h = J s 2

Transkript

1 PŘDNÁŠKA (viz lavaty SKM): De Broglieova yotéza, vlnová funkce, Scrödingerova rovnice, Bornova interretace vlnové funkce. Kvantová mecanika je fyzikální teorie, tedy návry vedoucí k ředovědím, jež musí být ověřeny exerimentálně. I Newton klasickou mecniku neodvodil, nýbrž ostuloval. (Zákon setrvačnosti, zákon síly a zákon akce a reakce) I v kvantové mecanice uvidíme několik ostulátů, které rostě někoo naadly. Tyto ostuláty nemůžeme odvodit, vycázejí z výsledků exerimentů. Kvantová teorie založená na těcto ostulátec nejen že funguje, ale funguje extrémě dobře. Přesné ředovědi kvantové teorie oskytují nejleší důkaz latnosti ostulátů, na kterýc je stavena. De Broglieova yotéza Z vysvětlení exerimentálníc fakt v ředcozíc kaitolác lyne, že ři zkoumání atomárníc jevů záření řestává mít čistě vlnový carakter a cová se v některýc asektec jako soubor částic. Zdá se tedy užitečné zavést nový fyzikální ojem kvantové částice oisující fyzikální objekty vyskytující se na atomárníc a nižšíc úrovníc. Pod vlivem oznatků o duálním částicově vlnovém carakteru světla De Broglie v roce 9 usoudil, že tento dualismus je vlastností všec mikroskoickýc objektů a že nejen elektromagnetické záření, ale i motné objekty (nař. elektrony) se moou covat buď jako vlna nebo jako částice, odle too jaké jevy, v nicž se účastní, zkoumáme. Vyslovil yotézu, že ro ois jevů na atomární úrovni je třeba řiřadit volným (částice, na kterou neůsobí síly) kvantovým částicím s ybností a energií nikoliv bod fázovéo rostoru nýbrž rovinou monocromatickou vlnu,, jejíž frekvence je (stejně jako ro foton) úměrná energii a jejíž vlnová délka je neřímo úměrná ybnosti částice, řesněji funkci, x, t = A e i x t () kde A je zatím neurčená konstanta. ħ= = J s () V té době nebyly známy žádné okusy dokazující vlnové vlastnosti motnýc částic jako je

2 oyb, či interference! Ty se objevily až o několik let ozději, ři zkoumání roztylu elektronů na krystalec. De Broglie za tuto yotézu dostal Nobelovu cenu v roce 99. ; =m v ). Prozkoumejme trocu odrobněji tuto rovnici (využíváme vztay = m Obrázek rovinná vlna. Čas t=0. Směr vlny je určen vektorem. Kolmo na tento vektor je vlnová funkce () konstantní. Čas t=0. Vlnová délka (tzv. debrogliovská vlnová délka) = kde =. Časově závislá rovnice (s jakou frekvencí kmitají jednotlivé body?): = f =,z too lyne f =, což je insteinův vzta získaný interretací fotoefektu ro foton. S jakou ryclostí se osunuje bod se stejnou fází (naříklad maximum reálné části vlny)? vzdálenost / = = = Fázová ryclost: v f =. Všiměme si, že fázová ryclost je čas / m odlišná od ryclosti částice: v =! m Není řekvaení, že () latí ro nemotný foton (elektromagnetické záření) Platí to však i ro motnou volnou částici! Vzta () se týká volné částice. Pro částici jakkoli omezenou (v otenciálu V(x)) to nelatí. Každému fyzikálnímu objektu je řiřazena vlnová rovnice. Proč tedy neozorujeme vlnové cování motnýc objektů? Vysvětlení je v tom, že Plancova konstanta je extrémně malá a tedy vlnová délka motnýc objektů = je malá. Aby nastala interference na dvojštěrbině, musí být štěrbiny zruba stejně vzdálené jako je vlnová délka vlny/objektu. Vlnové vlastností motné částice, elektronu, byly exerimentálně ověřeny Tomsonem až v roce 97, Nobelova cena v roce 97. Použity elektrony s kinetickou energií kin=54 ev H =6.7 nm (=54x.60x0-9 J ). DeBrogliův vzta ředovídá vlnovou délku = = me kin. V exerimentu bylo z úlu rvnío maxima ředovězeno =6.5 nm (.47.48, QMCA, s. 9.). To je erfektní soda. Odvození vlnové délky elektronu. SM (0kV) 0% seed of ligt relativistic effects are negligible TM (00kV) 70% seed of ligt relativistic effects must be taken into account Stanford linear acceleromenter (5GeV)??% seed of ligt. Důsledky: lektronový mikrosko. Vlnová délka může být mnoem menší než vlnová délka viditelnéo světla (rozlišovací sconost mikroskou je řibližně rovna vlnové délce). lmag: záření: 0nm 0.0nm je X-ray, ještě louběji je Gamma záření. Scrödingerova rovnice

3 Abycom moli ředovídat vývoj částice, tedy její vlnové funkce (v analogii na vývoj částice ve fázovém rostoru omocí Newtonovýc rovnic v klasické mecanice nebo vývoj elektromagnetickéo ole omocí Maxwellovýc rovnic), cceme znát jakými zákony se kvantová částice osaná de Broglieovou funkcí řídí. Problém je že de Broglieova vlna neslňuje vlnovou rovnici lynoucí z teorie u =c u ). Otázkou tedy je, zda a jakou rovnici slňuje.. elektromagnetickéo ole ( t Scrödinger ostuloval latnost rovnice: = i t () i ro kvantovou částici, která není volná, a která se oybuje od vlivem sil danýc otenciálem V(x). Platí zákon zacování energie, celková energie je rovna = kin V x. Hybnost: =mv. Z Newtonovýc zákonů kin = m v. Budeme tedy dále sát = V x m Diferenciální rovnice ro vlnovou funkci takovéto kvantové částice se roto obvykle íše ve tvaru i = V x t m (4) Tuto rovnici navrl v roce 95. Scrödinger a nese jeo jméno. Náznak odvození rovnice (Hlavatý, SKM s. 6) skrz debroglieův vzta mezi ybností a vlnovou délkou. Ricard Feynman: were did we get tat equation () from? Nowere. It is not ossible to derive it from anyting you know. It came out of te mind of Scrödinger. Tato rovnice má v kvantové Mecanice stejný význam jako Newtonovy zákony v klasické fyzice. Pozor, (na rozdíl od vlnové rovnice elektromagnetickéo ole nebo. Newtonova zákona) je Scrödingerova rovnice rvnío řádu v čase, ro časový vývoj stačí roto znát jak vyadá funkce v čase nula. Oerátor na ravé straně Scrödingerovy rovnice se nazývá amiltonián. H = V x m (5) Oerátory jsou označeny stříškou, to je v kvantové mecanice konvence. Nová ředstava tedy vyadá takto: stav v klasické fyzice je určen bodem ve fázovém rostoru a v kvantové fyzice řiřazenou vlnovou funkcí. Postulát [P] Stav systému. Stav jakéokoli fyzikálnío systému je určený v čase t stavovým vektorem ψ(t) v Hilbertově rostoru H; ψ(t) obsauje (a slouží k určení) všec informací o systému. Jakékoli složení stavovýc vektorů je také stavový v ektor. (QMCA

4 .58) Postulát [P5] Časový vývoj systému. Časový vývoj stavovéo vektoru ψ(t) systému je určen je tzv. Hamiltonián, oerátor energie časově závislou Scrödingerovou rovnicí, kde H systému. (QMCA.58) Born interretation of wave function (SKM) Řešením Scrödingerovy rovnice bezesoru je debroglieova vlna. Tak byla ta rovnice vymyšlena. Scrödingerova rovnice ale řiouští i mnoo jinýc řešení, než ouze debroligovu vlnu. Scrödingerova rovnice je totiž lineární, je-li nějaká funkce jejím řešením, je tím řešením také lineární suerozice řešení. Řešením je i lineární suerozice debroglieovýc vln odovídajícíc různým ybnostem. i x t m (6) R To je velmi důležité, neboť monocromatická vlna () má jenom některé vlastnosti odovídající volné částici, totiž rovnoměrnou a římočarou ryclost šíření, ale nedává žádnou informaci o její oloze. Cceme-li do vlnovéo oisu částice zarnout i další její vlastnosti, nař. lokalizovatelnost v určité části rostoru, ak musíme oužít jiný ty řešení než je čistá de Broglieova vlna. Ve vztau (6) íšeme =, což odovídá situaci volné částice, kde V x =0. m v ředcozím vzorci moou být Srovnej (6) vzta s definicí Fourierovy transformace. interretovány jako Fouriervy koeficienty. Mou tak zkonstruovat libovolnou funkci. Především mou zkonstruovat lokalizovaný vlnový balík. Jakmile se objevila Scrödingerova rovnice, která vedle debrogliovy vlny řiouští i mnoo dalšíc řešení, vznikla řirozeně otázka, jaký je jejic význam, neboli roblém fyzikální interretace řešení Scrödingerovy rovnice. Zatímco řešení oybovýc rovnic klasické mecaniky jsou snadno a řirozeně interretovatelná jako dráy motnýc bodů v rostoru, fyzikální význam řešení Scrödingerovy rovnice je na rvní oled nejasný. Problém interretace ještě navíc komlikuje fakt, že Scrödingerova rovnice je rovnicí v komlexním oboru, takže její řešení jsou komlexní funkce. Podotázkou tooto roblému ak je, zda všecna řešení jsou fyzikálně uotřebitelná. Max Born navrl v roce 96 statistická interretaci Scrödingerovy rovnice: Řešení Scrödingerovy rovnice udává časový vývoj ravděodobnosti nalezení částice v různýc oblastec rostoru: Je-li ψ(x, y, z, t) řešení Scrödingerovy rovnice oisující kvantovou částici, ak kvadrát její absolutní odnoty x, y, z, t je úměrný ustotě ravděodobnosti nalezení částice v okamžiku t v místě s kartézskými souřadnicemi (x, y, z). (Bornův ostulát) Tedy, stav kvantové částice je určen komlexní funkcí tří roměnnýc. Jaká omezení klade Bornův ostulát na řešení Scrödingerovy rovnice? Pravděodobnost nalezení částice v oblasti O R je úměrná e x,t = 4 d

5 x, t d x O (7) Koeficient úměrnosti je možno nalézt z ožadavku, aby ravděodobnost nalezení částice kdekoliv se rovnala jedné. Tuto odmínku lze snadno slnit, oložíme-li ustotu ravděodobnosti rovnou, kde (8) w x,t = A x, t A = R x, t d x (9) Fyzikálně snadno interretovatelná jsou tedy taková řešení Scrödingerovy rovnice, která slňují (40) R Pouze těmito funkcemi se budeme zabývat. Je to řesně odmínka kvadratické integrability! De Brogliovy vlny se tímto zůsobem interretují těžko, rotože jejic norma je nekonečná. x,t d x Jaká je ravděodobnost nalezení částici v intervalu (+a,-a)? (QMCA,. 40, okračování říkladu PŘ z minulé řednášky): a/ a/ x /a z / P= 0 x dx= dx= e dz= e a a/ a/ (4) Ukažme si na říkladu jak taková suerozice debrogliovýc vln vyadá (KM0, s ). Pozor, latí že k =, tedy Fourierův/reciroký rostor je ekvivalentní s rostorem ybností, tzv. imulzovým rostorem. 5