V této chvíli je obtížné exponenciální funkci přesně definovat. Můžeme však říci, že

Transkript

1 .5. Cíle Uvedeme nní několik unkcí, z nichž většinu studenti znají již ze střední škol. Nazveme je základní elementární unkce. Konečným počtem sčítání, odčítání, násobení, dělení, skládání a případně invertování těchto unkcí lze vtvořit tzv. elementární unkce, jejichž studiem se budeme zabývat ve velké části předmětu matematika. Předpokládané znalosti Je třeba zopakovat středoškolské znalosti o unkcích a jejich graech. Zejména se jedná o unkce lineární, kvadratické, eponenciální, logaritmické a goniometrické..5.. Eponenciální unkce ( ) = e, R V této chvíli je obtížné eponenciální unkci přesně deinovat. Můžeme však říci, že základem mocnin je iracionální číslo e, K, které se nazývá Eulerovo číslo. Poznamenejme, že tuto unkci lze vjádřit ve tvaru nekonečné unkční řad: e n= n =.... n! = + +! +! + Gra eponenciální unkce je na obr.. 6

2 =ln =e Obr. Obr..5.. Logaritmickou unkcí ( ) = ln, (, ), nazýváme unkci inverzní k unkci eponenciální e (obr. ). Poznámka Lze deinovat unkci ln a {} ( ) = a = e, D = R, a (, )\, kterou nazveme eponenciální unkcí o základu a. Inverzní unkci k unkci a značíme log a, D = (, ) a nazýváme ji logaritmická unkce o základu a..5.. Konstantní unkce je deinována předpisem ( ) = C, c R. V případě, že C =, hovoříme o nulové unkci. Na obr. 4 je gra unkce ( ) =. 7

3 = = Obr. 4 Obr Mocninná unkce je unkce deinovaná předpisem Bude-li r r ln ( ) = = e, (, ), r R. deinovat předpis r N, resp. r N, resp. r =, kde n N, pak můžeme mocninnou unkci n r r ( ) = =.. K., resp. ( ) = =, resp. ( ) = n = n. 44 r rkrát Deiniční obor těchto unkcí pak můžeme rozšířit na D = R, resp. D = R \{ }, resp. pro n liché D = R, pro n sudé D =<, ). Uvedeme příklad pro některá r R :. r =, ( ) =, D = R, graem je přímka, obr. 5,.. r D =, ( ) =, = R, graem je parabola, obr. 6, r D =, ( ) =, = R, graem je kubická křivka, obr. 7, 4. r =, ( ) =, D =R \ {}, graem je rovnoosá hperbola, obr. 8, 5. r =, ( ) =, D \ {}, =R obr. 9, 6. r =, ( ) =, D =<, ), graem je část parabol, obr., 7. r =, ( ) =, D = R, graem je unkce inverzní k unkci, obr., 8

4 = = Obr. 6 Obr. 7 = = Obr. 8 Obr. 9 = = Obr. Obr. 8. r, ( ), D (, ), = = = obr., 9

5 9. r, ( ), D (, ), = = = obr.. = = Obr. Obr Goniometrické unkce:. ( ) = sin, D = R, unkce se nazývá sinus, obr. 4,. ( ) = cos, D = R, unkce se nazývá kosinus, obr. 5, - =sin - =cos Obr. 4 Obr. 5. ( ) = tg, D = R \ (k+ ) : k Z, unkce se nazývá tangens, obr. 6,

6 4. = D = { k k } ( ) cotg, R\ : Z, unkce se nazývá kotangens, obr. 7. =tg =cotg Obr. 6 Obr Cklometrické unkce:. ( ) = arcsin, D =<, >, je inverzní unkcí k unkci sin, <, >, nazývá se arkussinus, obr. 8,. ( ) = arccos, D =<, >, je inverzní k unkci cos, <, >, nazývá se arkuskosinus, obr. 9, =arcsin - =arccos - Obr. 8 Obr. 9

7 . ( ) = arctg, D = R, je inverzní unkcí k unkci tg, (, ), nazývá se arkustangens, obr., 4. ( ) = arccotg, D = R, je inverzní unkcí k unkci cotg, (, ), nazývá se arkuskotangens, obr.. =arctg =arccotg Obr. Obr. Poznámk. Mezi základní elementární unkce se řadí také unkce hperbolické e e ( hperbolický sinus, ( ) = sinh =, D = R, hpe rbolický kosinus, e + e ( ) = cosh =, D = R, sinh hperbolický tangens, ( ) = tgh =, cosh D = R, cosh hperbolický kotangens, ( ) = cotgh =, D = R \{} ) a unkce sinh hperbolometrické, které jsou inverzní k unkcím hperbolickým. V základních kurzech matematik je však nebudeme užívat.. Deinovali jsme základní elementární unkce. Funkce, které získáme sčítáním, odčítáním, násobením, dělením a skládáním základních elementárních unkcí se nazývají elementární. Součtem, rozdílem, násobením, dělením a skládáním dvou elementárních unkcí dostaneme opět unkci elementární.

8 Kontrolní otázk. Eistuje k unkci = na celém deiničním oboru unkce inverzní? a) ano, b) ne.. Je logaritmická unkce o základu a > rostoucí na celém svém deiničním oboru? a) ano, b) ne.. Která z eponenciálních unkcí o základu a je na celém svém deiničním oboru klesající? a) < a <, b) a >. 4. Je-li unkce tangens periodická, jakou má její perioda hodnotu? a), b), c) není periodická. 5. Funkce sinus je periodická. Eistuje k ní unkce inverzní? Jestliže ano, na kterém intervalu? a) ano, <, >, b) ano, <, >, c) neeistuje. 6. Který z graů unkcí je totožný s graem unkce = arccos? a) = a rcsin, b) = arcsin +, c) = arctg. Odpovědi na kontrolní otázk. b);. a);. a); 4. a); 5. a); 6. a). Úloh k samostatnému řešení. Určete deiniční obor unkcí: a) = log( + ), b) = ln( 6), c) = ln, d) =, e) = log( ), ) = ln( ln ). ln( ). Nakreslete gra unkcí: a) =, b) =, c) =, d) = log, e) = log ( ), ) = log ( ).

9 . Nalezněte periodu unkcí: a) = sin, b) = sin, c) = sin(+ 5), d) = 5cos, e) = 4cos( ), ) t + = cos Nakreslete gra unkcí: a) =sin, b) = sin, c) = cos, d) = sin, e) = sin, ) = cos, g) = cos, h) = tg, i) = cotg. 5. Určete deiniční obor unkcí: a) = arcsin( ), b) = arcsin, c) d) = arcsin(), e) g) = arcsin(cos ), h) arccos = arccos, i) = arctg +, =, ) arctg ( tg ) =, = arccotg. 6. Určete hodnotu unkce: a) arcsin( ), b) arcsin( ), c) arctg(), d) arccos( ), e) arctg( ), ) arctg(), g) arcsin, h) arccos, i) arccotg( ). 7. Nakreslete gra unkcí ( ), g( ) a porovnejte je: a) ( ) = arcsin, g( ) = arccos, b) ( ) = arccotg, g( ) = arctg. Výsledk úloh k samostatnému řešení. a) + > D = (, ); b) ( )( + ) > D = (, ) (, ) ; c) ( > > ) ( < < ) D = (,) ; d) > D = (,4) (4, ) ; e) pro každé R je ( 5) + < D = ; 5 5 ) > ln > D = (, e).. Gra viz příklad..4; unkce = log je inverzní k unkci = (gra jsou souměrné podle přímk = ).. a) p = ; 4

10 b) p = 4 ; c) p = ; d) p = ; e) p = ; ) p = Gra viz příklad a) D =<, > ; b) D = (,> ; c) + D = R { } ; d) - D =<,> ; e) D =<,4 > ; ) D = R {(k+ ), k Z} ; g) D = R ; h) c) D = (, > <, ) ; i) ; d) ; e) ; ) Přibližně 7 ; g) 4 4 totožné; b) Gra jsou totožné. D, =< >. 6. a) ; b) Nedeinovaná; ; h) Nedeinovaná; i) a) Gra jsou Kontrolní test. Určete deiniční obor unkce = ln(ln). a) (,), b) (, ), c) (, ).. Určete deiniční obor unkce arcsin =. log5 a) <, >, b) (, ), c) (,).. Najděte všechna R, pro něž platí log 4 > log8. a) (,), b) (, ), c) (, ). 4. Určete, zda je unkce a) sudá, b) lichá. + = ln 5. Určete periodu unkce = sin( ). 4 a) p =, b) p =, c) p = Určete hodnotu výrazu pro (,) sudá nebo lichá. V = arcsin( ) + arccos( ). 5

11 a) V =, b) V=, c) V=. 7. Určete inverzní unkci k dané unkci a její deiniční obor: = arccos( ). a) b) cos () = ; D =R, cos( ) () = ; D =R, c) neeistuje. 8. Určete inverzní unkci k dané unkci a její deiniční obor: = log5. 5 a) ( ) = 5, b) ( ) =, c) neeistuje. Výsledk testu. b);. c);. a); 4. b); 5. a); 6. a); 7. a); 8. a). Průvodce studiem Pokud jste správně odpověděli nejméně v 5 případech, pokračujte další kapitolou. V opačném případě je třeba prostudovat kapitolu.5. znovu. 6