Příklady k přednášce 20 - Číslicové řízení

Transkript

1 Příklady k přednášce 0 - Čílicové řízení Micael Šebek Automatické řízení 07-4-

2 Vzorkování: vzta mezi a z pro komplexní póly Spojitý ignál má Laplaceův obraz póly v, Dikrétní ignál má z-obraz αt yt ( ) = e in βtt, > 0 β y () = ( + α) + β = α ± jβ αk y( k) = e in( βk) póly α α z e in( β) ze in( β) yz ( ) = = z e co( β) + z e z ze co( β) + e α α α α ( ) ( β β ) z, = e co( ) ± jin( ) = e α α ± jβ Mezi póly obrazu pojitéo a (vzorkovanéo) dikrétnío ignálu platí vzta z, = e, Micael Šebek Pr-ARI-0-03

3 Strobokopický efekt Signály frekvencemi od 0 do π/ e po vzorkování zobrazí do jednotkovéo kruu. Kam e zobrazí ignály většími frekvencemi? Uvažme inuovku L-obrazem majícím póly ω yt ( ) = inωt y () =, = ± jω + ω Vzorkováním periodou zinω y( k) = in( ωk) yz ( ) = j z z zcoω+, = e ± ω Pro případ ω > π > πω neboli v Hz ω je a dikrétní póly mají úel > 80 f = Hz, f = < f π ω > π Při ω > π jω j( π ω) jω j( π ω) je e e, e e, kde ( π ω ) 0,80 A poloa pólů odpovídá i frekvenci ( ω= π ω) ω = π ω = ω ω = = [ ] Micael Šebek Pr-ARI

4 Strobokopický efekt ω ω ω = π ω π ω = vzorkování z = e z π ω = Při zpětném zobrazení (rekontrukci ignálu) nepoznáme právné frekvenční pámo Abycom tomu zabránili, muíme vzorkovat utěji Nebo předem odfiltrovat ze pojitéo ignálu frekvence vyšší než ωn = ω (anti-aliaing filter) ω = 3π π ω = π ω = vzorkování z = e z Micael Šebek Pr-ARI

5 Rameno v dikové mecanice zjednodušeno (normalizováno na ) podrobněji ÅW, 3, ex. přeno napětí zeilovače na polou ramene G () = cíl: ledovat topu (čím přeněji, tím užší) přené řízení poloy ramene důležitá dynamika ryclot čtení truktura řízení u () C u () y () regulátor zeilovač Příklad: Diková jednotka rameno Micael Šebek ARI-Pr

6 Příklad: pojité řízení pojitý regulátor (navrneme pojitými metodami ) u () = uc () y () + CL carakteritický polynom ( )( ) c () CL = + + +,3 CL přeno + y () = u() C ( )( ) imulace AW.mdl doba utálení na 5% je 5.5, překmit do 0% - OK Jak realizovat digitálně? ARI_0 AW.mdl >> a=^; b=;p=+;q=*+;r=.5*+; >> c=a*p+b*q c = + + ^ + ^3 >> pformat rootr >> c=a*p+b*q c = (+.0000)(^ ) >> T=b*r/c T = (+) / u () C t (+.0000)(^ ) >> yt () >> pbar=+;qbar=*+;rbar=/; >> cbar=a*pbar+b*qbar cbar = ut () (+.0000)(^ ) >> Tbar=b*rbar*pbar/cbar Tbar = (+) / (+.0000)(^ ) Micael Šebek ARI-Pr = 3 = ± j

7 Spojitý regulátor vyjádříme Příklad: Naivní aproximace regulátoru u () = 0.5 uc() y () = 0.5 uc() y () + y () + + = [ 0.5 uc ( ) y ( ) + x ( )].5 kde x () = y () + dotaneme v čaové oblati pojitý algoritmu (zákon řízení) [ ] ut () = 0.5 u () t yt () + xt () C dx xt ( ).5 yt ( ) dt = + dikrétní algoritmu - ignály vzorkujeme periodou a derivaci aproximujeme diferencí = + + xt ( + ) xt () = xt ( ) +.5 yt ( ) Micael Šebek ARI-Pr

8 Příklad Naivní návr Tak dotaneme dikrétní aproximaci [ ] [ ] xt ( + ) = xt ( ) +.5 yt ( ) xt ( ) k k k k ut ( ) 0.5 u ( t) yt ( ) xt ( ) = + ut () = 0.5 [ u () t yt () + xt ()] k C k k k dx = xt ( ) +.5 yt ( ) dt Tu můžeme realizovat programem (kde u C je dáno digitálně) C y:= adin(in) {čti odnotu proceu} u:= *(0.5*uc-y+x) {vypočti řídicí odnotu} dout(u) {pošli ven řídicí odnotu} x:= x+(.5*y-*x) {vypočti novou odnotu x} algoritmu nebo dikrétním přenoem z+ 0.5 uz ( ) = 0.5 uc ( z) yz ( ) z+ [ C ] [ ] uz ( ) = 0.5 u( z) yz ( ) + xz ( ) zxz ( ) = xz ( ) +.5 yz ( ) xz ( ) Odpovídá doazení do pojitéo přenou z Micael Šebek ARI-Pr =

9 Příklad: porovnání Porovnáme pojité a dikrétní řízení pro = 0. z 0.9 uz ( ) = 0.5 uc ( z) yz ( ) z 0.6 ydt () t yct () t yct () t uct udt () t () t ydt () t udt () t ARI_0 AW.mdl uct () t Micael Šebek ARI-Pr

10 Příklad: porovnání Různé periody vzorkování = 0., 0.5,,.5 = 0. = = 0.5 =.5 Micael Šebek ARI-Pr

11 Příklad: jiné řešení Nejprve najdeme dikrétní přeno outavy a tvarovače G () dikrétními metodami najdeme dikrétní regulátor tak, aby řešením rovnice dotaneme = ( ) ( ) z z+ pz ( ) + z+ qz ( ) = z 3 [ p p q q ] = [ ] [ p p q q ] Gz ( ) = = z+ ( z ) pz ( ) = 34+ z 3 5 qz ( ) = + z Micael Šebek ARI-Pr-0-03

12 Příklad: jiné řešení tento čitě dikrétní regulátor 4 5 z 35 uz ( ) = u( z) yz ( ) C 7 z+ 34 dává výledný přeno ( z+ )( z+ 3 4) yz ( ) = u( ) 3 C z 7 z a CL carakteritický polynom c ( ) CL z = z imulace ARI_0 AW 3.mdl pro =.4 3 Micael Šebek ARI-Pr-0-03

13 Příklad: jiné řešení Simulace ARI_0 AW 3.mdl pro =.4 výtup: vtup: ryclot: yt () ut () yt () počínaje 4. okamžikem vzorkování e výtup přeně rovná požadovanému (neblíží e mu jen aymptoticky)! Toto čitě dikrétní řešení je lepší než pojité a nemá obdoby mezi pojitými (není aproximací žádnéo poj) Co e tedy děje při zmenšování? Micael Šebek ARI-Pr

14 Příklad: a ještě jiné řešení Nešlo by počet kroků ještě zkrátit? Zdánlivě ano: Vyřešíme ( z z+ ) pz ( ) + ( z+ ) qz ( ) = z( z+ ) pomocí 0 0 [ p0 p q0 q] = [ 0 0 ] dotaneme p p q q [ ] = Micael Šebek 4 p ( z) = + z Tedy regulátor 4 z u = u C y z+ který dá výledný přeno uzavřené myčky y = a CL carakteritický polynom c ( ) ( ) CL z = z z+ weak q ( z) = 4 z weak ( z + ) u z C

15 Simulace druý model v ARI_0 AW 3.mdl vypadá OK Simulace Ale pro nenulové počáteční podmínky (třetí model tamtéž) odalí problém Všimněte i, že v okamžicíc vzorkování e cová vzorně Micael Šebek ARI-Pr

16 Nakonec ještě ukážeme řešení tavovou zpětnou vazbou Stavové rovnice dvojitéo integrátoru jou např. Jejic dikrétní verze ( ZOH a periodou vzorkování ) Zapojením tavovéo regulátoru Příklad: a ještě čtvrté, tavové řešení 0 0 xt () = xt () + ut (), y= [ 0 ] xt () 0 0 G () = xk ( + ) = xk ( ) + uk ( ), yk ( ) = [ 0 ] xk ( ) 0 uk xk u k 3 ( ) ( ) = ( ) + C ( ) Se ytém změní na car. polynomem c z = z a přenoem ( ) CL 4 xk ( + ) = xk ( ) + uc ( k), yk ( ) = [ 0 ] xk ( ) Micael Šebek ARI-Pr z + yz ( ) = u( ) C z z

17 Simulace Simulace ARI_0_3_AW_4_5.mdl pro =.4 Počínaje třetím krokem je žádaná odnota přeně natavena a řízení je nulové a to pro každé počáteční podmínky ytém je vnitřně tabilní Micael Šebek ARI-Pr

18 Cyby kvantování y analog A/D y digital y digital LSB LSB = leat ignificant bit cyba kvantování v rozmezí ±½ LSB y analog Příklad: bitový A/D na škále ±0 V Cyba ± 0.5 LSB =± V Micael Šebek ARI