SIMULACE PRŮTOČNÉHO CHEMICKÉHO REAKTORU PRO RŮZNÉ TYPY REAKCÍ. Bc. Marek Dostál

Transkript

1 SIMULACE PRŮTOČNÉHO CHEMICKÉHO REAKTORU PRO RŮZNÉ TYPY REAKCÍ B. Marek Dotál Diplomová práe 2006

2

3

4 ABSTRAKT Obahem této diplomové práe je zkoumání utálenýh tavů a dynamiky proeů hemikýh průtočnýh reaktorů hlazením v plášti pro různé typy reakí v něm reagujííh. Pro zkoumání byla zvolena metoda nepřímého modelování, tzn. určení matematikého modelu a imulae jeho hování ve vytvořeném programovém rozhraní. Pro zkoumání utálenýh tavů byla popána a využita metoda proté iterae a pro zkoumání dynamiky metoda Runge-Kutta čtvrtého řádu. Zkoumání probíhalo pomoí odhylkovýh tvarů modelů, vytvořenýh jejih linearizaí v okolí praovního bodu. Vytvořený program nabízí možnot komplexní imulae tatikýh harakteritik a dynamiky. Dynamiku lze zkoumat jak pro změnu jedné veličiny, tak i pro víe změn půobííh oučaně. Program byl vytvořen v rozhraní programového balíku MATLAB verze 6.5. Klíčová lova: CSTR, metoda proté iterae, Runge Kutta, linearizae, imulae, odhylkový model ABSTRACT The ontent of my thei i olving of the teady tate and dynami of proee inide of the Continuou Stirred Tank Reator with ooling in the jaket for different type of reation. For the olving wa hoen the method of indiret modeling, whih mean working with general mathematial model and with imulation of thi model in the reated program. For the olving of teady tate wa ued and deribed the imple iteration method and for the olving of dynami part the fourth order Runge Kutta method. The reearh wa done through differene model that were reated in the neighbourhood of optimal working point. Created program offer the poibility of omplex imulation of the teady tate and dynami. Dynami an be omputed for only one effeting hange of value a well a for more imultaneouly effeting hange. Program wa written in MATLAB verion 6.5. Keyword: CSTR, Simple Iteration Method, the 4 th order Runge Kutta Method, linearization, imulation, differene model.

5 Děkuji tímto vému školiteli ing. Jiřímu Vojtěškovi za významnou pomo při vzniku této práe, za odborné vedení a za příkladnou trpělivot a ča který mě i mé prái věnoval. Děkuji také vým rodičům, že mi umožnili dojít ve tudiu až k tvorbě této práe, jež je završením mého doavadního vzdělání. Děkuji jim za veškerou nemalou péči a pomo, kterou mi věnovali. Ve Zlíně dne B. Marek Dotál

6 OBSAH ÚVOD...8 I TEORETICKÁ ČÁST CHEMICKÉ REAKTORY TYPY REAKTORŮ Obené rozdělení reaktorů PRŮTOČNÝ CHEMICKÝ REAKTOR S CHLAZENÍM V PLÁŠTI Počáteční předpoklady Tvorba modelů reaktorů SIMULACE MODELŮ Výpočet utálenýh tavů Metoda proté iterae Řešení dynamiky ytémů Metoda Runge Kutta čtvrtého řádu Nelineární ytém Linearizae nelineárního ytému Linearizae za pomoi Taylorova polynomu Určení linearizovaného matematikého modelu PRŮTOČNÝ CHEMICKÝ REAKTOR OBECNÁ EXOTERMICKÁ REAKCE Odvození modelu Odhylkový tvar modelu PRŮTOČNÝ CHEMICKÝ REAKTOR REAKCE TYPU VAN DER VUSSE Odvození modelu Odhylkový tvar modelu PRŮTOČNÝ CHEMICKÝ REAKTOR IZOTERMICKÁ REAKCE Model reaktoru Odhylkový tvar matematikého modelu...32 II PRAKTICKÁ ČÁST KONSTANTY A VSTUPNÍ PARAMETRY PROGRAMU VÝPOČET USTÁLENÝCH STAVŮ A DYNAMIKY SOUSTAVY PRŮTOČNÝ CHEMICKÝ REAKTOR OBECNÁ EXOTERMICKÁ REAKCE Zadané hodnoty Zvolené vtupní veličiny Výpočet optimálního praovního bodu Dynamika outavy PRŮTOČNÝ CHEMICKÝ REAKTOR REAKCE TYPU VAN DER VUSSE Zadané hodnoty Zvolené vtupní veličiny Výpočet optimálního praovního bodu Zkoumání dynamiky outavy PRŮTOČNÝ CHEMICKÝ REAKTOR IZOTERMICKÁ REAKCE Zadané hodnoty...51

7 2.4.2 Statiké harakteritiky Analýza dynamiky outavy ZÁVĚR...61 SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY...63 SEZNAM POUŽITÝCH SYMBOLŮ A ZKRATEK...64 SEZNAM OBRÁZKŮ...66 SEZNAM TABULEK...67 SEZNAM PŘÍLOH...68

8 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 8 ÚVOD Rozvoj tehnologie jde v dnešní době tále kupředu. S ní e rozvíjí pouta víe i méně důležitýh přidruženýh vědníh oborů. Mezi jiné zde patří i obor, jenž ve vé podtatě kombinuje znaloti několika oblatí tehnologie dohromady, a tím je automatizae. Jejím ílem je analyzovat proe, či děj, jenž je předmětem zkoumání, najít potup řešení, vytvořit protředky a aplikovat je na proe, jež je potřeba automatizovat a tím tak doáhnout nížení nákladů např.: na neefektivní řízení, nadbytečný peronál, pomalou výrobu, apod. Abyhom mohli vyřešit jakýkoli problém, je třeba nejprve určit jeho podtatu a ouviloti e outavou, v níž e problém objevil. Je tedy nutné problém analyzovat. Exituje několik různýh způobů, jak můžeme analýzu provét. Mezi nejpoužívanější patří analýza experimentem, nebo analýza imulaí. Experimentální analýza je poměrně přeným protředkem určení vlatnotí zkoumané outavy. Při dotatečném množtví provedenýh měření lze dopět k velmi přenému určení vlatnotí outavy. Výhodou také je, že není potřeba znát hlubší fyzikální podtatu či vnitřní vlatnoti ytému a přitom tím není experiment ovlivněn. Mezi hlavní a nezanedbatelné nevýhody však patří nutnot mít k dipozii elou měřenou outavu a také protředky pro provedení mnoha experimentů (ož mnohdy, např.: u hemikýh reaktorů zpraovávajííh látky, jejihž pořizovaí náklady jou vyoké, není možné). Na druhé traně tojí imulae. Její provedení je ie mnohdy nepoměrně ložitější než protý experiment, ale její výledky mohou být téměř tejně přené jako reálný poku a náklady na provedení těhto imulaí mnohem menší. Je však čato obtížné zíkat matematiký model. To je jednou z nevýhod tohoto potupu. Hlavním přínoem však je, že nepotřebujeme mít fyziky k dipozii zkoumané zařízení. Simulae tedy umožňuje takřka neomezené zkoumání proeů a počet prováděníh pokuů. Moje diplomová práe e bude zabývat zkoumáním vlatnotí hemikého průtočného reaktoru hlazením v plášti pro různé typy hemikýh reakí v něm reagujííh. Vzhledem k faktu, že e jedná a hemiký reaktor, k němuž byh jen velmi těžko zíkával přítup k praxi, budu pro zkoumání používat metodu nepřímého modelování a hování imulovat v programu MATLAB pomoí mnou vytvořenýh programů.

9 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 9 I. TEORETICKÁ ČÁST

10 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 10 1 CHEMICKÉ REAKTORY 1.1 Typy reaktorů Obené rozdělení reaktorů V hemikýh továrnáh e používá několik typů hemikýh reaktorů v záviloti na tom, v jakýh podmínkáh praují a jaké jou na ně kladeny výrobní podmínky. V záviloti na kontruki těhto reaktorů by e zjednodušeně daly rozdělit na několik druhů. Vádkový reaktor je zátupem těh nejjednoduššíh reaktorů. Je to nádoba určitého objemu, nejčatěji z hemiky odolného materiálu, do které e podle požadovaného výledku vpraví reaktanty, jenž vytvoří požadovaný produkt. Po končení reake je pak v reaktoru výledný produkt a případné vedlejší produkty. Obah reaktoru je pak vyjmut a podroben případným dalším úpravám. Reaktor je vyčištěn a připraven na další výrobní yklu, případně však i na úplně odlišnou reaki v něm prováděnou. To je jeho výhodou. Mezi nevýhody patří, jak je zjevné z popiu viz. výše poměrně velká čaová prodleva mezi jednotlivými ykly, která je nutná na přípravu reakční měi a vyčištění a připravení reaktoru do podmínek vhodnýh k dalšímu yklu. Tento reaktor je však obtížně řiditelný a ne vždy je vhodný pro přípravu látek konkrétními konečnými vlatnotmi. Proto e používá vylepšená verze vádkového reaktoru, a to vádkový reaktor řízeným dávkováním jedné ložky. Jak je vidět z názvu, je prinip nanadě. Jedna, či víe látek je umítěno do reaktoru a další hemikálie, jou dávkovány do reaktoru podle aktuální potřeby vevnitř probíhajíí reake. Po dokončení plniího yklu je však opět nutné reaktor vyprázdnit, vyčitit a připravit pro další yklu. Čaová náročnot je tedy u tohoto reaktoru tále problémem. Je zde však velkou výhodou dávkování čáti hemikálií potrubím, čímž je zajištěna např.: požadovaná konentrae, množtví vtupujííh látek, apod. Poledním, ale hojně používaným reaktorem, je průtočný hemiký reaktor (z angl. CSTR Continuou Stirred Tank Reaktor). Jak je vidět v názvu, jde o kontinuálně praujíí reaktor, kde jou všehny ložky dávkovány podle potřeby. Jednoznačnou výhodou je neutálá práe reaktoru, kdy není potřeba po ykleh reaktor vyprazdňovat. To je obtaráno odtokem z reaktoru, kde konentrae měi doahuje požadovanýh hodnot.

11 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 11 Jednou z mála nevýhod je ale poměrně ložitý proe přehodu reaktoru na tvorbu jiného výledného produktu. Tyto reaktory e úpěšně taky zapojují do érie, kde výtupní látky z jednoho reaktoru jou vtupními do druhého. Obr. 1: Shéma různýh typů hemikýh reaktorů 1.2 Průtočný hemiký reaktor hlazením v plášti V dnešní době jou hemiké reaktory (viz.[2]) oučátí mnoha tehnologií v průmylu. Je obeným faktem, že řízení těhto reaktorů je, vzhledem k nelinearitám reakí v nih probíhajííh a faktu, že většina z nih je ilně exotermníh, poměrně náročné.

12 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 12 Při imulaíh toho reaktoru nelze do modelu zahrnout všehny vlivy, jenž ovlivňují hování uvnitř reaktoru, tak, aby byl model ještě přijatelně ložitý, proto jem při výpočteh a imulaíh praoval matematikým modelem, do jehož tvorby byly zahrnuty náledujíí zjednodušujíí předpoklady (viz.[2]) Počáteční předpoklady - Při řešení uvažuji průtočný hemiký reaktor hlazením v plášti dle obrázku (obrázek reaktoru) - Smě reagujííh látek v reaktoru i hladií kapalina v plášti jou dokonale promíhávány - Zanedbávám tepelnou kapaitu těny oddělujíí vnitřní protor reaktoru a protor hladiím médiem - Za kontantní veličiny považuji: objem reakční měi v reaktoru, měrná tepla a hutoty reakční měi a hladií kapaliny a koefiient přehodu tepla v reaktoru - Všehny imulované reake uvažuji obenou exotermikou reakí, kde reaguje i 0 ložek v j 0 reakíh (přičemž jednotlivá ložka nemuí, ale může reagovat ve všeh reakíh oučaně) Vtupní veličiny: - Konentrae ložek ve vtupním proudu iv (t), i = 1,, i 0 - Vtupní teplota reakční měi T v (t) - Vtupní teplota hladiva T v (t) - Oba průtoky q(t) a q (t) Stavové veličiny: - Konentrae ložek v reaktoru i (t), i = 1,, i 0 - Teplota reakční měi v reaktoru T(t) - Teplota hladiva v plášti T (t)

13 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 13 Shéma: q, iv,t v q,t v V, i,t F α q,t V,T q, i,t Obr. 2: Obené héma hemikého průtočného reaktoru hlazením v plášti kde jednotlivé veličiny jou: q průtok [m ] konentrae [kmol.m -3 ] T teplota [K] F ploha přetupu [m 2 ] α koefiient přetupu tepla [kj.m -2.K ] INDEXY: ( ) V vtupní veličina ( ) reakční mě ( ) hladíí mě Tvorba modelů reaktorů Při tvorbě modelů e vyhází z (teplotníh a hmotovýh) bilančníh rovni jednotlivýh ložek. Obeně pak tyto rovnie vypadají náledovně:

14 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 14 Bilanční rovnie pro jednotlivé reagujíí ložky: Množtví ložky vtupujíí do reaktoru Množtví ložky vytupujíí z reaktoru Množtví ložky zreagované v reaktoru = Množtví ložky akumulované v objemu V Tepelná bilane reakční měi: Teplo vtupujíí v proudu reakční měi Teplo vznikajíí v průběhu reakí + = Teplo odházejíí v proudu reakční měi + Teplo přetupujíí do hladiva + + Teplo akumulované v objemu V Bilane pro hladií médium: Teplo vtupujíí do pláště v proudu Teplo přetupujíí do pláště z reakční měi Teplo odházejíí z pláště v proudu hladií měi + = + + Teplo akumulované v objemu V

15 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky Simulae modelů Výpočet utálenýh tavů Utálený tav znamená, že v uvažujeme a počítáme v čae t, kdy už nedohází k čaovým změnám jednotlivýh veličin, nebo jou tyto změny minimální. To znamená, že při výpočteh v rovniíh, kde e vykytují derivae podle čau položíme tyto derivae rovny nule. (.) = 0 t (1) Jak takový tav bude vypadat nelze nikdy vypočítat bezhybně. Proto e používají metody, jež jou ykliké a jejih pomoí e můžeme požadovanému řešení přiblížit požadovanou přenotí. Exituje víe iteračníh metod, mezi kterými jem mohl volit, ať už pro řešení jedné rovnie o jedné neznámé, kde e nabízí například Metoda proté iterae, či Newtonova metoda, nebo také metody pro řešení outav lineárníh algebraikýh rovni, jako jou například Jaobiova metoda, Gau-Seidlova metoda, apod. Pro mé účely jem zvolil pro její jednoduhot a poměrně nadné naprogramování při zahování dotatečné přenoti výpočtu Metodu proté iterae (viz.[1]) Metoda proté iterae Nelineární ytémy jou popány obenou rovnií: x = f( x, n) (2) Počáteční podmínky jou dány řešením rovni v utáleném tavu, tedy obeně: Úlohou je řešení nelineární outavy f( x ) = 0, T kde f = ( f1, f2,..., f n ). ( S S f x, n ) = 0 (3) Z původní outavy f(x) = 0 vytvoříme ekvivalentní outavu T kde φ je nelineární vektor funke ϕ = ( ϕ1, ϕ2,..., ϕ n ). x = ϕ ( x) (4)

16 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 16 Pak vytvořím iterační rovnii: k 1 k x + = ϕ ( x ) (5) a definujme x (0) počáteční podmínky dϕ1 dϕ1 dϕ1 dx1 dx2 dx n dϕ dϕ dϕ ' dϕ ϕ dx1 dx2 dx = = n dx dϕn dϕn dϕn... dx1 dx2 dx n (6) Podmínka konvergene iteračního proeu - ať vektorová funke φ je definovaná v uzavřené konvexní oblati D, platí pro x D také ϕ D. Ať funke φ mají v D pojité pariální derivae prvního řádu podle všeh proměnnýh x1 xn. Ať je dále plněno ϕ '( x) < 1 pro každé x D. 1. Pak exituje jediné řešení x D outavy (4) 2. Iterační metoda konverguje, tzn. limk x x ( k ) * = pro libovolné (0) x D. Tímto potupem jem tedy dopěl k vypočtení utálenýh tavů, jenž jou použity při zkoumání dynamiky outavy při změně vtupníh parametrů Řešení dynamiky ytémů Řešení dynamikýh ytémů (viz.[5]) je poměrně ložitý proe. Za dobu, jež jou tyto ytémy řešeny bylo vyvinuto mnoho metod, jak dynamiku outav vyšetřovat. Tyto metody by e daly rozdělit podle jitýh kriterií do několika kategorií. Například na jednokroké metody a víekroké. Mezi jednokroké, jež jou vou podtatou jednodušší než metody víekroké, patří například jedna z nejjednoduššíh a to je Eulerova metoda [11] Mnohdy však tato metoda nepokytuje dotatečně přené výledky, proto byly vyvinuty metody další, například metoda Prediktor korektor. Já jem však pro vyšetření dynamiky zadanýh úloh použil metodu Runge Kutta čtvrtého řádu.

17 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky Metoda Runge Kutta čtvrtého řádu Důležitou metodou impliitníh a expliitníh iterativníh metod aproximae řešení obyčejnýh difereniálníh rovni je metoda Runge Kutta čtvrtého řádu [9]. Vyvinuli kolem roku 1900 matematik Carle David Tolmé Runge a Martin Wilhem Kutta. Nehť počáteční podmínkou úlohy je: y' = f( t, y), yt ( 0) = y0 (7) Potom řešení úlohy (jednoho kroku řešení) pomoí metody Runge Kutta je dáno rovnií h y = n 1 y + + n ( k1 2k2 2 k3 k4) (8) kde k i jou kontanty dle vztahů k1 = f( tn, yn) (9) h h k2 = f( tn +, yn + k1) (10) 2 2 h h k3 = f( tn +, yn + k2) (11) 2 2 k = f( t + h, y + hk ) (12) 4 n n Nelineární ytém Spojitý mnoharozměrový ytém je popán tavovou rovnií dx() t = f[ t, x( t), u ( t) ] (13) dt S počáteční podmínkou x( t0) = x a výtupní rovnií [ ] y() t = g t, x(), t u () t (14) T kde x = ( x1, x2,..., x n ) je vektor tavovýh veličin, dim x = n, T u = (,,..., ) je vektor vtupníh veličin, dim u = m, u1 u2 u m T y = (,,..., ) je vektor výtupníh veličin, dim y = r, y1 y2 y r T f ( f, f,..., f n ), g = ( g1, g2,..., g r ) jou nelineární vektorové funke. T a = 1 2

18 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 18 Rovnie (13) a (14) popiují nelineární t-variantní ytém. Jetliže funke f a g nezávií expliitně na čau t, dotaneme popi ytému t-invariantního ve tvaru dx() t = f[ x(), t u () t ] (15) dt [ ] y() t = g x(), t u () t (16) Linearizae nelineárního ytému Vzhledem k faktu, že většina ytémů, jež e objevují v tehnologiké praxi je nelineárníh, nabízí e k v podtatě dvě řešení, aniž byhom mueli praovat komplikovaným nelineárním modelem. První možnotí, jak model nelineární zjednodušit, je zanedbat ložky modelu, jenž nelinearity způobuje. To však lze udělat pouze a jen v případě, že tyto nelineární ložky nemají eeniální vliv na hování modelu při imulai. Druhou možnotí, jak e prái nelineárním modelem vyhnout, je linearizae modelu. Většinou e provádí v okolí praovního bodu. Praovním bodem označujeme podmínky, pro něž heme imulovat hování ytému, např.: podmínky, v nihž outava prauje optimálně, nebo podmínky, jež jou vyžadovány normou, apod. Touto linearizaí amozřejmě dohází také k jitému zkrelení modelu a znepřenění výledků, ale pokud e zvolí právná metoda linearizae, pak bývají výledky velmi upokojivé. Pro linearizai e nabízí několik možnýh metod (viz.[1]), např.: Linearizae metodou minimálníh kvadratikýh odhylek, nebo linearizae tečnou rovinou ( pomoí Taylorova polynomu) Linearizae za pomoi Taylorova polynomu Veličiny v nelineárníh modeleh proeů zpravidla popiují konkrétní fyzikální veličiny a jejih hodnoty odpovídají hodnotám těhto veličin. Uvažujme mnoharozměrový nelineární model nějakého proeu, popaný tavovou rovnií (pro zkráení zápiu je čaový argument vynehán). x= f ( x ', u ') (17)

19 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 19 S počáteční podmínkou x '( t ) = x' (18) 0 kde vektory tavu a vtupu jou označeny čárkou v zájmu rozlišení mezi tavem a vtupem v linearizovaném modelu, který bude mít poněkud jiný význam. Rozměry vektorů odpovídajíí rozměrům v rovnii (13). Budeme dále předpokládat, že vazby mezi tavovými a výtupními veličinami jou lineární a rovnie výtupu je tedy lineární. Při vyšetřování dynamikýh vlatnotí ytému i při úvaháh o budouím řízení vyházíme z předpokladu, že ke změnám veličin bude doházet v okolí nějakého praovního bodu, odpovídajíího základnímu utálenému (rovnovážnému) tavu danému utálenými hodnotami prvků vektoru tavu x ' = ( x ' 1, x' 2,..., x' n ) zíkáme řešením nelineární vektorové rovnie. Utálené hodnoty tavu f ( x', u ' ) = 0 (19) Kterou zíkáme anulování derivae podle čau v rovnii (17) a kde u ' předtavuje vektor zadanýh utálenýh (kontantníh) hodnot vtupníh veličin. Rovnie (19) může mít jediné, ale i větší počet řešení, pro daný ytém může tedy exitovat i víe různýh utálenýh tavů. Dále můžeme bez újmy na obenoti v počáteční podmíne (18) položit t 0 = Určení linearizovaného matematikého modelu Zavedeme nové tavové i vtupní veličiny jako odhylky od jejih utáleného tavu. Pro prvky vektoru tavu a vtupu dotaneme x () t = x () t = x () t x, kde i = 1,..., n (20) ' ' ' i t t t u () t = u () t = u () t u, kde j = 1,..., m (21) ' ' ' j j j j A tím zíkáme nové vektory odhylek tavu a vtupu jako ' ' ' x () t = x() t = x() t x (22) ' ' ' u () t = u () t = u () t u (23) Nyní nahradíme funki f prvními dvěma členy jejího Taylorova rozvoje (jako funke víe proměnnýh) v okolí utáleného tavu (praovního bodu)

20 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 20 f f f ( x'(), t u'()) t f( x', u') + ( x'() t x') + ( u'() t u') x' u' (24) Kde označení (.) vždy předtavuje hodnotu výrazu v praovním bodě a pariální derivae na pravé traně (24) jou Jaobiho matie f f = i, i, j = 1,..., n, x ' x j ' f f = i, i = 1,..., n, j = 1,..., m (25) u' uj ' Protože pro odhylku funke f platí ( ', ') ( ', ') ( ' f x u = f x u f x, u' ), dotaneme po doazení (22) a (23) do rovnie (24) vztah pro odhylku funke f ve tvaru f f f ( x '( t), u '( t) ) = x( t) + u'( t) x' u' (26) Prvky mati v rovnii (26) jou funke prvků vektorů x a u, které jou v daném praovním bodu kontantní. To znamená, že pro daný praovní bod jou kontantní i prvky mati (25). Označíme-li je jako f i x j ' = a i j, f i u j ' = b i j (27) Můžeme definovat matie A = ( a i j ), dim A = n x n, = ( b i j ) B, dim B = n x m (28) Kterýh prvky jou ie pro daný praovní bod kontantní, avšak mění e přehodem do jiného utáleného tavu. Nahradíme-li nyní levou i pravou tranu rovnie (17) diferenemi. x = f ( x', u') (29) A doadíme odhylkové tavové a vtupní veličiny (22), (23) polu rovnií (26) a matiemi (28), zíkáme tavovou rovnii linearizovaného modelu ve tvaru. x () t = A x() t + B u() t (30) Důledkem zavedení odhylkovýh veličin (22), (23) je kutečnot, že počáteční podmínky pro tavové veličiny jou nulové, tzn. platí x(0) = 0, ož může později

21 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 21 zjednodušit některé potupy pojené Laplaeovou tranformaí linearizované tavové rovnie. Pokud by i výtupní rovnie byla nelineární, použili byhom při její linearizai tejný potup. Za předpokladu diferenovatelnoti nelineární vektorové funke g a exitene prvníh pariálníh derivaí jejíh prvků vektorů tavu a vtupu byhom mohli odvodit linearizovanou (a oučaně odhylkovou) výtupní rovnii S prvky mati C a y() t = C x() t + D u() t (31) S D opět závilými na poloze praovního bodu. Jetliže ovšem je závilot mezi výtupem, tavem a vtupem a priori lineární, jou matie C a D matiemi kontant a jou na poloze praovního bodu nezávilé. Dále, u elé řady tehnologikýh proeů exitují nelineární vazby pouze mezi tavovými veličinami, zatímo záviloti derivaí tavovýh veličin na veličináh vtupníh jou lineární. Dynamika těhto ytémů je pak popána tavovou rovnií ve tvaru. x = f ( x') + Bu' (32) Funke f je pak linearizována pouze k prvkům vektoru x a v důledku toho v linearizované tavové rovnii (30) je na poloze praovního bodu závilá jen matie matie B je kontantní. A a Potup při linearizai jme uvedli pro okolí daného praovního bodu. Je ale zřejmé, že linearizae nelineárního modelu ytému je možné ukutečnit nejen v okolí utáleného tavu, ale i v okolí libovolného momentálního tavu, daného okamžitými hodnotami tavovýh a vtupníh veličin. Prvky mati A, B nebo i C, D budou pak závilé na tomto momentálním tavu. Protože tento tav e čaem mění, lze nelineární model ytému nahradit lineárním modelem t-variantního ytému, kterého parametry e čaem mění. Tato kutečnot má velký význam v ouviloti těmi metodami adaptivního řízení nelineárníh proeů, které jou založeny na volbě lineárního modelu řízeného objektu a průběžné identifikai jeho parametrů. Předpokladem pro etavení linearizovaného modelu původně nelineárního ytému byla pojitá diferenovatelnot a exitene prvníh pariálníh derivaí nelineárníh vektorovýh funkí podle prvků vektoru tavu nebo i vtupu. Dodejme, že nelinearity,

22 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 22 které e vykytují v popieh tehnologikýh proeů, e kterými uvažujeme jako objekty řízení, tomuto předpokladu plně vyhovují. Z nejznámějšíh typů můžeme uvét alepoň nelinearity ve tvaru odmonin u průtočnýh proeů, raionálníh funkí u proeů přetupu látky, exponeniálníh funkí u proeů hemikou reakí, ož je případ mé diplomové práe, kde ve dvou případeh e tyto exponeniální funke objevují. 1.4 Průtočný hemiký reaktor obená exotermiká reake Odvození modelu V tomto případě jem vzal model, jenž nám ukazuje hování reaktoru, když v něm k1 k2 probíhají dvě po obě jdouí exotermiké hemiké reake, dle vzore A B C. A které jou hlazeny dokonale promíhávanou hladií měí v objemu pláště (viz.počáteční předpoklady pro etavení modelu). Z bilaní byly odvozeny čtyři obyčejné difereniální rovnie (viz.[7]), jež popiují model a vztahy mezi jednotlivým veličinami v popiu reaktoru vytupujíími. Analýzou tepelné bilane do ytému vtupujíí reakční měi a úpravami jem došel k rovnii vyjadřujíí závilot teploty reakční měi na čae. dt q hr q F Tv T ( T T) dt = V + α ρ V Vρ (33) p kde počáteční podmínkou této rovnie je T(0) = T. Další závilotí, jež byla zkoumána byla závilot teploty hladiího média, jímž nejčatěji bývá voda, na čae. Výledkem úpravy bilanční rovnie jem dopěl k náledujíímu vztahu. p dt q Fα q = Tv + ( T T ) T (34) dt V V ρ V p T taktéž zde je třeba zadat počáteční podmínku, jež je T ( 0) =. Dále pak, jak je z uvedené reake probíhajíí v ytému vidět, je možné bilanovat vtupní a vznikajíí ložku. Konkrétně tedy konentrae A a B. Bilanemi těhto ložek dotáváme náledujíí vztahy, jež nám doplní elkový model reaktoru. d A q q = + k1 A + dt V V AV (35)

23 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 23 d B q q = + k + k + dt V V 2 B 1 A BV (36) kde počáteční podmínky jou ( 0 ) ; ( 0 ) ; ( 0) ( 0) = = T = T and T = T A A B B r r Obr. 3: Shéma modelu CSTR pro obenou exotermikou reaki kde jednotlivé veličiny jou: q průtok [m ] konentrae [kmol.m -3 ] k ryhlotní kontanty jednotlivýh reakí [m 3 /kmol.] V objem reaktoru [m 3 ] T teplota [K] α koefiient přetupu tepla [kj/m 2.min.K] F přetupná ploha [m 2 ] ρ hutota kapaliny [kg/ m 3 ] p měrné teplo [kj/kg.k]

24 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 24 INDEXY: ( ) A, B index jednotlivýh komponent ( ) 1, 2 indexy jednotlivýh kroků reake ( ) index označujíí hladivo, veličina bez indexu e vztahuje k reakční měi Reakční ryhloti, k j [m 3 /kmol.], jou pak dány závilotmi popanými Arrheniovými zákony a mají tvar ( ) 0 exp k T k E j j r = j RTr, pro j = 1,2 (37) kde j = 1, 2, 3, E j jou aktivační energie a R je plynová kontanta a h r je reakční teplo, jež můžeme vypočítat ze vztahu: h = h k + h k (38) r 1 1 A 2 2 B kde h i jou reakční entalpie Odhylkový tvar modelu Pro imulae jem užíval odhylkového tvaru modelu, jak je popáno v kapitole o linearizai. Abyh tohoto odhylkového tvaru mohl použít, bylo zapotřebí vypočítat utálené tavy elého ytému. V rovniíh (33), (34), (35) a (36) jem tedy položil derivae v čae rovny nule a oamotatnil proměnné na jednu tranu rovnie. Tím jem náledujíí vztahy pro výpočet utálenýh hodnot: Vztah pro výpočet utálené teploty reakční měi: T = hr q F. α + TV + T ρ. p V V. ρ. p q F. α + V V. ρ. p (39) Pro výpočet utálené teploty hladiího média:

25 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 25 T Fα q T + T Vρp V = Fα q + V ρ V p V (40) A vztahy pro výpočet utálenýh hodnot konentraí B A q AV = V q + k V 1 q k 1 A + = V q + k2 V BV (41) (42) kde AV, BV jou vtupní konentrae látek A a B. (V tomto případě je vtupní konentrae BV = 0). Po počtení utálenýh tavů e tyto doadí do rovni pro výpočet prvků mati A a B. Výpočet prvků matie A počívá ve derivování každé ze čtyř rovni modelu vždy podle jednotlivýh utálenýh hodnot (rovnie jou to amozřejmě ty, v nihž jou derivae v čae rovny nule). Tedy derivae difereniální rovnie podle A, B, T a T. Výledkem je první řádek matie A, tj. prvky a 11 až a 14 atp. Výledkem derivaí mi byla matie A: A = E1 R TS qv ke 1 1Re k1 0 0 V ρp E2R E1R TS TS qv k20e2re BS + k10e1 Re AS 1 k2 2 V TS k E1R E2R E1R E2R TS TS TS TS R AS R BS V α 2 p p p p hk e hk e k E e k E e q F Fα ρ ρ T ρ V Vρ Vρ 0 0 Fα qv Fα V ρ V V ρ p p 0 p (43) Matie B e zíká obdobným způobem, ale derivujeme jednotlivé rovnie podle vtupníh proměnnýh.v mém případě to byly náledujíí: q, q, Av, T v a T v.

26 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 26 Celá matie B pak měla náledujíí tvar a členy: 0 Av AS qv V V 0 0 B = Bv BS V Tv TS qv V V Tv TS qv V V (44) Tyto matie, repektive jejih prvky potom použijeme při výpočtu odhylkového modelu, jenž má obeně tvar: A pro tento konkrétní případ jou to náledujíí rovnie:. x() t = A x() t + B u() t (45) dx dt dx dt 2 dx dt 4 3 dx dt 1 = ax+ a x+ ax+ ax+ bu+ bu+ bu+ bu+ bu (46) = a x + a x + a x + a x + b u + b u + b u + b u + b u (47) = a x + a x + a x + a x + b u + b u + b u + b u + b u (48) = a x + a x + a x + a x + b u + b u + b u + b u + b u (49) Výledky imulaí pak prezentuji v experimentální čáti této diplomové práe. 1.5 Průtočný hemiký reaktor reake typu van der Vue Odvození modelu Tento případ je taktéž případem exotermiké hemiké reake, jež probíhá v reaktoru hlazením v plášti, kde hladiím médiem je nejčatěji voda. Této reaki e k1 k2 také říká reake typu van der Vue a má tvar A B C; 2 A k3 D (viz.[6], [8]). Tyto dvě hemiké rovnie popiují např.: reake, jihž e využívá pro průmylovou

27 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 27 výrobu yklopentenolu. Pomoí bilaní je možné odvodit náledujíí čtyři obyčejné difereniální rovnie, jež určují při imulaíh hování reaktoru. d q k k dt V ( ) 2 A = A0 A 1 A 3 A (50) db q B k 1 A k 2 B dt = + (51) V dt q hr F. ( TV T) ( T T) dt = V α ρ. + V. ρ. (52) p p dt dt 1 = ( q + F. α ( Tr T) ) (53) m p pro 0, 0. A B kde jednotlivé veličiny jou: q průtok [m ] Obr. 4: Shéma CSTR pro modelování reake typu van der Vue

28 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 28 Q k předané teplo[kj.min -1 ] konentrae [kmol.m -3 ] k ryhlotní kontanty jednotlivýh reakí [m 3 /kmol.] V objem reaktoru [m 3 ] T teplota [K] α koefiient přetupu tepla [kj/m 2.min.K] F přetupná ploha [m 2 ] ρ hutota kapaliny [kg/ m 3 ] p měrné teplo [kj/kg.k] m hmotnot [kg] INDEXY: ( ) A, B index jednotlivýh komponent ( ) 1, 2, 3 indexy jednotlivýh kroků reake ( ) index označujíí hladivo, veličina bez indexu e vztahuje k reakční měi Reakční ryhloti jou pak počítány z Arrheniovýh zákonů ( ) 0 exp E j j r = j RTr k T k kde j = 1, 2, 3, E j jou aktivační energie a R je plynová kontanta V rovnii (52) je h r reakční teplo a vypočítá e podle vztahu:, for j = 1, 2, 3 (54) 2 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) h = k H + k H + k H (55) r A Rab B Rb A Rad kde H Rab, H Rb, H Rad jou reakční entalpie [kj kmol -1 ].

29 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky Odhylkový tvar modelu V rovniíh (50), (51), (52), (53) matematikého modelu jem anuloval derivae a počítal utálené hodnoty jednotlivýh proměnnýh, abyh tyto pak mohl použít pro výpočet linearizae a odhylkového tvaru modelu. Utálené hodnoty jem po úpraváh dotal náledujíí. Vztah pro výpočet utálené konentrae látky A: A V V V + k1 ± + k1 4*( k3)* A0 Vr Vr Vr = 2* k 2 3 (56) Utálenou hodnotu konentrae látky B dotanu doazením do vztahu: B k1 A = V k2 + Vr (57) Utálenou teplotu reakční měi v reaktoru v čae t vypočteme ze vztahu: T = V Vr T 0 hr kw Ar + T ρc p ρc pvr V kw Ar + Vr ρc Vr p C (58) A utálenou hodnotu teploty hladiího média jem dotal úpravou polední rovnie: T Q = + k ArT k Ar w w (59) Z těhto vztahů pak můžu vypočítat jednotlivé koefiienty mati A a B a doadit je do obené rovnie pro výpočet odhylkového tvaru matematikého modelu pro výpočet dynamiky ytému. Pro matii A jem tedy dopěl k náledujíím členům:

30 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 30 A = q Ek AS k1 0 2 V T q Ek AS k1 2 V T 0 0 hk hk.. h. k q hek... + h. E. k. + hek... F. α F. α AS AS BS AS 2 ρ. p ρ. p V T. ρ. V. ρ. p V. ρ. p p 0 0 F. α F. α m. m. p p (60) Matie B je pak tvořena náledujíími prvky: A0 + AS q V V BS + B V B = T T q V V (61) 0 1 m p Tyto vypočtené členy pak doadím do rovnie (45) a dotávám náledujíí rovnie obahujíí prvky mati (60) a (61) prvky mati: dx dt dx dt 2 dx dt 3 dx dt 4 1 = ax+ a x+ ax+ ax+ bu+ bu+ bu+ bu+ bu (62) = a x + a x + a x + a x + b u + b u + b u + b u + b u (63) = a x + a x + a x + a x + b u + b u + b u + b u + b u (64) = a x + a x + a x + a x + b u + b u + b u + b u + b u (65) Průtočný hemiký reaktor izotermiká reake Model reaktoru Prvním případem, kterým jem e v prái zabýval byl reaktor označením CSTRCOM, z angl. Iothermal Reator With Complex Reation, ož e překládá jako Izotermální reaktor e loženými reakemi (viz.[2]).

31 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 31 Tento druh reakí e velmi pohodlně vyšetřuje právě pomoí imulaí. V tomto případě z roku 1972 e vyšetřují náledujíí ložené reake: k A+ B 1 X (66) k B + X 2 Y (67) k B + Y 3 Z (68) Tato náledně-paralelní reake je náledná ve měru A X Y Z, tejně jako má i paralelní harakteritiky ve tvaru B X, B Y, B Z. Obr. 5: Shéma CSTR pro izotermikou reaki Jelikož e jedná o reaktor izotermiký, týkalo e řešení bilančníh rovni pouze bilaní hmoty vtupujííh a vznikajííh látek. Výledkem bilane bylo pět náledujííh rovni: da q = ( A0 A) k 1 A B (69) dt V db q = ( B0 B) k 1 A B k 2 B X k 3 B Y (70) dt V

32 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 32 dx q = ( X0 X) + k 1 A B k 2 B X (71) dt V dy q = ( Y0 Y) + k 2 B X k 3 B Y (72) dt V dz q = ( Z 0 Z) + k 3 B Y (73) dt V kde jednotlivé veličiny jou: q průtok [m ] konentrae [kmol.m -3 ] k ryhlotní kontanty jednotlivýh reakí [m 3 /kmol.] V objem reaktoru [m 3 ] INDEXY: ( ) A, B, X, Y, Z index jednotlivýh komponent ( ) 1, 2, 3 indexy jednotlivýh kroků reake Odhylkový tvar matematikého modelu Taktéž zde jem pro výpočet dynamiky změny jednotlivýh vtupujííh veličin použil odhylkového tvaru matematikého modelu. Bylo tedy zapotřebí vypočtení utálenýh tavů. Odvození je tejné jako u prvníh dvou případů. Položil jem tedy derivae podle čau rovny nule a oamotatnil proměnné na jednu tranu rovnie. Tím jem dopěl ke vztahům pro výpočet jednotlivýh konentraí: Utálená hodnota vtupní konentrae A e tedy vypočte jako: A = q. q + k (74) A0 1. B Rovnie pro výpočet utálené hodnoty konentrae B : q. = (75) B0 B q V. k1. A V. k2. X V. k3. Y A dále pak tři rovnie pro výpočet konentraí vznikajííh produktů:

33 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 33 q. + V. k.. X0 1 A B X = q+ V. k1. B (76) q. + V. k.. Y0 2 B X Y = q+ V. k3. B (77) q. + V. k.. = (78) q Z 0 3 B Y Z Pro zíkání matie A odhylkového tvaru matematikého modelu jem derivoval rovnie (69), (70), (71), (72) a (73) podle tavovýh veličin v pořadí A, B, X, Y, Z, a dotal jem náledujíí členy matie A: q k 1. BS k 1. BS V q k 1. BS k 1. AS k 2. XS k3. YS k 2. BS k 3. BS 0 V q A = k 1. BS k 1. AS k 2. XS k 2. BS 0 0 (79) V q 0 k2. XS k3. YS k2. BS k3. BS 0 V q 0 k3. YS 0 k3. BS V Derivováním rovni podle vtupníh veličin zíkám matii B: A0 AS q 0 V V B0 BS q 0 V V 0 0 V Y0 YS 0 0 V Z0 ZS 0 0 V X0 XS B = (80) Takto zíkané matie (79) a (80) můžu doadit do (45) a vypočítat dynamiku elého ytému dle rovni: dx 1 a11x1 a12x2 a13x3 a14 x4 b11u1 b12u2 b13u3 dt = (81)

34 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 34 dx dt 2 dx dt 3 dx dt 4 = a x + a x + a x + a x + b u + b u + b u (82) = a x + a x + a x + a x + b u + b u + b u (83) = a x + a x + a x + a x + b u + b u + b u (84) dx dt 5 = a x + a x + a x + a x + b u + b u + b u (85)

35 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 35 II. PRAKTICKÁ ČÁST

36 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 36 2 KONSTANTY A VSTUPNÍ PARAMETRY PROGRAMU 2.1 Výpočet utálenýh tavů a dynamiky outavy V programu je jak pro výpočet tatikýh harakteritik, tak i pro výpočet dynamiky outav použit iterační výpočet, jenž je ykliký. Proto zde uvádím jednotlivé kroky, jež jou při výpočtu provedeny a jejihž pomoí e dojde požadovaným výledkům. Před yklem je zvolena požadovaná přenot (v programu natavena na hodnotu v intervalu ε 0,0001;0, 001 a načtou e vtupní hodnoty kontant, které e nemění a hodnoty počátečníh odhadů výlednýh utálenýh tavů, jež jou nezbytně nutné pro první yklu iterae. Dále e načtou hodnoty uživatelem zadané, tj. rozah počítané tatiké harakteritiky, případně, při výpočtu dynamiky, změny jednotlivýh parametrů. V yklu amotném e pak vypočítají utálené hodnoty jednotlivýh počítanýh veličin (konentraí, teplot, apod.) a porovnají e hodnotami počtenými v předhozím yklu. V případě, že e jedná o yklu první, tak e vypočtené hodnoty porovnávají hodnotami výledků odhadnutýh. Jetliže po porovnání je rozdíl hodnot počtenýh ve dvou po obě jdouíh ykleh menší než žádaná přenot, je yklu ukončen a hodnoty utálenýh tavů e uloží do vektoru výledku. Tento pak louží k výpočtu jednotlivýh koefiientů mati A a B pro výpočet dynamiky outav. Tento výpočet pak probíhá náledovně: Vypočtou e jednotlivé prvky mati A a B. Jednotlivé koefiienty e pak doadí do rovni v m-fileh pro definii difereniálníh rovni (trx_dynamika). Tyto rovnie koefiienty jou pak použity jako vtupní parametry do funke ode45 programu MATLAB. Jde o funki, jež e požívá k řešení nelineárníh difereniálníh rovni a jež má v obě zakomponovaný výpočet těhto rovni pomoí kombinae metod Runge Kutta čtvrtého a pátého řádu. V konečné fázi jou pak výledky funke ode45 vyneeny automatiky do grafů.

37 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky Průtočný hemiký reaktor obená exotermiká reake Zadané hodnoty Tabulka 1: Kontanty pro výpočet harakteritik první reake Název kontanty Symbol Hodnota kontanty [-] Ryhlot reake k 1 01 Ryhlot reake k 2 02 k , min k , min Podíl aktivační energie reake k 1 a R E1 R K Podíl aktivační energie reake k 2 to R E2 R K Reakční entalpie k 1 1 Reakční entalpie k 2 2 h 4 1 4,8 10 kj. kmol h 4 1 2, 2 10 kj. kmol Objem reaktoru Hutota reakční měi Tepelná kapaita reakční měi Objemový průtok reakční měi Objem hladií kapaliny Hutota hladií kapaliny Tepelná kapaita hladií kapaliny 3 V r 1, 2 m 3 ρ r 985 kg. m 1 1 pr 4,05 kj. kg. K 3 1 q r 0,08 m. min 3 V 0,64 m 3 ρ 998 kg. m 1 1 pr 4,18 kj. kg. K Utálený objemový průtok hladií kapaliny Koefiient přehodu tepla přetupné plohy Povrh hladiího pláště q α F 3 1 0,03 m. min 43,5 kj. min. m. K 2 5,5 m Zvolené vtupní veličiny Tabulka 2: Vtupní veličiny pro výpočet harakteritik první reake Název veličiny Symbol Zvolená hodnota [-] Vtupní konentrae ložky A 3 A 2,85 kmol / m Vtupní teplota reakční měi T 323 K Vtupní teplota hladií měi T 293K

38 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 38 Vtupní průtok reakční měi q 0,08 m 3 /min Vtupní průtok hladií měi q 0,03 m 3 /min Výpočet optimálního praovního bodu Pro výpočet dynamiky je třeba počítat také tzv. tatiké harakteritiky, pomoí nihž můžeme určit optimální praovní bod reaktoru. Což znamená, že můžeme určit parametry jednotlivýh vtupníh veličin tak, aby byl hod reaktoru a jeho výtěžnot optimální. Výpočet těhto tatikýh harakteritik pro tento typ reake probíhajíí v reaktoru, jem provedl z rovni (33), (34), (35) a (36), ze kterýh jem výše uvedeným iteračním yklem počítal jednotlivé utálené tavy pro různou hodnotu jednotlivýh vtupníh veličin, a pak tyto počtené hodnoty vynel do grafu (Obr. 6). Nejprve jem určil tatiké harakteritiky pro změnu vtupního průtoku reakční měi v intervalu q 0,001;0,1. V obrázku jem pak vyznačil optimální body. Obr. 6: Určení optimálního praovního bodu pro proměnný průtok reakční měi V tomto případě jem tedy našel optimální průtok pro zadané vtupní veličiny v hodnotě q = 0,03 m 3 /min. Dále jem provedl výpočet tatiké harakteritiky pro

39 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 39 proměnnou velikot vtupního průtoku hladiího média q a to v rozahu q 0,001;0,1. Tuto harakteritiku jem opět nehal vykrelit do grafu (Obr. 7) a vyznačil optimální praovní bod. Obr. 7: Statiké harakteritiky pro proměnný průtok hladií měi Dynamika outavy Po vypočtení tatikýh harakteritik a určení optimálního praovního bodu jem zkoumal vliv kokové změny některé ze vtupníh veličin na změnu outavy. Pro tuto reaki je v programu možno zadat změnu vtupního průtoku reakční měi q V, změnu průtoku hladií kapaliny q, změnu konentrae vtupní látky A (přetože e v praxi tato změna příliš neobjevuje vzhledem k tehnikým potížím při realizai) A, a dále pak jem zahrnul možnot vypočítat dynamiku outavy při změně vtupníh teplot reakční měi a hladií kapaliny T a T. Pro příklad uvádím graf (Obr. 8) změny utálenýh tavů při změně vtupního průtoku q V o 0,02 m 3 /min, o 0,01 m 3 /min a o -0,015 m 3 /min.

40 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 40 Obr. 8: Reake utálenýh tavů outavy na změnu vtupního průtoku reakční měi Z grafu (Obr. 8) je vidět, že kladná změna vtupního průtoku reakční měi q negativně půobí na změny konentrae ož v důledku znamená, že rotouím průtokem nedojde ke zreagování takového množtví látky A a tím pádem kleá i konentrae vznikajíí látky B. Reake teplot na tuto vtupní změnu je opačná a jak je vidět, tak změny probíhají velmi ryhle po zavedení změny do ytému. Programem můžeme tudovat i reaki outavy na změnu vtupního průtoku hladií měi q o -0,006 m 3 /min, -0,008 m 3 /min a 0,012 m 3 /min. Změny jem vynel do grafu (Obr. 9).

41 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 41 Obr. 9: Změna utálenýh tavů veličin při změně vtupního průtoku q Pro zápornou změnu průtoku hladiva q je vidět, že reake outavy není tak ryhlá, jak v předhozím případě, opět je reake teploty opačná, tzn. kleajíím průtokem hladiva teplota outavy rote. Je vidět že při menším množtví odvedeného tepla e reake zpomaluje a kleá množtví zreagované látky A a B. V grafu změny konentrae B je také na začátku vidět půobíí mírné dopravní zpoždění. Dalším grafem (Obr. 10) je reake outavy na změnu teploty T vtupujíí reakční měi o 20 K, 10 K a -15 K, a změnu teploty T hladií měi (Obr. 11) o 15 K, 30 K a - 20 K.

42 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 42 Obr. 10: Změna utálenýh tavů při změně teploty vtupujíí reakční měi

43 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 43 Obr. 11: Změna utálenýh tavů při změně vtupní teploty hladií kapaliny Na obrázíh Obr. 10 a Obr. 11 je vidět přímý vliv teploty reakční měi a hladiva na konentrae látek A a B. Při pokleu teploty T reakční měi je vidět nárůt obou konentraí a při nárůtu teploty hladiva je zřejmé, že reaktor, jenž je méně hlazen neprauje tak výkonně a obě konentrae klely. Jako polední uvádím graf pro změny vtupní konentrae A. Skoky jem volil o 0,5 kmol.m 3, 0,25 kmol.m 3 a -0,40 kmol.m 3.

44 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 44 Obr. 12: Dynamiké změny při zavedení kokovýh změn konentrae A Ze všeh předohozíh grafů můžeme vyhodnotit vliv jednotlivýh vtupů na hování elého ytému reaktoru. Z těhto analýz jem pak vyvodil, že hování reaktoru a velký vliv na výledné konentrae má zejména teplota hladií měi a teplota reakční měi. Proto byh e při řízení tohoto reaktoru zaměřil na řízení pomoí regulae teplota, ale píše průtoku hladiího média (jež je také v praxi zvykem) nebo regulai teploty a průtoku reakční měi. Tehnologiky je také změna konentrae poměrně náročně realizovatelná.

45 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky Průtočný hemiký reaktor reake typu van der Vue Zadané hodnoty Tabulka 3: Kontanty pro výpočet harakteritik druhé reake Název kontanty Symbol Hodnota kontanty [-] Vtupní ryhlot reake k 1 k 10 2, min -1 Vtupní ryhlot reake k 2 k 20 2, min -1 Vtupní ryhlot reake k 3 k 30 1, min -1 Podíl aktivační energie E a plynové kontanty R pro reaki k 1 Podíl aktivační energie E a plynové kontanty R pro reaki k 2 Podíl aktivační energie E a plynové kontanty R pro reaki k 3 Entalpie reake k 1 Entalpie reake k 2 Entalpie reake k 2 Objem reaktoru Hutota reakční měi Měrná tepelná kapaita reakční měi Měrná tepelná kapaita hladií měi Objem hladií kapaliny Hutota hladií kapaliny E1 R -9758,3 K E2 R -9758,3 K E3 R K H Rab 4, kj.kmol -1 H Rb -11, kj.kmol -1 H Rad - 41, kj.kmol -1 V r 0,01 m 3 ρ r 934,2 kg.m -3 pr 3,01 kj.kg -1.K -1 p 2,0 kj.kg -1.K -1 3 V 0,64 m 3 ρ 998 kg. m Povrh hladiího pláště F 0,215 m 2 Koefiient přetupu tepla hladiího pláště Povrh hladiího pláště α F 67,2 kj. min. m. K 2 5,5 m 1 2 1

46 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky Zvolené vtupní veličiny Tabulka 4: Vtupní veličiny pro výpočet harakteritik druhé reake Název veličiny Symbol Zvolená hodnota [-] Vtupní konentrae ložky A A 5,1 kmol.m -3 Vtupní teplota reakční měi T 378,05 K Vtupní teplota hladií měi T 293 K Vtupní průtok reakční měi q 2, m 3.min -1 Počáteční přetup tepla Q k -18,5583 kj.min Výpočet optimálního praovního bodu Z výše uvedenýh tabulek jem použil kontanty a doadil je do rovni (56), (57), (58) a (59) pro výpočet tatikýh harakteritik a náledné určení praovního bodu. Pro určení optimálního průtoku jem potupně do iteračního yklu doazoval rotouí hodnotu vtupujíího průtok reakční měi q. Tento průtok jem měnil v intervalu 0,0005;0,03 m 3.min -1. V grafu (Obr. 13) jem pak vyznačil hodnotu optimálního praovního bodu. Obr. 13: Statiké harakteritiky pro proměnný vtupní průtok reakční měi

47 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 47 Dále jem zkoumal vývoj tatiké harakteritiky pro proměnné předané teplo Q k. Opět jem iterační yklu nehal vypočítat utálené hodnoty pro různou hodnotu předaného tepla Q k, tentokrát v intervalu 500;500 kj.min -1. Výledkem jou křivky (Obr. 14) v nihž jem vyznačil hodnotu optimálního praovního bodu. Obr. 14: Určení optimálního praovního bodu pro různou hodnotu předaného tepla Zkoumání dynamiky outavy Taktéž zde jem po určení optimálního praovního bodu využil hodnot utálenýh tavů jednotlivýh veličin, abyh je doadil do výpočtu mati odhylkového tvaru modelu a použil pro zkoumání dynamiky elé outavy pro různé změny vtupníh veličin. Nabízí e zde elkem 4 možné parametry, jejihž vtup je možné měnit. Volil jem jednotlivé změny, vynášel je do grafů a v poledním grafu jem několik změn vtupníh veličin opět zkombinoval a nehal je na outavu půobit oučaně. Jako první e nabízela změna vtupního průtoku, jakožto nejčatější v praxi užívané změny. Natavil jem tedy vtupní průtok q o 4, m 3.min -1, 2, m 3.min - 1 a o m 3.min -1 rozdílný, než je vtupní průtok. Výledkem byly změny, jak ukazuje graf (Obr. 15).

48 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 48 Obr. 15: Dynamiké změny v outavě po změně průtoku q Jako další jem zvolil změnu vtupní teploty reakční měi T. Tentokrát jem však zvolil dvakrát změnu kladnou a to 4 K a 1.5 K a jednou změnu zápornou, o -5 K. Změny program opět zpraoval automatiky do grafu (Obr. 16).

49 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 49 Obr. 16: Dynamiké změny outavy při pokleu vtupní teploty reakční měi T Pro další zkoumání změn v ytému jem zvolil kokovou změnu hodnoty předaného tepla Q k o 4 kj.min -1, -3 kj.min -1 a o -1,5 kj.min -1. V grafu (Obr. 17) pak vidíme reake outavy na tyto kokové změny.

50 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 50 Obr. 17: Reake outavy na kokovou změnu předaného tepla Q k Jako čtvrtou změnu, na níž demontruji dynamiku outavy jem zvolil v praxi ne příliš čato používanou změnu vtupní konentrae látky A (v praxi e požadovaná konentrae volí vhodně zvoleným průtokem). Tentokrát jem zvolil nárůt vtupní konentrae A o 1,02 kmol.m -3, 0,65 kmol.m -3 a o -0,85 kmol.m - 3. Výledné změny můžeme pozorovat níže (Obr. 18).

51 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 51 Obr. 18: Reake outavy reaktoru na změnu vtupní konentrae A U reaktoru, v němž probíhá reake typu van der Vue je zkoumání dynamikýh harakteritik nezbytnou oučátí proeu identifikae outavy a jejího hování při zavedené kokovýh změn danýh veličin. Jak je vidět z grafů, tento reaktor reaguje itlivě i na malé změny vtupníh veličin. Také z grafu (Obr. 15) je janě vidět, že reake outavy je velmi ryhlá. Proto je řízení tohoto reaktoru poměrně náročné, přotože muí být velmi přené. 2.4 Průtočný hemiký reaktor izotermiká reake Zadané hodnoty

52 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 52 Tabulka 5: Vtupní veličiny a kontanty pro výpočet harakteritik třetí reake Název veličiny Symbol Zvolená hodnota [-] Vtupní konentrae ložky A Vtupní konentrae ložky B A 0,4 kmol.m -3 B 0,6 kmol.m -3 Vtupní průtok reakční měi q 2, m 3.min -1 Ryhlotní kontanta reake k 1 k 1 0,03 m 3.kmol -1.min -1 Ryhlotní kontanta reake k 2 k 2 3 m 3.kmol -1.min -1 Ryhlotní kontanta reake k 3 k 3 1,2 m 3.kmol -1.min -1 Objem hemikého reaktoru V 1 m Statiké harakteritiky Pro výpočet tatikýh harakteritik jem opět využil iteračního yklu. Vzhledem k faktu, že tentokrát e jednalo o imulai izotermikého reaktoru, kde nezáleželo na vtupníh teplotáh reaktoru e daly tatiké harakteritiky vypočítat pouze pro jednotlivé konentrae pro měníí e hodnotu vtupního průtoku látek A a B o konentraíh A a B. Protože e však utálené tavy od ebe řádově lišily, rozdělil jem je do dvou přehlednějšíh grafů (Obr. 19) a (Obr. 20). Vtupní průtok jem potupně zvyšoval v rámi intervalu q 0,001;0, 6 m 3.min -1.

53 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 53 Obr. 19: Utálené tavy konentraí izotermikého reaktoru pro různý průtok Z druhého grafu (Obr. 20), jem určil optimální praovní bod tohoto reaktoru, kdy výtěžnot reaktoru a vznikajííh ložek X, Y a Z je nejvyšší.

54 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 54 Obr. 20: Určení optimálního praovního bodu izotermikého reaktoru Analýza dynamiky outavy Jako první jem tetoval změnu vtupního průtoku do reaktoru, protože jeho tato e používá nejčatěji. Zde jem volil změnu průtoku kapalin q o -0,0015 m 3.min -1, -0,0035 m 3.min -1 a o 0,002 m 3.min -1 (Obr. 21).

55 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 55 Obr. 21: Dynamika outavy ( X, Y, Z ) při změnáh průtoku q Dynamiku vtupníh veličin A a B pro změny q uvádím kvůli přehlednoti do zvláštního grafu (Obr. 22).

56 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 56 Obr. 22: Dynamika outavy ( A a B ) při různýh změnáh průtoku q I zde je oučátí programu možnot imulovat i v praxi nepříliš čaté změny vtupníh konentraí látek A a B. Proto uvádím příklad, kdy změnami vtupujíími do ytému byly: změna konentrae látky A A o -0,3 kmol.m -3, -0,1 kmol.m - 3 a o 0,25 kmol.m -3 (graf (Obr. 23) a (Obr. 24)).

57 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 57 Obr. 23: Dynamika outavy ( X, Y, Z ) při změnáh konentrae vtupní látky A

58 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 58 Obr. 24: Dynamika outavy ( A, B ) při změnáh konentrae vtupní látky A Dále pak koková změna konentrae vtupujíí látky B B o 0,1 kmol.m -3, 0,35 kmol.m -3 a o -0,2 kmol.m -3. Výledek imulae těhto změn uvádím do grafů (Obr. 25 a Obr. 26).

59 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 59 Obr. 25: Konentrae X, Y, Z pro změny vtupní konentrae látky B

60 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 60 Obr. 26: Konentrae A a B pro změny vtupní konentrae látky B U tohoto typu reaktoru, jak je zřejmé z jeho názvu nelze měnit harakteritiky pomoí vtupníh teplot. Proto e zde nabízí možnot řízení a ovlivňování hování reaktoru pomoí průtoku. A také e tak v praxi děje. Řízení pomoí vtupní konentrae e takřka nepoužívá. Je také vidět, že při změnáh konentraí bylo utalování outavy po zavedení změn ai 4x delší, než při změně vtupního průtoku.

61 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 61 3 ZÁVĚR Úkolem této diplomové práe bylo zkoumání a zpraování tatikýh harakteritik, určení optimálního praovního bodu a zkoumání dynamiky hemikého průtočného reaktoru hlazením v plášti pro různé typy reakí. V teoretiké čáti této práe jem e věnoval vytvoření obeného přehledu o hemikýh reaktoreh, jejih funki v průmylu a jejih modelování. Přednel jem několik možnýh potupů, jak praovat matematikými modely těhto reaktorů a jak nimi praovat. Zvolil jem i také metody, pomoí nihž jem matematikými modely praoval. Tyto metody jem pak blíže rozvedl, uvedl jem jejih matematikou podtatu a způob řešení a práe nimi. Uvedl jem prinip a matematiký základ metody proté iterae, jež louží ke zkoumání tatikýh harakteritik. Dále jem rozvedl metodu Runge Kutta čtvrtého řádu a její aplikai na matematiké modely, pomoí níž e zkoumá dynamiké hování takovýhto nelineárníh modelů. Zkoumal jem tři různé typy reakí v hemikém reaktoru probíhajííh. Jako první jem zvolil reaki obenou exotermikou, jako druhou reaki typu van der Vue a jako polední jem zkoumal reaki izotermikou. Všehny tyto reake jou peifiké a přetože jejih matematiké modely jou podobné, jejih hování nikoli. Abyh v experimentální čáti této práe mohl uvét jakékoli výledky, napal jem program, v protředí programového balíku MATLAB verze 6.5, který umožňuje jak zobrazení tatikýh harakteritik pro různé vtupní parametry u jednotlivýh reaktorů, tak i zkoumání dynamiky těhto reaktorů, ať už pro jednu, či víe změn vtupníh veličin. Tento program, amozřejmě umožňuje zkoumání také několika oučaně půobííh kokovýh změn na hování reaktoru. Jeho oučátí je automatiké vyhodnoení dat do přehlednýh grafů. U tatikýh harakteritik pak lze v maximeh křivek určit i požadovaný optimální praovní bod toho kterého reaktoru a tím určit, kdy reaktor prauje nejefektivněji. Dynamika jednotlivýh reakí je počítána pomoí takzvanýh odhylkovýh tvarů matematikýh modelů. Tyto odhylkové tvary e vytvářejí linearizaí modelu v okolí zvoleného praovního bodu a práe nimi je jednodušší. Přeto však v dnešní době

62 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 62 je k dipozii dotatečná tehnika, i pro výpočty přímo z obyčejnýh difereniálníh rovni. V experimentální čáti jem pak natínil možnoti dalšího rozvoje tohoto tématu a mého tudia. Jedná e o možnoti řízení těhto reaktorů a problematiku identifikae těhto outav. Z tohoto hledika e mi jako nejjednodušší pro řízení jeví reaktor izotermiký, jehož model neobahuje členy teploty. Nejobtížněji řiditelný byh řekl podle mýh výledků je reaktor, v němž probíhá reake typu van der Vue. V dalším tudiu této problematiky byh e pak htěl věnovat zkoumání rozdílu mezi výpočtem dynamiky přímo z modelu a výpočtem z odhylkového tvaru matematikého modelu a řízením modelů těhto reaktorů.

63 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 63 SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY [1] Mikleš, J. a M. Fikar: Modelovanie, identifikáia a riadenie proeov I. Vydavatel tvo STU, Bratilava, 1999 [2] Ingham, J., Dunn, I. J., Heinzle, E., Přenoil, J. E.: Chemial Engineering Dynami. An Introdution to Modeling and Computer Simulation. Seond, Completely Revied Edition, VCH Verlaggeellhaft, Weinheim, 2000 [3] Luyben, W.L.: Proe Modelling, Simulation and Control for Chemial Engineer. MGraw-Hill, New York, 1989 [4] Shmidt, L. D.: The Engineering of Chemial Reation. Oxford Univerity Pre US, 1997 [5] Mien, R. W., Mim, Ch. A., Saville, B. A.: Chemial Reation Engineering and Kineti. John Wiley & Son In., 1998 [6] Chen, H., Kremling, A., Allgöwer, F. Nonlinear Preditive Control of a Benhmark CSTR. In: Proeeding of 3rd European Control Conferene. Rome, Italy 1995 [7] Dotál, P., Vojtěšek, J. Adaptivní řízení nelineárníh proeů průběžnou identifikaí pojitého a delta modelu, AT&P Journal plu 4, , [8] Vojtěšek, J., Dotál, P., Haber, R. Simulation and Control of a Continuou Stirred Tank Reator. In: Pro. of Sixth Portuguee Conferene on Automati Control CONTROLO Faro. Portugal, 2004, p [9] Ralton, A. Základy numeriké matematiky. Praha, Aademia [10] Ofiiální tránka MATLABu: dotupná z www: [11] The Free Enylopedia WIKIPEDIA: dotupná z

64 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 64 SEZNAM POUŽITÝCH SYMBOLŮ A ZKRATEK A B X Y Z CSTR CSTRCOM T T q q Q k k i E i R V V α F t m a i b i ρ Konentrae látky A Konentrae látky B Konentrae látky X Konentrae látky Y Konentrae látky Z Continuou Stirred Tank Reator Continuou Stirred Iothermal Reator With Complex Reation Teplota reakční měi Teplota hladií měi Průtok reakční měi Průtok hladií měi Předané teplo Ryhlotní kontanta pro i-tou reaki Aktivační energie i-té reake Molární plynová kontanta Objem reaktoru Objem pláště Koefiient přetupu tepla Přetupná ploha Spojitý ča Hmotnot Koefiienty matie A Koefiienty matie B Hutota reakční měi

65 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 65 ρ Hutota hladií měi p p h i ϕ D f g u x y Měrná tepelná kapaita Měrná tepelná kapaita hladiva Reakční entalpie i-té reake Nelineární vektorová funke Uzavřená konvexní oblat Funke Funke Vektor vtupníh veličin Vektor tavovýh veličin Vektor výtupníh veličin n, m, r Dimenze vektorů x, u a y h ε A,B,C,D Integrační krok Přenot výpočtu Matie tavovýh a výtupníh veličin Diferene

66 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 66 SEZNAM OBRÁZKŮ Obr. 1: Shéma různýh typů hemikýh reaktorů Obr. 2: Obené héma hemikého průtočného reaktoru hlazením v plášti Obr. 3: Shéma modelu CSTR pro obenou exotermikou reaki Obr. 4: Shéma CSTR pro modelování reake typu van der Vue Obr. 5: Shéma CSTR pro izotermikou reaki Obr. 6: Určení optimálního praovního bodu pro proměnný průtok reakční měi Obr. 7: Statiké harakteritiky pro proměnný průtok hladií měi Obr. 8: Reake utálenýh tavů outavy na změnu vtupního průtoku reakční měi Obr. 9: Změna utálenýh tavů veličin při změně vtupního průtoku q Obr. 10: Změna utálenýh tavů při změně teploty vtupujíí reakční měi Obr. 11: Změna utálenýh tavů při změně vtupní teploty hladií kapaliny Obr. 12: Dynamiké změny při zavedení kokovýh změn konentrae A Obr. 13: Statiké harakteritiky pro proměnný vtupní průtok reakční měi Obr. 14: Určení optimálního praovního bodu pro různou hodnotu předaného tepla Obr. 15: Dynamiké změny v outavě po změně průtoku q Obr. 16: Dynamiké změny outavy při pokleu vtupní teploty reakční měi T Obr. 17: Reake outavy na kokovou změnu předaného tepla Q k Obr. 18: Reake outavy reaktoru na změnu vtupní konentrae A Obr. 19: Utálené tavy konentraí izotermikého reaktoru pro různý průtok Obr. 20: Určení optimálního praovního bodu izotermikého reaktoru Obr. 21: Dynamika outavy ( X, Y, Z ) při změnáh průtoku q Obr. 22: Dynamika outavy ( A a B ) při různýh změnáh průtoku q Obr. 23: Dynamika outavy ( X, Y, Z ) při změnáh konentrae vtupní látky A Obr. 24: Dynamika outavy ( A, B ) při změnáh konentrae vtupní látky A Obr. 25: Konentrae X, Y, Z pro změny vtupní konentrae látky B Obr. 26: Konentrae A a B pro změny vtupní konentrae látky B Obr. 27: Rozhraní programu CSTR pro výpočet požadovanýh harakteritik... 69

67 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 67 SEZNAM TABULEK Tabulka 1: Kontanty pro výpočet harakteritik první reake Tabulka 2: Vtupní veličiny pro výpočet harakteritik první reake Tabulka 3: Kontanty pro výpočet harakteritik druhé reake Tabulka 4: Vtupní veličiny pro výpočet harakteritik druhé reake Tabulka 5: Vtupní veličiny a kontanty pro výpočet harakteritik třetí reake... 52

68 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 68 SEZNAM PŘÍLOH P I: PROGRAM CSTR A UŽIVATELSKÉ ROZHRANÍ VYTVOŘENÉ PRO VÝPOČTY

69 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 69 PŘÍLOHA P I: PROGRAM CSTR A UŽIVATELSKÉ ROZHRANÍ VYTVOŘENÉ PRO VÝPOČTY Program je vytvořen v programovém balíku MATLAB verze 6.5. Po puštění programu příkazem Main v konzoli MATLABu e zobrazí hlavní okno program, pomoí nějž e vypočítávají požadované harakteritiky. Okno vypadá viz. Obr. 27. Obr. 27: Rozhraní programu CSTR pro výpočet požadovanýh harakteritik Jak je vidět, jou všehny proměnné zadatelné pomoí editovaíh políček, která jou popány i jednotlivými rozměry zadávanýh veličin, aby uživatel zadával hodnoty ve právnýh jednotkáh a program praoval bezhybně.