a základ exponenciální funkce

Transkript

1 Předmět: Ročník: Vtvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. červenec 0 Název zpracovaného celku: EXPONENCIÁLNÍ A LOGARIMICKÁ FUNKCE EXPONENCIÁLNÍ FUNKCE Eponenciální unkce o základu a je každá unkce daná předpisem: : a ; a 0 a a základ eponenciální unkce R D( ) R R H( ) R (0; ) je-li a b blo např: a 0 a = (/) 4.. konstantní unkce (graem je přímka rovnoběžná s osou a procházející bodem např: a a 0 ; = = = (/) = =

2 Vlastnosti eponenciálních unkcí: 0 a ) D ( ) R ( ; ) ) H ( ) R (0; ) ) Není sudá, ani lichá. 4) Je omezená zdola ( a 0). 5) Je klesající v D. 6) Je prostá. 7) Nemá maimum, ani minimum. 8) Je inverzní k příslušné unkci logaritmické se stejným základem. 9) Je spojitá v R. 0) 0 ; a ) D ( ) R ( ; ) ) H ( ) R (0; ) ) Není sudá, ani lichá. 4) Je omezená zdola ( a 0). 5) Je rostoucí v D. 6) Je prostá. 7) Nemá maimum, ani minimum. 8) Je inverzní k příslušné unkci logaritmické se stejným základem. 9) Je spojitá v R. 0) 0 ; Gra každé eponenciální unkce nad osou, protože a 0 a a 0 a prochází bodem ;. Osa je asmptotou každé eponenciální unkce a. 0, protože a 0 Graem eponenciální unkce je eponenciální křivka (eponenciála).. Gra leží vžd Eponenciální unkce o základu 0 se nazývá dekadická eponenciální unkce. Je-li základem tzv. Eulerovo číslo e =,788 nazývá se unkce unkce. : e přirozená eponenciální Eponenciální unkce se často vsktuje i v prai, např.: zákon radioaktivní přeměn N N e t 0, zákon absorpce záření nerovnic atd. I I 0 e a, řešení eponenciálních rovnic a

3 Pracovní list ) Sestrojte gra unkce a zapište její vlastnosti. ) Sestrojte gra unkce a zapište její vlastnosti. ) Sestrojte gra unkce a zapište její vlastnosti.

4 Pracovní list 4) Sestrojte gra unkce a zapište její vlastnosti. 5) Sestrojte gra unkce a zapište její vlastnosti. 6) Sestrojte gra unkce a zapište její vlastnosti. 7) Sestrojte gra unkce a zapište její vlastnosti. 4

5 Pracovní list 8) Sestrojte gra unkce a zapište její vlastnosti. 9) Rozhodněte, pro která m R je unkce m m rostoucí. 0) Rozhodněte, pro která p R je unkce p p klesající. 5

6 Pracovní list 4 ) Na základě průběhů graů eponenciálních unkcí rozhodněte o pravdivosti následujících tvrzení: a) b) c) d) e) ),6 0,4,5 0,4, ,4 4 4,5,5, ,6 0,9,4,, ,,7 ) Který ze vztahů 0 a) b) 5 a a 6 7 a a 6 a nebo a platí, je-li: 6

7 7 Pracovní list 5 ) Rozhodněte, jaký vztah platí mezi čísl q p, v těchto případech: a) q p 7 7 b) q p

8 LOGARITMICKÁ FUNKCE Logaritmická unkce o základu a je každá unkce daná předpisem: a : log ; a 0 a a základ logaritmické unkce R R D R 0; H( ) R ( ; ) : a ; a 0 a.. eponenciální unkce o základu a a 0; a ; je prostá unkce je prostá unkce a : a log a (čteme: = logaritmus při základu ; a 0 a a ) Logaritmická unkce o základu a ; a 0 a, je unkce inverzní k eponenciální unkci o stejném základě a a zapisuje se log a Graem logaritmické unkce je logaritmická křivka. Funkční hodnot logaritmické unkce se nazývají logaritm. Podle deinice platí: log a pro každé a a ; 0;, R a o dekadické logaritm ( 0) 0. Nejčastěji se jedná a, které značíme log, popř. o přirozené logaritm ln a e. Obecný vztah mezi logaritm o různých základech je log z ; z 0 z log z a log 0 log 6 log 0,6; log 9 6 0, log log 9 se základem log a. Např.: 86 0 Gra logaritmické unkce je souměrně sdružený s graem eponenciální unkce pro totéž a podle přímk o rovnici (osa I. a III. kvadrantu). 8

9 např: 0 a a : : log log např: a a : : log log log - log 9

10 Shrnující tabulk: log a 0 a a Vlastnosti: ) D ( ) R (0; ) ) H( ) R ) Není sudá, ani lichá. 4) Je neomezená v D. 5) Je klesající v D. 6) Je prostá. 7) Nemá maimum, ani minimum. 8) Je inverzní k příslušné unkci eponenciální se stejným základem. 9) Je spojitá v D. 0) ;0 Vlastnosti: ) D ( ) R (0; ) ) H( ) R ) Není sudá, ani lichá. 4) Je neomezená v D. 5) Je rostoucí v D. 6) Je prostá. 7) Nemá maimum, ani minimum. 8) Je inverzní k příslušné unkci eponenciální se stejným základem. 9) Je spojitá v D. 0) ;0 S logaritm se setkáváme při řešení logaritmických a eponenciálních rovnic a nerovnic i v technické ln T prai. (např.: ; ph log H O ; S k ln,... ) P 0

11 Pracovní list 6 ) Načrtněte gra logaritmických unkcí a zapište jejich vlastnosti: a) log 4 b) log 4 c) log d) log e) log ) log ( ) g) ( ) log

12 Pracovní list 7 ) Na základě průběhů graů logaritmických unkcí rozhodněte o pravdivosti následujících tvrzení: a) log 5 0 b) log 5 0,7 0 c) log 6 0 d) log 0, 8 0 e) log 0,5 0 ) log 0, 0 g) log log h) log 5 log 8 i) 5 log 4 log 0,7 0, 7 log 4 log 0. 4 log 8 log 6 6 log 8 log log 7 log 0,5 0, 5 j) 0 k) 0 l) m) 4 n) 8 ) Rozhodněte, která z následujících čísel jsou záporná, kladná, rovna nule. (Vužijte průběhu logaritmické unkce.) a) log 5 0, 5 b) log 0, 5 0, 5 c) 5 log 0, 5 log 5 log 0, 5 log 4 log 7 d) 5 e) 6 ) g) 8

13 Pracovní list 8 4) Určete všechna taková R, pro která platí. (Vužijte průběhu logaritmické unkce.) a) log 0, 0 b) log 0 c) log 0 d) log 0 e) log 5 0 ) log 4 0 g) 0 log 8 log log log 5 log 0.6 log log log 6 log 0.4 log log h) 4 i) 0.6 j) 9 k) 0.4 l)

14 Pracovní list 9 5) Určete deiniční obor unkce; z 0; z. a) : log ( 5) z b) : log ( ) z c) : log d) z : log 4 z e) : log ( 4)( ) ) g) h) i) 5 z 6 : log( ) log ( ) 5 log log( 5) 7 : 8 9 : : j) : log ( 4 6) 0 z k) : log ( 0) 5 z ln( ) l) : 4

15 Pracovní list 0 6) Pro které reálné hodnot parametru p je unkce : log p a) klesající, b) rostoucí. p Použitá literatura: Výukové materiál a úloh a cvičení jsou autorsk vtvořen pro učební materiál. O. Odvárko, J. Řepová: Matematika pro střední odborné škol a studijní obor středních odborných učilišť. část, Prometheus 006 O. Odvárko: Matematika pro gmnázia Funkce, Prometheus 005 I. Dušek: Řešené maturitní úloh z matematik, SPN 988 M. Hudcová, I. Kubičíková: Sbírka úloh z matematik pro SOŠ, SOU a nástavbové studium, Prometheus 004 5