2 Speciální teorie relativity

Transkript

1 Siální toi lativity.1 Kontak délk, dilata asu.1 Ut ylostní aamty = v/, o kté j Lontzv fakto = 1,1 (1,), (1). [,14;,995;, ]. Stdní doba života nybný mion byla namna jako t =, µs. Stdní doba života vlmi ylý mion v výtysku kosmiký ask ozoovaná z Zm byla namna jako t =16 µs. Ut ylost v tto kosmiký mion vzldm k Zmi. [v =, m s -1 ].3 Nstabilní vysokongtiká ásti vstuuj do dtktou a obn úsk L = 1,5 mm, nž s ozadn. Jjí ylost vzldm k dtktou j v =,99. Jaká j jjí doba života t, tj. jak dlouo by ásti stvala v dtktou do ozadu, kdyby v nm byla v klidu? [t = 4, s].4 lkton s ylostním aamtm =, s oybuj odél osy vakuové tubi, ktá má délku L =3, m, jak ji mí v laboatoi ozoovatl S, ktý j vzldm k tubii v klidu. Pozoovatl S, ktý j v klidu vzldm k lktonu, však zjišuj, ž tubi s oybuj ylostí v =. Jakou délku L tubi ozoovatl S namí? [L =,15 m]. Rlativistiká dynamika.5 Ut ylostní aamt = v/ a Lontzv fakto o lkton, jož kintiká ngi j a) k = 1, kv b) k = 1, GV [a) =,65 = 1, b) =, = 1958].6 Ut ylost v lktonu, jož kintiká ngi j k = 1 MV. [v =, m s -1 ].7 ásti má ylost v =,99 v laboatoní vztažné soustav. Ut jjí kintikou ngii k, lkovou ngii a ybnost. Uvažujt, ž ástií j a) oton b) lkton šní o oton: Kintiká ngi otonu j odl lativistikéo vztau j dána ozdílm lkové ngi a klidové ngi k m ( 1) 1 v 1 7

2 7 8 1 k 1, 671 ( 31 ) ( 1) 5, 7 GV 1, 99 Clková ngi otonu j otom 7 8 1, 671 ( 31 ) 9 m k ( 5, 71 )V (, 94 5, 7)GV 6,66 GV 19 1, 61 Hybnost otonu uím z vztau ( ) ( m ) ( m ) 6, 66, 94 GV/ 6, 59 GV / [b) o lkton k = 3,11 MV; = 3,6 MV; = 3,59 MV/].8 Jaká á W s musí vykonat, aby s ylost lktonu zvýšila o,1 a) z,18 na,19 b) z,98 na,99 [a) W = 1, kv = 1, J b) W = 1,5 MV = 1, J].9 Pmná doba života mion v klidu j t =, µs. Laboatoní mní mion oybujíí s v svazku vystuujíím z uylova oskytují mnou dobu života mion t= 6,9 µs. Hmotnost mionu j 7 kát vtší nž motnost lktonu. Ut a) ylost v mionu vzldm k laboatoi b) kintikou ngii k ) ybnost [v =, m s -1 ; k = 6 MV = 3, J; = 315 MV/ = 1, kg m s -1 ].1 Ut kintikou ngii k otonu vyjádnou v MV, ktou získá oton v yklotonu, jstliž odovídajíí omné zvýšní motnosti otonu j 5 %. [ k = 47 MV].11 Ut ngii W v MV, ktá j kvivalntní klidové motnosti lktonu. [W =,51 MV].1 Jakou ylostí v s musí oybovat ásti, aby jjí kintiká ngi k byla kvivalntní klidové motnosti m ásti? 3 [v = ] 4 8

3 4 Úvod do kvantové fyziky 4.1 lktony a fotony 4.1 Zjistt v vakuu vlnovou délku a fkvni, kté odovídají vlastnostm fotonu o ngii = 1 MV. [ = 1, m =,4. 1 Hz] 4. Ut, kolik foton svtla žluté bavy o vlnové dél = 6 nm má v vakuu lkovou ngii = 1 J. [3.1 8 ] 4.3 Svazk ask ntgnovéo zání s i Comtonov jvu oztyluj na volný lkton od úlm = 45 vzldm k vodnímu smu šíní (ob. 4.1). Vlnová délka oztýlnéo zání v vakuu j =,. 1-1 m. Ut: a) ngii fotonu oztýlnéo ntgnovéo zání. b) Vlnovou délku doadajíío ntgnovéo zání. ) Hybnost fotonu doadajíío ntgnovéo zání. šní: Pi Comtonov jvu doází i intaki doadajíío fotonu s volným lktonm k zmn vlnové délky oztýlnéo fotonu (ob. 4.1). y y ' - x x a) b) - v Ob. 4.1 Intak fotonu s volným lktonm i Comtonov jvu Z zákon zaování ngi a ybnosti o dokonal užnou sážku fotonu a volnéo lktonu o motnosti m lz o úl oztylu fotonu odvodit vzta o zmnu vlnové délky 1 os m a) ngi fotonu oztýlnéo zání j dána v vakuu vztam 15

4 34 6, , 41 J 1, 1 b) Vlnová délka doadajíío zání 34 6,631 1 os,1 31 m 9, ) Hybnost doadajíío fotonu 34 6, 631 4, 451 J s m , (1 os 45 ) 1,491 m 4.4 Foton o fkvni = Hz s i Comtonov jvu sazí s volným lktonm a oztýlí s v smu, odýlném od vodnío smu o úl = 9. Ut fkvni oztýlnéo fotonu. [ =, Hz] 4.5 Maximální zmna vlnové délky ozoovaná i oztylu zání na oton i Comtonov jvu j =, nm. Ut motnost m otonu. [m = 1, kg] 8 4. Vlnové vlastnosti ásti, d Bogliova yotéza 4.6 Ut d Bogliovu vlnovou délku tlsa o motnosti m = 1 kg, kté má ylost v = 1 m s -1. [ = 6, m] 4.7 Odvot vztay o d Bogliovu vlnovou délku v závislosti na odnot kintiké ngi k ásti. Diskutujt, zda j nutné oužít lativistiké vztay. šní: D Bogliova vlnová délka j o ástii o ybnosti dána vztam Clková ngi ásti j dána lativistikým vztam jako sout klidové ngi a kintiké ngi m k Mzi lkovou ngií a lativistikou ybností ásti latí ( ) ( m ) Odtud j lativistiká ybnost ásti dána vztam m D Bogliova délka j otom 4 m 4 16

5 Dosazním za lkovou ngii dostanm vzta k m k m k 1 k Po lativn omalé ásti latí, ž kintiká ngi k j odstatn mnší nž klidová ngi m, oto mžm tnto vzta zjdnodušit na nlativistiký m k Po lativn ylé ásti, u ktý j kintiká ngi k odstatn vtší nž klidová ngi m (lková ngi j ibližn ovna k ), mžm naoak vzta o d Bogliovu vlnovou délku zjdnodušit na ultalativistiký k 4.8 lkton j uyln natím U= 5 kv. Ut íslušnou d Bogliovu vlnovou délku omoí nlativistiký vzta. šní: Kintiká ngi k lktonu o motnosti m o malé ylosti v j dána vztam 1 k mv m D Bogliova vlnová délka j otom 34 6, 631 7, 75 m m k mu 9, 11 1, kd k = U 4.9 Ut d Bogliovu vlnovou délku otonu s kintikou ngií k = 15 V. Rozodnt, zda j nutno oužít lativistiké vztay, j-li motnost otonu m = 1, kg. [nní nutno oužít lativistiké vztay; = 7,4.1-1 m] 4.1 ngi fotonu j stjná jako kintiká ngi k lktonu. Ut vlnovou délku fotonu f a vlnovou délku lktonu o íady a) = 1, V b) = 1, GV Ovt, ž íad a) lz šit nlativistiky, íad b) omoí lativistiký vzta. [a) f = 14 nm, = 1,3 nm b) f = 1,4.1-6 nm, = 1,4.1-6 nm] 4.11 Dosažitlná ozlišovaí sonost lktonovéo mikoskou j dána vlnovou délkou uylný lkton. Ut otbné uylovaí natí U, aby lktonový mikosko ml stjnou ozlišovaí sonost, jakou mžm získat omoí -zání o ngii = 1 kv. šní: Rozlišovaí sonost lktonovéo mikoskou i uylovaím natí U j dána d Bogliovou vlnovou délkou uylnéo lktonu o motnosti m 17

6 m k mu Vlnová délka -zání o ngii s uí z vztau Poovnáním obou vzta dostanm o uylovaí natí U 3 19 ( , 61 ) U 9, 76 kv m 9, 11 1, 61 ( 3. 1 ) 4.1 Nuitost oloy lktonu j x = 5 m. Pomoí Hisnbgova iniu nuitosti stanovt njmnší nuitost x-ové složky ybnosti lktonu x dosažitlnou i sou- asném mní oloy a ybnosti lktonu. šní: Z Hisnbgovy la nuitosti x x uím minimální nuitost x-ové složky ybnosti lktonu x 34 6, x 1,61 kg ms 1 x Pi souasném stanovní oloy a ybnosti lktonu s kintikou ngií k = 1 kv byla nuitost oloy lktonu x =,1 nm. Ut odovídajíí minimální lativní njistotu x-ové složky ybnosti x lktonu. Poítjt omoí nlativistiký vzta. [ x =,31] 4.3 Úvod do kvantové toi, vlnová funk, oátoy 4.14 Zdvodnt, kté z násldujíí funkí (x) moou být vlnovými funkmi staionání stav ásti na intvalu x (, ). Poznámka: Zamt s na slnní odmínky o konnost funk a sojitost jjí diva na uvdném intvalu. Sojitost diva s vyžaduj i konné zmn otniálu. ( x) x o x x a) b) ( x) sin x ) ( x) ( x) o x [a) nní konná o x a nmá sojitou divai v x = b) nmá sojitou divai v x = ) ano, oisuj základní stav amonikéo osilátou] 18

7 5. Kvantové šní vodíkovéo atomu 5.1 Bov modl vodíkovéo atomu 5.1 Pomoí ostulát Boova modlu atomu vodíku odvot vzta o lkovou ngii n lktonu na n-tém obitu. šní: Clkovou ngii lktonu o motnosti m a náboji -, ktý s ylostí v oybuj o kužniové tajktoii o olomu, vyjádím jako sout kintiké a otniální ngi k 1 m v 4 lktostatiká síla, ktou sobí jádo atomu na lkton, j silou dostdivou a latí oybový zákon o ovnomný oyb o kužnii 4 m v Tnto vzta mžm uavit m v 4 a dosadit do vztau o lkovou ngii Dosadím-li dál do dosldnío vztau za ylost v výaz z Boova ostulátu v n n = 1,,. m získám vzta o olomy n obit, o ktý s lktony odl Boova modlu atomu vodíku oybují 4 n n n = 1,,. m Dosadím-li nyní tnto výsldk za olom do vztau o lkovou ngii lktonu, dostanm tuto ngii jako funki lavnío kvantovéo ísla n. n m 1 n = 1,,. 4 3 n n = 3 n = n = 1 3 = 13,6 - V 9 = - 13,6 V 4 1 = - 13,6 V 5. Na základ vzta odvozný v íkladu 5.1 vyjádt lkovou Ob. 5.1 Hladiny ngií 5

8 ngii lktonu na n- té ladin v atomu vodíku v lktonvolt a vyott olom obitu 1 = a, ktý odovídá kvantovému íslu n = 1. Zakslt ladiny ngií o n = 1, a 3. 13, 6 [ n = V ; 1 = a = 5, m; Ob. 5.1] n 5.3 Ut odnotu Rydbgovy konstanty R H v Rydbgov vztau R H Po výot vlnové n m délky diskutujt íad, kdy j i odu lkton mzi dvma obity vyzána ngi odovídajíí vné bav sktální áy v Balmov séii. šní: Balmova séi sktální a j v viditlné ásti skta a vlnové délky této séi odovídají odm lkton z vyšší ladin ngií na ladinu ngi odovídajíí kvantovému íslu n = (ob. 5.). vná bava sktální áy otom odovídá njmnšímu ozdílu tto ngií, tdy odu lktonu z ladiny o m = 3 na ladinu o n =. Píslušný ozdíl tto ladin ngií j 13,6 13, V 1,89 V 3,1 J R 3 R H 19 ( 3 ) 36 3, , 91 m 34 8 Balmova 5 6, Ut lkovou ngii 3 lktonu v atomu vodíku o kvantové íslo n = 3 a ionizaní ái W, tj. ái otbnou k uvolnní lktonu z této ladiny. [ 3 = -1,5 V W = 1,5 V] 5.5 lkton v atomu vodíku j na ladin s njnižší ngií (v základním stavu). Ut: a) ngii njnižší ladiny 1. b) Pái W 1 otbnou k sunu lktonu z základnío stavu na ladinu ngi o n =. ) Pái W 13 otbnou k sunu lktonu z základnío stavu na ladinu ngi o n = 3. [a) 1 = -, J b) W 1 = 1, J ) W 13 = 1, J] 5.6 Ut v vakuu vlnovou délku v nm vý tí sktální a séi: a) Lymanovy (n = 1) b) Balmovy (n =) ) Pasnovy (n = 3) n = 6 n = 5 n = 4 n = 3 n = n = 1 Ob. 5. Balmova séi skta atomu vodíku 6

9 d) any tto séií (m) [a) 11,5 1,5 97, b) 656,1 486, 433,9 ) 1874,6 181,4 193,5 d) 91,1 364,5 8,1] 5.7 Vyoítjt vlnovou délku sktální áy v vakuu, ktá odovídá odu lktonu v atomu vodíku z stavu s kvantovým íslm m = 4 do stavu s kvantovým íslm n =. [ = 48 nm] 5.8 Odvot omoí Boový ostulát vzta o ngii n n té ladiny ngtikéo skta atom vodíkovéo tyu (mají jdn lkton a jádo s nábojm +Z). [ n 4 m Z 1 n = 1,, ] 3 n 5.9 Vyoítjt vlnovou délku sktální áy v vakuu, ktá odovídá odu lktonu v iontu Li + z stavu s kvantovým íslm m = 4 do stavu s kvantovým íslm n =. [ = 53,3 nm] 5.1 Ut tzv. obitální gyomagntiký om, tj. kofiint úmnosti mzi vlikostmi obitálnío magntikéo momntu m a obitálnío momntu ybnosti L lktonu, ktý s oybuj o obitu o olomu. Zaišt vzta mzi obma vktoy. šní: lktony obíajíí o kužniový tajktoií kolm jáda dstavují malou oudovou smyku. lkton ns záoný náboj o vlikosti a vytváí tak lktiký oud I, ktý uím jako náboj ošlý zm (na ob. 5.3 na. loškou S) za jdnotku asu I T / v Vkto m obitálnío magntikéo momntu lktonu, ktý j sojn s uvdnou oudovou smykou, j kolmý k ovin tajktoi (obitu) a jo ointa j daná znaménkovou konvní o sm oudu a avidlm avé uky. Jo vlikost j I L m Ob. 5.3 lkton obíajíí kolm jáda o obitu S v m I S I 1 v lkton o motnosti m oybujíí s o kužnii j aaktizován vktom momntu ybnosti L. Jo odnota vzldm k stdu kužni j una vztam L m v Sm vktou L, ktý uím avidlm avé uky, j oaný nž sm vktou m. Vlikost momntu ybnosti L L m v 7

10 5.17 S využitím tabulky vlnový funkí zaišt vzta o ustotu avdodobnosti výskytu lktonu v atomu vodíku a) o stav 1s b) o stav s 1 a / [a) = 3 a b) = 8a 1 / a Zaišt avdodobnost výskytu dp lktonu v atomu vodíku v objmovém lmntu dv, ktý j vymzn intvaly sféiký souadni (+d, ), (+d, ) a ( d, ) Diskutujt závislost avdodobnosti výskytu lktonu na sféiký souadnií a št o: a) základní stav 1s b) stav 1 [a) dp = 1 / a 3 a d sin d d a ] 1 / a 4 3 b) dp = d sin d d ] 5 64a 6. Jadná a ástiová fyzika 6.1 Základní vlastnosti atomový jad 6.1 Lod Rutfod bombadoval tnkou zlatou fólii -ástimi s kintikou ngií k = 5,5 MV. Na jakou njmnší vzdálnost min s -ásti iblížily k jádu zlata? Potonové íslo zlata Z = 79. Rozm -ásti zandbjt. šní: -ásti s nábojm Q = a jádo Au s nábojm Q Au = 79 na sb sobí odudivou lktostatikou silou. Z zákona zaování ngi dostanm 19 1 Q QAu k 4 1 Q QAu 791,6 1 fm 4 4 8,85 1 5, min 1 6 min 6. Sott, jakou minimální kintikou ngii k musí mít odl klasiké fyziky (nuvažujt tunlový jv) -ásti, aby s iblížila jádu 197 Au na vzdálnost ovnou jo olomu. Pokládjt, ž o olom R jad latí vzta: R = 1, A 1/3 fm. [a) k = 33 MV] 6.3 Tyiká nutonová vzda má motnost m = 1,4 m Slun a ustotu stjnou jako j ustota atomový jad (=, kg m -3 ). Sott olom R nutonové vzdy. Hmotnost Slun m Slun = 1, kg. [a) R = 14 km] k 31

11 6. Radioaktivita 6.4 Radioaktivní izoto tuti 197 Hg s ozadá -ozadm na izoto zlata 197 Au s ozadovou konstantou =,18-1. Na oátku j lková motnost izoto tuti 197 Hg v vzoku m = 1, mg. Sott: a) oloas ozadu T 1/ izotou tuti 197 Hg, b) ot N izoto tuti, kté zstanou v vzoku o dob t = 3 T 1/, ) aktivitu A izoto tuti, kté zstanou v vzoku o dob t = 1, dní. šní: a) Po oloas ozadu T 1/ latí: T1/ ln / 64, b) Po ot N izoto 197 Hg na oátku ozadu latí: 6 m 1 18 N 3,61, kd u j atomová motnostní jdnotka u 1971,661 t 3ln N 17 Z ozadovéo zákona N N ak dostávám: N N 3,81 8 t 11 ) Aktivitu A sotm z vztau: A N N 6,9 1 Bq 6.5 Poloas -ozadu izotou lutonia 39 Pu T 1/ = 41 lt. Sott motnost m izotou lia 4 H, kté vznikn z vzoku lutonia 39 Pu o motnosti m = 1, g za dobu t = lt. [m = 87,9 mg] 6.6 Radionuklid 3 P s oloasm ozadu T 1/ = 14,8 d s oužívá jako znaný izoto o sldování bu biomiký akí, ktý s úastní fosfo. Na oátku mní byla aktivita 3 P A = 35 Bq. Za jakou dobu t oklsn aktivita na odnotu A = 17 Bq? [t = 6,3 d] 6.7 Vzok KCl o motnosti m =,71 g j adioaktivní a ozadá s s konstantní aktivitou A = 4 49 Bq. Ukazuj s, ž s ozadá izoto daslíku 4 K, ktý tvoí 1,17 % nomálnío složní daslíku. Vyott oloas ozadu T 1/ daslíku 4 K. Molání motnost daslíku j M K = 39,1 g mol -1, molání motnost lóu M Cl = 35,453 g mol -1. šní: Pot N K izoto 4 K v vzoku uím z vztau 1,17 m 1,17 3,71 N N 6, 1,56 1 K A 1 M M 1 39,1 35,453 Po ozadovou konstantu latí A N Tdy T K Cl K ln / T 1/ N ln,561 ln ,951 s 1,5 1 lt A 449 K 1/ 6.8 Mní vzoku oniny z Msí na motnostním sktomtu ukázala, ž om otu stabilní izoto agonu 4 A k otu adioaktivní izoto daslíku 4 K v onin j R = 1,3. Ut stáí t oniny za dokladu, ž všny izotoy agonu 4 A vznikly 3

12 adioaktivním ozadm izotou daslíku 4 K, ktý má oloas ozadu T 1/ = 1, lt. Poznámka: t t Z vzta N K N a N A N (1 ) o ot izoto 4 K a 4 A v as t vylouím nznámý oátní ot N izoto 4 K. [t = 4, lt] 6.9 Vzok dvnéo ulí o motnosti m = 5, g z dávnéo oništ má aktivitu izotou ulíku 14 C A = 63, ozad za minutu. Vzok živéo stomu o motnosti m = 1, g má aktivitu izotou ulíku 14 C A = 15,3 ozad za minutu. Ut stáí t vzoku dvnéo ulí za dokladu, ž oloas ozadu izotou ulíku 14 C T 1/ = 573 lt. [t = 165 lt] 6.3 Vazbná ngi jad 6.1 Sott, kolik ngi B j tba k oddlní vš nuklon z jáda izotou 1 Sn, a u- t vazbnou ngii na jdn nuklon B/A o tnto izoto. Hmotnost otonu j m = 938,7 MV/, motnost nutonu m n = 939,57 MV/, motnost izotou 1 Sn m( 1 Sn) = 11166,86 MV. šní: Po vazbnou ngii B izotou 1 Sn latí: B = Z m + N m n - m( 1 Sn) = 5938,7 7939, ,86 1, 54 MV Vazbná ngi na jdn nuklon j ak B/A = 8,545 MV 6.11 Izoto uanu 38 U s ozadá -ozadm: 38 U 34 T + 4 H. a) Sott ngii Q uvolnnou i -ozadu 38 U. b) Ukažt, ž 38 U s nmž ozadnout tak, aby mitoval oton (tj. nmž obíat ozad: 38 U 37 Pa + 1 H). Hmotnost otonu j m = 938,7 MV/, motnost nutonu m n = 939,57 MV/, vazbné ngi B( 38 U) = 181,69 MV, B( 34 T) = 1777,67 MV, B( 37 Pa) = 1794,7 MV, B( 4 H) = 8,3 MV. [a) Q = 4,8 MV b) ngi uvolnná i ozadu j záoná] 33

13 Nkté fyzikální konstanty Konstanta Znaka Názv jdnotky Hodnota lmntání náboj oulomb 1,61 19 C mitivita vakua faad na mt = 8, F m -1 mabilita vakua ny na mt = 41 7 H m -1 ylost šíní lktomagntikéo vlnní v vakuu Stfanova-Boltzmannova konstanta 8 mt za skundu =,999 1 m s -1 watt na tvný mt a klvin na tvtou 5,671 8 W m - K -4 Boltzmannova konstanta k joul na klvin k = 1, J K -1 Plankova konstanta joulskunda Plankova konstanta joulskunda 6, J s = 1, J s 7 Rydbgova konstanta R H ioký mt R H = 1,971 m -1 klidová motnost lktonu m kilogam m = 9, kg klidová motnost otonu m kilogam m = 1,673 klidová motnost nutonu m n kilogam m n = 1,675 Atomová motnostní jdnotka u kilogam u = 1, Bov olom a mt a = 5, m Bov magnton B joul na tsla B = 9,74 kg kg kg 1 4 J T -1 Avogadova konstanta N A ioký mol N A = 6,. 1 3 mol -1 34