I. Soustavy s jedním stupněm volnosti

Transkript

1 Jiří Máca - aedra mechaniy - B325 - el maca@fsv.cvu.cz 1. Záladní úlohy dynamiy 2. Dynamicá zaížení 3. Pohybová rovnice 4. Volné nelumené miání 5. Vynucené nelumené miání 6. Přílady 7. Oáčivé miání

2 2 1. Záladní úlohy dynamiy STTIK - úloha o rovnováze vniřních a vnějších sil K r f K maice uhosi f veor zaížení r veor posunuí odezva závisí na uhosi onsruce a veliosi zaížení DYNMIK - K r( ) f( ) M r( ) Cr( ) úloha o rovnováze včeně servačných a lumicích sil M maice hmonosi C maice úlumu r r veor zrychlení veor rychlosi čas odezva závisí na dynamicých vlasnosech onsruce (uhos, hmonos, úlum) a časovém průběhu zaížení

3 3 1. Záladní úlohy dynamiy VYNUCENÉ KMITÁNÍ výpoče odezvy onsruce na dynamicé zaížení K r( ) Cr( ) M r( ) f( ) sousava diferenciálních rovnic II. řádu neznámé: r() časový průběh posunuí VLSTNÍ KMITÁNÍ určení záladních dynamicých vlasnosí onsruce K r( ) M r( ) r( ) ( cos Bsin ) r 2 ( ) ( cos Bsin ) problém vlasních čísel neznámé: vlasní frevence n 2 K M 2 K n M n a vary miání n (n poče SV)

4 4 1. Záladní úlohy dynamiy DISKRETIZCE Disreizace = vyjádření posunuí sysému se spojiě rozdělenou hmoou pomocí onečného poču slože veoru posunuí - do ěcho bodů se sousředí hmoa sysému - umožňuje zjednoduši dynamicou úlohu, proože servačné síly vzniají pouze v ěcho bodech maice hmonosi je diagonální (maice sousředěných hmo) Poče (dynamicých) supňů volnosi (SV) je roven poču slože veoru posunuí, erým je přiřazena nenulové hmoa Sousava se spojiě rozdělenou hmoou má neonečný poče supňů volnosi SV 3 SV

5 5 1. Záladní úlohy dynamiy Sousava s 1 SV m u() onsruce haly 1 SV

6 6 1. Záladní úlohy dynamiy Sousava s 1 SV u() idealizace onsruce u() onsruce věže sousava s 1 SV

7 7 1. Záladní úlohy dynamiy Sousava s 1 SV u() idealizace onsruce u() sousava s 1 SV

8 8 2. Dynamicá zaížení Podle dynamicých účinů roační sroje vír silniční a železniční doprava pohyb osob echnicá a přírodní seizmicia rázové účiny výbuchy vodní proud Podle maemaicého popisu deerminisicé - periodicé - neperiodicé sochasicé - sacionární (saisicé char. nezávislé na čase) (náhodné) - nesacionární

9 9 2. Dynamicá zaížení F() = e m ω 2 cosω ω Harmonicé zaížení F() = e m ω 2 cosω = F cosω Obecné periodicé zaížení

10 1 2. Dynamicá zaížení Zaížení chodci

11 11 2. Dynamicá zaížení Náraz leadla na onsruci Zaížení nosníu náhle působící silou

12 12 2. Dynamicá zaížení Zaížení zeměřesením Zaížení laovou vlnou při výbuchu

13 13 2. Dynamicá zaížení VLIVY KMITÁNÍ na spolehlivos savební onsruce (mezní savy únosnosi a použielnosi) na echnologicé zařízení na lidsý organismus na přenos ořesů do oolí Pozor: Nevyhovuje-li dynamicy zaížená onsruce, nemusí pouhé její zesílení vždy vés úspěchu!!!

14 14 3. Pohybová rovnice 3 paramery modelu F S F D F I F() uhos (N m -1 ) úlum c (g s -1 ) hmonos m (g) 3 působící síly F S vniřní síla (síla v pružině) FS u() F D lumicí síla FD c u() F I servačná síla FI m u()

15 15 3. Pohybová rovnice Tuhos síla vyvozující jednoové posunuí (N m -1 ) F u F 3 FL u 24EI F F 3EI L 12EI L 3 2 3

16 16 3. Pohybová rovnice Tuhos Sousava s 1 SV porálový rám FS u h F S pro L = 2h 12EI c 3 h 12 4 I 4I b c F S F S uhý nosní sloupy 12EIc 3 h nosní s nulovou uhosí 3EI c 3 sloupy h

17 17 3. Pohybová rovnice Evivalenní uhos u 1 2 F F F 1 2 F F1 F ( 1 2) u u 12 paralelní řazení: i i u 1 2 u F F F F F poddajnos sériové řazení: F F F i i i i

18 18 3. Pohybová rovnice Evivalenní uhos 5 3 N 4 6 N 48EI 3 L 1 N 1 N E h h 4 6

19 19 3. Pohybová rovnice D lemberův princip souče všech sil působících na ěleso (hmoný bod) ve směru miání, včeně sil servačných, je roven nule Fi i F() F() F() mu( ) cu( ) u( ) F( )

20 2 3. Pohybová rovnice Vliv vlasní íhy F() pohybová rovnice mu ( ) cu ( ) u ( ) F( ) mg u ( ) u( ) u ( ) u( ) mu( ) cu( ) u( ) F( ) mg mg s s u ( ) u( ) s saicá rovnováha mu( ) cu( ) u( ) F( ) Při sesavování pohybové rovnice lze ignorova vlasní íhu Výchozím savem je sav převoření od vlasní íhy, výsledem dynamicého výpoču jsou relaivní posunuí

21 21 4. Volné nelumené miání Nepůsobí žádná budicí síla, úlum se zanedbává c = pohyb je vyvolán nenulovými počáečními podmínami u 48EI 3 L mu Pohybová rovnice mu( ) u( ) obecné řešení homogenní rovnice u C, u S - inegrační onsany ( m ) ( u cos u sin ) 2 C S u( ) u cos u sin C S m (s -1 ) vlasní ruhová frevence

22 22 4. Volné nelumené miání Inegrační onsany u C, u S se sanoví z daných počáečních podmíne pohybu v čase = počáeční posunuí: u () počáeční rychlos: u() u() u cos u sin u 1 u u u() C S C S C u( ) u sin u cos C S u() u sin u cos u u 1 C S C S Řešení pohybové rovnice u() u( ) u()cos sin u S u()

23 23 4. Volné nelumené miání Řešení pohybové rovnice pomocí ampliudy a fáze u( ) u sin( ) inegrační onsany: ampliuda úhel fázového posunuí u u u u () sin( ) sin C () u() u cos( ) u cos u u cos u S u() arcg u() u 2 2 u() u () u u sin C u u cos S u u C u u arcg u 2 2 S C S

24 24 4. Volné nelumené miání Charaerisiy periodicého pohybu: vlasní perioda miání (doba miu) perioda pohybu je 2π vlasní frevence miání (= poče miů za seundu) u () u() u() 1 1 T 1 2 T u( ) u sin( ) Volné nelumené miání - harmonicý pohyb T f 2 u 1 T (s) (Hz) 2

25 25 4. Volné nelumené miání u( ) u sin( ) u () u cos( )

26 26 5. Vynucené nelumené miání Pohyb je vyvolán budicí silou F(), úlum se zanedbává c = mu F() u F() mu( ) u( ) F( ) Harmonicá budicí síla F( ) F sin F() F F - ampliuda ω - budicí ruhová frevence mu( ) u( ) F sin Obecné řešení = řešení homogenní rov. + pariulární řešení

27 27 5. Vynucené nelumené miání Harmonicé buzení pariulární řešení u ( ) u sin P dosazení do pohybové rovnice 2 m u F ampliuda usáleného miání saicá výchyla dynamicý součiniel rovnice usáleného miání F F 1 F 1 u u 2 2 s m 2 m 1 1 F us u 1 1 součiniel 2 2 us 1 naladění 1

28 28 5. Vynucené nelumené miání Řešení homogenní rovnice = řešení volného miání Obecné řešení = řešení homogenní rov. + pariulární řešení u( ) u cos u sin u sin C S obecné řešení = přechodové miání + usálené miání Obecné řešení pro počáeční podmíny u() ; u() miání s vlasní frevencí u u C S s budicí frevencí u u( ) u sin sin

29 29 5. Vynucené nelumené miání Obecné řešení pro nulové počáeční podmíny a u s 1 ( u u ) s u () T vynucené usálené miání u( ) u sin přechodové vlasní miání u( ) u sin T T 1 2

30 3 5. Vynucené nelumené miání Obecné řešení pro nulové počáeční podmíny F () F( ) F sin u( ) u sin u( ) u sin budicí síla přechodové miání usálené miání u () u () vynucené nelumené miání obecné řešení u( ) u sin sin

31 31 5. Vynucené nelumené miání Rezonanční řiva - usálené harmonicé miání F u 1 ampliuda výchyly u u s 2 us u 1 u s fázová charaerisia 2 rezonance ω = ω nadrezonanční oblas δ záporný pro ω/ω > 2 ampl.výchyly menší než sa.hodnoa síla a výchyla mají opačnou fázi pohybu

32 32 5. Vynucené nelumené miání Síly při usáleném harmonicém miání (resp.ampliudy sil) 2 F u( ) u sin m u F u us u F mu F 2 vniřní síla = budicí síla + servačná síla = dyn.souč. x budicí síla Např. F = 1 dyn. souč. F mu m u mu 2 2 I, F F mu 2 ampliuda zrychlení síla budicí serv. celem 2 2*1 = (-2)*1 = 1 + (-3) ,5 (-,5)*1 = 1 + (-15)

33 33 5. Vynucené nelumené miání Sav rezonance budicí frevence se rovná vlasní frevenci nové pariulární řešení z pohybové rovnice u ( ) cos P C C F 2m F up ( ) cos 2m Obecné řešení pro pro počáeční podm. u() ; u() F u( ) u cos u sin cos C S 2m u C S 2 2m ; F u 1 u( ) (sin cos ) 2 F

34 34 5. Vynucené nelumené miání Sav rezonance výchyla rose nade všechny meze převažující čás odezvy u () u 1 F s u( ) cos u cos 2 s suečné onsruce - eno sav nenasává a) vždy je minimální úlum b) po určié době dojde e změně vlasní frevence (rhliny, plasicé ečení maeriálu snížení uhosi)

35 35 5. Vynucené nelumené miání Náhle působící síla F() F F () F () mu( ) u( ) F F pariulární řeš. up () us F obecné řešení u( ) uccos ussin pro počáeční podm. u() ; u() F uc ; us u () F u s u( ) 1cos max. výchyla je dvojnásobem saicé hodnoy F T

36 36 5. Vynucené nelumené miání Zaížení impulsem síly F () déla impulzu (, 25,5) T I F( ) d mu( ) mu( ) impulz = změna hybnosi p F () čas začáe impulzu, sav lidu u ( ) čas +Δ onec impulzu, začáe miání pohybová rovnice počáeční podmíny odezva na zaížení mu( ) u( ) u() ; u() u( ) I m I u( ) sin m I m viz volné miání

37 37 5. Vynucené nelumené miání Odezva na obecné zaížení Duhamelův inegrál záladní myšlena libovolné zaížení F() je vyjádřeno jao spojié působení impulzů síly odezva sousavy na jeden z ěcho impulzů začínající v čase τ a o veliosi di F() d di F( ) d du( ) sin ( ) sin ( ) m m 1 h( ) sin ( ) m ( ) výsledná odezva = souče odezev na jednolivé impulzy 1 u( ) F( )sin ( ) d F( ) h( ) d m odezva na jednoový impulz

38 38 5. Vynucené nelumené miání Odezva na obecné zaížení F () impulz v čase τ di F() d odezva na impulz du( ) F( ) d h( ) výsledná odezva velios zaížení u( ) F( ) h( ) d jednoová odezva 1 h( ) sin ( ) m

39 39 5. Vynucené nelumené miání Odezva na obecné zaížení přílad náhle působící síla F() F F m 1 u( ) F( )sin ( ) d sin ( ) d m F cos ( ) F m 1 cos Výpoče Duhamelova inegrálu se pro složiější případy funce zaížení provádí numericy

40 4 5. Vynucené nelumené miání Zaížení pohybem podpory u () u ( ) u( ) u ( ) u ( ) u( ) u ( ) celové posunuí hmoy m mu ( ) u( ) g g g mu( ) u( ) mug ( ) např. acelerogram Harmonicý pohyb podpory u u 2 g ( ) g sin 2 ( ) ( ) g sin g sin u ( ) u sin mu u mu F Fg u( ) u cos C ussin sin 2 m g g řešení viz zaížení harmonicou silou

41 41 6. Přílady 6.1 Určee ampliudu vynuceného usáleného miání záladu na pryžové izolaci a napěí v záladové spáře ρ=2,5 /m 3 =6,5 m 2 F()= F sin(2πf ) = 2 sin(2π15 ) N F() m s = 5 m 1,5 f =45 MN/m 3 E p =2 MN/m 2 h m m m 5 1,5 5 2,5 6,51,5 29,4 z s f z ,5 292,5 1 N/m p z F() m w() z z p p

42 42 6. Přílady a) loušťa pryžové izolace h = z 3 292, ,7 s f 15,9 Hz m 29, ,1 2 2 f f 15,9 F 2 3 w 9,1,62 1 m 3 292,51 mg 29,4 9,81 G 44,4 P 6,5 la v zál. spáře F 9,1 2 72,4 G 44, 4 44, 4 28 P 6,5 16,4

43 43 6. Přílady b) loušťa pryžové izolace h =,5 m 3 E p 21 6,5 3 p 261 N/m h,5 6 z p 292, , 61 N/m f 3 1,9 s z p 292,5 261 F 2 3 1,12 w 1,12,16 1 m 3 137,61 F 1, ,8 G 44,4 44,4 3,4 Pa 6,5 41, c) změna budicí frevence f = 1 Hz pro h = pro h =,5 m 3 1,65 w,11 1 m 3 6,32 w,92 1 m 3 1 zhoršení původ. savu

44 44 6. Přílady 6.2 a) Určee napěí ocelového nosníu profilu I 2 při usáleném miání - svislá složa harmonicé budicí síly je vyvozená srojem umísěným uprosřed rozpěí F vl. íha 4 N/m I 2 E 211 Pa I 21,4 1 m W 2141 m -1 m 1,5 m,3 e,1m 5 s s F()=m 1 eω 2 sin ω m s 4 m F() m w() (5% hmonosi nosníu sousředěno do podpor) 48EI ,5 N/m m m 1,5 4 2,3 3 s mnos L 2 2 9, m1e,3,1 5 7,5 N

45 45 6. Přílady Saicé zaížení vlasní íha sroje a nosníu M G msgl ql 1, Nm M G 23 G 17,4 MPa 6 W 2141 Dynamicé zaížení usálené miání 337, ,3 s 1,42 2 2, ,3 1 1 M D FL 1,42 7,5 4 1,65 Nm D 49,8 MPa ,3 Celem G D 17,5 49,8 MPa 57,7 (spodní ažená vlána)

46 46 6. Přílady b) Určee ampliudu miání a síly působící na nosní při usáleném miání 2 F 7,5 3 m w F w 3,15 1 m 2 2 m 337,5 5 2,3 nebo: w síly působící na nosní w F F 7,5 337,5 3 1, 42 3,16 1 m w F mw F ,5 ( 3,15 1 ) 1,62 N mw 7,5 5 2,3 ( 3,15 1 ) 1,61 N ,42 7,5 1,65 N F

47 47 6. Přílady c) Ja se změní odezva nosníu při zesílení na I 22 I 3,6 1 m W 2781 m ,5 N/m 45,8 s 5, 21 M G 23 G 82,7 MPa 6 W M D FL 5,21 7,5 4 39,1 Nm D 14,6 MPa ,3!!! G D 82, 7 14, 6 MPa 57,9 F 7,5 3 w 5, 21 8,111 m!!! 4819,5 Zesílením onsruce došlo e změně dynamicých vlasnosí a e zvýšení normálového napěí a průhybu nosníu!!!

48 48 6. Přílady 6.3 Určee uhos nedoonale venuého pruu - momen ve venuí je úměrný pooočení průřezu: M p Δ 1 Δ 2 m Posun uhého nosníu Δ 1 : p EI h z definice uhosi: h 1 p p 1 h h 3 h h Posun onzoly Δ 2 : 2 3EI 2 3 h h p 3EI h h 3EI p p 2

49 49 7. Oáčivé miání Oáčivé miání neonečně uhé čási dyn. sysémů Tuhos momen vyvozující jednoové pooočení M J α volné miání paramery modelu uhos (Nm) hmoný momen servačnosi J (g m 2 ) působící momeny ( bodu oáčení) momen vniřních sil M S ( ) ( ) momen servačných sil M I ( ) J( ) momen budicích sil M ( ) M sin J( ) ( ) ( ) cos sin C S J usálené miání 2 J M ( ) sin

50 5 7. Oáčivé miání Přílad 7.1: Určee síly působící na doonale uhý nosní při usáleném oáčivém miání F F F2( ) F2 sin 1 1( ) 1 sin a 3 m 1 EI, μ m 2 () b 2 Neznámá: ( ) sin (poočení uhého nosníu) a 1 a α = 1 b Tuhos: z momenové podm. bodu oáčení 3 2 b a b

51 51 7. Oáčivé miání Hmoný momen servačnosi ( bodu oáčení) 2 2 J r dm g m J m 1a m2b a b μ - hmonos na jedn.dély (g m 3-1 ) Rovnice usáleného miání: J F a F b α a α α b F 1 F 2 m 1 ω 2 α a 3 α 1 α a m 2 ω 2 α b μω 2 α b 2 α b Síly působící na onsruci: síly v pružinách síly budicí síly servačné

52 52 7. Oáčivé miání Přílad 7.2: Určee uhos při oáčivém miání sropní desy (miání olem svislé osy) α y d/2 h d x α b/2 b 12EI h 12EI h 3 3 x y y x x y x y 4 d / 2 4 b/ 2 d b 2 2 J m b d /12 (m hmonos uhé sropní desy)