Vliv šikmosti na dynamické chování železničního mostu

Transkript

1 ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Stavební fakulta Študentská vedecká konferencia Akademický rok 2014/2015 Vliv šikmosti na dynamické chování železničního mostu Meno a priezvisko študenta, ročník, odbor: Jiří Kašpárek, 4. ročník, K Vedúci práce: doc. Ing. Pavel Ryjáček, Ph.D. Katedra / Ústav: Stavební fakulta / ČVUT

2 Obsah Abstrakt... 3 Abstract Úvod Dynamika stavebních konstrukcí Úlohy dynamiky Vlastní netlumené kmitání Odvození rovnice vlastního kmitání Ortogonalita a normalizace vlastních tvarů Volné tlumené kmitání Vynucené tlumené kmitání Rozklad do vlastních tvarů Přímá integrace pohybové rovnice POPIS KONSTRUKCE Původní stav Nový stav Výpočetní model konstrukce Popis modelu Zatížení Vlastní tíha Kolejové lože Balast Hmoty Zatěžovací vlaky pro dynamickou analýzu Ostatní parametry Tlumení Podpory Síť konečných prvků (Meshing) Výpočet a výsledky Statický zatěžovací stav Zatěžovací stav typu modal Zatěžovací stavy typu modal time-history Závěr Literatura

3 Abstrakt Šikmé železniční mosty se s ohledem na pohodu a komfort doporučuje obecně nenavrhovat. Občas je ale nezbytné tento typ konstrukcí použít. Přesně tato situace nastala v okolí Břeclavi, kde se v současné době realizuje železniční most Oskar s mimořádnou šikmostí 41. Tato šikmost měla velmi nepříznivý vliv na chování konstrukce, zejména na kmitání závěsů a oblouků. Konstrukce proto musela být v realizační dokumentaci stavby zásadně modifikována. Tato práce má za cíl kvantifikovat vliv šikmosti na této mostní konstrukci, analyzovat její chování s ohledem na kmitání hlavní nosné konstrukce a závěsů a stanovit doporučení pro budoucí konstrukce tohoto typu. Abstract Considering the comfort criteria, it is not generally recommended to design skew railway bridges. However, sometimes it is necessary to design this type of structures. This exact situation occured near Břeclav, where the railway bridge Oskar is under construction in current time. The bridge has extraordinary skewness 41, which had very indisposed influence on the behaviour of the structure, especially on vibration of hinges and arches. Therefore, the structure had to be radically modified within detail design. The object of this thesis is to quantify the influence of skewness on this bridge, to analyze its behaviour considering vibration of bearing structure and hinges and to determine recommendation for future structures of this type. 3

4 1 Úvod Na místě, kde se nyní realizuje most Oskar, původně stál třípolový trámový most se shodnou šikmostí 41. Z důvodu špatného technického stavu základové konstrukce a vyčerpání únavové kapacity mostovky musel být most zbourán a nahrazen novým. Nový síťový oblouk s ortotropní mostovkou má teoretické rozpětí 97,5 m a již zmíněnou mimořádnou šikmost 41. Během zatěžování mostu reálnými zatěžovacími vlaky při zpracovávání RDS byly zjištěny nepříznivé výchylky závěsů a oblouků, nosná konstrukce proto musela být zesílena a byla upravena řada detailů. Vzhledem k významu stavby a možnosti výstavby dalších mostních konstrukcí je vhodné kvantifikovat vliv šikmosti, aby bylo možné uvedeným problémům v budoucnu předcházet. Za účelem analýzy byl v programu CSiBridge 2015 vytvořen 3D výpočetní model mostu podle projektové dokumentace poskytnuté firmou EXPROJECT. Tento model odpovídá reálnému chování konstrukce, respektuje funkci ložisek a řídící tyče, přípojů lan na oblouk, charakteristiky použitých materiálů. Na základě vypočtených vlastních tvarů byla provedena verifikace přiléhavosti výpočetního modelu s pozitivním výsledkem. Pomocí těchto vlastních tvarů byly stanoveny deformace a zrychlení nosné konstrukce ve sledovaných bodech. Celkem bylo zvoleno 6 diskrétních šikmostí, od reálné konstrukce až po kolmý most. Zkoumanými šikmostmi jsou 41, 46, 50, 60, 70 a 90, 5 šikmostí je tedy fiktivních. Při vytváření fiktivních šikmostí budou zachovány oblouky, závěsy i střední část mostovky. Zásadní změny nastanou ve ztužení oblouků a v místě uložení nosné konstrukce. Otáčení úložné přímky vnáší do šikmého mostu sílu, která způsobuje kmitání. Z tohoto důvodu bude prvotním inženýrským předpokladem snižování deformací při snižování šikmosti. Výsledkem výpočtů je graf deformací a zrychlení v závislosti na šikmosti mostu, který by měl poskytnout nejlepší podklady pro vyslovení závěru. Celou práci bude vhodné zahájit obecným přehledem dynamického výpočtu, o kterém pojednává 2. kapitola. 4

5 2 Dynamika stavebních konstrukcí K porozumění parametrů výpočtu a způsobu výpočtu je nutné shrnout poznatky o dynamice stavebních konstrukcí, zejména o tlumeném kmitání soustav s více stupni volnosti. V následujících kapitolách je uveden stručný přehled této problematiky. 2.1 Úlohy dynamiky Dynamika je stejně jako statika úloha o rovnováze vnitřních a vnějších sil, ale na rozdíl od statiky uvažuje působení setrvačných a tlumících sil. Odezva konstrukce pak závisí na tuhosti konstrukce, hmotnosti konstrukce, útlumu, velikosti a časovému průběhu zatížení. Základní pohybová rovnice: t=t t t, kde: (1) matice tuhosti konstrukce, matice hmotnosti konstrukce, matice útlumu konstrukce, vektor posunutí, vektor rychlosti, vektor zrychlení, vektor zatížení, čas. 2.2 Vlastní netlumené kmitání Účelem výpočtu vlastního kmitání je stanovit dynamické charakteristiky konstrukce, tedy vlastní kruhové frekvence a odpovídající vlastní tvary. Při vlastním kmitání nepůsobí žádné budící síly a zanedbáváme tlumení konstrukce, pohybová rovnice se tedy zjednoduší na tvar: t+ t=0. (2) Odvození rovnice vlastního kmitání t=a cos ωt+b sin ωt (3) t= ω t (4)! "# $%&!'+(sin!'=0 (5) Rovnice vlastního kmitání: ω ) * =0,kde (6) ω ) vlastní kruhová frekvence, * vektor vlastního tvaru kmitání, n počet stupňů volnosti. Rovnice vlastního kmitání představuje z matematického hlediska problém vlastních čísel a má netriviální řešení, pokud det ω =0. (7) Řešením této rovnice je polynom stupně n, jehož n kořenů představuje druhé mocniny vlastních frekvencí, ze kterých můžeme sestavit diagonální spektrální matici Ω 2. 5

6 ω 0 -. =/ ω 2 (8) ω ) Pro každou z n vlastních frekvencí lze určit odpovídající vektor vlastního tvaru. Z těchto vektorů můžeme sestavit modální matici Φ tak, že každém sloupci je obsažen jeden vlastní tvar (n). 6 ϕ 00 ϕ 0 ϕ 0) = 3= 5 ϕ 0 ϕ ϕ )< (9) 5 < 4ϕ )0 ϕ ) ϕ )); Rovnice vlastního kmitání se pak dá zapsat kompaktním zápisem pro všechny vlastní tvary: 3=3-.. (10) Ortogonalita a normalizace vlastních tvarů Dva různé vlastní tvary, které odpovídají dvěma různým vlastním frekvencím, splňují podmínky ortogonality: > *? =0 (11) > *? =0. (12) Vlastní tvary, které byly získány při výpočtu vlastního kmitání, odpovídají vzájemným poměrům výchylek v jednotlivých bodech, ale neodpovídají jejich skutečné velikosti. Pro získání skutečných velikostí výchylek je možné vlastní tvary normalizovat. Nejčastější jsou vlastní tvary normované vzhledem k matici * = * (13) A > * * Pro normované tvary pak platí: * > * =ω ), respektive 3 > 3=-., (14), (15) * > * =1, respektive 3 > 3=C, kde (16) C jednotková matice. 2.3 Volné tlumené kmitání Stejně jako u vlastního kmitání ani u volného kmitání nepůsobí žádná budící síla. Kmitání je vyvoláno nenulovými počátečními podmínkami. Pohybová rovnice má tvar: t+ t+ t=0. (17) Tento typ není ve výpočtu odezvy konstrukce použit, nemá tedy cenu ho více rozvádět. 2.4 Vynucené tlumené kmitání U vynuceného kmitání působící budící síla s předepsaným časovým průběhem. Právě časový průběh tvoří markantní rozdíl mezi statickým a dynamickým zatížením. Pro 2 zatížení se stejným směrem, velikostí, ale jiným časovým průběhem můžeme dostat velmi odlišné výchylky konstrukce. Cílem výpočtu je stanovit odezvu konstrukce na dynamické zatížení. Pohybová rovnice je ve tvaru: t+ t+ t=t. (18) 6

7 Počáteční podmínky: 0= D ; 0= D. (19) Tato rovnice představuje soustavu n diferenciálních rovnic druhého řádu a má 2 možné způsoby řešení rozklad do vlastních tvarů nebo přímou integraci pohybových rovnic Rozklad do vlastních tvarů Odezva konstrukce se při této metodě výpočtu stanoví jako lineární kombinace vlastních tvarů kmitání s využitím modálních souřadnic. Potom: t=3ft, kde (20) Ft vektor modálních souřadnic. Tento vztah dosadíme do pohybové rovnice: 3Ft+ 3Ft+ 3Ft=t. (21) Vynásobíme zleva maticí 3 G : 3 > 3Ft+3 > 3Ft+3 > 3Ft=3 > t. (22) Pro normované tvary platí: -. Ft+C Ft+3 > 3Ft=3 > t. (23) Pro klasický útlum je 3 G 3 diagonální matice, jejíž prvky jsou 2J K! K. Vlastní tvary jsou ortogonální nejen k maticím tuhosti a hmotnosti, ale i k matici útlumu. J K je koeficient poměrného útlumu n. vlastního tvaru. Pak lze psát: ω ) q ) t+q ) t+2ξ ) ω ) q ) t=ϕ ) N ft. (24) Tuto soustavu n nezávislých rovnic lze vyřešit například přes Duhamelův integrál. Zatížení je pak vyjádřeno jako spojité působení impulzů síly a výsledná odezva konstrukce je součtem odezev na jednotlivé impulzy Přímá integrace pohybové rovnice Principem této metody je splnění pohybové rovnice v konečném prvku okamžiků ti, ti+1. Vzdálenost jednotlivých okamžiků je délka integračního kroku t = ti+1- ti. V diferenční metodě se derivace nahradí diferencemi a soustava diferenciálních rovnic se převede na soustavu algebraických rovnic. P =t P ; P =t P ; Q =t P ; Q =t P ; (25) Q + R + Q = Q. (26) S = TUVW T X TYV (27) Z[ \ S = TUVW TYV (28) Z[ Po dosazení: TUVW T X TYV + TUVW TYV + Z[ \ Z[ Q = Q. (29) Po úpravě vznikne soustava n algebraických rovnic: ] 0 Z[ \M+ 0 C`r Z[ PX0 =f P ]K M`r Z[ \ P ] 0 Z[ \M 0 C`r Z[ PW0. (30) 7

8 3 POPIS KONSTRUKCE 3.1 Původní stav Most se nachází v km 80,930 trati Hohenau (ÖBB) Přerov, přibližná poloha je na obrázku 1. Původní most byl třípolový trámový, prostřední pole bylo vyztuženo obloukem. Původně byla plánována pouze jeho rekonstrukce z důvodu špatného technického stavu uložení NK mostu, konkrétně naklonění ložisek. Při projektu opravy bylo dále zjištěno, že je vyčerpána únavová kapacita mostovky. Traťová rychlost musela být v tomto úseku snížena na 100 km/h. Namísto pouhé rekonstrukce uložení bylo nutné navrhnout úplně nový most. Původní střední podpory byly zbourány a krajní opěry rekonstruovány. 3.2 Nový stav Obr. 1: Umístění mostu [7] Nový jednopolový most je typu síťový oblouk s ortotropní mostovkou. Tuhé komorové hlavní nosníky jsou vyztuženy netuhým obloukem taktéž komorového průřezu. Oblouk a hlavní nosník jsou spojeny táhly, která jsou uspořádána ve 2 závěsných rovinách. Původní střední podpory byly zbourány, krajní opěry rekonstruovány a nově založeny na hlubinných železobetonových pilotách. Trať je nyní schopna převádět rychlost 160 km/h. Teoretické rozpětí mostu je 97,5 m, teoretické vzepětí oblouku 14 m, šikmost mostu 41,14. Most je rozdělen na 2 nosné konstrukce, z nichž každá převádí jednu kolej. Kolejové lože je čedičové, uzavřené. Příčníky mají po délce proměnný průřez obráceného T, jejich horní pásnici tvoří mostovkový plech. Mostovka je vyztužena podélnými páskovými výztuhami. Na obrázku 2 je příčný řez jednou z nosných konstrukcí. Příčný řez je převzatý z projektové dokumentace mostu, kterou vytvořila firma EXPROJEKT. 8

9 Obr. 2: Vizualizace nového stavu [8] Obr. 3: Příčný řez 9

10 4 Výpočetní model konstrukce 4.1 Popis modelu Pro výpočet konstrukce byl použit 3D model z prutových a plošných prvků. Schéma modelu je vidět na obrázku 4. Oblouky, hlavní nosníky, táhla a příčníky byly vloženy jako prutové prvky, nejdůležitější průřezy jsou k nahlédnutí na obrázku 5. Obr. 4: 3D výpočetní model Obr. 5: Použité průřezy Z důvodu dodržení skutečné pozice přípojů závěsů na oblouk byly použity speciální tuhé vazby. Ze stejného důvodu byla příčným výztuhám udělena potřebná excentricita, aby mostovkový plech v modelu tvořil jejich horní pásnici. Obě tyto modifikace vedou ke zpřesnění výpočetního modelu. Mostovkový plech byl vymodelován jako soubor plošných prvků pnutých mezi příčnými výztuhami. Podélné výztuhy byly nahrazeny zvýšenou ohybovou a membránovou tuhostí plošných prvků mostovky. Membránová tuhost byla navýšena úměrně ploše průřezu mostovky s výztuhami a ohybová tuhost úměrně momentu setrvačnosti mostovky s výztuhami. 10

11 4.2 Zatížení Vlastní tíha Vlastní tíha byla vygenerována z ploch zadaných průřezů a měrné hmotnosti materiálů. Byla provedena kontrola generování materiálů Kolejové lože No mostě bylo z důvodu zlepšení dynamického chování a zvýšení hmotnosti použito čedičové kolejové lože. Čedičové lože má srovnanou tloušťku 0,5135m a objemovou tíhu je γlože = 26,5 kn/m 3, plošné zatížení na mostovkové plechy je tedy gk,lože = 13,5 kn/m Balast Hlavní nosníky jsou ve střední části délky 24,2 m vyplněny balastem - vysušeným křemičitým pískem s objemovou tíhou γpísek = 25 kn/m 3. Spojité zatížení aplikované na vnější trám je gk,vnější trám = 62,3 kn/m a na vnitřní trám gk,vnitřní.trám=44,7kn/m. Umístění spojitého zatížení je patrné z obrázku Hmoty Obr. 6: Umístění balastu Hmoty konstrukce byly vygenerovány z charakteristického stálého zatížení vlastní tíhy, kolejového lože a balastu. Byla provedena kontrola generování hmot Zatěžovací vlaky pro dynamickou analýzu Program CSiBridge 2015 aplikuje pohyblivé zatížení pomocí zatěžovacích pruhů, které respektují polohu pohyblivého zatížení a zároveň aplikují roznos zatížení v příčném směru. Cílem výpočtu je simulovat reálný železniční provoz, proto byly použity zatěžovací vlaky A až F podle přílohy F normy ČSN EN Na obrázku 7 je schéma vlaku E, který způsobuje nejkritičtější výchylky. Rozteče mezi osamělými silami nahrazují budící frekvenci dynamického zatížení. Obr. 7: Kritický zatěžovací vlak E [4] 11

12 4.3 Ostatní parametry Tlumení Útlum je zásadní údaj pro výsledky. Norma ČSN poskytuje velmi málo informací ohledně součinitelů útlumu, což je pro tento model nedostatečné, proto byl pro jejich stanovení použit dokument Guideline for estimating structural damping of railway bridges. Použité hodnoty jsou shrnuty v Tabulce č. 2. V první variantě výpočtu bylo uvažováno shodné tlumení pro oblouky a mostovku, odlišný součinitel útlumu byl aplikován pouze pro závěsy. Ve druhé variantě byly použity odlišné součinitele pro táhla, oblouky a mostovku. Tlumení bylo do výpočtu zahrnuto jako materiálové tlumení Podpory mostovka oblouk závěsy ocel 0,0008 0,0008 0,0008 svařované konstrukce 0,0024 0, balast 0, posuvná ložiska 0, CELKEM ξ 0,0088 0,0032 0,0008 Tab. 1: Součinitele útlumu Oba podporové příčníky jsou uloženy na trojici ložisek. V této trojici jsou 2 vnější všesměrně pohyblivá ložiska umístěna na koncích příčníku a 1 vnitřní vodící ložisko umístěné na příčníku v místě průsečíku s osou NK. Na konstrukci je z důvodu omezení napětí v kolejnici a interakce koleje s mostem použit systém řídící tyče. Sytém principem páky přenáší pevný kloub do středu rozpětí a snižuje tak dilatační délku na polovinu. Působení řídící tyče nahrazuje fiktivní ložisko umístěné ve střední části mostu, které zabraňuje podélnému posunu. Na obrázku 8 je naznačeno umístění ložisek a schéma řídící tyče. Obr. 8: Umístění ložisek Síť konečných prvků (Meshing) Některé části konstrukce byly do programu CSiBridge vloženy jako celé pruty, např. táhla a příčníky, proto bylo nutné u těchto prvků nastavit hustší síť konečných prvků, aby se daly sledovat jejich deformace. Ve výsledném nastavení jsou hlavní nosníky děleny v místech přípojů příčníku a táhel, táhla, příčníky a ztužidla na díly délky maximálně 1 m. Oblouky nebylo z důvody nahrazení úsečkami nutné dále dělit. Hustota sítě byla zvolena s ohledem na rychlost výpočtu a přiléhavost modelu. Vzhledem k numerické stabilitě modelu a eliminaci podružných tvarů kmitání mostovky nebyly plošné prvky dále děleny na menší oblasti. 12

13 5 Výpočet a výsledky 5.1 Statický zatěžovací stav Pro konstrukci byl vytvořen jeden statický zatěžovací stav, který zahrnuje všechno stálé zatížení vlastní tíhu, zatížení od kolejového lože a zatížení od balastu. Zatěžovací stav je nelineární a zároveň zohledňuje vliv II. řádu geometrických nelinearit. Na obrázku je průhyb konstrukce od stálého zatížení. Obr. 9: Průhyb od stálého zatížení 5.2 Zatěžovací stav typu modal Dále byl vytvořen modální zatěžovací stav pro výpočet vlastních frekvencí. Tento zatěžovací stav hledá prvních 100 vlastních frekvencí a vychází z tuhosti na konci nelineárního statického zatěžovacího stavu. Díky zahrnutí vlivu II. řádu ve statickém stavu a uvažování tuhosti konstrukce na jeho konci jsou závěsy předepnuty vlastní tíhou. To způsobuje posun vlastních tvarů kmitání závěsů na vyšší frekvence a snížení výchylek jejich kmitání. Vybrané vlastní tvary jsou k dispozici na následujících obrázcích 10 až

14 Obr. 10: 1. vlastní tvar příčné kmitání mostovky, f1 = 0,986 Hz Obr. 11: 2. vlastní tvar - příčné kmitání oblouků, f2 = 1,821 Hz Obr. 12: 3. vlastní tvar svislé kmitání mostovky, f3 = 1,999 Hz 14

15 Obr. 13: 4. vlastní tvar zkroucení nosné konstrukce, f4 = 2,725 Hz Obr. 14: vlastní tvar kmitání závěsů, f5-10 = 3,086-3,139 Hz 5.3 Zatěžovací stavy typu modal time-history Zatěžovací stavy typu Modal time-history určují výchylky konstrukce od zatěžovacích vlaků rozkladem do vlastních tvarů kmitání. Rozklad do vlastních tvarů byl zvolen s ohledem na rychlost výpočtů a přesnější uvážení útlumu. Vlastní tvary jsou určeny pro konstrukci s tuhostí na konci nelineárního zatěžovacího stavu, proto i výchylky od zatěžovacích vlaků jsou uvažovány s touto tuhostí. Pro každý ze 6 vlaků bylo definováno 11 zatěžovacích stavů, každý pro jinou rychlost vlaku. Rychlosti vlaků stoupají po 5m/s od rychlosti 5 m/s (18 km/h) až po rychlost 55 m/s (198 km/h). Pokrývají tedy celé spektrum rychlostí, které se může na mostě vyskytnout. Nelze totiž automaticky předpokládat, že nejvyšší rychlost bude způsobovat největší výchylky a zrychlení konstrukce. Záleží na vztahu budící frekvence zatěžovacího vlaku a vlastních kruhových frekvencí konstrukce. 15

16 Výsledky analýzy byly převedeny do programu MS Access, který umožňuje jednoduché řazení hodnot podle potřebných kritérií. Na konstrukci byly sledovány body na přípoji vodorovného ztužení na oblouk, body na závěsech a body na hlavním nosníku.u přípoje 1. ztužující diagonály na oblouk byl sledován příčný posun U2 a příčné zrychlení A2, u lan byla sledována maximální příčná výchylka U2 a u bodů na hlavním nosníku svislé zrychlení A3. Sledované body a směry výchylek jsou označeny na obrázku 15. Obr. 15: Orientace výchylek a zrychlení sledovaných bodů Pro jednodušší porovnání a možnost vyslovení závěru byly z vypočítaných hodnot sestaveny grafy 1 až 4. Jak již bylo uvedeno v kapitole Tlumení, výpočty byly provedeny ve 2 různých variantách, v každém grafu jsou tedy vyneseny 2 průběhy výchylek nebo zrychlení. Průběh s označením M1 odpovídá modelu 1 s uvážením shodného součinitele útlumu pro oblouky a mostovku a odlišného pro závěsy. Průběh M2 odpovídá variantě modelu 2 s odlišnými součiniteli útlumu pro závěsy, oblouky a mostovku. 16

17 VÝCHYLKA [mm] VÝCHYLKA PŘÍČLE U2 6 4 M1 M ŠIKMOST [ ] Graf 1: Výchylky příčle v místě přípoje na oblouk v závislosti na šikmosti mostu VÝCHYLKA [mm] VÝCHYLKY ZÁVĚSŮ U M1 M ŠIKMOST [ ] Graf 2: Celkové maximální výchylky závěsů v závislosti na šikmosti mostu 17

18 ZRYCHLENÍ [m/s 2 ] 1,4 1,2 1,0 0,8 ZRYCHLENÍ PŘÍČLE A2 0,6 0,4 M1 M2 0,2 0, ŠIKMOST [ ] Graf 3: Výchylky příčle v místě přípoje na oblouk v závislosti na šikmosti mostu ZRYCHLENÍ [m/s 2 ] 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 ZRYCHLENÍ HLAVNÍHO NOSNÍKU A3 M1 M2 0, ŠIKMOST [ ] Graf 4: Zrychlení bodů hlavního nosníku v závislosti na šikmosti mostu 18

19 6 Závěr Ze všech uvedených grafů je vidět, že šikmost má nepříznivý vliv na dynamické chování, zejména pokud konstrukce obsahuje štíhlé prvky. Při porovnání modelu 1 a modelu 2 vychází rozdíl ve výchylce kmitání prvků těchto modelů až 22 % a rozdíl ve zrychlení prvků modelů až 28 %. Z toho je patrný závěr, že při modelování konstrukce je nezbytná diferenciace útlumu pro různé konstrukční prvky. Jak již bylo uvedeno dříve, ČSN uvádí pouze souhrnný součinitel útlumu pro ocel, což je v tomto případě nedostatečné. Dalším zajímavým výstupem je závislost nárůstu výchylek závěsů pří zvyšování šikmosti. Zatímco u šikmostí od 90 do 60 je tato závislost lineární a výchylka v celém intervalu stoupne pouze o 62%, u šikmostí 60 až 41 se závislost stává exponenciální a výchylka mezi těmito šikmostmi stoupne o 256%. Z výše uvedeného vyplývá, že u mostů s větší šikmostí než 60 je nutné provést dynamickou analýzu, i když by most byl normou zařazen mezi konstrukce bez nutnosti dynamické analýzy. 19

20 Literatura [1] Bittnar, Z., Šejnoha J. Numerické metody mechaniky 1, Praha, 1992 [2] Tichá, L., Civínová, Z., Morysková, M., Trtíková, I., Němečková, L. Jak psát závěrečné vysokoškolské práce, Praha, 2014 [3] Guideline for estimating structural damping of railway bridge, [online], 2007, přístupné z research.info/upload/documents/201203/ _100952_1390_sb5.2- S2.pdf [4] Eurokód 1: Zatížení konstrukcí Část 2: Zatížení mostů dopravou, ČSN EN , 2005 [5] Máca, J. Přednášky z předmětu Dynamika stavebních konstrukcí 1, Praha, 2014 [6] Kmošek, D., Chaloupka M. Výkresová dokumentace mostu Oskar, Brno, 2014 [7] Google Earth, [online], přístupné z [8] Stránky věnované mostu Oskar [online], přístupné z 20