Obvodové rovnice v časové oblasti a v operátorovém (i frekvenčním) tvaru

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Obvodové rovnice v časové oblasti a v operátorovém (i frekvenčním) tvaru"

Ludvík Beneš
před 5 lety
Počet zobrazení:

1 Obvodové rovnice v časové oblasti a v oerátorovém (i frekvenčním) tvaru EO Přednáška 5 Pavel Máša - 5. řednáška

2 ÚVODEM V ředchozím semestru jsme se seznámili s obvodovými rovnicemi v SUS a HUS Jak se liší, res. v čem se shodují obvodové rovnice, zasané v časové oblasti, res. v oerátorovém tvaru, s rovnicemi v SUS, res. v HUS? Obvodové rovnice, bez ohledu na oužitý matematický aarát, jsou matematickým vyjádřením Kirchhofových zákonů: METODA SMYČKOVÝH PROUDŮ. Kirchhofův zákon METODA UZLOVÝH NAPĚTÍ 1. Kirchhofův zákon X U k = X k X I k = k naětí na R, L, je vyjádřeno z roudu roud, tekoucí R, L, je vyjádřeno z naětí - 5. řednáška

3 VZTAH MEZI PROUDEM A NAPĚTÍM rvek Obecné časové růběhy SUS (D) HUS (A) / Fourier Lalace R L oužití Řešení řechodných dějů obvykle otřebujeme i SUS / HUS zkrat rozojený obvod Ustálený stav se stejnosměrným buzením HUS ustálený stav s harmonickým buzením Fourier řady ustálený stav s eriodickým buzením Obecné oužití obsahuje ustálenou i řechodnou složku transformace imulsní buzení - 5. řednáška

POČÁTEČNÍ PODMÍNKY Energetické očáteční odmínky rotože energie je sojitá

Φ = Li () ut dφ = () t musí být u ( )=u ( + ) může být i ( ) 6= i ( + ) může

i L ( + ) Historii kaacitoru charakterizuje náboj v něm uložený naětí Historii

4 POČÁTEČNÍ PODMÍNKY Energetické očáteční odmínky rotože energie je sojitá veličina, budou energetické obvodové veličiny sojité q = u i = dq () du i t = Φ = Li () ut dφ = () t musí být u ( )=u ( + ) může být i ( ) 6= i ( + ) může být u L ( ) 6= u L ( + ) musí být i L ( )=i L ( + ) u L ( ) u L ( + ) i L ( ) i L ( + ) Historii kaacitoru charakterizuje náboj v něm uložený naětí Historii induktoru charakterizuje magnetický tok jím rotékající elektrický roud - 5. řednáška

5 Metoda smyčkových roudů Proud ve smyčce, ro kterou sestavujeme rovnici, má vždy kladné znaménko Ostatní roudy tekoucí rvkem, ro kerý vyjadřujeme naětí, mají kladné znaménko ři souhlasné orientaci, záorné ři nesouhlasné Zdroje naětí mají kladné znaménko, okud roud ve smyčce, ro kterou sestavujeme rovnici teče do kladné svorky a záorné, okud teče do záorné svorky Smyčka, ro kterou sestavujeme rovnici, nemůže vést zdrojem roudu, zdroj ale musíme v uzavřené smyčce zaočítat Metoda uzlových naětí ZÁKLADNÍ PRAVIDLA ZNAMÉNKA, Naětí v uzlu, ro který sestavujeme rovnici, má vždy kladné znaménko Naětí v řilehlých uzlech, s vyjímkou zdrojů naětí, mají vždy záorné znaménko (ředokládáme, že všechny roudy z uzlů vytékají, skutečná orientace vylyne z řešení soustavy rovnic; naětí obvodového rvku, zaojeného do uzlu je rozdílem otenciálů) Naětí zdrojů v řilehlých uzlech mají záorné znaménko, okud jsou do řilehlého uzlu zaojeny kladnou svorkou (odečítáme je), kladné, okud jsou do řilehlého uzlu zaojeny záornou svorkou Proud z roudového zdroje má kladné znaménko, okud z uzlu vytéká, záorné, okud do uzlu vtéká Zdroj naětí, který není sojen s referenčním uzlem (zemí) je lovoucí zdroj obě jeho svorky mají jednu solečnou rovnici - 5. řednáška

6 Redukce očtu rovnic SUS HUS Obecné časové růběhy Lalace SUS HUS Obecné časové růběhy nelze redukovat Lalace - 5. řednáška

7 VÁZANÉ INDUKTORY (TRANSFORMÁTOR) 1 Časová oblast smyčkové roudy I () = U ()+L i ( + ) MI 1 ()+Mi 1 ( + ) L di 1 (t) u 1 (t) =L 1 + M di (t) di (t) u (t) =L + M di 1(t) Lalaceova transformace smyčkové roudy U 1 () =L 1 I 1 () L 1 i 1 ( + ) + MI () Mi ( + ) U () =L I () L i ( + ) + MI 1 () Mi 1 ( + ) uzlová naětí U 1 () =L 1 I 1 () L 1 i 1 ( + )+M U ()+L i ( + ) MI 1 ()+Mi 1 ( + ) Mi ( + ) L I 1 () = 1 L L 1 L M U 1() 1 M L 1 L M U () i 1( + ) = 1 1U 1 () + 1 MU () i 1( + ) I () = 1 MU 1 () + 1 U () i ( + ) - 5. řednáška

Příklad: R1 L u () i L () R SUS: HUS: Smyčkové roudy rovnic, naětí na R 1 a R je dáno ohmovým zákonem j!l^i 1 +R ^I 1 + 1 j!

8 Příklad: R1 L u () i L () R SUS: HUS: Smyčkové roudy rovnic, naětí na R 1 a R je dáno ohmovým zákonem j!lî 1 +R Î j! (Î 1 Î) = ) Î 1 = Obecné časové růběhy: L di 1(t) + R i 1 (t)+ 1 Z t [i 1 ( ) i( )] d u () = Î (j!) L + j!r +1 Řešení hledáme ve třech krocích: 1. Počáteční odmínka u () řešíme SUS nebo HUS odle charakteru zdroje v obvodu řed změnou. Řešíme integro diferenciální rovnici hledáme řešení řechodného děje. Pro nalezení ustáleného stavu v obvodu o odeznění řechodného děje musíme oět řešit SUS nebo HUS Použití řechodné děje oisující dění v obvodu Po řiojení zdroje Po odojení zdroje Po změně struktury obvodu Po změně některého z obvodových arametrů (odor, kaacita, indukčnost) Vždy musíme řešit také SUS nebo HUS - 5. řednáška

9 Lalace: L I 1 () Li L () + R I 1 ()+ 1 [I 1() I()] u () = ) I 1 () = I()+u () + Li L () L + R +1 Řešení hledáme ve dvou krocích: 1. Počáteční odmínka u () řešíme SUS nebo HUS odle charakteru zdroje v obvodu řed změnou. Hledáme zětnou transformaci I 1 () ta obsahuje jak řešení řechodného děje, tak ustálený stav o jeho odeznění Před oužitím Lalaceovy transformace musíme obvykle obvod řešit také omocí SUS, nebo HUS, abychom vyočítali očáteční odmínky Zětná Lalaceova transformace bude odovídat řešení řechodného děje ři řiojení zdroje I() (je li v rovnici uveden), res. odojení zdroje (ak je ustálený stav řed odojením skryt v očátečních odmínkách) Tento řechodný děj je řirozenou vlastností Lalaceovy transformace, důsledkem omezení času každý zdroj je nulový ro t <, neboť u(t) =u (t)1(t), i(t) =i (t)1(t) Nedělitelnou součástí zětné Lalaceovy transformace je i ustálený stav o odeznění řechodného děje Přes formální odobnost s HUS tak dostáváme odlišné komletnější řešení - 5. řednáška

10 Nyní uvažujme následující hodnoty součástek: R = 1 kω, L = 1H, = 1 μf, R 1 = kω SUS obvod bude naájen ze zdroje roudu I = 1 ma U = R I = 1 :1 = 1 V HUS obvod bude naájen z harmonického zdroje roudu ^I 1 = Obecné časové růběhy k obvodu bude v čase t = řiojen harmonický zdroj roudu i(t) = 1 sin(1t) ma. V čase t < byl obvod bez energie. 1. Počáteční odmínka je dána u c () =. Řešíme integro diferenciální rovnici (bude odrobně oisováno na řednášce č. 8) a) Zderivujeme b) Řešíme metodou variace konstant U 1 = R 1 I = :1 = V i(t) = 1 sin(1t) ma ^I (j!) L + j!r +1 = :1 (j 1) j =1e ¼ j ma L di 1(t) + R i 1 (t)+ 1 Z t [i 1 ( ) i( )] d u () = L d i 1 (t) d i 1 (t) + R + i 1(t) i(t) = + R L + 1 L = ) = 1; = = 5 866:j i 1 (t) =[K 1 cos(866:t)+k sin(866:t)] e 5t +:1 sin(1t ¼ {z } ) v y se re sen y HUS - 5. řednáška

11 Lalace :1 1 I() I 1 () = L + R +1 = +1 : = = = " +5 = :1 ( +5) +(5 ) + 1 # 5 ( +5) + (5 ) +1 6 ³ i(t) =1e cos 5 t 5 t + 1 ³ sin 5 ³ t +1 sin 1 t ¼ ma Neočítáme žádný HUS, ustálený stav je součástí řešení - 5. řednáška

12 Smyčkové roudy: R1 U() u () I 1 () Lalace: R 1 I 1 ()+ 1 [I 1() I ()] + u () U() = LI () Li L () + R I () u () + 1 [I () I 1 ()] = smy cka I 1 v etev 1 z } { R z } { 1 " # I1 () L + R + 1 = 4 U() u ( + ) 5 7 I () u ( + ) + Li L ( + ) 5 {z } {z } v etev 1 L u () smy cka I i L () Li L () I () R Obecné časové růběhy: R 1 i 1 (t)+ 1 Z t [i 1 ( ) i ( )] d + u ( + ) u(t) = L di (t) + R i (t) u ( + )+ 1 Z t [i ( ) i 1 ( )] d = Maticový záis HUS: R j! 1 j! j! j!l + R + 1 j! Î = Î " # Û - 5. řednáška

13 Uzlová naětí: R1 U 1 () U() u () Lalace: R 1 v etev mezi uzly, 1 L i L () U 1 () U() + U 1() U () + U 1 () u () + i L() = L uzel U U () R Obecné časové růběhy: u 1 (t) u(t) + 1 Z t [u 1 ( ) u ( )] d + du 1(t) + i L () = L R 1 Z t U () U 1 () + U () i L() = L R uzel U 1 v etev mezi uzly 1, z } { z } { 1 " # U() R 1 L L U1 () R L L + 1 = u ( + ) i L( + ) 5 i 7 U () L ( + ) R {z } {z 5 } 1 L [u ( ) u 1 ( )] d + u (t) i L () = R Maticový záis HUS: 1 R 1 + j! j!l 1 j!l 1 1 j!l j!l + 1 R Û = Û Û 4 R 1 5 Pozor okud obvod obsahuje řízené zdroje, je otřeba dolnit další, komlikovanější ravidla ro sestavení matic (nulorový model)!!! - 5. řednáška

14 Lze oužít ro SUS, HUS, Lalace ZÁPIS SOUSTAVY ROVNI DO MATIE Řešení Gaussovou eleminací, ramérovým ravidlem, Inverzní matice velmi snadné s oužitím matematického software (Matlab, Male, ) Nelze oužít ro obecné časové růběhy - 5. řednáška

Podobné dokumenty

Laplaceova transformace

Laplaceova transformace Lalaceova transformace EO2 Přednáška 3 Pavel Máša ÚVODEM Víme, že Fourierova transformace díky řísným odmínkám existence neexistuje ro řadu běžných signálů dokonce i funkce sin musela být zatlumena Jak