Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba. Moravskoslezský. Ostrava-Poruba

Transkript

1

2 Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba příspěvková organizace Moravskoslezský matematický šampionát 2015 Sborník Ostrava-Poruba

3 c RNDr. Eva Davidová a kol. ISBN

4 Organizační výbor Mgr. Bc. Libor Klubal RNDr. Eva Davidová Mgr. Lada Stachovcová hlavní organizátor odborný matematický dohled, editor sborníku technická podpora Autoři a recenzenti RNDr. Eva Davidová, Mgr. Jana Gajdušková, Mgr. Petra Kňurová, Mgr. Tomáš Krchňák, Mgr. Lenka Plášková, Mgr. Marie Štípalová, RNDr. Michal Vavroš, Ph.D. Překlad do anglického jazyka Mgr. Tomáš Klein

5

6 Obsah Úvodní slovo 7 doc. Ing. Jiří Cienciala, CSc. Kategorie ZŠ 9 Orchideje 9 Kortaderie dvoudomá 10 Exkurze 12 Masožravé rostliny 13 Leknínové jezírko 14 Kategorie SŠ 3 Bystrý zahradník 16 Tulipány 18 Smíšené lesy 19 Kamschatca Stonecrop 20 Památné duby 22 Moravskoslezský matematický šampionát 5

7

8 Úvodní slovo Matematika je základem pro všechny technické profese Je mi ctí, že mohu touto cestou alespoň trochu přispět k popularizaci matematiky. Patřím totiž mezi zastánce tvrzení, že matematika je královnou věd, a mrzí mě, že tolik mladých lidí má z ní obavy nebo dokonce strach. Celý život jsem se pohyboval v průmyslu a dlouhé roky jsem působil jako generální ředitel Třineckých železáren. Mohu potvrdit, že jak pro ekonomy, tak pro techniky (a pro řadu dalších profesí) je matematika základem i důležitým pracovním nástrojem. Přestože se v hutnictví pohybujeme ve velkých hmotnostech a objemech, všechno musí být spočítáno přesně na gramy, centimetry, sekundy. Všechny procesy mají jasný řád, nic se nesmí ponechat náhodě. Tím důvodem není jen hrozba, že výrobek bude nekvalitní a může vzniknout škoda. V sázce je každou minutu mnohem víc produktivita, konkurenceschopnost firmy, její reputace a také životy lidí. Bez odborníků, kteří se na škole nebáli matematiky, bychom se neobešli. Je prokázáno, že matematická gramotnost má přímou souvislost se schopností absolventů škol flexibilně řešit problémy, ale také s předpokladem věnovat se studiu technických oborů. Ty byly dříve naší pýchou a průmyslová výroba hlavní složkou HDP, po revoluci ale poněkud upadly v nemilost. To se bohužel projevuje na trhu práce, průmyslové firmy postrádají lidi s technickým vzděláním a to může mít vážné následky. Nedostatek odborníků neumožňuje podnikům inovace a další růst a reálně hrozí pokles konkurenceschopnosti zaměstnavatelů, což může mít v některých regionech, zejména v Moravskoslezském kraji, také sociálně ekonomický dopad. To by byla obrovská škoda, a proto se už několik let snažíme podporovat zájem o technické vzdělávání. Například Svaz průmyslu a dopravy letos uskutečnit řadu aktivit, které mají přesvědčit děti, studenty i rodiče, že jde o práci v nejmodernějších provozech bez špinavých rukou a montérek. Má-li si Česká republika dlouhodobě udržet vysokou konkurenceschopnost průmyslové výroby a nadále ji rozvíjet, je nutné usilovat všemi možnostmi o popularizaci průmyslových profesí, třeba i ve formě státního vyznamenání pro techniky, konstruktéry, předkladatele zlepšovacích návrhů apod. Průmysl není jen tradice, ale i moderní současnost a budoucnost nabízející dobré pracovní perspektivy. Světová poptávka potvrzuje, že průmyslová výroba dobře uživí i regiony a země, které nemají takovou tradici, zkušenosti ani zlaté české ručičky jako my. Ale musíme se soustředit jak na technické vzdělávání, tak na modernizaci, inovace, výzkum a vývoj. Byla by škoda, Moravskoslezský matematický šampionát 7

9 kdyby nás předběhly v rozvoji průmyslových výrobků a technologií další jiné země. Milí příznivci matematiky, přeji Vám hodně úspěchů nejen v šampionátu, ale i ve studiu a další kariéře. Pedagogům přeji nápaditost při vytváření praktických příkladů a hodně zvídavých studentů. Věřím, že Moravskoslezský kraj nabízí a bude nabízet i v budoucnu kvalitní vzdělávání a dostatek možností pro uplatnění všech, kteří se vydají cestou technických profesí, a poskytne příležitosti i pro ty nejtalentovanější. doc. Ing. Jiří Cienciala, CSc. vládní zmocněnec pro Moravskoslezský a Ústecký kraj, rektor Vysoké školy podnikání a práva, viceprezident Svazu průmyslu a dopravy ČR, člen Rady vlády pro výzkum, vývoj a inovace, poradce prezidenta ČR

10 Kategorie ZŠ 9 Orchideje Zadání Jedním z důležitých faktorů pro úspěšné pěstování orchidejí je jejich přihnojování. Šikovný zahradník Květoslav pracuje v botanické zahradě, kde jsou jeho chloubou krásné orchideje. Pro přihnojování těchto květin pravidelně používá hnojivo ve tvaru malých krychliček. Jednou se Květoslav tak trochu nudil a naskládal krychličky hnojiva na sebe tak, že mu vznikl kvádr. Zároveň dostal nápad, že bude kostičky hnojiva odebírat tak, že nejprve vezme a použije pro hnojení orchidejí celou horní vrstvu (91 krychliček hnojiva), pak vezme celou jednu boční vrstvu (65 krychliček) a nakonec odebere přední vrstvu. (Stále mu jich dost zbývá...) Kolik krychliček hnojiva z původně vytvořeného kvádru zbyde? Svůj postup odůvodněte. Řešení Horní vrstva kvádru je tvořena 91 krychličkami. Rozklad čísla 91 na prvočinitele je 91 = 7 13, horní vrstva kvádru má tedy rozměry Boční vrstva po odebrání horní vrstvy má obsahovat 65 krychliček. Jelikož 65 = 13 5, znamená to, že na výšku kvádru se po odebrání horní vrstvy vejde právě 5 krychliček. Původně jich tedy muselo být 6. Po odebrání přední vrstvy původně vytvořeného kvádru, který obsahoval krychliček, pak zbývá kvádr sestavený z (7 1) (13 1) (6 1) = = 360 krychliček. Pokud bychom předpokládali, že horní vrstva má rozměry 91 1, nebylo by možné pokračovat podle zadání úlohy, proto takovéto řešení nepřipadá v úvahu. Z původně vytvořeného kvádru zůstalo 360 krychliček hnojiva. Moravskoslezský matematický šampionát 9

11 Kategorie ZŠ 9 Kortaderie dvoudomá Zadání Ve venkovní expozici botanické zahrady chtějí osít část obdélníkového záhonu vzácnou travinou Kortaderií dvoudomou. Jakou část plochy záhonu bude zaujímat zatravněná plocha tvaru rovnoběžníku, jehož vrcholy jsou ve třetinách stran obdélníkového záhonu (viz obrázek)? Zapište celý postup řešení. Řešení Označme strany obdélníku a, b, obsah obdélníku S O, obsah rovnoběžníku S R, obsahy trojúhelníků S 1, S 2, S 3, S 4 (viz obrázek). Vrcholy rovnoběžníku rozdělí stranu a na dvě úsečky délky 1 3 a a 2 a, stranu b 3 na 1 3 b a 2 b. Nezatravněnou plochu obdélníku tvoří 4 pravoúhlé trojúhelníky, 3 po dvou shodné. 10 Moravskoslezský matematický šampionát

12 Kategorie ZŠ 9 Vypočítáme obsahy shodných trojúhelníků: S 1 = S 3 = a 2 3 b = 1 9 ab, S 2 = S 4 = a 1 3 b = 1 9 ab, tedy obsahy všech čtyř trojúhelníků jsou stejné. Obsah rovnoběžníku (zatravněné plochy) vypočítáme tak, že od obsahu obdélníku odečteme obsahy trojúhelníků. Tudíž pro obsah rovnoběžníku platí S R = S O 4 S 1 = ab ab = 5 9 ab = 5 9 S O. Zatravněná plocha tvaru rovnoběžníku zaujímá 5 9 obsahu obdélníku. Moravskoslezský matematický šampionát 11

13 Kategorie ZŠ 9 Exkurze Zadání Na plánovanou exkurzi 2. ročníků do botanické zahrady se uvolnilo 5 míst. Pro velký zájem v ostatních třídách zadal učitel matematiky úlohu s tím, že prvních 5 úspěšných řešitelů pojede. Úloha zněla: Jaká je první číslice nejmenšího přirozeného čísla se součtem číslic 2015? Kolikaciferné je toto přirozené číslo? Svůj postup odůvodněte. Řešení Aby hledané přirozené číslo bylo nejmenší, mělo by obsahovat co nejvíce devítek, dělíme tedy ciferný součet uvedený v zadání (číslo 2015) devíti. Dostáváme tak 2015 = Uvažované číslo bude mít na 223 místech číslici 9 a jedno místo bude obsazeno číslicí 8. Protože dané číslo má být nejmenší, musí být číslice 8 na prvním místě. Tedy Hledané přirozené číslo má tedy 224 cifer a jeho první číslice je Moravskoslezský matematický šampionát

14 Kategorie ZŠ 9 Masožravé rostliny Zadání V botanické zahradě v pražské Tróji mají v expozici Mokřad několik masožravých rostlin Drosera filiformis původem ze Severní Ameriky. Vlivem letošního horkého a suchého léta jich uhynulo 30 %. Následně se podařilo čtyři rostliny obměnit, čímž se změnil poměr mezi zdravými a uschlými rostlinami na 4 : 1. Kolik masožravých rostlin tohoto druhu měla zahrada původně v expozici? Zapište celý postup řešení. Řešení Uhynuté masožravé rostliny před obměnou představují 30 % z původního množství. Po obměně je poměr zdravých a uschlých rostlin 4 : 1. Jeden díl představuje 1 5, tedy 20 % z celkového počtu. Čtyři nově vysázené rostliny snížily podíl uschlých rostlin z třiceti na dvacet procent z celkového počtu, tedy 10 %. Původní počet masožravých rostlin je 100 %, tedy 10 4 = 40 kusů. Jiné řešení: Původní počet rostlin označme x. Uschlé rostliny představují 30 % z původního počtu, tedy x = 3 10 x. Podíl uhynulých rostlin po dosadbě se snížil na 1 5. Situaci tak můžeme popsat rovnicí 3 10 x 4 = x. Odkud vyjádříme x, x = Botanická zahrada měla v expozici původně 40 kusů masožravých rostlin Drosera filiformis. Moravskoslezský matematický šampionát 13

15 Kategorie ZŠ 9 Leknínové jezírko Zadání Na protilehlých březích leknínového jezírka jsou 2 stromy, vzdálenost mezi nimi je 25 m. Na každém z nich sedí ledňáček. Jeden z nich (L 1 ) ve výšce 15 m, druhý (L 2 ) ve výšce 20 m (viz obrázek). Oba ptáci najednou zpozorují rybu (R), která vyplavala náhodou na spojnici mezi stromy. Vrhnou se na rybu stejnou rychlostí a doletí k ní současně. Vypočtěte, v jakých vzdálenostech od pat stromů se objevila ryba. Zapište celý postup řešení. Řešení Označme vzdálenost od jednotlivých ptáků k rybě jako x, vzdálenost ryby od paty jednoho stromu v, od paty druhého pak 25 v (viz obrázek). 14 Moravskoslezský matematický šampionát

16 Kategorie ZŠ 9 Potom platí: 1. x 2 = v 2 (pro prvního ledňáčka) 2. x 2 = (25 v) 2 (pro druhého ledňáčka) Porovnáním obou rovnic dostaneme po umocnění pak Dalšími úpravami získáme odkud v = v 2 = (25 v) 2, v 2 = v + v 2. 50v = 800, Vzdálenost ryby od paty jednoho stromu je tedy 16 m. Od paty druhého stromu je pak vzdálenost = 9 m. Moravskoslezský matematický šampionát 15

17 Kategorie SŠ 3 Bystrý zahradník Zadání V zavlažovacím systému zahrady městské pevnosti v jihofrancouzském městě Antibes se porouchaly lopatky čerpadla. Pro objednání náhradního dílu je důležitý typ čerpadla. Výrobní číslo x2 1y je na dvou místech nečitelné. Bystrý zahradník si ale zapamatoval, že toto číslo bylo součinem prvních jednadvaceti přirozených čísel. Pomozte mu nalézt chybějící cifry x, y. Svůj postup zdůvodněte. Řešení Jedna z možností určení cifer je mít počítací zařízení s displejem umožňujícím zobrazit dvacet platných cifer čísla = Toto číslo se zkráceně zapisuje 21! a čte se 21 faktoriál. Pokud toto zařízení nemáme, musíme si pomoci jinak. Číslo 21! musí být mimo jiné dělitelné devíti, což znamená, že ciferný součet = 52 + x + y = x + y musí být dělitelný devíti, tj. musí platit 9 (7 + x + y). Vzhledem k tomu, že neznámé x, y představují některé z cifer 0, 1,..., 9, přicházejí v úvahu pouze dvě možnosti: x + y = 2 x + y = 11. (a) Číslo 21! musí být také dělitelné jedenácti. Jedno z kritérií dělitelnosti říká, že pro dělitelnost jedenácti musí být rozdíl součtů cifer na sudých a lichých pozicích zkoumaného čísla dělitelný jedenácti. Proto vypočteme ( x ) ( y ) = 11 + x 41 y = x y 30. Musí platit, že 11 (x y 30). Odtud máme dvě možnosti: x y = 3 x y = 8. (b) Z prvního případu (a) získáme řešením rovnice x + y = 2 pro x, y možnosti [0; 2], [2; 0], [1; 1], které ovšem nevyhovují žádné z podmínek (b) pro dělitelnost jedenácti. 16 Moravskoslezský matematický šampionát

18 Kategorie SŠ 3 Úlohu tedy dořešíme pomocí dvou soustav: resp. x + y = 11 x y = 3 x + y = 11 x y = 8 První ze soustav má jediné řešení [x; y] = [4; 7]. Druhá soustava nemá celočíselné řešení, protože vyhovuje jen [x; y] = [9,5; 1,5]. Hledané cifry výrobního čísla jsou x = 4 a y = 7. Moravskoslezský matematický šampionát 17

19 Kategorie SŠ 3 Zadání Tulipány V zahradách nizozemského města Leuwaarden se rozhodli vysázet 2 oddělené čtvercové záhony tulipánů tak, aby tulipány v záhonech tvořily pravidelnou čtvercovou sít. Záhon u jezírka osázeli tulipány červenými a záhon u loděnice tulipány žlutými. Objednali tedy příslušné počty sazenic a zjistili zajímavou věc. Červených tulipánů bylo vysázeno právě o 1111 více než žlutých. Zjistěte, kolik červených tulipánů bylo v každé řadě záhonu u jezírka. Zapište celý postup. Řešení Označme počet červených tulipánů v řadě jako a. Potom celkový počet vysázených červených tulipánů je a 2. Počet žlutých tulipánů v jedné řadě označme b. Potom celkový počet vysázených žlutých tulipánů je b 2. Platí a 2 b 2 = Čísla a, b musí být přirozená. Protože levou stranu lze rozložit na součin a 2 b 2 = (a + b) (a b), hledáme rozklady čísla 1111 na dva činitele. Rozklady jsou dva: a Sestavíme soustavy rovnic: a) Pro případ dostáváme a + b = 101 a b = 11, po vyřešení soustavy vychází a 1 = 56, b 1 = 45. b) Pro případ dostáváme a + b = 1111 a b = 1, po vyřešení soustavy vychází a 2 = 556, b 2 = 555. Červených tulipánů v řadě mohlo tedy být 56 nebo Moravskoslezský matematický šampionát

20 Kategorie SŠ 3 Smíšené lesy Zadání Pro rekultivaci krajiny zničené těžbou hnědého uhlí bylo třeba vytvořit obdélník smíšeného lesa, je v něm 31 krát 65 buků, jedlí a smrků. Lesní závod tak měl možností pro výběr stromů. (Mimochodem, je to přibližně ) Podobně byl vysázen i les, ve kterém je 53 krát 76 stromů, což bylo možností pro jejich výběr. Použijeme-li tato čísla jako koeficienty kvadratické rovnice x x = 0 ( a 3 + b 3 ) a čísla a, b budou jejími kořeny, umíme určit také hodnotu log 3. 2 Vypočítejte ji. Řešení Z Vietových vzorců pro kořeny kvadratické rovnice platí: a + b = a b = Ze vzorce (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 vyplývá Pak tedy a 3 + b 3 = (a + b) 3 3ab(a + b). a 3 +b 3 = ( ) = = = Dosadíme do logaritmu: ( a 3 + b 3 ) ( ) log 3 = log 2 3 = log = 6044 Hledaná hodnota logaritmu je Moravskoslezský matematický šampionát 19

21 Kategorie SŠ 3 Problem Kamschatca Stonecrop A groundcover plant called Kamschatca Stonecrop (Sedum kamtschaticum) has reproduced excessively in a garden patch of a triangular shape (see the grey area of the picture) and it has been decided that the patch with the plant will be extended. The larger patch will be formed like this: each side of the triangle will be extended by its length. How many times will the area of the patch be increased? Write down your reasoning and calculation. Solution Let s mark A, B, C the vertexes of the triangle representing the original patch. The vertexes of the newly formed triangle will be marked K, L, M (see the picture). 20 Moravskoslezský matematický šampionát

22 Kategorie SŠ 3 Let s consider the triangle CBK. This triangle certainly has the same area as the triangle ABC, because it has the same length b of the base and the same altitude to this base. We can use the same reasoning for the equality of areas of the triangles CBK and BLK which have the same length a of the base and altitude to this base. That is why the area of the triangle CKL is twice the value of the triangle ABC. We can use the same method for the triangles BLM and MAK, both of them have the area twice as large as the triangle ABC. As a result, the triangle KLM has its area seven times as large as the triangle ABC. Another Solution The following are valid for the areas of the triangles ABC and CKL: S ABC = 1 ab sin γ, 2 S CKL = 1 2 2ab sin (180 γ). The properties of the function sine tell us that sin γ = sin (180 γ). The consequence of that is S CKL = S ABC. The same conclusion can be drawn for the triangles BLM and MAK, both of them have the area twice as large as the triangle ABC. As a result, the triangle KLM has its area seven times as large as the triangle ABC and the area of the garden patch will therefore be seven times larger than the original one. Moravskoslezský matematický šampionát 21

23 Kategorie SŠ 3 Památné duby Zadání U příležitosti výročí narození zakladatele botanické zahrady byly zasazeny 3 duby (A, B, C) do tvaru rovnostranného trojúhelníka a navzájem byly vzdáleny 40 m. Z oken zakladatelova rodného domu (D) se duby B a A jevily v zákrytu, přičemž vzdálenost od domu k bližšímu dubu B byla 40 m. Čtvrtý dub (E) byl zasazen o 50 let později a jeho vzdálenost od zakladatelova domu byla opět 40 m. Přitom byl zasazen tak, aby jeho vzdálenost od dubu C byla maximální možná. Následně byla vybudována vycházková trasa postupně spojující duby A, C a E přímými pěšinami a vracející se opět do A. Vypočtěte její délku (tj. obvod trojúhelníka ACE). Situaci načrtněte a zapište celý výpočet včetně stručného komentáře. Řešení Bod D symbolizující rodný dům zakladatele leží na polopřímce AB, přičemž BD = 40 m, D A. Bod E leží na kružnici se středem v bodě D a poloměrem 40 m. Přesněji leží na průniku polopřímky CD s touto kružnicí, přičemž podle zadání vybereme ten z průsečíků, pro který je CE > CD. Trojúhelník BCD je rovnoramenný a velikosti jeho vnitřních úhlů jsou 30, 30, 120. Označme F střed strany CD. Pak 3 CF = DF = CB sin 60 = 40 2 = Moravskoslezský matematický šampionát

24 Kategorie SŠ 3 Velikost strany CE je tedy = 109,3 m. Stranu AE nejsnáze vypočteme, uvědomíme-li si, že <) ACE = 90. Pak AE = ( ) 2 = = 116,4 m. Celková délka vycházkové trasy je tedy , ,4 = 265,7 = 266 m. Moravskoslezský matematický šampionát 23

25 Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Sborník příkladů ze soutěže Moravskoslezský matematický šampionát 2015 Ostrava Název Moravskoslezský matematický šampionát 2015 Editor RNDr. Eva Davidová Vydavatel Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, p. o. Čs. exilu 669, Ostrava-Poruba Náklad 400 ks Rozsah 24 stran Vydání první, 2015, revize 1 Tisk Repronis Ostrava Doporučená cena zdarma Texty neprošly jazykovou úpravou. ISBN

26