Derivace a diferenciál funkce. b) f(x) =jx+1j v bodì x = 1;

HTML
DOWNLOAD

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Derivace a diferenciál funkce. b) f(x) =jx+1j v bodì x = 1;"

Josef Vávra
před 8 lety
Počet zobrazení:

1 Devace a dfeencál funkce Doka¾te omocí dence, ¾e devace funkce f() = n,nn,jef 0 ()=n n. Doka¾te omocí dence, ¾e devace funkce f() =lnje f 0 () =. Podle dence devace vyoètìte devac funkce f() = sn o R. Podle dence devace vyoètìte devac funkce: a) f() = + 4 v bodì =; b) f() =j+j v bodì = ; c) f() = v bodì =0: Vyoètìte vní devac funkce v obecném bodì D f : a) f() =+ + f 0 ()= 4+ ; R b) f() =( )( +) [f 0 ()= ; R] c) f() = f 0 ()= + ( ) ; jj= + + d) f() = f 0 ()= ( + ) ; = Vyoètìte vní devac funkce v obecném bodì D f : a) f() = f 0 ()= = + = ; >0 b) f() = 5 8 q c) f() = + + f 0 ()= + f 0 ()=5 4 ( 8) = + 0 ( 8) = ; jj = 8 q = = + = ; >0 Vyoètìte vní devac funkce v obecném bodì D f : a) f() = cos(4 +) [f 0 ()= 4 sn(4 +); R] b) f() = cos (4 +) f 0 ()= cos (4 +)sn(4 +); R c) f() = cos(4 +) f 0 ()= (4 +) sn(4 +) ; R Vyoètìte vní devac funkce v obecném bodì D f : a) f() = ln b) f() = ln(tg ) + sn c) f() =ln sn f 0 () = ln ; >0 f 0 () = sn ;=k ; kz f 0 () = cos ; =(k+) ; kz Vyoètìte vní devac funkce v obecném bodì D f : a) f() = f 0 ()= (+ln); >0 Tyeset by AMS-T E X

2 b) f() = ( ) c) f() = (cos ) sn f 0 () = (cos ) sn f 0 () = ( ) cos ln cos sn cos ln( ) ; > ; [ kz +k; +k Nec» f() = 0 a + b > 0 Jak je nutné volt 0, a a b, aby funkce f() byla sojtá v bodì 0 a mìla v tomto bodì devac? a a 0 = ; b= 4 ; albovolné Funkce f() =jj= 8 >< >: >0 0 =0 <0 je denována jako souèn dvou funkcí, z nc¾ duá nemá devac v bodì = 0. Estuje devace f 0 (0)? [ano ; f 0 (0) = 0] Uka¾te, ¾e devace sudé funkce je funkce lcá. Uèete ovnc teèny a nomály ke gafu funkce f() = + 4 vbodì[ ;?] gafu. [teèna: y = 5 ; nomála: = ] Uèete ovnc teèny a nomály ke gafu funkce f() = tgv bodì gafu, jeo¾ {ová souøadnce je = teèna: 8. y =4 ; nomála: y = Na¹te ovnc nomály ke gafu funkce f() =ln ovnobì¾né s øímkou y +. y e =0 Uèete teèny k aabolu y = +vedené z bodu B = [; ]. y = ( + )( ) ; y + =( )( + ) Uèete dfeencál funkce f() = v bodì = a zjstìte, jak se l¹í od øíùstku funkce o 4 = =0:0. [df(; ) =9; 4f df =0:0000] Uèete øbl¾nì odnotu sn 59 o 5 0. [sn 59 o 5 0 : =0:8559] Odvoïte øbl¾ný vzoec a + a + a o a>0, a. Uka¾te, ¾e dfeencální ovnc y 00 +4y = 0 vyovují funkce y = c cos + c sn kde c a c jsou lbovolné eálné konstanty. Uèete n{tou devac funkce: a) f() =ln b) f() = c) f() = cos f (n) ()= f (n) ()= ( )n (n )! n (n )!! ( ) n+ ; kde (n )!! = ::: (n ) f (n) () = n cos + n

3 Je dána funkce f() = sn. Vyoètìte f (0) (). f (0) () =( 80) sn 40 cos Doka¾te omocí dence, ¾e devace funkcí: a) f() =e ; b) f() = sn ; c) f() = cos jsou: a) f 0 () =e ;b)f 0 () = cos ; c)f 0 ()= sn. Podle dence devace vyoètìte devac funkce a) f() = sn ; b) f() = ; c) f() = ; d) f() = cos ; e) f() = : a) cos ;b) Podle dence devace vyoètìte devac funkce ;>0; c) ;d) sn ;e) a) f() = + v bodì =0 [ ] b) f() = v bodì =0 [0] c) f() = sn( ) v bodì = [4] Uèete vní devace a jejc denèní obo o funkce: a) y = b) y = c) y = d) y = 8 >< >: ( ; ) ( )( ) ; ( ) (; +) <0 ln( + ) 0 ( actg jj 4 sgn + e jj e jj> jj > 8 >< 4y 0 = >: y 0 = ( ; ) ; (; +) ( <0 y 0 = >< 4y 0 = >: jj + > ( )e jj 0 > 5 5 Zjstìte, zda má funkce f() = ( actg = 0 0 =0 devac v bodì =0. [ne] Zjstìte, zda má funkce f() = ( sn 0 cos >0 devac v bodì =0. [ne] Vyoètìte vní devac funkce v obecném bodì D f : 0a +5 4 a) f() = 5+ [ 5] b) f() =a 5 5a + 5 ; a=konst.

4 c) f() = + 5 d) f() =( + )( + ) e) f() = + f) f()= ( ) ( + ) Vyoètìte vní devac funkce v obecném bodì D f : a) f() = ; >0 b) f() = + c) f() = d) f() = ( ) ; jj < + ; jj= q ; >0 8 8 e) f() = f) f()= + ( + ) 4 Vyoètìte vní devac funkce v obecném bodì D f a) f() =( +) 4 8( +) b) f() = (5 +) c) f() = 4 + d) f() = 4( +) ( ) Vyoètìte vní devac funkce v obecném bodì D f a) f() =( ) cos +sn b) f() = sn cos c) f() = cos + cos sn sn d) f() = k tg ; = + ; kz +sn sn e) f() = + sn 4 f) f()= tg g) f() = cos + ) f() = +tg sn sn cos 4 ; = k ; k Z ; = k ; kz 4 + sn sn 4 tg(=) cos (=) 4 sn + ( + ) 5 +tgcos 4

5 Vyoètìte vní devac funkce v obecném bodì D f a) f() =e e b) f() =e (cos + sn ) [e (cos + sn +cos )] c) f() = e e sn sn (sn cos ) d) f() = aa +a a +a a ; a>0 a a aa +a a a a ln a + a a a ln a e) f() =ln ln ; =0 f) f()=ln ln(ln ) ; >e g) f() = log a; a>0 ) f() = log log (log 5 ) ln ln(ln ) (log a) ln a log 5 log (log 5 ) ln ln ln 5 Vyoètìte vní devac funkce v obecném bodì D f a) f() = [ ln ] b) f() =0 [0 ( + ln 0)] c) f() = ln d) f() =0 0 ln 0 e) f() = ln f) f()=a sn ; a>0 (ln ) ln ln ln sn cos a sn ln a Vyoètìte vní devac funkce v obecném bodì D f a) f() = accos + accos acsn b) f() = (acsn ) c) f() = actg + 4 d) f() = + actg ( + ) e) f() = accos + f) f() = acsn + ( + ) ( ) Vyoètìte vní devac funkce v obecném bodì D f a) f() = sn sn cos b) f() = actg(tg ) cos c) f() = tg( ) cos ( ) d) f() = sn + cos [ sn ] 5

6 e) f() = cos f) f()=e cos sn cos e cos sn Vyoètìte vní devac funkce v obecném bodì D f a) f() = + ( ln +) b) f() = ln +ln+ c) f() = (ln ) (ln ) ln + ln(ln ) d) f() = ln ln( +) e) f() = (+) (+) (+) sn f) f()=( +) sn ( +) sn + + cos ln( +) Uèete vní devac funkce f() = acsn(sn ) v bodec =(k ), k Z. [neestuje] Po jaká n N má funkce f() = ( n sn = 0 0 =0 devac v bodì =0? Doka¾te, ¾e funkce f() =j bodì a. [n>] aj'(), kde '() je dfeencovatelná a '(a) = 0, nemá devac v Doka¾te, ¾e devace lcé funkce je funkce sudá. Doka¾te, ¾e devace eodcké funkce je oìt funkce eodcká se stejnou eodou. Ve kteýc bodec má gaf funkce f() =+ sn teèny ovnobì¾né s osou y? [ = k ; k Z] Uèete ovnc teèny a nomály ke gafu funkce y = f() v daném bodì: a) f() = tg v bodì [0;?] teèna: t y =; nomála n y = b) f() =lnv bodì [;?] [teèna: t y = ; nomála n y = +] c) f() = v bodì ;? [teèna: t y = 0 ; nomála n 8y +5=0] Uèete ovnc teèny ke gafu funkce y = f(), kteá je ovnobì¾ná s danou øímkou : a) f() = + ; y=4 [t y=4( ) ; t y +4=4(+ )] b) f() = ( ) ; y =0 [t y=0; v bodec [0; 0] ; [; 0] ; t y = v bodì [; ]] c) f() = + ; y= + ty = ( ) ; jedna z teèen Uèete ovnc teèny ke gafu funkce y = f(), kteá je kolmá k dané øímce : a) f() = + 5; y+=0 [t+y+=0]

7 b) f() = +5; y= + c) f() =ln; y = ty 4 = ty ln = ( ) Na¹te ovnce teèen yeboly y = 4, kteé jsou kolmé na øímku +4y = 0. [t y =( 4) ; t y +=(+ 4)] Doka¾te, ¾e yeboly y =8, y = se otínají od avým úlem. Doka¾te, ¾e teèny yeboly y = a omezují se souøadncovým osam tojúelníky s konstantním obsaem P =a. Doka¾te, ¾e bod dotyku teèny k yebole y = a ùseèíky této teèny se souøadncovým osam. ùlí úseèku na teènì, její¾ koncové body jsou Uèete ovnc nomály ke gafu funkce y = f(), kteá je ovnobì¾ná s danou øímkou : a) f() = ln ; y+ = 0 n y e =0 b) f() = 4+5; +4y 4=0 [n+4y 4=0] Uèete ovnc nomály ke gafu funkce y = f(), kteá je kolmá k dané øímce : a) f() = +; y= [n4 4y =0] b) f() = +; y= + [n y =0] Veïte teèny ke gafu funkce y = f() tak, aby ocázely daným bodem a) f() = ; B= [0; 0] [t +5y=0; t + y=0] b) f() = ; B=[ ; ] t y + = + ; t y = + c) f() = ; B= [; ] t y +8 =(8 4 )( + ) ; t y 8 =(8+4 )( Bod se oybuje o kubcké aabole y =. Kteá ze souøadnc se mìní yclej? [o jj < se mìní yclej {ová souøadnce] Z øístavu O vyjí¾dí aník A na seve yclostí 0 km/od. a na výcod aník B yclostí 40 km/od. Jakou yclostí se zvìt¹uje vzdálenost obou lodí? [50 km/od.] Celkový elektcký náboj otékající vodèem je dán vztaem Q(t) =t +t+ [C]. Uèete oud koncem áté sekundy. [ A] Uèete od jakým úlem se otínají køvky: a) + y =8; y = [actg ] b) + y 4 =; +y +y =9 [45 o ] c) y =5; 8 + y 8 = [90o ] d) + y =8a ; y = e) =4ay ; y = 8a a [45 o a 90 o ] +4a [actg ]

8 Uèete dfeencál funkce: a) f() = 4 4 b) f() = + c) f() =tg d) f() =ln tg df(;d)= 4 e) f() = cos df(;d)= ( df(;d)= d 5 df(;d)= d ( ) df(;d)= tg cos d d sn(=) ) sn +cos ( ) d Pomocí dfeencálu vyoètìte øbl¾nì: a) :0 ; b) sn 9 o ; c) log 0 ; d) actg :0 ; e) :0 : Odvoïte øbl¾ný vzoec n a n + a + [a) :00 ; b) 0:4849 ; c) :04 ; d) 0:95 ; e) 4:005] o a>0aa. n na Stana ètvece je =(:40:05) m. S jakou absolutní a elatvní cybou mù¾eme stanovt obsa ètvece? 0:4 m ;4:% Uèete duou devac funkce f() v obecném bodì D f : a) f() = e e ( +4+) b) f() = ; >0konst. c) f() = sn [ cos ] d) f() =e cos [ e sn ] e) f() = acsn f) f()=a ; a>0 a ( ) ln a +ln a + Uèete tøetí devac funkce f() v obecném bodì D f : a) f() =e [e ( )] b) f() = ln c) f() = e e ( ) d) f() = actg a( a ) a (a + ) Pøesvìdète se o tom, ¾e dané funkce vyovují daným dfeencálním ovncím: a) y = C e + C e ; C ; C R;konat. ; y 00 + y 0 y =0; b) y = acsn ; ( )y 00 = y ; c) y = A sn(!t + ')+Bcos(!t + '); A; B;!; 'R; y 00 +! y =0: Uèete n{tou devac funkce a) f() = n [n!] b) f() =e [e (+n)] 8

9 c) f() = ln d) f() = log a ; a>0; a= (n )! n ( ) ; n n (n )! n ( ) n ln a +(n ) e) f() = sn n sn f) f()= ( ) n + ; = n! ( + ) n+ g) f() = + ; = n! ( ) n ( + ) n+ Pomocí Lebntzovy fomule vyoètìte: a) ( + ) sn (0) ( b) [e sn ] (0) e 0X k=0 9) sn 40 cos 0 sn + k k 9

Podobné dokumenty

. 1 x. Najděte rovnice tečen k hyperbole 7x 2 2y 2 = 14, které jsou kolmé k přímce 2x+4y 3 = 0. 2x y 1 = 0 nebo 2x y + 1 = 0.

. 1 x. Najděte rovnice tečen k hyperbole 7x 2 2y 2 = 14, které jsou kolmé k přímce 2x+4y 3 = 0. 2x y 1 = 0 nebo 2x y + 1 = 0. Diferenciální počet příklad s výsledky ( Najděte definiční obor funkce f() = ln arcsin + ) D f = (, 0 Najděte rovnici tečny ke grafu funkce f() = 3 +, která je rovnoběžná s přímkou y = 4 4 y 4 = 0 nebo