Rolleova věta. Mějme funkci f, která má tyto vlastnosti : má derivaci c) f (a) = f (b). a) je spojitá v a, b b) v každém bodě a,b

Transkript

1 Průběh unkce

2 Rolleova věta Mějme unkci, která má tto vlastnosti : a) je spojitá v a, b b) v každém bodě a,b má derivaci c) (a) = (b). b Potom eistuje v a, alespoň jeden bod c, v němž ( c) : 1, c 3 8 a b

3 Lagrangeova věta Mějme unkci, která má tto vlastnosti : a) je spojitá v a, b b) v každém bodě a,b má derivaci c) (a) (b)<0. b Potom eistuje v a, alespoň jeden bod c, pro který platí : ( c) b b a a a c b Důsledek Lagrangeov vět : na ( a, b ) eistuje alespoň jedna tečna se stejnou směrnicí jako tětiva v spojující krajní bod intervalu. zika alespoň jednou během časového intervalu musím jet stejnou okamžitou rchlostí jako průměrnou rchlostí za celý interval.

4 Monotónnost unkce a derivace b Má-li unkce v každém bodě intervalu je v tomto intervalu rostoucí. Má-li unkce v každém bodě intervalu je v tomto intervalu klesající. a, ( ) 0 b kladnou derivaci a, ( ) 0 zápornou derivaci,, : 3 3 : 3 3, 3 3

5 Etrém unkce a 1. derivace Funkce má v bodě 0 lokální maimum, eistuje-li takové okolí U ( 0 ) bodu 0, že pro všechna U( 0 ) platí : ) ( ) D D ( 0 Funkce má v bodě 0 lokální minimum, eistuje-li takové okolí U ( 0 ) bodu 0, že pro všechna U( 0 ) platí : ) ( ) ( 0 Má-li unkce v bodě 0 lokální etrém a eistuje-li v tomto bodě derivace pak platí : ( 0 ) 0. Věta obrácená neplatí! ( 0 ),

6 8 8 Stacionární bod Je-li dána unkce : = (), určíme všechna řešení rovnice ' () = 0. Našli jsme bod, v nichž unkce má etrém? Našli jsem jen bod podezřelé z eistence etrému stacionární bod. 3 Určete stacionární bod unkce : g : 3 v intervalu,.

7 Podmínka eistence lokálního etrému unkce Nechť ( 0 ) 0. Jestliže eistuje takové okolí U ( 0, ), že v intervalech ( 0, 0 ) a ( 0, 0 ) má () různá znaménka, má unkce v bodě 0 ostrý lokální etrém. Mění-li se znaménka z plus na minus, má unkce v bodě 0 lokální maimum, měníli se znaménko derivace z minus na plus, má unkce v bodě 0 lokální minimum

8 Najděte lokální etrém unkce : : Etrém unkce a. derivace Je dána unkce : 3 1 : 3. Určete první a druhou derivaci unkce. Načrtněte do jednoho souřadného sstému gra unkcí,, : 3 1 : :

9 Nechť ( 0 ) 0 a nechť eistuje v bodě 0 druhá derivace. Je-li, má unkce () v bodě 0 ostré lokální maimum. Je-li ( 0 ) 0, má unkce () v bodě 0 ostré lokální minimum. : 1 ( 0 ) 0 g d d g d d

10 Konkávnost a konvenost : 1 : 1 8 Funkce (), která má derivaci v bodě 0, je unkce v bodě konvení, eistuje-li takové okolí bodu 0, že, leží bod grau unkce () nad tečnou sestrojenou v bodě. Funkce (), která má derivaci v bodě 0, je unkce v bodě konkávní, eistuje-li takové okolí bodu 0, že, leží bod grau unkce () pod tečnou sestrojenou v bodě.

11 3 : Je-li ( 0 ) 0, pak je unkce () v bodě 0 0 konvení. Je-li ( 0 ) 0, pak je unkce () v bodě 0 0 konkávní. Jestliže v každém bodě intervalu I platí, že, v intervalu I konvení. Jestliže v každém bodě intervalu I platí, že, v intervalu I konkávní. ( 0 ) ( 0 ) 0 0 pak je unkce () pak je unkce ()

12 3 : : 3 3 konvení průběh : 0 1, 0 konkávní průběh : 0,1 0 Jaký má význam pro gra unkce nulová hodnota druhé derivace v bodě 0? 0 etrém unkce v bodě 0? 0 Nechť unkce () má v bodě 0 derivaci. Přechází-li v tomto bodě gra unkce () z poloh nad tečnou do poloh pod tečnou nebo z poloh pod tečnou do poloh nad tečnou, nazýváme bod 0 inlení bod unkce (). Je-li bod 0 inlením bodem unkce () a má-li unkce () v tomto bodě druhou derivaci, pak ( 0 ) 0 Věta obrácená neplatí!

13 Postup při všetřování průběhu unkce 1. Deiniční obor unkce, sudá, lichá, periodická,. Bod, ve kterých není unkce deinována, ale má v nich jednostranné limit, výpočet těchto limit, limit v nevlastních bodech, interval spojitosti 3. Průsečík s osami,, znaménka unkčních hodnot. Výpočet první derivace, nulové bod první derivace a bod, ve kterých není deinována první derivace. Lokální etrém, interval monotónnosti. Výpočet druhé derivace, nulové bod druhé derivace a bod, ve kterých není deinována druhá derivace 7. Inlení bod, interval konvenosti a konkávnosti 8.Asmptot 9. Obor hodnot unkce. Gra unkce

14 Tvrdý papír tvaru obdélníka má rozměr 0 cm a 8 cm. V rozích se odstřihnou čtverce a zbtek se zahne do tvaru otevřené krabice. Jaká musí být strana odstřiženého čtverce, ab bl objem krabice největší?

15 Muž v loďce vzdálené km od pobřeží se chce dostat do místa na pobřeží, které je vzdálené km. Zjistěte, kde se musí vlodit, ab dosáhl cíle v co nejkratší době, kdž vesluje rchlostí 3, km/h a běží rchlostí 9,km/h.

16 Určete rozměr vodního náhonu, jehož průtočný proil je obdélník o daném obsahu tak, ab jeho smáčený obvod bl co nejmenší.

17 Na válcovou konzervu se smí spotřebovat bílého plechu. Jaké má mít konzerva rozměr, ab měla přitom největší objem?

18