Funkce. Obsah. Stránka 799
|
|
|
- Vendula Matějková
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1
2 Obsah 4. Funkce Základní vlastnosti funkcí Grafy funkcí Eponenciální a logaritmické funkce Eponenciální a logaritmické rovnice Eponenciální a logaritmické nerovnice Stránka 799
3 4. Funkce 4.. Základní vlastnosti funkcí. Zapište funkci na množině R, která každému R přiřazuje jeho polovinu. f : y. Zapište funkci, která vyjadřuje závislost uražené dráhy na čase při rovnoměrném pohybu tělesa. Těleso urazí za 0 sekund 50 metrů. s v t 50 m s 5 m s v, 0 s 5 t, t 0, ). Určitou práci má vykonat 5 dělníků. Pracují-li, vykonají práci za 7 dní. Zapište funkci, která vyjadřuje závislost počtu y dní, za něž práci vykonají, na počtu pracujících dělníků. dělník vykoná práci za dní. Pracují-li dělníci, platí:,,,,4,5 dělník vykoná práci za dní, pak y 7. Jeden 4. Za pronájem sálu na maturitní ples si pronajímatel účtuje Kč za jednu hodinu. Určete funkční předpis, který vyjadřuje závislost ceny vstupného na počtu účastníků plesu v případě, že ples trvá 8 hodin. Pronájem za 8 hodin je Kč, pak y, N 5. Zjistěte, zda předpis y, pomocí něhož je každému Rpřiřazeno y Rje funkcí na množině R. Ano, jedná se o funkci. 6. Zjistěte, zda předpis y 4, je funkcí. Ne, nejedná se o funkci. Jedné hodnotě, např. 0 jsou přiřazeny hodnoty y, y. 7. Zjistěte, zda předpis y, je funkcí. Ano, jedná se o funkci. Stránka 800
4 8. V tabulce jsou číslu přiřazeny hodnoty y. Určete, zda se jedná o funkci y Nejedná se o funkci. Číslu jsou přiřazeny hodnoty dvě 6 a. 9. V tabulce jsou číslu přiřazeny hodnoty y. Určete, zda se jedná o funkci y Jedná se o funkci. Číslu 0 je přiřazena jedna hodnota. 0. Určete definiční obor funkce, která je dána tabulkou: y D( f) 0, 5,, 0,,. Určete definiční obor funkce: a) f : y 5 b) f : y c) 5 f : y 7 d) f : y e) f : y 4 f) f : y g) f : y 0 h) f : y i) f : y 5 j) f : y 0 k) f : y l) m) n) o) f : y f : y 4 f : y 6 f y : a) D( f ) R b) 0 D f R c) D f R 7 d) 0, což platí R D( f ) R e) 4 0 ( ) 0 D f R f) 0 D f R g) D( f ) R h) 0 D f, ) i) D f (, 5 j) D f,5 k) 0 D f R 0 l) 0 D f (0, ) Stránka 80
5 4 0,4 m) D f Funkce Řešíme tabulkovou metodou pomocí nulových bodů:,,4 4, n) D f, Řešíme tabulkovou metodou nebo pomocí grafu kvadratické funkce.,,, Řešíme tabulkovou metodou nebo pomocí grafu kvadratické funkce. o) 0 0 D f,,,,, Stránka 80
6 . Funkce f je dána grafem. Určete její definiční obor a obor hodnot. D f R H f, Stránka 80
7 . Určete, zda se jedná o funkci: Není splněna podmínka, že jednomu je přiřazena právě jedna hodnota y. Nejedná se o funkci. 4. Určete, zda se jedná o funkci: Ano, jedná se o funkci. Jednomu je přiřazena právě jedna hodnota y. 5. Funkce je zadána grafem. Určete: a) Definiční obor, b) Obor hodnot, c) Funkční hodnotu v bodě 0 Stránka 804
8 D f, a) b) H f 0,4 c) f Určete, zda se jedná o funkci: Není splněna podmínka, že jednomu je přiřazena právě jedna hodnota y. Nejedná se o funkci. 7. Určete, zda následující funkce je sudá nebo lichá: a) f : y ;, d) f : y b) f : y ;, c) f : y ;, e) f : y f) g) f : y a) D( f ) : D( f ) ( ) D( f ) f ( ) ( ) ( ) f f f ( ) ( ) Funkce je sudá. b) D( f ) : D( f ) ( ) D( f ) f ( ) ( ) ( ) f f f ( ) ( ) Funkce je lichá. c) D( f ) D( f ). Funkce není ani sudá, ani lichá. d) D( f ) R f( ) ( ) f( ) ( ) Funkce je sudá. f ( ) f ( ) Stránka 805
9 e) D( f ) R, f( ) f ( ) f ( ) f( ) ( ) Funkce je lichá. D( f ) R. Funkce není ani sudá, ani lichá. f) 8. Funkce je určena grafem. Určete, zda je sudá nebo lichá. a) b) c) a) Funkce je sudá. Graf je souměrný podle osy y. b) Funkce je lichá. Graf je souměrný podle počátku. c) Funkce není ani sudá, ani lichá. Stránka 806
10 9. Určete, zda je funkce na definičním oboru rostoucí nebo klesající. a) b) c) a) Funkce je na definičním oboru D f, D f : f f. b) Funkce je na definičním oboru D f, D f : f f. c) Funkce na definičním oboru není ani rostoucí ani klesající. R rostoucí. Je splněna podmínka R klesající. Je splněna podmínka Stránka 807
11 0. Funkce je dána grafem. Určete: a) zda rostoucí nebo klesající na definičním oboru, b) intervaly, ve kterých je rostoucí, c) intervaly, ve kterých je klesající, d) zda je sudá nebo lichá. A) B) A) a) Funkce není na definičním oboru ani rostoucí, ani klesající,,0, B) b) funkce je rostoucí na intervalu c) funkce je klesající na intervalu 0,, d) funkce je sudá. a) Funkce není na definičním oboru ani rostoucí, ani klesající, b) funkce není rostoucí na žádném z intervalů,,0 0,, c) funkce je klesající na intervalu a na intervalu d) funkce je lichá.. Určete, zda funkce určená grafem je omezená shora, zdola, omezená. a) b) Stránka 808
12 c) a) Funkce je omezená zdola i shora, je omezená. H f, b) Funkce je omezená shora. H f, c) Funkce je omezená zdola. H f,. Určete, zda funkce zadaná grafem, má na definičním oboru etrémy. a) b) c) Stránka 809
13 a) Funkce má etrém (maimum) pouze v bodě 0. V bodě není definována. b) Funkce má etrém v bodě 0 maimum. c) Funkce má etrém v bodě 0 minimum a je omezená zdola. Stránka 80
14 4.. Grafy funkcí. Načrtněte graf funkce y 4. y V 0 4,, 4 y V 0 4,, 4. Načrtněte graf funkce y. Stránka 8
15 . Načrtněte graf funkce y. 4. Načrtněte graf funkce y. Stránka 8
16 5. Načrtněte graf funkce y. 6. Načrtněte graf funkce y. : P, k. a. kvadrant Stránka 8
17 4 7. Načrtněte graf funkce y. 4 : 4 P, 4 k. a. kvadrant 8. Načrtněte graf funkce y. : P, k. a 4. kvadrant Stránka 84
18 9. Načrtněte graf funkce y. Načrtneme graf y=, část grafu pod osou zobrazíme v osové souměrnosti nad osu. : P, 0. Načrtněte graf funkce y. y y y y Stránka 85
19 . Načrtněte graf funkce y. y y, D f R,. a. kvadrant. Načrtněte graf funkce: a) 4 b) y y 4 a) b) Stránka 86
20 . Načrtněte graf funkce: 5 a) y b) y( ) 5 a) b) 4. Je dána funkce y. Určete definiční obor funkce, obor hodnot, graf funkce a najděte k této funkci funkci inverzní. Grafy zakreslete v téže soustavě souřadnic. D f R; H f R funkce je prostá eistuje funkce inverní f f : y f : y f : y f : y Stránka 87
21 5. Je dána funkce y, 0,. Zdůvodněte, že k této funkci eistuje funkce inverzní. Funkci najděte a určete graf. Grafy zakreslete v téže soustavě souřadnic. y, 0,, H( f ), Funkce je prostá eistuje funkce inverzní f : y f : y f : y f : y, D( f ), 6. Jsou dány funkce f : y 5, g : y 5. Určete, zda funkce jsou vzájemně inverzní. Načrtněte grafy. f : y 5, g : y 5 f : y 5 f :y 5 f : y 5 f g Funkce nejsou inverzní. Grafy nejsou osově souměrné s osou y =. Stránka 88
22 7. Jsou dány funkce f : y, 0, a g : y, 0,. Určete, zda funkce jsou vzájemně inverzní. Načrtněte grafy. f : y, 0,, H f 5, g : y, 0, H f D f funkce nejsou inverzní f : y, 0,, H f, 5 g : y, 0, H f D f funkce nejsou inverzní 8. Jsou dány funkce f : y,, a g : y,, 6 jsou vzájemně inverzní. Načrtněte grafy.. Určete, zda funkce Stránka 89
23 9. Načrtněte v téže soustavě souřadnic funkce y, y, y. 0. Načrtněte v téže soustavě souřadnic funkce y, y, y.. Načrtněte v téže soustavě souřadnic funkce y, y, y. Stránka 80
24 . Funkce jsou zadány grafem. Určete, zda jsou inverzní. Ano, graf je souměrný podle osy y =.. Funkce jsou zadány grafem. Určete, zda jsou inverzní. Ne, graf je souměrný podle osy y =. 4. Funkce jsou zadány grafem. Určete, zda jsou inverzní. Ano, graf je souměrný podle osy y =. Stránka 8
25 5. Funkce jsou zadány grafem. Určete, ke kterým eistuje funkce inverzní. a) b) c) d) a) a c) jsou prosté, funkce inverzní eistuje; b) a d) nejsou prosté, inverzní funkci neeistuje Stránka 8
26 4.. Eponenciální a logaritmické funkce. Načrtněte graf funkce y. Určete D f, H f, f, f 0, f. R f 0, D f H f f f 0 4. Načrtněte graf funkce y. Určete její D f, H f, f, f 0, f R f 0, 0 D f H f f f 4.. Načrtněte graf funkce y e. Určete její D f, H f, f, f 0, f. R f 0, D f H f f f e 0 e Stránka 8
27 4. Určete, zda 7 4 0,7 je větší, menší nebo rovno. Hodnota je menší než. 5. Určete zda 5 je větší, menší nebo rovno. Hodnota je menší než. 6. Určete zda je větší, menší nebo rovno. Hodnota je větší než. Stránka 84
28 7. Určete zda 0,75 0,75 je větší, menší nebo rovno. Hodnota je menší než. 8. Určete zda,,8 je větší, menší nebo rovno. Hodnota je větší než. 9. Rozhodně, zda jsou výroky pravdivé. Využijte graf. a),7, b),7,6 0 0 a) Výrok je pravdivý. Stránka 85
29 b) Výrok je nepravdivý. 0. Rozhodněte, zda a 0, nebo a,, jestliže platí a 7 7 a a a 7 funkce je rostoucí a,. Rozhodněte, zda a 0, nebo a,, jestliže platí a 7 7 a a a 7 funkce je klesající a 0,. Načrtněte do téže soustavy souřadnic grafy funkcí y, y y., Stránka 86
30 . Načrtněte do téže soustavy souřadnic grafy y 0, y 0, y Načrtněte grafy funkcí y a y log. Jaká je souvislost obou funkcí? Jde o funkce inverzní. 5. Načrtněte grafy funkcí y e a y ln. Jaká je souvislost obou funkcí? Jde o funkce inverzní. Stránka 87
31 6. Načrtněte graf funkce y log. Určete D( f ), H( f ), zda je funkce rostoucí nebo klesající, sudá nebo lichá. 0, D f H f R. Funkce je klesající, není sudá ani lichá. 7. Načrtněte graf funkce y e. Určete D( f ), H( f ), zda je funkce rostoucí nebo klesající, sudá nebo lichá. D f R, H f,. Funkce je rostoucí, není sudá ani lichá. 8. Načrtněte grafy funkcí y log, y log ( ), y log. Stránka 88
32 9. Určete definiční obor funkce y log D f,,. 0. Určete definiční obor funkce y log7. 0 D f,. Určete definiční obor funkce y log0, ,,,, D f,,. Určete definiční obor funkce y log0. log 0 D f, Stránka 89
33 . Určete definiční obor funkce y log0,. 4 4 log 0, 0 ; ; 0 D f 4. Určete všechna, pro která platí: lg o log 8. a) b) 0, l 0, log og 0, c) log5 log d) log 0,5 log 0, a) Funkce y log je rostoucí, tedy 8. b) Funkce log0, je klesající, tedy 0,. c) 5 log 5 log Funkce je rostoucí, tedy,. d) 5. Vypočtěte: a) log5 5 b) log0,5 c) log 8 d) log a) b) c) d) 0,5 0, log 0,5 log 0, Funkce je klesající, tedy 0,. log log0,5 0,5 log log 0 Stránka 80
34 6. Vypočtěte: log 9 a) b) 0,5 log 4 c) log 7 7 d) ln a) b) e log 9 9 log0,5 4 4 c) d) log ln 7. Vypočtěte: a) log7 4 7 b) log5 5 c) ln e 7 e e e Využijeme vzorec: a loga b b log7 4 a) 7 4 log 5 log55log 5 log55 b) ln c) e 8. Určete, aby platilo: a) log b) log 0,00 c) log 6 a) log b) log 0, c) log Stránka 8
35 9. Vypočtěte: log 4 log a) 5 5 b) log 7 0,5 log 4 log log 0, c) 4 0, d) log5 log 79 5 e) log0, 0,006 log80,5 log 0, 5 log 6 f) 0,5 g) log log 6 4 h) log log 8 a) 65 log5 4 log5 log56 log58 log5 5 log5 log50 8 b) 0,5 log 7 0,5log 7 0,5,5 log 4 log log 0, c) 4 0, log5 log log 0,006 log 0,5 4 d) e) 0, 8 log 0, 5 log 6 f) 0,5 log log 6 log 4 g) 4 h) log log Stránka 8
36 4.4. Eponenciální a logaritmické rovnice. Řešte rovnice s neznámou R: a) 64 b) 0 0,0 c) 4 56 d) 4 e) f) g) ,5 h) 7 i) a) 64 b) c) d) 6 K , K K K Stránka 8
37 e) K 4 f) (7 ) K g) 5 h) Podmínky: 5 K 4 7 0,5 ( ) K Zkouška: 9 9 L= P 0,5 0,5 L = P Stránka 84
38 i) Podmínky: 0 K,. Řešte rovnice s neznámou R: a) 08 b) c) d) e) f) a) b) K K g) h) i) 0 70,5 6,5 0, 0,8 0, 0,7 5 4, Stránka 85
39 c) d) e) f) K K K K Stránka 86
40 g) h) 0 7 0, K,5 0, 0,8 0, 0,7 5000,0, 80050, 7 i) ,5, , , K 5 0, 0,04 0, 0, K. Řešte rovnice s neznámou R: a) b) c) d) e) 9 f) g) 80 9 Stránka 87
41 a) b) c) d) K , K , nemá řešení K nemá řešení K Funkce Stránka 88
42 e) f) g) nemá řešení K nemá řešení K nemá řešení K 4. Řešte rovnice s neznámou R: a) b) c) d) 5 7 e) ( ) 0 f) 00 g),8 5 7 h) 7 5 i) j) k) l) m) Stránka 89
43 a) b) c) y 056y sub.: y 684 y 056 y y 5 5 9, y 6 6 4, K,,, nevyhovuje Podm.: N \ K sub.: y 6 5y 7 y 6 0 y y 4 0, 6 nevyhovuje 6 4 Podm.: N \ K Stránka 840
44 d) e) log5 log log5 ( )log 7 4log5 log5 log 7 log 7 (4log5 log 7) log 7 log5 log 7 log5 4log5 log 7 4,5 log 7 log5 K 4log5 log 7 ( ) y f) 00 log log sub.: y y 0 0 log00 log K log g),8 log log,8 Funkce y 0 0 log log0, log K, log y log,8 log 0,85 K log,8 log Stránka 84
45 h) i) log log5 5log 7 7log5 5log 7 7log K 65 7 log0 log log log 5 log 5 log log log 5 log 5 5 0,7 6 7 log 5 K log 5 5 j) log log log96 log96 log 4log,96 Funkce log96 log K 4log k) ( 9) 5 ( 5 5) 5 log log 5 log log log log5 log log K log log5 Stránka 84
46 l) 4 m) (4 ) ( ) log log 7 log0 log 7 log 4 log log0 log 7 K log 4 log K 5. Řešte rovnice s neznámou R: a) b) c) 8 a) ( 45) K Stránka 84
47 b) c) y sub.: y 8 y 8y y y nemá v N řešení K 4 4 y 8 8 sub.: y y 8 y 8y6 0 y K 4 6. Řešte rovnice s neznámou R: log 46 log a) b) log log 5 log log c) log log log log d) log5 log 6 7 log 5 e) log 9 log log 4 log 50 f) log log Stránka 844
48 log 4 6 log a) 4 6 log b) log log 5 log log log log Podm.: Zk.: L log(4 6) log( ) 0 P L P K K 7 c) log log log log log log Podm.: K log 5 log 6 7 log 5 d) log00 log 5 log Zk.: log500 log L log log(00 ) log 50 P log(6 7) log 5 log0 log 5 log 50 L P K Stránka 845
49 e) Funkce log 9 log log 4 log log log Zk.: 8 L log8 log6 log log log 6 00 P log 50 L P K 6 f) log log log log Zk.: K= L log0 log0 log log00 0 P L P log 0 není definován nemá řešení 7. Řešte rovnice s neznámou R: a) log b) log log c) d) e) log 7 log 7 log log 4 4log 4log6 5 log log f) log 4 log 4 log log 4 g) log log log Stránka 846
50 a) ( ) log ( ) b) Zk.: Funkce 9 5 L log log log0 9 5 P L P 9 K log log log log 00 log log 4 5 Podm.: 0 K 5 c) log 7 log 7 log 7 log 7 Zk.: log 9 7 log6 L log 46 log 7 log 4 P L P Stránka 847
51 d) e) f) log log 4 4log 4log 6 log 9 4 log log 64 9 log log6 8log log96 4 log 5 log log 5 log log 966 log log Podm.: 0 K Kořen nevyhovuje podmínce K log 4 log 4 log log 4 Zk.: 5 4 log log L log 5 4 log 5 4 log P log L P K Stránka 848
52 g) log log log 00 log ( )( ) log Podmínce vyhovuje pouze kořen 50 K Řešte rovnice s neznámou R: log a) log 4 5 b) log 0 log c) log log 4 7 log 0 d) log log e) log log log log8 f) g) log log log 4 h) i) 4 5 log log log log 0log log 4log 8 log 5 log log j) log log 9 k) a) log 54 log log log nevyhovuje 8 5 Podm.: 4 9 K Stránka 849
53 b) log 0 log Podm.: K c) log log 4 7 log ( )(4 7) d) 0 log log 0 log log sub.: y log 0 y y y y0 0 y 5 y log Podm.: 4 K Podm.: 0 5,0 K 00 5 Stránka 850
54 e) log log log log 8 log log 8 f) g) 4 5 log log log 4 log 4 log 5log 4 log 4 log 00 Podm.: 0 K log log log 4 log log log 4 log 4 log Podm.: 00 8 Podm.: 0 K 0 8 K ;5 h) log 4 0log log 5 4log 4 8 log 5log 5log log log 6log log log 0 Podm.: 0 K 0 Stránka 85
55 i) j) log 5 log log 5 log log 5 ( 5)( ) Podm.: 5 K 6 log log 9 ()( 9) k) log 54 log Podm.: 9 K 7 L P K 9. Řešte rovnice s neznámou R: a) log 0,5 log b) log log 5 c) d) 7 log7 7 log 7 log 5 log 5 5 log 5 Zk : Funkce log 54 log 7 L log 7 log log P Stránka 85
56 a) log 0,5 log 8 4log log 5log 5 log 0 Podm.: 0 K b) log log 5 c) log log log7 7 log 7 6 Podm.: 5 K K 7 d) log 5 log log 7log Podm.: log 5 log 5 log Nemá řešení K 5 Stránka 85
57 4.5. Eponenciální a logaritmické nerovnice. Řešte nerovnice s neznámou R: a) 8 4 b) 6 4 c) d) e) f) g) , h) i) 0 5 j) k) l) a) 8 b) funkce y je rostoucí ; funkce y 4 je rostoucí 8 * ;0 0;6 6; ; Stránka 854
58 c) d) , ; 4; Funkce funkce y 00 je rostoucí funkce je rostoucí e) 7 7 f) 7 7 ; funkce y je klesající ; funkce y je rostoucí g) ; 4; ; 4 Stránka 855
59 h) y sub.: y 4 y 4 0 y y 4 ; 4; 4 nemá řešení 4 4 ; y i) Funkce 0 5 platí pro všechna R ; j) ; 0 Stránka 856
60 k) l) pro všechna R 0 ; ; ; ;7 ; ; ; ; 7; ;7 K ;7. Řešte nerovnice s neznámou R: log a) b) log 8 log 0,5 0,5 c) d) log 4 log log8 4 log 0 e) log log f) log 4 log g) log log log 9 h) 9 i) j) k) l log log log l) m) log a) log log 9 funkce y log je rostoucí 9 ; Stránka 857
61 b) log 8 log 0,5 0,5 0 ; c) d) Funkce funkce y log0,5 je klesající log 4 log log 8 ;0 6; 4; funkce y log je rostoucí ;0 6; Podm.: ; 6; 4 log 0 4 log log ; ; ; I. ; ; ;7 ; ; I ;7 ; ;7 7; Stránka 858
62 II. ; Funkce ; ; ; II ; ; ; ; ; ;7 e) log 6 log 6 log ; 7 7; Podm.: ; 6 6; log ; Závěr podmínek : ; 7 7; Závěr : ; 7 7; Stránka 859
63 f) g) h) I 0; 4; log 4 I. 0; II. ; log 4 log 4 log 4 log log 4 log ; 4; II I.0 log II. log log log ; log log log 9 9 log log log9 log log 9 9 log9 log9 9 log9 log9 log 9 log9 log log log 9 ; Stránka 860
64 i) j) k) l) log log sub.: y log y y 0 y y y y y y y y 8 5 y y y y 0 0 y y 0 vždy log 0 y y y log Podm.: 0 log 0 log ; 0 log ; funkce y je klesající 0 ; ; 5 5 log log log 7 9 ; ; podm.: 0 R \ Stránka 86
65 m) ; Stránka 86
Exponenciální a logaritmická funkce
Variace 1 Exponenciální a logaritmická funkce Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Exponenciální
Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická
Variace 1 Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu
Logaritmus. Logaritmus kladného čísla o základu kladném a různém od 1 je exponent, kterým. umocníme základ a, abychom dostali číslo.
Logaritmus Logaritmus kladného čísla o základu kladném a různém od 1 je exponent, kterým umocníme základ a, abychom dostali číslo. Platí tedy: logax = y a y = x ( Dekadický logaritmus základ 10 označení
Funkce - pro třídu 1EB
Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému
FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE
Funkce. Vlastnosti funkcí
FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční
Exponenciální funkce. Exponenciální funkcí o základu a se nazývá funkce, která je daná rovnicí. Číslo a je kladné číslo, různé od jedničky a xεr.
Exponenciální funkce Exponenciální funkcí o základu a se nazývá funkce, která je daná rovnicí y = a x Číslo a je kladné číslo, různé od jedničky a xεr. Definičním oborem exponenciální funkce je tedy množina
Funkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
Kvadratickou funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí. Definičním oborem kvadratické funkce je množina reálných čísel.
Kvadratická funkce Kvadratickou funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax 2 + bx + c Číslo a je různé od nuly, b,c jsou libovolná reálná čísla. Definičním oborem kvadratické funkce je
a základ exponenciální funkce
Předmět: Ročník: Vtvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. červenec 0 Název zpracovaného celku: EXPONENCIÁLNÍ A LOGARIMICKÁ FUNKCE EXPONENCIÁLNÍ FUNKCE Eponenciální unkce o základu a je každá
Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla.
Lineární funkce Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla. Číslo b je hodnota funkce f v bodě 0. Definičním oborem lineární funkce je množina
Základní poznatky o funkcích
Základní poznatk o funkcích Tajemství černé skříňk (Definice funkce, základní pojm) 0 c, d, g, h 0 a) ANO b) NE 0 D( f )={ 6} H( f )={ 7} 0 a) D( f )={ 0 } b) H( f )={ 8 9 0 } c) f ( 0)= f ( )=9 f ( )=
Funkce. b) D =N a H je množina všech kladných celých čísel,
Funkce ) Napište funkční předpisy a najděte definiční obory funkcí f pro které platí: f ( ) je povrch krychle o straně b) f ( ) je objem kvádru s čtvercovou podstavou o straně a povrchem rovným c) f (
Exponenciální funkce teorie
Eponenciální funkce teorie Eponenciální funkce je dána rovnicí f : = a, a ( 0,) (, ) Poznámka: pokud bchom připustili a =, vznikla b funkce konstantní pokud bchom připustili a < 0, nebla b funkce definována
7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy
, základní pojmy POJEM FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Reálná funkce f jedné reálné proměnné je funkce (zobrazení) f: X Y, kde X, Y R. Jde o zvláštní případ obecného pojmu funkce definovaného v přednášce. Poznámka:
Číselné množiny. Přirozená čísla (N) Množina všech přirozených čísel N={1,2,3 } Celá čísla (Z) Množina všech celých čísel Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, }
ÚVOD DO MATEMATIKY Číselné množin Přirozená čísla (N) Množina všech přirozených čísel N={1,2,3 } Celá čísla (Z) Množina všech celých čísel Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Racionální čísla (Q) Čísla která lze vjádřit
Funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou
Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí
( ) Opakování vlastností funkcí. Předpoklady:
.. Opakování vlastností funkcí Předpoklad: Pedagogická poznámka: Tato hodina je zamýšlená jako první, druhá ve třetím ročníku. Podle toho, které úkol necháte student řešit, může trvat jednu až dvě vučovací
Exponenciální funkce. a>1, pro a>0 a<1 existuje jiný graf, který bude uveden za chvíli. Z tohoto
Exponenciální funkce Exponenciální funkce je taková funkce, která má neznámou na místě exponentu. Symbolický zápis by tedy vypadal takto: f:y = a x, kde a > 0 a zároveň a 1 (pokud by se a mohlo rovnat
4. Určete definiční obor elementární funkce g, jestliže g je definována předpisem
4 Určete definiční obor elementární funkce g jestliže g je definována předpisem a) g ( x) = x 16 + ln ( x) x 16 ( x + 4 )( x 4) Řešíme-li kvadratickou nerovnice pomocí grafu kvadratické funkce tj paraboly
KFC/SEM, KFC/SEMA Elementární funkce
Elementární funkce Požadované dovednosti: lineární funkce kvadratická funkce mocniná funkce funkce s asolutní hodnotou lineárně lomená funkce exponenciální a logaritmická funkce transformace grafu Lineární
Ukázka závěrečného testu
Okruhy otázek pro závěrečný test ) Vlastnosti funkce ) Graf funkce ) Definiční obor funkce ) imita funkce ) Derivace funkce 6) Užití derivace 7) Matice 8) Řešení soustavy lineárních rovnic 9) Určitý integrál
y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R +
Funkce. Vlastnosti funkcí Funkce f proměnné R je zobrazení na množině reálných čísel (reálnému číslu je přiřazeno právě jedno reálné číslo). Z grafu poznáme, zda se jedná o funkci tak, že nenajdeme žádnou
Přehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí.
Přehled funkcí Martina Hetmerová Gymnázium Přípotoční 1337 Praha 10 Vlastnosti funkcí Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo Zapisujeme: f:y=f(x)
1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.
1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle
Funkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické
Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.)
Vybrané příklady ze skript J. Neustupa, S. Kračmar: Sbírka příkladů z Matematiky I I. LINEÁRNÍ ALGEBRA I.. Vektory, vektorové prostory Jsou zadány vektory u, v, w a reálná čísla α, β, γ. Vypočítejte vektor
h = 0, obr. 7. Definice Funkce f je ohraničená shora, jestliže x Df Funkce f je ohraničená zdola, jestliže x Df d R
.4. Cíle V této kapitole jsou deinován nejdůležitější pojm týkající se vlastností unkcí. Při dalším studiu budou tto vlastnosti často používán. Je proto nutné si jejich deinice dobře zapamatovat. Deinice.4..
Matematická funkce. Kartézský součin. Zobrazení. Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí:
![Matematická funkce. Kartézský součin. Zobrazení. Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí:](/thumbs/54/33639497.jpg "Matematická funkce. Kartézský součin. Zobrazení. Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí:")
Matematická funkce Kartézský součin Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí: [x, y] = [u, v] x = u y = v Pokud K, L jsou libovolné množiny, pak množinu
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ..07/.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol KVADRATICKÁ
3. LINEÁRNÍ FUNKCE, LINEÁRNÍ ROVNICE A LINEÁRNÍ NEROVNICE
. LINEÁRNÍ FUNKCE, LINEÁRNÍ ROVNICE A LINEÁRNÍ NEROVNICE Dovednosti:. Lineární funkce. -Vědět, že je vyjádřena předpisem f: y = a + b, a znát geometrický význam konstant a,b. -Umět přiřadit proměnné její
CZ.1.07/1.5.00/
Projekt: Příjemce: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova 3, 371 60 České Budějovice
GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE
GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
(Zavedení pojmu funkce, vlastnosti. Repetitorium z matematiky
Funkce Zavedení pojmu unkce, vlastnosti unkcí,lineární, kvadratické a mocninné unkce Repetitorium z matematik Podzim 01 Ivana Medková A Zavedení pojmu unkce V odorných a přírodovědných předmětech se často
Funkce. Logaritmická funkce. Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Digitální učební materiály, Gymnázium Uherské Hradiště
Funkce Logaritmická funkce Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Gymnázium Uherské Hradiště Digitální učební materiály, 01-1 Obsah Logaritmická funkce 1 Logaritmická funkce předpis funkce a ukázky grafů srovnání grafů
Funkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného
FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného
CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19
CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočítejte (7,5 10 3 2 10 2 ) 2. Výsledek zapište ve tvaru a 10 n, kde
Seminární práce z matematiky
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Seminární práce z matematiky Vyšetřování průběhu funkcí Autor: Vyučující: Ondřej Vejpustek RNDr Eva Davidová Ostrava, 0 Taylorův polynom pro
Funkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z ÚVODU DO MATEMATICKÉ ANLÝZY FUNKCE 999/000 CIFRIK Funkce F a) Zadání: Vyšetřete bez užití limit a derivací funkci : y = { x } f Definice:
MATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech
MATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 008 0 doplněné o další úlohy. část DIFERENCIÁLNÍ POČET funkcí jedné proměnné Další část ( integrální počet) bude vydána na konci listopadu 9. 9. 0 Případné
Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,
Úloha určit průběh funkce znamená nakreslit graf funkce na zadaném intervalu, nejčastěji na celé množině reálných čísel R.
@034 3. Průběhy funkcí Úloha určit průběh funkce znamená nakreslit graf funkce na zadaném intervalu, nejčastěji na celé množině reálných čísel R. Abychom nakreslili dobře průběh funkce (její graf) musíme
Mocninná funkce: Příklad 1
Mocninná funkce: Příklad 1 Zadání: Vyšetřete průběh mocninné funkce. Řešení: 1. Jako první si určíme definiční obor: D(f)=R. 2. Nyní si spočítáme zda je daná funkce sudá nebo lichá: Daná funkce je lichá.
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická akulta DRUHÁ SEMINÁRNÍ PRÁCE Z DIFERENCIÁLNÍHO POČTU PRŮBĚH FUNKCE 000/001 Cirik, M-ZT Zadání: Vyšetřete průběh unkce ( ) : y Vypracování: ( ) : y Předně určíme deiniční
Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.
5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených
. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0
Příklad 1 Určete definiční obor funkce: a) = b) = c) = d) = e) = 9 f) = Řešení 1a Máme určit definiční obor funkce =. Výraz je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy
Kód uchazeče ID:... Varianta: 13
Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Přijímací zkouška z matematiky 2013 Kód uchazeče ID:.................. Varianta: 13 1. V únoru byla zaměstnancům zvýšena mzda o 20 % lednové mzdy. Následně
FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
KVADRATICKÁ FUNKCE URČENÍ KVADRATICKÉ FUNKCE Z PŘEDPISU FUNKCE
KVADRATICKÁ FUNKCE URČENÍ KVADRATICKÉ FUNKCE Z PŘEDPISU FUNKCE Slovo kvadrát vzniklo z latinského slova quadratus které znamená: čtyřhranný, čtvercový. Obsah čtverce se vypočítá, jako druhá mocnina délky
Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <
8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární
Kód uchazeče ID:... Varianta: 12
Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Přijímací zkouška z matematiky 2013 Kód uchazeče ID:.................. Varianta: 12 1. V lednu byla zaměstnancům zvýšena mzda o 10 % prosincové mzdy. Následně
Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak
Digitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/4.080 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím
VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava
VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava I Úprav algebraických výrazů zlomk, rozklad kvadratického trojčlenu,
Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.
1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.
Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, 549 31 Hronov
Protokol SADA DUM Číslo sady DUM: VY_4_INOVACE_MA_ Název sady DUM: Funkce a rovnice I. Název a adresa školy: Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 90, 549 3 Hronov Registrační číslo projektu: Číslo
MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel
MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní
3. ledna list a odevzdejte tento zvláštní list (listy) i všechny ostatní listy, které jste při řešení
Jméno a příjmení: Písemná část zkoušky z předmětu AN1E 3. ledna 2019 Skutečná písemná práce bude obsahovat 5 příkladů. Zvolte si pořadí, v jakém budete příklady řešit. Vaše řešení nemusí být kulturně zapsané,
Logaritmus, logaritmická funkce, log. Rovnice a nerovnice. 3 d) je roven číslu: c) -1 d) 0 e) 3 c) je roven číslu: b) -1 c) 0 d) 1 e)
Logaritmus, logaritmická funkce, log. Rovnice a nerovnice ) Výraz log log +log není správná 0 - žádná z předchozích odpovědí ) Číslo log 8 6 je rovno číslu: ) Výraz log log +log - 0 ) Číslo log 6 6 je
[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY
![[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY](/thumbs/24/2750281.jpg "[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY")
Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [
Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Průběh funkce Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Průběhem funkce rozumíme určení vlastností funkce
Kapitola 1: Reálné funkce 1/20
Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Funkce jedné proměnné 2/20 Definice: Necht M R. Jestliže každému x M je přiřazeno jistým předpisem f právě jedno y R, říkáme, že y je funkcí x. x... nezávisle proměnná (neboli
Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1 Šablona: Téma: Název: Autor: Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Funkce Funkce a její vlastnosti Ing. Vacková Věra
Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.
Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ
1. Písemka skupina A...
. Písemka skupina A.... jméno a příjmení Načrtněte grafy funkcí (v grafu označte všechny průsečíky funkce s osami a asymptoty). y y sin 4 y y arccos ) Určete, jestli je funkce y ln prostá? ) Je funkce
0.1 Úvod do matematické analýzy
Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost
c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007
20. srpna 2007 1. f = 3 12 2. f = 2 e 3. f = ln Příklad 1. Nakreslete graf funkce f() = 3 12 Příklad 1. f = 3 12 Nejprve je třeba určit definiční obor. Výraz je vždy definován. Příklad 1. f = 3 12 f =
Funkce pro učební obory
Variace 1 Funkce pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
Očekávaný výstup Pracovní list se skládá ze dvou částí teoretické, kde si žák připomene vlastnosti funkcí a praktické, kde tyto funkce určuje.
Číslo projektu Škola Autor Číslo materiálu Název Téma hodiny Předmět Ročník/y/ Anotace CZ.1.07/1.5.00/34.0394 Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Hustopeče, Masarykovo nám. 1 Mgr. Renata
Příklady k přednášce 3
Příklad k přednášce 3 1. Určete, zda závislost a daná uvedeným vztahem je funkce = f(). V případě záporné odpovědi stanovte, kterými funkcemi je možné příslušnou závislost popsat. 1. =3 2, (, + ) je funkcí,
Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.
@083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x
3.3. EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÁ ROVNICE A NEROVNICE
3.3. EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÁ ROVNICE A NEROVNICE V této kapitole se dozvíte: jak je definována eponenciální a logaritmická rovnice a nerovnice a jaká je základní strategie jejich řešení. Klíčová slova
NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 4. února 2009
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 4 Celkem bodů Bodů 4 4
Logaritmická funkce I
.9. Logaritmická funkce I Předpoklady: 90 Porovnáváme hodnoty eponenciální a logaritmické funkce. Jak souvisejí dvojice čísel a y u obou funkcí? Eponenciální funkce y = Logaritmická funkce y = log Hodnoty
14. Exponenciální a logaritmické rovnice
@148 14. Exponenciální a logaritmické rovnice Rovnicím, které obsahují exponencielu resp. logaritmus, říkáme exponenciální resp. logaritmické rovnice. Při řešení exponenciálních a logaritmických rovnic
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Užití derivací. x, x a, b : x x f x f x MATA P12. Funkce rostoucí a klesající: Definice rostoucí a klesající funkce
MATA P1 Užití derivací Funkce rostoucí a klesající: Deinice rostoucí a klesající unkce Funkce je rostoucí v intervalu (a,b), právě když platí: ( ) ( ) ( ), a, b : 1 1 1 Funkce je klesající v intervalu
FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF
FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF Zavedení pojmu funkce funkce Funkce f na množině D R je předpis, který každému číslu x z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo y z množiny R. Množina D se nazývá definiční
PRACOVNÍ SEŠIT FUNKCE. 4. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.
Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 4. tematický okruh: FUNKCE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger epertka na online přípravu na SMZ z matematiky
0.1 Funkce a její vlastnosti
0.1 Funkce a její vlastnosti Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost (m) čas (t) výše úrokové sazby v bance (i) cena
Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6
Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly
β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:
GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového
II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.
Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,
Matematika I (KMI/PMATE)
Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce
Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice
Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Příklad: Pro která x R je součin x x 5 kladný? Řešení: Víme, že součin je kladný, mají-li oba činitelé stejné znaménko. Tedy aby platilo x x 5 0, musí
POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY
TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy
Variace. Kvadratická funkce
Variace 1 Kvadratická funkce Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kvadratická funkce Kvadratická
LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce
PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ..07/..00/6.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: Mocninné funkce Autor: Pomykalová Eva
Matematika (KMI/PMATE)
Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Funkce a její vlastnosti Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Funkce a její
Funkce arcsin. Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: 4 - je číslo, které když dám na druhou tak vyjde 4.
.. Funkce arcsin Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: Kvadratická funkce Druhá odmocnina y =, 0; ) y = - je číslo, které když dám na druhou tak vyjde - - - - - - y = y = Eponenciální
1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu
22- a3b2/df.te. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, ita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R 2 vzhledem k a rozhodněte
VZOROVÝ TEST PRO 2. ROČNÍK (2. A, 4. C)
VZOROVÝ TEST PRO. ROČNÍK (. A, 4. C) max. body 1 Vypočtěte danou goniometrickou rovnici a výsledek uveďte ve stupních a radiánech. cos x + sin x = 1 4 V záznamovém archu uveďte celý postup řešení. Řešte
7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/..00/07.0018 7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy V této chvíli jsme již ve výkladu přikročili ke kapitole, kterou můžeme považovat za
Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim
. Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim František Mráz Ústav technické matematiky, Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz I. Mocniny, odmocniny, algeraické výrazy Upravte (zjednodušte), případně určete číselnou