Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Transkript

1 Univerzita Karlova v Praze Pedagogická akulta DRUHÁ SEMINÁRNÍ PRÁCE Z DIFERENCIÁLNÍHO POČTU PRŮBĚH FUNKCE 000/001 Cirik, M-ZT

2 Zadání: Vyšetřete průběh unkce ( ) : y Vypracování: ( ) : y Předně určíme deiniční obor: R { 1,1 } (, 1) ( 1,1 ) ( 1, ) D Tato unkce je sudá, neboť jsou splněny obě podmínky pro sudost unkce 1 tj. 1. D D Funkce není periodická.. ( ) ( ) Při vyšetřování unkce, zjišťujeme unkční hodnoty v krajních bodech deiničního oboru. V našem případě jsou to vlastní body 1, 1 a nevlastní,. Protože je unkce sudá, omezíme se jen na vyšetřování nezáporné části. Nejprve vlastnosti unkce v okolí bodu 1. Ten nepatří do D a proto určíme limity unkce v pravém a levém okolí tohoto bodu. lim 1 Na výpočet této limity nemáme zavedený vzorec a tak použijeme substituci y, jež nás dovede k cíli : y lim, y 0 + y proto lim. 1 Obdobně dojdeme k lim. 1 + ( ) () 1 Deinice sudé unkce ( ) gra je souměrný podle osy y 1 lim 0+ 1

3 A konečně v nevlastních bodech ± je limita lim 1 lim + lim ± ± ± Z předchozích výpočtů plyne, že křivka má asymptoty y 1, ± 1. Výpočtem limit jsme zároveň určili dva absolutní (globální) etrémy a jeden lokální: - v intervalu ( 1,1 ) má unkce maimum - v intervalech (, 1) a 1, má unkce minimum a maimum 1 ( ) Nyní vyšetříme zda, případně kolik a jaké, má unkce ( ) průsečíky s osami souřadnic. S osou nemá unkce žádné průsečíky, protože pro y 0 není deinována. Pro 0 0 je 1 0 y, proto má ( ) právě jeden průsečík s osou y a to [ 0,1]. Zatím jsme zjistili, že naše unkce není deinována v bodech 1 a 1 a proto není spojitá v R. Nevíme však, jaký je její průběh v jednotlivých intervalech deiničního oboru. Abychom získali názornější představu o průběhu unkce, zjistíme má-li derivaci. y ( ) ) ( ) ) ) ) ( )( ) ) ( ) ) ) Protože má vlastní derivaci 5, můžeme určit její vlastnosti v intervalech 0,1) a ( 1, ). V těchto intervalech je > 0 a proto jde o unkci ryze monotónní, rostoucí 6 v daných intervalech 7. Výpočtem zjistíme druhou derivaci unkce. Ta nám pomůže určit další etrém v intervalu,1) 0 a zároveň vyšetřit konkávnost a konvenost. R ( 1, 1 H 5 () je spojitá v intervalech (-,-1),(-1,1),(1, ) (věta s spojité unkci) 6 Plyne z věty o postačujících podmínkách ryzí monotónnosti unkce na intervalu 7 V intervalech (-,-1),(-1,0> je unkce klesající.

4 ( ) ) + ) ) + ) ( + ) ) ( ) )( ) ) ( + 1) ) ) + 1 Abychom mohli určit lokální etrém unkce ( ) musíme najít kořeny rovnice ( ) 0 v intervalu 0,1), pomocí druhé derivace,. V našem případě ) 0 ( ) 0 0 tento kořen 8 pak dosadíme do druhé derivace, tj. () ( 0 + 1) y 0, 0 ) protože je ( 0 ) > 0, má bodě 0 lokální minimum. Můžeme rovněž konstatovat, že unkce nemá inlení body 9. Konkávnost a konvenost unkce v intervalech 0,1) a ( 1, ) vyšetříme pomocí vlastností druhé derivace unkce. Tedy 0,1) ( + 1) : y > 0 unkce je v tomto intervalu konvení ( 1, ): ( ) ( + 1) ) Můžeme zkonstruovat gra. y < 0 unkce je v tomto intervalu konkávní, 8 stacionární bod 9 Pro eistenci inleního bodu je nutné splnění jedné z podmínek a to buď ( 0 )0, nebo ( 0 ) neeistuje.

5

6 Obvyklý postup při vyšetřování průběhu unkce 10 : 1. Zjistíme deiniční obor unkce, vyjádříme jej v intervalech a z nich poznáme, kde je unkce spojitá. Funkce je spojitá v ( a, b) pro každý bod tohoto intervalu, když ( ) ( c) < ε, kde ε > 0 je libovolně zvolené číslo, a pro všechna z okolí bodu c je c < δ kde δ > 0 je na ε nezávislé.,. Určíme, je-li unkce lichá [ ( ) ( ) ] nebo sudá [ ( ) ( ) ]. Je-li unkce lichá, je souměrná podle středu souměrnosti (obyčejně to bývá počátek souřadnic y), je-li sudá, je souměrná podle osy y.. Určíme průsečíky křivky s osami pravoúhlých souřadnic. Body, ve kterých křivka protíná osu spolu s body, ve kterých není křivka spojitá, rozlišují intervaly, v nichž je gra křivky nad osou od intervalů, ve kterých je gra křivky pod osou.. V krajních bodech deiničních intervalů, ve kterých je unkce spojitá, stanovíme limity unkce a dále lim ( ). ± 5. Vypočítáme ( ) a ( ), abychom zjistily, kde je unkce rostoucí [ ( ) > 0], klesající [ ( ) < 0] a kde jsou lokální etrémy. Dostaneme-li dosazením kořenů rovnice ( ) 0 do ( ) hodnotu ( ) > 0, má unkce lokální minimum, při ( ) < 0 má unkce lokální maimum. V intervalech, kde ( )> 0, je křivka konvení (vypuklá), kde ( ) < 0, je křivka konkávní (vydutá). Body, v nichž ( ) mění znaménko, jsou inlení body. Najdeme je tak, že stanovíme hodnoty, pro které je ( ) 0 nebo neeistuje. Číslo c je inlení bod, když eistuje takové okolí bodu c, že pro > c je oblouk křivky konvení a pro < c konkávní. Je nutné si uvědomit, že když má ( ) konečnou derivaci, je inlení bod c taky nulovým bodem druhé derivace čili kořen rovnice ( ) 0. Obrácená věta neplatí, tj. z ( ) 0 nevyplívá, že v bodě c má ( ) etrém a že bod c je inlením bodem. 6. Asymptota je tečna křivky ( ), jejíž bod dotyku je v nekonečnu. Platí-li lim ( ) ±, je přímka a a její asymptotou. Jinak asymptoty mají rovnice 10 HLAVÁČEK, A.: Sbírka řešených příkladů z vyšší matematiky, SPN Praha

7 y k + q, kde a y jsou souřadnice bodů na asymptotách. Eistují-li konečné limity ( ) lim k a lim [ ( ) k] q ± ± pak je asymptotou přímka y k + q. Můžeme-li rovnici křivky rozložit (tj.rozložit její pravou stranu, obyčejně dělením čitatele jmenovatelem, má-li tvar zlomku) na dvě části, z nichž jedna je lineární tvaru k + q a druhá zbytek ϕ ( ), tj. ( ) k + q + ϕ( ) ϕ, je přímka y k + q asymptotou. a ( ) 0 ± 7. Zpřesnění grau křivky provedeme sestavením tabulky souřadnic dalších bodů křivky, tj. ke zvoleným hodnotám (z deiničního oboru unkce) vypočítáme hodnoty y. Do dalších řádků tabulky zapíšeme hodnoty ( ), ( ), ve kterých intervalech je unkce rostoucí, ve kterých klesá, kde je vypuklá, kde je dutá, kde jsou lokální etrémy, inlení body apod., případně sestavíme dílčí tabulky pro jednotlivé charakteristické vlastnosti vyšetřované unkce. 6