímky y=

12 Eponenciální funkce, rovnice a nerovnice (vlastnosti eponenciální funkce, graf, různé metody řešení eponenciálních rovnic a nerovnic) Určete a tak, aby funkce f byla a) rostoucí b) klesající f : a y a Nakreslete grafy následujících funkcí a určete jejich D, H, vlastnosti: a) e) f : y b) f : y 5 f) f : y c) f : y 5 f : y d) f : y 6 f : y 6 g) 7 Následující rovnice řešte v R a) b) c) 5 d) e) f) g) 5 7 = 6 Určete definiční obor funkce f: y 5 0,5 6 log f : y 5 5 Uvažujme reálnou funkci jedné reálné proměnné definovanou předpisem 75 Určete souřadnice průsečíků grafu funkce s osami soustavy souřadné a 0 f 6 Je-li do banky uložena částka, bude po n letech spoření částka dána vzorcem, kde p je roční úroková míra v Za jak dlouho se částka uložená do banky ztrojnásobí, je-li roční úroková míra %? Vyjádřete dobu v letech a dnech 7 Odepisujeme-li každoročně z ceny stroje p%, je po n letech skutečná cena K 0 a n K n dána vzorcem, kde je původní cena stroje Za jak dlouho klesne cena stroje na polovinu, bude-li p=%? Vyjádřete dobu v letech a dnech 8 Uvažujme reálnou funkci jedné reálné proměnné definovanou předpisem f : y Určete definiční obor a obor hodnot této funkce a určete předpis funkce inverzní 9 Pomocí grafu eponenciální funkce rozhodněte, jaký vztah platí mezi reálnými čísly r, s, víte-li, že platí: r s 0 Pomocí grafu eponenciální funkce rozhodněte, z jaké podmnožiny 7 8 a a Vyřešte v R nerovnice: R je číslo a víte-li, že platí: a) ( )+ > b) 00 c) ( 6 ) < ( 6 )+8 d) < 0

13 Logaritmické funkce, rovnice a nerovnice (definice logaritmu, pravidla pro počítání s logaritmy, vlastnosti logaritmické funkce, graf, různé metody řešení logaritmických rovnic a nerovnic) Určete definiční obor následujících funkcí: 5 f : y h : y log log log g : y 0 log log ch : y log Nakreslete grafy následujících funkcí, určete jejich definiční obory a obory hodnot a jejich průsečíky s osami soustavy souřadné : y : y : y : y f y log 5 f log 0, 5 g log 0, 5 5 g log 0, 5 f : y log 0, 5 y log f g log 0, 5 : 0, 5 : f y log f y log 5 5 : Následující rovnice řešte v R: log 9 a) log 9 b) log 5 log log 5, c) log log log log log e) g) ln 7 - d) log 8 ln 7 log = f) log log + log 9 + log += h) log 00 Rozhodněte, které z čísel A, B je větší: A log log 5 log 0! B log 50 log log 5 6 : ch) log ( ) 5 Rozhodněte, které z čísel C, D je větší a) C log 0,, D log 0, b) C log log log 6, D 5 6 Určete inverzní funkci k funkci f: y 5 log, Dokažte, že daná tři čísla tvoří tři následující členy a) aritmetické posloupnosti: log,log6,log 8 b) geometrické posloupnosti: log 6, log 8, log 8 Následující rovnice řešte v R: log log Určete definiční obory a obory hodnot obou funkcí i a) log b) ln ln ln 6ln i 8 n c) log n 9 Vyřešte v R nerovnice: a) log 0 ( ) log 0 + log 0 5 b) log 0, ( 5) < 0 Pomocí grafu vhodné logaritmické funkce rozhodněte, zda se jedná o kladné či záporné číslo: A = log B = log 0,7 0, C = ln e

14 Goniometrické funkce a rovnice (definice goniometrických funkcí, vlastnosti, grafy, užití vzorců, různé typy goniometrických rovnic) Následující rovnice řešte v R: a) sin cos b) cot g 8 n d) cos e) cos 5sin 0 n cos sin sin g) i) sin cos Následující rovnice řešte v c) cos f) cot g tg h) sin ch) cos j) 0; a) sin sin cos 0 b) Nakreslete graf funkce pro, : : cos k) sin cos 8 a) f : y cos cos b) g: y sin sin c) h : y sin d) ch : y cos R c) sin cos sin sin Určete, pro která je následující nekonečná řada konvergentní, a určete pak její součet: 5 V daném trojúhelníku platí, že velikosti jeho stran tvoří tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti s kvocientem q = Je tento trojúhelník tupoúhlý? 6 Porovnejte definiční obory a obory hodnot následujících funkcí f : y cos a g : y cos Nakreslete jejich grafy Určete počet řešení rovnice cos cos 0 pro ; 7 Vypočtěte všechny průsečíky grafů reálných funkcí a g definovaných předpisy f : y, g : y cot g sin 8 Určete definiční obor daného výrazu a potom ho zjednodušte: cot g cot g a) sin cos tg cot g, b) sin sin m 9 Pro které hodnoty parametru m R má rovnice cos alespoň jeden reálný kořen? m 6 0 Řešte v R: a) cos cos cos b) tg Určete definiční obor funkce tg f : y tg Zjednodušte následující výraz a určete jeho hodnotu pro a) f : cos cos e k k tg 000 tg 000 ; 0;; e e b) e ; 0; ; e e k 0 00 k0 5 Vypočítejte: sin tg cot g00 Je dáno sin ; ; Určete hodnoty ostatních goniometrických funkcí: a) bez použití kalkulačky b) s pomocí kalkulačky 5 Proveďte diskusi o počtu řešení rovnice s neznámou ; a parametrem p R; sin p n sin n

15 Posloupnosti a řady (definice posloupnosti, vlastnosti, určení posloupnosti vzorcem pro n tý člen a rekurentně, aritmetická a geometrická posloupnost, limita posloupnosti, nekonečná geometrická řada a její součet) Posloupnost všech přirozených čísel, která jsou dělitelná číslem 7 a zároveň číslem 9, zapište: a) vzorcem pro n-tý člen, b) rekurentně Rozhodněte, zda se nejedná o aritmetickou nebo geometrickou posloupnost Vypočítejte součet prvních čtyřiceti členů [ 5660] a 0 6n předpisem pro tý člen a n 5 a) Určete první tři členy této posloupnosti b) Rozhodněte, zda je posloupnost rostoucí, klesající, omezená Svoje tvrzení dokažte c) Rozhodněte, zda je posloupnost aritmetická či geometrická Svoje tvrzení dokažte Je dána posloupnost d) Určete s 0 n n Do čtverce o straně délky a je vepsán kruh, do něho pak čtverec, do toho opět kruh atd donekonečna Vypočítejte: a) součet obsahů všech těchto kruhů b) součet obsahů všech těchto čtverců c) součet obvodů všech těchto kruhů d) součet obvodů všech těchto čtverců Řešte rovnici s neznámou R : n a) n b) 5 Vypočítejte: n a) n b) 6 n n n n n n n n 5 c) lim d) lim n 5n n n 5 n n 7 n n e) lim n n f) lim n n 5 n lim n lim n 6n 7n g) lim h) lim n 7n 5n 6n n 7 8n 5n n n n n 9n 5 nn n 00n lim lim n n ch) n n = i) 00n 6 = j) lim 5n n n n =, 6 Řešte v R rovnici: Určete rekurentně všechny geometrické posloupnosti n n platí: první člen a je roven jednomu z kořenů rovnice a pátý člen a 5 je roven druhému z kořenů rovnice a, pro které 7 Rozměry kvádru tvoří tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti Jejich součet je cm, objem kvádru je cm Vypočtěte povrch kvádru

16 8 Zjistěte, pro které R je následující geometrická řada konvergentní, a určete pak její součet n cos n 9 Vypočtěte všechny reálné geometrické posloupnosti a a a a 5 a 7 a 8 8 n a tj určete a a q, vyhovující soustavě rovnic 0 V geometrické posloupnosti a n n určete a n, je-li a n, a n 8 a n V aritmetické posloupnosti n je dáno: a a 5 7 6, a a 7 Vypočítejte a 7 Doplňte vynechaná místa v definici: a n Říkáme, že je konvergentní, právě když číslo ar takové, že platí: 0 eistuje n0 tak, že pro všechna přirozená čísla n n0 je an(, ) n Určete reálné číslo tak, aby čísla a, a, a tvořila tři posobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti: a = + log a = log a = + log Vyřešte rovnici v N: = 550

17 5 Kombinatorika (faktoriál, kombinační číslo, variace, permutace kombinace) Řešte v N: a) ( ) ( + + ) =! + (5 ) b) (n )! (n )! (9 7 ) c) ( 5 ) +! 0! ( ( )! ) d) ( )! + ( ( )! ) Ve třídě je 7 děvčat a chlapců a) Kolik máme možností jak vybrat dvojici chlapec děvče, která bude mít projev na maturitním plese? b) Kolika způsoby může třída vybrat jednoho zástupce, který bude mít projev na plese? Určete počet přirozených dvojciferných čísel s různými ciframi: a) pomocí pravidla kombinatorického součinu b) pomocí pravidla kombinatorického součtu c) pomocí variací Ve třídě je 7 děvčat a chlapců Určete, kolika způsoby je možné zvolit ze studentů třídy a) samosprávu (předsedu a místopředsedu)? b) samosprávu (předsedu a místopředsedu) tak, aby v ní byl jeden chlapec a jedno děvče? c) samosprávu (předsedu a místopředsedu) tak, aby alespoň jedním z nich bylo děvče? 5 Určete počet všech šestimístných číselných hesel, jestliže a) cifry se nemohou opakovat b) cifry se mohou opakovat 6 V rovině je dáno n bodů (n ), z nichž žádné tři neleží v jedné přímce Určete, a) kolik přímek je určeno těmito body b) kolik trojúhelníků je určeno těmito body c) kolik kružnic je určeno těmito body, pokud navíc platí, že žádné čtyři body neleží na jedné kružnici? 7 V prostoru je dáno n bodů (n ), z nichž žádné čtyři body neleží v jedné rovině Určete, kolik rovin je určeno těmito body 8 Ve třídě je chlapců a 7 dívek Určete, kolika způsoby je možné vybrat ze třídy pětičlennou skupinu tak, aby obsahovala a) pět libovolných studentů b) právě tři dívky c) alespoň čtyři chlapce 9 Kolika způsoby lze postavit n osob a) do řady? b) kolem kulatého stolu, kde záleží pouze na vzájemném umístění osob a ne na jejich poloze vzhledem k okolí? 0 Kolikrát je počet k-členných variací z n prvků větší než počet k-členných kombinací z n prvků? Do tanečních přišlo chlapců a y dívek Kolik různých tanečních párů mohou vytvořit? Zvětší-li se počet prvků o, zvětší se počet variací třídy bez opakování vytvořených z těchto prvků o 68 Určete původní počet prvků Kolika způsoby lze rozmíchat na začátku hry hracích (mariášových karet? Určete, kolika způsoby je možné vybrat z mariášových karet a) tři karty b) tři karty červené barvy c) tři karty stejné hodnoty? 5 Určete šestý člen binomického rozvoje ( 0 i) Získaný výraz zjednodušte 6 Kolik hráčů se zúčastnilo turnaje ve stolním tenisu, jestliže bylo odehráno 5 utkání a hráči hráli každý s každým a) právě jednou b) dvakrát? 7 Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma hracími kostkami (černou a bílou) padne a) součet 5 b) stejná hodnota na obou kostkách c) na černé kostce nižší hodnota? 8 V osudí je 8 bílých a 5 červených koulí Po každém tahu vracíme kouli do osudí, Určete pravděpodobnost toho, že a) v prvním taku táhneme červenou b) v šesti tazích táhneme právě tři bílé koule

18 6 Přímka (vzájemná poloha přímek v rovině a v prostoru, odchylka přímek, vzdálenost, analytická geometrie přímky, přímka jako graf lineární funkce) Je dána přímka jejím bodě P p : t p y 5 t, t R a na ní bod P ;? Určete množinu středů všech kružnic, které se dotýkají přímky p v Jakou vzájemnou polohu mohou mít dvě různé přímky a, b v rovině, v prostoru? Určete vzájemnou polohu přímek p, q Vypočítejte jejich odchylku Jsou-li přímky různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku Rozhodněte, zda platí výrok: Přímky p, q neleží v téže rovině p : 8 t q : s a) y 8t y 6s z t; t R z 9s; s R b) c) p : t y t z 5t, t R p : t y t z 5 t, t R q : s y s z 7 s, s R q : s y s z s, s R d) p: t y t z t; t R q: s y s z s; s R Je dána kuželosečka y 8 y 5 0 a přímka p : y 0 0 a) druh kuželosečky, b) rovnici tečny ke kuželosečce, která je rovnoběžná s přímkou c) rovnice tečny kuželosečky v bodě P 0;? p, Určete: 5 Je dána krychle ABCDEFGH Určete vzájemnou polohu a odchylku přímek: a) FC, BE, b) BD, FD, c) DE, HC, d) DF, HG 6 Je dána krychle ABCDEFGH Sestrojte průsečík (pokud eistuje): a) přímky S S AC EG s rovinou B C E, b) přímky S AE G s rovinou A SCG SGH 7 Jsou dány rovnice přímek p a q Určete hodnotu reálného parametru a a b tak, aby přímky p, q byly rovnoběžné a) různé b) totožné p: = - + t q: = 6u y = t y = u z = t, tr z = b + au, ur

19 8 Napište rovnici přímky p procházející průsečíkem přímek a : 7y 0, b : y 8 0, která je kolmá k přímce q : y 0 9 Určete úhel, který svírá přímka o rovnici -y +5 = 0 s osou 0 V rovině je dáno n různých bodů, z nichž řádné tři neleží v jedné přímce Kolik přímek tyto body určují? Je dán pravidelný konvení n-úhelník a) Kolik přímek jeho vrcholy určují? b) Náhodně vybereme přímku procházející vrcholy n-úhelníku Jaká je pravděpodobnost, že tato přímka prochází stejnými vrcholy jako úhlopříčka n-úhelníku? Jaká je pravděpodobnost, že tato přímka prochází stejnými vrcholy jako strana n-úhelníku? Je dána kružnice k : y 5 a přímka p : y 0 0 a) Napište rovnice přímek, která jsou kolmé na a jsou tečnou kružnice k b) Napište rovnice přímek, které jsou rovnoběžné s přímkou a jsou tečnou kružnice k Určete vzdálenost obou tečen Je dána funkce f: y = - + a) Napište rovnice všech přímek, které mají s funkcí f právě jeden společný bod a procházejí bodem A0; b) Napište rovnici tečny funkce f v bodě B; Načrtněte grafy funkcí, určete jejich definiční obor, obor hodnot a vlastnosti: f : y a) b) f: y, g: y g : y 5 Jakou vzájemnou polohu mohou mít tři různé přímky a, b, c v rovině, v prostoru? 6 Průsečíkem A přímek a : 7y 8 0, b : y 0 a bodem B ; veďte přímku m; napište její obecnou rovnici Určete směrnici přímky m a úhel, který svírá přímka m s kladným směrem osy a b ; m : y 0; o k ; 5 7 Určete rovnici tečny grafu funkce f : y v jejím bodě T ;? f ; k 6; t : y 8 6, 8 Vyšetřete vzájemnou polohu přímek p, q: p AB ;;, ;7;6, A B q je průsečnicí rovin : y z 0, : y z 0 p p t : 6 y 6 9 Napište rovnici tečny k elipse y, která je rovnoběžná s přímkou p : y

20 7 Rovina (vzájemná poloha dvou a tří rovin, analytická geometrie roviny, průnik roviny a tělesa ve volném rovnoběžném promítání, odchylka rovin, odchylka přímky a roviny) Rovina je určena a) třemi různými nekolineárními b) bodem a přímkou, která c) dvěma různými d) dvěma V prostoru je dáno n různých bodů, z nichž p leží v jedné rovině, a kromě nich už žádné čtyři body v jedné rovině neleží Určete: a) kolik různých rovin tyto body určují, b) počet čtyřstěnů s vrcholy v daných bodech n p Jakou vzájemnou polohu mohou mít v prostoru a) dvě roviny Obsahuje-li jedna ze dvou rovin dvě různoběžky, z nichž každá je rovnoběžná s druhou rovinou, pak jsou obě roviny Daným bodem lze vést k dané rovině rovinu s ní rovnoběžnou b) rovina a přímka, Je-li přímka p rovnoběžná s některou přímkou roviny, pak je přímka p Přímka je kolmá k rovině, je-li kolmá každé přímce roviny dvěma roviny Daným bodem lze vést k dané rovině kolmou přímku Daným bodem lze vést k dané přímce kolmou c) dvě přímky, d) tři roviny? Přímka je kolmá k rovině, jestliže Dvě roviny jsou k sobě kolmé, Jsou dány body A,,9, B,,, C,0, a) Ověřte, že tyto tři body určují rovinu b) Napište parametrickou rovnici této roviny c) Určete obecnou rovnici této roviny dvojím způsobem d) Zapište úsekový tvar rovnice roviny e) Vypočítejte souřadnice průsečíků této roviny s osami souřadnic a rovinu načrtněte f) Zapište obecné rovnice rovin, které jsou rovnoběžné s rovinou ABC g) Napište rovnici přímky, která je kolmá k rovině ABC a prochází bodem A h) Vypočítejte vzdálenost bodu D ; ; od roviny ABC Je dána obecná rovnice roviny : y z 0 a) Zapište úsekový tvar rovnice roviny b) Určete souřadnice průsečíků této roviny s osami souřadnic c) Rovinu načrtněte d) Vypočítejte vzdálenost počátku soustavy souřadné od roviny e) Bodem A ; ; veďte přímku kolmou na rovinu f) Určete kolmý průmět bodu A do roviny g) Určete vzájemnou polohu roviny a přímky p: p : r y r z r, r R h) Určete odchylku přímky p a roviny p 5 Sestrojte řez a) pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou OPQ, kde O AB AO BO P CV VP CP Q DV DQ QV b) krychle ABCDEFGH rovinou GS S AB AD

21 6 Určete hodnotu parametru a) navzájem kolmé, b) navzájem rovnoběžné a R tak, aby roviny : a y z 5 0 a : y 6z 0 byly: 7 Vypočítejte odchylku daných dvou rovin a σ: : y z 0, : y z 0 8 Je dána krychle ABCDEFGH CDS GH a) Vyšetřete vzájemnou polohu rovin a BCF b) Vyšetřete vzájemnou polohu rovin CFH, BDE c) Vyšetřete vzájemnou polohu rovin BCE, ADF, SAE SCG SAF d) Bodem S FG veďte rovinu rovnoběžnou s rovinou BDS EF 9 Na hranách krychle jsou dány body K, L, M K AE L BF M GH 0 V krychli ABCDEFGH jdou dány roviny AFH, CGE Dokažte, že platí Návod: Využijte normálové vektory,, Sestrojte řez rovinou KLM ; ; ;;0 0 n n n n Určete vzájemnou polohu tří rovin: : y z 0 : y z 0 : y 0 (jeden společný bod 0 ;0; ) Je dán pravidelný pětiboký jehlan ABCDV a) Kolik rovin je jeho vrcholy určeno? b) Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná trojice jeho vrcholů určuje rovinu, která obsahuje aspoň jeden vnitřní bod tohoto jehlanu? 5 Graficky znázorněte množinu všech řešení [; y],, y R dané soustavy: Petáková 8/9,0

22 8 Trojúhelník (klasifikace trojúhelníků, vlastnosti základních prvků trojúhelníka, řešení trojúhelníka analyticky, řešení trojúhelníka trigonometricky) -Rozdělení trojúhelníků, kružnice opsaná, vepsaná, výpočet jejich poloměrů -Věty, které platí pro trojúhelník + jejich důkazy -Vztahy pro výpočet obsahu trojúhelníka -Navrhněte, jak vypočítat další stranu trojúhelníka, je-li zadán podle věty a) sus b) usu c) Ssu d) je pravoúhlý, známe jednu odvěsnu a výšku na přeponu V rovině E je dán trojúhelník ABC : A 5;, B ;5, C ; a) Vypočítejte velikosti stran tohoto trojúhelníku b) Jak lze dokázat, že body jsou vrcholy trojúhelníku? c) Určete v parametrickém tvaru rovnici přímky, na které leží strana c d) Určete obecnou rovnici přímky, na které leží výška v c e) Zapište obecnou rovnici osy strany AB f) Rozhodněte, zda se jedná o ostroúhlý, pravoúhlý nebo tupoúhlý trojúhelník g) Vypočítejte poloměr kružnice opsané tomuto trojúhelníku h) Určete souřadnice těžiště trojúhelníku ch) Určete souřadnice bodu D tak, aby čtyřúhelník ABCD byl rovnoběžník i) Vypočítejte velikost úhlu β A, B, C Je dán trojúhelník ABC Délky jeho stran tvoří tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti s kvocientem 5 a), 5 b) Rozhodněte, zda trojúhelník je tupoúhlý Do rovnostranného trojúhelníku ABC o délce strany a cm je vepsán druhý trojúhelník ABC jehož vrcholy jsou ve středech stran trojúhelníku ABC Do tohoto trojúhelníku je stejným způsobem vepsán trojúhelník ABC atd Vypočítejte součet a) obvodů všech takto vzniklých trojúhelníků, b) obsahů všech takto vzniklých trojúhelníků Pravoúhlý trojúhelník ABC má přeponu c 0 cm a platí, že délky jeho stran tvoří tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti a) Vypočítejte obvod a obsah tohoto trojúhelníku b) Kde leží střed kružnice opsané tomuto trojúhelníku a jaký má tato kružnice poloměr? c) Určete velikost výšky na stranu c d) Určete poloměr kružnice vepsané 5 Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu C Sestrojte výšku k přeponě AB a označte ji CP Zapište dvojice podobných pravoúhlých trojúhelníků, které zde vznikly Zapište a dokažte Euklidovy věty 6 Sestrojte trojúhelník ABC je-li dáno: a) b = 6 cm, v b =,5 cm, v a = cm, b) r = cm, c = 5 cm, vb = cm, kde r je poloměr kružnice opsané Vypočítejte velikosti jeho vnitřních úhlů, c) diskutujte jednotlivé možnosti a odpovídající postupy konstrukce trojúhelníků ze třech zadaných prvků 7 Je dána úsečka BB, BB 6 cm Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které je BB těžnicí t b a pro které platí v b 5 cm, c 5, 5 cm 8 Jsou dány body A; ;, B;;, C0;0;5 Dokažte, že body A, B, C jsou vrcholy trojúhelníku ABC, a že tento trojúhelník je pravoúhlý

23 ,, 9 Určete velikost vnitřních úhlů trojúhelníku ABC, ve kterém platí: 0 Vypočtěte obsah trojúhelníka ABC, jsou-li dány body A [,0,], B [-,,-], C [-,,6] a : b : 5, : : Jsou dány body M ;, N; Napište rovnici přímky MN Určete průsečíky A, B této přímky s osami, y Vypočtěte obsah trojúhelníku omezeného osami, y a přímkou MN MN : y A 5;0, B 0; 5 S b b 5 Je dána úsečka AC, AC b Sestrojte trojúhelník ABC, pro který platí: cm, c 5cm, t 5, cm Pomocí kosinové věty rozhodněte, zda trojúhelník ABC, jehož strany mají délky a cm, b cm, c 6cm je tupoúhlý cos o 90 Pravoúhlý trojúhelník, jehož odvěsny mají velikost v poměru 5 :, má přeponu 6 cm Jak dlouhé jsou odvěsny? a 0cm, b cm 5 Do rovnostranného trojúhelníku je vepsán kruh Do tohoto kruhu je vepsán rovnostranný trojúhelník, do něj opět kruh atd Vypočítejte součet obsahů všech takto vzniklých trojúhelníků 6 Délky stran trojúhelníku jsou, 0 a cm Každou stranu máme zmenšit o stejnou délku, aby ze zkrácených stran bylo možno sestrojit pravoúhlý trojúhelník O kolik cm budeme zkracovat? 8 a 7 Obsah rovnoramenného trojúhelníku je 8 cm, délka jeho ramene je cm Vypočítejte velikost jeho vnitřních úhlů cm S ab sin sin 0 90, 5 o a : b : 5 8 Určete velikost vnitřních úhlů,, trojúhelníku ABC, ve kterém platí: : : o o o 79 9 Délky stran trojúhelníka jsou tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti s diferencí d, jeden úhel o tohoto trojúhelníka měří 0 Určete délky stran tohoto trojúhelníka 0 V rovině je dáno n různých bodů, z nichž p leží na jedné přímce Kolik je těmito body určeno trojúhelníků? n p

24 9 Čtyřúhelníky a n úhelníky (různoběžník, rovnoběžník, lichoběžník, pravidelné n-úhelníky, konstrukční úlohy, trigonometrické řešení, výpočet obvodů a obsahů, užití vektorového počtu) Čtverec v rovině a) Vypočtěte zbývající vrcholy tohoto čtverce b) Napište rovnici kružnice opsané tomuto čtverci c) Napište rovnici kružnice vepsané tomuto čtverci d) Vypočtěte obsah kruhu opsaného tomuto čtverci e) Zapište obecnou rovnici přímky, na které leží úhlopříčka čtverce AC E má střed a vrchol S 5 ; A 7 ; Odvoďte vzorec a) pro počet úhlopříček v n-úhelníku, b) pro součet velikostí všech vnitřních úhlů v konvením n- úhelníku Vysvětlete pojmy konvení, tětivový a tečnový úhelník, deltoid, pravidelný n-úhelník n Počet úhlopříček konveního n-úhelníka je o 0 větší než počet úhlopříček konveního (n-)-úhelníka Určete počet stran obou mnohoúhelníků Do kružnice o poloměru r je vepsán čtyřúhelník KLMN tak, že jeho vrcholy dělí kružnici v poměru a) ::: b) ::: Vypočítejte velikosti vnitřních úhlů čtyřúhelníku a vyjádřete jeho obsah pomocí proměnné r 5 Sestrojte lichoběžník ABCD, pro který platí: AB CD, AB = 6, cm, AC = 6 cm, úhlopříčky AC sebe kolmé a protínají se v bodě S Vzdálenost bodu S od strany AB je a), cm; b) cm, BD jsou na 6 Kolik stran má pravidelný mnohoúhelník, v němž vnitřní úhly mají velikost 7 Body ABCD tvoří rovnoběžník Vypočítejte souřadnice vrcholů, a souřadnice středu rovnoběžníku S ; Zapište obecnou rovnici přímky, na které leží úhlopříčka rovnoběžníku AC 8 Nejmenší vnitřní úhel mnohoúhelníku je, největší aritmetickou posloupnost a) Jedná se o konvení mnohoúhelník? b) Kolik má mnohoúhelník stran a jak velké má vnitřní úhly? c) Kolik má mnohoúhelník úhlopříček? 7 7 C, D 65?, znáte-li vrcholy A ; B ;0 Velikosti vnitřních úhlů mnohoúhelníku tvoří 9 Obsah lichoběžníku je 0 cm Rozdíl obou základen je 6 cm, výška je o cm větší, než kratší základna Určete velikost základen i velikost výšky 0 Sestrojte lichoběžník ABCD (strana a je rovnoběžná se stranou c), je-li dáno: 0 a 0cm, 5, b 7cm, c 5cm V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C platí: β = 5, a = 9cm Jaký obsah má rovnoběžník ABCD? Jsou dány body ;;, B5;;7, C;;, D;; A a) Dokažte, že body A, B, C, D jsou vrcholy lichoběžníku b) Které strany jsou jeho základnami a v jakém poměru jsou jejich velikosti? c) Vypočítejte velikost úhlu BAD AB CD AB : CD : Vypočítejte obsah rovnoběžníku, jehož úhlopříčky mají délky 6 cm a cm a svírají úhel 0 o Vypočtěte velikost strany čtverce ABCD s vrcholem A 0;0, jestliže úhlopříčka BD leží na přímce p : y 0 cos BAD 0, o BAD S absin S u Ap a 6

25 5 Jsou dány dva vrcholy A, 7, B, 5 čtverce ABCD a) Určete souřadnice vrcholů C, D b) Napište rovnici kružnice opsané tomuto čtverci 5;, D ;5 a) B b) k : 7 y 58,5 6 V lichoběžníku ABCD je dáno AB 8 cm, BC 5 cm, 60, 05 Vypočítejte délku stran c, d 7 Sestrojte tětivový čtyřúhelník ABCD, je-li dáno: a 6 cm, c cm, 60, r cm poloměr kružnice opsané 8 Sestrojte lichoběžník ABCD, AB CD, je-li dáno: o o AB 7cm, BD 6cm, BAD 60, BCD 0, kde r je 9 Chceme vybudovat výběh pro slepice tvaru obdélníku Jednu stranu tvoří část stěny stodoly K dispozici máme 60 m pletiva Určete rozměry výběhu, má-li mít co největší obsah S a b 60 a b S a 60a a 5 50; V 5;50 S 50m 0 Obdélník má délku o cm větší než šířku Zvětšíme-li oba jeho rozměry o 0 cm, získáme obdélník s obsahem cm Vypočítejte původní rozměry obdélníku Sestrojte tětivový čtyřúhelník ABCD, je-li dáno: a cm, b 5cm, c cm, 0 o cm6cm Rovnoběžník má obsah 50 cm, délky stran 0 cm a 8 cm Určete délky úhlopříček Sestrojte lichoběžník ABCD, AB CD, je-li dáno: AB 6cm, BD 6cm, AD cm, BCD 0 o Obdélník má obvod 8 cm a úhlopříčku 0 cm dlouhou Určete jeho rozměry 8 cm, 6cm

26 0 Kružnice, kruh a jejich části, elipsa (definice kružnice, kruhu a elipsy, analytická geometrie kružnice a elipsy, konstrukční úlohy) Určete souřadnice středu a velikosti poloos elipsy o analytickém vyjádření: 9y 90y 5 0 Zapište souřadnice vrcholů a ohnisek této elipsy Načrtněte Rozhodněte, který z trojúhelníků EFX, kde X je libovolný bod elipsy, kromě hlavních vrcholů, má: a) největší obsah, b) největší obvod Zapište rovnice vrcholových tečen Určete vzájemnou polohu dané kuželosečky a přímky p : y k A, B, C, D vzhledem k reálnému parametru k Nechť je střed kružnice a přímka o rovnici y 5 0 je tečna této kružnice a) Napište rovnici této kružnice b) Napište rovnici kruhu, který je touto kružnicí vymezen S, Nekonečná spirála se skládá z polokružnic Poloměr první polokružnice je r, poloměr každé další polokružnice je pětkrát menší než poloměr polokružnice předcházející Vypočítejte délku spirály Je dána přímka p a bod A Sestrojte všechny kružnice, které procházejí bodem A, dotýkají se přímky p a mají poloměr r = 5 cm Proveďte diskusi o počtu řešení 5 Na ciferníku hodin jsou čísla až Určete velikost úhlu, který svírají dvě úsečky, jež vzniknou spojením bodů odpovídající číslům a), 0 a 8,, b) 7, a, 0, c), 8 a 6, d) 7, a, 6 Určete rovnici tečny kružnice k : y 6, která je kolmá k přímce p : y a prochází bodem P 8, 7 V rovině je dáno n bodů, z nichž p leží na jedné přímce, kromě nich žádné tři body na téže přímce neleží Určete, kolik je těmito body určeno kružnic Porovnejte s počtem trojúhelníků n p a) pokud žádné čtyři z daných bodů neleží na kružnici, b) pokud podmínka a) není splněna 8 Napište rovnici elipsy, jejíž body vyhovují v Gaussově rovině rovnici: z i z 7 i 9 V rovnoramenném trojúhelníku ABC je AC BC 5cm, AB 0cm Vypočtěte poloměr kružnice vepsané trojúhelníku ABC 0 Čtverci ABCD, jehož strana má délku a, je opsána a vepsána kružnice a) Vypočítejte obsah mezikruží omezeného těmito kružnicemi b) Určete, kolikrát je větší obvod kružnice opsané, než obvod čtverce Napište osovou rovnici elipsy, která má ecentricitu M ; 6 Stanovte, pro kterou hodnotu parametru m je přímka p : m y 0 tečnou elipsy e a prochází bodem e : y m a 6 0

27 Pro které hodnoty čísla K je rovnice y 6y K 0 rovnicí kružnice? K,0 Jsou dány dvě kružnice ks, r, ksr, SS 7cm Sestrojte všechny kružnice o poloměru cm, které se dotýkají obou daných kružnic Proveďte diskusi o počtu řešení v závislosti na poloměrech daných kružnic S k k k S; r, k S; r Určete souřadnice středu a velikosti poloos elipsy o analytickém vyjádření 6 6 9y 80 0 S,0, a, b 5 Tětiva kružnice má od středu kružnice vzdálenost 8 cm a je o cm větší, než poloměr kružnice Určete poloměr kružnice 6 Napište rovnice tečen kružnice k : y 5, které se jí dotýkají v jejích průsečících s přímkou p : y 5 0 Vypočítejte odchylku těchto tečen Situaci načrtněte v soustavě souřadnic Oy r 0cm t : y 5 0 t : y y 5 0 o 90 7 Umístěte kružnici ks; r, 8cm a její bod T, dále přímku p, Sp, cm Sestrojte všechny kružnice, které se dotýkají přímky p a v bodě T i kružnice k 8 Napište osovou rovnici elipsy procházející body M 8;, N6; Určete také její ohniska y e : 00 5 S 0;0, E 5 ;0, F 5 ;0 9 Napište rovnici kružnice, která prochází bodem M 9, a dotýká se obou os řešení : k : k : 5 y y Vypočítejte poloměr kružnice, jejíž délka je o 7 cm větší, než obvod pravidelného šestiúhelníku, který je této kružnici vepsán 7 Určete tečny kružnice k : y 6 procházející bodem dotyku T ; t Určete odchylku těchto tečen Situaci načrtněte v soustavě souřadnic Oy t : y 9 t : y 9 o cos ; V rovině je dána přímka p, bod T, T p a bod A Sestrojte kružnici k, která prochází bodem A a dotýká se přímky p v bodě T Pro jakou polohu bodu A nemá tato úloha řešení? Obvod kruhové výseče, která je částí kruhu s poloměrem r 6cm, je 6 cm Vypočítejte velikost příslušného středového úhlu a obsah kruhové výseče V rovnoramenném trojúhelníku ABC je AC BC cm, AB cm Vypočítejte poloměr kružnice vepsané tomuto trojúhelníku

28 Parabola a hyperbola (parabola jako graf kvadratické funkce, hyperbola jako graf lineární lomené funkce, parabola a hyperbola v analytické geometrii) Rozhodněte (úpravou na středový tvar rovnice), zda se jedná o rovnici hyperboly Pokud ano, určete souřadnice středu, ohnisek, vrcholů Uveďte velikost hlavní poloosy, vedlejší poloosy, ecentricity Zapište rovnice asymptot a vrcholových tečen Znázorněte a) y y 0 ; b) y 0 Rozhodněte (úpravou na vrcholový tvar rovnice), zda se jedná o rovnici paraboly Pokud ano, určete souřadnice vrcholu, ohniska, rovnici řídicí přímky Znázorněte Petáková 8/77 Načrtněte graf funkce: f : y 5 Přímka t: y 0 je tečnou paraboly py Určete hodnotu parametru p a souřadnice bodu dotyku T 5 Načrtněte graf funkce 6 Načrtněte graf funkce f : y 5 f f f : y Určete, o jakou funkci se jedná, a popište vlastnosti této funkce p 6 T ;, určete její definiční obor, obor hodnot, vlastnosti a průsečíky se souřadnicovými osami: 7 Přímka t: y 0 je tečnou kuželosečky y p Určete a souřadnice bodu dotyku 7 8 Načrtněte graf funkce : y Určete, o jakou funkci se jedná, a popište vlastnosti této funkce 9 a) Načrtněte graf funkce f : y, určete její definiční obor, obor hodnot, vlastnosti a průsečíky se souřadnicovými osami b) Proveďte diskusi o počtu řešení rovnice s neznámou a parametrem p p 0 Určete vzájemnou polohu kuželosečky y 9 0 a přímky p: y c parametr p, kde c je reálný Napište rovnici tečny k parabole y 6, která je kolmá k přímce y Určete bod dotyku t : y 6 0 T 0, 6 Grafem nepřímé úměrnosti y je rovnoosá hyperbola Načrtněte její graf Vyznačte a vypočítejte a b ; e poloosy a, b, ecentricitu e, určete souřadnice ohnisek E, F E ;, F ; Určete předpis pro kvadratickou funkci f : y a b c tak, aby se graf funkce f dotýkal přímky ; 7; y a procházel body a Je dán bod M 8;0 Vyšetřete množinu středů všech kružnic, které procházejí bodem M a dotýkají se osy Napište rovnici vyšetřované množiny y 5 Nakreslete graf kuželosečky dané rovnicí 5 y Určete její charakteristiky 6 Ve zvolené soustavě souřadnic načrtněte graf funkce a určete její definiční obor a vlastnosti, intervaly, ve kterých je daná funkce rostoucí klesající

29 f : y 7 Jsou dány body M,0, N,0 XM XN Vyšetřete množinu všech bodů X v rovině, pro které platí: y jedna v hyperboly 9 Načrtněte graf funkce, určete její definiční obor, obor hodnot, vlastnosti a průsečíky se souřadnicovými osami: f : y 0 Ve zvolené soustavě souřadnic načrtněte grafy funkcí a určete jejich definiční obory a vlastnosti, intervaly, ve kterých jsou dané funkce rostoucí klesající f : y g : y h : y A, Najděte rovnici hyperboly procházející bodem Vypočítejte obsah rovinného obrazce omezeného osou, jsou-li rovnice jejích asymptot parabolou o rovnici S y y d y 6 0 Na parabole y 0 y 9 0najděte bod, který má nejmenší vzdálenost od přímky p : y 8 0 y 0 teč: y c 0 T ;6 Ve zvolené soustavě souřadnic načrtněte graf funkce a určete její definiční obor a vlastnosti, intervaly, ve kterých je daná funkce rostoucí klesající f : y 5 Je dána elipsa rovnicí 6 5y 00 Napište rovnici hyperboly, jejíž vrcholy jsou současně ohnisky dané elipsy a jejíž ohniska jsou hlavními vrcholy dané elipsy y Na parabole y 0 y 9 0 najděte bod, který má nejmenší vzdálenost od přímky y Je dán bod M ;0 Vyšetřete množinu středů všech kružnic, které procházejí bodem M a dotýkají se osy y Napište rovnici nalezené množiny 8 Určete rovnice asymptot hyperboly 9y 0 y 9 S;0;, a, b a :, y

30 Hranol a válec (výpočet povrchů a objemů, průnik přímky či roviny a tělesa ve volném rovnoběžném promítání) Délky hran kvádru, které vycházejí z jednoho jeho vrcholu, tvoří první tři členy geometrické posloupnosti Součet těchto délek je a objem tohoto kvádru je a) Vypočtěte délky hran tohoto kvádru cm,cm,6cm b) Vypočtěte povrch kvádru c) Vypočtěte délku tělesové úhlopříčky cm 6cm Délky hran kvádru jsou tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti Součet délek všech hran je 08 cm, povrch kvádru je 6 cm a) Vypočtěte délky hran tohoto kvádru cm,9cm,cm b) Vypočtěte objem kvádru c) Vypočtěte délku tělesové úhlopříčky Osovým řezem válce je obdélník s úhlopříčkou délky podstavy Vypočítejte objem válce v litrech 0cm Výška válce je dvakrát větší než průměr Obsah pláště rotačního válce je k obsahu podstavy válce v poměru 5 :, úhlopříčka osového řezu válce má délku 9 cm Vypočítejte objem rotačního válce 5 Vypočítej poloměr a výšku rovnostranného válce, který můžeme vepsat do koule o poloměru 6 Je dána krychle ABCDEFGH a přímka XY, kde: X DB DX = DB Sestrojte průnik přímky XY, Y DH DY s: a) danou krychlí = 7 DH 6 b) povrchem dané krychle r cm 7 V krychli ABCDEFGH o velikosti hrany a určete odchylku roviny BDE od roviny FGH 8 Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou IJK I BF FI BI J CG CJ GJ K AD AK DK 9 V krychli ABCDEFGH znázorněte průsečnice rovin: BEG a DFH 0 Součet obsahů tří stěn kvádru, které procházejí týmž vrcholem se rovná cm Rozměry kvádru jsou v poměru ::5 Vypočítejte objem kvádru rozměry : m,6cm,0cm V 0cm Vypočítejte objem kvádru, jsou-li dány obsahy bočních stěn 0 cm, 55 cm, a obsah podstavy 7 cm rozměry :5cm,6cm,7cm V 080cm Úhlopříčným řezem kvádru kolmým k jeho podstavě je čtverec o obsahu 5 cm, jedna hrana podstavy je o cm delší než druhá hrana Vypočítejte objem a povrch tělesa a, b 56, v 65 V 00cm S 566cm Je dán pravidelný šestiboký hranol, jehož výška je dvakrát větší než délka podstavné hrany Určete odchylku kratší tělesové úhlopříčky od roviny podstavy Rozvinutý plášť válce tvoří obdélník s rozměry dm a 5 dm Jaký objem má válec?

31 Kužel, jehlan, koule a její části (objemy a povrchy, řez tělesa rovinou, odchylka přímky a roviny, odchylka dvou rovin) Vypočítejte poměr a) objemu krychle ABCDEFGH a objemu jehlanu EGHD, b) povrchu krychle ABCDEFGH a povrchu jehlanu EGHD V pravidelném čtyřbokém jehlanu ABCDV platí: a) odchylku přímky S AC V a roviny ADV, b) odchylku roviny ABV od roviny podstavy BCD S AC V v 8 AB =a= cm, cm Určete: Sestrojte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou S AB S BC M, kde M AV AM MV Určete poměr objemů rotačního válce, rotačního kužele a polokoule, jestliže všechna tělesa mají stejný poloměr r a jejich výšky jsou dvakrát tak velké jako jejich poloměry 5 Do krychle o hraně dané délky a je vepsán rotační kužel tak, že jeho podstava je vepsána do stěny krychle Vypočítejte objem a povrch tohoto kužele 6 Je dán rotační kužel s poloměrem podstavy, jehož boční hrana svírá s podstavou a) objem kužele a objem koule vepsané do kužele, b) povrch kužele a povrch koule vepsané do kužele r 0 60 Porovnejte 7 V pravidelném čtyřstěnu s hranou délky a určete odchylku boční stěny a podstavy Vypočítejte výšku čtyřstěnu a určete jeho objem 8 Sestrojte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou RST, kde R AB AR BR S CV VS CS T S AV 9 Koule má poloměr r = 6 dm Jak velký poloměr má podstava rotačního kužele, jehož výška je r a jehož povrch se rovná povrchu koule? 0 Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV o podstavné hraně délky a = = 7 cm Vypočítejte: a) velikost úhlu BVD, b) vzdálenost bodu B od přímky DV c) odchylku rovin ADV a BCV, AB = 5 cm a boční hraně délky b = AV Je dána koule o poloměru r Z materiálu koule vytvoříme 8000 malých kuliček Určete, kolikrát je větší povrch všech malých kuliček než povrch původní koule Komolý rotační kužel má podstavy o poloměrech r = 8 cm, r = cm a výšku v = 5 cm Určete objem kužele, ze kterého komolý kužel vznikl Výška kulové úseče je v poměru : k poloměru koule Určete poměr objemů úseče a koule 5 Do koule o poloměru r je vepsána krychle Vypočtěte a objem povrch krychle 6 Pomocí integrálního počtu odvoďte vzorec pro objem kužele o poloměru r a výšce v 7 Kolik litrů vody je v kotli tvaru polokoule o průměru 86 cm, je-li hladina vody 5 cm pod okrajem kotle? 8 Výška kužele je dvakrát menší než poloměr koule jemu opsané Poměr objemů kužele a koule je :

32 Shodná zobrazení v rovině - definice shodných zobrazení, přímá a nepřímá shodnost - konstrukční úlohy řešené užitím shodných zobrazení - shodnost v analytické geometrii Napište rovnici kruhu K, který je obrazem kruhu K o rovnici 7 y 5 5 a) v osové souměrnosti dané osou o: - y + = 0 dané osou dané osou y b) ve středové souměrnosti dané středem souměrnosti M-5;9 počátkem soustavy souřadnic c) v posunutí daném orientovanou úsečkou AB, kde A-;, B -;- Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: a) a b,5 cm, c 8cm, va 6, 5cm, b) a + b + c = 7 cm, 60, v c = 6 cm c) obvod o = cm a úhly 60, 5 Jsou dány dvě rovnoběžné přímky a, b a mezi nimi bod C Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby jeho vrcholy A, B ležely po řadě na přímkách a, b Sestrojte lichoběžník ABCD, jsou-li dány délky obou jeho základen a cm, c 5cm a délky jeho úhlopříček AC 6cm, BD 7cm 5 Na kulečníkovém stole leží dvě koule - červená a bílá Červená leží ve středu stolu, bílá v jedné třetině úhlopříčky stolu Jestliže budete kouli považovat za bod (tj zanedbáte rotaci koule), určete dráhu červené koule tak, aby se po jednom odrazu od některé stěny stolu srazila s bílou koulí 6 Rozhodněte, zda body A, B jsou osově souměrné podle přímky p: y + = 0, a) A 5,, B 9, 7 b) A,, B c) A,, B, d) A, B,, 7 Je dána přímka p a dva různé body A, B, které leží uvnitř téže poloroviny s hraniční přímkou p Najděte na přímce p bod X tak, aby součet jeho vzdáleností od bodů A, B byl co nejmenší 5, 8 Je dána úsečka CS, CS cm Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které je úsečka CS těžnicí pro které dále platí a,5cm, b 6cm t c a 9 Je dána kružnice k S, 5 cm a bod A, pro který platí SA cm Sestrojte všechny tětivy XY kružnice k, které mají délku 6 cm a pro které platí, že přímka XY prochází daným bodem A 0 Jsou dány soustředné kružnice k S; r, ks; r, kde r r A bod C uvnitř k Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A k, B k v c 6 t c 5 Sestrojte trojúhelník ABC, znáte-li délku výšky cm, délku těžnice 6, cm a úhel u vrcholu A má o velikost 5 Proveďte rozbor, konstrukci a její zápis, určete počet řešení Jsou dány dvě rovnoběžné přímky a, b a bod M sestrojte kružnici, která se dotýká přímek a, b a prochází bodem M Je dána kružnice ks; cm a bod A, pro který platí AS = 0 cm Vypočítejte vzdálenost bodu A od spojnice bodů dotyku tečen vedených z bodu A ke kružnici k